รูปใดไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมคืออะไร? จำนวนจุดยอดทั้งหมด

เนื้อหาของบทความ

โพลีเฮดรอน,ส่วนของปริภูมิที่ล้อมรอบด้วยกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมระนาบจำนวนจำกัดที่เชื่อมต่อกันในลักษณะที่แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ เป็นด้านของรูปหลายเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง (เรียกว่า ที่อยู่ติดกัน) โดยมีรูปหลายเหลี่ยมหนึ่งวงรอบพอดีแต่ละจุดยอด รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่าใบหน้า ด้านข้างเรียกว่าขอบ และจุดยอดเรียกว่าจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ในรูป 1 แสดงรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงหลายจุด สองอันแรกใช้เป็นตัวอย่าง ร-ปิรามิดถ่านหินเช่น รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วย ร-รูปสามเหลี่ยมที่เรียกว่าฐาน และ รสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับฐานและมีจุดยอดร่วม (เรียกว่าจุดยอดของปิรามิด) ที่ ร = 3 (ซม. ข้าว. 1, ก) ใบหน้าใดๆ ของปิรามิดสามารถใช้เป็นฐานได้ ปิระมิดที่มีฐานมีรูปร่างเหมือนปกติ ร-gon เรียกว่าปกติ ร-ปิรามิดถ่านหิน ดังนั้นเราจึงสามารถพูดคุยเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมจตุรัส ห้าเหลี่ยมปกติ ฯลฯ ปิรามิด ในรูป 1, วี, 1,ชและ 1 งมีการระบุตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมบางประเภท โดยจุดยอดสามารถแบ่งออกเป็นสองชุดที่มีจำนวนคะแนนเท่ากัน จุดของแต่ละเซตคือจุดยอด ร-gon และเครื่องบินของทั้งสอง พี-gons ขนานกัน ถ้าสองคนนี้. ร-gon (ฐาน) มีความเท่ากันทุกประการและตั้งอยู่เพื่อให้จุดยอดของจุดหนึ่ง ร ร-gon โดยส่วนตรงที่ขนานกันแล้วจึงเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม ร- ปริซึมคาร์บอน ตัวอย่างของทั้งสอง ร-ปริซึมเชิงมุมสามารถทำหน้าที่เป็นปริซึมสามเหลี่ยมได้ ( ร= 3) ในรูป 1, วีและปริซึมห้าเหลี่ยม ( ร= 5) ในรูป 1, ช. ถ้าฐานนั้นอยู่สูงจนยอดอันใดอันหนึ่ง ร-gon เชื่อมต่อกับจุดยอดของอีกจุดหนึ่ง ร-gon ของเส้นซิกแซกหักประกอบด้วย 2 รส่วนตรงดังในรูป 1, งแล้วจึงเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าว ร- แอนติปริซึมคาร์บอน

นอกจากเหตุผลสองประการแล้ว ร-มีปริซึมคาร์บอนให้เลือก รใบหน้า - สี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปริซึมจะเรียกว่าเส้นตรง และถ้านอกจากนี้ ฐานยังเป็นเส้นตรง ร-gons จากนั้นปริซึมเรียกว่าขวาปกติ ร- ปริซึมคาร์บอน ร-สารต่อต้านปริซึมคาร์บอนมี (2 พี+2) ใบหน้า: 2 รใบหน้ารูปสามเหลี่ยมและสอง พี- ฐานถ่านหิน หากฐานมีความสม่ำเสมอเท่ากัน ร- กอน และเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์กลางตั้งฉากกับระนาบ จากนั้นแอนติปริซึมเรียกว่าเส้นตรงปกติ ร- แอนติปริซึมคาร์บอน

ในคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยม ประโยคสุดท้ายถูกสร้างขึ้นเพื่อแยกความผิดปกติเช่นปิรามิดสองตัวที่มีจุดยอดร่วมออกจากการพิจารณา ตอนนี้เราแนะนำข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับชุดของโพลีท็อปที่ยอมรับได้ โดยกำหนดให้ไม่มีหน้าสองหน้าตัดกัน ดังในรูป 1, จ. รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้จะแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วน โดยส่วนหนึ่งมีขอบเขตจำกัดและเรียกว่า "ภายใน" อีกส่วนที่เหลือเรียกว่าภายนอก

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่านูน ถ้าไม่ใช่ส่วนของเส้นตรงเส้นเดียวที่เชื่อมจุดสองจุดใดๆ เข้าด้วยกัน จะมีจุดที่เป็นพื้นที่ภายนอก รูปทรงหลายเหลี่ยมในรูป 1, ก, 1,ข, 1,วีและ 1 งนูนและปริซึมห้าเหลี่ยมในรูป 1, ชไม่นูน เนื่องจาก เช่น ส่วน PQมีจุดต่างๆ อยู่ในปริภูมิภายนอกของปริซึม

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่าปกติหากตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้:

283(i) ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เท่ากันทุกประการ

(ii) จุดยอดแต่ละจุดมีจำนวนหน้าที่อยู่ติดกันเท่ากัน

หากขอบทั้งหมดถูกต้อง ร-gons และ ถามซึ่งอยู่ติดกับจุดยอดแต่ละจุด ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นเขียนแทนด้วย ( พี, ถาม). สัญกรณ์นี้เสนอโดย L. Schläfli (1814–1895) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้รับผิดชอบผลลัพธ์ที่สวยงามมากมายในเรขาคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบไม่นูนซึ่งมีใบหน้าตัดกันและเรียกว่า "รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวปกติ" เนื่องจากเราตกลงที่จะไม่พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าว โดยรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เราจะหมายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนโดยเฉพาะ

ของแข็งพลาโทนิก

ในรูป 2 แสดงรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ สิ่งที่ง่ายที่สุดคือจัตุรมุขปกติซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูปและมีใบหน้าสามหน้าอยู่ติดกับจุดยอดแต่ละจุด จัตุรมุขสอดคล้องกับสัญกรณ์ (3, 3) นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่ากรณีพิเศษของปิรามิดสามเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติที่มีชื่อเสียงที่สุดคือลูกบาศก์ (บางครั้งเรียกว่ารูปทรงหกเหลี่ยมแบบปกติ) ซึ่งเป็นปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสตรง โดยทั้งหกหน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากแต่ละจุดยอดมีสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 ช่องอยู่ติดกัน ลูกบาศก์จึงถูกกำหนดไว้ (4, 3) หากมีปิรามิดสี่เหลี่ยมจตุรัสที่เท่ากันทุกประการซึ่งมีใบหน้าที่มีรูปร่างเหมือนสามเหลี่ยมด้านเท่ามารวมกันที่ฐาน ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เรียกว่าทรงแปดหน้าปกติ มันถูกจำกัดด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดรูป แต่ละจุดยอดอยู่ติดกับสามเหลี่ยมสี่รูป ดังนั้นสัญกรณ์ (3, 4) จึงสอดคล้องกัน รูปแปดด้านปกติยังถือเป็นกรณีพิเศษของการต่อต้านปริซึมรูปสามเหลี่ยมปกติโดยตรง ตอนนี้ให้เราพิจารณาการต่อต้านปริซึมห้าเหลี่ยมปกติแบบตรง ซึ่งใบหน้ามีรูปร่างเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และปิรามิดห้าเหลี่ยมปกติสองอัน ซึ่งมีฐานที่เท่ากันทุกประการกับฐานของแอนติปริซึม และใบหน้ามีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า หากปิรามิดเหล่านี้ติดอยู่กับแอนติปริซึมโดยจัดฐานของมันเราจะได้รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอีกอัน ใบหน้าจำนวน 20 หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยมีหน้า 5 หน้าอยู่ติดกับจุดยอดแต่ละจุด รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่า icosahedron ปกติและเขียนแทนด้วย (3, 5) นอกจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสี่แบบที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีอีกแบบหนึ่งอีกด้วย - รูปทรงสิบสองเหลี่ยมแบบปกติซึ่งจำกัดด้วยใบหน้าห้าเหลี่ยมสิบสองหน้า จุดยอดแต่ละจุดอยู่ติดกับหน้าทั้งสาม ดังนั้นรูปทรงสิบสองหน้าจึงเขียนแทนด้วย (5, 3)

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งห้าที่ระบุไว้ข้างต้น หรือเรียกอีกอย่างว่า "ของแข็งสงบ" ได้ดึงดูดจินตนาการของนักคณิตศาสตร์ นักลึกลับ และนักปรัชญาในสมัยโบราณเมื่อกว่าสองพันปีก่อน ชาวกรีกโบราณได้สร้างความสัมพันธ์อันลึกลับระหว่างจัตุรมุข ลูกบาศก์ ทรงแปดหน้า และทรงโคซาเฮดรอน และหลักการทางธรรมชาติทั้งสี่ ได้แก่ ไฟ ดิน ลม และน้ำ สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ห้า ซึ่งเรียกว่า สิบสองหน้า พวกเขาถือว่ามันเป็นรูปร่างของจักรวาล แนวคิดเหล่านี้ไม่ได้เป็นเพียงเรื่องในอดีตเท่านั้น และตอนนี้ สองพันปีต่อมา หลายคนถูกดึงดูดโดยหลักสุนทรีย์ที่ซ่อนอยู่ ความจริงที่ว่าพวกเขาไม่ได้สูญเสียความน่าดึงดูดมาจนถึงทุกวันนี้เป็นหลักฐานที่น่าเชื่อถือมากจากภาพวาดของศิลปินชาวสเปน Salvador Dali พระกระยาหารมื้อสุดท้าย.

