ลำดับแบบโมโนโทนิกที่จำกัด ลำดับหมายเลข คำศัพท์จะจัดเรียงจากน้อยไปหามาก

องค์ประกอบที่ไม่ลดลงตามจำนวนที่เพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น ลำดับดังกล่าวมักพบในการวิจัยและมีคุณสมบัติที่โดดเด่นและคุณสมบัติเพิ่มเติมหลายประการ ลำดับของตัวเลขหนึ่งตัวไม่สามารถพิจารณาจากน้อยไปหามากหรือจากมากไปน้อยได้

YouTube สารานุกรม

• 1 / 5

  ให้มีเป็นชุดครับ X (\รูปแบบการแสดงผล X)ซึ่งมีการแนะนำความสัมพันธ์ลำดับ

  ลำดับขององค์ประกอบชุด X (\รูปแบบการแสดงผล X)เรียกว่า ไม่ลดลง ถ้าแต่ละองค์ประกอบของลำดับนี้ไม่มากกว่าองค์ประกอบถัดไป

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))-ไม่ลดลง ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\displaystyle \ลูกศรซ้ายขวา ~\forall n\in \mathbb (N) \โคลอน x_(n)\leqslant x_(n+1))

  ลำดับต่อมา ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))องค์ประกอบของชุด X (\รูปแบบการแสดงผล X)เรียกว่า ไม่เพิ่มขึ้น ถ้าแต่ละองค์ประกอบถัดไปของลำดับนี้ไม่เกินองค์ประกอบก่อนหน้า

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- ไม่เพิ่มขึ้น ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\displaystyle \ลูกศรซ้ายขวา ~\forall n\in \mathbb (N) \โคลอน x_(n)\geqslant x_(n+1))

  ลำดับต่อมา ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))องค์ประกอบของชุด X (\รูปแบบการแสดงผล X)เรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าแต่ละองค์ประกอบถัดไปของลำดับนี้มากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- เพิ่มขึ้น ⇔ ∀ n ∈ N: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  ลำดับต่อมา ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))องค์ประกอบของชุด X (\รูปแบบการแสดงผล X)เรียกว่า ลดลง ถ้าแต่ละองค์ประกอบของลำดับนี้มากกว่าองค์ประกอบถัดไป

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- ลดลง ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 (\displaystyle \ลูกศรซ้ายขวา ~\forall n\in \mathbb (N) \โคลอน x_(n)>x_(n+1))

  ซ้ำซากจำเจถ้ามันไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น

  ลำดับที่เรียกว่า ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดถ้ามันเพิ่มขึ้นหรือลดลง

  เห็นได้ชัดว่าลำดับที่ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดคือเรื่องซ้ำซาก

  บางครั้งมีการใช้คำศัพท์ที่แตกต่างกันซึ่งคำว่า "ลำดับที่เพิ่มขึ้น" ถือเป็นคำพ้องสำหรับคำว่า "ลำดับที่ไม่ลดลง" และคำว่า "ลำดับที่ลดลง" ถือเป็นคำพ้องสำหรับคำว่า "ลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น" ". ในกรณีเช่นนี้ ลำดับการเพิ่มขึ้นและลดลงจากคำจำกัดความข้างต้นเรียกว่า “การเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด” และ “การลดลงอย่างเคร่งครัด” ตามลำดับ

  ช่วงเวลาของความน่าเบื่อ

  อาจกลายเป็นว่าไม่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้นสำหรับตัวเลขทั้งหมด n ∈ N (\displaystyle n\in \mathbb (N) )แต่สำหรับตัวเลขจากช่วงหนึ่งเท่านั้น

  ฉัน = ( n ∈ N ∣ N − ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (ในที่นี้อนุญาตให้กลับขอบด้านขวาได้ N + (\รูปแบบการแสดงผล N_(+))ไม่มีที่สิ้นสุด). ในกรณีนี้จะมีการเรียกลำดับ น่าเบื่อในช่วงเวลา ฉัน (\displaystyle I) และช่วงนั้นเอง ฉัน (\displaystyle I)เรียกว่า ช่วงเวลาแห่งความน่าเบื่อ ลำดับ

