ผลคูณของสองเหตุการณ์และตั้งชื่อเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์เหล่านี้

สินค้าจากงานต่างๆตั้งชื่อเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์เหล่านี้ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนในการโยนเหรียญพร้อมกันสามครั้ง

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเรียกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น คำนวณโดยสมมติว่าเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นแล้ว:

ตัวอย่าง. โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 3 ลูก นำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศสองครั้งโดยไม่ส่งคืน ค้นหาความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวที่ปรากฏในการทดลองครั้งที่สอง (เหตุการณ์) หากลูกบอลสีดำถูกดึงในการทดลองครั้งแรก (เหตุการณ์) ).

วิธีการแก้.หลังจากการทดสอบครั้งแรกในโกศเหลือ 5 ลูก โดย 3 ลูกเป็นสีขาว

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่ต้องการ

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ได้เกิดขึ้นแล้วโดยนิยามเท่ากับ

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น

ทฤษฎีบท. ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่งซึ่งคำนวณภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้นแล้ว:

การพิสูจน์.โดยนิยามความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ความคิดเห็น .เหตุการณ์เทียบเท่ากับเหตุการณ์ เพราะเหตุนี้,

และ. (***)

ผลที่ตามมา ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของหลายเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์อื่นทั้งหมด และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ตามมาแต่ละเหตุการณ์จะคำนวณจากการสันนิษฐานว่าเหตุการณ์ก่อนหน้าทั้งหมดได้เกิดขึ้นแล้ว ( ในกรณีที่เกิดขึ้นสามเหตุการณ์:

ลำดับสถานที่จัดงานสามารถเลือกในลำดับใดก็ได้

ตัวอย่าง. โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีดำ 4 ลูก และลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูก สุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกโดยไม่ส่งคืน จากนั้นจึงสุ่มจับลูกบอลที่สองและสาม ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในการทดลองครั้งแรก ลูกบอลสีขาว (เหตุการณ์) ปรากฏขึ้น ที่ครั้งที่สอง - สีดำ (เหตุการณ์) และที่สาม - สีน้ำเงิน (เหตุการณ์)

วิธีการแก้.ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวที่ปรากฏในการทดลองครั้งแรก

ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีดำที่ปรากฏในการทดลองครั้งที่สอง คำนวณโดยสมมติว่ามีลูกบอลสีขาวปรากฏในการทดลองครั้งแรก (ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข)

ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีน้ำเงินที่ปรากฏในการทดลองครั้งที่สาม คำนวณโดยสมมติว่ามีลูกบอลสีขาวปรากฏในการทดลองครั้งแรกและลูกบอลสีดำในการทดลองครั้งที่สอง (ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข)

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น
ผู้อยู่ในอุปการะและ เหตุการณ์อิสระ

ชื่อเรื่องดูน่ากลัว แต่จริงๆ แล้วง่ายมาก ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตลอดจนวิเคราะห์งานทั่วไปที่ งานสำหรับคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นเจอกันแน่นอน หรือ มีโอกาสมากกว่า ได้เจอกันแล้วในทางของคุณ เพื่อศึกษาเนื้อหาของบทความนี้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณต้องรู้และเข้าใจคำศัพท์พื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสามารถทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายได้ อย่างที่คุณเห็น จำเป็นต้องมีเพียงเล็กน้อย ดังนั้นไขมันบวกในสินทรัพย์จึงเกือบจะรับประกันได้ แต่ในทางกลับกัน ฉันเตือนอีกครั้งเกี่ยวกับทัศนคติที่ผิวเผินต่อตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง - ยังมีรายละเอียดปลีกย่อยเพียงพออีกด้วย ขอให้โชคดี:

ทฤษฎีบทเพิ่มเติมสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของหนึ่งในสอง เข้ากันไม่ได้เหตุการณ์หรือ (ไม่ว่าอะไรก็ตาม)เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ข้อเท็จจริงที่คล้ายคลึงกันก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จำนวนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สามเหตุการณ์ และ :

ทฤษฎีบทความฝัน =) อย่างไรก็ตาม ความฝันดังกล่าวก็มีการพิสูจน์เช่นกัน ซึ่งหาได้ เช่น ใน คู่มือการเรียนวศ.บ. กัมเมอร์แมน.

มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดใหม่ที่ไม่เคยมีใครเห็นมาก่อน:

เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

เริ่มต้นด้วยกิจกรรมอิสระ เหตุการณ์เป็น เป็นอิสระ ถ้าความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น อะไรก็ได้ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจากลักษณะที่ปรากฏ/ไม่ปรากฏของเหตุการณ์อื่นของเซตที่พิจารณา (ในการรวมกันทั้งหมดที่เป็นไปได้) ... แต่มีอะไรที่จะบดบังวลีทั่วไป:

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ: ความน่าจะเป็นของการเกิดร่วมกันของเหตุการณ์อิสระและเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

กลับไปที่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของบทเรียนที่ 1 ซึ่งจะมีการโยนเหรียญสองเหรียญและกิจกรรมต่อไปนี้:

- หัวจะตกบนเหรียญที่ 1;
- หัวบนเหรียญที่ 2

หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กัน (หัวจะปรากฏบนเหรียญที่ 1 และ Eagle จะปรากฏบนเหรียญที่ 2 - จำวิธีการอ่าน สินค้าของกิจกรรม!) . ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวกับเหรียญหนึ่งเหรียญไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของการโยนเหรียญอีกเหรียญ ดังนั้นเหตุการณ์และเหตุการณ์จึงเป็นอิสระ

ในทำนองเดียวกัน:
คือความน่าจะเป็นที่เหรียญที่ 1 จะขึ้นหัว และบนหางที่ 2;
คือความน่าจะเป็นที่หัวปรากฏบนเหรียญที่ 1 และบนหางที่ 2;
คือความน่าจะเป็นที่เหรียญที่ 1 จะตกหาง และบนนกอินทรีตัวที่ 2

โปรดทราบว่าเหตุการณ์รูปแบบ เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง: .