ชาวกรีกโบราณยังได้ศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตหลายประการของของแข็งพลาโตนิก ผลการวิจัยสามารถพบได้ในหนังสือเล่มที่ 13 เริ่มยุคลิด. การศึกษาของแข็ง Platonic และตัวเลขที่เกี่ยวข้องยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ แม้ว่าความงามและความสมมาตรเป็นแรงจูงใจหลักสำหรับการวิจัยสมัยใหม่ แต่ก็ยังมีความสำคัญทางวิทยาศาสตร์อยู่บ้าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านผลึกศาสตร์ ผลึกของเกลือแกง โซเดียมไธโอแอนติโมไนด์ และโครเมียมสารส้มเกิดขึ้นในธรรมชาติในรูปของลูกบาศก์ จัตุรมุข และแปดด้านตามลำดับ ไม่พบ icosahedron และ dodecahedron ในรูปแบบผลึก แต่สามารถสังเกตได้ในรูปแบบของสิ่งมีชีวิตในทะเลด้วยกล้องจุลทรรศน์ที่เรียกว่า radiolarians

จำนวนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

เป็นเรื่องปกติที่จะถามว่า นอกจากของแข็งพลาโตนิกแล้ว ยังมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ อีกหรือไม่ ตามข้อควรพิจารณาง่ายๆ ต่อไปนี้ คำตอบต้องเป็นค่าลบ อนุญาต ( พี, ถาม) เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติตามอำเภอใจ เนื่องจากขอบของมันถูกต้อง ร-เหลี่ยม ซึ่งเป็นมุมภายในที่แสดงให้เห็นได้ง่ายว่ามีค่าเท่ากัน (180 – 360/ ร) หรือ 180 (1 – 2/ ร) องศา เนื่องจากรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม) นูน ผลรวมของมุมภายในตลอดใบหน้าที่อยู่ติดกับจุดยอดใดๆ จะต้องน้อยกว่า 360 องศา แต่แต่ละยอดอยู่ติดกัน ถามใบหน้าจึงต้องสนองความไม่เท่าเทียมกัน

มันไม่ยากที่จะเห็นสิ่งนั้น พีและ ถามต้องมากกว่า 2 แทนใน (1) ร= 3 เราพบว่ามีเพียงค่าที่ถูกต้องเท่านั้น ถามในกรณีนี้คือ 3, 4 และ 5 เช่น เราได้รูปทรงหลายเหลี่ยม (3, 3), (3, 4) และ (3, 5) ที่ ร= 4 เป็นค่าที่ถูกต้องเพียงค่าเดียว ถามคือ 3 นั่นคือ รูปทรงหลายเหลี่ยม (4, 3) ด้วย ร= 5 อสมการ (1) ก็เป็นไปตามเท่านั้น ถาม= 3 เช่น รูปทรงหลายเหลี่ยม (5, 3) ที่ พี> 5 ค่าที่ถูกต้อง ถามไม่ได้อยู่. ดังนั้นจึงไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติอื่นๆ ยกเว้นของแข็งพลาโตนิก

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งห้าแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง สามคอลัมน์สุดท้ายหมายถึง เอ็น 0 – จำนวนจุดยอด เอ็น 1 – จำนวนขอบ และ เอ็น 2 คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมแต่ละหน้า

น่าเสียดายที่คำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ให้ไว้ในตำราเรียนเรขาคณิตหลายเล่มยังไม่สมบูรณ์ ข้อผิดพลาดทั่วไปคือ คำจำกัดความต้องการเพียงเงื่อนไข (i) ข้างต้นจึงจะบรรลุผล แต่ละเลยเงื่อนไข (ii) ในขณะเดียวกัน เงื่อนไข (ii) เป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่ง ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายที่สุดโดยการพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่ตรงตามเงื่อนไข (i) แต่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข (ii) ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของประเภทนี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยการระบุใบหน้าของจัตุรมุขปกติกับใบหน้าของจัตุรมุขอีกอันที่เท่ากันกับครั้งแรก ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งใบหน้าทั้ง 6 ด้านเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากันทุกประการ อย่างไรก็ตาม จุดยอดบางจุดมีหน้าสามหน้าอยู่ติดกัน ในขณะที่บางจุดมีสี่หน้าซึ่งฝ่าฝืนเงื่อนไข (ii)

ห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ
ชื่อ	บันทึกของชลาฟลี	เอ็น 0 (จำนวนจุดยอด)	เอ็น 1 (จำนวนซี่โครง)	เอ็น 2 (จำนวนใบหน้า)
จัตุรมุข
คิวบ์
แปดด้าน
ไอโคซาฮีดรอน
สิบสองหน้า

คุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใดๆ อยู่บนทรงกลม (ซึ่งแทบจะไม่น่าแปลกใจเลยถ้าเราจำได้ว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ อยู่บนวงกลม) นอกจากทรงกลมนี้เรียกว่า "ทรงกลมอธิบาย" แล้ว ยังมีทรงกลมที่สำคัญอีกสองทรงกลม หนึ่งในนั้นคือ "ทรงกลมมัธยฐาน" ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบทั้งหมด และอีกอันคือ "ทรงกลมที่ถูกจารึกไว้" สัมผัสทุกใบหน้าที่อยู่ตรงกลาง ทรงกลมทั้งสามมีจุดศูนย์กลางร่วมซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมคู่

พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ( พี, ถาม) และทรงกลมตรงกลาง ส. จุดกึ่งกลางของขอบแต่ละด้านสัมผัสกับทรงกลม แทนที่แต่ละขอบด้วยส่วนที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสถึง สณ จุดเดียวกันที่เราได้รับ เอ็น 1 ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่กับรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม). ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่นั้นสม่ำเสมอ ถาม-gons และแต่ละจุดยอดอยู่ติดกัน รใบหน้า ดังนั้น รูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม) เป็นคู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ( ถาม, พี). รูปทรงหลายเหลี่ยม (3, 3) เป็นแบบคู่กับรูปทรงหลายเหลี่ยมอีกแบบหนึ่ง (3, 3) ซึ่งเท่ากันทุกประการกับรูปทรงเดิม (ดังนั้น (3, 3) จึงเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบคู่ในตัว) รูปทรงหลายเหลี่ยม (4, 3) เป็นแบบคู่กับ รูปทรงหลายเหลี่ยม (3, 4) และรูปทรงหลายเหลี่ยม (5, 3) เป็นแบบคู่ – รูปทรงหลายเหลี่ยม (3, 5) ในรูป รูปทรงหลายเหลี่ยม 3 รูป (4, 3) และ (3, 4) แสดงเป็นความเป็นคู่ต่อกัน นอกจากนี้ แต่ละจุดยอด แต่ละขอบ และแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม) สอดคล้องกับหน้าเดียว ขอบเดียว และจุดยอดเดียวของรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ ( ถาม, พี). ดังนั้น ถ้า ( พี, ถาม) มันมี เอ็น 0 ยอดเขา เอ็นซี่โครง 1 ชิ้น และ เอ็น 2 ใบหน้าแล้ว ( ถาม, พี) มันมี เอ็น 2 ยอด เอ็นซี่โครง 1 ชิ้น และ เอ็น 0 ใบหน้า

เนื่องจากแต่ละ เอ็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ 2 หน้า ( พี, ถาม) ถูก จำกัด รขอบและขอบแต่ละด้านจะเหมือนกันกับสองหน้าพอดี จากนั้นทั้งหมดก็จะมี พีเอ็น 2/2 ซี่โครง เลย เอ็น 1 = พีเอ็น 2 /2. รูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ ( ถาม, พี) ซี่โครงด้วย เอ็น 1 และ เอ็น 0 ใบหน้าดังนั้น เอ็น 1 = คิวเอ็น 0/2. ดังนั้นตัวเลข เอ็น 0 , เอ็น 1 และ เอ็น 2 สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ( พี, ถาม) มีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์

สมมาตร.

ความสนใจหลักในรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นเกิดจากความสมมาตรจำนวนมากที่พวกมันมีอยู่ ด้วยความสมมาตร (หรือการแปลงสมมาตร) ของรูปทรงหลายเหลี่ยม เราหมายถึงการเคลื่อนที่ของมันในลักษณะวัตถุแข็งเกร็งในอวกาศ (เช่น การหมุนรอบเส้นตรงบางเส้น การสะท้อนที่สัมพันธ์กับระนาบใดระนาบหนึ่ง เป็นต้น) ซึ่งจะออกจากเซตของจุดยอด ขอบ และใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ภายใต้การกระทำของการแปลงแบบสมมาตร จุดยอด ขอบหรือหน้าจะคงตำแหน่งเดิมไว้หรือถูกย้ายไปยังตำแหน่งเริ่มต้นของจุดยอดอื่น ขอบอื่น หรือหน้าอื่น

มีความสมมาตรอย่างหนึ่งที่เหมือนกันกับรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด เรากำลังพูดถึงการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ที่ทำให้จุดใดๆ อยู่ในตำแหน่งเดิม เราพบตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของความสมมาตรในกรณีของเส้นตรง ร- ปริซึมคาร์บอน อนุญาต ล– เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างศูนย์กลางของฐาน หันหลังกลับ ลเป็นจำนวนเต็มทวีคูณของมุม 360/ รองศาคือความสมมาตร ให้ต่อไป พี- ระนาบที่วิ่งผ่านตรงกลางระหว่างฐานขนานกับฐานเหล่านั้น การสะท้อนกลับสัมพันธ์กับระนาบ พี(การเคลื่อนไหวที่รับจุดใดก็ได้ ปอย่างแน่นอน ปў เช่นนั้น พีตัดกันส่วน พีพีўที่มุมขวาแล้วแบ่งครึ่ง) - สมมาตรอื่น รวมการสะท้อนที่สัมพันธ์กับระนาบ พีด้วยการเลี้ยวเป็นเส้นตรง ลเราจะได้สมมาตรอีกอัน

ความสมมาตรใดๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถแสดงเป็นผลคูณของการสะท้อนได้ การเคลื่อนไหวหลาย ๆ ครั้งของรูปทรงหลายเหลี่ยมในลักษณะของวัตถุแข็งเกร็ง ในที่นี้หมายถึงการดำเนินการของการเคลื่อนไหวส่วนบุคคลตามลำดับที่กำหนดไว้ล่วงหน้า เช่น การหมุนที่กล่าวมาข้างต้นเป็นมุม 360/ รองศารอบเส้นตรง ลคือผลคูณของการสะท้อนที่สัมพันธ์กับระนาบสองระนาบใดๆ ที่ประกอบด้วย ลและเกิดมุม 180/ สัมพันธ์กัน รองศา ความสมมาตรซึ่งเป็นผลคูณของการสะท้อนจำนวนคู่เรียกว่าโดยตรง ไม่อย่างนั้นจะเรียกว่าผกผัน ดังนั้น การหมุนรอบเส้นตรงใดๆ ก็ตามจะมีความสมมาตรโดยตรง การสะท้อนใดๆ ก็ตามคือความสมมาตรแบบย้อนกลับ

ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสมมาตรของจัตุรมุขนั่นคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (3, 3) เส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดยอดและจุดศูนย์กลางของจัตุรมุขจะผ่านจุดศูนย์กลางของด้านตรงข้าม การหมุน 120 หรือ 240 องศารอบเส้นตรงนี้เป็นหนึ่งในความสมมาตรของจัตุรมุข เนื่องจากจัตุรมุขมีจุดยอด 4 จุด (และ 4 หน้า) เราจึงได้สมมาตรตรงทั้งหมด 8 จุด เส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดกึ่งกลางของขอบของจัตุรมุขจะผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้าม การหมุน 180 องศา (ครึ่งรอบ) รอบเส้นตรงดังกล่าวก็มีความสมมาตรเช่นกัน เนื่องจากจัตุรมุขมีขอบ 3 คู่ เราจึงได้สมมาตรตรงเพิ่มอีก 3 เส้น ผลที่ตามมาคือจำนวนสมมาตรโดยตรงทั้งหมด รวมถึงการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ถึง 12 แสดงให้เห็นว่าไม่มีสมมาตรโดยตรงอื่นใด และมีสมมาตรกลับด้าน 12 อัน ดังนั้น จัตุรมุขจึงมีสมมาตรทั้งหมด 24 อัน เพื่อความชัดเจน การสร้างแบบจำลองกระดาษแข็งของจัตุรมุขธรรมดานั้นมีประโยชน์ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าจัตุรมุขนั้นมีความสมมาตร 24 ส่วนจริงๆ การพัฒนาที่สามารถตัดออกจากกระดาษแข็งบางๆ แล้วพับติดกาวเข้าด้วยกันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าอันได้แสดงไว้ในรูปที่. 4.

ความสมมาตรโดยตรงของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่เหลือสามารถอธิบายได้ไม่แยกจากกัน แต่ทั้งหมดรวมกัน ให้เราตกลงที่จะทำความเข้าใจโดย ( พี, ถาม) รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ยกเว้น (3, 3) เส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ( พี, ถาม) และจุดยอดใดๆ ผ่านจุดยอดตรงข้าม และการหมุนใดๆ ด้วยจำนวนเต็มทวีคูณของ 360/ ถามองศารอบเส้นนี้คือสมมาตร ดังนั้น สำหรับแต่ละบรรทัดดังกล่าวจึงมีอยู่ รวมถึงการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ด้วย ( ถาม– 1) ความสมมาตรที่แตกต่างกัน เส้นตรงแต่ละเส้นเชื่อมต่อสองเส้นเข้าด้วยกัน เอ็น 0 จุดยอด; ดังนั้นจำนวนเส้นตรงดังกล่าวทั้งหมดจึงเท่ากับ เอ็น 0 /2 ซึ่งให้ ( ถาม – 1) > เอ็น 0/2 สมมาตร นอกจากนี้ เส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม) และจุดศูนย์กลางของหน้าใดๆ จะผ่านจุดศูนย์กลางของหน้าด้านตรงข้าม และการหมุนรอบเส้นดังกล่าวด้วยจำนวนเต็มทวีคูณของ 360/ รองศาคือความสมมาตร เนื่องจากจำนวนบรรทัดดังกล่าวทั้งหมดมีค่าเท่ากับ เอ็น 2/2, ที่ไหน เอ็น 2 – จำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม), เราได้รับ ( พี – 1) เอ็น 2/2 ความสมมาตรต่างๆ รวมถึงการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ สุดท้าย เส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดกึ่งกลางของขอบใดๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม) ผ่านตรงกลางของขอบด้านตรงข้าม และสมมาตรจะอยู่ครึ่งรอบรอบเส้นนี้ เนื่องจากมี เอ็น 1/2 เส้นดังกล่าว โดยที่ เอ็น 1 – จำนวนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม) เราได้รับมากขึ้น เอ็น 1/2 สมมาตร โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ที่เราได้รับ

สมมาตรโดยตรง ไม่มีความสมมาตรโดยตรงอื่นใด และมีความสมมาตรกลับด้านมากพอๆ กัน

แม้ว่าจะไม่ได้รับสูตร (3) สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยม (3, 3) แต่ก็ง่ายที่จะตรวจสอบได้ว่าเป็นจริงด้วย ดังนั้น รูปทรงหลายเหลี่ยม (3, 3) มีความสมมาตรตรง 12 ด้าน รูปทรงหลายเหลี่ยม (4, 3) และ (3, 4) มีสมมาตร 24 ด้าน และรูปทรงหลายเหลี่ยม (5, 3) และ (3, 5) มี 60 สมมาตร

ผู้อ่านที่คุ้นเคยกับพีชคณิตนามธรรมจะเข้าใจว่าความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม) จัดกลุ่มตาม "การคูณ" ที่กำหนดไว้ข้างต้น ในกลุ่มนี้ สมมาตรโดยตรงจะก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยของดัชนี 2 และสมมาตรย้อนกลับจะไม่ก่อตัวเป็นกลุ่ม เนื่องจากพวกมันละเมิดคุณสมบัติความปิดและไม่มีการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ (องค์ประกอบหน่วยของกลุ่ม) โดยปกติกลุ่มของสมมาตรโดยตรงจะเรียกว่ากลุ่มของรูปทรงหลายเหลี่ยม และกลุ่มของสมมาตรทั้งหมดเรียกว่ากลุ่มขยาย จากคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ที่กล่าวถึงข้างต้น เห็นได้ชัดว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่มีกลุ่มเดียวกัน หมู่จัตุรมุขเรียกว่ากลุ่มจัตุรมุข หมู่คิวบ์และแปดหน้าเรียกว่ากลุ่มแปดหน้า และกลุ่มสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนเรียกว่ากลุ่มไอโคซาฮีดรอน พวกมันอยู่ในกลุ่มที่สลับกัน กสัญลักษณ์ 4 ใน 4 กลุ่มสมมาตร ส 4 ใน 4 สัญลักษณ์และกลุ่มสลับกัน ก 5 ใน 5 ตัวอักษรตามลำดับ

สูตรของออยเลอร์

เมื่อดูที่ตาราง คุณจะสังเกตเห็นความสัมพันธ์ที่น่าสนใจระหว่างจำนวนจุดยอด เอ็น 0 จำนวนขอบ เอ็น 1 และจำนวนใบหน้า เอ็น 2 รูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินูนใดๆ ( พี, ถาม). มันเป็นเรื่องของอัตราส่วน

แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสูตร (3) และ (4) เราจะได้ว่าจำนวนสมมาตรโดยตรงของรูปทรงหลายเหลี่ยม ( พี, ถาม) เท่ากับ

ตัวเลขนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งที่เทียบเท่ากัน: คิวเอ็น 0 , 2เอ็น 1 หรือ พีเอ็น 2 .

ขอบเขตการใช้สูตรออยเลอร์

ความสำคัญของสูตรของออยเลอร์ได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นโดยข้อเท็จจริงที่ว่ามันใช้ได้กับไม่เพียงแต่กับของแข็งพลาโตนิกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงโฮโมมอร์ฟิกรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ กับทรงกลมด้วย ( ซม. โทโพโลยี) ข้อความนี้ได้รับการพิสูจน์ดังนี้

อนุญาต ป– รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบโฮโมมอร์ฟิกใด ๆ ที่เป็นทรงกลมด้วย เอ็น 0 จุดยอด, เอ็นซี่โครง 1 ชิ้น และ เอ็น 2 ใบหน้า; อนุญาต ค = เอ็น 0 – เอ็น 1 + เอ็น 2 – คุณลักษณะออยเลอร์ของรูปทรงหลายเหลี่ยม ป. จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ค= 2. เนื่องจาก รเป็นโฮโมมอร์ฟิกเป็นทรงกลม เราสามารถลบหน้าหนึ่งออกแล้วแปลงส่วนที่เหลือเป็นการกำหนดค่าบางอย่างบนระนาบ (เช่นในรูปที่ 5 กและ 5 ขคุณเห็นปริซึมโดยเอาระนาบด้านหน้าออก) "โครงร่างระนาบ" คือโครงข่ายของจุดและส่วนของเส้นตรงที่เรียกว่า "จุดยอด" และ "ขอบ" ตามลำดับ โดยจุดยอดทำหน้าที่เป็นส่วนปลายของขอบ เราพิจารณาจุดยอดและขอบของโครงร่างที่เรากำลังพิจารณาว่าจะถูกแทนที่ด้วยจุดยอดและขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ผิดรูป ดังนั้นการกำหนดค่านี้จึงมี เอ็น 0 จุดยอดและ เอ็น 1ซี่โครง พักผ่อน เอ็นใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม 2 – 1 ใบหน้าถูกเปลี่ยนรูปเป็น เอ็น 2 – 1 พื้นที่ที่ไม่ทับซ้อนกันบนระนาบที่กำหนดโดยโครงร่าง ลองเรียกพื้นที่เหล่านี้ว่า "ใบหน้า" ของการกำหนดค่า จุดยอด ขอบ และพื้นผิวของโครงร่างจะกำหนดคุณลักษณะของออยเลอร์ ซึ่งในกรณีนี้จะเท่ากับ ค – 1.

ตอนนี้เราจะทำการแบนเพื่อว่าถ้าใบหน้าที่ถูกลบออกนั้น ร-สี่เหลี่ยม แค่นั้นแหละ เอ็นใบหน้าการกำหนดค่า 2 – 1 จะเติมเต็มการตกแต่งภายใน ร-กอน อนุญาต ก– จุดยอดบางส่วนอยู่ข้างใน ร-กอน สมมุติว่าใน กมาบรรจบกัน รซี่โครง ถ้าคุณลบ กและนั่นคือทั้งหมด รขอบมาบรรจบกันจากนั้นจำนวนจุดยอดจะลดลง 1 ขอบ - ทีละ ร, ใบหน้า – เปิด ร – 1 (ซม. ข้าว. 5, ขและ 5 วี). การกำหนดค่าใหม่ Nў 0 = เอ็น 0 – 1 จุดยอด Nў 1 = เอ็น 1 – รซี่โครงและ Nў 2 = เอ็น 2 – 1 – (ร– 1) ใบหน้า; เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น การลบจุดยอดภายในหนึ่งจุดออกและขอบที่มาบรรจบกันที่จุดนั้นจะไม่เปลี่ยนคุณลักษณะออยเลอร์ของโครงแบบ ดังนั้น ด้วยการลบจุดยอดภายในและขอบที่มาบรรจบกัน เราจะลดการกำหนดค่าลง ร-มุมและการตกแต่งภายใน (รูปที่ 5, ช). แต่คุณลักษณะออยเลอร์จะยังคงเท่ากับ ค– 1 และเนื่องจากการกำหนดค่าได้ รยอดเขา, รขอบและ 1 หน้า เราได้

ดังนั้น, ค= 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ต่อไป เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าคุณลักษณะออยเลอร์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่ากับ 2 รูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นก็จะมีลักษณะเป็นโฮโมมอร์ฟิกของทรงกลม กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถสรุปผลลัพธ์ที่ได้ข้างต้นได้โดยการแสดงว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นมีรูปทรงโฮโมมอร์ฟิกของทรงกลม ถ้าหากคุณลักษณะออยเลอร์ของมันเท่ากับ 2 เท่านั้น

สูตรออยเลอร์ทั่วไป

ในการจำแนกรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นๆ จะใช้สูตรออยเลอร์ทั่วไป หากรูปทรงหลายเหลี่ยมมีจุดยอด 16 จุด ขอบ 32 ด้าน และมีหน้า 16 หน้า คุณลักษณะของออยเลอร์จะเป็น 16 - 32 + 16 = 0 ซึ่งช่วยให้เราสามารถระบุได้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนี้อยู่ในประเภทชั้นของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบโฮโมมอร์ฟิกของพรู ลักษณะเด่นของคลาสนี้คือคุณลักษณะออยเลอร์ซึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ โดยทั่วไปแล้วให้ ร– รูปทรงหลายเหลี่ยมด้วย เอ็น 0 จุดยอด, เอ็นซี่โครง 1 ชิ้น และ เอ็น 2 ใบหน้า พวกเขาบอกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมที่ให้มานั้นมีลักษณะเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับพื้นผิวของสกุล nถ้าและถ้าเท่านั้น

ท้ายที่สุด ควรสังเกตว่าสถานการณ์จะซับซ้อนขึ้นอย่างมากหากเราผ่อนคลายข้อจำกัดก่อนหน้านี้ที่ว่าต้องไม่มีใบหน้าสองหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมตัดกัน ตัวอย่างเช่น มีความเป็นไปได้ที่จะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิกสองตัวที่มีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เหมือนกัน ควรแยกความแตกต่างด้วยคุณสมบัติทอพอโลยีอื่นๆ

รูปทรงหลายเหลี่ยม คือตัวที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบน องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้แก่ ยอดเขา , ซี่โครง และ ขอบ . รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูน ถ้าทั้งหมดอยู่ด้านหนึ่งของระนาบของใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง ถูกต้อง คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติจำนวน 5 ชิ้น ซึ่งถูกสำรวจและอธิบายครั้งแรกโดยเพลโต ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 5 - 4 ก่อนคริสต์ศักราช ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้จึงถูกเรียกว่า “ ของแข็งพลาโทนิก ».

