เป้าหมายของงาน:เพื่อสร้างความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้รีโมทคอนโทรลในด้านต่างๆ เพื่อปลูกฝังความสามารถในการแก้ปัญหา Cauchy สำหรับการควบคุมระยะไกล ที่" = ฉ(x,ย) ในส่วน [ ก, ข] สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ที่ 0 = ฉ(x 0) วิธี Picard, Euler, Runge-Kutta, Adams; พัฒนาทักษะในการตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือของโปรแกรมประยุกต์

วิธี Picard

ตัวอย่าง 5.1

: ที่ ชม.= 0.1 โดยวิธี Picard ด้วยขั้นตอน ชม..

ในรายงาน ส่ง: ความคืบหน้าของงาน โปรแกรม - ฟังก์ชัน ข้อผิดพลาด ภาพประกอบกราฟิกของการแก้ปัญหา

สารละลาย.

1. ป้อนข้อมูล (รูปที่ 5.1)

ก= 1,7 ข= 2,7

ชม. = 0,1

ย 0 = 5,3 ฉัน = 0..น

รูปที่ 5.1การตั้งค่าข้อมูลเริ่มต้น

2. เราตั้งค่าฟังก์ชันที่ส่งคืนค่าของอนุพันธ์ตัวแรกตามตัวแปร ที่(รูปที่ 5.2)

ฉได้รับมา ( ย) =

รูปที่ 5.2ฟังก์ชันที่คืนค่าของอนุพันธ์ตัวแรกของฟังก์ชัน

3. เขียนฟังก์ชันที่ส่งคืนโซลูชันของ DE โดยเมธอด

พิการ์ด. ที่นี่: ฉ-ฟังก์ชั่นเดิม ฉ มาจาก –

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวกับ ที่; ก,ข- สิ้นสุดส่วน; ชม.- ขั้นตอน; ที่ 0 –

ค่าเริ่มต้นของตัวแปร ที่.

4. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาของ DE โดยวิธี Picard (รูปที่ 5.3)

fnPikan(fn, fn มาจาก, a, b, h, y0)=

ข้าว. 5.3.การระบุฟังก์ชันที่ส่งคืนโซลูชันไปยัง DE

วิธี Picard (ไฟล์ fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f มาจาก a, b, 0.1, y0) =


	7.78457519486 10 -11
	5,3
	5,46340155616
	5,62650688007
	5,78947945853
	5,95251650231
	6,11584391144
	6,27971330675
	6,44440084325
	6,61020759752
	6,77746140952
	6,94652015221

ข้าว. 5.4.การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของ DE โดยวิธี Picard

วิธีออยเลอร์และการดัดแปลง

ตัวอย่าง 5.2

ที่(1.7) = 5.3 และขั้นบูรณาการ ชม.= 0.1 โดยวิธีออยเลอร์และวิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้วพร้อมขั้นตอน ชม.และ ชม./2.

สารละลาย.

แนวทางการแก้ปัญหาโดยวิธีออยเลอร์แสดงในรูปที่ . 5.5 - 5.7

a = 1.7 b = 2.7 y0 = 5.3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0.05

รูปที่ 5.5ชิ้นส่วนแผ่นงาน Mathcad พร้อมโซลูชัน

สมการโดยวิธีออยเลอร์ด้วยขั้นตอน ชม.และ ชม./2 และกราฟิก

การสร้างภาพของวิธีออยเลอร์

1. มาสร้างโปรแกรมที่ใช้เมธอดออยเลอร์ (รูปที่

รูปที่ 5.6รายชื่อโปรแกรมที่ใช้วิธีออยเลอร์

2. เราได้รับคำตอบของ DE โดยวิธีออยเลอร์ (รูปที่ 5.7.)

ES h = อายเลอร์(f, a, b, h, y0)

ES h2 = อายเลอร์(f, a, b, , y0)

ข้าว. 5.7.การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของ DE โดยวิธีออยเลอร์

บันทึก

เขียนฟังก์ชันส่งคืนคำตอบของ DE โดยวิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงใหม่ด้วยตัวคุณเอง

ข้าว. 5.8.การตัดสินใจของการควบคุมระยะไกลโดยวิธีการที่ได้รับการปรับปรุง

ออยเลอร์ด้วยขั้นตอน ชม.และ ชม./2

5.3. วิธีรังเง-คุตตะ

ในทางปฏิบัติมักใช้วิธี Runge-Kutta ของลำดับที่สี่

ตัวอย่าง 5.3

แก้ปัญหา Cauchy สำหรับ DE ในส่วนสำหรับ NU ที่กำหนด ที่(1.7) = 5.3 และขั้นบูรณาการ ชม.= 0.1 โดยวิธีรุ่ง-คุตตะ ลำดับที่ ๔ มีขั้น ชม.และ 2 ชม..

ในรายงาน ให้ส่ง: ความคืบหน้าของงาน โปรแกรม ฟังก์ชัน ข้อผิดพลาด ภาพประกอบกราฟิกของการแก้ปัญหา และค่าประมาณของข้อผิดพลาดในการประมาณ

สารละลาย.

1. ป้อนข้อมูลงาน (รูปที่ 5.9)

ก = 1,7 ข = 2,7

ชม. = 0,1

ย 0 = 5,3

ฉัน= 0..น

รูปที่ 5.9การตั้งค่าข้อมูลเริ่มต้น

2. ลองเขียนฟังก์ชันที่คืนค่าคำตอบของ DE ลำดับที่หนึ่งโดยวิธี Runge-Kutta ที่นี่: ฉเป็นฟังก์ชันที่กำหนด ก, ข- สิ้นสุดส่วน; ชม.- ขั้นตอน; ย 0 คือค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน

3. มาหาคำตอบของ DE ลำดับที่หนึ่งโดยใช้ฟังก์ชันในตัวของ Mathcad (รูปที่ 5.10)

RK ชั่วโมง = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

ข้าว. 5.10.รายการฟังก์ชันที่คืนค่าเป็นตัวเลข

สารละลาย DE โดยวิธี Runge–Kutta

วิธีการของอดัมส์

ตัวอย่าง 5.4

แก้ปัญหา Cauchy สำหรับ DE ในส่วนสำหรับ NU ที่กำหนด ที่(1.7) = 5.3 และขั้นบูรณาการ ชม.= 0.1 วิธี Adams พร้อมขั้นตอน ชม..