เห็นได้ชัดว่าทฤษฎีบทการคูณขยายไปถึงเหตุการณ์อิสระจำนวนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์เป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกันคือ: มาฝึกกัน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม:

งาน3

แต่ละกล่องสามกล่องมี 10 ส่วน ในกล่องแรกมีชิ้นส่วนมาตรฐาน 8 ชิ้น ส่วนที่สอง - 7 ชิ้นที่สาม - 9 ชิ้นจะถูกสุ่มออกจากแต่ละกล่อง หาความน่าจะเป็นที่ทุกส่วนเป็นมาตรฐาน

วิธีการแก้: ความน่าจะเป็นในการดึงชิ้นส่วนมาตรฐานหรือชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานออกจากกล่องใดๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าส่วนใดจะถูกดึงออกจากกล่องอื่น ดังนั้นปัญหาจึงอยู่ที่เหตุการณ์อิสระ พิจารณาเหตุการณ์อิสระต่อไปนี้:

– ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่ 1
– ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่ 2
- ถอดชิ้นส่วนมาตรฐานออกจากลิ้นชักที่ 3 แล้ว

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
คือความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

งานอีเวนท์ที่เราสนใจ (ส่วนมาตรฐานจะเอามาจากลิ้นชักที่ 1 และจากมาตรฐานที่ 2 และจากมาตรฐานที่ ๓)แสดงโดยผลิตภัณฑ์

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

คือความน่าจะเป็นที่จะดึงส่วนมาตรฐานหนึ่งส่วนจากสามกล่อง

ตอบ: 0,504

หลังจากเติมพลังการออกกำลังกายด้วยกล่องแล้ว โกศที่น่าสนใจรอเราอยู่ไม่น้อย:

งาน 4

โกศสามใบประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 6 ลูกและลูกบอลสีดำ 4 ลูก สุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่: ก) ลูกบอลทั้งสามลูกจะเป็นสีขาว b) ทั้งสามลูกจะเป็นสีเดียวกัน

จากข้อมูลที่ได้รับ ให้เดาวิธีจัดการกับรายการ "เป็น" ;-) ตัวอย่างโซลูชันโดยประมาณได้รับการออกแบบในรูปแบบวิชาการพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของเหตุการณ์ทั้งหมด

เหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน. งานนี้มีชื่อว่า ขึ้นอยู่กับ ถ้ามันเป็นไปได้ พึ่งพาจากเหตุการณ์หนึ่งหรือหลายเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้ว คุณไม่ต้องไปไกลเพื่อดูตัวอย่าง - เพียงไปที่ร้านค้าที่ใกล้ที่สุด:

- พรุ่งนี้เวลา 19.00 น. ขนมปังสดออกขายนะคะ

ความน่าจะเป็นของงานนี้ขึ้นอยู่กับกิจกรรมอื่นๆ มากมาย ไม่ว่าจะเป็นขนมปังสดส่งในวันพรุ่งนี้ ขายหมดก่อน 19.00 น. หรือไม่ ฯลฯ เหตุการณ์นี้สามารถเชื่อถือได้และเป็นไปไม่ได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่างๆ ดังนั้นเหตุการณ์คือ ขึ้นอยู่กับ.

ขนมปัง ... และตามที่ชาวโรมันเรียกร้องวงเวียน:

- ตอนสอบนักเรียนจะได้ตั๋วง่ายๆ

หากคุณไม่ไปเป็นคนแรก เหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับว่าความน่าจะเป็นจะขึ้นอยู่กับตั๋วที่เพื่อนร่วมชั้นได้จับรางวัลไปแล้ว

จะตรวจสอบการพึ่งพา/ความเป็นอิสระของเหตุการณ์ได้อย่างไร?

บางครั้งมีการระบุไว้โดยตรงในเงื่อนไขของปัญหา แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องทำการวิเคราะห์อย่างอิสระ ไม่มีแนวทางที่ชัดเจนในที่นี้ และข้อเท็จจริงของการพึ่งพาอาศัยกันหรือความเป็นอิสระของเหตุการณ์เกิดขึ้นจากการให้เหตุผลเชิงตรรกะตามธรรมชาติ

เพื่อไม่ให้โยนทุกอย่างในกองเดียว งานสำหรับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับฉันจะเน้นในบทเรียนต่อไป แต่ตอนนี้เราจะพิจารณาทฤษฎีบทที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ:

ปัญหาทฤษฎีบทบวกสำหรับความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกัน
และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ควบคู่นี้ตามการประเมินอัตนัยของฉันทำงานในประมาณ 80% ของงานในหัวข้อที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ฮิตฮิตและคลาสสิกที่แท้จริงของทฤษฎีความน่าจะเป็น:

