การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่คืออะไร ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ คุณสมบัติความหนาแน่นของการกระจาย

ในข้อที่แล้ว เราได้ให้สูตรจำนวนหนึ่งที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาลักษณะเชิงตัวเลขของฟังก์ชันเมื่อทราบกฎการกระจายอาร์กิวเมนต์ อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี ในการหาลักษณะเชิงตัวเลขของฟังก์ชัน ไม่จำเป็นต้องรู้กฎการกระจายอาร์กิวเมนต์ด้วยซ้ำ แต่ก็เพียงพอที่จะรู้เฉพาะลักษณะเชิงตัวเลขบางส่วนเท่านั้น ในกรณีนี้ เราทำโดยไม่มีกฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้าเลย การกำหนดลักษณะเชิงตัวเลขของฟังก์ชันโดยกำหนดลักษณะเชิงตัวเลขของอาร์กิวเมนต์นั้นใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความน่าจะเป็น และทำให้การแก้ปัญหาจำนวนหนึ่งง่ายขึ้นอย่างมาก โดยส่วนใหญ่ วิธีการแบบง่ายนั้นเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันพื้นฐานที่ไม่เป็นเชิงเส้นบางฟังก์ชันก็อนุญาตให้ใช้วิธีนี้ได้

ในปัจจุบัน เรานำเสนอทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับคุณลักษณะเชิงตัวเลขของฟังก์ชัน ซึ่งในจำนวนทั้งหมดนั้นเป็นตัวแทนของเครื่องมือที่ง่ายมากสำหรับการคำนวณลักษณะเหล่านี้ ซึ่งสามารถใช้ได้ในเงื่อนไขที่หลากหลาย

1. ไม่ใช่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรสุ่ม

คุณสมบัติที่ระบุค่อนข้างชัดเจน มันสามารถพิสูจน์ได้โดยการพิจารณาตัวแปรที่ไม่สุ่มเป็นประเภทเฉพาะของตัวแปรสุ่ม โดยมีค่าที่เป็นไปได้หนึ่งค่าที่มีความน่าจะเป็นเป็นหนึ่ง ตามสูตรทั่วไปสำหรับการคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

.

2. การกระจายตัวของตัวแปรไม่สุ่ม

หากเป็นค่าที่ไม่ใช่ค่าสุ่ม ดังนั้น

3. การลบตัวแปรที่ไม่สุ่มเกินเครื่องหมายของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

, (10.2.1)

กล่าวคือ ค่าที่ไม่ใช่ค่าสุ่มสามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวังได้

การพิสูจน์.

ก) สำหรับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่อง

b) สำหรับปริมาณต่อเนื่อง

.

4. การลบค่าที่ไม่ใช่ค่าสุ่มสำหรับเครื่องหมายของความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

หากเป็นตัวแปรไม่สุ่มและเป็นแบบสุ่ม ดังนั้น

, (10.2.2)

กล่าวคือ ค่าที่ไม่ใช่ค่าสุ่มสามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายได้โดยการยกกำลังสองมัน

การพิสูจน์. โดยนิยามของความแปรปรวน

ผลที่ตามมา

,

กล่าวคือ ค่าที่ไม่ใช่ค่าสุ่มสามารถนำออกจากเครื่องหมายของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ด้วยค่าสัมบูรณ์ เราได้รับข้อพิสูจน์โดยแยกรากที่สองออกจากสูตร (10.2.2) และคำนึงว่า r.s.c. เป็นค่าบวกที่สำคัญ

5. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่ม

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับตัวแปรสุ่มสองตัวใดๆ และ

กล่าวคือ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรนั้น

คุณสมบัตินี้เรียกว่าทฤษฎีบทการบวกความคาดหวัง

การพิสูจน์.

ก) ปล่อยให้เป็นระบบของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง ให้เรานำไปใช้กับผลรวมของตัวแปรสุ่มในสูตรทั่วไป (10.1.6) สำหรับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์สองข้อ:

.