ในรายงาน ให้ส่ง: บัญชีด้วยตนเอง โปรแกรม - ฟังก์ชัน ข้อผิดพลาด ภาพประกอบกราฟิกของโซลูชัน และค่าประมาณของข้อผิดพลาดในการประมาณ

สารละลาย.

1. ค้นหาตัวเลขสี่ตัวแรกโดยใช้สูตร Runge-Kutta (รูปที่ 5.11)

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) ผม

ข้าว. 5.11.การคำนวณค่าสี่ค่าแรกของโซลูชันตัวเลขโดยใช้สูตร Rune–Kutta

2. มาเขียนฟังก์ชันที่ใช้วิธี Adams (รูปที่ 2.10.3) ที่นี่ ก, ข- สิ้นสุดส่วน; ย 1 – ค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน ชม.- ขั้นตอน

ข้าว. 5.12.ฟังก์ชันที่ส่งคืนโซลูชันที่เป็นตัวเลข

วิธี DE โดย Adams

3. ภาพประกอบกราฟิกของการแก้ปัญหาของ DE โดยวิธีการต่าง ๆ แสดงไว้ในรูปที่ 5.13.

ข้าว. 5.13.การแสดงภาพของโซลูชัน DE ด้วยวิธีการต่างๆ

คำถามที่เกี่ยวข้อง

1. การแก้ปัญหา Cauchy สำหรับ DE ลำดับแรกหมายความว่าอย่างไร

2. การตีความแบบกราฟิกของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของ DE

3. การแก้ DE มีวิธีการอย่างไรขึ้นอยู่กับ

แบบฟอร์มการแก้ปัญหา?

4. สาระสำคัญของหลักการอัดคืออะไร

การทำแผนที่?

5. สูตรแบบเรียกซ้ำของวิธี Picard

6. สาระสำคัญของวิธีเส้นแตกของออยเลอร์คืออะไร?

7. แอปพลิเคชัน สูตรใดที่อนุญาตให้คุณรับค่า

ฟังก์ชันที่ต้องการโดยวิธีออยเลอร์?

8. การตีความแบบกราฟิกของวิธีออยเลอร์และ

ปรับปรุงวิธีออยเลอร์ อะไรคือความแตกต่างของพวกเขา?

9. สาระสำคัญของวิธีรุ่ง-คุตตะคืออะไร?

10. วิธีกำหนดจำนวนหลักที่ถูกต้องในตัวเลข

ซึ่งเป็นคำตอบของ DE โดยวิธีออยเลอร์

วิธีการปรับปรุงของ Euler, Picard, Runge–

การมอบหมายงานห้องปฏิบัติการหมายเลข 5

งาน 5.1

แก้ปัญหา Cauchy สำหรับ DE ย’ = ฉ(x, ย) ในส่วน [ ก, ข] ที่ NU ที่กำหนด ที่(ก) = กับและขั้นตอนการบูรณาการ ชม.(พารามิเตอร์เริ่มต้นระบุไว้ในตาราง 2.10.1):

1) วิธีออยเลอร์และวิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงด้วยขั้นตอน ชม.และ ชม./2;

2) ด้วยวิธีรุ่ง-คุตตะเป็นขั้นๆ ชม.และ 2 ชม.;

3) วิธีอดัมส์;

4) โดยวิธี Picard

วิธีแก้ปัญหาต้องมี: ความคืบหน้าของงาน, โปรแกรมของวิธีการ, คำตอบแบบกราฟิกของสมการและการประมาณข้อผิดพลาดในการประมาณ เป็นตัวเลข ให้เว้น 5 หลักหลังจุดทศนิยม

ตารางที่ 5.1ตัวเลือกงานสำหรับงานอิสระ

№	ฉ( x, ย)	[ก, ข]	y 0	ชม.
	3เอ็กซ์ 2 + 0,1ฮ		ที่(0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + cos(0.7 x)) + 1,843ย		ที่(0,2) = 0,25	0,1
			ที่(1,6) = 4,6	0,1
			ที่(0,2) = 1,1	0,1
			ที่(1,4) = 2,5	0,1
			ที่(1,7) = 5,3	0,1
			ที่(2,6) = 3,5	0,2
			ที่(2) = 2,3	0,1
	1.6 + 0.5y2		ที่(0) = 0,3	0,1
			ที่(1,8) = 2,6	0,1
			ที่(2,1) = 2,5	0,1
	อี 2x + 0,25ย 2		ที่(0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	ที่(-2) = 3	0,1
	0.133 ( x2+ บาป (2 x)) + 0,872ย		ที่(0,2) = 0,25	0,1
	บาป( x + ย) +1,5		ที่(1,5) = 4,5	0,1
			ที่(0,4) = 0,8	0,1
	2,5x+ คอส ( ย + 0,6)		ที่(1) = 1,5	0,2
	คอส(1,5 ย +x) 2 + 1,4		ที่(1) = 1,5	0,1
			ที่(1,5) = 2,1	0,05
	เพราะ y + 3x		ที่(0) = 1,3	0,1
	คอส(1,5 x – ย 2) – 1,3	[-1; 1]	ที่(-1) = 0,2	0,2
			ที่(1,6) = 4,6	0,1
	อี -(ย – 1) + 2x		ที่(0) = 0,3	0,05
	1 + 2ยบาป x – ย 2		ที่(1) = 0	0,1
			ที่(0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + บาป(1,1 x)) + 0,883ย		ที่(0,2) = 0,25	0,1
			ที่(1,7) = 5,6	0,1
			ที่(1,4) = 2,5	0,1
			ที่(0,6) = 0,8	0,1
			ที่(1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8ยบาป x - 2ย 2		ที่(0) = 0	0,1
			ที่(0,5) = 1,8	0,1
			ที่(1,2) = 1,8	0,1
	บาป 1 + 2.2 x + 1,5ย 2		ที่(0) = 0	0,1
			ที่(0) = 0	0,1
			ที่(0) = 0	0,1
			ที่(0) = 0	0,1
	0,2x 2 + ย 2		ที่(0) = 0,8	0,1
	x 2+ย		ที่(0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1ย 2		ที่(0) = 0,5	0,1

