นิยามของการเร่งความเร็วในแนวสัมผัสและความเร่งปกติ จลนศาสตร์ของจุดวัสดุ ความเร่งปกติและแนวสัมผัสของจุด

ความเร่งในแนวสัมผัสของจุดหนึ่งเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของโมดูลัสความเร็วหรืออนุพันธ์อันดับสองของระยะทางเทียบกับเวลา ความเร่งในแนวสัมผัสแสดงด้วย -

.

ความเร่งในแนวสัมผัสที่จุดที่กำหนดจะพุ่งตรงไปยังวิถีโคจรของจุดนั้น ถ้าการเคลื่อนที่ถูกเร่ง ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสจะตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว ถ้าการเคลื่อนที่ช้า ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสจะตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว (รูปที่ 8.5.)

อัตราเร่งปกติ point คือค่าเท่ากับกำลังสองของความเร็วหารด้วยรัศมีความโค้ง

เวกเตอร์ของการเร่งความเร็วปกติถูกนำจากจุดนี้ไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้ง (รูปที่ 8.6.) อัตราเร่งปกติแสดงด้วย

เป็นปกติของจุดที่กำหนดบนวิถีการเคลื่อนที่

ความเร่งรวมของจุดถูกกำหนดจากสมการเวกเตอร์:

การรู้ทิศทางและโมดูล และ ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจะกำหนดความเร่งที่สอดคล้องกับจุดที่กำหนดของวิถีการเคลื่อนที่ จากนั้นเรากำหนดโมดูลการเร่งความเร็ว:

.

ตัวละครคือการแสดงการเคลื่อนไหวที่ผู้สังเกตรู้สึกได้ถึงความเบาหรือหนัก ความกลมหรือมุม ความแรงหรือความผ่อนคลาย อิสระหรือความฝืดของการเคลื่อนไหว ฯลฯ เฉดสีทั้งหมดเหล่านี้เกิดขึ้นจากการเลือกการเคลื่อนไหวที่แปลกประหลาด การกระทำ

8.translational การเคลื่อนไหวของร่างกายแข็ง วิถีความเร็วและความเร่งของจุดของวัตถุแข็งเกร็งในการเคลื่อนที่เชิงแปล

คำแปล การเคลื่อนไหวร่างกายที่แข็งกระด้างเรียกว่าการเคลื่อนไหวดังกล่าวซึ่งส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสองจุดใด ๆ ของร่างกายยังคงขนานกับตัวมันเองตลอดการเคลื่อนไหว (เช่น AB).

ทฤษฎีบท. ในการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุที่แข็งทื่อ เส้นโคจร ความเร็ว และความเร่งของจุดทั้งหมดจะเท่ากัน.

การพิสูจน์. ให้ส่วน ABร่างกายเคลื่อนไหวไปเรื่อย ๆ เมื่อเวลาผ่านไป ใช้จุดโดยพลการ อู๋และกำหนดตำแหน่งของเซกเมนต์ในอวกาศ ABเวกเตอร์รัศมีและ. ให้เราแสดงว่า: - เวกเตอร์รัศมีที่กำหนดตำแหน่งของจุด ในเทียบกับจุด แต่:

เวกเตอร์ไม่เปลี่ยนแปลงทั้งในด้านขนาดหรือทิศทาง เนื่องจาก (ตามคำจำกัดความของการเคลื่อนที่เชิงการแปล) จากความสัมพันธ์ (1) จะเห็นได้ว่าวิถีของจุด ในได้จากวิถีของจุด แต่การกระจัดขนานของจุดของวิถีนี้โดยเวกเตอร์คงที่ ดังนั้นวิถีของจุด แต่และ ในจะเหมือนกัน

ลองหาอนุพันธ์เวลาของความเท่าเทียมกัน (1) แล้ว

ดังนั้น ในระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุแข็งเกร็ง ความเร็วและความเร่งของจุดทั้งหมดของมันในช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากัน

สังเกตว่า ความจริงของการเคลื่อนที่แบบแปลนไม่ได้กำหนดกฎการเคลื่อนที่หรือประเภทของวิถี ในการเคลื่อนที่แบบแปลน จุดของร่างกายสามารถอธิบายวิถีใดก็ได้(ตัวอย่างเช่น, วงกลม). แต่จะเหมือนกันหมด.

แยกความแตกต่างส่วนซ้ายและขวาของความสัมพันธ์เวกเตอร์ด้านบน และพิจารณาว่า dAB/dt=0 เราจะได้ drB/dt =drA/dt หรือ VB = VA การแยกความแตกต่างตามเวลาในส่วนซ้ายและขวาของอัตราส่วนที่ได้รับสำหรับความเร็ว เราพบ dVB/dt=dVA/dt หรือ аB = аА จากข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: เพื่อกำหนดการเคลื่อนไหวและกำหนดลักษณะจลนศาสตร์ของร่างกายที่ทำการเคลื่อนไหวเชิงแปลก็เพียงพอที่จะกำหนดการเคลื่อนไหวของจุดใดจุดหนึ่งของมัน (โดย
Lusa) และค้นหาลักษณะจลนศาสตร์ของมัน