Ho ไม่มีอะไรมากไปกว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดที่ค่าจะได้รับจากค่า:

;

เพราะเหตุนี้,

.

ในทำนองเดียวกันเราจะพิสูจน์ว่า

,

และทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

b) อนุญาต เป็นระบบของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ตามสูตร (10.1.7)

. (10.2.4)

เราแปลงอินทิกรัลแรก (10.2.4):

;

เช่นเดียวกัน

,

และทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ควรสังเกตเป็นพิเศษว่าทฤษฎีบทของการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นใช้ได้กับตัวแปรสุ่มใดๆ - ทั้งแบบขึ้นต่อและแบบอิสระ

ทฤษฎีบทการบวกความคาดหวังสามารถสรุปเป็นจำนวนเงื่อนไขได้ตามอำเภอใจ:

, (10.2.5)

กล่าวคือ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มหลายตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรนั้น

เพื่อพิสูจน์ว่ามันเพียงพอที่จะใช้วิธีการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์

6. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น

พิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์สุ่มหลายตัว:

โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่สุ่ม มาพิสูจน์กัน

, (10.2.6)

นั่นคือ ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันเชิงเส้นเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้นเดียวกันของค่าเฉลี่ยของอาร์กิวเมนต์

การพิสูจน์. ใช้ทฤษฎีบทบวก ม.โอ. และกฎของการเอาตัวแปรที่ไม่สุ่มออกจากเครื่องหมายของ ม. o. เราได้รับ:

.

7. Dispepผลรวมของตัวแปรสุ่มนี้

ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว เท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านั้น บวกกับโมเมนต์สหสัมพันธ์สองเท่า:

การพิสูจน์. หมายถึง

ตามทฤษฎีบทบวกของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ลองส่งผ่านจากตัวแปรสุ่มไปยังตัวแปรศูนย์กลางที่เกี่ยวข้องกัน การลบเทอมโดยเทอมจากความเท่าเทียมกัน (10.2.8) ความเท่าเทียมกัน (10.2.9) เรามี:

โดยนิยามของความแปรปรวน

คิวอีดี

สูตร (10.2.7) สำหรับผลต่างของผลรวมสามารถสรุปให้เป็นจำนวนพจน์ใดก็ได้:

, (10.2.10)

โดยที่โมเมนต์สหสัมพันธ์ของค่าอยู่ที่ไหน เครื่องหมายภายใต้ผลรวมหมายความว่าผลรวมนั้นใช้กับตัวแปรสุ่มที่รวมกันเป็นคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด .

การพิสูจน์จะคล้ายกับข้อก่อนหน้าและตามมาจากสูตรของกำลังสองของพหุนาม

สูตร (10.2.10) สามารถเขียนได้ในรูปแบบอื่น:

, (10.2.11)

โดยที่ผลรวมสองเท่าขยายไปยังองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของระบบปริมาณ ที่มีทั้งโมเมนต์สหสัมพันธ์และความแปรปรวน

ถ้าตัวแปรสุ่มทั้งหมด รวมอยู่ในระบบไม่สัมพันธ์กัน (เช่น ที่ ) สูตร (10.2.10) ใช้รูปแบบ:

, (10.2.12)

กล่าวคือ ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ไม่สัมพันธ์กันจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของเงื่อนไข

ข้อเสนอนี้เรียกว่าทฤษฎีบทการบวกค่าความแปรปรวน

8. การกระจายตัวของฟังก์ชันเชิงเส้น

พิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มหลายตัว

โดยที่ตัวแปรไม่สุ่ม

ให้เราพิสูจน์ว่าการกระจายตัวของฟังก์ชันเชิงเส้นนี้แสดงโดยสูตร

, (10.2.13)

โมเมนต์สหสัมพันธ์ของปริมาณอยู่ที่ไหน , .

การพิสูจน์. มาแนะนำสัญกรณ์:

. (10.2.14)

ใช้สูตร (10.2.10) สำหรับความแปรปรวนของผลรวมทางด้านขวาของนิพจน์ (10.2.14) และพิจารณาว่า เราได้รับ:

โมเมนต์สหสัมพันธ์ของปริมาณอยู่ที่ไหน:

.