วรรณกรรม

วรรณกรรมหลัก:

Alekseev G.V. , Voronenko B.A. , Lukin N.I. วิธีการทางคณิตศาสตร์ใน

วิศวกรรมการอาหาร: หนังสือเรียน. - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: "ลาน", 2555 - 212 น.

Alekseev G.V. วิธีการทางคณิตศาสตร์ทางวิศวกรรม: วิธีการศึกษา. เบี้ยเลี้ยง. - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: NRU ITMO; ไอไฮบีที. 2555. - 39 น.

Alekseev G.V. , Kholyavin I.I. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์เชิงตัวเลขและการเพิ่มประสิทธิภาพ: ตำราเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย, GIEFPT, 2011, 211 p.

Makarov E.G. Mathcad: บทช่วยสอน - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: ปีเตอร์ 2552 - 384 น.

วรรณกรรมเพิ่มเติม:

Porshnev S.V. , Belenkova I.V. วิธีคิดเลขตาม Mathcad -

เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: BHV-Petersburg, 2005. - 464 p.

Agapiev B.D. , Belov V.N. , Kesamanly F.P. , Kozlovsky V.V. , Markov S.I. การประมวลผลข้อมูลการทดลอง: Proc. ค่าเผื่อ / SPbGTU สพป., 2544.

Gorelova G.V. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างและงานโดยใช้ Excel – ม.: ฟีนิกซ์, 2548. – 476 น.

Adler Yu.P. , Markova E.V. , Granovsky Yu.V. วางแผนการทดลองเพื่อค้นหาเงื่อนไขที่เหมาะสม -M.: Nauka, 1976

Asaturyan V.I. ทฤษฎีการวางแผนการทดลอง - ม.: วิทยุและการสื่อสาร 2526

Brodsky V.Z. รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวางแผนแฟกทอเรียลของการทดลอง - M.: Nauka, 1976

เดมิเดนโก อี.ซี. การถดถอยเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น - ม.: การเงินและสถิติ 2524

Krasovsky G.I. , Filaretov G.F. การวางแผนการทดลอง - มินสค์: BGU, 1982

Markova E.V. , Lisenkov A.N. แผนการผสมผสานในงานของการทดลองหลายปัจจัย - M.: Nauka, 1979

Frolkis V.A. การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นและไม่ใช่เชิงเส้น - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2544. 306 น.

คูริตสกี้ บียา ค้นหาโซลูชันที่เหมาะสมโดยใช้ Excel 7.0.-St. Petersburg: BHV, 1997, 384c

ซอฟต์แวร์และทรัพยากรอินเทอร์เน็ต:

http://www.open-mechanics.com/journals - กระบวนการผลิตอาหารและเครื่องมือ

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - กลศาสตร์ของไหลและก๊าซ ไฮดรอลิกส์ และเครื่องจักรไฮดรอลิก

http://elibrary.ru/defaultx.asp - ห้องสมุดอิเล็กทรอนิกส์ทางวิทยาศาสตร์ "Elibrary"

การแนะนำ

1. ห้องปฏิบัติการหมายเลข 1: ทฤษฎีการคำนวณโดยประมาณ

1.1. ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และสัมพัทธ์

1.2. ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ

1.3. ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์

1.4. ข้อผิดพลาดของฟังก์ชันพื้นฐาน

1.5. ทางชายแดน

1.6. ปัญหาผกผันของทฤษฎีข้อผิดพลาด

1.7. คำถามที่เกี่ยวข้อง

1.8. การมอบหมายงานห้องปฏิบัติการหมายเลข 1

2. ห้องปฏิบัติการหมายเลข 2: วิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข

สมการสเกลาร์

1.1. วิธีคอร์ด

1.2. วิธีการสัมผัส

1.3. วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

1.4. คำถามที่เกี่ยวข้อง

1.5. การมอบหมายงานห้องปฏิบัติการหมายเลข 2

3. งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 3: วิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบการแก้ปัญหา

สมการไม่เชิงเส้น

3.1. วิธีการของนิวตัน

3.2. คำถามที่เกี่ยวข้อง

3.3. การมอบหมายงานห้องปฏิบัติการหมายเลข 3

4. ห้องทดลอง #4: การรวมตัวเลข

4.1. วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า

4.2. วิธีซิมป์สัน

4.3. วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

4 .4. วิธีมอนติคาร์โล

4.5. คำถามที่เกี่ยวข้อง

4.6. การมอบหมายงานห้องปฏิบัติการหมายเลข 4

5. ห้องทดลอง #5: การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

5.1. วิธี Picard

5.2. วิธีออยเลอร์และการดัดแปลง

5.3. วิธีรังเง–คุตตะ

ตั๋วหมายเลข 5.3 แบบจำลองระบบทั่วไปของวัตถุควบคุม ลักษณะของกลุ่มตัวแปร การตัดสินใจของฝ่ายบริหารจากมุมมองของตัวแบบ ปัญหาของตัวแปร "เอาท์พุท" และวิธีแก้ปัญหา

