อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของคุณสมบัติคือตารางของอินทิกรัล อินทิกรัลไม่แน่นอน แนวคิดของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลที่แน่นอน

ความหมายของการต่อต้านอนุพันธ์

ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ f(x) บนช่วงเวลา (a; b) คือฟังก์ชัน F(x) ที่มีความเท่าเทียมกันสำหรับ x ใดๆ จากช่วงเวลาที่กำหนด

หากเราคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ C เท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกัน . ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x) มีชุดของแอนติเดริเวทีฟ F(x)+C สำหรับค่าคงที่โดยพลการ C และแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้แตกต่างกันด้วยค่าคงที่โดยพลการ

ความหมายของอินทิกรัลไม่แน่นอน

แอนติเดริเวทีฟทั้งชุดของฟังก์ชัน f(x) เรียกว่า อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนของฟังก์ชันนี้ และเขียนแทนด้วย .

การแสดงออกที่เรียกว่า อินทิเกรต, และ f(x) อินทิเกรต. ปริพันธ์คือส่วนต่างของฟังก์ชัน f(x)

การดำเนินการค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักด้วยดิฟเฟอเรนเชียลที่กำหนดเรียกว่า ไม่แน่นอนอินทิเกรต เนื่องจากผลลัพธ์ของการอินทิเกรตไม่ใช่ฟังก์ชัน F(x) หนึ่งฟังก์ชัน แต่เป็นเซตของแอนติเดริเวทีฟ F(x)+C

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของอนุพันธ์ เราสามารถกำหนดและพิสูจน์ได้ คุณสมบัติของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน(คุณสมบัติของแอนติเดริเวทีฟ).

ความเท่าเทียมกันระดับกลางของคุณสมบัติที่หนึ่งและสองของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนมีไว้เพื่อชี้แจง

ในการพิสูจน์คุณสมบัติที่สามและสี่ การหาอนุพันธ์ของด้านขวาของการเท่ากันก็เพียงพอแล้ว:

อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากับอินทิกแรนด์ ซึ่งเป็นการพิสูจน์โดยอาศัยคุณสมบัติข้อแรก นอกจากนี้ยังใช้ในช่วงการเปลี่ยนภาพล่าสุด

ดังนั้น ปัญหาการรวมเป็นปัญหาผกผันของความแตกต่าง และมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างปัญหาเหล่านี้:

• คุณสมบัติแรกอนุญาตให้ตรวจสอบการรวม ในการตรวจสอบความถูกต้องของการรวมที่ทำก็เพียงพอที่จะคำนวณอนุพันธ์ของผลลัพธ์ที่ได้ หากฟังก์ชันที่ได้รับจากความแตกต่างมีค่าเท่ากับอินทิกรันด์ หมายความว่าอินทิเกรตได้ดำเนินการอย่างถูกต้อง
• คุณสมบัติที่สองของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนช่วยให้เราสามารถค้นหาอนุพันธ์ของมันจากส่วนต่างที่ทราบของฟังก์ชัน การคำนวณโดยตรงของอินทิกรัลไม่จำกัดขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 ที่ x = 1

สารละลาย.

เรารู้จากแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ว่า (ดูที่ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น) ดังนั้น, . โดยคุณสมบัติที่สอง . นั่นคือเรามีชุดของสารต่อต้านอนุพันธ์ สำหรับ x = 1 เราจะได้ค่า ตามเงื่อนไข ค่านี้ต้องเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น С = 1 แอนติเดริเวทีฟที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ .

ตัวอย่าง.

ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน และตรวจสอบผลโดยความแตกต่าง

สารละลาย.

ตามสูตรของไซน์ของมุมสองเท่าจากตรีโกณมิติ นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

บทที่ 2 แคลคูลัสเชิงปริพันธ์

อินทิกรัลไม่แน่นอนและความหมายทางเรขาคณิต คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่แน่นอน

วิธีการพื้นฐานของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

อินทิกรัลที่แน่นอนและความหมายทางเรขาคณิต

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ วิธีการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน

เมื่อทราบอนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน คุณจะหาฟังก์ชันนี้ได้เอง (คืนค่าฟังก์ชัน) การกระทำนี้ตรงกันข้ามกับความแตกต่างเรียกว่าบูรณาการ

ฟังก์ชันต่อต้านอนุพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันดังกล่าว
อนุพันธ์ซึ่งเท่ากับฟังก์ชันที่กำหนด เช่น

สำหรับฟังก์ชั่นนี้ ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์มีจำนวนนับไม่ถ้วน ตั้งแต่นั้นมา ฟังก์ชั่นใดๆ
ยังเป็น antiderivative สำหรับ

ชุดของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่า เซตของมัน อินทิกรัลไม่ จำกัดแสดงด้วยสัญลักษณ์:

, ที่ไหน

เรียกว่า อินทิกรันด์, ฟังก์ชัน
- ฟังก์ชันบูรณาการ

ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนในทางเรขาคณิต อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนคือกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัลในระนาบ ซึ่งได้มาจากการแปลกราฟของฟังก์ชันแบบขนาน
ตามแกน y (รูปที่ 3)

คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่แน่นอน

คุณสมบัติ 1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนเท่ากับอินทิกรัล:

คุณสมบัติ 2. ส่วนต่างของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนเท่ากับอินทิกรัล:

คุณสมบัติ 3 อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเท่ากับฟังก์ชันนี้บวก const:

คุณสมบัติ 4. ความเป็นเชิงเส้นของอินทิกรัล

ตารางปริพันธ์พื้นฐาน

	อินทิกรัล
พลัง
สาธิต
ตรีโกณมิติ
ย้อนกลับ ตรีโกณมิติ

วิธีการรวมพื้นฐาน

วิธีการบูรณาการตามส่วนต่างๆเป็นวิธีที่ประกอบด้วยการใช้สูตร:

.