ลองคำนวณช่วงเวลานี้ เรามี:

;

เช่นเดียวกัน

แทนที่นิพจน์นี้เป็น (10.2.15) เรามาถึงสูตร (10.2.13)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อปริมาณทั้งหมด ไม่สัมพันธ์กัน สูตร (10.2.13) อยู่ในรูปแบบ:

, (10.2.16)

กล่าวคือ ความแปรปรวนของฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มที่ไม่สัมพันธ์กันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของกำลังสองของสัมประสิทธิ์และความแปรปรวนของอาร์กิวเมนต์ที่เกี่ยวข้อง

9. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่ม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มสองตัว เท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน บวกกับโมเมนต์สหสัมพันธ์:

การพิสูจน์. เราจะดำเนินการต่อจากคำจำกัดความของช่วงเวลาสหสัมพันธ์:

เราแปลงนิพจน์นี้โดยใช้คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์:

ซึ่งเทียบเท่ากับสูตร (10.2.17) อย่างเห็นได้ชัด

หากตัวแปรสุ่มไม่มีความสัมพันธ์กัน สูตร (10.2.17) จะอยู่ในรูปแบบ:

กล่าวคือ ค่าเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวที่ไม่สัมพันธ์กันมีค่าเท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ย

คำสั่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทการคูณความคาดหวัง

สูตร (10.2.17) เป็นเพียงการแสดงออกของโมเมนต์กลางแบบผสมที่สองของระบบในแง่ของโมเมนต์เริ่มต้นแบบผสมที่สองและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

. (10.2.19)

นิพจน์นี้มักใช้ในทางปฏิบัติเมื่อคำนวณโมเมนต์สหสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกับที่ตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งมักจะคำนวณความแปรปรวนผ่านโมเมนต์เริ่มต้นที่สองและการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทการคูณความคาดหวังยังสามารถสรุปถึงปัจจัยจำนวนหนึ่งได้ตามอำเภอใจ เฉพาะในกรณีนี้สำหรับการใช้งานเท่านั้นไม่เพียงพอที่ปริมาณจะไม่สัมพันธ์กัน แต่จำเป็นต้องมีช่วงเวลาที่ผสมที่สูงขึ้นบางส่วนก็หายไปด้วย ซึ่งจำนวนจะขึ้นอยู่กับ จำนวนเงื่อนไขในผลิตภัณฑ์ เงื่อนไขเหล่านี้จะเป็นที่พึงพอใจอย่างแน่นอนหากตัวแปรสุ่มที่รวมอยู่ในผลิตภัณฑ์นั้นไม่เกี่ยวข้องกัน ในกรณีนี้

, (10.2.20)

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน

ข้อเสนอนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายด้วยการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์

10. การกระจายตัวของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระ

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับตัวแปรอิสระ

การพิสูจน์. แสดงว่า. โดยนิยามของความแปรปรวน

เนื่องจากปริมาณมีความเป็นอิสระและ

ปริมาณก็เป็นอิสระเช่นกัน เพราะเหตุนี้,

,

แต่ไม่มีอะไรอื่นนอกจากช่วงเวลาเริ่มต้นที่สองของปริมาณ ดังนั้นจึงแสดงในรูปของความแปรปรวน:

;

เช่นเดียวกัน

.

แทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสูตร (10.2.22) และนำพจน์ที่คล้ายกันมาที่เรามาถึงสูตร (10.2.21)

ในกรณีที่ตัวแปรสุ่มที่อยู่ตรงกลางถูกคูณ (ค่าที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับศูนย์) สูตร (10.2.21) จะอยู่ในรูปแบบ:

, (10.2.23)

กล่าวคือ ความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มที่มีศูนย์กลางอิสระเท่ากับผลคูณของความแปรปรวนของพวกมัน

11. ช่วงเวลาที่สูงขึ้นของผลรวมของตัวแปรสุ่ม

ในบางกรณี จำเป็นต้องคำนวณช่วงเวลาที่สูงกว่าของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ ให้เราพิสูจน์ความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกัน

1) ถ้าปริมาณเป็นอิสระแล้ว

การพิสูจน์.