นี่เป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยประมาณซึ่งเป็นวิธีการทั่วไปของการประมาณต่อเนื่อง (ดูบทที่ V, § 2) พิจารณาปัญหา Cauchy สำหรับสมการอันดับหนึ่ง

การอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์ เราแทนที่ปัญหานี้ด้วยสมการอินทิกรัลประเภทโวลเทอร์ราที่เทียบเท่ากัน

การแก้สมการอินทิกรัลนี้ด้วยวิธีการประมาณแบบต่อเนื่อง เราได้รับกระบวนการ Picard ซ้ำ

(คำตอบโดยประมาณตรงกันข้ามกับคำตอบที่แน่นอนจะแสดงด้วย y) ในการวนซ้ำของกระบวนการนี้แต่ละครั้ง การรวมจะดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งหรือโดยวิธีการทางตัวเลขที่อธิบายไว้ในบทที่ IV

ให้เราพิสูจน์การบรรจบกันของเมธอด โดยสมมติว่าในโดเมนที่มีขอบเขตบางส่วน ด้านขวามือนั้นต่อเนื่องและเป็นไปตามตัวแปรและเงื่อนไขของลิปสชิตซ์

เนื่องจากขอบเขตมีจำกัด จึงถือความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ระบุข้อผิดพลาดของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยการลบ (8) จาก (9) และใช้เงื่อนไข Lipschitz เราได้รับ

แก้ไขความสัมพันธ์การเกิดซ้ำนี้และคำนึงถึงที่เราพบอย่างต่อเนื่อง

นี่แสดงถึงการประมาณการข้อผิดพลาด

จะเห็นได้ว่าสำหรับ เช่น โซลูชันโดยประมาณจะบรรจบกับโซลูชันที่แน่นอนในพื้นที่ทั้งหมดอย่างสม่ำเสมอ

ตัวอย่าง. เราใช้วิธี Picard กับปัญหา Cauchy สำหรับสมการ (3) ซึ่งคำตอบนั้นไม่ได้แสดงในรูปของฟังก์ชันมูลฐาน

ในกรณีนี้ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (9) จะถูกคำนวณอย่างแม่นยำ และเราได้มาอย่างง่ายดาย

เป็นต้น จะเห็นได้ว่า สำหรับ การประมาณค่าเหล่านี้จะบรรจบกันอย่างรวดเร็ว และทำให้สามารถคำนวณวิธีแก้ปัญหาด้วยความแม่นยำสูง

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการใช้เมธอด Picard เป็นข้อได้เปรียบหากสามารถคำนวณปริพันธ์ (9) ในรูปของฟังก์ชันมูลฐานได้ หากด้านขวาของสมการ (7) ซับซ้อนกว่า ดังนั้นต้องหาอินทิกรัลเหล่านี้ด้วยวิธีตัวเลข ดังนั้นวิธี Picard จะไม่สะดวกนัก

วิธีการของ Picard สามารถทำให้เป็นภาพรวมได้ง่ายกับระบบสมการในลักษณะที่อธิบายไว้ในส่วนที่ 2 อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ยิ่งระบบมีลำดับสูงเท่าไร การคำนวณปริพันธ์ใน (9) ก็ยิ่งน้อยลงเท่านั้น ซึ่งจำกัด การประยุกต์ใช้วิธีการในกรณีนี้

มีหลายวิธีโดยประมาณอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น S. A. Chaplygin เสนอวิธีการที่เป็นลักษณะทั่วไปของวิธีพีชคณิตของนิวตันสำหรับกรณีของสมการเชิงอนุพันธ์ อีกวิธีหนึ่งในการสรุปวิธีการของนิวตันถูกเสนอโดย L. V. Kantorovich ในปี 1948 ในทั้งสองวิธีนี้เช่นเดียวกับวิธี Picard การวนซ้ำจะดำเนินการโดยใช้พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสในนั้นมีรูปแบบที่ซับซ้อนกว่า (9) มากและไม่ค่อยนำมาใช้ในฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นวิธีการเหล่านี้จึงแทบไม่เคยใช้เลย

Picard Method Picard Charles Emile (1856-1941) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

วิธีนี้ทำให้ได้คำตอบโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์ (1) ในรูปแบบของฟังก์ชันที่นำเสนอในเชิงวิเคราะห์

ให้ ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทการดำรงอยู่ จำเป็นต้องหาคำตอบของสมการ (1) ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น (2) ให้เรารวมส่วนซ้ายและขวาของสมการ (1) ภายในขอบเขตจาก ถึง:

คำตอบของสมการอินทิกรัล (9) จะเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ (1) และเงื่อนไขเริ่มต้น (2) แน่นอน ที่ เราได้รับ:

ในเวลาเดียวกัน สมการอินทิกรัล (9) ทำให้สามารถใช้วิธีการประมาณแบบต่อเนื่องได้ เราจะถือว่าด้านขวาของสูตร (9) เป็นโอเปอเรเตอร์ที่จับคู่ฟังก์ชันใดๆ (จากคลาสของฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลรวมอยู่ใน (9)) เข้ากับฟังก์ชันอื่นของคลาสเดียวกัน:

หากตัวดำเนินการนี้เป็นแบบหดตัว (ซึ่งต่อจากเงื่อนไขของทฤษฎีบทของ Picard) ก็เป็นไปได้ที่จะสร้างลำดับของการประมาณที่บรรจบกับคำตอบที่แน่นอน เมื่อทำการประมาณเริ่มต้น และพบการประมาณค่าแรก

อินทิกรัลทางด้านขวามีเพียงตัวแปร x; หลังจากหาอินทิกรัลนี้แล้ว จะได้นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับการประมาณค่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x ต่อไป เราแทนที่ y ทางด้านขวาของสมการ (9) ด้วยค่าที่พบและรับค่าประมาณที่สอง

เป็นต้น ในกรณีทั่วไป สูตรการวนซ้ำมีรูปแบบ

(n=1, 2…) (10)

