การคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
ความคาดหวัง คำจำกัดความ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ตัวอย่าง การคาดหมายตามเงื่อนไข การคำนวณ คุณสมบัติ งาน การประมาณค่าความคาดหวัง ความแปรปรวน ฟังก์ชันการกระจาย สูตร ตัวอย่างการคำนวณ
ขยายเนื้อหา
ยุบเนื้อหา
มูลค่าที่คาดหวังคือคำนิยาม
หนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งกำหนดลักษณะการกระจายของค่าหรือความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม มักจะแสดงเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางเทคนิค การศึกษาชุดตัวเลข การศึกษากระบวนการต่อเนื่องและระยะยาว มันเป็นสิ่งสำคัญในการประเมินความเสี่ยง การทำนายตัวบ่งชี้ราคาเมื่อทำการซื้อขายในตลาดการเงิน และใช้ในการพัฒนากลยุทธ์และวิธีการของกลยุทธ์การเล่นเกมในทฤษฎีการพนัน
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มถือเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็น
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือการวัดค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม xหมายถึง เอ็ม (x).
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือในทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มนี้สามารถรับได้
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มตามความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือผลประโยชน์เฉลี่ยจากวิธีแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งโดยมีเงื่อนไขว่าวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีจำนวนมากและระยะทางไกล
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือในทฤษฎีการพนัน จำนวนเงินชนะที่ผู้เล่นสามารถรับหรือแพ้โดยเฉลี่ยสำหรับการเดิมพันแต่ละครั้ง ในภาษาของนักพนัน บางครั้งเรียกว่า "ความได้เปรียบของผู้เล่น" (หากเป็นผลบวกต่อผู้เล่น) หรือ "เจ้ามือ" (หากเป็นผลลบต่อผู้เล่น)
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือเปอร์เซ็นต์ของกำไรจากการชนะคูณด้วยกำไรเฉลี่ยลบด้วยความน่าจะเป็นของการสูญเสียคูณด้วยการสูญเสียเฉลี่ย
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์
ลักษณะพิเศษเชิงตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่งของตัวแปรสุ่มคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เราแนะนำแนวคิดของระบบตัวแปรสุ่ม พิจารณาชุดของตัวแปรสุ่มที่เป็นผลจากการทดลองสุ่มแบบเดียวกัน ถ้า - หนึ่งในค่าที่เป็นไปได้ของระบบ เหตุการณ์นั้นสอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของ Kolmogorov ฟังก์ชันที่กำหนดไว้สำหรับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มเรียกว่ากฎการกระจายร่วม ฟังก์ชันนี้ช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎร่วมของการแจกแจงตัวแปรสุ่มและซึ่งรับค่าจากเซตและกำหนดโดยความน่าจะเป็น
คำว่า "ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์" ได้รับการแนะนำโดย Pierre Simon the Marquis de Laplace (1795) และมีต้นกำเนิดมาจากแนวคิดของ "มูลค่าที่คาดหวังของผลตอบแทน" ซึ่งปรากฏครั้งแรกในศตวรรษที่ 17 ในทฤษฎีการพนันในผลงานของ Blaise Pascal และคริสเตียน ไฮเกนส์ อย่างไรก็ตาม Pafnutii Lvovich Chebyshev (กลางศตวรรษที่ 19) ได้ให้ความเข้าใจเชิงทฤษฎีและการประเมินแนวคิดนี้อย่างครบถ้วนสมบูรณ์เป็นครั้งแรก
กฎการแจกแจงค่าตัวเลขสุ่ม (ฟังก์ชันการกระจายและอนุกรมการแจกแจงหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อธิบายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มอย่างครบถ้วน แต่ในปัญหาจำนวนหนึ่ง การรู้ลักษณะเชิงตัวเลขบางอย่างของปริมาณที่ตรวจสอบก็เพียงพอแล้ว (เช่น ค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้จากปริมาณนั้น) เพื่อที่จะตอบคำถามที่ตั้งไว้ ลักษณะเชิงตัวเลขหลักของตัวแปรสุ่ม ได้แก่ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน โหมด และค่ามัธยฐาน
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ตามความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน บางครั้งการคาดหมายทางคณิตศาสตร์เรียกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก เนื่องจากมีค่าประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มสำหรับการทดลองจำนวนมาก จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าของมันไม่น้อยกว่าค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและไม่เกินค่าที่มากที่สุด การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มเป็นค่าที่ไม่สุ่ม (ค่าคงที่)
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีความหมายทางกายภาพอย่างง่าย: ถ้ามวลหน่วยวางอยู่บนเส้นตรงโดยการวางมวลไว้ที่จุดใดจุดหนึ่ง (สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง) หรือ "การละเลง" ด้วยความหนาแน่นที่แน่นอน (สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องโดยสิ้นเชิง) จากนั้นจุดที่ตรงกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเป็นพิกัด "จุดศูนย์ถ่วง" เป็นเส้นตรง
ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มคือจำนวนหนึ่ง ซึ่งก็คือ "ตัวแทน" ของตัวแปรดังกล่าว และแทนที่ด้วยการคำนวณโดยประมาณคร่าวๆ เมื่อเราพูดว่า: "เวลาทำงานเฉลี่ยของหลอดไฟคือ 100 ชั่วโมง" หรือ "จุดกึ่งกลางของการกระแทกถูกแทนที่โดยสัมพันธ์กับเป้าหมายไปทางขวา 2 เมตร" เรากำลังระบุคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มที่อธิบาย ตำแหน่งบนแกนตัวเลข เช่น "ลักษณะของตำแหน่ง".
จากลักษณะของตำแหน่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น บทบาทที่สำคัญที่สุดคือการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ซึ่งบางครั้งเรียกว่าเพียงค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม
พิจารณาตัวแปรสุ่ม Xด้วยค่าที่เป็นไปได้ x1, x2, ..., xnด้วยความน่าจะเป็น p1, p2, ..., pn... เราจำเป็นต้องระบุตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่มบน abscissa ด้วยจำนวนหนึ่งโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นต่างกัน เพื่อจุดประสงค์นี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สิ่งที่เรียกว่า "ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก" ของค่าต่างๆ xiและแต่ละค่าของ xi ในระหว่างการหาค่าเฉลี่ยควรพิจารณาด้วย "น้ำหนัก" ตามสัดส่วนกับความน่าจะเป็นของค่านี้ ดังนั้น เราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม Xซึ่งเราจะแสดงว่า M | X |:
ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักนี้เรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นเราจึงได้แนะนำแนวคิดที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็น - แนวคิดของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มตามความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้
Xเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์แบบหนึ่งกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มที่มีการทดลองจำนวนมาก การพึ่งพาอาศัยกันนี้เป็นประเภทเดียวกับการพึ่งพาอาศัยกันระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น กล่าวคือ ด้วยการทดลองจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของแนวทางตัวแปรสุ่ม (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ จากการมีอยู่ของความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น เราสามารถอนุมานได้ว่าเป็นผลจากการมีอยู่ของความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ อันที่จริง พิจารณาตัวแปรสุ่ม Xโดดเด่นด้วยชุดการแจกจ่าย:
ปล่อยให้มันผลิต นู๋การทดลองอิสระ โดยแต่ละครั้งมีค่า Xใช้ความหมายบางอย่าง สมมติค่า x1ปรากฏขึ้น m1ครั้ง ค่า x2ปรากฏขึ้น m2ครั้ง ความหมายโดยทั่วไป xiปรากฏขึ้นครั้งไมล์ ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของปริมาณ X ซึ่งตรงกันข้ามกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ M | X |เราจะกำหนด ม * | X |:
ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น นู๋ความถี่ ปี่จะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม M | X |ด้วยการเพิ่มจำนวนของการทดลอง มันจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน ความสัมพันธ์ข้างต้นระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นเนื้อหาในรูปแบบหนึ่งของกฎจำนวนมาก
เรารู้แล้วว่ากฎจำนวนมากในทุกรูปแบบระบุถึงข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยบางค่าคงที่สำหรับการทดลองจำนวนมาก ที่นี่ มันมาเกี่ยวกับความเสถียรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากชุดการสังเกตที่มีปริมาณเท่ากัน ด้วยการทดลองเพียงเล็กน้อย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์จะเป็นแบบสุ่ม ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างเพียงพอ มันจึงกลายเป็น "เกือบจะสุ่ม" และทำให้เสถียรเข้าใกล้ค่าคงที่ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
คุณสมบัติของความเสถียรของค่าเฉลี่ยที่มีการทดสอบจำนวนมากนั้นง่ายต่อการตรวจสอบในการทดลอง ตัวอย่างเช่น การชั่งน้ำหนักร่างกายในห้องปฏิบัติการด้วยเครื่องชั่งที่แม่นยำ เราได้รับค่าใหม่ทุกครั้งที่เป็นผลมาจากการชั่งน้ำหนัก เพื่อลดข้อผิดพลาดในการสังเกต เราชั่งน้ำหนักร่างกายหลายครั้งและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับ เป็นเรื่องง่ายที่จะเชื่อได้ว่าด้วยการเพิ่มจำนวนการทดลอง (การชั่งน้ำหนัก) เพิ่มเติม ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะตอบสนองต่อการเพิ่มขึ้นนี้น้อยลงๆ และด้วยการทดลองจำนวนมากพอสมควร ในทางปฏิบัติแล้ว แทบจะไม่มีการเปลี่ยนแปลง
ควรสังเกตว่าคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ไม่มีอยู่จริงสำหรับตัวแปรสุ่มทั้งหมด เป็นไปได้ที่จะเขียนตัวอย่างของตัวแปรสุ่มดังกล่าวซึ่งไม่มีการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากผลรวมหรืออินทิกรัลต่างกันที่สอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ กรณีดังกล่าวไม่ได้รับความสนใจอย่างมีนัยสำคัญ โดยปกติ ตัวแปรสุ่มที่เราจัดการจะมีช่วงค่าที่เป็นไปได้ที่จำกัด และแน่นอน มีการคาดหวังทางคณิตศาสตร์
นอกเหนือจากลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - บางครั้งใช้ลักษณะอื่นของตำแหน่งในทางปฏิบัติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม
โหมดของตัวแปรสุ่มคือค่าที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด คำว่า "ค่าที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด" พูดอย่างเคร่งครัด ใช้เฉพาะกับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่อง สำหรับปริมาณต่อเนื่อง โหมดคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด ตัวเลขแสดงโหมดสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามลำดับ
ถ้ารูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (เส้นโค้งการกระจาย) มีค่าสูงสุดมากกว่าหนึ่งค่า การแจกแจงจะเรียกว่า "polymodal"
บางครั้งมีการแจกแจงที่มีค่าต่ำสุด ไม่ใช่ค่าสูงสุด อยู่ตรงกลาง การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่า "การต่อต้านโมดอล"