วิธีนี้ใช้เมื่ออินทิกรัล
แก้ได้ง่ายกว่า
. ตามกฎแล้ววิธีนี้จะแก้ปริพันธ์ของแบบฟอร์ม
, ที่ไหน
เป็นพหุนามและเป็นหนึ่งในฟังก์ชันต่อไปนี้:
,
,
, , ,
,
.

พิจารณาฟังก์ชั่นบางอย่าง
กำหนดในช่วงเวลา
, ข้าว. 4. มาดำเนินการ 5 อย่างกันเถอะ

1. แบ่งช่วงเวลาตามจุดโดยพลการ ชิ้นส่วน แสดงว่า
และความยาวที่ใหญ่ที่สุดของบางส่วนเหล่านี้จะแสดงด้วย จะเรียกว่าอันดับแยก

2. ในแต่ละพล็อตบางส่วน
ใช้จุดโดยพลการ และคำนวณค่าของฟังก์ชันในนั้น
.

3. เขียนงาน

4. เพิ่มผลรวม
. ผลรวมนี้เรียกว่าผลรวมรวมหรือผลรวมรีมันน์

5. ปรับปรุงการบด (โดยเพิ่มจำนวนจุดบด) และในขณะเดียวกันก็ปรับอันดับการบดให้เป็นศูนย์ (
) เช่น. (เพิ่มจำนวนจุดบด เราแน่ใจว่าความยาวของส่วนบางส่วนทั้งหมดลดลงและมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์
) เราจะพบลิมิตของลำดับของผลรวมอินทิกรัล

หากขีดจำกัดนี้มีอยู่ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการแยกและการเลือกจุด ก็จะเรียกว่า อินทิกรัลแน่นอนจากฟังก์ชันในช่วงเวลาและแสดงดังนี้:
.

ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอนสมมติว่าฟังก์ชันต่อเนื่องและเป็นบวกในช่วงเวลา พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูที่เป็นเส้นโค้ง เอบีซีดี(รูปที่ 4) ผลรวมของอินทิกรัล
ทำให้เราทราบผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มีฐาน
และความสูง
. สามารถนำมาเป็นค่าโดยประมาณของพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี , เช่น.

,

ยิ่งกว่านั้น ความเสมอภาคนี้จะแม่นยำยิ่งขึ้น การบดละเอียดยิ่งขึ้น และอยู่ในขีดจำกัดที่ น→+∞ และ λ → 0 เราจะได้:

.

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอน

คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลที่แน่นอน

คุณสมบัติ 1. อินทิกรัลแน่นอนที่มีลิมิตเท่ากันมีค่าเท่ากับศูนย์

คุณสมบัติ 2 เมื่อลิมิตของการอินทิกรัลมีการเปลี่ยนแปลง การเปลี่ยนแปลงอินทิกรัลที่แน่นอนจะเป็นสัญญาณตรงกันข้าม

คุณสมบัติ 3. ความเป็นเชิงเส้นของอินทิกรัล

คุณสมบัติ 4. ฟังก์ชัน if จะเป็นตัวเลขอะไรก็ตาม
รวมเข้าด้วยกันในแต่ละช่วงเวลา
,
,
(รูปที่ 5) จากนั้น:

ทฤษฎีบท.หากฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา ดังนั้นอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลาจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของแอนติเดริเวทีฟใดๆ ของฟังก์ชันนี้บนขีดจำกัดบนและล่างของการรวม นั่นคือ

(สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ) .

สูตรนี้ลดการหาปริพันธ์ที่แน่นอนเป็นการหาปริพันธ์ไม่แน่นอน ความแตกต่าง
เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟและแสดงแทน
.

พิจารณาวิธีหลักในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน: การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร (การแทนที่) และการรวมตามส่วน

การแทนที่ (การแทนที่ของตัวแปร) ในอินทิกรัลที่แน่นอน -คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

และ
;

ความคิดเห็นเมื่อคำนวณปริพันธ์แน่นอนโดยใช้การแทนที่ ไม่จำเป็นต้องกลับไปที่อาร์กิวเมนต์เดิม

2. การอินทิกรัลทีละส่วนในอินทิกรัลที่แน่นอนลงมาเพื่อใช้สูตร:

.

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

แบบฝึกหัด 1.หาอินทิกรัลไม่จำกัดโดยการอินทิกรัลโดยตรง

1.
. การใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน เรานำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล จากนั้น ดำเนินการแปลงทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น เรานำอินทิกแรนด์มาอยู่ในรูปเลขยกกำลัง:

.