งาน 5

สองมือปืนยิงหนึ่งนัดที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะตีสำหรับนักกีฬาคนแรกคือ 0.8 สำหรับครั้งที่สอง - 0.6 หาความน่าจะเป็นที่:

ก) มีนักกีฬาเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะเข้าเป้า
b) นักกีฬาอย่างน้อยหนึ่งคนจะโดนเป้าหมาย

วิธีการแก้: ความน่าจะเป็นในการตี/พลาดของผู้ยิงคนหนึ่งไม่ขึ้นกับประสิทธิภาพของมือปืนอีกคนอย่างชัดเจน

พิจารณาเหตุการณ์:
– นักกีฬาคนแรกจะตีเป้าหมาย
- มือปืนคนที่ 2 จะตีเป้าหมาย

ตามเงื่อนไข: .

มาหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามกัน - ที่ลูกศรที่เกี่ยวข้องจะพลาด:

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - มีเพียงคนเดียวที่ยิงเข้าเป้า เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สองประการ:

นักกีฬาคนแรกจะตี และพลาดครั้งที่2
หรือ
ที่ 1 จะพลาด และที่ 2 จะตี

ที่ลิ้น พีชคณิตเหตุการณ์ข้อเท็จจริงนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

อันดับแรก เราใช้ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ จากนั้น - ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

คือความน่าจะเป็นที่จะตีเพียงครั้งเดียว

b) พิจารณาเหตุการณ์: - นักกีฬาอย่างน้อยหนึ่งคนจะโดนเป้าหมาย

ก่อนอื่น มาคิดกันเถอะ - เงื่อนไข "อย่างน้อยหนึ่งอย่าง" หมายถึงอะไร ในกรณีนี้หมายความว่าผู้ยิงคนแรกคนใดคนหนึ่งจะตี (คนที่ 2 จะพลาด) หรือครั้งที่ 2 (พลาดครั้งที่ 1) หรือลูกศรทั้งสองพร้อมกัน - รวม 3 ผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้

วิธีที่หนึ่ง: เมื่อพิจารณาความน่าจะเป็นที่เตรียมไว้ของรายการก่อนหน้า จะสะดวกที่จะนำเสนอเหตุการณ์เป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันต่อไปนี้:

หนึ่งจะได้รับ (เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 2 อย่าง) หรือ
หากลูกศรทั้งสองโดน เราแสดงว่าเหตุการณ์นี้ด้วยตัวอักษร

ทางนี้:

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนแรกจะตี และนักกีฬาคนที่ 2 จะตี

ตามทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
คือความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

วิธีที่สอง: พิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้าม: – มือปืนทั้งสองจะพลาด

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ผลที่ตามมา:

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับวิธีที่สอง - โดยทั่วไปแล้วจะมีเหตุผลมากกว่า

นอกจากนี้ยังมีทางเลือกอื่น วิธีที่สามในการแก้ ตามทฤษฎีบทของการรวมเหตุการณ์ร่วมซึ่งเงียบไปข้างต้น

! หากคุณกำลังอ่านเนื้อหาเป็นครั้งแรก เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน เป็นการดีกว่าที่จะข้ามย่อหน้าถัดไป

วิธีที่สาม : เหตุการณ์เป็นงานร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าผลรวมของเหตุการณ์นั้นเป็นการแสดงออกถึงเหตุการณ์ "ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนยิงเข้าเป้า" (ดูรูปที่ พีชคณิตเหตุการณ์). โดย ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมและทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ลองดู: เหตุการณ์และ (0, 1 และ 2 ตามลำดับ)สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นต้องเท่ากับหนึ่ง:
ซึ่งต้องได้รับการตรวจสอบ

ตอบ:

ด้วยการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างละเอียดถี่ถ้วน คุณจะพบกับภารกิจมากมายในเนื้อหาเกี่ยวกับทหาร และซึ่งเป็นเรื่องปกติ หลังจากนั้นคุณจะไม่ต้องการยิงใครเลย งานนั้นเกือบจะเป็นของกำนัล ทำไมไม่ทำให้แม่แบบง่ายยิ่งขึ้นไปอีก? ขอย่อรายการให้สั้นลง:

วิธีการแก้: ตามเงื่อนไข: , คือความน่าจะเป็นที่จะโดนผู้ยิงที่เกี่ยวข้อง ความน่าจะเป็นที่พลาดของพวกเขาคือ:

ก) ตามทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของการเข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงเพียงคนเดียวจะโดนเป้าหมาย

b) ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่มือปืนทั้งสองจะพลาด

จากนั้น: คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนจะโดนเป้าหมาย

ตอบ:

ในทางปฏิบัติ คุณสามารถใช้ตัวเลือกการออกแบบใดก็ได้ แน่นอนบ่อยครั้งที่พวกเขาไปทางสั้น ๆ แต่ก็ไม่ควรลืมวิธีที่ 1 - แม้ว่าจะยาวกว่า แต่ก็มีความหมายมากกว่า - มันชัดเจนกว่า อะไร ทำไม และทำไมเพิ่มขึ้นและทวีคูณ ในบางกรณี สไตล์ไฮบริดจะเหมาะสม เมื่อสะดวกที่จะระบุเฉพาะบางเหตุการณ์ด้วยตัวพิมพ์ใหญ่

งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

งาน 6

มีการติดตั้งเซ็นเซอร์ทำงานอิสระสองตัวสำหรับสัญญาณเตือนไฟไหม้ ความน่าจะเป็นที่เซ็นเซอร์จะทำงานระหว่างเกิดเพลิงไหม้คือ 0.5 และ 0.7 สำหรับเซ็นเซอร์ตัวแรกและตัวที่สองตามลำดับ หาความน่าจะเป็นที่เกิดไฟไหม้:

ก) เซ็นเซอร์ทั้งสองจะล้มเหลว
b) เซ็นเซอร์ทั้งสองจะทำงาน
ค) การใช้ ทฤษฎีบทเพิ่มเติมสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์ให้หาความน่าจะเป็นที่เซ็นเซอร์เพียงตัวเดียวจะทำงานระหว่างเกิดเพลิงไหม้ ตรวจสอบผลลัพธ์โดยการคำนวณความน่าจะเป็นนี้โดยตรง (โดยใช้ทฤษฎีบทการบวกและการคูณ).

ที่นี่ความเป็นอิสระของการทำงานของอุปกรณ์นั้นสะกดออกมาโดยตรงในเงื่อนไขซึ่งเป็นคำชี้แจงที่สำคัญ โซลูชันตัวอย่างได้รับการออกแบบในรูปแบบวิชาการ

จะเกิดอะไรขึ้นหากในปัญหาที่คล้ายกัน มีความน่าจะเป็นเท่ากัน เช่น 0.9 และ 0.9 คุณต้องตัดสินใจเหมือนกันทุกประการ! (ซึ่งอันที่จริงได้แสดงให้เห็นแล้วในตัวอย่างสองเหรียญ)

งาน7

ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยผู้ยิงคนแรกด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะไม่ถูกยิงหลังจากที่ผู้ยิงคนแรกและคนที่สองยิงหนึ่งนัดคือ 0.08 ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายโดยมือปืนคนที่สองด้วยการยิงครั้งเดียวเป็นเท่าใด

และนี่คือปริศนาตัวต่อเล็กๆ ที่ใส่กรอบไว้สั้นๆ เงื่อนไขสามารถปรับรูปแบบใหม่ให้กระชับขึ้นได้ แต่ฉันจะไม่สร้างเงื่อนไขเดิมขึ้นใหม่ - ในทางปฏิบัติ ฉันต้องเจาะลึกลงไปในการประดิษฐ์ที่หรูหรามากขึ้น

พบกับเขา - เขาเป็นคนที่ตัดรายละเอียดจำนวนมากให้คุณ =):

งาน 8

คนงานทำงานสามเครื่อง ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะเครื่องแรกจะต้องมีการปรับคือ 0.3 วินาที - 0.75 เครื่องที่สาม - 0.4 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะ:

ก) เครื่องทั้งหมดจะต้องมีการปรับ;
b) จะต้องมีการปรับเครื่องเพียงเครื่องเดียวเท่านั้น
c) อย่างน้อยหนึ่งเครื่องจะต้องมีการปรับเปลี่ยน

วิธีการแก้: เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้กล่าวถึงกระบวนการทางเทคโนโลยีเพียงขั้นตอนเดียว ดังนั้นการทำงานของแต่ละเครื่องจึงควรพิจารณาให้เป็นอิสระจากการทำงานของเครื่องจักรอื่นๆ

โดยการเปรียบเทียบกับงานหมายเลข 5 ที่นี่คุณสามารถเข้าสู่การพิจารณาเหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเครื่องจักรที่เกี่ยวข้องจะต้องมีการปรับระหว่างกะ จดความน่าจะเป็น หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม ฯลฯ แต่ด้วยวัตถุสามชิ้น ฉันไม่ต้องการวาดงานแบบนั้นจริงๆ - มันจะใช้เวลานานและน่าเบื่อหน่าย ดังนั้นจึงมีกำไรมากขึ้นอย่างเห็นได้ชัดในการใช้สไตล์ "เร็ว" ที่นี่:

ตามเงื่อนไข: - ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะ เครื่องจักรที่เกี่ยวข้องจะต้องมีการปรับจูน ความน่าจะเป็นที่ไม่ต้องการความสนใจคือ:

หนึ่งในผู้อ่านพบว่ามีการพิมพ์ผิดที่นี่ฉันจะไม่แก้ไข =)

ก) ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะทั้ง 3 เครื่องจะต้องมีการปรับ

ข) เหตุการณ์ "ระหว่างกะ ต้องมีการปรับเครื่องเดียวเท่านั้น" ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สามประการ:

1) เครื่องที่ 1 จะต้องความสนใจ และเครื่องที่2 จะไม่ต้องการ และเครื่องที่ 3 จะไม่ต้องการ
หรือ:
2) เครื่องที่ 1 จะไม่ต้องการความสนใจ และเครื่องที่2 จะต้อง และเครื่องที่ 3 จะไม่ต้องการ
หรือ:
3) เครื่องที่ 1 จะไม่ต้องการความสนใจ และเครื่องที่2 จะไม่ต้องการ และเครื่องที่ 3 จะต้อง.

ตามทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของการเข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

- ความน่าจะเป็นที่จะต้องมีการปรับเครื่องเพียงเครื่องเดียวระหว่างกะ

ฉันคิดว่าตอนนี้มันควรจะชัดเจนสำหรับคุณว่านิพจน์มาจากไหน

c) คำนวณความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรจะไม่ต้องการการปรับ แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม:
– ต้องมีการปรับอย่างน้อยหนึ่งเครื่อง

ตอบ:

รายการ "ve" สามารถแก้ไขได้ด้วยผลรวม โดยที่ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะมีเพียงสองเครื่องเท่านั้นที่จะต้องปรับ ในทางกลับกัน เหตุการณ์นี้มีผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 3 รายการ ซึ่งลงนามโดยเปรียบเทียบกับรายการ "เป็น" พยายามหาความน่าจะเป็นด้วยตนเองเพื่อตรวจสอบปัญหาทั้งหมดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน

งาน 9

ปืนสามกระบอกยิงวอลเลย์ไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นของการยิงนัดเดียวจากปืนกระบอกแรกคือ 0.7 จากปืนที่สอง - 0.6 จากปืนที่สาม - 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่: 1) อย่างน้อยหนึ่งกระสุนปืนกระทบเป้าหมาย; 2) มีเพียงสองโพรเจกไทล์เท่านั้นที่จะโจมตีเป้าหมาย 3) เป้าหมายจะถูกโจมตีอย่างน้อยสองครั้ง

คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

และอีกครั้งเกี่ยวกับความบังเอิญ: ในกรณีที่ตามเงื่อนไข ค่าความน่าจะเป็นเริ่มต้นสองค่าหรือทั้งหมดตรงกัน (เช่น 0.7; 0.7 และ 0.7) ให้ปฏิบัติตามอัลกอริทึมการแก้ปัญหาเดียวกันทุกประการ

โดยสรุปของบทความ เราจะวิเคราะห์ปริศนาทั่วไปอีกข้อหนึ่ง:

งาน 10

มือปืนตีเป้าหมายด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันในแต่ละนัด ความน่าจะเป็นนี้เป็นเท่าใดหากความน่าจะเป็นของการโจมตีอย่างน้อยหนึ่งครั้งในสามนัดคือ 0.973

วิธีการแก้: แทนด้วย - ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายในแต่ละครั้ง
และตลอด - ความน่าจะเป็นที่จะพลาดในแต่ละครั้ง

มาเขียนเหตุการณ์กัน:
- ด้วย 3 นัดผู้ยิงจะโดนเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
- ผู้ยิงจะพลาด 3 ครั้ง

ตามเงื่อนไข ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม:

ในทางกลับกัน ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ทางนี้:

- ความน่าจะเป็นที่จะพลาดในแต่ละครั้ง

ผลที่ตามมา:
คือความน่าจะเป็นที่จะตีแต่ละนัด

ตอบ: 0,7

เรียบง่ายและสง่างาม

ในปัญหาที่พิจารณา มีคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการโจมตีเพียงครั้งเดียว การโจมตีเพียงสองครั้ง และความน่าจะเป็นของการโจมตีสามครั้งบนเป้าหมาย โครงร่างการแก้ปัญหาจะเหมือนกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ:

อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างที่สำคัญพื้นฐานก็คือมี การทดสอบอิสระซ้ำ ๆซึ่งดำเนินการตามลำดับโดยเป็นอิสระจากกันและมีความเป็นไปได้ที่จะเกิดผลลัพธ์เท่ากัน

ผลคูณหรือจุดตัดของเหตุการณ์ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์และ A เกิดขึ้นพร้อมกัน และ ที่.การกำหนดผลงาน ABหรือ L และ V.

ตัวอย่างเช่น การตีเป้าหมายสองครั้งเป็นผลจากสองเหตุการณ์ คำตอบของทั้งสองคำถามของตั๋วในการสอบคือผลคูณของสองเหตุการณ์

กิจกรรม L และ ที่เรียกว่าไม่สอดคล้องกันหากผลิตภัณฑ์ของพวกเขาเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เช่น LV = วี

ตัวอย่างเช่น เหตุการณ์ L - การสูญเสียแขนเสื้อและ ที่- การสูญเสียตัวเลขระหว่างการโยนเหรียญครั้งเดียวไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์ L และ B ไม่เข้ากัน

แนวคิดของผลรวมและผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์มีการตีความทางเรขาคณิตที่ชัดเจน (รูปที่ 6.4)

ข้าว. 6.4.การตีความทางเรขาคณิตของงาน (ก)และจำนวนเงิน (ข)สองเหตุการณ์ร่วมกัน

ให้เหตุการณ์ A เป็นเซตของจุดในพื้นที่ L และเหตุการณ์ B เป็นเซตของจุดในพื้นที่ B พื้นที่แรเงาสอดคล้องกับเหตุการณ์ LP ในรูปที่ 6 ลาและเหตุการณ์ A + B ในรูป 6.46.

สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ A และ B เรามี LP = วี(รูปที่ 6.5ก). เหตุการณ์ L + B สอดคล้องกับพื้นที่แรเงาในรูปที่ 6.56.