เช่นเดียวกับจุดที่เป็นวัตถุ วัตถุในการเคลื่อนที่แบบแปลนจะมีระดับความอิสระหนึ่งระดับเมื่อเคลื่อนที่ไปตามไกด์ที่กำหนดวิถีสำหรับจุดต่างๆ อิสระสององศาในกรณีของการเคลื่อนที่บนระนาบ (โดยมีการสัมผัสกับมันอย่างต่อเนื่องอย่างน้อยหนึ่งจุด) และองศาอิสระสามองศาในกรณีทั่วไปของการเคลื่อนที่ในอวกาศ

9. การหมุนของตัวที่แข็งรอบแกนคงที่ การกำหนดการเคลื่อนที่ ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุม ความเร็ว และความเร่งของจุดของร่างกาย

ตัวอย่างเช่น รถยนต์ที่ออกตัวเร็วขึ้นเมื่อความเร็วเพิ่มขึ้น ที่จุดเริ่มต้น ความเร็วของรถเป็นศูนย์ เมื่อเริ่มเคลื่อนที่รถจะเร่งความเร็วด้วยความเร็วที่กำหนด หากต้องการลดความเร็วรถจะไม่สามารถหยุดได้ในทันทีแต่เป็นช่วงระยะเวลาหนึ่ง นั่นคือความเร็วของรถมักจะเป็นศูนย์ - รถจะเริ่มเคลื่อนที่ช้าๆจนกว่าจะหยุดสนิท แต่ฟิสิกส์ไม่มีคำว่า "การชะลอตัว" หากร่างกายเคลื่อนไหวความเร็วลดลง กระบวนการนี้เรียกว่า อัตราเร่งแต่มีเครื่องหมาย "-"

อัตราเร่งเฉลี่ยคืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อช่วงเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น คำนวณความเร่งเฉลี่ยโดยใช้สูตร:

มันอยู่ที่ไหน . ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งจะเหมือนกับทิศทางการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว Δ = - 0

โดยที่ 0 คือความเร็วเริ่มต้น ณ จุดเวลา t1(ดูรูปด้านล่าง) ร่างกายมี 0 . ณ จุดเวลา t2ร่างกายมีความเร็ว ตามกฎการลบเวกเตอร์ เรากำหนดเวกเตอร์ของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว Δ = - 0 . จากที่นี่เราคำนวณความเร่ง:

.

ในระบบ SI หน่วยความเร่งเรียกว่า 1 เมตรต่อวินาทีต่อวินาที (หรือ เมตรต่อวินาทีกำลังสอง):

.

เมตรต่อวินาทีกำลังสองคือความเร่งของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง โดยที่ความเร็วของจุดนี้จะเพิ่มขึ้น 1 m / s ใน 1 วินาที กล่าวอีกนัยหนึ่งความเร่งกำหนดระดับการเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกายใน 1 วินาที ตัวอย่างเช่น หากความเร่งเท่ากับ 5 m / s 2 ความเร็วของร่างกายจะเพิ่มขึ้น 5 m / s ทุกวินาที

ความเร่งทันทีของร่างกาย (จุดวัสดุ)ในช่วงเวลาที่กำหนดคือปริมาณทางกายภาพที่เท่ากับขีดจำกัดที่ความเร่งเฉลี่ยมีแนวโน้มเมื่อช่วงเวลามีแนวโน้มเป็น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือความเร่งที่พัฒนาขึ้นโดยร่างกายในช่วงเวลาที่สั้นมาก:

.

ความเร่งมีทิศทางเดียวกับการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว Δ ในช่วงเวลาที่สั้นมากในระหว่างที่ความเร็วเปลี่ยนแปลง เวกเตอร์การเร่งความเร็วสามารถตั้งค่าได้โดยใช้การฉายภาพบนแกนพิกัดที่สอดคล้องกันในระบบอ้างอิงที่กำหนด (การฉายภาพ a X, a Y , a Z)

ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงแบบเร่งความเร็วของร่างกายจะเพิ่มขึ้นตามค่าสัมบูรณ์เช่น v 2 > v 1 และเวกเตอร์ความเร่งมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ความเร็ว 2

ถ้าความเร็วโมดูโลของร่างกายลดลง (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем ชะลอตัว(ความเร่งเป็นลบ และ< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

หากมีการเคลื่อนที่ตามแนวโคจรโค้ง โมดูลัสและทิศทางของความเร็วจะเปลี่ยนไป ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ความเร่งแสดงเป็น 2 องค์ประกอบ

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส)เรียกองค์ประกอบนั้นของเวกเตอร์ความเร่ง ซึ่งมุ่งตรงไปยังวิถีโคจร ณ จุดที่กำหนดของวิถีการเคลื่อนที่ การเร่งความเร็วในแนวโค้งจะอธิบายระดับการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็วเมื่อทำการเคลื่อนที่แบบโค้ง