การใช้สูตรแบบวงกลม (10) ให้ลำดับของฟังก์ชัน

บรรจบกับคำตอบของสมการอินทิกรัล (9) (และด้วยเหตุนี้ สมการเชิงอนุพันธ์ (1) ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น (2)) นอกจากนี้ยังหมายความว่าเทอมที่ k ของลำดับ (11) เป็นการประมาณการแก้สมการที่แน่นอน (1) ด้วยระดับความแม่นยำที่ควบคุมได้ระดับหนึ่ง

โปรดทราบว่าเมื่อใช้วิธีการประมาณแบบต่อเนื่อง การวิเคราะห์ทางด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่จำเป็น ดังนั้นวิธีนี้ยังสามารถใช้ในกรณีที่ไม่สามารถขยายคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ในอนุกรมกำลังได้

ข้อผิดพลาดของ Picard

ค่าประมาณข้อผิดพลาดสำหรับการประมาณ k ถูกกำหนดโดยสูตร

โดยที่ y(x) เป็นคำตอบที่แน่นอน คือค่าคงที่ลิปชิตซ์จากอสมการ (4)

ในทางปฏิบัติวิธี Picard นั้นใช้น้อยมาก สาเหตุประการหนึ่งคือ ปริพันธ์ที่ต้องคำนวณเมื่อสร้างการประมาณแบบต่อเนื่องมักไม่พบในการวิเคราะห์ และการใช้วิธีคำนวณเชิงตัวเลขทำให้การแก้ปัญหายุ่งยากจนสะดวกกว่ามากในการใช้วิธีอื่นๆ ที่เริ่มต้นโดยตรง ตัวเลข

ตัวอย่างของการแก้ปัญหาใน Maple

งาน #1: ใช้วิธีการประมาณแบบต่อเนื่อง ค้นหาค่า โดยที่คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์: เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น ในส่วน ทำตามขั้นตอน (คำนวณเป็นการประมาณที่สอง)

ที่ให้ไว้: - สมการเชิงอนุพันธ์

สภาพเริ่มต้น

ช่วงเวลา

หา: ความหมาย

สารละลาย:

> y1:=ลดความซับซ้อน(1+int(x+1, x=0…x));

> y2:= ลดความซับซ้อน (1+int (x+ลดความซับซ้อน (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

ค้นหาค่าที่ x=0.5:

งาน #2: ใช้วิธีการประมาณแบบต่อเนื่อง หาคำตอบโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น

ที่ให้ไว้: - สมการเชิงอนุพันธ์

สภาพเริ่มต้น

หา: ความหมาย

สารละลาย:

เราจะพบวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของ DE นี้ในส่วนที่มีขั้นตอน (เลือกโดยพลการ)

ให้เราเขียนสูตรสำหรับกรณีนี้ (10)

> y1:=ลดความซับซ้อน(1+int(x*1, x=0…x));

>y2:=ลดความซับซ้อน (1+int (x*ลดความซับซ้อน (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

ในทำนองเดียวกัน เราพบค่าประมาณที่สาม:

>y3:=ลดความซับซ้อน (1+int (x*ลดความซับซ้อน (1+int (x*ลดความซับซ้อน (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0... x));

ลองหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของ DE นี้ที่ สำหรับสิ่งนี้ ในการประมาณครั้งที่สามแทน x ให้แทนค่าแล้วได้:

ให้เราเปรียบเทียบผลลัพธ์โดยประมาณที่ได้รับกับคำตอบที่ถูกต้องของสมการเชิงอนุพันธ์:

จากผลของตารางจะเห็นได้ว่าข้อผิดพลาดในการคำนวณมีน้อยมาก

เราจะพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) ของลำดับที่หนึ่ง

ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น

y(x 0) \u003d y 0, (2)

โดยที่ f(x) ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นของตัวแปรสองตัว ในกรณีทั่วไป เราจะถือว่าสำหรับปัญหาที่กำหนด (1)-(2) ซึ่งเรียกว่าปัญหาเริ่มต้นหรือปัญหา Cauchy เป็นไปตามข้อกำหนดที่รับรองว่ามีอยู่และมีเอกลักษณ์เฉพาะในส่วน [x 0 ,b] ของโซลูชัน y=y (x).

แม้ว่าภายนอกสมการ (1) จะเรียบง่าย แต่ให้แก้สมการด้วยวิธีวิเคราะห์ เช่น เป็นไปได้ที่จะหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป y=y(x, C) เพื่อที่จะแยกเส้นโค้งปริพันธ์ y=y(x) ผ่านจุดที่กำหนด (x 0; y 0) เฉพาะสำหรับประเภทพิเศษบางประเภทเท่านั้น สมการดังกล่าว ดังนั้น เช่นเดียวกับปัญหาการคำนวณอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับ (1)-(2) เราต้องพึ่งพาวิธีการโดยประมาณในการแก้ปัญหาเบื้องต้นสำหรับ ODE ซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม:

1) วิธีการวิเคราะห์โดยประมาณ

2) วิธีกราฟิกหรือคอมพิวเตอร์กราฟิก

3) วิธีการเชิงตัวเลข

วิธีการของกลุ่มแรกรวมถึงวิธีการที่อนุญาตให้หาค่าประมาณของคำตอบ y(x) ได้ทันทีในรูปแบบของฟังก์ชัน "ดี" φ (เอ็กซ์).ตัวอย่างเช่นที่รู้จักกันดี วิธีอนุกรมกำลัง หนึ่งในการนำไปใช้ซึ่งขึ้นอยู่กับการแทนค่าของฟังก์ชันที่ต้องการ y(x) โดยกลุ่มของอนุกรมเทย์เลอร์ โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ของเทย์เลอร์ที่มีอนุพันธ์อันดับสูงกว่าถูกพบโดยการแยกความแตกต่างของสมการ (1) ตามลำดับ ตัวแทนของกลุ่มวิธีการนี้คือวิธีการประมาณแบบต่อเนื่องซึ่งมีสาระสำคัญดังต่อไปนี้