ในกรณีทั่วไป โหมดและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจะไม่ตรงกัน ในกรณีพิเศษ เมื่อการกระจายแบบสมมาตรและเป็นกิริยาช่วย (เช่น มีโหมด) และมีการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ มันจะสอดคล้องกับโหมดและจุดศูนย์กลางของสมมาตรของการกระจาย
มักใช้คุณลักษณะอื่นของตำแหน่ง - ค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มที่เรียกว่า คุณลักษณะนี้มักใช้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเท่านั้น แม้ว่าอย่างเป็นทางการจะสามารถกำหนดตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องได้ ในทางเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือ abscissa ของจุดที่พื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งการกระจายลดลงครึ่งหนึ่ง
ในกรณีของการกระจายแบบโมดอลแบบสมมาตร ค่ามัธยฐานจะตรงกับความคาดหวังและโหมดทางคณิตศาสตร์
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือค่ากลางของตัวแปรสุ่ม ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะทางตัวเลขของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปแล้ว การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ (ญ)ถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัล Lebesgue เทียบกับการวัดความน่าจะเป็น Rในพื้นที่ความน่าจะเป็นเดิม:
การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ยังสามารถคำนวณได้เป็นอินทิกรัล Lebesgue ของ Xโดยการกระจายความน่าจะเป็น pxขนาด X:
ในทางธรรมชาติ คุณสามารถกำหนดแนวคิดของตัวแปรสุ่มด้วยการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สิ้นสุด เวลากลับในการเดินสุ่มเป็นตัวอย่างทั่วไป
การใช้การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ จะกำหนดลักษณะเชิงตัวเลขและเชิงฟังก์ชันจำนวนมากของการแจกแจง (ตามการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันของตัวแปรสุ่ม) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันการกำเนิด ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ โมเมนต์ของลำดับใดๆ โดยเฉพาะ ความแปรปรวน , ความแปรปรวนร่วม
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นลักษณะของตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่ม (ค่าเฉลี่ยของการแจกแจง) ในความสามารถนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์การกระจาย "ทั่วไป" และบทบาทของมันก็คล้ายกับบทบาทของโมเมนต์คงที่ - พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของการกระจายมวล - ในกลศาสตร์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แตกต่างจากลักษณะเฉพาะของตำแหน่งอื่นๆ ด้วยความช่วยเหลือของการแจกแจงที่อธิบายไว้ในเงื่อนไขทั่วไป ค่ามัธยฐาน โหมด โดยค่าที่มากกว่าและลักษณะการกระจายที่สอดคล้องกัน - การกระจาย - มีในทฤษฎีบทจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ด้วยความครบถ้วนสมบูรณ์ที่สุด ความหมายของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์จึงถูกเปิดเผยโดยกฎของตัวเลขจำนวนมาก (อสมการของเชบีเชฟ) และกฎที่เสริมความแข็งแกร่งของตัวเลขจำนวนมาก
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ให้มีตัวแปรสุ่มบางตัวที่สามารถรับค่าตัวเลขได้หลายค่า (เช่น จำนวนแต้มเมื่อโยนลูกเต๋าอาจเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6) ในทางปฏิบัติ คำถามมักเกิดขึ้นสำหรับค่าดังกล่าว: "โดยเฉลี่ย" ใช้ค่าอะไรกับการทดสอบจำนวนมาก รายได้เฉลี่ย (หรือขาดทุน) ของเราจากการดำเนินการที่มีความเสี่ยงแต่ละครั้งจะเป็นเท่าใด
สมมุติว่ามีลอตเตอรีบางชนิด เราต้องการทำความเข้าใจว่าการเข้าร่วมนั้นมีประโยชน์หรือไม่ (หรือแม้กระทั่งการเข้าร่วมซ้ำๆ เป็นประจำ) สมมติว่าทุก ๆ ตั๋วที่ชนะรางวัลที่สี่ รางวัลคือ 300 รูเบิล และราคาของตั๋วใด ๆ คือ 100 รูเบิล ด้วยการมีส่วนร่วมจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด นี่คือสิ่งที่จะเกิดขึ้น ในสามในสี่ของคดี เราจะแพ้ ทุกๆ การสูญเสียสามครั้งจะมีราคา 300 รูเบิล ในทุก ๆ กรณีที่สี่ เราจะชนะ 200 rubles (รางวัลลบด้วยต้นทุน) นั่นคือสำหรับสี่การมีส่วนร่วมเราเสียโดยเฉลี่ย 100 รูเบิลสำหรับหนึ่ง - โดยเฉลี่ย 25 รูเบิล โดยรวมแล้วอัตราการทำลายเฉลี่ยของเราจะอยู่ที่ 25 รูเบิลต่อตั๋ว
เราโยนลูกเต๋า ถ้ามันไม่โกง (จุดศูนย์ถ่วงไม่มีการเปลี่ยนแปลง ฯลฯ ) แล้วเราจะมีคะแนนเฉลี่ยครั้งละกี่คะแนน? เนื่องจากแต่ละตัวเลือกมีความเป็นไปได้เท่ากัน เราจึงใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตโง่ๆ แล้วได้ 3.5 เนื่องจากนี่คือค่าเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องโกรธที่ไม่มีการโยนเฉพาะที่จะให้ 3.5 แต้ม - ลูกบาศก์นี้ไม่มีขอบด้วยตัวเลขดังกล่าว!
ตอนนี้ขอสรุปตัวอย่างของเรา:
มาดูรูปที่เพิ่งโชว์กัน ทางด้านซ้ายเป็นตารางการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม ค่า X สามารถรับค่าใดค่าหนึ่งจาก n ค่าที่เป็นไปได้ (แสดงในบรรทัดบนสุด) ไม่สามารถมีค่าอื่นได้ แต่ละค่าที่เป็นไปได้ด้านล่างจะมีป้ายกำกับว่ามีความน่าจะเป็น ทางด้านขวาคือสูตร โดยที่ M (X) เรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ความหมายของค่านี้คือเมื่อมีการทดสอบจำนวนมาก (ด้วยตัวอย่างจำนวนมาก) ค่าเฉลี่ยจะมีแนวโน้มตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นี้
ลองกลับไปที่การเล่นคิวบ์เดียวกัน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนคะแนนเมื่อโยนคือ 3.5 (คำนวณตัวเองโดยใช้สูตรหากคุณไม่เชื่อ) สมมุติว่าคุณโยนมันสองครั้ง พวกเขาลดลง 4 และ 6 โดยเฉลี่ยแล้วกลายเป็น 5 ซึ่งอยู่ไกลจาก 3.5 พวกเขาโยนมันอีกครั้ง ลดลง 3 นั่นคือโดยเฉลี่ย (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... ค่อนข้างไกลจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตอนนี้ทำการทดลองที่บ้าๆบอ ๆ นี้ - หมุนลูกบาศก์ 1,000 ครั้ง! และถ้าค่าเฉลี่ยไม่เท่ากับ 3.5 มันก็ใกล้เคียงกัน
มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับลอตเตอรีด้านบนกันเถอะ จานจะมีลักษณะดังนี้:
จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังที่เราได้กำหนดไว้ข้างต้น:
อีกสิ่งหนึ่งคือการใช้ "นิ้ว" แบบเดียวกันนั้นเป็นเรื่องยากหากไม่มีสูตรหากมีตัวเลือกเพิ่มเติม สมมติว่าคุณมีสลากที่แพ้ 75%, สลากที่ชนะ 20% และสลากที่ชนะเพิ่มเติม 5%
ตอนนี้คุณสมบัติบางอย่างของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์
การพิสูจน์เป็นเรื่องง่าย:
อนุญาตให้นำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ:
นี่เป็นกรณีพิเศษของคุณสมบัติเชิงเส้นตรงของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์
ผลสืบเนื่องอีกประการหนึ่งของความเป็นเส้นตรงของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์:
กล่าวคือ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม
ให้ X, Y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ, แล้ว:
นอกจากนี้ยังง่ายต่อการพิสูจน์) XYตัวเองเป็นตัวแปรสุ่มในขณะที่ถ้าค่าเริ่มต้นสามารถรับได้ นและ มค่าตามลำดับแล้ว XYสามารถรับค่า nm ได้ ความน่าจะเป็นของแต่ละค่าคำนวณจากความน่าจะเป็น เหตุการณ์อิสระจะทวีคูณ เป็นผลให้เราได้รับสิ่งนี้:
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง
ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องมีลักษณะเฉพาะเช่นความหนาแน่นของการกระจาย (ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อันที่จริงแล้ว มันแสดงให้เห็นลักษณะสถานการณ์ที่ตัวแปรสุ่มใช้ค่าบางค่าจากเซตของจำนวนจริงบ่อยขึ้น บางค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น พิจารณากราฟต่อไปนี้:
ที่นี่ Xเป็นตัวแปรสุ่มเอง ฉ (x)- ความหนาแน่นของการกระจาย ตัดสินโดยกราฟนี้ ในการทดลอง ค่า Xมักจะเป็นตัวเลขที่ใกล้ศูนย์ โอกาสที่จะเกิน 3 หรือน้อยกว่านั้น -3 ค่อนข้างเชิงทฤษฎี
ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีการกระจายแบบสม่ำเสมอ:
ซึ่งค่อนข้างสอดคล้องกับความเข้าใจโดยสัญชาตญาณ สมมติว่าถ้าเราได้จำนวนจริงสุ่มจำนวนมากพร้อมการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ แต่ละเซ็กเมนต์ |0; 1| แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตควรอยู่ที่ประมาณ 0.5
คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ - ความเป็นเส้นตรง ฯลฯ ที่ใช้กับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องก็สามารถนำมาใช้ที่นี่ได้เช่นกัน
ความสัมพันธ์ระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กับตัวชี้วัดทางสถิติอื่นๆ
ในการวิเคราะห์ทางสถิติพร้อมกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ มีระบบตัวบ่งชี้ที่พึ่งพาอาศัยกันซึ่งสะท้อนถึงความเป็นเนื้อเดียวกันของปรากฏการณ์และความเสถียรของกระบวนการ ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงมักไม่มีความหมายอิสระและใช้สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเพิ่มเติม ข้อยกเว้นคือค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน ซึ่งกำหนดลักษณะความเป็นเนื้อเดียวกันของข้อมูล ซึ่งเป็นสถิติที่มีค่า
ระดับความแปรปรวนหรือความเสถียรของกระบวนการในวิทยาศาสตร์สถิติสามารถวัดได้โดยใช้ตัวชี้วัดหลายตัว
ตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดที่แสดงลักษณะความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือ การกระจายตัวซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดและเกี่ยวข้องโดยตรงกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ พารามิเตอร์นี้ถูกใช้อย่างแข็งขันในการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่น (การทดสอบสมมติฐาน การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของเหตุและผล ฯลฯ) เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเชิงเส้น ความแปรปรวนยังสะท้อนถึงการวัดการแพร่กระจายของข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ยด้วย
เป็นประโยชน์ในการแปลภาษาของสัญญาณเป็นภาษาของคำ ปรากฎว่าความแปรปรวนเป็นกำลังสองเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบน นั่นคือ ขั้นแรกให้คำนวณค่าเฉลี่ย จากนั้นนำผลต่างระหว่างต้นฉบับแต่ละรายการกับค่าเฉลี่ย ยกกำลังสอง บวก แล้วหารด้วยจำนวนค่าในประชากร ความแตกต่างระหว่างค่าแต่ละค่าและค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงการวัดค่าความเบี่ยงเบน มันถูกยกกำลังสองเพื่อให้ค่าเบี่ยงเบนทั้งหมดกลายเป็นจำนวนบวกเท่านั้น และเพื่อหลีกเลี่ยงการทำลายค่าเบี่ยงเบนบวกและค่าลบร่วมกันเมื่อรวมกัน จากนั้น ด้วยกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบน เราก็คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ย - สแควร์ - ส่วนเบี่ยงเบน ส่วนเบี่ยงเบนถูกยกกำลังสองและพิจารณาค่าเฉลี่ย คำตอบของคำว่า "ความแปรปรวน" มหัศจรรย์นั้นอยู่ในสามคำเท่านั้น
อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบบริสุทธิ์ เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือดัชนี จะไม่ใช้ความแปรปรวน เป็นตัวบ่งชี้เสริมและตัวกลางที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่น เธอไม่มีแม้แต่หน่วยวัดปกติด้วยซ้ำ เมื่อพิจารณาจากสูตรแล้ว นี่คือกำลังสองของหน่วยวัดของข้อมูลดั้งเดิม
ให้เราวัดตัวแปรสุ่ม นู๋ครั้ง เช่น เราวัดความเร็วลมสิบเท่าและต้องการหาค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยสัมพันธ์กับฟังก์ชันการแจกแจงอย่างไร?
หรือเราจะทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก จำนวนแต้มที่จะดรอปลงบนลูกเต๋าในแต่ละม้วนเป็นตัวแปรสุ่มและสามารถนำค่าธรรมชาติใดๆ ก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่ดรอปที่คำนวณสำหรับการทอยลูกเต๋าทั้งหมดก็เป็นค่าสุ่มเช่นกัน สำหรับขนาดใหญ่ นู๋มันมีแนวโน้มที่จะเป็นตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงมาก - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ Mx... ในกรณีนี้ Mx = 3.5
คุณค่านี้เกิดขึ้นได้อย่างไร? ปล่อยให้ใน นู๋การทดลอง n1เมื่อลดลง 1 แต้ม n2ครั้ง - 2 คะแนนเป็นต้น จำนวนผลลัพธ์ที่ได้แต้มหนึ่งลดลงคือ:
ในทำนองเดียวกันสำหรับผลลัพธ์เมื่อคะแนน 2, 3, 4, 5 และ 6 ถูกทอย
สมมติว่าตอนนี้เรารู้กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม x แล้ว นั่นคือ เรารู้ว่าตัวแปรสุ่ม x สามารถรับค่าได้ x1, x2, ..., xk ที่มีความน่าจะเป็น p1, p2, ..., pk
ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ Mx ของตัวแปรสุ่ม x คือ:
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่การประมาณการที่สมเหตุสมผลของตัวแปรสุ่มบางตัวเสมอไป ดังนั้น ในการประมาณค่าแรงโดยเฉลี่ย จึงสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้แนวคิดของค่ามัธยฐาน กล่าวคือ ค่าที่จำนวนคนที่ได้รับน้อยกว่าค่ามัธยฐานและมากกว่านั้นเท่ากัน
ความน่าจะเป็น p1 ที่ตัวแปรสุ่ม x น้อยกว่า x1 / 2 และความน่าจะเป็น p2 ที่ตัวแปรสุ่ม x มากกว่า x1 / 2 จะเท่ากันและเท่ากับ 1/2 ค่ามัธยฐานไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนสำหรับการแจกแจงทั้งหมด
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในสถิติคือระดับที่ข้อมูลเชิงสังเกตหรือชุดเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย มันถูกกำหนดโดยตัวอักษร s หรือ s ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานขนาดเล็กบ่งชี้ว่าข้อมูลถูกจัดกลุ่มรอบค่าเฉลี่ย ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานขนาดใหญ่บ่งชี้ว่าข้อมูลเดิมอยู่ห่างไกลจากข้อมูล ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของปริมาณที่เรียกว่าความแปรปรวน คือค่าเฉลี่ยของผลรวมของผลต่างกำลังสองของข้อมูลเริ่มต้นที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบน root-mean-square ของตัวแปรสุ่มเรียกว่าสแควร์รูทของความแปรปรวน:
ตัวอย่าง. ภายใต้เงื่อนไขการทดสอบเมื่อยิงไปที่เป้าหมาย ให้คำนวณความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม:
Variation- ความแปรปรวนความแปรปรวนของมูลค่าของลักษณะในหน่วยของประชากร ค่าตัวเลขแต่ละค่าของคุณลักษณะที่พบในประชากรที่ศึกษาเรียกว่าตัวเลือกค่า ขาดค่าเฉลี่ยสำหรับ คุณสมบัติครบถ้วนกองกำลังรวมเพื่อเสริมค่าเฉลี่ยด้วยตัวบ่งชี้ที่ช่วยให้เราสามารถประเมินความปกติของค่าเฉลี่ยเหล่านี้โดยการวัดความแปรปรวน (ความแปรปรวน) ของลักษณะภายใต้การศึกษา ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันคำนวณโดยสูตร:
รูปแบบการปัด(R) คือความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดของลักษณะในประชากรที่ศึกษา ตัวบ่งชี้นี้ให้แนวคิดทั่วไปที่สุดเกี่ยวกับความแปรปรวนของลักษณะที่ศึกษา เนื่องจากจะแสดงความแตกต่างระหว่างค่าจำกัดของตัวเลือกเท่านั้น การพึ่งพาค่าสุดขีดของลักษณะทำให้ช่วงของการเปลี่ยนแปลงเป็นอักขระสุ่มที่ไม่เสถียร
ส่วนเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (โมดูโล) ของค่าทั้งหมดของประชากรที่วิเคราะห์จากค่าเฉลี่ย:
คุณค่าที่คาดหวังในทฤษฎีการพนัน
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือจำนวนเงินเฉลี่ยที่นักพนันสามารถชนะหรือแพ้ในการเดิมพันที่กำหนด นี่เป็นแนวคิดที่สำคัญมากสำหรับผู้เล่น เนื่องจากเป็นพื้นฐานในการประเมินสถานการณ์ของเกมส่วนใหญ่ ความคาดหวังเป็นเครื่องมือที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการวิเคราะห์รูปแบบการ์ดพื้นฐานและสถานการณ์ในเกม
สมมติว่าคุณกำลังเล่นเหรียญกับเพื่อน เดิมพัน 1 ดอลลาร์เท่ากันในแต่ละครั้ง โดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่เกิดขึ้น ก้อย - คุณชนะ หัว - คุณแพ้ อัตราต่อรองของการขึ้นหางเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง และคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์ต่อ 1 ดอลลาร์ ดังนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของคุณจึงเป็นศูนย์ เพราะ ในทางคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถรู้ได้ว่าคุณจะเป็นผู้นำหรือแพ้หลังจากทอย 2 ครั้งหรือหลังจาก 200 ครั้ง
กำไรรายชั่วโมงของคุณเป็นศูนย์ การชนะรายชั่วโมงคือจำนวนเงินที่คุณคาดว่าจะชนะในหนึ่งชั่วโมง คุณสามารถพลิกเหรียญ 500 ครั้งภายในหนึ่งชั่วโมง แต่คุณจะไม่ชนะหรือแพ้เพราะ โอกาสของคุณไม่ใช่ทั้งบวกและลบ จากมุมมองของผู้เล่นที่จริงจังระบบการเดิมพันดังกล่าวก็ไม่เลว แต่นี่เป็นเพียงการเสียเวลา
แต่สมมติว่ามีคนต้องการเดิมพัน $ 2 กับ $ 1 ของคุณในเกมเดียวกัน จากนั้นคุณมีความคาดหวังในเชิงบวก 50 เซ็นต์ทันทีจากการเดิมพันแต่ละครั้ง ทำไมต้อง 50 เซ็นต์? โดยเฉลี่ยแล้ว คุณชนะหนึ่งเดิมพันและแพ้ในครั้งที่สอง เดิมพันดอลลาร์แรกและเสีย 1 ดอลลาร์ เดิมพันที่สองและชนะ 2 ดอลลาร์ คุณเดิมพัน $ 1 สองครั้งและนำหน้า $ 1 ดังนั้น การเดิมพันหนึ่งดอลลาร์แต่ละครั้งจะให้ 50 เซ็นต์แก่คุณ
หากเหรียญร่วง 500 ครั้งในหนึ่งชั่วโมง เงินรางวัลรายชั่วโมงของคุณจะเป็น $ 250 เพราะ โดยเฉลี่ยแล้ว คุณแพ้ 1 ดอลลาร์ 250 ครั้ง และชนะ 2 ดอลลาร์ 250 ครั้ง $ 500 ลบ $ 250 เท่ากับ $ 250 ซึ่งเป็นเงินรางวัลทั้งหมด โปรดทราบว่ามูลค่าที่คาดหวังซึ่งเป็นจำนวนเงินที่คุณชนะโดยเฉลี่ยในการเดิมพันหนึ่งครั้งคือ 50 เซ็นต์ คุณชนะ $ 250 โดยวางเดิมพันดอลลาร์ 500 ครั้ง ซึ่งเท่ากับ 50 เซ็นต์จากเงินเดิมพัน
ค่าที่คาดหวังไม่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ในระยะสั้น คู่ต่อสู้ของคุณที่ตัดสินใจเดิมพัน $ 2 กับคุณ สามารถเอาชนะคุณได้ในการโยนสิบครั้งแรกติดต่อกัน แต่ด้วยข้อได้เปรียบของการเดิมพัน 2 ต่อ 1 สิ่งอื่นๆ ที่เท่าเทียมกันในทุกสถานการณ์ จะได้รับ 50 เซ็นต์จาก เดิมพันแต่ละครั้งของ $ 1 ไม่ว่าคุณจะชนะหรือแพ้เดิมพันเดียวหรือหลายเดิมพัน แต่ถ้าคุณมีเงินสดเพียงพอที่จะชดเชยค่าใช้จ่ายอย่างใจเย็น หากคุณยังคงเดิมพันในลักษณะเดียวกัน ในช่วงเวลาที่ยาวนาน เงินรางวัลของคุณจะขึ้นอยู่กับผลรวมของความคาดหวังของคุณในการทุ่มแต่ละครั้ง
ทุกครั้งที่คุณเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (การเดิมพันที่สามารถทำกำไรได้ในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะชนะบางสิ่งบางอย่างอย่างแน่นอน และไม่สำคัญว่าคุณจะแพ้หรือไม่ มันหรือไม่อยู่ในมือนี้ ในทางกลับกัน หากคุณเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่แย่ที่สุด (การเดิมพันที่ไม่ทำกำไรในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองไม่อยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะสูญเสียบางสิ่งโดยไม่คำนึงว่าคุณจะชนะหรือแพ้ในมือที่กำหนด
คุณเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหากความคาดหวังของคุณเป็นบวก และเป็นบวกหากอัตราต่อรองอยู่เคียงข้างคุณ เมื่อวางเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่แย่ที่สุด คุณมีความคาดหวังเชิงลบ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออัตราต่อรองกับคุณ นักพนันที่จริงจังเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเท่านั้น ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด พวกเขาจะหมอบ อัตราต่อรองหมายถึงอะไรในความโปรดปรานของคุณ? คุณอาจจบลงด้วยชัยชนะมากกว่าอัตราต่อรองที่แท้จริง อัตราต่อรองที่แท้จริงของหางขึ้นมาคือ 1 ต่อ 1 แต่คุณจะได้ 2 ต่อ 1 เนื่องจากอัตราส่วนของการเดิมพัน ในกรณีนี้ อัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ดีที่สุดอย่างแน่นอนด้วยความคาดหวังในเชิงบวกที่ 50 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน
มีมากกว่านี้ ตัวอย่างที่ซับซ้อนความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เพื่อนของคุณเขียนตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงห้าและเดิมพัน 5 ดอลลาร์ต่อ 1 ดอลลาร์ของคุณ โดยคุณจะไม่กำหนดหมายเลขที่ซ่อนอยู่ คุณควรเห็นด้วยกับการเดิมพันดังกล่าวหรือไม่? อะไรคือความคาดหวังที่นี่?
โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะผิดสี่ครั้ง จากข้อมูลนี้ อัตราต่อรองที่คุณคาดเดาตัวเลขคือ 4 ต่อ 1 โอกาสที่คุณจะเสียเงินหนึ่งดอลลาร์ในการลองครั้งเดียว อย่างไรก็ตาม คุณชนะ 5 ต่อ 1 หากคุณแพ้ 4 ต่อ 1 ดังนั้น อัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณสามารถเดิมพันและหวังว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้น หากคุณวางเดิมพันนี้ห้าครั้ง โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะสูญเสียสี่ครั้ง $1 และชนะ $ 5 หนึ่งครั้ง จากสิ่งนี้ สำหรับการทดลองทั้งห้าครั้ง คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์โดยมีมูลค่าที่คาดหวังเป็นบวก 20 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน
ผู้เล่นที่จะชนะมากกว่าที่เดิมพัน ดังตัวอย่างข้างต้น จะเป็นผู้จับอัตราต่อรอง ตรงกันข้าม เขาทำลายโอกาสเมื่อเขาคาดว่าจะชนะน้อยกว่าที่เขาเดิมพัน ผู้เล่นที่ทำการเดิมพันสามารถมีความคาดหวังในเชิงบวกหรือเชิงลบ ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเขาจับหรือทำลายอัตราต่อรอง
หากคุณเดิมพัน $ 50 เพื่อชนะ $ 10 โดยมีโอกาสชนะ 4 ต่อ 1 คุณจะได้รับความคาดหวังเชิงลบที่ $ 2 เพราะ โดยเฉลี่ย คุณชนะสี่ครั้ง 10 ดอลลาร์ และเสีย 50 ดอลลาร์ หนึ่งครั้ง ซึ่งแสดงว่าการสูญเสียสำหรับการเดิมพันหนึ่งครั้งคือ 10 ดอลลาร์ แต่ถ้าคุณเดิมพัน $ 30 เพื่อชนะ $ 10 โดยมีโอกาสชนะ 4 ต่อ 1 เท่ากัน ในกรณีนี้คุณมีความคาดหวังในเชิงบวกที่ $ 2 เพราะ คุณชนะอีกครั้งสี่ครั้งด้วยเงิน 10 ดอลลาร์ และเสีย 30 ดอลลาร์ 1 ครั้งเพื่อผลกำไร 10 ดอลลาร์ ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเดิมพันครั้งแรกไม่ดีและครั้งที่สองเป็นสิ่งที่ดี
ความคาดหวังเป็นศูนย์กลางของทุกสถานการณ์ในเกม เมื่อเจ้ามือรับแทงพนันสนับสนุนให้แฟนฟุตบอลเดิมพัน 11 ดอลลาร์เพื่อชนะ 10 ดอลลาร์ พวกเขามีความคาดหวังในเชิงบวก 50 เซ็นต์สำหรับทุกๆ 10 ดอลลาร์ หากคาสิโนจ่ายเงินเท่ากันจากเส้นผ่านในเกมแคร็ปส์ ความคาดหวังในเชิงบวกของคาสิโนจะอยู่ที่ประมาณ 1.40 ดอลลาร์ต่อทุกๆ 100 ดอลลาร์เพราะ เกมนี้มีโครงสร้างในลักษณะที่ทุกคนที่เดิมพันในสายนี้เสีย 50.7% โดยเฉลี่ยและชนะ 49.3% ของเวลาทั้งหมด ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่เป็นความคาดหวังในเชิงบวกที่น้อยที่สุดที่นำผลกำไรมหาศาลมาสู่เจ้าของคาสิโนทั่วโลก ตามที่เจ้าของคาสิโน Vegas World Bob Stupak ตั้งข้อสังเกตว่า “ความน่าจะเป็นเชิงลบหนึ่งในพันเปอร์เซ็นต์ในระยะทางที่ยาวพอจะพังทลาย คนที่รวยที่สุดในโลก".
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เมื่อเล่นโปกเกอร์
เกมโป๊กเกอร์เป็นตัวอย่างที่มีภาพประกอบและเป็นตัวอย่างมากที่สุดในแง่ของการใช้ทฤษฎีและคุณสมบัติของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์
มูลค่าที่คาดหวังในโป๊กเกอร์คือผลประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจหนึ่งๆ โดยที่การตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีตัวเลขจำนวนมากและระยะทางไกล เกมโป๊กเกอร์ที่ประสบความสำเร็จคือการยอมรับการเคลื่อนไหวด้วยความคาดหวังในเชิงบวกเสมอ
ความหมายทางคณิตศาสตร์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เมื่อเล่นโป๊กเกอร์คือเรามักจะเจอตัวแปรสุ่มเมื่อทำการตัดสินใจ (เราไม่รู้ว่าไพ่ใบใดอยู่ในมือของคู่ต่อสู้ เราต้องพิจารณาคำตอบแต่ละข้อจากมุมมองของทฤษฎีจำนวนมาก ซึ่งบอกว่าด้วยตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มจะมีแนวโน้มไปทางการคาดหมายทางคณิตศาสตร์
ในบรรดาสูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ต่อไปนี้เป็นสูตรที่เหมาะสมที่สุดในโป๊กเกอร์:
เมื่อเล่นโป๊กเกอร์ มูลค่าที่คาดหวังสามารถคำนวณได้ทั้งการเดิมพันและการโทร ในกรณีแรก ควรพิจารณาส่วนของผู้ถือหุ้น ในกรณีที่สอง - อัตราต่อรองของหม้อเอง เมื่อประเมินความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนไหว ควรจำไว้ว่าการพับมักจะไม่มีการคาดหวัง ดังนั้น การทิ้งไพ่จะเป็นการตัดสินใจที่ทำกำไรได้มากกว่าการเคลื่อนไหวเชิงลบใดๆ เสมอ
ความคาดหวังบอกคุณถึงสิ่งที่คุณคาดหวังได้ (กำไรหรือขาดทุน) สำหรับทุกๆ ดอลลาร์ที่คุณเสี่ยง คาสิโนทำเงินเพราะความคาดหวังของเกมทั้งหมดที่ฝึกฝนอยู่ในความโปรดปรานของคาสิโน ด้วยชุดเกมที่ยาวพอสมควร เราสามารถคาดหวังได้ว่าลูกค้าจะเสียเงินของเขา เนื่องจาก "ความน่าจะเป็น" อยู่ในความโปรดปรานของคาสิโน อย่างไรก็ตาม ผู้เล่นคาสิโนมืออาชีพจำกัดเกมของตนไว้ในช่วงเวลาสั้น ๆ ซึ่งจะเป็นการเพิ่มโอกาสในความโปรดปรานของพวกเขา เช่นเดียวกับการลงทุน หากความคาดหวังของคุณเป็นไปในเชิงบวก คุณสามารถทำเงินได้มากขึ้นโดยทำการซื้อขายจำนวนมากในระยะเวลาอันสั้น ความคาดหวังคือเปอร์เซ็นต์ของกำไรจากการชนะคูณด้วยกำไรเฉลี่ยลบด้วยโอกาสขาดทุนคูณด้วยการสูญเสียเฉลี่ย
โป๊กเกอร์ยังสามารถดูในแง่ของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถสรุปได้ว่าการเคลื่อนไหวบางอย่างสามารถทำกำไรได้ แต่ในบางกรณีอาจไม่ดีที่สุดเพราะการเคลื่อนไหวอื่นให้ผลกำไรมากกว่า สมมติว่าคุณตีไพ่เต็มบ้านด้วยไพ่ห้าใบ เดิมพันคู่ต่อสู้ของคุณ คุณรู้ว่าถ้าคุณเพิ่มราคาเสนอของคุณ เขาจะตอบ ดังนั้นการเลี้ยงจึงเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด แต่ถ้าคุณเพิ่มเดิมพัน ผู้เล่นสองคนที่เหลือจะหมอบแน่นอน แต่ถ้าคุณโทรไป คุณจะแน่ใจได้เลยว่าผู้เล่นอีกสองคนหลังจากที่คุณทำแบบเดียวกัน เมื่อคุณเพิ่มเงินเดิมพัน คุณจะได้รับหนึ่งหน่วย และเรียกง่ายๆ ว่า - สอง ดังนั้น การปรับสมดุลจะทำให้คุณมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกที่สูงขึ้นและเป็นกลวิธีที่ดีที่สุด
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังสามารถให้แนวคิดว่ากลวิธีใดที่ทำกำไรได้น้อยกว่าในโป๊กเกอร์และอันไหนมากกว่า ตัวอย่างเช่น เมื่อเล่นบางมือ คุณเชื่อว่าการสูญเสียของคุณจะเฉลี่ย 75 เซ็นต์ รวมทั้งแอนตี ดังนั้นมือนี้จึงควรเล่นเพราะ นี้ดีกว่าพับเมื่อ ante คือ $1
เหตุผลสำคัญอีกประการหนึ่งสำหรับการทำความเข้าใจแก่นแท้ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ก็คือ ทำให้คุณรู้สึกสงบไม่ว่าคุณจะชนะเดิมพันหรือไม่: หากคุณเดิมพันดีหรือพับตรงเวลา คุณจะรู้ว่าคุณได้เงินหรือเก็บออมไว้จำนวนหนึ่ง ของเงินซึ่งผู้เล่นที่อ่อนแอกว่าไม่สามารถบันทึกได้ มันยากกว่ามากที่จะพับถ้าคุณไม่พอใจที่คู่ต่อสู้ของคุณสร้างชุดค่าผสมที่แข็งแกร่งขึ้นในการแลกเปลี่ยน ทั้งหมดนี้ เงินที่คุณบันทึกไว้โดยไม่ต้องเล่น แทนที่จะเดิมพัน จะถูกเพิ่มเข้าไปในเงินรางวัลของคุณต่อคืนหรือต่อเดือน
แค่จำไว้ว่าถ้าคุณเปลี่ยนมือ ฝ่ายตรงข้ามจะโทรหาคุณ และอย่างที่คุณจะเห็นในบทความ "The Fundamental Theorem of Poker" นี่เป็นเพียงข้อดีของคุณ คุณควรมีความสุขเมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น คุณยังสามารถเรียนรู้ที่จะเพลิดเพลินไปกับมือที่เสียไป เพราะคุณรู้ว่าผู้เล่นคนอื่นในตำแหน่งของคุณจะแพ้มากกว่านั้นอีกมาก
ดังที่กล่าวไว้ในตัวอย่างการเล่นเหรียญในตอนเริ่มต้น อัตราผลตอบแทนรายชั่วโมงนั้นสัมพันธ์กับมูลค่าที่คาดหวัง และแนวคิดนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับผู้เล่นมืออาชีพ เมื่อคุณจะเล่นโป๊กเกอร์ คุณต้องประเมินในใจว่าคุณสามารถชนะได้มากแค่ไหนในหนึ่งชั่วโมงของการเล่น ในกรณีส่วนใหญ่ คุณจะต้องพึ่งพาสัญชาตญาณและประสบการณ์ของคุณ แต่คุณสามารถใช้คณิตศาสตร์ได้บ้าง ตัวอย่างเช่น คุณกำลังเล่น Draw Lowball และคุณเห็นผู้เล่นสามคนเดิมพัน 10 ดอลลาร์ แล้วแลกไพ่สองใบ ซึ่งเป็นกลยุทธ์ที่แย่มาก คุณอาจคิดว่าทุกครั้งที่พวกเขาเดิมพัน 10 ดอลลาร์ พวกเขาสูญเสียประมาณ 2 ดอลลาร์ แต่ละคนทำแปดครั้งต่อชั่วโมง ซึ่งหมายความว่าทั้งสามสูญเสียประมาณ 48 ดอลลาร์ต่อชั่วโมง คุณเป็นหนึ่งในผู้เล่นสี่คนที่เหลือ ซึ่งมีค่าเท่ากันโดยประมาณ ดังนั้นผู้เล่นสี่คนนี้ (และหนึ่งในนั้นคือคุณ) ต้องหาร 48 ดอลลาร์ และกำไรของแต่ละคนจะเท่ากับ 12 ดอลลาร์ต่อชั่วโมง อัตราต่อรองรายชั่วโมงของคุณในกรณีนี้เป็นเพียงส่วนแบ่งของจำนวนเงินที่สูญเสียโดยผู้เล่นที่ไม่ดีสามคนในหนึ่งชั่วโมง