ภารกิจที่ 2หาอินทิกรัลไม่จำกัดโดยใช้วิธีเปลี่ยนตัวแปร

1.
. มาเปลี่ยนตัวแปรกันเถอะ
, แล้ว . อินทิกรัลดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:

ดังนั้นเราจึงได้อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของรูปแบบตาราง: ฟังก์ชันยกกำลัง จากการใช้กฎการหาอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันยกกำลัง เราพบว่า:

การแทนที่แบบย้อนกลับเราได้คำตอบสุดท้าย:

ภารกิจที่ 3ค้นหาอินทิกรัลไม่แน่นอนโดยใช้วิธีการอินทิกรัลทีละส่วน

1.
. ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: ความหมาย ... ขั้นพื้นฐานแนวคิด อินทิกรัล แคลคูลัส- แนวคิด ไม่มีกำหนด อินทิกรัล ... ไม่มีกำหนด อินทิกรัล หลัก คุณสมบัติ ไม่มีกำหนด อินทิกรัลใช้ตาราง วิชาเอก ไม่แน่นอน ...

โปรแกรมการทำงานของวินัยทางวิชาการ "คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น" รอบ

โปรแกรมการทำงาน

... หลักกฎหมาย... อินทิกรัล แคลคูลัสฟังก์ชันของ Antiderivative ตัวแปรเดียว ไม่แน่นอน อินทิกรัลและ ของเขา คุณสมบัติ ... อินทิกรัลและ ของเขา ทางเรขาคณิต ความหมาย. อินทิกรัล...พิกัด. ไม่แน่นอน อินทิกรัลและ...และใช้งานได้จริง ชั้นเรียน". Petrushko I.M. , ...

งานหลักของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือการหาอนุพันธ์ ฉ'(x)หรือดิฟเฟอเรนเชียล df=ฉ'(x)ดีเอ็กซ์ฟังก์ชั่น ฉ(x).ในแคลคูลัสอินทิกรัล ปัญหาผกผันจะได้รับการแก้ไข ตามหน้าที่ที่กำหนด ฉ(x) จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันดังกล่าว ฉ(x),อะไร ฟ'(x)=ฉ(x)หรือ ดีเอฟ(x)=ฟ'(x)dx=ฉ(x)ดีเอ็กซ์

ดังนั้น, งานหลักของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์เป็นฟังก์ชั่นการกู้คืน ฉ(x)โดยอนุพันธ์ที่ทราบ (ดิฟเฟอเรนเชียล) ของฟังก์ชันนี้ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์มีการประยุกต์มากมายในด้านเรขาคณิต กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และเทคโนโลยี เป็นวิธีการทั่วไปในการหาพื้นที่ ปริมาตร จุดศูนย์ถ่วง ฯลฯ

คำนิยาม. การทำงานฉ(x), เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันฉ(x) บนเซต X ถ้ามันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าใดๆ และฟ'(x)=ฉ(x) หรือดีเอฟ(x)=ฉ(x)ดีเอ็กซ์

ทฤษฎีบท. ต่อเนื่องใดๆ ในส่วน [ก;ข] ฟังก์ชันฉ(x) มีการต่อต้านอนุพันธ์ในส่วนนี้เอฟ(x).

ทฤษฎีบท. ถ้าเอฟ 1 (x) และเอฟ 2 (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟที่แตกต่างกันสองตัวที่มีฟังก์ชันเดียวกันฉ(x) ในเซต x จากนั้นพวกมันจะแตกต่างกันด้วยค่าคงที่ เช่นเอฟ 2 (x)=F1x)+C โดยที่ C เป็นค่าคงที่.

อินทิกรัลไม่แน่นอน, คุณสมบัติของมัน

คำนิยาม. รวมฉ(x)+C ของสารต่อต้านอนุพันธ์ทั้งหมดฉ(x) ในชุด X เรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด และแสดงแทน:

- (1)

ในสูตร (1) ฉ(x)ดีเอ็กซ์เรียกว่า อินทิกรัล,ฉ(x) คืออินทิกแรนด์ x คือตัวแปรอินทิเกรตก C คือค่าคงที่ของการรวม

พิจารณาคุณสมบัติของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนซึ่งตามมาจากนิยามของมัน

1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่จำกัดเท่ากับอินทิกรัล ส่วนต่างของอินทิกรัลไม่จำกัดเท่ากับอินทิกรัล:

และ .

2. อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของดิฟเฟอเรนเชียลของบางฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันนี้และค่าคงที่ตามอำเภอใจ:

3. ปัจจัยคงที่ a (a≠0) สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนได้:

4. อินทิกรัลไม่จำกัดของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของปริพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:

5. ถ้าฉ(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันฉ(x) จากนั้น:

6 (ค่าคงที่ของสูตรการรวม) สูตรการรวมใดๆ จะคงรูปแบบไว้หากตัวแปรการรวมถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรนี้:

ที่ไหนu เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้

ตารางของปริพันธ์ไม่แน่นอน

มาเลย กฎพื้นฐานสำหรับการรวมฟังก์ชัน

มาเลย ตารางของอินทิกรัลพื้นฐานไม่จำกัด(โปรดสังเกตว่าที่นี่ เช่นเดียวกับในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ตัวอักษร ยูเรียกได้ว่าเป็นตัวแปรอิสระ (คุณ=x)และฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ (คุณ=ยู(x)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1) (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|ยู|< |a|).