  คำจำกัดความ 1. ลำดับเรียกว่าไม่ลดลง [ไม่เพิ่มขึ้น] ถ้าแต่ละองค์ประกอบของลำดับเริ่มต้นจากวินาทีไม่น้อยกว่า [ไม่เกิน] องค์ประกอบก่อนหน้า กล่าวคือ ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับทุกคน ตัวเลข

  คำจำกัดความ 2. ลำดับเรียกว่า monotonic ถ้าลำดับไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น

  หากองค์ประกอบของลำดับไม่ลดลงสำหรับจำนวนทั้งหมดเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ลำดับนี้เรียกว่าการเพิ่มขึ้น

  ในทำนองเดียวกัน หากองค์ประกอบของลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นสำหรับจำนวนทั้งหมดเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ลำดับนี้เรียกว่าการลดลง

  โปรดทราบว่าลำดับโมโนโทนิกทุกลำดับมีขอบเขตชัดเจนที่ด้านใดด้านหนึ่ง (จากด้านบนหรือด้านล่าง) อันที่จริง ทุกลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นจะถูกจำกัดขอบเขตจากด้านล่าง (ค่าขององค์ประกอบแรกสามารถใช้เป็นขอบเขตล่างได้) และลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นทุกลำดับจะถูกจำกัดไว้ด้านบน (ค่าขององค์ประกอบแรกสามารถใช้เป็นขอบเขตบนได้เช่นกัน ผูกพัน).

  เป็นไปตามนั้นลำดับที่ไม่ลดลงจะถูกผูกไว้ทั้งสองข้าง หรือเพียงแค่ถูกผูกไว้ ถ้าหากลำดับนั้นถูกผูกไว้ด้านบน และลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นจะถูกผูกไว้ก็ต่อเมื่อมันถูกผูกไว้ด้านล่างเท่านั้น

  ลองดูตัวอย่างของลำดับโมโนโทนิก

  1. ลำดับไม่ลดลง มันถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยค่าขององค์ประกอบแรก แต่ไม่ได้จำกัดจากด้านบน

  2. ลำดับกำลังลดลง มันถูกจำกัดไว้ทั้งสองด้าน: จากด้านบนด้วยค่าขององค์ประกอบแรก 2 และจากด้านล่าง เช่น ด้วยหมายเลข 1

  คำนิยาม. ลำดับ (x n) เรียกว่า ถูก จำกัดถ้ามีตัวเลข M>0 แบบนั้นสำหรับอันใดอันหนึ่ง nความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง:

  เหล่านั้น. สมาชิกทั้งหมดของลำดับอยู่ในช่วง (-M; M)

  ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) มีจำนวนจำกัด และลำดับ 1 0) ไม่จำกัด

  ทฤษฎีบทเป็นไปตามโดยตรงจากคำจำกัดความของลำดับขอบเขตและคำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับ:

  ทฤษฎีบท. ถ้า xn ® a ดังนั้นลำดับ (xn) จะถูกผูกไว้

  ควรสังเกตว่าข้อความสนทนาไม่เป็นความจริงเช่น ขอบเขตของลำดับไม่ได้หมายความถึงการลู่เข้าของมัน

  ตัวอย่างเช่นลำดับ ไม่มีขีดจำกัด

  
  

  คำนิยาม. ลำดับ (x n) เรียกว่า ขอบเขตด้านบนถ้ามี nมีตัวเลข M เท่ากับ x n £ M

  
  

  ตัวอย่าง.(x n ) = 3n – มีขอบเขตด้านล่าง (3, 6, 9, …)

  ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ

  คำนิยาม. 1) ถ้า xn +1 > xn สำหรับ n ทั้งหมด ลำดับจะเพิ่มขึ้น

  2) ถ้า x n +1 ³ xn สำหรับ n ทั้งหมด ลำดับจะไม่ลดลง

  3) ถ้า xn +1< x n для всех n, то последовательность убывающая.

  4)ถ้า xn +1 £ xn สำหรับ n ทั้งหมด ลำดับจะไม่เพิ่มขึ้น

  ลำดับทั้งหมดนี้เรียกว่า ซ้ำซากจำเจเรียกว่าลำดับการเพิ่มและลด ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัด.