ข้าว. 6.5. การตีความทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ ( เอ) และผลรวม (ข)สองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

พัฒนาการ แต่และ แต่เรียกว่าตรงกันข้ามหากเข้ากันไม่ได้และโดยรวมแล้วเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้เช่น

ก = วี; A+A=U

ตัวอย่างเช่น ลองยิงหนึ่งนัดไปที่เป้าหมาย: เหตุการณ์ แต่- คนยิงเข้าเป้า แต่- พลาด; โยนเหรียญ:

เหตุการณ์ แต่- นกอินทรีตก, แต่- การสูญเสียตัวเลข เด็กนักเรียนเขียนแบบทดสอบ: เหตุการณ์ แต่- ไม่มี

ข้อผิดพลาดใน ควบคุมงาน, แต่- มีข้อผิดพลาดในงานควบคุม นักเรียนมาสอบ : กิจกรรม แต่- ผ่าน

ออฟเซ็ต, แต่- ไม่ได้ส่งรายงาน

มีเด็กชายและเด็กหญิงในชั้นเรียน นักเรียนดี นักเรียนดี และนักเรียนสามคนเรียนภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน ให้เหตุการณ์ M เป็นเด็กผู้ชาย O เป็นนักเรียนที่ยอดเยี่ยม A เป็นนักเรียน ภาษาอังกฤษ. นักเรียนที่ออกจากชั้นเรียนโดยไม่ได้ตั้งใจจะเป็นทั้งเด็กผู้ชาย นักเรียนที่ดี และผู้เรียนภาษาอังกฤษได้หรือไม่ นี่จะเป็นผลิตภัณฑ์หรือจุดตัดของเหตุการณ์ MOA

ตัวอย่าง 6.15 โยนลูกเต๋า - ลูกบาศก์ที่ทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีการนับจำนวนใบหน้า สังเกตจำนวน (จำนวนแต้ม) ที่ตกลงมาบนใบหน้า ให้เหตุการณ์ แต่ -การปรากฏตัวของเลขคี่เหตุการณ์ ที่ -การปรากฏตัวของผลคูณของสาม หาผลลัพธ์ที่ประกอบขึ้นเป็นแต่ละเหตุการณ์ (?/, A, A + วี ยู เอบี)และบ่งบอกถึงความหมาย

วิธีการแก้.ผลลัพธ์ - การปรากฏบนหน้าบนของตัวเลขใด ๆ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ชุดของผลลัพธ์ทั้งหมดคือพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น ยู= (1, 2, 3, 4, 5, 6) เป็นที่ชัดเจนว่าเหตุการณ์ เอ =(1, 3, 5), เหตุการณ์ ข = {3, 6}.

เหตุการณ์ แต่ + ข =(1, 3, 5, 6) - ลักษณะที่ปรากฏของจำนวนคี่หรือตัวเลขที่เป็นผลคูณของสาม เมื่อแสดงรายการผลลัพธ์ จะพิจารณาว่าแต่ละผลลัพธ์ในชุดสามารถมีได้เพียงครั้งเดียว

เหตุการณ์ AB =(3) - การปรากฏตัวของทั้งเลขคี่และผลคูณของสาม

ตัวอย่าง 6.16 ตรวจสอบการบ้านของนักเรียนสามคน ให้เหตุการณ์ แต่ ( -เสร็จสิ้นภารกิจ นักเรียนคนที่i, G = 1, 2, 3.

ความหมายของเหตุการณ์คืออะไร: A = A t + A 2+ แอล 3, แต่และ B \u003d A เสื้อ A 2 A 3?

วิธีการแก้.เหตุการณ์ แต่ = เอ็กซ์ + A 2 + เอ 3 -ทำงานให้เสร็จโดยนักเรียนอย่างน้อยหนึ่งคน กล่าวคือ หรือนักเรียนคนใดคนหนึ่ง (หรือคนแรกหรือคนที่สองหรือสามคน) หรือสองคนหรือทั้งสามคน

เหตุการณ์ A \u003d A x -A 2 -A 3- งานไม่เสร็จสมบูรณ์โดยนักเรียนคนใด - ไม่ว่าครั้งแรกหรือครั้งที่สองหรือครั้งที่สาม เหตุการณ์ B \u003d A ( A 2 A 3 -การปฏิบัติงานโดยนักเรียนสามคน - และคนแรกและคนที่สองและคนที่สาม

เมื่อพิจารณาถึงการเกิดขึ้นร่วมกันของหลายเหตุการณ์ อาจมีบางกรณีที่การเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีผลกระทบต่อความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นอีกเหตุการณ์หนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากวันนั้นมีแดดจัดในฤดูใบไม้ร่วง อากาศก็มีแนวโน้มแย่ลง (ฝนเริ่มตก) หากมองไม่เห็นดวงอาทิตย์ก็มีแนวโน้มว่าฝนจะตก

เหตุการณ์ หลี่เรียกว่าเหตุการณ์อิสระ ที่,ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหรือไม่ ที่.มิฉะนั้นเหตุการณ์ แต่เรียกว่าขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ที่.สองเหตุการณ์ A และที่เรียกว่าเป็นอิสระถ้าความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นไม่ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือการไม่เกิดขึ้นของอีกสิ่งหนึ่งขึ้นอยู่กับ - อย่างอื่น เหตุการณ์จะเรียกว่าอิสระแบบคู่ ถ้าทุกสองเหตุการณ์ไม่ขึ้นต่อกัน

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นมีสูตรดังนี้ ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์อิสระเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับเหตุการณ์จำนวนจำกัด ตราบใดที่เหตุการณ์เหล่านี้เป็นอิสระร่วมกัน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่น ๆ เหล่านี้เกิดขึ้นหรือไม่