ปริพันธ์ 1 - 17 เรียกว่า ตาราง

สูตรข้างต้นบางสูตรของตารางอินทิกรัลซึ่งไม่มีอะนาล็อกในตารางอนุพันธ์ ได้รับการตรวจสอบโดยการแยกความแตกต่างของด้านขวามือ

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและการอินทิกรัลทีละส่วนในอินทิกรัลไม่แน่นอน

การอินทิเกรตโดยการแทนที่(การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร). ให้มันจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล

ซึ่งไม่เป็นตาราง สาระสำคัญของวิธีการแทนที่คือในอินทิกรัลของตัวแปร เอ็กซ์แทนที่ตัวแปร ทีตามสูตร x=φ(เสื้อ),ที่ไหน dx=φ'(เสื้อ)ด.ต.

ทฤษฎีบท. ให้ฟังก์ชั่นx=φ(t) ถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ในบางเซต T และให้ X เป็นเซตของค่าของฟังก์ชันนี้ซึ่งฟังก์ชันถูกกำหนดฉ(x). แล้วถ้าในเซต X ฟังก์ชันฉ(

อินทิกรัลแคลคูลัส

ฟังก์ชันดั้งเดิม

คำนิยาม: เรียกฟังก์ชัน F(x) ฟังก์ชันต่อต้านอนุพันธ์ฟังก์ชัน f(x) บนเซกเมนต์ หาก ณ จุดใดๆ ของเซ็กเมนต์นี้ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

ควรสังเกตว่าสามารถมีแอนติเดริเวทีฟมากมายนับไม่ถ้วนสำหรับฟังก์ชันเดียวกัน พวกเขาจะแตกต่างกันด้วยจำนวนคงที่

F 1 (x) = F 2 (x) + C

อินทิกรัลไม่แน่นอน

คำนิยาม: อินทิกรัลไม่แน่นอนฟังก์ชัน f(x) เป็นเซตของฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ ซึ่งกำหนดโดยความสัมพันธ์:

เขียนลงไป:

เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัลที่ไม่มีกำหนดในส่วนหนึ่งคือความต่อเนื่องของฟังก์ชันในส่วนนี้

คุณสมบัติ:

1.

2.

3.

4.

ตัวอย่าง:

การหาค่าอินทิกรัลไม่จำกัดนั้นส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ สำหรับบางฟังก์ชัน นี่เป็นงานที่ค่อนข้างยาก ด้านล่างเราจะพิจารณาวิธีการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดสำหรับคลาสหลักของฟังก์ชัน - เหตุผล, ไร้เหตุผล, ตรีโกณมิติ, เลขชี้กำลัง ฯลฯ

เพื่อความสะดวกค่าของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของฟังก์ชันพื้นฐานส่วนใหญ่จะถูกรวบรวมไว้ในตารางอินทิกรัลพิเศษซึ่งบางครั้งก็มีปริมาณมาก ประกอบด้วยชุดค่าผสมของฟังก์ชันต่างๆ ที่พบมากที่สุด แต่สูตรส่วนใหญ่ที่นำเสนอในตารางเหล่านี้เป็นผลที่ตามมาของกันและกัน ดังนั้นด้านล่างนี้คือตารางของอินทิกรัลพื้นฐาน ซึ่งคุณสามารถรับค่าของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของฟังก์ชันต่างๆ ได้

อินทิกรัล		ความหมาย	อินทิกรัล		ความหมาย
		lnsinx+ C
		ล

วิธีการบูรณาการ

ลองพิจารณาวิธีการรวมพื้นฐานสามวิธี

การรวมโดยตรง

วิธีการรวมโดยตรงขึ้นอยู่กับสมมติฐานของค่าที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันต่อต้านการอนุพันธ์ด้วยการตรวจสอบเพิ่มเติมของค่านี้โดยความแตกต่าง โดยทั่วไป เราทราบดีว่าความแตกต่างเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการตรวจสอบผลลัพธ์ของการผสานรวม

พิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีนี้กับตัวอย่าง:

จำเป็นต้องหาค่าของอินทิกรัล . ตามสูตรการสร้างความแตกต่างที่รู้จักกันดี
เราสามารถสรุปได้ว่าอินทิกรัลที่ต้องการเท่ากับ
โดยที่ C เป็นจำนวนคงที่ อย่างไรก็ตามในทางกลับกัน
. ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ในที่สุด:

โปรดทราบว่าไม่เหมือนกับการหาอนุพันธ์ตรงที่มีการใช้เทคนิคและวิธีการที่ชัดเจนในการหาอนุพันธ์ กฎในการหาอนุพันธ์ และสุดท้ายคือคำจำกัดความของอนุพันธ์ วิธีการดังกล่าวไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ หากเมื่อค้นหาอนุพันธ์ เราใช้วิธีเชิงสร้างสรรค์ซึ่งตามกฎบางอย่างนำไปสู่ผลลัพธ์ เมื่อค้นหาอนุพันธ์เราต้องพึ่งพาความรู้ของตารางอนุพันธ์และอนุพันธ์เป็นหลัก