ในช่วงเวลาที่ยาวนาน ผลตอบแทนรวมของผู้เล่นคือผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเขาในมือของแต่ละคน ยิ่งคุณเล่นด้วยความคาดหวังในเชิงบวก ยิ่งคุณชนะ และในทางกลับกัน ยิ่งคุณเล่นด้วยความคาดหวังเชิงลบมากเท่าไร คุณก็ยิ่งสูญเสียมากขึ้นเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ คุณควรเลือกเกมที่สามารถเพิ่มความคาดหวังในเชิงบวกของคุณหรือปฏิเสธเกมเชิงลบ เพื่อให้คุณสามารถเพิ่มเงินรางวัลรายชั่วโมงของคุณได้สูงสุด
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกในกลยุทธ์เกม
หากคุณรู้วิธีนับไพ่ คุณอาจได้เปรียบคาสิโนหากพวกเขาไม่เห็นและไล่คุณออกไป คาสิโนรักนักพนันที่ขี้เมาและไม่สามารถยืนนับไพ่ได้ ความได้เปรียบจะช่วยให้คุณชนะครั้งต่อครั้งมากกว่าที่คุณแพ้ การจัดการเงินที่ดีโดยใช้การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะช่วยให้คุณได้รับประโยชน์มากขึ้นและลดการขาดทุน ถ้าไม่มีข้อได้เปรียบ คุณก็ควรบริจาคเงินเพื่อการกุศล ในการซื้อขายในตลาดหลักทรัพย์ ความได้เปรียบมาจากระบบเกม ซึ่งสร้างผลกำไรมากกว่าการขาดทุน ส่วนต่างของราคา และค่าคอมมิชชัน ไม่มีการจัดการเงินจำนวนเท่าใดที่จะบันทึกระบบเกมที่ไม่ดี
ความคาดหวังในเชิงบวกถูกกำหนดโดยค่าที่มากกว่าศูนย์ ยิ่งตัวเลขนี้มากเท่าไร ความคาดหวังทางสถิติก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้น หากค่าน้อยกว่าศูนย์ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเป็นค่าลบด้วย ยิ่งโมดูลัสของค่าลบมากเท่าไหร่ สถานการณ์ก็ยิ่งแย่ลงเท่านั้น หากผลลัพธ์เป็นศูนย์ แสดงว่าความคาดหวังนั้นคุ้มทุน คุณสามารถชนะได้ก็ต่อเมื่อคุณมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวก ระบบการเล่นที่สมเหตุสมผล การเล่นด้วยสัญชาตญาณนำไปสู่หายนะ
ความคาดหวังและการแลกเปลี่ยนซื้อขาย
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นตัวบ่งชี้ทางสถิติที่มีความต้องการอย่างกว้างขวางและเป็นที่นิยมในการดำเนินการซื้อขายแลกเปลี่ยนในตลาดการเงิน ก่อนอื่น พารามิเตอร์นี้ใช้เพื่อวิเคราะห์ความสำเร็จของการซื้อขาย ไม่ยากเลยที่จะคาดเดาว่ายิ่งมูลค่าที่กำหนดมากเท่าใด ก็ยิ่งมีเหตุผลมากขึ้นในการพิจารณาการค้าที่ศึกษาที่ประสบความสำเร็จ แน่นอน การวิเคราะห์งานของเทรดเดอร์ไม่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือของพารามิเตอร์นี้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ค่าที่คำนวณได้ร่วมกับวิธีอื่นๆ ในการประเมินคุณภาพของงานสามารถปรับปรุงความถูกต้องของการวิเคราะห์ได้อย่างมาก
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มักจะถูกคำนวณในบริการของการตรวจสอบบัญชีซื้อขาย ซึ่งช่วยให้คุณประเมินงานที่ทำในการฝากเงินได้อย่างรวดเร็ว เป็นข้อยกเว้น เราสามารถอ้างอิงกลยุทธ์ที่ใช้ "การนั่งเฉยๆ" กับการซื้อขายที่ไม่ทำกำไรได้ เทรดเดอร์อาจโชคดีในบางครั้ง ดังนั้น งานของเขาอาจไม่ขาดทุนเลย ในกรณีนี้จะไม่สามารถนำทางได้ด้วยความคาดหวังเท่านั้นเพราะจะไม่คำนึงถึงความเสี่ยงที่ใช้ในงาน
ในการซื้อขายในตลาด มักใช้ความคาดหวังในการคาดการณ์ความสามารถในการทำกำไรของกลยุทธ์การซื้อขายหรือเมื่อคาดการณ์รายได้ของนักซื้อขายตามข้อมูลทางสถิติของการซื้อขายครั้งก่อนๆ
ในแง่ของการจัดการเงิน มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจว่าเมื่อทำการซื้อขายด้วยความคาดหวังเชิงลบ ไม่มีแผนการจัดการเงินที่สามารถสร้างผลกำไรได้สูงอย่างแน่นอน หากคุณยังคงเล่นในตลาดหลักทรัพย์ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ไม่ว่าคุณจะจัดการเงินอย่างไร คุณจะสูญเสียบัญชีทั้งหมดไม่ว่าจะใหญ่แค่ไหนในตอนเริ่มต้น
สัจพจน์นี้ไม่เพียงแต่เป็นความจริงสำหรับเกมหรือการซื้อขายที่มีความคาดหวังเชิงลบเท่านั้น แต่ยังเป็นความจริงสำหรับเกมที่มีโอกาสเท่ากัน ดังนั้น ครั้งเดียวที่คุณมีโอกาสที่จะได้รับประโยชน์ในระยะยาวคือเมื่อคุณเข้าสู่การซื้อขายด้วยมูลค่าที่คาดหวังในเชิงบวก
ความแตกต่างระหว่างความคาดหวังเชิงลบและความคาดหวังเชิงบวกคือความแตกต่างระหว่างชีวิตและความตาย ไม่สำคัญว่าความคาดหวังจะเป็นไปในเชิงบวกหรือเชิงลบเพียงใด สิ่งที่สำคัญคือมันจะเป็นบวกหรือลบ ดังนั้น ก่อนพิจารณาปัญหาการจัดการเงิน คุณต้องหาเกมที่มีความคาดหวังในเชิงบวก
หากคุณไม่มีเกมดังกล่าว การจัดการเงินในโลกนี้จะไม่ช่วยคุณได้ ในทางกลับกัน หากคุณมีความคาดหวังในเชิงบวก คุณสามารถเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันการเติบโตแบบทวีคูณผ่านการจัดการเงินที่ดีได้ ไม่สำคัญหรอกว่าความคาดหวังในเชิงบวกจะมากน้อยแค่ไหน! กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่สำคัญว่าระบบการซื้อขายสัญญาเดียวจะทำกำไรได้มากเพียงใด หากคุณมีระบบที่ชนะ $ 10 ต่อสัญญาในการซื้อขายครั้งเดียว (หลังจากหักค่าคอมมิชชั่นและ Slippage) คุณสามารถใช้เทคนิคการจัดการเงินเพื่อให้มีกำไรมากกว่าระบบที่แสดงกำไรเฉลี่ย $ 1,000 ต่อการซื้อขาย (หลังหัก ของค่าคอมมิชชั่นและ Slippage)
สิ่งที่สำคัญไม่ใช่ว่าระบบมีผลกำไรมากน้อยเพียงใด แต่สามารถพูดได้ว่าระบบจะแสดงผลกำไรขั้นต่ำในอนาคตอย่างน้อยที่สุดได้อย่างไร ดังนั้น การเตรียมการที่สำคัญที่สุดที่ผู้ค้าสามารถทำได้คือต้องแน่ใจว่าระบบแสดงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกในอนาคต
เพื่อให้มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกในอนาคต เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะไม่จำกัดระดับความเป็นอิสระของระบบของคุณ ซึ่งทำได้ไม่เพียงแค่การกำจัดหรือลดจำนวนพารามิเตอร์ที่จะปรับให้เหมาะสมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการลดกฎของระบบให้ได้มากที่สุด ทุกพารามิเตอร์ที่คุณเพิ่ม ทุกกฎที่คุณสร้าง ทุกการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ น้อยๆ ที่คุณทำกับระบบ จะลดจำนวนองศาอิสระลง ตามหลักการแล้ว คุณต้องสร้างระบบที่ค่อนข้างดั้งเดิมและเรียบง่าย ซึ่งจะสร้างผลกำไรเล็กน้อยอย่างต่อเนื่องในเกือบทุกตลาด อีกครั้ง เป็นสิ่งสำคัญที่คุณเข้าใจดีว่าไม่สำคัญว่าระบบจะทำกำไรได้มากเพียงใด ตราบใดที่ระบบนั้นทำกำไรได้ เงินที่คุณได้รับจากการซื้อขายจะได้รับผ่านการจัดการเงินที่มีประสิทธิภาพ
ระบบการซื้อขายเป็นเพียงเครื่องมือที่ให้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกแก่คุณ เพื่อให้สามารถใช้การจัดการเงินได้ ระบบที่ทำงาน (แสดงกำไรขั้นต่ำอย่างน้อย) ในตลาดเพียงหนึ่งหรือสองสามตลาด หรือมีกฎหรือพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันสำหรับตลาดที่แตกต่างกัน ส่วนใหญ่จะไม่ทำงานตามเวลาจริงนานพอ ปัญหาของผู้ค้าที่เชี่ยวชาญด้านเทคโนโลยีส่วนใหญ่คือพวกเขาใช้เวลาและความพยายามมากเกินไปในการปรับกฎและค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ของระบบการซื้อขายให้เหมาะสม สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์ที่ตรงกันข้ามอย่างสิ้นเชิง แทนที่จะเปลืองพลังงานและเวลาในคอมพิวเตอร์เพื่อเพิ่มผลกำไรของระบบการซื้อขาย ให้เน้นที่พลังงานของคุณที่การเพิ่มระดับความน่าเชื่อถือของการทำกำไรขั้นต่ำ
เมื่อรู้ว่าการจัดการเงินเป็นเพียงเกมตัวเลขที่ต้องใช้ความคาดหวังในเชิงบวก ผู้ค้าสามารถหยุดมองหา "จอกศักดิ์สิทธิ์" ของการซื้อขายหุ้น แต่เขาสามารถเริ่มทดสอบวิธีการซื้อขายของเขา หาว่าวิธีนี้มีเหตุผลอย่างไร ไม่ว่าจะให้ความคาดหวังในเชิงบวกหรือไม่ วิธีการจัดการเงินที่ถูกต้องซึ่งนำไปใช้กับวิธีการซื้อขายใดๆ ก็ตาม แม้แต่วิธีการซื้อขายระดับปานกลาง จะทำงานที่เหลือเอง