โดยที่ทฤษฎีบทการคูณคาดหวัง

แต่โมเมนต์ศูนย์กลางแรกสำหรับปริมาณใดๆ จะเป็นศูนย์ เทอมกลางสองเทอมหายไป และสูตร (10.2.24) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความสัมพันธ์ (10.2.24) สามารถสรุปได้ง่าย ๆ โดยการเหนี่ยวนำให้มีจำนวนเงื่อนไขอิสระตามอำเภอใจ:

. (10.2.25)

2) โมเมนต์ศูนย์กลางที่สี่ของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวแสดงโดยสูตร

การกระจายตัวของ และ อยู่ที่ไหน

หลักฐานก็เหมือนกับหลักฐานก่อนหน้าทุกประการ

การใช้วิธีการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ทำให้ง่ายต่อการพิสูจน์การวางนัยทั่วไปของสูตร (10.2.26) เป็นจำนวนเงื่อนไขอิสระตามอำเภอใจ

ดังที่ทราบแล้ว กฎการแจกจ่ายกำหนดลักษณะตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม กฎหมายการจัดจำหน่ายมักไม่เป็นที่รู้จักและจำเป็นต้องจำกัดตัวเองให้มีข้อมูลน้อยกว่า ในบางครั้ง การใช้ตัวเลขที่อธิบายตัวแปรสุ่มโดยรวมนั้นมีประโยชน์มากกว่า ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม.

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่ง

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มโดยประมาณ

การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น

หากตัวแปรสุ่มมีลักษณะเฉพาะด้วยอนุกรมการแจกแจงแบบจำกัดขอบเขต:

X	x 1	x2	x 3	…	x น
R	หน้า 1	หน้า 2	หน้า 3	…	r p

แล้วการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ เอ็ม(เอ็กซ์)ถูกกำหนดโดยสูตร:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มอยู่ที่ไหน X.

ตัวอย่างที่ 4.7หาความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนแต้มที่หลุดออกมาเมื่อโยนลูกเต๋า

สารละลาย:

ค่าสุ่ม Xรับค่า 1, 2, 3, 4, 5, 6 มาสร้างกฎของการแจกแจงกัน:

X
R

จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ:

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่เอง:

M(S)=ส.

2. ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง:

M(CX) = ซม.(X)

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน:

M(XY) = ม.(X)ม.(Y).

ตัวอย่าง 4.8. ตัวแปรสุ่มอิสระ Xและ Yกำหนดโดยกฎหมายการจำหน่ายดังต่อไปนี้:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม XY

สารละลาย.

มาหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณเหล่านี้กัน:

ตัวแปรสุ่ม Xและ Yอิสระดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการ:

M(XY) = M(X)M(Y)=

ผลที่ตามมาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์จากตัวแปรสุ่มหลายตัวที่ไม่ขึ้นต่อกันมีค่าเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน

4. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว เท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข:

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

ผลที่ตามมาการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มหลายตัวจะเท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข

ตัวอย่าง 4.9ยิง 3 นัด มีโอกาสยิงโดนเป้าหมายเท่ากับ หน้า 1 = 0,4; p2= 0.3 และ หน้า 3= 0.6. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการตีทั้งหมด

สารละลาย.

จำนวนการยิงนัดแรกเป็นตัวแปรสุ่ม X 1ซึ่งสามารถรับได้เพียงสองค่า: 1 (hit) ด้วยความน่าจะเป็น หน้า 1= 0.4 และ 0 (พลาด) ด้วยความน่าจะเป็น คิว 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนครั้งที่ยิงนัดแรกเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะตี:

ในทำนองเดียวกัน เราพบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการเข้าชมในช็อตที่สองและสาม:

เอ็ม(X 2)= 0.3 และ M (X 3) \u003d 0,6.