  ตัวอย่าง.(x n ) = 1/n – ลดลงและถูกจำกัด

  (x n ) = n – เพิ่มขึ้นและไม่จำกัด

  ตัวอย่าง.พิสูจน์ว่าลำดับ (x n )= เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก

  สารละลาย.ลองหาสมาชิกของลำดับ (x n +1 )=

  มาหาสัญลักษณ์ของความแตกต่างกัน: (x n)-(x n +1)=

  , เพราะ nÎN แล้วตัวส่วนเป็นบวกสำหรับ n ใดๆ

  ดังนั้น xn +1 > xn ลำดับกำลังเพิ่มขึ้นซึ่งควรได้รับการพิสูจน์แล้ว

  ตัวอย่าง.ค้นหาว่าลำดับนั้นเพิ่มขึ้นหรือลดลง

  สารละลาย.มาหากันเถอะ มาหาความแตกต่างกัน

  
  
  

  เพราะ nÎN จากนั้น 1 – 4n<0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

  ควรสังเกตว่าลำดับโมโนโทนิกถูกจำกัดไว้ที่ด้านใดด้านหนึ่งเป็นอย่างน้อย

  ทฤษฎีบท. ลำดับขอบเขตแบบโมโนโทนิกมีขีดจำกัด

  การพิสูจน์. พิจารณาลำดับที่ไม่ลดลงแบบโมโนโทนิก

  x 1 £ x 2 £ x 3 £ … £ xn £ xn +1 £ …

  ลำดับนี้มีขอบเขตจากด้านบน: xn £ M โดยที่ M คือตัวเลขที่แน่นอน

  เพราะ เซตตัวเลขใดๆ ที่อยู่เหนือขอบเขตจะมีขอบเขตบนที่ชัดเจน ดังนั้นสำหรับ e>0 ใดๆ จะมีตัวเลข N โดยที่ x N > a - e โดยที่ a คือขอบเขตบนของเซต

  เพราะ (x n) เป็นลำดับที่ไม่ลดลง ดังนั้นสำหรับ N > n a - e< x N £ x n ,

  ดังนั้น a - e< x n < a + e

  อี< x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

  สำหรับลำดับโมโนโทนิกอื่นๆ การพิสูจน์จะคล้ายกัน

  ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

  §3 ตัวเลข จ.

  พิจารณาลำดับ (x n ) = .

  ถ้าลำดับ (x n) เป็นแบบโมโนโทนิกและมีขอบเขต ลำดับนั้นจะมีขีดจำกัดจำกัด

  ตามสูตรทวินามของนิวตัน:

  หรืออะไรเหมือนกัน.

  ให้เราแสดงว่าลำดับ (x n) กำลังเพิ่มขึ้น อันที่จริงลองเขียนนิพจน์ xn +1 แล้วเปรียบเทียบกับนิพจน์ xn:

  แต่ละพจน์ในนิพจน์ xn +1 มีค่ามากกว่าค่าที่สอดคล้องกัน xn และนอกจากนี้ xn +1 ยังมีพจน์ที่เป็นบวกเพิ่มอีกหนึ่งพจน์ ดังนั้นลำดับ (x n ) จึงเพิ่มขึ้น

  ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับเงื่อนไขใดๆ n ของมันต้องไม่เกินสาม: x n< 3.

  

  ดังนั้นลำดับจึงเพิ่มขึ้นและขอบเขตจากด้านบนอย่างซ้ำซากจำเจนั่นคือ มีขีดจำกัด โดยปกติขีด จำกัด นี้จะแสดงด้วยตัวอักษร จ.

  

  จากความไม่เท่าเทียมกันตามมาว่า e £ 3 การละทิ้งเงื่อนไขทั้งหมดในความเท่าเทียมกันสำหรับ (x n) โดยเริ่มจากข้อที่สี่เรามี:

  

  ผ่านไปจนถึงขีดจำกัด เราก็ได้

  ดังนั้น ตัวเลข e จึงอยู่ระหว่างตัวเลข 2.5 ถึง 3 หากคุณใช้เงื่อนไขเพิ่มเติมของอนุกรม คุณจะสามารถประมาณค่าของตัวเลข e ได้แม่นยำยิ่งขึ้น

  แสดงว่าจำนวน e ไม่ลงตัว และมีค่าเท่ากับ 2.71828...