เพื่อให้ผู้ค้ารายใดประสบความสำเร็จในการทำงาน จำเป็นต้องแก้ไขสามภารกิจที่สำคัญที่สุด:. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าจำนวนของข้อตกลงที่ประสบความสำเร็จนั้นเกินข้อผิดพลาดที่หลีกเลี่ยงไม่ได้และการคำนวณผิด ตั้งค่าระบบการซื้อขายของคุณเพื่อให้โอกาสในการสร้างรายได้ได้บ่อยที่สุด เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เป็นบวกจากการดำเนินงานของคุณมีเสถียรภาพ
และที่นี่ เราซึ่งเป็นผู้ค้าที่ทำงานอยู่ สามารถช่วยได้ด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เทอมนี้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในคำสำคัญ ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสามารถประมาณการค่าเฉลี่ยของค่าสุ่มบางค่าได้ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจะคล้ายกับจุดศูนย์ถ่วง หากเราจินตนาการว่าความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นจุดที่มีมวลต่างกัน
เมื่อนำไปใช้กับกลยุทธ์การซื้อขาย ในการประเมินประสิทธิผล มักใช้การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของกำไร (หรือขาดทุน) พารามิเตอร์นี้ถูกกำหนดเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของระดับกำไรขาดทุนที่กำหนด และความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น กลยุทธ์การซื้อขายที่พัฒนาแล้วถือว่า 37% ของการดำเนินการทั้งหมดจะสร้างกำไร และส่วนที่เหลือ - 63% - จะไม่ทำกำไร ในเวลาเดียวกัน รายได้เฉลี่ยจากการซื้อขายที่ประสบความสำเร็จจะเท่ากับ 7 ดอลลาร์ และการสูญเสียเฉลี่ยจะอยู่ที่ 1.4 ดอลลาร์ มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการซื้อขายโดยใช้ระบบต่อไปนี้:
ตัวเลขนี้หมายความว่าอย่างไร มันบอกว่าตามกฎของระบบนี้ โดยเฉลี่ยแล้ว เราจะได้รับ $1.708 จากการปิดการซื้อขายแต่ละครั้ง เนื่องจากค่าประมาณประสิทธิภาพที่ได้รับมีค่ามากกว่าศูนย์ ระบบดังกล่าวจึงสามารถใช้กับงานจริงได้ หากผลจากการคำนวณ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์กลายเป็นลบ แสดงว่ามีการขาดทุนโดยเฉลี่ยแล้ว และการค้าขายดังกล่าวจะนำไปสู่ความพินาศ
จำนวนกำไรต่อการค้าสามารถแสดงเป็นค่าสัมพัทธ์ในรูปแบบของ% ตัวอย่างเช่น:
- เปอร์เซ็นต์ของรายได้ต่อ 1 ดีล - 5%;
- เปอร์เซ็นต์ของการดำเนินการซื้อขายที่ประสบความสำเร็จ - 62%;
- เปอร์เซ็นต์ของการสูญเสียต่อ 1 ดีล - 3%;
- เปอร์เซ็นต์ของการทำธุรกรรมที่ไม่สำเร็จ - 38%;
นั่นคือการค้าเฉลี่ยจะสร้าง 1.96%
เป็นไปได้ที่จะพัฒนาระบบที่แม้จะมีการซื้อขายที่ไม่ทำกำไรอย่างแพร่หลาย แต่ก็ให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก เนื่องจาก MO> 0
อย่างไรก็ตาม การรอคนเดียวไม่เพียงพอ เป็นการยากที่จะทำเงินหากระบบให้สัญญาณการซื้อขายน้อยมาก ในกรณีนี้ความสามารถในการทำกำไรจะเทียบได้กับดอกเบี้ยธนาคาร ให้แต่ละธุรกรรมให้ค่าเฉลี่ยเพียง 0.50 ดอลลาร์ แต่ถ้าระบบถือว่า 1,000 ธุรกรรมต่อปี นี้จะเป็นจำนวนเงินที่ร้ายแรงมากในเวลาอันสั้น จากนี้ไปอย่างมีเหตุมีผลว่าคุณลักษณะที่แตกต่างอื่นของระบบการซื้อขายที่ดีถือได้ว่าเป็นช่วงเวลาสั้น ๆ ในการถือครองตำแหน่ง
ที่มาและลิงค์
dic.academic.ru - พจนานุกรมอินเทอร์เน็ตเชิงวิชาการ
math.ru - เว็บไซต์การศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์
nsu.ru - เว็บไซต์การศึกษาของ Novosibirsk มหาวิทยาลัยของรัฐ
webmath.ru เป็นพอร์ทัลการศึกษาสำหรับนักเรียน ผู้สมัคร และเด็กนักเรียน
exponenta.ru เว็บไซต์คณิตศาสตร์เพื่อการศึกษา
ru.tradimo.com - โรงเรียนซื้อขายออนไลน์ฟรี
crypto.hut2.ru - แหล่งข้อมูลสหสาขาวิชาชีพ
poker-wiki.ru - สารานุกรมฟรีของโป๊กเกอร์
sernam.ru - ห้องสมุดวิทยาศาสตร์ของสิ่งพิมพ์วิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่เลือก
reshim.su - เว็บไซต์ LET'S SOLVE งานควบคุมหลักสูตร
unfx.ru - Forex ที่ UNFX: การฝึกอบรม สัญญาณการซื้อขาย การจัดการความน่าเชื่อถือ
slovopedia.com - พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่ของสโลวีเนีย
Pokermansion.3dn.ru - คำแนะนำของคุณสู่โลกโป๊กเกอร์
statanaliz.info - บล็อกข้อมูล "การวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ"
forex-trader.rf - พอร์ทัล Forex-Trader
megafx.ru - การวิเคราะห์ Forex ที่ทันสมัย
fx-by.com - ทุกอย่างสำหรับเทรดเดอร์
ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ากฎการจัดจำหน่ายกำหนดลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม กฎหมายการจัดจำหน่ายมักไม่เป็นที่รู้จักและต้องจำกัดตัวเองให้มีข้อมูลน้อยลง ในบางครั้ง การใช้ตัวเลขที่อธิบายตัวแปรสุ่มโดยรวมนั้นมีประโยชน์มากกว่า ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม.
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่ง
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มโดยประมาณ
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดตามความน่าจะเป็น
หากตัวแปรสุ่มมีลักษณะเฉพาะด้วยอนุกรมการแจกแจงแบบจำกัดขอบเขต:
| X | x 1 | x2 | x 3 | … | x น |
| R | หน้า 1 | หน้า 2 | หน้า 3 | … | พีพี |
แล้วค่าที่คาดหวัง เอ็ม (เอ็กซ์)กำหนดโดยสูตร:
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มอยู่ที่ไหน X.
ตัวอย่างที่ 4.7หาความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนแต้มที่ทิ้งโดยการโยนลูกเต๋า
สารละลาย:
ค่าสุ่ม Xรับค่า 1, 2, 3, 4, 5, 6 มาเขียนกฎการแจกแจงกัน:
| X | ||||||
| R |
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ:
คุณสมบัติความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่สูงสุด:
M (C) = C.
2. ปัจจัยคงที่สามารถนำออกนอกเครื่องหมายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
M (CX) = ซม. (X)
3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน:
M (XY) = M (X) M (Y)
ตัวอย่าง 4.8... ตัวแปรสุ่มอิสระ Xและ Yกำหนดโดยกฎหมายการจำหน่ายดังต่อไปนี้:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม XY
สารละลาย.
มาหาการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของปริมาณที่กำหนดแต่ละปริมาณกัน:
ตัวแปรสุ่ม Xและ Yอิสระดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการ:
M (XY) = M (X) M (Y) =
ผลที่ตามมาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มหลายตัวที่ไม่ขึ้นต่อกันมีค่าเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน
4. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว เท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข:
M (X + Y) = M (X) + M (Y)
ผลที่ตามมาการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มหลายตัวจะเท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข
ตัวอย่างที่ 4.9ยิง 3 นัด มีโอกาสยิงโดนเป้าหมายเท่ากับ หน้า 1 = 0,4; หน้า 2= 0.3 และ หน้า 3= 0.6. ค้นหามูลค่าที่คาดไว้ของจำนวน Hit ทั้งหมด
สารละลาย.
จำนวนการยิงนัดแรกเป็นตัวแปรสุ่ม X 1ซึ่งสามารถรับได้เพียงสองค่า: 1 (hit) ด้วยความน่าจะเป็น หน้า 1= 0.4 และ 0 (พลาด) ด้วยความน่าจะเป็น คิว 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของจำนวนครั้งที่ยิงนัดแรกเท่ากับความน่าจะเป็นของการยิง:
ในทำนองเดียวกัน เราพบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการเข้าชมในช็อตที่สองและสาม:
เอ็ม (เอ็กซ์ 2)= 0.3 และ M (X 3) = 0,6.
จำนวนทั้งหมด hits นอกจากนี้ยังมีตัวแปรสุ่มที่ประกอบด้วยผลรวมของการโจมตีในแต่ละช็อตทั้งสาม:
X = X 1 + X 2 + X 3
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการ Xเราหาได้จากทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ การคาดหวังผลรวม
มาคำนวณค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มใน MS EXCEL
ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
ค่าเฉลี่ยตัวอย่างหรือ ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง(ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง, ค่าเฉลี่ย) คือ เฉลี่ยเลขคณิตค่าทั้งหมด การสุ่มตัวอย่าง .