1. จัตุรมุข (จัตุรมุข - ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ) - จุดยอด 4 จุด, 4 ใบหน้า - สามเหลี่ยม

2. รูปทรงหกเหลี่ยม (หกเหลี่ยม - ลูกบาศก์) - 8 จุดยอด 6 หน้า - สี่เหลี่ยม

3. แปดด้าน (แปดหน้า) – 6 จุดยอด, 8 หน้า – สามเหลี่ยม

4. ไอโคซาฮีดรอน (ยี่สิบด้าน) - 12 จุดยอด, 20 หน้า - สามเหลี่ยม

5. สิบสองหน้า (สิบสองหน้า) - 20 จุดยอด, 12 ใบหน้า - ห้าเหลี่ยม

สูตรของออยเลอร์สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

บี + ก – พี =2

ที่ไหน ใน -จำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

จี -จำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ร -จำนวนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม

จากความหลากหลายของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน สิ่งที่น่าสนใจในทางปฏิบัติมากที่สุดคือ:

1) ปริซึม – รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบด้านข้างขนานกัน และใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2) ปิรามิด – รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีขอบด้านข้างตัดกันที่จุดหนึ่ง—จุดยอด;

3) ปริซึม – รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่อยู่ในระนาบขนานกันและเรียกว่าฐาน และรูปสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งจุดยอดคือจุดยอดของฐาน (รูปที่ 8.1)

แม้ว่า Stereometry จะได้รับการศึกษาเฉพาะในโรงเรียนมัธยมเท่านั้น แต่เด็กนักเรียนทุกคนจะคุ้นเคยกับลูกบาศก์ ปิรามิดปกติ และรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบเรียบง่ายอื่นๆ ธีม "รูปทรงหลายเหลี่ยม" มีการใช้งานที่สดใส รวมถึงการทาสีและสถาปัตยกรรม นอกจากนี้ในการแสดงออกโดยนัยของนักวิชาการ Alexandrov ยังได้รวม "น้ำแข็งและไฟ" นั่นคือจินตนาการที่สดใสและตรรกะที่เข้มงวด แต่ในหลักสูตรของโรงเรียนเรื่อง Stereometry เวลาอันน้อยนิดจะทุ่มเทให้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ แต่สำหรับหลาย ๆ คน รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นที่สนใจอย่างมาก แต่ไม่มีโอกาสเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้ในชั้นเรียน นั่นคือเหตุผลที่ฉันตัดสินใจพูดถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดที่มีรูปร่างหลากหลายและคุณสมบัติที่น่าสนใจ

โครงสร้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นสะดวกมากสำหรับการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของรูปทรงหลายเหลี่ยมในตัวเอง (การหมุน ความสมมาตร ฯลฯ) กลุ่มการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น (เรียกว่ากลุ่มสมมาตร) น่าสนใจมากจากมุมมองของทฤษฎีกลุ่มจำกัด ความสมมาตรเดียวกันนี้ทำให้สามารถสร้างชุดปริศนาในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้ ซึ่งเริ่มต้นด้วย "ลูกบาศก์รูบิค" และ "ปิรามิดมอลโดวา"

ในการรวบรวมบทคัดย่อเราใช้วารสารวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ยอดนิยม "ควอนตัม" ซึ่งมีการนำข้อมูลเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเกี่ยวกับจำนวนของพวกเขาเกี่ยวกับการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดและคำอธิบายของการหมุนทั้งหมดที่รูปทรงหลายเหลี่ยม รวมกับตำแหน่งเดิม จากหนังสือพิมพ์ "คณิตศาสตร์" ฉันได้รับข้อมูลที่น่าสนใจเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีดาวฤกษ์ คุณสมบัติ การค้นพบ และการประยุกต์

ตอนนี้คุณมีโอกาสที่จะกระโดดเข้าสู่โลกแห่งความถูกต้องและงดงาม สู่โลกแห่งความสวยงามและความพิเศษที่ดึงดูดสายตาของเรา

1. รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

1. 1 คำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่าปกติหากใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่ากันและมุมหลายเหลี่ยมเท่ากัน

ให้เราพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่เป็นไปได้ และประการแรก ผู้ที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ง่ายที่สุดคือปิรามิดสามเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ใบหน้าทั้งสามมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีเพียงสี่หน้าเท่านั้นจึงเรียกว่าจัตุรมุขปกติหรือเรียกง่ายๆว่าจัตุรมุขซึ่งแปลมาจากภาษากรีกแปลว่าจัตุรมุข

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติและมีหน้าสี่หน้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด พื้นผิวประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติแปดรูป ดังนั้นจึงเรียกว่ารูปแปดหน้า

รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีรูปสามเหลี่ยมปกติ 5 รูปมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด พื้นผิวประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติ 20 รูป จึงเรียกว่าไอโคซาฮีดรอน

โปรดทราบว่าเนื่องจากสามเหลี่ยมปกติมากกว่าห้ารูปไม่สามารถบรรจบกันที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนได้ จึงไม่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ

ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากมีเพียงสามสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้นที่สามารถมาบรรจบกันที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนได้ ดังนั้น นอกจากลูกบาศก์แล้ว ไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นที่มีใบหน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์มีหกหน้าจึงเรียกว่าทรงหกเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติและมีใบหน้าสามหน้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด พื้นผิวประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติจำนวน 12 รูป จึงเรียกว่ารูปทรงสิบสองหน้า

จากคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ พบว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้น "สมมาตรอย่างสมบูรณ์แบบ": หากคุณทำเครื่องหมายที่หน้า G และจุดยอดจุด A ของมัน ดังนั้นสำหรับหน้าอื่นๆ G1 และจุดยอด A1 ของหน้านั้น คุณสามารถรวมรูปทรงหลายเหลี่ยมเข้ากับตัวมันเองได้ เคลื่อนที่ไปในอวกาศเพื่อให้หน้า G อยู่ในแนวเดียวกันกับ G1 และจุดยอด A จะจบลงที่จุด A1

1. 2. ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งห้าที่ระบุไว้ข้างต้น หรือเรียกอีกอย่างว่า "ของแข็งสงบ" ได้ดึงดูดจินตนาการของนักคณิตศาสตร์ นักลึกลับ และนักปรัชญาในสมัยโบราณเมื่อกว่าสองพันปีก่อน ชาวกรีกโบราณได้สร้างความสัมพันธ์อันลึกลับระหว่างจัตุรมุข ลูกบาศก์ ทรงแปดหน้า และทรงโคซาเฮดรอน และหลักการทางธรรมชาติทั้งสี่ ได้แก่ ไฟ ดิน ลม และน้ำ สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ห้า ซึ่งเรียกว่า สิบสองหน้า พวกเขาถือว่ามันเป็นรูปร่างของจักรวาล แนวคิดเหล่านี้ไม่ได้เป็นเพียงเรื่องในอดีตเท่านั้น และตอนนี้ สองพันปีต่อมา หลายคนถูกดึงดูดโดยหลักสุนทรีย์ที่ซ่อนอยู่

รูปทรงหลายเหลี่ยมสี่อันแรกเป็นที่รู้จักมานานก่อนเพลโต นักโบราณคดีได้ค้นพบรูปทรงสิบสองหน้าที่สร้างขึ้นในอารยธรรมอิทรุสกันอย่างน้อย 500 ปีก่อนคริสตกาล จ. แต่เห็นได้ชัดว่าในโรงเรียนของเพลโต มีการค้นพบรูปทรงสิบสองหน้าโดยอิสระ มีตำนานเกี่ยวกับฮิปปาเซสนักเรียนของเพลโตที่เสียชีวิตในทะเลเพราะเขาเปิดเผยความลับของ "ลูกบอลที่มีรูปห้าเหลี่ยมสิบสอง"

ตั้งแต่สมัยของเพลโตและยุคลิด เป็นที่ทราบกันดีว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอยู่ห้าประเภท

มาพิสูจน์ข้อเท็จจริงข้อนี้กัน ให้หน้าทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็น n-gons ปกติ และ k เป็นจำนวนหน้าที่อยู่ติดกับจุดยอด (เหมือนกันสำหรับจุดยอดทั้งหมด) ลองพิจารณาจุดยอด A ของรูปทรงหลายเหลี่ยมของเรา ให้ M1, M2,. , Mk - ปลายของขอบ k ออกมาจากนั้น เนื่องจากมุมไดฮีดรัลที่ขอบเหล่านี้เท่ากัน AM1M2Mk จึงเป็นปิรามิดปกติ: เมื่อหมุนผ่านมุม 360°/k รอบความสูง AN จุดยอด M จะเข้าสู่ M และจุดยอด M1 ไปยัง M2 Mk ถึง M1

ลองเปรียบเทียบสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AM1M2 และ HM1M2 พวกมันมีฐานร่วมและด้านข้าง AM1 มีขนาดใหญ่กว่า HM1 ดังนั้น M1AM2

จัตุรมุข 3 3 4 4 6

คิวบ์ 4 3 8 6 12

แปดหน้า 3 4 6 8 12

สิบสองหน้า 5 3 20 12 30

ไอโคซาเฮดรอน 3 5 12 20 30

1. 3. การก่อสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ลูกบาศก์เป็นพื้นฐาน

เพื่อให้ได้จัตุรมุขปกติก็เพียงพอที่จะนำจุดยอดสี่จุดที่ไม่อยู่ติดกันของลูกบาศก์แล้วตัดปิรามิดออกจากมันด้วยระนาบสี่อันซึ่งแต่ละอันผ่านจุดยอดที่ถ่ายมาสามจุด

จัตุรมุขดังกล่าวสามารถจารึกไว้ในลูกบาศก์ได้สองวิธี

จุดตัดของจัตุรมุขปกติสองตัวนั้นเป็นเพียงรูปแปดหน้าปกติ: รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีสามเหลี่ยมแปดรูปซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่กึ่งกลางของใบหน้าของลูกบาศก์

2. คุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

2. 1. ทรงกลมและรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใดๆ อยู่บนทรงกลม (ซึ่งแทบจะไม่น่าแปลกใจเลยถ้าเราจำได้ว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ อยู่บนวงกลม) นอกจากทรงกลมนี้เรียกว่า "ทรงกลมอธิบาย" แล้ว ยังมีทรงกลมที่สำคัญอีกสองทรงกลม หนึ่งในนั้นคือ "ทรงกลมมัธยฐาน" ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบทั้งหมด และอีกอันคือ "ทรงกลมที่ถูกจารึกไว้" สัมผัสทุกใบหน้าที่อยู่ตรงกลาง ทรงกลมทั้งสามมีจุดศูนย์กลางร่วมซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ ชื่อของรูปทรงหลายเหลี่ยม รัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้