จำนวนทั้งหมด hits ยังเป็นตัวแปรสุ่มที่ประกอบด้วยผลรวมของ hit ในแต่ละช็อตจากสามช็อต:

X \u003d X 1 + X 2 + X 3

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการ Xเราหาได้จากทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ การคาดหวังผลรวม

มูลค่าที่คาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม (การกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบอยู่กับที่) เมื่อจำนวนตัวอย่างหรือจำนวนการวัด (บางครั้งพวกเขาบอกว่าจำนวนการทดสอบ) มีแนวโน้มเป็นอนันต์

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มหนึ่งมิติของการทดลองจำนวนจำกัด มักเรียกว่า ประมาณการความคาดหวัง. เมื่อจำนวนการทดลองของกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่มีแนวโน้มเป็นอนันต์ การประมาณการของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มักจะเป็นไปตามการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีความน่าจะเป็น)

สารานุกรม YouTube

1 / 5

✪ ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ - bezbotvy

✪ ทฤษฎีความน่าจะเป็น 15: การคาดหมายทางคณิตศาสตร์

✪ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

✪ ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎี

✪ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในการซื้อขาย

คำบรรยาย

คำนิยาม

ให้ความน่าจะเป็น เว้นวรรค (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))และค่าสุ่มที่กำหนดไว้บนนั้น X (\displaystyle X). กล่าวคือโดยปริยาย X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) )เป็นฟังก์ชัน ที่วัดได้ หากมี a อินทิกรัล Lebesgue ของ X (\displaystyle X)ตามอวกาศ Ω (\displaystyle \Omega )จากนั้นจะเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์หรือค่ากลาง (คาดหวัง) และแสดงแทน M [ X ] (\displaystyle M[X])หรือ E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).

M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega))

สูตรพื้นฐานสำหรับการคาดหวังทางคณิตศาสตร์

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง

P (X = xi) = pi , ∑ i = 1 ∞ pi = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1),

ต่อจากนิยามของอินทิกรัลเลเบสส์โดยตรงว่า

M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าจำนวนเต็ม

P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ pj = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)

จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันสามารถแสดงในแง่ของการสร้าง ฟังก์ชัน ของลำดับ ( พี ) (\displaystyle \(p_(i)\))

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))

เป็นมูลค่าของอนุพันธ์อันดับ 1 ที่เอกภาพ: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). ถ้าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ X (\displaystyle X)อนันต์แล้ว lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty )และเราจะเขียน P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty )

ทีนี้มาดูฟังก์ชันการสร้างกัน ถาม (\displaystyle Q(s))ลำดับของ "หาง" ของการแจกแจง ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))

q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)

ฟังก์ชันการสร้างนี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ P (s) (\displaystyle P(s))คุณสมบัติ: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))ที่ | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . จากนี้ ตามทฤษฎีบทค่ากลาง มันตามมาว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์นั้นเท่ากับค่าของฟังก์ชันนี้เมื่อเป็นเอกภาพ:

M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1))

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบต่อเนื่องแน่นอน

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ xf X (x) dx (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สุ่ม

ปล่อยให้เป็น X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( ร) ^(n))เป็นเวกเตอร์สุ่ม แล้วตามคำนิยาม

M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\dots ,M)^(\top )),

กล่าวคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยองค์ประกอบ

การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรสุ่ม

ปล่อยให้เป็น g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) )เป็นฟังก์ชัน Borel  ที่ตัวแปรสุ่ม Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X))มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่จำกัด แล้วสูตรก็ใช้ได้นะ

M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (xi) pi , (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_( ฉัน))

ถ้า X (\displaystyle X)มีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) dx , (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x )f_(X)(x)\,dx,)

ถ้า X (\displaystyle X)มีการกระจายอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอน

ถ้าจะแจก P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X))ตัวแปรสุ่ม X (\displaystyle X)แบบทั่วไป แล้ว

M [ ก. (X) ] = ∫ − ∞ ∞ ก. (x) P X (ง x) . (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).)