ใน MS EXCEL เพื่อคำนวณ ตัวอย่างเฉลี่ยคุณสามารถใช้ฟังก์ชัน AVERAGE () เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน คุณต้องระบุการอ้างอิงไปยังช่วงที่มีค่า การสุ่มตัวอย่าง .
ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นการประมาณการจุด "ดี" (ไม่มีอคติและมีประสิทธิภาพ) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่ม (ดู) เช่น ค่ากลางการกระจายดั้งเดิมจากการที่ ตัวอย่าง .
บันทึก: เกี่ยวกับการคำนวณ ช่วงความเชื่อมั่นเมื่อประเมิน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถอ่านได้เช่นในบทความ
คุณสมบัติบางอย่าง เลขคณิต :
- ผลรวมของการเบี่ยงเบนทั้งหมดจาก ค่ากลางเท่ากับ 0:
- ถ้าในแต่ละค่า x ฉัน เราบวกหนึ่งและค่าคงที่เดียวกัน กับ, แล้ว เฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นตามค่าคงที่เดียวกัน
- หากค่า x i แต่ละค่าคูณด้วยค่าคงที่เดียวกัน กับ, แล้ว เฉลี่ยคูณด้วยค่าคงที่เดียวกัน
มูลค่าที่คาดหวัง
หมายถึงสามารถคำนวณได้ไม่เพียง แต่สำหรับตัวอย่างเท่านั้น แต่สำหรับตัวแปรสุ่มหากทราบ ในกรณีนี้ หมายถึงมีชื่อพิเศษ - มูลค่าที่คาดหวังมูลค่าที่คาดหวังกำหนดลักษณะค่า "กลาง" หรือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม
บันทึก: ในวรรณคดีภาษาอังกฤษมีคำศัพท์หลายคำที่ใช้แทนความหมาย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: ความคาดหวัง, การคาดหมายทางคณิตศาสตร์, EV (ค่าที่คาดหวัง), ค่าเฉลี่ย, ค่าเฉลี่ย, ค่าเฉลี่ย, E [X] หรือช่วงเวลาแรก M [X]
มูลค่าที่คาดหวังคำนวณโดยสูตร:
โดยที่ x i คือค่าที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้ และ p (x i) คือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะใช้ค่านี้
หากตัวแปรสุ่มมี แล้ว มูลค่าที่คาดหวังคำนวณโดยสูตร
- จำนวนเด็กชายในทารกแรกเกิด 10 คน
เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขนี้ไม่เป็นที่รู้จักล่วงหน้า และในเด็กสิบคนที่จะเกิดต่อไปอาจมี:
หรือเด็กผู้ชาย - หนึ่งเดียวเท่านั้นของตัวเลือกที่ระบุไว้
และเพื่อให้มีรูปร่างที่ดี พลศึกษาเล็กน้อย:
- ระยะกระโดดไกล (ในบางหน่วย).
แม้แต่ผู้เชี่ยวชาญด้านกีฬาก็ไม่สามารถคาดเดาเธอได้ :)
อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของคุณ?
2) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง - ใช้ ทั้งหมดค่าตัวเลขจากบางช่วงจำกัดหรืออนันต์
บันทึก : ในวรรณคดีเพื่อการศึกษา คำย่อ DSV และ NSV เป็นที่นิยม
ก่อนอื่น มาวิเคราะห์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกัน จากนั้น - ต่อเนื่อง.
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
- มัน ความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณนี้กับความน่าจะเป็น กฎหมายมักเขียนไว้ในตาราง: 
ค่อนข้างบ่อยคำว่า แถว
การกระจายแต่ในบางสถานการณ์อาจฟังดูคลุมเครือ ดังนั้นฉันจะยึด "กฎหมาย" ไว้
และตอนนี้ มาก จุดสำคัญ
: ตั้งแต่ตัวแปรสุ่ม อย่างจำเป็นจะยอมรับ ความหมายอย่างหนึ่งแล้วเหตุการณ์ที่สอดคล้องกันแบบฟอร์ม เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่ากับหนึ่ง:
หรือถ้าเขียนยุบ:
ตัวอย่างเช่น กฎการแจกแจงความน่าจะเป็นของคะแนนที่ตกจากแม่พิมพ์มีดังนี้: 
ไม่มีความเห็น.
คุณอาจรู้สึกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามารถรับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็ม "ดี" เท่านั้น มาปัดเป่าภาพลวงตากันเถอะ - มันสามารถเป็นอะไรก็ได้:
ตัวอย่างที่ 1
เกมบางเกมมีกฎหมายการจัดจำหน่ายที่ชนะดังต่อไปนี้: 
... คุณอาจฝันถึงงานดังกล่าวมานานแล้ว :) ฉันจะบอกความลับกับคุณ - ฉันด้วย โดยเฉพาะหลังเลิกงาน ทฤษฎีสนาม.
สารละลาย: เนื่องจากตัวแปรสุ่มรับได้เพียงตัวเดียว สามค่าแล้วเหตุการณ์ที่สอดคล้องกันแบบฟอร์ม เต็มกลุ่มซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง: 
เราจะเปิดเผย "พรรคพวก": 
- ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะหน่วยทั่วไปคือ 0.4
การควบคุม: สิ่งที่จำเป็นต้องเชื่อ
ตอบ:
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่กฎหมายการจำหน่ายสินค้าจะต้องมีการร่างขึ้นอย่างอิสระ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ ความหมายคลาสสิกของความน่าจะเป็น, ทฤษฎีการคูณ/การบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และชิปอื่นๆ tervera:
ตัวอย่าง 2
กล่องบรรจุลอตเตอรี 50 ใบ โดยในจำนวนนี้มี 12 ใบที่ชนะ โดย 2 ใบถูกรางวัลละ 1,000 rubles และที่เหลือ - แต่ละ 100 rubles ร่างกฎหมายการกระจายของตัวแปรสุ่ม - ขนาดของผลตอบแทน ถ้าตั๋วถูกสุ่มจากกล่อง
สารละลาย: ตามที่คุณสังเกตเห็น เป็นเรื่องปกติที่จะจัดเรียงค่าของตัวแปรสุ่มใน ลำดับจากน้อยไปมาก... ดังนั้นเราจึงเริ่มต้นด้วยเงินรางวัลที่น้อยที่สุดคือรูเบิล
มีทั้งหมด 50 - 12 = 38 ใบ และ ความหมายคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่ตั๋วสุ่มออกมาจะเป็นตั๋วที่แพ้
กรณีที่เหลือนั้นเรียบง่าย ความน่าจะเป็นที่จะชนะรูเบิลคือ:
ตรวจสอบ: - และนี่เป็นช่วงเวลาที่น่ายินดีเป็นพิเศษสำหรับงานดังกล่าว!
ตอบ: การกระจายผลตอบแทนที่ต้องการ: 
งานต่อไปสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่างที่ 3
ความน่าจะเป็นที่คนยิงจะโดนเป้าหมายคือ ร่างกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม - จำนวนครั้งหลังจาก 2 นัด
... ฉันรู้ว่าเธอคิดถึง :) จำไว้ ทฤษฎีการคูณและการบวก... คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
กฎหมายการกระจายอธิบายตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ แต่ในทางปฏิบัติจะมีประโยชน์ (และบางครั้งก็มีประโยชน์มากกว่า) ที่จะรู้เพียงบางส่วนเท่านั้น ลักษณะเชิงตัวเลข .
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
การพูด ภาษาง่ายๆ, มัน ค่าเฉลี่ยที่คาดหวังด้วยการทดสอบซ้ำหลายครั้ง ให้ตัวแปรสุ่มรับค่าที่มีความน่าจะเป็น 
ตามลำดับ จากนั้นการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มที่กำหนดคือ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าทั้งหมดเพื่อความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:
หรือยุบ: 
มาคำนวณกัน ตัวอย่างเช่น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม - จำนวนแต้มที่ตกบนลูกเต๋า:
ทีนี้มาจำเกมสมมุติของเรากัน: 
คำถามที่เกิดขึ้น: การเล่นเกมนี้มีกำไรหรือไม่? … ใครมีความประทับใจอะไร? ดังนั้นหลังจากทั้งหมด "มือเปล่า" และคุณจะไม่พูด! แต่คำถามนี้สามารถตอบได้ง่ายๆ ด้วยการคำนวณมูลค่าที่คาดหวัง อันที่จริง - ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักโดยความน่าจะเป็นของการชนะ:
ดังนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเกมนี้คือ แพ้.
อย่าเชื่อความประทับใจ - เชื่อตัวเลข!
ใช่ ที่นี่คุณสามารถชนะ 10 หรือ 20-30 ครั้งติดต่อกัน แต่ในระยะยาว เราจะทำลายอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ และฉันจะไม่แนะนำให้คุณเล่นเกมดังกล่าว :) อาจจะแค่ เพื่อความสนุก.
จากทั้งหมดข้างต้น เป็นไปตามที่การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ค่า RANDOM อีกต่อไป
การมอบหมายงานสร้างสรรค์เพื่อการศึกษาด้วยตนเอง:
ตัวอย่างที่ 4
Mr. X เล่นรูเล็ตยุโรปตามระบบต่อไปนี้: เดิมพัน 100 rubles ที่ "สีแดง" อย่างต่อเนื่อง วาดกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม - กำไรของมัน คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการชนะและปัดเศษให้เป็น kopeck ที่ใกล้ที่สุด เท่าไหร่ เฉลี่ยผู้เล่นแพ้ทุก ๆ ร้อยเดิมพัน?
อ้างอิง : รูเล็ตยุโรปประกอบด้วย 18 แดง 18 ดำและ 1 ภาคสีเขียว ("ศูนย์") ในกรณีที่มีการตี "แดง" ผู้เล่นจะได้รับเงินเดิมพันสองเท่ามิฉะนั้นจะเข้าสู่รายได้ของคาสิโน
มีระบบเกมรูเล็ตอื่น ๆ อีกมากมายที่คุณสามารถสร้างตารางความน่าจะเป็นของคุณเองได้ แต่นี่เป็นกรณีที่เราไม่จำเป็นต้องมีกฎหมายและตารางการแจกแจง เพราะมีการกำหนดไว้แล้วว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผู้เล่นจะเหมือนกันทุกประการ จากระบบสู่ระบบเท่านั้นการเปลี่ยนแปลง
นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับโซลูชันอิสระ ซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้
ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์เป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่ใช้บ่อยที่สุดของตัวแปรสุ่ม พวกเขากำหนดคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของการกระจาย: ตำแหน่งและระดับของการกระจาย ค่าที่คาดหวังมักเรียกง่ายๆ ว่าค่าเฉลี่ย ตัวแปรสุ่ม. การกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม - ลักษณะของการกระจาย, การกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม เกี่ยวกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน
ในปัญหาเชิงปฏิบัติหลายๆ ประการ คุณลักษณะที่สมบูรณ์และละเอียดถี่ถ้วนของตัวแปรสุ่ม - กฎการกระจาย - ไม่สามารถรับได้หรือไม่จำเป็นเลย ในกรณีเหล่านี้ จะจำกัดเพียงคำอธิบายโดยประมาณของตัวแปรสุ่มโดยใช้คุณลักษณะเชิงตัวเลข
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
มาที่แนวคิดของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน ให้มวลของสารบางชนิดกระจายไปตามจุดต่างๆ ของแกนแอบซิสซา x1 , x 2 , ..., xน... นอกจากนี้ แต่ละจุดวัสดุมีมวลที่สอดคล้องกันโดยมีความน่าจะเป็นตั้งแต่ พี1 , พี 2 , ..., พีน... จำเป็นต้องเลือกจุดหนึ่งบนแกน abscissa ซึ่งระบุตำแหน่งของจุดวัสดุทั้งระบบโดยคำนึงถึงมวลของพวกมัน เป็นเรื่องปกติที่จะหาจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุเป็นจุดดังกล่าว นี่คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของตัวแปรสุ่ม X, ที่ abscissa ของแต่ละจุด xผมเข้าด้วย "น้ำหนัก" เท่ากับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ค่ากลางของตัวแปรสุ่มที่ได้ด้วยวิธีนี้ Xเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดตามความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้:
ตัวอย่างที่ 1ได้มีการจัดลอตเตอรี่แบบ win-win มีการชนะ 1,000 ครั้งโดย 400 ครั้งคิดเป็น 10 รูเบิล 300 - 20 รูเบิลละ 200 - 100 รูเบิลละ และ 100 - 200 รูเบิล ต่ออัน เงินรางวัลเฉลี่ยสำหรับผู้ซื้อตั๋วหนึ่งใบคือเท่าไร?