ที่ เวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสτ (ดูรูปด้านบน) ทิศทางนั้นเหมือนกับทิศทางของความเร็วเชิงเส้นหรือตรงข้ามกับมัน เหล่านั้น. เวกเตอร์ของการเร่งในแนวสัมผัสอยู่ในแกนเดียวกับวงกลมแทนเจนต์ ซึ่งเป็นวิถีโคจรของร่างกาย

มีสูตรพื้นฐานของจลนศาสตร์ของจุดวัสดุ ที่มาและการนำเสนอของทฤษฎี

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: ตัวอย่างการแก้ปัญหา (วิธีประสานการระบุการเคลื่อนที่ของจุด)

สูตรพื้นฐานสำหรับจลนศาสตร์ของจุดวัสดุ

เรานำเสนอสูตรพื้นฐานสำหรับจลนศาสตร์ของจุดวัสดุ หลังจากนั้นเราให้ที่มาและการนำเสนอของทฤษฎี

เวกเตอร์รัศมีของวัสดุจุด M ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz :
,
โดยที่เวกเตอร์หน่วย (orths) อยู่ในทิศทางของแกน x, y, z

ความเร็วจุด:
;
.
.
เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของเส้นสัมผัสไปยังเส้นทางจุด:
.

การเร่งความเร็วของจุด:
;
;
;
; ;

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส):
;
;
.

อัตราเร่งปกติ:
;
;
.

เวกเตอร์หน่วยมุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถีจุด (ตามแนวปกติหลัก):
.

.

รัศมีเวกเตอร์และวิถีของจุด

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุ M เราเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคงที่ Oxyz ที่จุดคงที่ O . จากนั้นตำแหน่งของจุด M จะถูกกำหนดโดยพิกัดของมันโดยเฉพาะ (x, y, z). พิกัดเหล่านี้เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์รัศมีของจุดวัสดุ

เวกเตอร์รัศมีของจุด M คือเวกเตอร์ที่ลากจากจุดกำเนิดของระบบพิกัดคงที่ O ไปยังจุด M
,
โดยที่เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน x, y, z

เมื่อจุดเคลื่อนที่ พิกัดจะเปลี่ยนตามเวลา นั่นคือมันเป็นหน้าที่ของเวลา จากนั้นระบบสมการ
(1)
สามารถมองได้ว่าเป็นสมการของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการพาราเมทริก เส้นโค้งดังกล่าวเป็นวิถีโคจรของจุด

วิถีของจุดวัสดุคือเส้นที่จุดเคลื่อนที่

หากจุดเคลื่อนที่ในระนาบ คุณสามารถเลือกแกนและระบบพิกัดเพื่อให้อยู่ในระนาบนี้ได้ จากนั้นวิถีจะถูกกำหนดโดยสองสมการ

ในบางกรณี สามารถแยกเวลาออกจากสมการเหล่านี้ได้ จากนั้นสมการวิถีจะขึ้นอยู่กับรูปแบบ:
,
ฟังก์ชั่นบางอย่างอยู่ที่ไหน การพึ่งพานี้มีเพียงตัวแปรและ . ไม่มีพารามิเตอร์

ความเร็วจุดวัสดุ

ความเร็วของจุดวัสดุคืออนุพันธ์เวลาของเวกเตอร์รัศมี

ตามคำจำกัดความของความเร็วและคำจำกัดความของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของเวลาในกลศาสตร์แสดงด้วยจุดเหนือสัญลักษณ์ แทนที่นิพจน์สำหรับเวกเตอร์รัศมีที่นี่:
,
ซึ่งเราได้ระบุอย่างชัดเจนถึงการพึ่งพาพิกัดตรงเวลา เราได้รับ:

,
ที่ไหน
,
,

- การคาดการณ์ความเร็วบนแกนพิกัด พวกมันได้มาจากการแยกความแตกต่างตามเวลาขององค์ประกอบของเวกเตอร์รัศมี
.

ทางนี้
.
โมดูลความเร็ว:
.

สัมผัสกับเส้นทาง

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ระบบสมการ (1) ถือได้ว่าเป็นสมการของเส้นตรง (เส้นโค้ง) ที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก เวลาในการพิจารณานี้มีบทบาทเป็นพารามิเตอร์ จากหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เป็นที่ทราบกันว่าเวกเตอร์ทิศทางสำหรับแทนเจนต์ของเส้นโค้งนี้มีองค์ประกอบดังต่อไปนี้:
.
แต่นี่คือส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเร็วจุด เช่น ความเร็วของจุดวัสดุมุ่งสัมผัสวิถีโคจร.