ตัวอย่าง 6.17 นักเรียนทำการสอบสามครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านครั้งแรกคือ 0.9 ครั้งที่สอง - 0.65 ครั้งที่สาม - 0.35 หาความน่าจะเป็นที่เขาสอบตกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

วิธีการแก้.หมายถึง แต่เหตุการณ์ - นักเรียนไม่ผ่านการสอบอย่างน้อยหนึ่งครั้ง แล้ว พี(อา) = 1 - /-’(1/1) โดยที่ แต่- เหตุการณ์ตรงกันข้าม - นักเรียนสอบผ่านทั้งหมด เนื่องจากการสอบแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับการสอบอื่นๆ ดังนั้น พี(เอ)= 1 - P(1/1) = = 1 - 0.9 0.65 0.35 = 0.7953

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่,คำนวณโดยสมมติว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้น ที่,เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขพัฒนาการ แต่ขึ้นอยู่กับรูปลักษณ์ ที่และเขียนว่า อาร์ บี (เอ)หรือ ป(A/B).

ทฤษฎีบท.ความน่าจะเป็นของการเกิดผลคูณของสองเหตุการณ์ เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง โดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่สอง คำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เหตุการณ์แรกเกิดขึ้น:

ตัวอย่าง 6.18 นักเรียนดึงตั๋วหนึ่งใบจาก 34 สองครั้ง ความน่าจะเป็นที่เขาจะผ่านการสอบเป็นเท่าใดหากเขาเตรียมตั๋ว 30 ใบและครั้งแรกที่เขาหยิบตั๋วที่ไม่สำเร็จออกมา?

วิธีการแก้.ให้เหตุการณ์ แต่ประกอบด้วยความจริงที่ว่าเป็นครั้งแรกที่คุณได้รับตั๋วไม่สำเร็จ, เหตุการณ์ ที่- ครั้งที่สอง การจับสลากที่ประสบความสำเร็จ แล้ว แต่?ที่- นักเรียนจะสอบผ่าน (ภายใต้สถานการณ์ที่กำหนด) พัฒนาการ แต่และ ที่ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของการเลือกตั๋วที่ประสบความสำเร็จในการพยายามครั้งที่สองขึ้นอยู่กับผลของตัวเลือกแรก ดังนั้นเราจึงใช้สูตร (6.6):

โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นที่ได้รับในการแก้ปัญหาคือ “0.107 เหตุใดความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านจึงน้อยมากหากเรียนรู้ตั๋ว 30 ใบจาก 34 ใบและให้ลองสองครั้ง!

ทฤษฎีบทการบวกขยายเป็นสูตรดังนี้ ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน (ทำงาน):

ตัวอย่าง 6.19 นักเรียนสองคนแก้ปัญหา ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนแรกแก้ปัญหาได้ (เหตุการณ์ แต่),เท่ากับ 0.9; ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนที่สองแก้ปัญหาได้ (เหตุการณ์ ที่),เท่ากับ 0.8 ความน่าจะเป็นที่จะแก้ปัญหาคืออะไร?

วิธีการแก้.เรามีความสนใจในเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าปัญหาจะได้รับการแก้ไขเช่น นักเรียนคนแรกหรือคนที่สอง หรือนักเรียนสองคนพร้อมกัน ดังนั้นเหตุการณ์ที่น่าสนใจที่จะผ่าน C \u003d A +ที่.พัฒนาการ แต่และ ที่เป็นการร่วม ดังนั้นทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นใช้ได้กับกรณีของเหตุการณ์ร่วม: พี(อา + ที่) = พี(เอ) + พี(B) - พี(AB).สำหรับกรณีของเรา พี(อา + ข) = = 0.9 + 0.8 + 0.9 0.8 = 0.98 (เหตุการณ์ แต่และ ที่ร่วมกันแต่เป็นอิสระ)

ตัวอย่าง 6.20 นักเรียนรู้ 20 คำถามจาก 25 ข้อ ความน่าจะเป็นในการตอบคำถาม 3 ข้อจาก 25 คำถามเป็นเท่าใด

วิธีการแก้.มาแนะนำกิจกรรม A - นักเรียนรู้คำตอบ ผม-th เสนอคำถาม ผม= 1,2,3. เหตุการณ์ L, L 2 , L 3 - ขึ้นอยู่กับ นั่นเป็นเหตุผลที่

เมื่อหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จะใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

เหตุการณ์ A เรียกว่า เป็นอิสระจากเหตุการณ์ B ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นหรือไม่ เหตุการณ์ A เรียกว่า ขึ้นอยู่กับจากเหตุการณ์ B ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นหรือไม่

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เหตุการณ์ B ได้เกิดขึ้นแล้ว เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A และแสดงด้วย

เงื่อนไขความเป็นอิสระของเหตุการณ์ A จากเหตุการณ์ B เขียนได้เป็น
.

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เกิดครั้งแรก:

หากเหตุการณ์ A ไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B ดังนั้นเหตุการณ์ B จะไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ A ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น:

.

ตัวอย่างที่ 14มี 3 กล่อง บรรจุ 10 ชิ้น ลิ้นชักแรกประกอบด้วย 8 ลิ้นชักที่สอง 7 และลิ้นชักที่สาม 9 ส่วนมาตรฐาน สุ่มไอเทมหนึ่งชิ้นจากแต่ละกล่อง หาความน่าจะเป็นที่ทั้งสามส่วนถูกนำออกมาเป็นมาตรฐาน

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกจากกล่องแรก (เหตุการณ์ A) เท่ากับ
. ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกจากกล่องที่สอง (เหตุการณ์ B) เท่ากับ
. ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกจากกล่องที่สาม (เหตุการณ์ C) เท่ากับ
.