ชื่อ วิธีการกราฟิก พูดถึงตัวแทนโดยประมาณของโซลูชันที่ต้องการ y(x) บนช่วงเวลาในรูปแบบของกราฟ ซึ่งสามารถสร้างได้ตามกฎบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการตีความกราฟิกของปัญหานี้ ทางกายภาพ หรืออาจจะถูกต้องกว่าหากจะพูดว่า การตีความทางไฟฟ้าของปัญหาเริ่มต้นสำหรับสมการบางประเภทขึ้นอยู่กับวิธีการทางคอมพิวเตอร์กราฟิกของการแก้ปัญหาโดยประมาณ เมื่อตระหนักถึงกระบวนการทางไฟฟ้าที่กำหนดในระดับกายภาพและเทคนิค พฤติกรรมของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายกระบวนการเหล่านี้จะถูกสังเกตบนหน้าจอออสซิลโลสโคป การเปลี่ยนพารามิเตอร์ของสมการจะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของการแก้ปัญหาอย่างเพียงพอ ซึ่งเป็นพื้นฐานของคอมพิวเตอร์แอนะล็อกเฉพาะทาง (ACM)

ในที่สุดสิ่งที่สำคัญที่สุดในปัจจุบันซึ่งโดดเด่นด้วยการพัฒนาอย่างรวดเร็วและการแทรกซึมเข้าไปในทุกกิจกรรมของมนุษย์ของคอมพิวเตอร์ดิจิทัลคือวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการได้รับตารางตัวเลขของค่าโดยประมาณ y i ของโซลูชันที่ต้องการ y (x) บนกริดที่กำหนด
ค่าของอาร์กิวเมนต์ x วิธีการเหล่านี้จะเป็นเรื่องของการสนทนาต่อไปนี้ จะทำอย่างไรกับค่าตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการกำหนดปัญหาที่ใช้ หากเรากำลังพูดถึงการค้นหาเฉพาะค่าของ y(b) จุด b จะรวมเป็นจุดสุดท้ายในระบบของจุดคำนวณ xi และค่าโดยประมาณทั้งหมด y ผม ≈y(x i) ยกเว้นค่าสุดท้าย หนึ่ง เข้าร่วมในฐานะคนกลางเท่านั้น เช่น ไม่ต้องท่องจำหรือประมวลผล หากคุณต้องการวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ y(x) ที่จุดใดๆ x จากนั้นไปยังตารางค่าตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์ y คุณสามารถใช้วิธีการใด ๆ ในการประมาณฟังก์ชันตารางที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่น การประมาณค่าหรือการแก้ไขแบบ spline . นอกจากนี้ยังสามารถใช้ข้อมูลตัวเลขเกี่ยวกับโซลูชันในลักษณะอื่นๆ ได้อีกด้วย

ให้เราสัมผัสวิธีการวิเคราะห์โดยประมาณวิธีหนึ่งสำหรับการแก้ปัญหาเริ่มต้น (1)-(2) ซึ่งวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการ y \u003d y (x) ในพื้นที่ใกล้เคียงด้านขวาของจุด x 0 คือขีดจำกัดของลำดับของ ฟังก์ชัน y n (x) ได้รับด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

เรารวมส่วนซ้ายและขวาของสมการ (1) ภายในขอบเขตจาก x 0 ถึง x:

ดังนั้น เมื่อคำนึงถึงความจริงที่ว่าหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟสำหรับ y"(x) คือ y(x) เราได้

หรือใช้เงื่อนไขเริ่มต้น (2)

(3)

ดังนั้น สมการเชิงอนุพันธ์นี้ (1) ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น (2) จึงถูกแปลงเป็นสมการอินทิกรัล (ในที่นี้ ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักจะอยู่ใต้เครื่องหมายอินทิกรัล)

สมการอินทิกรัลที่ได้ (3) มีรูปแบบของปัญหาจุดตายตัว สำหรับผู้ดำเนินการ
วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายสามารถนำไปใช้กับปัญหานี้ได้อย่างเป็นทางการ

พิจารณาในรายละเอียดที่เพียงพอเกี่ยวกับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นและอดิศัย รับเป็นฟังก์ชันเริ่มต้น y 0 (x) ค่าคงที่ y 0 ที่ระบุใน (2) ตามสูตร (4) ที่ n=0 เราพบค่าประมาณแรก

การแทนที่ใน (4) สำหรับ n=1 ให้ค่าประมาณที่สอง

เป็นต้น ดังนั้น วิธีการวิเคราะห์เชิงประมาณนี้ เรียกว่า วิธีการประมาณต่อเนื่อง หรือวิธี Picard ถูกกำหนดโดยสูตร

(5)

โดยที่ n=0,1, 2,... และ y 0 (x)=y 0 .

เราสังเกตลักษณะสองประการของวิธีการประมาณแบบต่อเนื่องของ Picard ซึ่งสามารถจัดประเภทเป็นค่าลบได้ ประการแรก เนื่องจากปัญหาที่ทราบกันดีเกี่ยวกับการค้นหาสารต่อต้านอนุพันธ์อย่างมีประสิทธิภาพ วิธีการ (5) จึงไม่ค่อยถูกนำมาใช้ในรูปแบบที่บริสุทธิ์ ประการที่สอง ดังที่เห็นได้จากข้อความข้างต้น วิธีนี้ควรได้รับการพิจารณาในท้องถิ่น เหมาะสำหรับการประมาณวิธีแก้ปัญหาในพื้นที่ใกล้เคียงเล็กๆ ทางด้านขวาของจุดเริ่มต้น วิธีการของ Picard มีความสำคัญต่อการพิสูจน์การมีอยู่และเอกลักษณ์ของวิธีแก้ปัญหา Cauchy มากกว่าการค้นหาในทางปฏิบัติ