จัตุรมุข

สิบสองหน้า

ไอโคซาฮีดรอน

2. 1. การจัดตำแหน่งรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยตนเอง

ลูกบาศก์ จัตุรมุข และแปดหน้ามีการจัดตำแหน่งตัวเองอย่างไร (การหมุนที่แปลเป็นตัวเอง) โปรดทราบว่าจุดหนึ่งซึ่งเป็นศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะแปลงร่างเป็นตัวเองเพื่อการจัดตำแหน่งตัวเอง ดังนั้นการจัดตำแหน่งตัวเองทั้งหมดจึงมีจุดคงที่ร่วมกัน

มาดูกันว่ามีการหมุนแบบใดในอวกาศที่มีจุด A คงที่ ขอให้เราแสดงให้เห็นว่าการหมุนดังกล่าวจำเป็นต้องหมุนผ่านมุมที่กำหนดรอบเส้นตรงบางเส้นที่ผ่านจุด A ก็เพียงพอแล้วสำหรับการเคลื่อนที่ของเรา F(c F (A) = A) เพื่อระบุเส้นตรงคงที่ คุณจะพบได้ดังนี้: พิจารณาจุดสามจุด M1, M2 = F(M1) และ M3 = F(M2) ซึ่งแตกต่างจากจุดคงที่ A วาดระนาบผ่านจุดเหล่านั้นแล้วปล่อย AN ตั้งฉากลงไป - นี่จะเป็น เส้นตรงที่ต้องการ (หาก M3 = M1 ดังนั้นเส้นตรงของเราจะผ่านตรงกลางของส่วน M1M2 และ F คือสมมาตรตามแนวแกน: การหมุนผ่านมุม 180°)

ดังนั้น การจัดแนวตัวเองของรูปทรงหลายเหลี่ยมจึงจำเป็นต้องหมุนรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม แกนนี้ตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมของเราที่จุดยอดหรือที่จุดภายในของขอบหรือหน้า ด้วยเหตุนี้ การจัดตำแหน่งในตัวเองของเราจึงแปลจุดยอด ขอบ หรือใบหน้าให้กลายเป็นตัวมันเอง ซึ่งหมายความว่ามันแปลเป็นจุดยอด ตรงกลางของขอบ หรือศูนย์กลางของใบหน้าด้วย สรุป: การเคลื่อนที่ของลูกบาศก์ จัตุรมุขหรือทรงแปดหน้าเมื่อรวมเข้ากับตัวมันเอง จะเป็นการหมุนรอบแกนหนึ่งในสามประเภท: ศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือจุดยอด ศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมอยู่ตรงกลางของขอบ ศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือศูนย์กลางของใบหน้า

โดยทั่วไป หากรูปทรงหลายเหลี่ยมอยู่ในแนวเดียวกับตัวเองเมื่อหมุนรอบเส้นตรงด้วยมุม 360°/m เส้นตรงนี้เรียกว่าแกนสมมาตรลำดับที่ m

2. 2. การเคลื่อนไหวและความสมมาตร

ความสนใจหลักในรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นเกิดจากความสมมาตรจำนวนมากที่พวกมันมีอยู่

เมื่อพิจารณาการจัดแนวตนเองของรูปทรงหลายเหลี่ยม ไม่เพียงแต่สามารถรวมการหมุนเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงการเคลื่อนไหวใดๆ ก็ตามที่เปลี่ยนรูปทรงหลายเหลี่ยมให้กลายเป็นตัวมันเองด้วย การเคลื่อนที่ในที่นี้คือการเปลี่ยนแปลงใดๆ ของอวกาศที่รักษาระยะห่างแบบคู่ระหว่างจุดต่างๆ

นอกจากการหมุนแล้ว จำนวนการเคลื่อนไหวยังต้องรวมการเคลื่อนที่ของกระจกด้วย ในบรรดาสิ่งเหล่านั้นคือความสมมาตรที่สัมพันธ์กับระนาบ (การสะท้อน) เช่นเดียวกับองค์ประกอบของการสะท้อนที่สัมพันธ์กับระนาบและการหมุนรอบเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบ (นี่คือรูปแบบทั่วไปของการเคลื่อนที่ของกระจกที่มีจุดคงที่) แน่นอนว่าการเคลื่อนไหวดังกล่าวไม่สามารถรับรู้ได้จากการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องของรูปทรงหลายเหลี่ยมในอวกาศ

มาดูความสมมาตรของจัตุรมุขกันดีกว่า เส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดยอดและจุดศูนย์กลางของจัตุรมุขจะผ่านจุดศูนย์กลางของด้านตรงข้าม การหมุน 120 หรือ 240 องศารอบเส้นตรงนี้เป็นหนึ่งในความสมมาตรของจัตุรมุข เนื่องจากจัตุรมุขมีจุดยอด 4 จุด (และ 4 หน้า) เราจึงได้สมมาตรตรงทั้งหมด 8 จุด เส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดกึ่งกลางของขอบของจัตุรมุขจะผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้าม การหมุน 180 องศา (ครึ่งรอบ) รอบเส้นตรงดังกล่าวก็มีความสมมาตรเช่นกัน เนื่องจากจัตุรมุขมีขอบ 3 คู่ เราจึงได้สมมาตรตรงเพิ่มอีก 3 เส้น ผลที่ตามมาคือจำนวนสมมาตรโดยตรงทั้งหมด รวมถึงการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ถึง 12 แสดงให้เห็นว่าไม่มีสมมาตรโดยตรงอื่นใด และมีสมมาตรกลับด้าน 12 อัน ดังนั้น จัตุรมุขจึงมีสมมาตรทั้งหมด 24 อัน

ความสมมาตรโดยตรงของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่เหลือสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร [(q - 1)N0 + N1 + (p - 1)N2]/2 + 1 โดยที่ p คือจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เป็นหน้าของรูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยม, q คือจำนวนหน้าที่อยู่ติดกับจุดยอดแต่ละจุด, N0 คือจำนวนจุดยอด, N1 คือจำนวนขอบ และ N2 คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมแต่ละอัน

hexahedron และ octahedron มีความสมมาตรอย่างละ 24 ส่วน และ icosahedron และ dodecahedron มีความสมมาตรอย่างละ 60

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดมีระนาบสมมาตร (จัตุรมุขมี 6 อัน, ลูกบาศก์และทรงแปดหน้ามี 9 อันอย่างละ, ไอโคซาเฮดรอนและทรงสิบสองมี 15 อันอย่างละอัน)

2. 3. สตาร์โพลีเฮดรา

นอกจากรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติแล้ว รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบ stellate ยังมีรูปทรงที่สวยงามอีกด้วย มีเพียงสี่คนเท่านั้น สองอันแรกถูกค้นพบโดย J. Kepler (1571 - 1630) และอีกสองอันถูกสร้างขึ้นเกือบ 200 ปีต่อมาโดย L. Poinsot (1777 - 1859) นั่นคือเหตุผลว่าทำไมรูปทรงโพลีเฮดราที่มีดาวฤกษ์ปกติจึงถูกเรียกว่าร่างกายของเคปเลอร์-พอยน์โซต์ พวกมันได้มาจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติโดยการขยายหน้าหรือขอบ นักเรขาคณิตชาวฝรั่งเศส Poinsot ในปี ค.ศ. 1810 ได้สร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวฤกษ์ปกติจำนวน 4 รูปทรง ได้แก่ รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดเล็ก รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่ รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่ และรูปทรงหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ รูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งสี่นี้มีใบหน้าที่ตัดกันรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ และสองหน้ามีแต่ละหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดกันตัวเอง แต่พอยโซต์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติอื่นๆ

หนึ่งปีต่อมา (ในปี พ.ศ. 2354) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Augustin Louis Cauchy (พ.ศ. 2332 - 2400) ได้ทำสิ่งนี้ เขาใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าตามคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมันสามารถวางทับบนตัวมันเองเพื่อให้ใบหน้าโดยพลการของมันเกิดขึ้นพร้อมกับใบหน้าที่เลือกไว้ก่อนหน้านี้ จากนี้ไปใบหน้าทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทจะมีระยะห่างเท่ากันจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมบางจุดที่ถูกจารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น

ระนาบของใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวที่ตัดกันนั้นยังก่อให้เกิดรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติด้วย กล่าวคือ ของแข็ง Platonic ที่อธิบายไว้รอบทรงกลมเดียวกัน Cauchy เรียกจุดแข็งแบบพลาโทนิกนี้ว่าเป็นแกนกลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวนี้ ดังนั้น จึงสามารถหารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบมีดาวได้โดยการต่อระนาบของพื้นผิวของของแข็ง Platonic อันใดอันหนึ่งต่อไป

เป็นไปไม่ได้ที่จะได้รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวจากจัตุรมุข ลูกบาศก์ หรือทรงแปดหน้า ลองพิจารณารูปทรงสิบสองหน้ากัน การต่อขอบอย่างต่อเนื่องนำไปสู่การแทนที่แต่ละหน้าด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติที่มีรูปดาว และผลลัพธ์ที่ได้คือรูปทรงสิบสองหน้าที่มีรูปดาวขนาดเล็ก

ในด้านความต่อเนื่องของใบหน้าของรูปทรงสิบสองหน้า เป็นไปได้สองกรณีต่อไปนี้: 1) ถ้าเราพิจารณารูปห้าเหลี่ยมปกติ เราก็จะได้รูปทรงสิบสองหน้าขนาดใหญ่

2) ถ้าเราถือว่าห้าเหลี่ยมที่มีกลุ่มดาวเป็นใบหน้า เราก็จะได้รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่

ไอโคซาฮีดรอนมีรูปร่างเป็นรูปดาวดวงเดียว เมื่อขยายขอบของไอโคซาเฮดรอนปกติออกไป ก็จะได้ไอโคซาเฮดรอนขนาดใหญ่

ดังนั้นจึงมีโพลีเฮดราที่มีดาวฤกษ์ปกติอยู่สี่ประเภท

รูปทรงหลายเหลี่ยมของ Star ได้รับการตกแต่งอย่างดีซึ่งช่วยให้สามารถใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมเครื่องประดับในการผลิตเครื่องประดับทุกชนิด

รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทหลายรูปแบบได้รับการแนะนำโดยธรรมชาติ เกล็ดหิมะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว ตั้งแต่สมัยโบราณผู้คนพยายามอธิบายเกล็ดหิมะทุกประเภทที่เป็นไปได้และรวบรวมแผนที่พิเศษ ปัจจุบันเรารู้จักเกล็ดหิมะหลายพันชนิดแล้ว

บทสรุป

งานครอบคลุมหัวข้อต่อไปนี้: รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ การสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ การจัดตำแหน่งตัวเอง การเคลื่อนไหวและความสมมาตร รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบมีดาวและคุณสมบัติของพวกมัน เราได้เรียนรู้ว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติเพียงห้าแบบและรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบธรรมดาแบบสเตเลทสี่แบบซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ

การศึกษาของแข็ง Platonic และตัวเลขที่เกี่ยวข้องยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ แม้ว่าความงามและความสมมาตรเป็นแรงจูงใจหลักสำหรับการวิจัยสมัยใหม่ แต่ก็ยังมีความสำคัญทางวิทยาศาสตร์อยู่บ้าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านผลึกศาสตร์ ผลึกของเกลือแกง โซเดียมไธโอแอนติโมไนด์ และโครเมียมสารส้มเกิดขึ้นในธรรมชาติในรูปของลูกบาศก์ จัตุรมุข และแปดด้านตามลำดับ ไม่พบ icosahedron และ dodecahedron ในรูปแบบผลึก แต่สามารถสังเกตได้ในรูปแบบของสิ่งมีชีวิตในทะเลด้วยกล้องจุลทรรศน์ที่เรียกว่า radiolarians

แนวคิดของเพลโตและเคปเลอร์เกี่ยวกับการเชื่อมโยงของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกับโครงสร้างที่กลมกลืนของโลกในยุคของเรายังคงดำเนินต่อไปในสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ที่น่าสนใจซึ่งในช่วงต้นทศวรรษที่ 80 แสดงโดยวิศวกรชาวมอสโก V. Makarov และ V. Morozov พวกเขาเชื่อว่าแกนกลางของโลกมีรูปร่างและคุณสมบัติของผลึกที่กำลังเติบโต ซึ่งมีอิทธิพลต่อการพัฒนากระบวนการทางธรรมชาติทั้งหมดที่เกิดขึ้นบนโลก รังสีของคริสตัลหรือสนามแรงของมัน เป็นตัวกำหนดโครงสร้างไอโคซาฮีดรอน-สิบสองหน้าของโลก มันแสดงให้เห็นในความจริงที่ว่าโครงเปลือกโลกของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ถูกจารึกไว้ในลูกโลกปรากฏขึ้น: icosahedron และ dodecahedron

แหล่งแร่จำนวนมากขยายออกไปตามตารางไอโคซาฮีดรอน-สิบสองหน้า จุดยอดและจุดกึ่งกลาง 62 จุดของขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งผู้เขียนเรียกว่าโหนดนั้นมีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการที่ทำให้สามารถอธิบายปรากฏการณ์ที่เข้าใจยากบางอย่างได้ ที่นี่เป็นศูนย์กลางของวัฒนธรรมและอารยธรรมโบราณ: เปรู มองโกเลียเหนือ เฮติ วัฒนธรรมออบ และอื่นๆ ณ จุดเหล่านี้ จะสังเกตความกดอากาศสูงสุดและต่ำสุดและกระแสน้ำวนขนาดยักษ์ของมหาสมุทรโลก โหนดเหล่านี้ประกอบด้วยทะเลสาบล็อคเนสและสามเหลี่ยมเบอร์มิวดา การศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับโลกอาจกำหนดทัศนคติต่อสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ซึ่งดังที่เห็นได้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติครอบครองสถานที่สำคัญ

โครงสร้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นสะดวกมากสำหรับการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของรูปทรงหลายเหลี่ยมในตัวเอง (การหมุน ความสมมาตร ฯลฯ) กลุ่มการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น (เรียกว่ากลุ่มสมมาตร) น่าสนใจมากจากมุมมองของทฤษฎีกลุ่มจำกัด ความสมมาตรแบบเดียวกันทำให้สามารถสร้างชุดปริศนาในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งเริ่มต้นด้วย "ลูกบาศก์รูบิค" และ "ปิรามิดมอลโดวา"

ประติมากร สถาปนิก และศิลปินก็แสดงความสนใจอย่างมากต่อรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ พวกเขาต่างประหลาดใจกับความสมบูรณ์แบบและความกลมกลืนของรูปทรงหลายเหลี่ยม Leonardo da Vinci (1452 - 1519) มีความสนใจในทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมและมักวาดภาพไว้บนผืนผ้าใบของเขา ในภาพวาด “กระยาหารมื้อสุดท้าย” ซัลวาดอร์ ดาลีบรรยายถึงพระเยซูคริสต์กับเหล่าสาวกโดยมีฉากหลังเป็นรูปสิบสองหน้าโปร่งใสขนาดใหญ่

การแนะนำ

พื้นผิวที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมและล้อมรอบตัวเรขาคณิตบางส่วนเรียกว่าพื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมคือวัตถุที่มีขอบเขตซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด รูปหลายเหลี่ยมที่ผูกเข้ากับรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าใบหน้า และเส้นที่ตัดกันของใบหน้าเรียกว่าขอบ

รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถมีโครงสร้างที่หลากหลายและซับซ้อนมาก โครงสร้างต่างๆ เช่น บ้านที่สร้างด้วยอิฐและบล็อกคอนกรีต เป็นตัวอย่างของโพลีเฮดรา ตัวอย่างอื่นๆ สามารถพบได้ในเฟอร์นิเจอร์ เช่น โต๊ะ ในวิชาเคมี รูปร่างของโมเลกุลไฮโดรคาร์บอนคือทรงจัตุรมุข ซึ่งเป็นทรงยี่สิบเฮดรอนปกติซึ่งเป็นทรงลูกบาศก์ ในวิชาฟิสิกส์ คริสตัลทำหน้าที่เป็นตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ตั้งแต่สมัยโบราณ แนวคิดเกี่ยวกับความงามมีความเกี่ยวข้องกับความสมมาตร สิ่งนี้อาจอธิบายความสนใจของผู้คนในเรื่องรูปทรงหลายเหลี่ยม - สัญลักษณ์สมมาตรที่น่าทึ่งซึ่งดึงดูดความสนใจของนักคิดที่โดดเด่นที่ทึ่งในความงาม ความสมบูรณ์แบบ และความกลมกลืนของตัวเลขเหล่านี้

การกล่าวถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมครั้งแรกนั้นรู้จักกันเมื่อสามพันปีก่อนคริสต์ศักราชในอียิปต์และบาบิโลน เพียงพอที่จะนึกถึงปิรามิดอียิปต์ที่มีชื่อเสียงและปิรามิดแห่ง Cheops ที่มีชื่อเสียงที่สุด นี่คือปิรามิดปกติที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง 233 ม. และสูงถึง 146.5 ม. ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่พวกเขากล่าวว่าพีระมิดแห่ง Cheops เป็นบทความเงียบ ๆ เกี่ยวกับเรขาคณิต

ประวัติความเป็นมาของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติย้อนกลับไปในสมัยโบราณ เริ่มตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสต์ศักราช โรงเรียนปรัชญาถูกสร้างขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปจากเรขาคณิตเชิงปฏิบัติไปเป็นเรขาคณิตเชิงปรัชญา การใช้เหตุผลด้วยความช่วยเหลือซึ่งเป็นไปได้ที่จะได้รับคุณสมบัติทางเรขาคณิตใหม่ได้รับความสำคัญอย่างยิ่งในโรงเรียนเหล่านี้

โรงเรียนแห่งแรกและมีชื่อเสียงที่สุดแห่งหนึ่งคือโรงเรียนพีทาโกรัส ซึ่งตั้งชื่อตามผู้ก่อตั้งโรงเรียนพีทาโกรัส สัญลักษณ์ที่โดดเด่นของพีทาโกรัสคือรูปดาวห้าแฉก ในภาษาคณิตศาสตร์เป็นรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่นูนหรือรูปดาวปกติ รูปดาวห้าแฉกได้รับมอบหมายความสามารถในการปกป้องบุคคลจากวิญญาณชั่วร้าย

ชาวพีทาโกรัสเชื่อว่าสสารประกอบด้วยองค์ประกอบพื้นฐานสี่ประการ ได้แก่ ไฟ ดิน ลม และน้ำ พวกเขาถือว่าการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าอันเกิดจากโครงสร้างของสสารและจักรวาล ตามความเห็นนี้ อะตอมขององค์ประกอบหลักจะต้องมีรูปแบบของร่างกายที่แตกต่างกัน:

§ จักรวาลมีรูปทรงสิบสองหน้า

§ โลก - ลูกบาศก์

§ ไฟ - จัตุรมุข

§ น้ำ - icosahedron

§ อากาศ - แปดหน้า

ต่อมาคำสอนของชาวพีทาโกรัสเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้รับการสรุปไว้ในผลงานของเขาโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณอีกคนคือเพลโตนักปรัชญาอุดมคตินิยม ตั้งแต่นั้นมา รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติก็กลายเป็นที่รู้จักในนามของแข็งแบบพลาโตนิก

ของแข็งพลาโตนิกเป็นโพลีเฮดรานูนที่เป็นเนื้อเดียวกันสม่ำเสมอ นั่นคือ โพลีเฮดรานูน ใบหน้าและมุมทั้งหมดเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ จำนวนขอบที่เท่ากันมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมดที่ขอบและมุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติจะเท่ากัน ของแข็งพลาโตนิกเป็นอะนาล็อกสามมิติของรูปหลายเหลี่ยมปกติแบบแบน

ทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับโทโพโลยี ทฤษฎีกราฟ และมีความสำคัญอย่างยิ่งทั้งสำหรับการวิจัยเชิงทฤษฎีในเรขาคณิตและสำหรับการใช้งานจริงในสาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน คณิตศาสตร์ประยุกต์ - การโปรแกรมเชิงเส้น ทฤษฎีการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ดังนั้นหัวข้อนี้จึงมีความเกี่ยวข้องและความรู้ในเรื่องนี้เป็นสิ่งสำคัญสำหรับสังคมยุคใหม่

ส่วนสำคัญ

รูปทรงหลายเหลี่ยมคือวัตถุที่มีขอบเขตซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด

ให้เราให้คำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เทียบเท่ากับคำจำกัดความแรกของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยม – นี่คือตัวเลขที่เป็นการรวมกันของจัตุรมุขจำนวนจำกัดซึ่งตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) จัตุรมุขทุก ๆ สองอันไม่มีจุดร่วม หรือมีจุดยอดร่วม หรือมีขอบร่วมเท่านั้น หรือมีหน้าร่วมทั้งหมด

2) จากจัตุรมุขแต่ละอันไปยังอีกอันหนึ่งคุณสามารถไปตามสายโซ่ของจัตุรมุขซึ่งแต่ละอันที่ตามมาจะติดกับอันก่อนหน้าตลอดทั้งใบหน้า

องค์ประกอบรูปทรงหลายเหลี่ยม

ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมจำนวนหนึ่ง (รูปหลายเหลี่ยมคือพื้นที่ปิดที่จำกัด ซึ่งขอบเขตประกอบด้วยส่วนจำนวนจำกัด)

ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่าขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม และจุดยอดของใบหน้าเรียกว่าจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม นอกเหนือจากจุดยอด ขอบ และใบหน้าแล้ว ยังรวมถึงมุมที่เรียบของใบหน้าและมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้วย มุมไดฮีดรัลที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยใบหน้าที่เข้าใกล้ขอบนี้

การจำแนกประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน -คือรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดสองจุดใดๆ ก็ตามสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเซกเมนต์ได้ โพลีเฮดรานูนมีคุณสมบัติโดดเด่นมากมาย

ทฤษฎีบทของออยเลอร์สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ V-R+G=2,

ที่ไหน ใน – จำนวนจุดยอดของมัน ร - จำนวนซี่โครง ช - จำนวนใบหน้า

ทฤษฎีบทของคอชีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปิดสองอันที่ประกอบด้วยใบหน้าเท่ากันตามลำดับจะเท่ากัน

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจะถือว่าสม่ำเสมอหากหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน และมีขอบจำนวนเท่ากันมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าปกติ ถ้าประการแรก มันนูน ประการที่สอง ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน ประการที่สาม จำนวนใบหน้าเท่ากันบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละด้าน และประการที่สี่ มุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินูนอยู่ห้าแบบ ได้แก่ จัตุรมุข, ทรงแปดหน้า และไอโคซาฮีดรอนที่มีหน้าสามเหลี่ยม, ลูกบาศก์ (หกเหลี่ยม) ที่มีหน้าสี่เหลี่ยม และสิบสองหน้าที่มีหน้าห้าเหลี่ยม ข้อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่รู้จักมานานกว่าสองพันปีแล้ว ด้วยการพิสูจน์นี้และการศึกษาวัตถุปกติทั้งห้า องค์ประกอบของยุคลิด (นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ผู้เขียนบทความทางทฤษฎีข้อแรกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ลงมาหาเรา) ก็เสร็จสมบูรณ์ เหตุใดรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจึงได้ชื่อเช่นนี้ นี่เป็นเพราะจำนวนใบหน้าของพวกเขา จัตุรมุขมี 4 ใบหน้า แปลจากภาษากรีกว่า "tetra" - สี่หน้า "hedron" - ใบหน้า hexahedron (ลูกบาศก์) มี 6 หน้า "hexa" มีหกหน้า แปดด้าน - แปดด้าน "octo" - แปด; สิบสองหน้า - สิบสองหน้า "โดเดก้า" - สิบสอง; อิโคสิเฮดรอนมี 20 หน้า และอิโคซีมี 20 หน้า

2.3. ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

1) จัตุรมุขปกติ(ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป แต่ละจุดยอดคือจุดยอดของสามเหลี่ยมสามรูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 180 0)

2)คิวบ์- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด ลูกบาศก์ประกอบด้วยหกสี่เหลี่ยม จุดยอดแต่ละจุดของลูกบาศก์คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 ช่อง ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 270 0

3) ทรงแปดหน้าปกติหรือเพียงแค่ แปดหน้า– รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าสามเหลี่ยมปกติแปดหน้าและใบหน้าสี่หน้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด ทรงแปดหน้าประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดด้าน จุดยอดแต่ละจุดของรูปแปดหน้าคือจุดยอดของสามเหลี่ยมสี่รูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 240 0 สามารถสร้างได้โดยการพับฐานของปิรามิด 2 ชิ้น โดยมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ขอบของทรงแปดหน้าสามารถหาได้โดยการเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของหน้าที่อยู่ติดกันของลูกบาศก์ แต่ถ้าเราเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของหน้าที่อยู่ติดกันของทรงแปดหน้าธรรมดา เราจะได้ขอบของลูกบาศก์ ว่ากันว่าลูกบาศก์และทรงแปดหน้านั้นเป็นของคู่กัน

4)ไอโคซาฮีดรอน- ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่ายี่สิบรูป จุดยอดแต่ละจุดของรูปทรงโคซาเฮดรอนคือจุดยอดของสามเหลี่ยมห้ารูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดจะเท่ากับ 300 0

5) สิบสองหน้า- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติจำนวน 12 รูป จุดยอดแต่ละจุดของรูปทรงสิบสองหน้าคือจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติสามรูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 324 0

สิบสองหน้าและไอโคซาเฮดรอนยังเป็นคู่ซึ่งกันและกันในแง่ที่ว่าโดยการเชื่อมต่อศูนย์กลางของใบหน้าที่อยู่ติดกันของไอโคซาเฮดรอนด้วยส่วนต่างๆ เราจะได้รูปทรงสิบสองหน้า และในทางกลับกัน

จัตุรมุขธรรมดานั้นมีความเป็นคู่ในตัวมันเอง

ยิ่งไปกว่านั้น ไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีใบหน้าเป็นรูปหกเหลี่ยม ปกติ เจ็ดเหลี่ยม และ n-gons โดยทั่วไปสำหรับ n ≥ 6

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ใบหน้าทุกด้านเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันเป็นประจำ และมุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน แต่ก็มีรูปทรงหลายเหลี่ยมเช่นกัน โดยที่มุมหลายเหลี่ยมทุกมุมเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ แต่ตรงกันข้ามกับรูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมประเภทนี้เรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบกึ่งสม่ำเสมอเท่ากัน รูปทรงหลายเหลี่ยมประเภทนี้ถูกค้นพบครั้งแรกโดยอาร์คิมิดีส เขาอธิบายรายละเอียด 13 รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งต่อมาได้รับการตั้งชื่อว่าร่างของอาร์คิมิดีสเพื่อเป็นเกียรติแก่นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ เหล่านี้คือ จัตุรมุขที่ถูกตัดทอน, oxahedron ที่ถูกตัดทอน, icosahedron ที่ถูกตัดทอน, ลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน, สิบสองหน้าที่ถูกตัดทอน, ทรงลูกบาศก์, icosidodecahedron, ทรงลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน, icosidodecahedron ที่ถูกตัดทอน, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, "ดูแคลน" (ดูแคลน) ลูกบาศก์ "ดูแคลน" (จมูกคุร์) รูปทรงสิบสองหน้า

2.4. รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งสม่ำเสมอหรือของแข็งอาร์คิมีดีนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีคุณสมบัติ 2 ประการ:

1. ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีสองประเภทขึ้นไป (หากใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติประเภทเดียวกัน ก็จะเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ)

2. สำหรับจุดยอดคู่ใดๆ จะมีความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม (นั่นคือ การเคลื่อนไหวที่เปลี่ยนรูปทรงหลายเหลี่ยมให้เป็นตัวมันเอง) โดยถ่ายโอนจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมยอดหลายเหลี่ยมทุกมุมจะเท่ากันทุกประการ

นอกจากรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบกึ่งปกติแล้วจากรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ - ของแข็งแบบ Platonic - คุณสามารถได้รับสิ่งที่เรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบ stellate แบบปกติได้ มีเพียงสี่ชิ้นเท่านั้นเรียกอีกอย่างว่าวัตถุเคปเลอร์-พอยโซต์ เคปเลอร์ค้นพบรูปทรงสิบสองหน้าขนาดเล็กซึ่งเขาเรียกว่าหนามหรือเม่น และรูปทรงสิบสองหน้าขนาดใหญ่ พอยโซต์ค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวฤกษ์ปกติอีก 2 ชิ้น ซึ่งจับคู่กับชิ้นแรกตามลำดับ สอง: รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวฤกษ์ใหญ่และรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยิ่งใหญ่

จัตุรมุขสองตัวที่เคลื่อนผ่านกันและกันกลายเป็นทรงแปดหน้า โยฮันเนส เคปเลอร์ ตั้งชื่อรูปนี้ว่า "สเตลลารูปแปดเหลี่ยม" - "ดาวแปดเหลี่ยม" นอกจากนี้ยังพบได้ในธรรมชาตินี่คือสิ่งที่เรียกว่าคริสตัลคู่

ในคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ คำว่า "นูน" ไม่ได้ถูกเน้นย้ำโดยเจตนา โดยคำนึงถึงความชัดเจนที่ชัดเจน และนั่นหมายถึงข้อกำหนดเพิ่มเติม: “และใบหน้าทั้งหมดที่อยู่ด้านหนึ่งของเครื่องบินที่ผ่านด้านใดด้านหนึ่ง” หากเราละทิ้งข้อ จำกัด ดังกล่าวไปที่ Platonic solids นอกเหนือจาก "octahedron แบบขยาย" เราจะต้องเพิ่มโพลีเฮดราอีกสี่อัน (เรียกว่าของแข็ง Kepler-Poinsot) ซึ่งแต่ละอันจะ "เกือบปกติ" ทั้งหมดได้มาจากการ "นำแสดงโดย" ของ Platonov กาย คือ ขยายขอบออกจนบรรจบกัน จึงเรียกว่า สเตเลท ลูกบาศก์และจัตุรมุขไม่ได้สร้างรูปร่างใหม่ - ใบหน้าของพวกมันไม่ว่าคุณจะดำเนินต่อไปไกลแค่ไหนก็ไม่ตัดกัน

หากคุณขยายหน้าของรูปแปดด้านทั้งหมดออกจนกระทั่งพวกมันตัดกัน คุณจะได้รูปร่างที่ปรากฏขึ้นเมื่อจัตุรมุขสองตัวแทรกซึมเข้ามา - "สเตลลารูปแปดเหลี่ยม" ซึ่งเรียกว่า "ขยายออก ทรงแปดหน้า”

ไอโคซาฮีดรอนและสิบสองหน้าทำให้โลกทั้งสี่มี "รูปทรงหลายเหลี่ยมเกือบปกติ" ในคราวเดียว หนึ่งในนั้นคือรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดเล็ก ซึ่งได้รับครั้งแรกโดยโยฮันเนส เคปเลอร์

เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่นักคณิตศาสตร์ไม่รู้จักสิทธิของดาวฤกษ์ทุกประเภทที่จะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมได้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านข้างของพวกมันตัดกัน ลุดวิก ชลาฟลีไม่ได้ขับไล่รูปร่างทรงเรขาคณิตออกจากตระกูลรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียงเพราะใบหน้าของมันตัดกัน อย่างไรก็ตาม เขายังคงยืนกรานทันทีที่บทสนทนาหันไปหารูปทรงสิบสองหน้ารูปดาวขนาดเล็ก ข้อโต้แย้งของเขาเรียบง่ายและมีน้ำหนัก: สัตว์เคปเปิลตัวนี้ไม่เชื่อฟังสูตรของออยเลอร์! กระดูกสันหลังของมันถูกสร้างขึ้น สิบสองหน้า, 30 ขอบ และ 12 จุดยอด ดังนั้น B+G-R จึงไม่เท่ากับ 2 เลย

Schläfli มีทั้งถูกและผิด แน่นอนว่าสัตว์ชนิดหนึ่งที่มีขนแหลมคล้ายเม่นนั้นไม่ได้เต็มไปด้วยหนามพอที่จะต่อต้านสูตรที่ผิดพลาดได้ คุณเพียงแค่ไม่ต้องพิจารณาว่ามันถูกสร้างขึ้นจากใบหน้ารูปดาว 12 หน้าที่ตัดกัน แต่ให้มองมันเป็นตัวเรขาคณิตที่เรียบง่ายและเที่ยงตรงซึ่งประกอบด้วยสามเหลี่ยม 60 รูป โดยมีขอบ 90 มุมและจุดยอด 32 จุด