สำหรับวิธีการรวมโดยตรงนั้นใช้ได้กับบางคลาสของฟังก์ชันที่จำกัดมากเท่านั้น มีฟังก์ชั่นน้อยมากที่คุณสามารถค้นหาแอนติเดริเวทีฟได้ทันที ดังนั้นในกรณีส่วนใหญ่จะใช้วิธีการที่อธิบายไว้ด้านล่าง

วิธีการทดแทน (การแทนที่ตัวแปร)

ทฤษฎีบท: ถ้าคุณต้องการหาอินทิกรัล
แต่เป็นการยากที่จะหาแอนติเดริเวทีฟ จากนั้นแทนที่ x = (t) และ dx = (t)dt เราจะได้รับ:

การพิสูจน์ : มาแยกแยะความเท่าเทียมกันที่เสนอกัน:

ตามคุณสมบัติข้างต้นหมายเลข 2 ของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน:

ฉ(x) ดีเอ็กซ์ = ฉ[  (ที)]  (ที) ด.ต

โดยคำนึงถึงสัญกรณ์แนะนำเป็นข้อสันนิษฐานเบื้องต้น ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง.ค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน
.

มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ ที = บาป, ด.ต = cosxdt.

ตัวอย่าง.

เปลี่ยน
เราได้รับ:

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาตัวอย่างอื่นๆ ของการใช้วิธีการแทนที่สำหรับฟังก์ชันประเภทต่างๆ

การบูรณาการตามส่วนต่างๆ

วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับสูตรที่รู้จักกันดีสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

(uv) = uv + vu

โดยที่ u และ v เป็นฟังก์ชันบางอย่างของ x

ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล: d(uv) = udv + vdu

หลังจากบูรณาการ เราได้รับ:
และตามคุณสมบัติข้างต้นของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน:

หรือ
;

เราได้สูตรการอินทิเกรตทีละส่วนที่ช่วยให้เราสามารถหาอินทิกรัลของฟังก์ชันพื้นฐานจำนวนมากได้

ตัวอย่าง.

อย่างที่คุณเห็น การใช้สูตรอินทิกรัลทีละส่วนอย่างสม่ำเสมอช่วยให้คุณค่อยๆ ลดความซับซ้อนของฟังก์ชันและทำให้อินทิกรัลกลายเป็นตาราง

ตัวอย่าง.

จะเห็นได้ว่าเนื่องจากการใช้การรวมทีละส่วนซ้ำๆ กัน ฟังก์ชันจึงไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็นรูปแบบตารางได้ อย่างไรก็ตาม อินทิกรัลสุดท้ายที่ได้มาก็ไม่แตกต่างจากของเดิม ดังนั้นเราจึงโอนไปทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน

ดังนั้นจึงหาอินทิกรัลได้โดยไม่ต้องใช้ตารางของปริพันธ์เลย

ก่อนที่จะพิจารณารายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการอินทิกรัลของคลาสต่างๆ ของฟังก์ชัน เราจะให้ตัวอย่างเพิ่มเติมอีกสองสามตัวอย่างในการหาอินทิกรัลที่ไม่จำกัดโดยการลดให้เป็นตาราง

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

การอินทิเกรตเศษส่วนเบื้องต้น.

คำนิยาม: ประถมศึกษาเศษส่วนสี่ประเภทต่อไปนี้เรียกว่า:

ฉัน.
สาม.

ครั้งที่สอง
IV.

m, n เป็นจำนวนธรรมชาติ (m  2, n  2) และ b 2 - 4ac<0.

อินทิกรัลสองประเภทแรกของเศษส่วนมูลฐานค่อนข้างง่ายในการแทนค่าแบบตาราง t = ax + b

พิจารณาวิธีการรวมเศษส่วนมูลฐานในรูปแบบ III

อินทิกรัลของเศษส่วนประเภท III สามารถแสดงเป็น:

โดยทั่วไปแล้ว การลดอินทิกรัลของเศษส่วนในรูปแบบ III เป็นสองอินทิกรัลแบบตารางจะแสดงที่นี่

พิจารณาการใช้สูตรข้างต้นพร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

โดยทั่วไป หากแกนตรีโกณมิติ 2 + bx + c มีนิพจน์ b 2 - 4ac > 0 ดังนั้น เศษส่วนตามนิยามแล้วไม่ใช่ค่ามูลฐาน อย่างไรก็ตาม มันสามารถรวมเข้าด้วยกันด้วยวิธีข้างต้นได้

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

ให้เราพิจารณาวิธีการอินทิเกรตเศษส่วนที่ง่ายที่สุดประเภท IV

ขั้นแรก ให้พิจารณากรณีพิเศษสำหรับ M = 0, N = 1

จากนั้นอินทิกรัลของแบบฟอร์ม
สามารถแสดงโดยการเน้นสี่เหลี่ยมเต็มในตัวส่วนเป็น
. มาทำการแปลงต่อไปนี้:

อินทิกรัลที่สองที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกันนี้จะถูกแยกส่วน

แสดงว่า:

สำหรับอินทิกรัลดั้งเดิม เราได้รับ:

เรียกว่าสูตรผลลัพธ์ กำเริบหากคุณใช้มัน n-1 ครั้ง คุณจะได้อินทิกรัลของตาราง
.