บทที่ 17 วิธีการของออยเลอร์

เป้า -เพื่อให้นักเรียนรู้จักวิธีการของออยเลอร์ในการแก้ปัญหา Cauchy สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

เมธอดนี้เป็นตัวแทนของคลาสของเมธอดโดยประมาณ

แนวคิดของวิธีการนั้นง่ายมากและเป็นไปตามขั้นตอน

ค่าประมาณสำหรับการแก้สมการอินทิกรัล ซึ่ง

สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมจะได้รับ

ปล่อยให้ปัญหา Cauchy ถูกตั้งค่า

เรารวมสมการที่เขียนขึ้น

. (5.2)

ขั้นตอนของการประมาณแบบต่อเนื่องของวิธี Picard ถูกนำมาใช้ตามโครงร่างต่อไปนี้

, (5.3)

ตัวอย่าง . แก้สมการ Picard

คำตอบของสมการนี้ไม่ได้แสดงในรูปของฟังก์ชันมูลฐาน

จะเห็นได้ว่า สำหรับ ซีรีส์จะบรรจบกันอย่างรวดเร็ว วิธีนี้สะดวกหากสามารถวิเคราะห์ปริพันธ์ได้

ให้เราพิสูจน์การบรรจบกันของวิธี Picard ให้เข้ามาจำกัด

ด้านขวาต่อเนื่องกัน และนอกจากนี้ เป็นไปตามเงื่อนไขของลิปสชิตซ์ที่เกี่ยวกับตัวแปร เช่น

ค่าคงที่อยู่ที่ไหน

เนื่องจากความเหลื่อมล้ำของภูมิภาค

เราลบสูตร (5.2) จาก (5.3) เราได้รับสำหรับโมดูลทางขวาและซ้าย

สุดท้าย เราใช้เงื่อนไขความต่อเนื่องของลิปชิตซ์

, (5.4)

ข้อผิดพลาดของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณอยู่ที่ไหน

การประยุกต์ใช้สูตร (5.4) ที่ต่อเนื่องกันให้ห่วงโซ่ความสัมพันธ์ต่อไปนี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น

เพราะ แล้วเราก็มี

การแทนที่ด้วยสูตรสเตอร์ลิง ในที่สุดเราก็ได้รับค่าประมาณสำหรับข้อผิดพลาดของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ

. (5.5)

จาก (5.4) เป็นไปตามนั้นสำหรับโมดูลัสข้อผิดพลาดเช่น

วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณจะรวมกันเป็นหนึ่งเดียว

5.2.2. วิธีรังเง-คุตตะ

วิธีการเหล่านี้เป็นตัวเลข

ในทางปฏิบัติ จะใช้วิธี Rune-Kutta โดยให้หลัง

รูปแบบความแตกต่างของการจับกลุ่ม (วิธีการ) ของลำดับความถูกต้องต่างๆ ที่สุด

รูปแบบทั่วไป (วิธีการ) ของคำสั่งที่สองและสี่ เราและพวกเขา

พิจารณาด้านล่าง

ก่อนอื่นให้เราแนะนำแนวคิดและคำจำกัดความก่อน ตาข่ายบน

เซ็กเมนต์คือชุดของจุดคงที่ของเซ็กเมนต์นี้

ฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดเหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันกริด

พิกัดของจุดเป็นไปตามเงื่อนไข

จุดคือโหนดของกริด ตารางเครื่องแบบเป็นชุดของจุด

, ,

ระยะห่างของกริดอยู่ที่ไหน

เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยวิธีประมาณ คำถามของการบรรจบกันคือคำถามหลัก เมื่อนำไปใช้กับวิธีการต่าง ๆ แนวคิดของการบรรจบกันสำหรับเป็นเรื่องธรรมดามากขึ้น ให้เราแสดงค่าของฟังก์ชันกริดเป็นค่าของคำตอบที่แน่นอนของสมการเชิงอนุพันธ์ (5.1) ที่โหนด - (เป็นค่าโดยประมาณ) การบรรจบกันหมายถึงสิ่งต่อไปนี้ เราแก้ไขจุดหนึ่งและสร้างชุดกริดในลักษณะนั้น (ในที่นี้). จากนั้นจะถือว่าวิธีการเชิงตัวเลขมาบรรจบกันที่จุดถ้า

ที่ ,. วิธีการบรรจบกับส่วนถ้ามันบรรจบที่ทุกจุด มีการกล่าวว่าวิธีการมีลำดับความถูกต้องเป็นลำดับที่หากสามารถหาตัวเลขเช่นนั้นได้ ที่.

ต่อไป เราจะแนะนำแนวคิดของข้อผิดพลาดที่เหลือหรือค่าประมาณของสมการผลต่างที่แทนที่สมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดบนคำตอบของสมการเดิม นั่นคือ ความคลาดเคลื่อนเป็นผลมาจากการแทนคำตอบที่แน่นอนของสมการ (5.1) ลงในสมการผลต่าง ตัวอย่างเช่น สามารถแทนที่ (5.1) ด้วยสมการผลต่างอย่างง่ายต่อไปนี้

, .

จากนั้นความคลาดเคลื่อนจะถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้

วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยทั่วไปไม่ตรงกับ ดังนั้นความคลาดเคลื่อนที่จุด th จึงไม่เท่ากับศูนย์ คำจำกัดความต่อไปนี้ถูกนำมาใช้: วิธีการเชิงตัวเลขจะใกล้เคียงกับสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม ถ้า และมีลำดับที่ th ของความแม่นยำ ถ้า .

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าลำดับความถูกต้องของวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นั้นสอดคล้องกับลำดับของการประมาณค่าภายใต้สมมติฐานทั่วไป

ตอนนี้เรามาดูการวิเคราะห์แผนของ Runge-Kutta ก่อนอื่นเรามาที่

แบบแผนของลำดับที่สองของความถูกต้อง

ใช้สูตรเทย์เลอร์แก้สมการเชิงอนุพันธ์

(5.1) สามารถแสดงเป็น

, (5.6)

ที่ระบุ ,.