  ในทำนองเดียวกันก็สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า โดยขยายข้อกำหนดสำหรับ x ให้เป็นจำนวนจริงใดๆ:

  สมมติว่า:

  

  

  ตัวเลข e คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ

  

  ด้านบนคือกราฟของฟังก์ชัน y = lnx

  ความสัมพันธ์ระหว่างลอการิทึมธรรมชาติและทศนิยม

  ให้ x = 10 y แล้ว lnx = ln10 y ดังนั้น lnx = yln10

  y = โดยที่ M = 1/ln10 » 0.43429… คือโมดูลการเปลี่ยนผ่าน

  §4 แนวคิดเรื่องขีดจำกัดของฟังก์ชัน.

  4.1. ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

  ใช่ ฉ(x)

  0 ก - ดี ก + ง x

  ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดหนึ่งของจุด x = a (กล่าวคือ ที่จุด x = a ฟังก์ชันอาจไม่ถูกกำหนดไว้)

  คำนิยาม. มีชื่อเรียกว่าหมายเลข A ขีด จำกัดฟังก์ชัน f(x) สำหรับ x®a ถ้าสำหรับ e>0 ใดๆ จะมีตัวเลข D>0 ดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมดนั้น

  ix-aï< D

  อสมการ ïf(x) - Aï เป็นจริง< e.

  คำจำกัดความเดียวกันสามารถเขียนได้ในรูปแบบอื่น:

  ถ้า ก - ง< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

  การเขียนลิมิตของฟังก์ชันที่จุด:

  ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด

  ทฤษฎีบท 1 โดยที่ C = const

  ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ได้ภายใต้สมมติฐานที่ว่าฟังก์ชัน f(x) และ g(x) มีขีดจำกัดจำกัดสำหรับ x®a

  ทฤษฎีบท 2

  การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้จะแสดงไว้ด้านล่าง

  ทฤษฎีบท 3

  ผลที่ตามมา

  ทฤษฎีบท 4 ที่

  ทฤษฎีบท 5 ถ้า f(x)>0 ใกล้จุด x = a และ แล้ว A>0

  เครื่องหมายของขีดจำกัดที่ f(x) ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

  ทฤษฎีบท 6 ถ้า g(x) £ f(x) £ u(x) ใกล้จุด x = a และ จากนั้น และ .

  คำนิยาม. ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก ถูก จำกัดใกล้จุด x = a ถ้ามีเลข M>0 เช่นนั้น ïf(x)ï

  ทฤษฎีบท 7 ถ้าฟังก์ชัน f(x) มีขีดจำกัดจำกัดที่ x®a แสดงว่าฟังก์ชัน f(x) มีขีดจำกัดใกล้กับจุด x = a

  การพิสูจน์. ให้นั่นคือ , แล้ว

  โดยที่ M = e + ïАï

  ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

  4.2. ข้อจำกัดด้านเดียว

  คำนิยาม. ถ้า f(x) ® A 1 ที่ x ® a เฉพาะที่ x< a, то - называется ขีด จำกัดฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = a ซ้ายและถ้า f(x) ® A 2 สำหรับ x ® a เฉพาะสำหรับ x > a แล้ว เรียกว่า ขีด จำกัดฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = a ด้านขวา.

  ที่

  คำจำกัดความข้างต้นอ้างอิงถึงกรณีที่ฟังก์ชัน f(x) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุด x = a เอง แต่ถูกกำหนดไว้ในย่านเล็กๆ ตามอำเภอใจของจุดนี้

  เรียกขีดจำกัด A 1 และ A 2 เช่นกัน ข้อจำกัดทางเดียวฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = a มันยังบอกด้วยว่า A - ขีดจำกัดสุดท้ายฟังก์ชันฉ(x)

  4.3. ขีด จำกัด ของฟังก์ชันเนื่องจากอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

  คำนิยาม. มีชื่อเรียกว่าหมายเลข A ขีด จำกัดฟังก์ชัน f(x) สำหรับ x®¥ ถ้าสำหรับตัวเลขใดๆ e>0 มีตัวเลข M>0 โดยที่สำหรับ x, ïxï>M ทั้งหมด ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่