ทั้งหมดนี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยตรง ให้ ณ เวลานั้นจุดนั้นอยู่ในตำแหน่งที่มีเวกเตอร์รัศมี (ดูรูป) และในช่วงเวลานั้น - อยู่ในตำแหน่งที่มีเวกเตอร์รัศมี ลากเส้นตรงผ่านจุด ตามคำจำกัดความ แทนเจนต์คือเส้นที่เส้นมีแนวโน้มเมื่อ
ให้เราแนะนำสัญกรณ์:
;
;
.
จากนั้นเวกเตอร์จะชี้ไปตามเส้นตรง

เมื่อทำการพุ่ง เส้นตรงมีแนวโน้มที่จะสัมผัสกัน และเวกเตอร์มีแนวโน้มที่จะความเร็วของจุดในช่วงเวลา:
.
เนื่องจากเวกเตอร์ถูกกำกับไปตามเส้นตรง และเส้นตรงอยู่ที่ จากนั้นเวกเตอร์ความเร็วจึงมุ่งไปตามเส้นสัมผัส
นั่นคือเวกเตอร์ความเร็วของจุดวัสดุถูกชี้ไปตามเส้นสัมผัสไปยังวิถี

มาแนะนำ เวกเตอร์ทิศทางแทนเจนต์ความยาวหน่วย:
.
ลองดูว่าความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับหนึ่ง แท้จริงแล้วเพราะ
, แล้ว:
.

จากนั้นเวกเตอร์ความเร็วจุดสามารถแสดงได้ดังนี้:
.

การเร่งจุดวัสดุ

ความเร่งของจุดวัสดุเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา

ในทำนองเดียวกันกับก่อนหน้านี้ เราได้รับส่วนประกอบการเร่งความเร็ว (การคาดการณ์การเร่งความเร็วบนแกนพิกัด):
;
;
;
.
โมดูลเร่งความเร็ว:
.

สัมผัส (สัมผัส) และความเร่งปกติ

ทีนี้ลองพิจารณาคำถามเกี่ยวกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งที่สัมพันธ์กับวิถีโคจร เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้สูตร:
.
แยกความแตกต่างตามเวลาโดยใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:
.

เวกเตอร์ถูกกำกับในแนวสัมผัสไปยังวิถี อนุพันธ์ของเวลามีทิศทางไปในทิศทางใด

ในการตอบคำถามนี้ เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าความยาวของเวกเตอร์คงที่และเท่ากับหนึ่ง จากนั้นกำลังสองของความยาวของมันก็เท่ากับหนึ่ง:
.
ต่อไปนี้และด้านล่าง เวกเตอร์สองตัวในวงเล็บแสดงถึงผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ แยกความแตกต่างของสมการสุดท้ายเทียบกับเวลา:
;
;
.
เนื่องจากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และเท่ากับศูนย์ เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกัน เนื่องจากเวกเตอร์สัมผัสกับเส้นทาง เวกเตอร์จึงตั้งฉากกับเส้นสัมผัส

องค์ประกอบแรกเรียกว่าการเร่งความเร็วในแนวสัมผัสหรือแนวสัมผัส:
.
องค์ประกอบที่สองเรียกว่าการเร่งความเร็วปกติ:
.
จากนั้นความเร่งทั้งหมดคือ:
(2) .
สูตรนี้เป็นการสลายตัวของการเร่งความเร็วเป็นสององค์ประกอบตั้งฉากซึ่งกันและกัน - แทนเจนต์กับวิถีโคจรและตั้งฉากกับแทนเจนต์

เพราะงั้น
(3) .

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส)

คูณทั้งสองข้างของสมการ (2) สเกลาร์ถึง:
.
เพราะแล้ว. แล้ว
;
.
ที่นี่เราใส่:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าความเร่งในแนวสัมผัสเท่ากับการฉายภาพความเร่งรวมบนทิศทางของเส้นสัมผัสถึงวิถีโคจรหรือซึ่งเท่ากันบนทิศทางความเร็วของจุด

ความเร่งในแนวสัมผัส (tangential) ของจุดวัสดุคือการฉายภาพความเร่งเต็มที่ในทิศทางของเส้นสัมผัสถึงวิถีโคจร (หรือในทิศทางของความเร็ว)

สัญลักษณ์แสดงถึงเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสที่กำกับไปตามเส้นสัมผัสไปยังวิถี จากนั้นเป็นค่าสเกลาร์เท่ากับการฉายภาพความเร่งทั้งหมดบนทิศทางของเส้นสัมผัส มันสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ

แทนที่ เรามี:
.

แทนที่ในสูตร:
.
แล้ว:
.
นั่นคือ ความเร่งในแนวสัมผัสเท่ากับอนุพันธ์เวลาของโมดูลัสของความเร็วของจุด ทางนี้, ความเร่งในแนวสัมผัสทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในค่าสัมบูรณ์ของความเร็วของจุด. เมื่อความเร็วเพิ่มขึ้น ความเร่งในแนวสัมผัสจะเป็นบวก (หรือชี้ไปตามความเร็ว) เมื่อความเร็วลดลง ความเร่งในแนวสัมผัสจะเป็นลบ (หรือตรงกันข้ามกับความเร็ว)

ทีนี้ลองดูเวกเตอร์กัน

พิจารณาเวกเตอร์หน่วยของแทนเจนต์กับวิถีโคจร เราวางที่มาของมันไว้ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัด จากนั้นจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะอยู่บนทรงกลมของรัศมีหน่วย เมื่อย้ายจุดวัสดุ จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะเคลื่อนที่ไปตามทรงกลมนี้ กล่าวคือ มันจะหมุนรอบที่มาของมัน อนุญาต เป็นความเร็วเชิงมุมชั่วขณะของการหมุนเวกเตอร์ ณ เวลานั้น จากนั้นอนุพันธ์ของมันคือความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ มันถูกตั้งฉากกับเวกเตอร์ ลองใช้สูตรการเคลื่อนที่แบบหมุนกัน โมดูลัสเวกเตอร์:
.