ในกรณีพิเศษเมื่อ ก. (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), ค่าที่คาดหวัง M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M)เรียกว่า k (\displaystyle k)-m โมเมนต์ของตัวแปรสุ่ม

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

• การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขคือตัวมันเอง

M [ a ] ​​​​= a (\displaystyle M[a]=a) R (\displaystyle a\in \mathbb (R) )- คงที่;

• การคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง นั่นคือ

M [ a X + b Y ] = a M [ X ] + b M [ Y ] (\displaystyle M=aM[X]+bM[Y]), ที่ไหน X , Y (\displaystyle X,Y)เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จำกัด และ a , b ∈ R (\displaystyle a,b\in \mathbb (R) )- ค่าคงที่โดยพลการ 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] (\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]); M [ X ] = M [ Y ] (\displaystyle M[X]=M[Y]). M [ X Y ] = M [ X ] M [ Y ] (\displaystyle M=M[X]M[Y]).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็นของพวกมัน

ให้ตัวแปรสุ่มรับได้เฉพาะความน่าจะเป็นที่เท่ากันตามลำดับ จากนั้น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจะถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

หากตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องใช้ชุดค่าที่เป็นไปได้ที่นับได้ ดังนั้น

นอกจากนี้ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ยังมีอยู่หากอนุกรมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง

ความคิดเห็น จากคำจำกัดความว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นตัวแปรแบบไม่สุ่ม (ค่าคงที่)

นิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในกรณีทั่วไป

ให้เรากำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มซึ่งการแจกแจงไม่จำเป็นต้องแยกกัน เริ่มจากกรณีของตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ แนวคิดจะเป็นการประมาณตัวแปรสุ่มดังกล่าวด้วยความช่วยเหลือของตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งมีการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แล้ว และตั้งค่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ให้เท่ากับขีดจำกัดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่ใกล้เคียงกัน อย่างไรก็ตาม นี่เป็นแนวคิดทั่วไปที่มีประโยชน์มาก ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณลักษณะบางอย่างถูกกำหนดไว้ก่อนสำหรับออบเจกต์ธรรมดา จากนั้นสำหรับออบเจกต์ที่ซับซ้อนมากขึ้น จะถูกกำหนดโดยการประมาณพวกมันด้วยสิ่งที่ง่ายกว่า

บทแทรก 1. ปล่อยให้มีตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ค่าลบตามอำเภอใจ จากนั้นจะมีลำดับของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกันเช่นว่า

การพิสูจน์. ให้เราแบ่งเซมิแกนออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันของความยาวและกำหนด

จากนั้นคุณสมบัติ 1 และ 2 ก็ตามมาอย่างง่ายดายจากคำจำกัดความของตัวแปรสุ่มและ

บทแทรก 2 อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบและสองลำดับของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติ 1-3 จากเล็มมา 1 จากนั้น

การพิสูจน์. โปรดทราบว่าสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ค่าลบ เราอนุญาต

โดยคุณสมบัติ 3 จะเห็นได้ง่ายว่ามีลำดับของจำนวนบวกเช่นนั้น

ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

โดยใช้คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เราได้รับ

ผ่านไปยังขีดจำกัดในขณะที่เราได้รับการยืนยันของเล็มมา 2

คำจำกัดความ 1 อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ เป็นลำดับของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติ 1-3 จากเล็มมา 1 การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือตัวเลข

เล็มมา 2 รับประกันว่าจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกลำดับการประมาณ

ให้ตอนนี้เป็นตัวแปรสุ่มตามอำเภอใจ มากำหนดกัน

จากคำจำกัดความและตามนั้นง่าย ๆ ว่า

คำจำกัดความที่ 2 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มตามอำเภอใจคือตัวเลข

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งตัวเลขทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้เป็นจำนวนจำกัด

คุณสมบัติความคาดหวัง

คุณสมบัติ 1 การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่เอง:

การพิสูจน์. เราจะพิจารณาค่าคงที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้หนึ่งค่าและนำมาพิจารณาด้วยความน่าจะเป็น ดังนั้น