ให้เรากลับไปที่อินทิกรัลของเศษส่วนเบื้องต้นของแบบฟอร์ม IV ในกรณีทั่วไป

ในผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน อินทิกรัลตัวแรกใช้การแทนที่ ที = ยู 2 + สลดลงเป็นตาราง และสูตรที่เกิดซ้ำที่พิจารณาข้างต้นใช้กับอินทิกรัลที่สอง

แม้จะมีความซับซ้อนที่ชัดเจนของการรวมเศษส่วนระดับประถมศึกษาประเภท IV แต่ในทางปฏิบัตินั้นค่อนข้างง่ายที่จะนำไปใช้กับเศษส่วนที่มีระดับเล็กน้อย นและความเป็นสากลและทั่วไปของวิธีการทำให้สามารถนำวิธีนี้ไปใช้ได้อย่างง่ายดายบนคอมพิวเตอร์

ตัวอย่าง:

การบูรณาการของฟังก์ชันที่มีเหตุผล

การอินทิเกรตของเศษส่วนตรรกยะ.

ในการรวมเศษส่วนตรรกยะเข้าด้วยกัน จำเป็นต้องแยกย่อยออกเป็นเศษส่วนมูลฐาน

ทฤษฎีบท: ถ้า
เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม ตัวส่วน P(x) ซึ่งแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยเชิงเส้นและกำลังสอง (โปรดทราบว่าพหุนามใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงสามารถแสดงได้ดังนี้: พี(x) = (x - ก)  …(x - ข)  (x 2 + พิกเซล + ถาม)  …(x 2 + อาร์เอ็กซ์ + ส)  ) จากนั้นเศษส่วนนี้สามารถแยกย่อยออกเป็นเศษส่วนเบื้องต้นตามรูปแบบต่อไปนี้:

โดยที่ A i , B i , M i , N i , R i , S i เป็นค่าคงที่บางค่า

เมื่อทำการรวมเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ เราจะใช้วิธีแยกเศษส่วนเดิมออกเป็นเศษส่วนมูลฐาน ในการหาค่า A i , B i , M i , N i , R i , S i ใช้สิ่งที่เรียกว่า วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนสาระสำคัญคือ เพื่อให้พหุนามสองชื่อมีค่าเท่ากัน มันจำเป็นและเพียงพอที่ค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของ x จะต้องเท่ากัน

เราจะพิจารณาการใช้วิธีนี้กับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่าง.

การลดลงเป็นตัวส่วนร่วมและสมการตัวเศษที่สอดคล้องกัน เราได้รับ:

ตัวอย่าง.

เพราะ หากเศษส่วนไม่ถูกต้อง ก่อนอื่นคุณควรเลือกส่วนจำนวนเต็มจากนั้น:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x3 + 8x2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x2-25x-25

เราแยกส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ออกเป็นปัจจัย จะเห็นได้ว่าที่ x = 3 ตัวส่วนของเศษส่วนจะกลายเป็นศูนย์ แล้ว:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

ดังนั้น 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3)(3x 2 + 5x - 2) = (x - 3)(x + 2)(3x - 1) แล้ว:

เพื่อหลีกเลี่ยงการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนของวงเล็บเปิด การจัดกลุ่มและการแก้ระบบสมการ (ซึ่งในบางกรณีอาจมีค่าค่อนข้างมาก) สิ่งที่เรียกว่า วิธีค่าโดยพลการ. สาระสำคัญของวิธีการคือหลาย ๆ ค่า (ตามจำนวนค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน) ค่า x ตามอำเภอใจจะถูกแทนที่ในนิพจน์ที่ได้รับด้านบน เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้นเป็นเรื่องปกติที่จะใช้ค่าโดยพลการของจุดที่ตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์เช่น ในกรณีของเรา - 3, -2, 1/3 เราได้รับ:

ในที่สุดเราก็ได้รับ:

=

ตัวอย่าง.

มาหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน:

จากนั้นค่าของอินทิกรัลที่กำหนด:

การอินทิเกรตของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชั่น.

ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถมีได้มากมายนับไม่ถ้วน อินทิกรัลเหล่านี้ส่วนใหญ่ไม่สามารถคำนวณเชิงวิเคราะห์ได้เลย ดังนั้นลองพิจารณาประเภทฟังก์ชันหลักบางประเภทที่สามารถอินทิกรัลได้เสมอ

อินทิกรัลของแบบฟอร์ม
.

โดยที่ R คือการกำหนดฟังก์ชันเชิงตรรกยะของตัวแปร sinx และ cosx

อินทิกรัลประเภทนี้คำนวณโดยใช้การแทนที่
. การแทนที่นี้ทำให้คุณสามารถแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันที่มีเหตุผลได้

,

แล้ว

ดังนั้น:

การเปลี่ยนแปลงที่อธิบายไว้ข้างต้นเรียกว่า การแทนที่ตรีโกณมิติสากล

ตัวอย่าง.