ตอนนี้ให้พิจารณาตำแหน่งของจุดเป็นเวลาปิดสองครั้ง ให้ ณ เวลานั้นจุดนั้นอยู่ในตำแหน่ง และ ณ เวลานั้นอยู่ในตำแหน่งนั้น เวกเตอร์แบบ Let และ be กำกับในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจร ณ จุดเหล่านี้ ผ่านจุดและวาดระนาบตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ . อนุญาต เป็นเส้นตรงที่เกิดจากจุดตัดของระนาบเหล่านี้ วางแนวตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง หากตำแหน่งของจุดและอยู่ใกล้เพียงพอ การเคลื่อนที่ของจุดนั้นถือได้ว่าเป็นการหมุนตามวงกลมรัศมีรอบแกน ซึ่งจะเป็นแกนหมุนทันทีของจุดวัสดุ เนื่องจากเวกเตอร์ และ ตั้งฉากกับระนาบ และ มุมระหว่างระนาบเหล่านี้จึงเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ และ จากนั้นความเร็วรอบการหมุนของจุดรอบแกนในทันทีจะเท่ากับความเร็วการหมุนของเวกเตอร์ในทันที:
.
นี่คือระยะห่างระหว่างจุดและ

ดังนั้นเราจึงพบโมดูลัสของอนุพันธ์เวลาของเวกเตอร์:
.
ตามที่เราอธิบายไปก่อนหน้านี้ เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ จะเห็นได้จากเหตุผลข้างต้นที่ชี้ไปที่ศูนย์กลางความโค้งของวิถีทันที ทิศทางนี้เรียกว่าหลักปกติ

อัตราเร่งปกติ

อัตราเร่งปกติ

กำกับไปตามเวกเตอร์ อย่างที่เราทราบ เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของเส้นโคจรในชั่วพริบตา
อนุญาต เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้นำจากจุดวัสดุไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถีทันที (ตามแนวปกติหลัก) แล้ว
;
.
เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน - ไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถี ดังนั้น
.

จากสูตร (2) เรามี:
(4) .
จากสูตร (3) หาโมดูลัสของการเร่งความเร็วปกติ:
.

คูณทั้งสองข้างของสมการ (2) สเกลาร์ถึง:
(2) .
.
เพราะแล้ว. แล้ว
;
.
นี่แสดงว่าโมดูลัสของการเร่งความเร็วปกติเท่ากับการฉายภาพความเร่งรวมบนทิศทางของเส้นตั้งฉากหลัก

ความเร่งปกติของจุดวัสดุคือการฉายภาพความเร่งเต็มที่ไปยังทิศทางที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวิถี

มาทดแทนกัน แล้ว
.
กล่าวคือ ความเร่งปกติทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในทิศทางของความเร็วของจุด และสัมพันธ์กับรัศมีความโค้งของวิถี

จากที่นี่คุณจะพบรัศมีความโค้งของวิถี:
.

สุดท้ายเราสังเกตว่าสูตร (4) สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
ที่นี่เราใช้สูตรสำหรับผลคูณของเวกเตอร์สามตัว:
,
ที่พวกเขาใส่กรอบ
.

ดังนั้นเราจึงได้รับ:
;
.
มาเทียบโมดูลของส่วนซ้ายและขวากันเถอะ:
.
แต่เวกเตอร์และตั้งฉากกัน นั่นเป็นเหตุผลที่
.
แล้ว
.
นี่เป็นสูตรที่รู้จักกันดีจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สำหรับความโค้งของเส้นโค้ง

ดูสิ่งนี้ด้วย:

การเคลื่อนที่เชิงเส้น ความเร็วเชิงเส้น ความเร่งเชิงเส้น

ย้าย(ในจลนศาสตร์) - การเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งของร่างกายในอวกาศที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่เลือก นอกจากนี้ การกระจัดยังเป็นเวกเตอร์ที่แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงนี้ มันมีคุณสมบัติการเติม ความยาวของส่วนคือโมดูลัสการกระจัด ซึ่งวัดเป็นเมตร (SI)

คุณสามารถกำหนด displacement เป็นการเปลี่ยนแปลงในเวกเตอร์รัศมีของจุด:

โมดูลัสของการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นพร้อมกับระยะทางที่เดินทางก็ต่อเมื่อทิศทางการเคลื่อนที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเคลื่อนไหว ในกรณีนี้วิถีจะเป็นส่วนของเส้นตรง ในกรณีอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น ด้วยการเคลื่อนที่แบบโค้ง ความเสมอภาคจะตามมาจากอสมการสามเหลี่ยมว่าเส้นทางนั้นยาวกว่ามาก

เวกเตอร์ดี r = r -r 0 ดึงจากตำแหน่งเริ่มต้นของจุดเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งในช่วงเวลาที่กำหนด (การเพิ่มรัศมีเวกเตอร์ของจุดในช่วงเวลาที่พิจารณา) เรียกว่า ย้าย.

ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง เวกเตอร์การกระจัดจะตรงกับส่วนที่สอดคล้องกันของวิถีโคจรและโมดูลัสการกระจัด |D r| เท่ากับระยะทางที่เดินทาง D ส.
ความเร็วเชิงเส้นของวัตถุในกลศาสตร์

ความเร็ว

ในการอธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ จะมีการแนะนำปริมาณเวกเตอร์ - ความเร็ว ซึ่งถูกกำหนดเป็น ความรวดเร็วการเคลื่อนไหวตลอดจน ทิศทางณ เวลานี้.

ให้จุดวัตถุเคลื่อนที่ไปตามวิถีโคจรโค้งเพื่อว่า ณ ขณะหนึ่ง tมันสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมี r 0 (รูปที่ 3) ในช่วงเวลาสั้น ๆ D tจุดจะผ่านเส้นทางD สและจะได้รับพ.ร.บ.เบื้องต้น (น้อยนิด)

เวกเตอร์ความเร็วเฉลี่ย คืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้น Dr ของเวกเตอร์รัศมีของจุดต่อช่วงเวลา D t:

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเฉลี่ยตรงกับทิศทางของดร. ด้วยการลดลงอย่างไม่จำกัดใน D tความเร็วเฉลี่ยจะมีค่าจำกัดซึ่งเรียกว่า ความเร็วทันที v:

ความเร็วชั่วขณะ v จึงเป็นปริมาณเวกเตอร์เท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเวกเตอร์รัศมีของจุดเคลื่อนที่เทียบกับเวลา เนื่องจากเซแคนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแทนเจนต์ในลิมิต เวกเตอร์ความเร็ว v ถูกนำในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจรในทิศทางของการเคลื่อนที่ (รูปที่ 3) เมื่อ D ลดลง tเส้นทาง D สจะเข้าใกล้ |Dr| มากขึ้นเรื่อย ๆ ดังนั้นโมดูลของความเร็วทันที

ดังนั้น โมดูลของความเร็วทันทีจึงเท่ากับอนุพันธ์อันดับแรกของเส้นทางเทียบกับเวลา:

ที่ การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ -โมดูลัสความเร็วชั่วขณะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ในกรณีนี้ เราใช้ปริมาณสเกลาร์ á วีñ - ความเร็วเฉลี่ยการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ:

จากรูป 3 มันตามมาว่า วีñ> |ávñ| เพราะ D ส> |Dr| และเฉพาะกรณีการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเท่านั้น

ถ้านิพจน์d s = v d t(ดูสูตร (2.2)) รวมเมื่อเวลาผ่านไปภายในช่วงของ tก่อน t+ ด tแล้วเราจะหาความยาวของเส้นทางที่เดินทางโดยจุดในเวลา D t:

เมื่อไร การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอค่าตัวเลขของความเร็วชั่วขณะนั้นคงที่ จากนั้นนิพจน์ (2.3) ใช้รูปแบบ

ความยาวของเส้นทางที่เดินทางโดยจุดในช่วงเวลาจาก t 1 ถึง t 2 ถูกกำหนดโดยปริพันธ์

อัตราเร่งและส่วนประกอบ

ในกรณีของการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าความเร็วเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนเมื่อเวลาผ่านไป ปริมาณทางกายภาพที่กำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในค่าสัมบูรณ์และทิศทางคือ อัตราเร่ง.

พิจารณา การเคลื่อนไหวแบบแบน,เหล่านั้น. การเคลื่อนที่ซึ่งทุกส่วนของวิถีโคจรของจุดอยู่ในระนาบเดียวกัน ให้เวกเตอร์ v กำหนดความเร็วของจุด แต่ในขณะนั้น ทีสำหรับเวลา D tย้ายจุดย้ายไปยังตำแหน่ง ในและได้รับความเร็วที่แตกต่างจาก v ทั้งในโมดูลัสและทิศทาง และเท่ากับ v 1 = v + Dv ย้ายเวกเตอร์ v 1 ไปยังจุด แต่และหา Dv (รูปที่ 4)

อัตราเร่งเฉลี่ยการเคลื่อนไหวไม่สม่ำเสมอในช่วงเวลาจาก tก่อน t+ ด tเรียกว่า ปริมาณเวกเตอร์ เท่ากับอัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงความเร็ว Dv ต่อช่วงเวลา D t

อัตราเร่งทันที a (ความเร่ง) ของจุดวัสดุ ณ เวลา tจะมีขีดจำกัดความเร่งเฉลี่ย:

ดังนั้น ความเร่ง a เป็นปริมาณเวกเตอร์เท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของความเร็วเทียบกับเวลา

ให้เราแยกเวกเตอร์ Dv ออกเป็นสององค์ประกอบ สำหรับสิ่งนี้จากจุด แต่(รูปที่ 4) ในทิศทางของความเร็ว v เราแยกเวกเตอร์ , โมดูโล เท่ากับ v 1 . เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ , เท่ากับ กำหนดการเปลี่ยนแปลงความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป D ที โมดูโล: . องค์ประกอบที่สองของ vector Dv แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป D ในทิศทาง