จากนั้น B+G-R=32+60-90 จะเท่ากับ 2 ตามที่คาดไว้ แต่คำว่า "ถูกต้อง" ใช้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ไม่ได้ เพราะใบหน้าของมันไม่ได้ด้านเท่ากันหมด แต่เป็นเพียงสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่านั้น เคปเลอร์ไม่ได้ ตระหนักว่าตัวเลขที่เขาได้รับนั้นมีสองเท่า

รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งเรียกว่า "รูปทรงสิบสองหน้าที่ยิ่งใหญ่" ถูกสร้างขึ้นโดยนักเรขาคณิตชาวฝรั่งเศส Louis Poinsot สองร้อยปีหลังจากร่างดาวของเคปเลอร์

รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูอันยิ่งใหญ่ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดย Louis Poinsot ในปี 1809 และอีกครั้งที่เคปเลอร์ได้เห็นรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่ จึงทิ้งเกียรติในการค้นพบร่างที่สองให้กับหลุยส์ พอยโซต์ ตัวเลขเหล่านี้เป็นไปตามสูตรของออยเลอร์เพียงครึ่งเดียว

การใช้งานจริง

รูปทรงหลายเหลี่ยมในธรรมชาติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปร่างที่ได้เปรียบมากที่สุดซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้พวกมันแพร่หลายในธรรมชาติ สิ่งนี้ได้รับการยืนยันจากรูปร่างของคริสตัลบางชนิด ตัวอย่างเช่น ผลึกเกลือแกงจะมีรูปทรงลูกบาศก์ ในการผลิตอะลูมิเนียม จะใช้อะลูมิเนียมโพแทสเซียมควอตซ์ ซึ่งเป็นผลึกเดี่ยวที่มีรูปร่างแปดด้านปกติ การผลิตกรดซัลฟิวริก เหล็ก และซีเมนต์ชนิดพิเศษไม่สามารถทำได้หากไม่มีซัลฟิวรัสไพไรต์ ผลึกของสารเคมีนี้มีรูปร่างเป็นสิบสองหน้า พลวงโซเดียมซัลเฟตซึ่งเป็นสารที่นักวิทยาศาสตร์สังเคราะห์ได้ถูกนำมาใช้ในปฏิกิริยาเคมีต่างๆ ผลึกของโซเดียมแอนติโมนีซัลเฟตมีรูปร่างของจัตุรมุข รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติชิ้นสุดท้ายที่เรียกว่า icosahedron สื่อถึงรูปร่างของผลึกโบรอน

รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวมีการตกแต่งอย่างดีซึ่งช่วยให้สามารถนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมเครื่องประดับในการผลิตเครื่องประดับทุกชนิด พวกเขายังใช้ในสถาปัตยกรรมอีกด้วย รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทหลายรูปแบบได้รับการแนะนำโดยธรรมชาติ เกล็ดหิมะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว ตั้งแต่สมัยโบราณผู้คนพยายามอธิบายเกล็ดหิมะทุกประเภทที่เป็นไปได้และรวบรวมแผนที่พิเศษ ปัจจุบันเรารู้จักเกล็ดหิมะหลายพันชนิดแล้ว

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติยังพบได้ในธรรมชาติที่มีชีวิต ตัวอย่างเช่น โครงกระดูกของสิ่งมีชีวิตเซลล์เดียว Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) มีรูปร่างเหมือน icosahedron อาหารสัตว์ส่วนใหญ่อาศัยอยู่ในส่วนลึกของทะเลและทำหน้าที่เป็นเหยื่อของปลาปะการัง แต่สัตว์ที่ง่ายที่สุดจะปกป้องตัวเองด้วยหนาม 12 ซี่ที่โผล่ออกมาจากยอดโครงกระดูกทั้ง 12 ยอด ดูเหมือนดาวหลายเหลี่ยมมากกว่า

นอกจากนี้เรายังสามารถสังเกตรูปทรงหลายเหลี่ยมในรูปของดอกไม้ได้อีกด้วย ตัวอย่างที่เด่นชัดคือกระบองเพชร

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.

ให้เราจำคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมและบางประเภทของมัน

รูปทรงหลายเหลี่ยม -มันเป็นวัตถุที่มีขอบเขตซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนอยู่ที่ด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละอันที่ล้อมรอบมัน รูปหลายเหลี่ยมบนพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่ามัน ขอบ.ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่า ซี่โครงรูปทรงหลายเหลี่ยมและจุดยอดของใบหน้าอยู่ จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดคือปริซึมและปิรามิด ปริซึมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหน้าสองหน้าเรียกว่าฐานของปริซึม เท่ากันและมีด้านที่ตรงกันขนานกัน และหน้าที่เหลือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งแต่ละด้านมีสองด้านที่เป็นด้านที่สอดคล้องกันของฐาน

เรียกว่าปริซึม ตรง,ถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน

เรียกว่าปริซึมตรง ถูกต้อง,ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึมแบบขนาน

ขนานกันเรียกว่า สี่เหลี่ยม,ถ้าหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คิวบ์ -นี่คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งขอบทั้งหมดเท่ากันนั่นคือ ใบหน้าทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ให้เราพรรณนาถึงปริซึมเอียงซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ขั้นแรกเรามาสร้างฐานด้านล่างของปริซึมกันก่อน (คุณสามารถเริ่มจากด้านบนได้) ตามกฎของการออกแบบแบบขนานจะมีการอธิบายไว้

สี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพลการ เอบีซีดี(รูปที่ ก) เนื่องจากขอบของปริซึมขนานกัน เราจึงสร้างเส้นคู่ขนานที่ลากผ่านจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นและวางส่วนที่เท่ากันไว้บนนั้น AA", บีบี", เอสเอส", บีบี"",ความยาวซึ่งเป็นไปตามอำเภอใจ การเชื่อมต่อจุดต่างๆ ตามลำดับ เอบีซีดี",เราได้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดี"แสดงถึงฐานด้านบนของปริซึม ไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ว่า เอบีซีดี" -สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดีและด้วยเหตุนี้ เราจึงได้รูปปริซึมซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน และใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากคุณต้องการพรรณนาถึงปริซึมตรงซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม คุณสามารถแสดงว่าขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับฐาน ดังที่แสดงในรูปที่ b

ตอนนี้เรามาดูวิธีวาดภาพปิรามิดบนเครื่องบินกัน

พีระมิดเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมโดยที่หน้าเดียว (เรียกว่าฐาน) เป็นรูปหลายเหลี่ยมบางประเภท และใบหน้าที่เหลือ (เรียกว่าด้านข้าง) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม

เรียกว่าจุดยอดร่วมของใบหน้าด้านข้าง สูงสุดปิรามิด เส้นตั้งฉากที่หล่นจากด้านบนของปิรามิดถึงระนาบของฐานตลอดจนความยาวของเส้นตั้งฉากนี้เรียกว่า ความสูงปิรามิด

ปิรามิดที่ง่ายที่สุดคือปิรามิดสามเหลี่ยม - จัตุรมุข มีจำนวนหน้าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ - มีเพียงสี่หน้าเท่านั้น ใบหน้าใด ๆ ถือได้ว่าเป็นฐานซึ่งทำให้จัตุรมุขแตกต่างจากปิรามิดอื่น ๆ

ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้อง,ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและมีความสูงผ่านจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้

หากต้องการพรรณนาถึงปิรามิดปกติ ให้วาดรูปหลายเหลี่ยมปกติที่วางอยู่ที่ฐานก่อน และจุดศูนย์กลางคือจุด O . จากนั้นวาดระบบปฏิบัติการส่วนแนวตั้ง , แสดงถึงความสูงของปิรามิด โปรดทราบว่าแนวตั้งของระบบปฏิบัติการส่วนช่วยให้การวาดภาพมีความชัดเจนมากขึ้น สุดท้าย จุด S เชื่อมต่อกับจุดยอดทั้งหมดของฐาน

ให้เราพรรณนาถึงปิรามิดปกติซึ่งมีฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ

เพื่อให้แสดงรูปหกเหลี่ยมปกติได้อย่างถูกต้องในระหว่างการออกแบบแบบขนาน คุณต้องคำนึงถึงสิ่งต่อไปนี้ อนุญาต เอบีซีดีเอฟ -หกเหลี่ยมปกติ แล้ว อัลฟ์ -สี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่) และดังนั้นในระหว่างการออกแบบแบบขนานมันจะถูกพรรณนาเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพลการ บี"ซี"อี"ฟ"ตั้งแต่เส้นทแยงมุม ค.ศผ่านจุด O - ศูนย์รูปหลายเหลี่ยม เอบีซีดีเอฟและขนานกับส่วนต่างๆ ดวงอาทิตย์และ อีเอฟและเจเอสซี = OD,จากนั้นด้วยการออกแบบแบบขนานมันจะถูกแสดงโดยการตัดตามอำเภอใจ เอ"ดี"ผ่านจุดนั้น เกี่ยวกับ"ในแบบคู่ขนาน บีซีและ อี"ฟ"และนอกจากนี้, เอ'โอ' = 0"ด".

ดังนั้นลำดับของการสร้างฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมจึงเป็นดังนี้ (รูป):

วาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามใจชอบ บี"ซี"อี"ฟ"และเส้นทแยงมุม ทำเครื่องหมายจุดตัดของพวกเขา เกี่ยวกับ";

- ผ่านจุด เกี่ยวกับ"วาดเส้นตรงขนานกัน บีซี(หรือ อี"ฟ");

- เลือกจุดใดก็ได้บนเส้นที่สร้างขึ้น เอ"และทำเครื่องหมายจุด ดี"ดังนั้น 0"ด" = เอ'โอ'และเชื่อมต่อจุด เอ"มีจุด ใน"และ เอฟ"และชี้ ดี"มีจุด กับ"และ อี".

เพื่อให้การสร้างปิรามิดเสร็จสมบูรณ์ ให้วาด OS ส่วนแนวตั้ง (เลือกความยาวโดยพลการ) และเชื่อมต่อจุด S กับจุดยอดทั้งหมดของฐาน

เมื่อพิจารณาถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมแล้ว ให้เราสังเกตคุณสมบัติที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งซึ่งก่อตั้งโดยแอล. ออยเลอร์

ทฤษฎีบทของออยเลอร์ ปล่อยให้มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนและ B - จำนวนจุดยอด, P - จำนวนซี่โครง G - จำนวนใบหน้า จากนั้น B + G - P == 2 สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ตัวอย่างเช่น ปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีจุดยอด 7 จุด ( B = 7), 12 ขอบ (P = 12) และ 7 หน้า (G = 7) จากนั้น B + G - P = 7 - 12 + 7 = 2 จากทฤษฎีบทของออยเลอร์ เราสามารถสรุปได้ว่าโพลีเฮดราปกติมีห้าประเภทและมีเพียงห้าประเภทเท่านั้น กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนดังกล่าว โดยที่ทุกหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากันและมีขอบจำนวนเท่ากันมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด เหล่านี้คือจัตุรมุข, ลูกบาศก์, แปดด้าน, ไอโคซาเฮดรอน, สิบสองหน้า (รูปที่)