หมายเหตุ 1 เรากำหนดผลคูณของค่าคงที่โดยตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งค่าที่เป็นไปได้เท่ากับผลคูณของค่าคงที่โดยค่าที่เป็นไปได้ ความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้เท่ากับความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้เท่ากัน

คุณสมบัติ 2 ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง:

การพิสูจน์. ให้ตัวแปรสุ่มกำหนดโดยกฎการแจกแจงความน่าจะเป็น:

จากข้อสังเกต 1 เราเขียนกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

หมายเหตุ 2 ก่อนดำเนินการไปยังคุณสมบัติถัดไป เราชี้ให้เห็นว่าตัวแปรสุ่มสองตัวเรียกว่าอิสระ หากกฎการแจกแจงของหนึ่งในตัวแปรเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอื่น มิฉะนั้น ตัวแปรสุ่มจะขึ้นอยู่กับ ตัวแปรสุ่มหลายตัวเรียกว่าเป็นอิสระร่วมกันหากกฎการกระจายของจำนวนใด ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอื่น ๆ

หมายเหตุ 3 เรากำหนดผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระและเป็นตัวแปรสุ่มค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเท่ากับผลคูณของแต่ละค่าที่เป็นไปได้โดยแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ของผลิตภัณฑ์จะเท่ากัน ผลคูณของความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ของปัจจัย ตัวอย่างเช่น ถ้าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้คือ ความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ ความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้คือ

คุณสมบัติ 3 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

การพิสูจน์. ให้ตัวแปรสุ่มอิสระและกำหนดโดยกฎการแจกแจงความน่าจะเป็นของพวกมัน:

เขียนค่าทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้ ในการทำเช่นนี้ เราคูณค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วยค่าที่เป็นไปได้แต่ละค่า เป็นผลให้เราได้รับและโดยคำนึงถึงหมายเหตุ 3 เราเขียนกฎหมายการจัดจำหน่ายโดยสมมติเพื่อให้ง่ายว่าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของผลิตภัณฑ์นั้นแตกต่างกัน (หากไม่ใช่กรณีนี้การพิสูจน์จะดำเนินการในทำนองเดียวกัน):

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น:

ผลที่ตามมา ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์จากตัวแปรสุ่มหลายตัวที่ไม่ขึ้นต่อกันมีค่าเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน

คุณสมบัติ 4 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข:

การพิสูจน์. ให้ตัวแปรสุ่มและกำหนดโดยกฎการกระจายต่อไปนี้:

เขียนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปริมาณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มแต่ละค่าที่เป็นไปได้ให้กับแต่ละค่าที่เป็นไปได้ เราได้รับ สมมติให้ง่ายว่าค่าที่เป็นไปได้เหล่านี้แตกต่างกัน (หากไม่ใช่กรณีนี้การพิสูจน์จะดำเนินการในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน) และแสดงถึงความน่าจะเป็นตามลำดับ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าหนึ่งเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ตามความน่าจะเป็น:

ให้เราพิสูจน์ว่าเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการรับค่า (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เท่ากัน) ทำให้เกิดเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการรับค่าหรือ (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เท่ากับโดยทฤษฎีบทการบวก) และในทางกลับกัน จึงเกิดความเท่าเทียมกันว่า

แทนที่ส่วนที่ถูกต้องของความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นความสัมพันธ์ (*) เราได้รับ

หรือสุดท้าย

การกระจายตัวและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ในทางปฏิบัติ มักจำเป็นต้องประมาณการกระจายของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มรอบๆ ค่ากลาง ตัวอย่างเช่น ในปืนใหญ่ สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่ากระสุนจะตกใกล้กับเป้าหมายที่ควรโดนมากแค่ไหน