การเร่งความเร็วแบบสัมผัสและแบบปกติ

การเร่งความเร็วสัมผัส- องค์ประกอบการเร่งความเร็วที่สัมผัสโดยตรงกับวิถีการเคลื่อนที่ ตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่แบบเร่งและทิศทางตรงกันข้ามระหว่างการเคลื่อนไหวช้า เป็นลักษณะการเปลี่ยนแปลงในโมดูลความเร็ว โดยปกติจะแสดงหรือ ( ฯลฯ ตามตัวอักษรที่เลือกเพื่อแสดงถึงความเร่งโดยทั่วไปในข้อความนี้)

บางครั้ง ความเร่งในแนวสัมผัสถูกเข้าใจว่าเป็นการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัส - ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น - บนเวกเตอร์หน่วยของเส้นสัมผัสไปยังวิถีโคจร ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร่ง (ทั้งหมด) ไปยังเวกเตอร์แทนเจนต์ของหน่วย นั่นคือ ปัจจัยการขยายตัวที่สอดคล้องกันในเกณฑ์ที่แนบมา ในกรณีนี้ ไม่ใช้สัญกรณ์เวกเตอร์ แต่เป็น "สเกลาร์" - ตามปกติสำหรับการฉายภาพหรือพิกัดเวกเตอร์ - .

ขนาดของความเร่งในแนวสัมผัส - ในแง่ของการฉายภาพเวกเตอร์ความเร่งบนเวกเตอร์แทนเจนต์หน่วยของวิถี - สามารถแสดงได้ดังนี้:

ที่ไหน - ความเร็วภาคพื้นดินตามแนววิถีซึ่งสอดคล้องกับค่าสัมบูรณ์ของความเร็วทันทีในช่วงเวลาที่กำหนด

หากเราใช้สัญกรณ์สำหรับเวกเตอร์แทนเจนต์หน่วย เราก็สามารถเขียนความเร่งในแนวสัมผัสในรูปแบบเวกเตอร์ได้:

เอาท์พุต

นิพจน์สำหรับการเร่งในแนวสัมผัสสามารถหาได้โดยการแยกความแตกต่างของเวกเตอร์ความเร็วเทียบกับเวลา ซึ่งแสดงเป็นเวกเตอร์แทนเจนต์หน่วย:

โดยที่เทอมแรกคือความเร่งในแนวสัมผัส และระยะที่สองคือความเร่งปกติ

ที่นี่เราใช้สัญกรณ์สำหรับเวกเตอร์ปกติของหน่วยกับวิถีและ - สำหรับความยาวปัจจุบันของวิถี (); การเปลี่ยนครั้งสุดท้ายยังใช้ความชัดเจน

และจากการพิจารณาทางเรขาคณิต

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง (ปกติ)- ส่วนหนึ่งของความเร่งรวมของจุดเนื่องจากความโค้งของวิถีและความเร็วของวัตถุที่ชี้ไปตามนั้น ความเร่งดังกล่าวมุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถีซึ่งเป็นสาเหตุของระยะ อย่างเป็นทางการและโดยพื้นฐานแล้ว คำว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง โดยทั่วไปเกิดขึ้นพร้อมกับคำว่า ความเร่งปกติ ซึ่งแตกต่างกันมากกว่าแค่โวหาร (บางครั้งในอดีต)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมักพูดถึงความเร่งสู่ศูนย์กลางเมื่อพูดถึงการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลมหรือเมื่อการเคลื่อนไหวใกล้เคียงกับกรณีนี้มากหรือน้อย

สูตรเบื้องต้น

โดยที่ความเร่งปกติ (ศูนย์กลาง) คือความเร็วเชิงเส้น (ชั่วขณะ) ของการเคลื่อนที่ตามแนววิถี คือความเร็วเชิงมุม (ทันที) ของการเคลื่อนที่นี้เทียบกับจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถี คือรัศมีความโค้งของวิถี ณ จุดที่กำหนด (ความเชื่อมโยงระหว่างสูตรแรกกับสูตรที่สองนั้นชัดเจนเมื่อพิจารณา)

นิพจน์ข้างต้นรวมค่าสัมบูรณ์ สามารถเขียนได้ง่ายในรูปแบบเวกเตอร์โดยการคูณด้วย - เวกเตอร์หน่วยจากจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถีไปยังจุดที่กำหนด:

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับกรณีของการเคลื่อนไหวด้วยความเร็วคงที่ (ในค่าสัมบูรณ์) คงที่ และกรณีใดก็ได้ อย่างไรก็ตาม ในอันที่สอง ต้องระลึกไว้เสมอว่าความเร่งสู่ศูนย์กลางไม่ใช่เวกเตอร์ความเร่งเต็ม แต่มีเพียงองค์ประกอบในแนวตั้งฉากกับวิถีโคจร (หรือซึ่งเหมือนกัน ตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วทันที) เวกเตอร์ความเร่งแบบเต็มยังรวมถึงองค์ประกอบในแนวสัมผัส (ความเร่งในแนวดิ่ง) ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางสัมผัสกับวิถีโคจร (หรือซึ่งเหมือนกันด้วยความเร็วในทันที)