สารละลาย. เราจะหาเงินที่ได้มาโดยเฉลี่ยหากจำนวนเงินที่ชนะทั้งหมด ซึ่งเท่ากับ 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50,000 rubles หารด้วย 1,000 (จำนวนเงินที่ชนะทั้งหมด) จากนั้นเราจะได้ 50,000/1000 = 50 รูเบิล แต่นิพจน์สำหรับการคำนวณผลตอบแทนเฉลี่ยสามารถนำเสนอในรูปแบบต่อไปนี้:
ในทางกลับกัน ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ จำนวนของรางวัลจะเป็นตัวแปรสุ่ม ซึ่งสามารถรับค่า 10, 20, 100 และ 200 รูเบิล โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.4 ตามลำดับ 0.3; 0.2; 0.1. ดังนั้น ผลตอบแทนเฉลี่ยที่คาดหวังจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่มีขนาดของผลตอบแทนตามความน่าจะเป็นของการรับ
ตัวอย่างที่ 2ผู้จัดพิมพ์ตัดสินใจจัดพิมพ์หนังสือเล่มใหม่ เขาตั้งใจที่จะขายหนังสือในราคา 280 รูเบิลซึ่งเขาจะได้รับ 200, 50 - ร้านหนังสือและ 30 - ผู้แต่ง ตารางนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับค่าใช้จ่ายในการจัดพิมพ์หนังสือและโอกาสในการขายหนังสือจำนวนหนึ่ง
ค้นหาผลกำไรที่คาดหวังของผู้จัดพิมพ์
สารละลาย. ค่าสุ่ม "กำไร" เท่ากับผลต่างระหว่างรายได้จากการขายกับต้นทุนค่าใช้จ่าย ตัวอย่างเช่น หากขายหนังสือ 500 เล่ม รายได้จากการขายคือ 200 * 500 = 100,000 และค่าใช้จ่ายในการจัดพิมพ์ 225,000 รูเบิล ดังนั้นผู้จัดพิมพ์ต้องเผชิญกับการสูญเสีย 125,000 รูเบิล ตารางต่อไปนี้สรุปค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม - กำไร:
| ตัวเลข | กำไร xผม | ความน่าจะเป็น พีผม | xผม พีผม |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| ทั้งหมด: | 1,00 | 25000 |
ดังนั้นเราจึงได้รับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลกำไรของผู้จัดพิมพ์:
.
ตัวอย่างที่ 3ความน่าจะเป็นต่อนัด พี= 0.2. กำหนดการบริโภคของโพรเจกไทล์โดยให้การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการยิงเท่ากับ 5
สารละลาย. จากสูตรการคาดหมายทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับที่เราเคยใช้มาจนถึงตอนนี้ แสดงว่า x- ปริมาณการใช้กระสุนปืน:
.
ตัวอย่างที่ 4กำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม xจำนวนครั้งที่ยิง 3 นัด ถ้ามีโอกาสยิงแต่ละนัด พี = 0,4 .
คำแนะนำ: พบความน่าจะเป็นของค่าของตัวแปรสุ่มโดย สูตรเบอร์นูลลี .
คุณสมบัติความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
พิจารณาคุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์
ทรัพย์สิน 1ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้:
ทรัพย์สิน 2ปัจจัยคงที่สามารถนำออกนอกเครื่องหมายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
ทรัพย์สิน 3ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวม (ผลต่าง) ของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
ทรัพย์สิน 4.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
ทรัพย์สิน 5.หากค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม Xลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนเท่ากัน กับจากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนเดียวกัน:
เมื่อคุณไม่สามารถถูกจำกัดด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่านั้น
ในกรณีส่วนใหญ่ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวไม่สามารถระบุลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มได้อย่างเพียงพอ
ให้ตัวแปรสุ่ม Xและ Yกำหนดโดยกฎหมายการจำหน่ายดังต่อไปนี้:
| ความหมาย X | ความน่าจะเป็น |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| ความหมาย Y | ความน่าจะเป็น |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณเหล่านี้เหมือนกัน - เท่ากับศูนย์:
อย่างไรก็ตามลักษณะของการกระจายนั้นแตกต่างกัน ค่าสุ่ม Xรับได้เฉพาะค่าที่ต่างกันเพียงเล็กน้อยจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์และตัวแปรสุ่ม Yสามารถรับค่าที่เบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างที่คล้ายกัน: ค่าจ้างเฉลี่ยทำให้ไม่สามารถตัดสินสัดส่วนของคนงานที่ได้รับค่าจ้างสูงและต่ำได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งโดยการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินว่าสิ่งใดเบี่ยงเบนไปจากมัน อย่างน้อยก็โดยเฉลี่ย ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม
การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
การกระจายตัวตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xคือค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของการเบี่ยงเบนจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์:
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม Xค่าเลขคณิตของรากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่า:
.
ตัวอย่างที่ 5คำนวณความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม Xและ Y, กฎหมายการกระจายซึ่งระบุไว้ในตารางด้านบน
สารละลาย. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Xและ Yดังที่พบในข้างต้น มีค่าเท่ากับศูนย์ ตามสูตรการกระจายตัวที่ อี(X)=อี(y) = 0 เราได้รับ:
จากนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม Xและ Yแต่งหน้า
.
ดังนั้น ด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Xมีขนาดเล็กมาก แต่เป็นตัวแปรสุ่ม Y- สำคัญ. นี่เป็นผลมาจากความแตกต่างในการแจกแจง
ตัวอย่างที่ 6ผู้ลงทุนมีโครงการลงทุนทางเลือก 4 โครงการ ตารางสรุปกำไรที่คาดหวังในโครงการเหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน
| โครงการ 1 | โครงการ2 | โครงการ 3 | โครงการ 4 |
| 500, พี=1 | 1000, พี=0,5 | 500, พี=0,5 | 500, พี=0,5 |
| 0, พี=0,5 | 1000, พี=0,25 | 10500, พี=0,25 | |
| 0, พี=0,25 | 9500, พี=0,25 |
ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับแต่ละทางเลือก
สารละลาย. เรามาแสดงวิธีคำนวณค่าเหล่านี้สำหรับทางเลือกที่ 3:
ตารางสรุปค่าที่พบในทางเลือกทั้งหมด
ทางเลือกทั้งหมดมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าในระยะยาวทุกคนมีรายได้เท่ากัน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถตีความได้ว่าเป็นหน่วยวัดความเสี่ยง - ยิ่งมีค่ามากเท่าใด ความเสี่ยงในการลงทุนก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น นักลงทุนที่ไม่ต้องการความเสี่ยงมากนักจะเลือกโครงการที่ 1 เนื่องจากมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยที่สุด (0) หากนักลงทุนให้ความสำคัญกับความเสี่ยงและผลตอบแทนสูงในช่วงเวลาสั้น ๆ เขาจะเลือกโครงการที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใหญ่ที่สุด - โครงการ 4
คุณสมบัติการกระจายตัว
นี่คือคุณสมบัติของความแปรปรวน
ทรัพย์สิน 1ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์:
ทรัพย์สิน 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายความแปรปรวนได้โดยการยกกำลังสองมัน:
.
ทรัพย์สิน 3ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเท่ากับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของปริมาณนี้ จากนั้นลบกำลังสองของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของปริมาณด้วยตัวมันเอง:
,
ที่ไหน 
.
ทรัพย์สิน 4.ความแปรปรวนของผลรวม (ผลต่าง) ของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของความแปรปรวน:
ตัวอย่างที่ 7เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xรับเพียงสองค่า: −3 และ 7 นอกจากนี้ยังทราบการคาดหมายทางคณิตศาสตร์: อี(X) = 4. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
สารละลาย. ให้เราแทนด้วย พีความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มรับค่า x1 = −3 ... แล้วความน่าจะเป็นของค่า x2 = 7 จะเป็น 1 - พี... ให้เราได้สมการสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
อี(X) = x 1 พี + x 2 (1 − พี) = −3พี + 7(1 − พี) = 4 ,
เมื่อเราได้รับความน่าจะเป็น: พี= 0.3 และ 1 - พี = 0,7 .
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม:
| X | −3 | 7 |
| พี | 0,3 | 0,7 |
เราคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้โดยสูตรจากคุณสมบัติ 3 ของความแปรปรวน:
ดี(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
ค้นหาการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มด้วยตัวเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 8ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xรับเพียงสองค่า ยอมรับค่าที่มากกว่า 3 ด้วยความน่าจะเป็น 0.4 นอกจากนี้ยังทราบความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ดี(X) = 6. หาค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม
ตัวอย่างที่ 9ในโกศมีลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก นำลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศ จำนวนลูกบอลสีขาวในลูกบอลที่นำออกมาเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X... ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้
สารละลาย. ค่าสุ่ม Xสามารถนำค่า 0, 1, 2, 3 ค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันสามารถคำนวณได้จาก กฎการคูณความน่าจะเป็น... กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| พี | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
ดังนั้นการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มที่กำหนด:
เอ็ม(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่กำหนด:
ดี(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง การตีความทางกลของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะคงไว้ซึ่งความหมายเดียวกัน: จุดศูนย์กลางมวลสำหรับมวลหน่วยหนึ่งกระจายอย่างต่อเนื่องบนแกน abscissa ด้วยความหนาแน่น ฉ(x). ตรงกันข้ามกับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน xผมเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน สำหรับตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง อาร์กิวเมนต์จะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง แต่การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยด้วย
ในการหาค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง คุณต้องหาอินทิกรัลบางตัว ... หากกำหนดฟังก์ชันความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ก็จะเข้าสู่อินทิกรัลโดยตรง ถ้าให้ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น คุณต้องหาฟังก์ชันความหนาแน่นเพื่อสร้างความแตกต่าง
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเรียกว่ามัน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์, แสดงโดย หรือ.