ข้อได้เปรียบที่ไม่อาจปฏิเสธได้ของการแทนที่นี้คือสามารถใช้เพื่อแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันตรรกยะและคำนวณอินทิกรัลที่สอดคล้องกันได้เสมอ ข้อเสียรวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลงอาจส่งผลให้เกิดฟังก์ชันเชิงเหตุผลที่ค่อนข้างซับซ้อน การรวมเข้าด้วยกันจะใช้เวลาและความพยายามมาก

อย่างไรก็ตาม หากเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้การเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่มีเหตุผลมากขึ้น วิธีนี้จะเป็นวิธีเดียวที่ได้ผล

ตัวอย่าง.

อินทิกรัลของแบบฟอร์ม
ถ้า

การทำงานรคอสเอ็กซ์.

แม้จะมีความเป็นไปได้ในการคำนวณอินทิกรัลโดยใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากล แต่ก็มีเหตุผลมากกว่าที่จะใช้การแทนที่ ที = บาป.

การทำงาน
สามารถบรรจุ cosx ได้เฉพาะกับเลขยกกำลังเท่านั้น และดังนั้นจึงสามารถแปลงเป็นฟังก์ชันตรรกยะที่เกี่ยวกับ sinx ได้

ตัวอย่าง.

โดยทั่วไป ในการใช้วิธีนี้ เฉพาะค่าคี่ของฟังก์ชันที่เกี่ยวกับโคไซน์เท่านั้นที่จำเป็น และระดับของไซน์ที่รวมอยู่ในฟังก์ชันสามารถเป็นเท่าใดก็ได้ ทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน

อินทิกรัลของแบบฟอร์ม
ถ้า

การทำงานรเป็นเรื่องแปลกเกี่ยวกับบาป.

โดยเทียบเคียงกับกรณีที่พิจารณาข้างต้นว่าการเปลี่ยนตัว ที = คอสเอ็กซ์.

ตัวอย่าง.

อินทิกรัลของแบบฟอร์ม

การทำงานรค่อนข้างบาปและคอสเอ็กซ์.

ในการแปลงฟังก์ชัน R เป็นฟังก์ชันตรรกยะ จะใช้การแทนที่

t = tgx.

ตัวอย่าง.

อินทิกรัลของผลคูณของไซน์และโคไซน์

ข้อโต้แย้งต่างๆ

ขึ้นอยู่กับประเภทของงาน จะใช้หนึ่งในสามสูตร:

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

บางครั้ง เมื่อรวมฟังก์ชันตรีโกณมิติเข้าด้วยกัน จะเป็นการสะดวกที่จะใช้สูตรตรีโกณมิติที่รู้จักกันดีเพื่อลดลำดับของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.

บางครั้งมีการใช้กลอุบายที่ไม่ได้มาตรฐาน

ตัวอย่าง.

การบูรณาการของฟังก์ชันอตรรกยะบางอย่าง

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันอตรรกยะที่จะมีอินทิกรัลที่แสดงโดยฟังก์ชันมูลฐาน ในการค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันอตรรกยะ เราควรใช้การแทนที่ที่จะทำให้ฟังก์ชันเปลี่ยนให้เป็นฟังก์ชันตรรกยะได้ ซึ่งอินทิกรัลของฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เสมอ ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้ว

พิจารณาเทคนิคบางอย่างสำหรับการรวมฟังก์ชันอตรรกยะประเภทต่างๆ

อินทิกรัลของแบบฟอร์ม
ที่ไหนน- จำนวนธรรมชาติ

ด้วยความช่วยเหลือของการทดแทน
ฟังก์ชันมีเหตุผล

ตัวอย่าง.

ถ้าฟังก์ชันอตรรกยะมีรากของดีกรีต่างกัน มันก็มีเหตุผลที่จะใช้รากของดีกรีเป็นตัวแปรใหม่เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของเลขยกกำลังของรากที่รวมอยู่ในนิพจน์

ลองอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

อินทิเกรตของดิฟเฟอเรนเชียลทวินาม

เรียกฟังก์ชันที่กู้คืนจากอนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียล ดั้งเดิม.

คำนิยาม.การทำงาน เอฟ(x)เรียกว่า ดั้งเดิมสำหรับฟังก์ชั่น

ฉ(x)ในบางช่วงเวลา ถ้าในแต่ละจุดของช่วงเวลานี้

ฉ"(x) = ฉ(x)

หรือซึ่งก็คือ

dF(x) = ฉ(x)dx

ตัวอย่างเช่น, F(x) = บาป xเป็นต้นแบบสำหรับ f(x) = คอส xบนเส้นจำนวนเต็ม อเอ็กซ์, เพราะ

(บาป x)" = cos x

ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) มีการต่อต้านอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) บน [ ก; ข] จากนั้นฟังก์ชัน ฉ(x) + ส, ที่ไหน คจำนวนจริงใด ๆ ยังเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) สำหรับค่าใด ๆ ค. จริงหรือ ( ฉ(x) + ค)" = ฉ"(x) + ค" = ฉ(x).

ตัวอย่าง.