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการประเมินการกระเจิงคือการคำนวณค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม แล้วหาค่าเฉลี่ยของพวกมัน อย่างไรก็ตาม เส้นทางนี้จะไม่ให้อะไรเลย เนื่องจากค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนคือ สำหรับตัวแปรสุ่มใดๆ จะเป็นศูนย์ คุณสมบัตินี้อธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้บางอย่างเป็นค่าบวก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ เป็นค่าลบ อันเป็นผลมาจากการยกเลิกร่วมกัน ค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนจะเป็นศูนย์ ข้อควรพิจารณาเหล่านี้บ่งบอกถึงความได้เปรียบในการแทนที่ค่าเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ด้วยค่าสัมบูรณ์หรือกำลังสอง นั่นคือวิธีที่พวกเขาทำในทางปฏิบัติ จริง ในกรณีที่ความเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ถูกแทนที่ด้วยค่าสัมบูรณ์ เราต้องดำเนินการด้วยค่าสัมบูรณ์ ซึ่งบางครั้งนำไปสู่ปัญหาร้ายแรง ดังนั้นส่วนใหญ่มักจะไปทางอื่นเช่น คำนวณค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองซึ่งเรียกว่าความแปรปรวน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ของตัวแปรสุ่ม X ที่กำหนดบนช่องว่างความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องคือตัวเลข m =M[X]=∑x i p i หากอนุกรมมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง

งานบริการ. ด้วยบริการออนไลน์ คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน(ดูตัวอย่าง). นอกจากนี้ยังมีการลงจุดกราฟของฟังก์ชันการกระจาย F(X)

คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับตัวมันเอง: M[C]=C , C เป็นค่าคงที่;
2. เอ็ม=ซี เอ็ม[เอ็กซ์]
3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน: M=M[X]+M[Y]
4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน: M=M[X] M[Y] ถ้า X และ Y เป็นอิสระ

คุณสมบัติการกระจาย

1. การกระจายตัวของค่าคงที่เท่ากับศูนย์: D(c)=0
2. แฟคเตอร์คงที่สามารถนำออกมาจากใต้เครื่องหมายการกระจายโดยการยกกำลังสองมัน: D(k*X)= k 2 D(X).
3. หากตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระจากกัน ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน: D(X+Y)=D(X)+D(Y)
4. หากตัวแปรสุ่ม X และ Y ขึ้นอยู่กับ: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. สำหรับความแปรปรวน สูตรคำนวณนั้นใช้ได้:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

ตัวอย่าง. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว X และ Y เป็นที่รู้จัก: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Z=9X-8Y+7
สารละลาย. ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
ตามคุณสมบัติการกระจาย: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง: ค่าทั้งหมดสามารถเรียงลำดับใหม่ได้ด้วยตัวเลขธรรมชาติ กำหนดค่าความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละค่า

1. คูณคู่ทีละคู่: x i โดย p i
2. เราเพิ่มผลคูณของแต่ละคู่ x i p i .
   ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจะเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหัน ณ จุดที่มีความน่าจะเป็นเป็นบวก

ตัวอย่าง # 1

x ฉัน	1	3	4	7	9
ปี่	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์หาได้จากสูตร m = ∑x i p i
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
การกระจายตัวพบได้จากสูตร d = ∑x 2 i p i - M[x] 2
การกระจายตัว D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

ตัวอย่าง # 2 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องมีชุดการแจกแจงดังต่อไปนี้:

X	-10	-5	0	5	10
R	แต่	0,32	2เอ	0,41	0,03

ค้นหาค่า a การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนี้

สารละลาย. พบค่า a จากความสัมพันธ์: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 หรือ 0.24=3 a ดังนั้น a = 0.08

ตัวอย่าง #3 กำหนดกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องถ้าทราบความแปรปรวนของตัวแปรนั้น และ x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
หน้า 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; หน้า 4 \u003d 0.3
d(x)=12.96

สารละลาย.
ที่นี่คุณต้องสร้างสูตรเพื่อค้นหาความแปรปรวน d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
โดยที่ความคาดหวัง m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
สำหรับข้อมูลของเรา
ม.(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
หรือ -9/100 (x 2 -20x+96)=0
ดังนั้นจึงจำเป็นต้องหารากของสมการและจะมีสองราก
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
เราเลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข x 1 x3=12

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
หน้า 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; หน้า 4 \u003d 0.3