โปรดทราบว่าตาม (5.1) ,.

อนุพันธ์ดังนี้

โดยที่ไม่ทราบปริมาณ อนุญาต

ให้เราแสดงค่าโดยประมาณของโซลูชันที่โหนดด้วยตัวเลขผ่าน (ซึ่งเป็นโซลูชันที่จะได้รับหลังจากที่เราจำกัดซีรีส์ให้อยู่ในเงื่อนไขที่มีลำดับไม่เกินวินาที)

ต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ป้อนที่นี่

ขยายด้านขวามือในอนุกรม Taylor และนำเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราได้รับ

อย่างต่อเนื่อง

เงื่อนไขสำหรับการเลือกพารามิเตอร์และเราตั้งค่าความใกล้เคียงของนิพจน์

ความสัมพันธ์ (5.7) กับซีรีส์ (5.6) แล้ว

, ,.

หนึ่งพารามิเตอร์ยังคงว่างอยู่ ปล่อยให้มันเป็นไป

, ,

และสุดท้ายจาก (5.7) โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ที่พบสำหรับ และ

ความสัมพันธ์ (5.8) อธิบายตระกูลหนึ่งพารามิเตอร์ของสูตรรังเก-คุตตะสองเทอม

ในเอกสารเฉพาะทาง พิสูจน์ได้ว่าหากต่อเนื่องกันและมีขอบเขตร่วมกับอนุพันธ์อันดับสอง ดังนั้นผลเฉลยโดยประมาณของโครงร่าง (5.8) จะบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอกับผลเฉลยที่แน่นอนโดยมีข้อผิดพลาด , เช่น. แบบแผน (5.8) มีลำดับที่สองของความถูกต้อง

ในการฝึกคำนวณจะใช้สูตร (5.8) สำหรับค่าของพารามิเตอร์ ,.

จาก (5.8) เราอนุมานได้

การใช้สูตร (5.9) ลดลงเป็นลำดับขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ค่าฟังก์ชันคำนวณคร่าวๆ (ตามโครงร่างเส้นแบ่ง)

2. กำหนดความชันของเส้นโค้งอินทิกรัลที่จุด ()

3. พบค่าเฉลี่ยของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ขั้นตอน

4. ค่าของฟังก์ชันคำนวณที่โหนด ()-th

โครงร่างนี้มีชื่อพิเศษว่า "ตัวทำนาย-ตัวแก้ไข"

ตาม (5.8) เราได้รับ

ปัญหาจะได้รับการแก้ไขตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. คำนวณค่าของฟังก์ชันที่โหนดครึ่ง

2. ค่าของอนุพันธ์ที่โหนดถูกกำหนด

3. ค่าของฟังก์ชันอยู่ในโหนด ()-th

นอกเหนือจากโครงร่างสองระยะที่พิจารณาข้างต้นแล้ว โครงร่าง Runge-Kutta ของลำดับที่สี่ของความแม่นยำยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการฝึกคำนวณ สูตรที่เกี่ยวข้องจะได้รับด้านล่างโดยไม่มีการสืบทอด

(5.10)

แบบแผนที่มีสมาชิกจำนวนมากไม่ได้ใช้จริง ห้า-

สูตรสมาชิกให้ลำดับที่สี่ของความถูกต้อง สูตรหกระยะมีลำดับที่หก แต่รูปแบบมีความซับซ้อนมาก

ข้อผิดพลาดของโครงร่าง Runge-Kutta ข้างต้นถูกกำหนดโดยค่าสูงสุด

ค่าของอนุพันธ์ที่สอดคล้องกัน

เป็นการง่ายที่จะได้รับการประเมินข้อผิดพลาดสำหรับกรณีพิเศษของสิทธิ์

ส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์

ในกรณีนี้ คำตอบของสมการสามารถลดลงเหลือพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและ

โครงร่างโซลูชันความแตกต่างทั้งหมดจะถูกแปลงเป็นสูตรสำหรับการรวมตัวเลข

เที่ยว ตัวอย่างเช่น แบบแผน (5.9) ใช้แบบฟอร์ม

นั่นคือมีรูปแบบของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูและโครงร่าง (5.10) จะเข้าสู่โครงร่าง

ซึ่งเป็นสูตรของ Simpson ที่มีขั้นตอน

ทราบค่าประมาณข้อผิดพลาดที่สำคัญสำหรับสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูและซิมป์สัน (ดูหัวข้อ 3.2) ดังจะเห็นได้จาก (3.4) และ (3.5) ว่าความถูกต้องของแผน Runge-Kutta นั้นค่อนข้างสูง

ทางเลือกของรูปแบบข้างต้นอย่างใดอย่างหนึ่งสำหรับการแก้ปัญหาเฉพาะ

เดชาถูกกำหนดโดยการพิจารณาดังต่อไปนี้ หากฟังก์ชั่นใน

ด้านขวาของสมการเป็นแบบต่อเนื่องและมีขอบเขต เช่นเดียวกับแบบต่อเนื่องและ

อนุพันธ์อันดับสี่มีจำกัด ดังนั้นจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด

เมื่อใช้แบบแผน (5.10) ในกรณีที่ฟังก์ชั่น

ไม่มีอนุพันธ์ข้างต้น คำสั่งจำกัด (ลำดับที่สี่)

ไม่สามารถทำได้ตามโครงร่าง (5.10) และเป็นการสมควร

โดยใช้โครงร่างที่ง่ายกว่า

นอกจากโครงร่าง Runge-Kutta แล้ว วิธีการแบบหลายขั้นตอนยังมีประโยชน์ในทางปฏิบัติ ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยระบบสมการต่อไปนี้

ที่ไหน , - ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข ,.