คำนิยาม.ถ้า เอฟ(x)หนึ่งใน antiderivatives สำหรับฟังก์ชัน ฉ(x)บน [ ก; ข] จากนั้นนิพจน์ F(x) + ค, ที่ไหน คค่าคงที่โดยพลการเรียกว่า อินทิกรัลไม่ จำกัดจากฟังก์ชั่น ฉ(x)และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ʃ ฉ(x)ดีเอ็กซ์(อ่าน: อินทิกรัลไม่แน่นอนของ ฉ(x)บน ดีเอ็กซ์). ดังนั้น,

ʃ ฉ (x ) dx=ฉ (x ) + ค ,

ที่ไหน ฉ(x)เรียกว่า อินทิกรัล f(x)dx- อินทิเกรต xคือตัวแปรอินทิกรัล และสัญลักษณ์ ʃ คือเครื่องหมายของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน

คุณสมบัติของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและสมบัติทางเรขาคณิตของมัน

จากนิยามของอินทิกรัลไม่จำกัด จะได้ว่า:

1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนเท่ากับอินทิกรัล:

จริงหรือ, เอฟ"(x) = ฉ(x) และ ʃ ฉ(x)dx=ฉ(x)+ ค. แล้ว

2. ดิฟเฟอเรนเชียลของอินทิกรัลไม่แน่นอนเท่ากับอินทิกรัล

จริงหรือ,

3. อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของอนุพันธ์จะเท่ากับตัวฟังก์ชันเองบวกกับค่าคงที่โดยพลการ:

จริงหรือ, เอฟ"(x) = ฉ(x). แล้ว,

4. อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของดิฟเฟอเรนเชียลเท่ากับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอตบวกกับค่าคงที่โดยพลการ:

จริงหรือ, . แล้ว,

5. ตัวคูณคงที่ เค(เค≠ 0) สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลไม่จำกัด:

6. อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้:

เรียกกราฟดั้งเดิม F(x) ของเส้นโค้งอินทิกรัล. กราฟของการต่อต้านอนุพันธ์อื่นๆ F(x) + คได้มาจากการแปลขนานของเส้นโค้งอินทิกรัล เอฟ(x)ตามแนวแกน เอ๋ย.

ตัวอย่าง.

ตารางปริพันธ์พื้นฐาน

เทคนิคการบูรณาการขั้นพื้นฐาน

1. การรวมโดยตรง (ตาราง)

อินทิเกรตโดยตรง (ตาราง) คือการลดอินทิกรัลให้อยู่ในรูปแบบตารางโดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานและสูตรของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:

ตัวอย่าง2 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง3 .

สารละลาย:

2. วิธีการนำภายใต้ส่วนต่าง

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:

ตัวอย่าง2 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง3 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง4 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง5 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง6 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง7 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง8 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง9 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง10 .

สารละลาย:

3. วิธีที่สองในการนำมาไว้ใต้ส่วนต่าง

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:

ตัวอย่าง2 .

สารละลาย:

4. วิธีการแทนที่ตัวแปร (การแทนที่)

ตัวอย่าง.

สารละลาย:

5. วิธีการบูรณาการตามส่วนต่างๆ

ตามสูตรนี้มีการใช้ปริพันธ์ประเภทต่อไปนี้:

1 ประเภท

, ใช้สูตรแล้ว น- ครั้งเดียว ที่เหลือ ดีวี.

2 พิมพ์.

, ใช้สูตรครั้งเดียว

ตัวอย่าง1 .

สารละลาย:

ตัวอย่างที่ 2

สารละลาย:

ตัวอย่าง3 .

สารละลาย:

ตัวอย่าง4 .

สารละลาย:

การบูรณาการของเศษส่วน

เศษส่วนตรรกยะคืออัตราส่วนของพหุนามสองตัว - องศา ม และ - องศา น,

เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:

1. ถ้า แล้วจะใช้วิธีการหารด้วยมุมเพื่อแยกส่วนทั้งหมด

2. หากตัวส่วนมีรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสด้วย ก็จะใช้วิธีการเสริมกำลังสองเต็ม

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:

ตัวอย่าง2 .

สารละลาย:

3. วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในการขยายเศษส่วนตรรกยะปกติเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย

เศษส่วนตรรกยะใดๆ ที่เหมาะสม โดยสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ที่ไหน A, B, C, D, E, F, M, N,...‒ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนด

หากต้องการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่จำกัด ต้องลดด้านขวาให้เป็นตัวส่วนร่วม เนื่องจากตัวส่วนตรงกับตัวส่วนของเศษส่วนทางด้านขวา จึงสามารถทิ้งพวกมันและตัวเศษเท่ากันได้ จากนั้นให้เทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากัน x ที่ด้านซ้ายและขวา เราได้ระบบสมการเชิงเส้นด้วย น- ไม่ทราบ การแก้ระบบนี้เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ ก, ข, ค, งและอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงแยกย่อยเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมออกเป็นเศษส่วนอย่างง่าย

ลองดูตัวเลือกที่เป็นไปได้พร้อมตัวอย่าง:

1. หากตัวประกอบส่วนเป็นเส้นตรงและแตกต่างกัน:

2. หากมีปัจจัยสั้น ๆ ในตัวประกอบของตัวส่วน:

3. หากตัวประกอบของตัวส่วนมีรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้:

ตัวอย่าง:ขยายผลรวมของเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด บูรณาการ

ตัวอย่างที่ 1

เนื่องจากตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากัน ตัวเศษจึงต้องเท่ากันด้วย เช่น

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่าง3 .