เนื่องจากเหตุการณ์ A, B และ C มีความเป็นอิสระในการรวม ดังนั้นโดยทฤษฎีบทการคูณ ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

ให้เรายกตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทการบวกและการคูณร่วมกัน

ตัวอย่าง 15ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อิสระ A 1 และ A 2 เท่ากับ p 1 และ p 2 ตามลำดับ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้เพียงหนึ่งเหตุการณ์ (เหตุการณ์ A) จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ (เหตุการณ์ B)

แสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม และ ถึง q 1 \u003d 1-p 1 และ q 2 \u003d 1-p 2 ตามลำดับ

เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นหากเหตุการณ์ A 1 เกิดขึ้นและเหตุการณ์ A 2 ไม่เกิดขึ้น หรือหากเหตุการณ์ A 2 เกิดขึ้นและเหตุการณ์ A 1 ไม่เกิดขึ้น เพราะเหตุนี้,

เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นหากเหตุการณ์ A เกิดขึ้น หรือหากเหตุการณ์ A 1 และ A 2 เกิดขึ้นพร้อมกัน เพราะเหตุนี้,

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B สามารถกำหนดได้แตกต่างกัน เหตุการณ์ ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ B คือทั้งเหตุการณ์ A 1 และ A 2 จะไม่เกิดขึ้น ดังนั้น โดยทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระ เราจะได้

ซึ่งประจวบกับนิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ เนื่องจากอัตลักษณ์ถือ

7. สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด สูตรเบย์

ทฤษฎีบท 1. สมมุติว่าเหตุการณ์ต่างๆ
สร้างกลุ่มของเหตุการณ์ที่ไม่เข้ากันเป็นคู่ที่สมบูรณ์ (เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าสมมติฐาน) ให้ A เป็นเหตุการณ์ตามอำเภอใจ จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A สามารถคำนวณได้โดยสูตร

การพิสูจน์.เนื่องจากสมมติฐานก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้น , และ ดังนั้น,

เนื่องจากสมมติฐานเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ เหตุการณ์จึงเข้ากันไม่ได้แบบคู่ ตามทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

เราใช้ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นตอนนี้ เราได้รับ

สูตร (1) เรียกว่าสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด ในรูปแบบย่อ สามารถเขียนได้ดังนี้

.

สูตรนี้มีประโยชน์หากความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A คำนวณได้ง่ายกว่าความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 16. มี 3 สำรับ 36 ใบ และ 2 สำรับ 52 ใบ เราสุ่มเลือกสำรับหนึ่งสำรับและสุ่มเลือกไพ่หนึ่งสำรับจากสำรับนั้น ค้นหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่จั่วออกมาเป็นเอซ

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ไพ่ที่จั่วเป็นเอซ เราแนะนำสองสมมติฐาน:

- ไพ่ถูกดึงออกมาจากสำรับไพ่ 36 ใบ

- จั่วไพ่จากสำรับไพ่ 52 ใบ

ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เราใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด:

ทฤษฎีบท 2. สมมุติว่าเหตุการณ์ต่างๆ
สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ ให้ A เป็นเหตุการณ์ตามอำเภอใจ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของสมมติฐาน สมมติว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเบย์:

การพิสูจน์.ตามมาจากทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นกับว่า

.

จากการใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด เราได้ (2)

สมมติฐานความน่าจะเป็น
เรียกว่า ปรินิพพาน และความน่าจะเป็นของสมมติฐาน
โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้นเรียกว่าส่วนหลัง สูตรเบย์เองเรียกอีกอย่างว่าสูตรสำหรับความน่าจะเป็นของสมมติฐาน

ตัวอย่าง 17. มี 2 ​​โกศ. โกศแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 4 ลูก และโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีดำ 5 ลูก เราสุ่มเลือกโกศและจั่วลูกบอลหนึ่งลูกจากมัน กลายเป็นสีดำ (เหตุการณ์ A เกิดขึ้น) หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศแรก (สมมุติฐาน
). จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง (สมมุติฐาน
).

ลองใช้สูตรเบย์:

,

.

ตัวอย่าง 18. ที่โรงงาน สลักเกลียวผลิตโดยเครื่องจักรสามเครื่อง ซึ่งผลิตสลักเกลียวทั้งหมด 25%, 35% และ 40% ตามลำดับ ผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องของเครื่องเหล่านี้คือ 5%, 4%, 2% ตามลำดับ จากเอาต์พุตของทั้งสามเครื่อง เลือกหนึ่งโบลต์ ปรากฎว่ามีข้อบกพร่อง (เหตุการณ์ A) ค้นหาความน่าจะเป็นที่โบลต์ถูกยิงด้วยเครื่องจักรที่หนึ่ง สอง และสาม

อนุญาต
- กรณีที่โบลต์ถูกยิงด้วยเครื่องแรก
- รถคันที่สอง
- เครื่องที่สาม เหตุการณ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้แบบคู่และสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ มาใช้สูตรเบย์กันเถอะ

เป็นผลให้เราได้รับ

,

,

.