เอาท์พุต

การสลายตัวของเวกเตอร์ความเร่งเป็นส่วนประกอบ - อันหนึ่งตามแนวเวกเตอร์สัมผัสกับวิถี (ความเร่งในแนวดิ่ง) และอีกมุมฉากหนึ่ง (ความเร่งปกติ) - สะดวกและมีประโยชน์ค่อนข้างชัดเจนในตัวเอง สิ่งนี้ทำให้รุนแรงขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ องค์ประกอบสัมผัสจะเท่ากับศูนย์ นั่นคือ ในกรณีเฉพาะที่สำคัญนี้ จะเหลือเพียงองค์ประกอบปกติเท่านั้น นอกจากนี้ ดังที่เห็นด้านล่าง องค์ประกอบแต่ละอย่างมีคุณสมบัติและโครงสร้างที่ชัดเจน และความเร่งปกติมีเนื้อหาทางเรขาคณิตที่ค่อนข้างสำคัญและไม่สำคัญในโครงสร้างของสูตร ไม่ต้องพูดถึงกรณีการเคลื่อนที่ที่สำคัญในวงกลมโดยเฉพาะ (ซึ่งยังสามารถสรุปเป็นกรณีทั่วไปได้โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง)

ประเภทของการเร่งความเร็วใน รฟท.

ดังนั้น เราได้แสดงให้เห็นว่ามีความเร็วที่วัดได้สองประเภท นอกจากนี้ความเร็วที่วัดในหน่วยเดียวกันก็น่าสนใจมากเช่นกัน สำหรับค่าเล็กน้อย ความเร็วทั้งหมดจะเท่ากัน

มีอัตราเร่งเท่าใด ความเร่งแบบใดจะต้องคงที่ในระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำเสมอของจรวดสัมพัทธภาพเพื่อให้นักบินอวกาศออกแรงแบบเดียวกันบนพื้นจรวดเสมอเพื่อที่เขาจะได้ไม่กลายเป็นคนไร้น้ำหนักหรือเพื่อที่เขาจะได้ไม่ตายจากการบรรทุกเกินพิกัด?

ให้เราแนะนำคำจำกัดความของการเร่งความเร็วประเภทต่างๆ

การเร่งพิกัดพิกัด d วี/dt คือการเปลี่ยนแปลง พิกัดความเร็ว, วัดโดยซิงโครไนซ์ นาฬิกาพิกัด

d วี/dt=d2 r/dt 2 .

เมื่อมองไปข้างหน้า เราสังเกตว่า d วี/dt = 1 วัน วี/dt = ก. 0 d วี/dt.

พิกัดอัตราเร่งของตัวเอง d วี/dt คือการเปลี่ยนแปลง ประสานงานความเร็ววัดโดย นาฬิกาของตัวเอง

d วี/dt=d(ด r/dt)/dt = gd 2 r/dt 2 .
d วี/dt = ก. 1 d วี/dt.

การเร่งความเร็วด้วยตนเอง d ข/dt คือการเปลี่ยนแปลง เป็นเจ้าของความเร็ววัดโดยซิงโครไนซ์ นาฬิกาพิกัดวางในทิศทางการเคลื่อนที่ของตัวทดสอบ:

d ข/dt = d(ด r/dt)/dt = ก. 3 วี(วี d วี/dt)/c 2 + gd วี/dt.
ถ้า วี|| d วี/dt แล้วก็ d ข/dt = ก. 3 d วี/dt.
ถ้า วีตั้งฉากกับ d วี/dt แล้วก็ d ข/dt=gd วี/dt.

การเร่งความเร็วของตัวเอง d ข/dt คือการเปลี่ยนแปลง เป็นเจ้าของความเร็ววัดโดย นาฬิกาของตัวเองเกี่ยวข้องกับร่างกายที่เคลื่อนไหว:

d ข/dt = d(ด r/dt)/dt = ก. 4 วี(วี d วี/dt)/c 2 + g 2 d วี/dt.
ถ้า วี|| d วี/dt แล้วก็ d ข/dt = ก. 4 d วี/dt.
ถ้า วีตั้งฉากกับ d วี/dt แล้วก็ d ข/dt = ก. 2 d วี/dt.

การเปรียบเทียบประสิทธิภาพที่สัมประสิทธิ์ g ในการเร่งความเร็วสี่ประเภทที่เขียนไว้ข้างต้น เราสังเกตว่าในกลุ่มนี้ไม่มีสมาชิกที่มีสัมประสิทธิ์ g 2 ที่ความเร่งแบบขนาน แต่เรายังไม่ได้หาอนุพันธ์ของความเร็วเลย มันยังเร็วอีกด้วย ลองหาอนุพันธ์เวลาของความเร็วโดยใช้สูตร v/c = th(r/c):

dr/dt = (c arth(v/c))" = ก. 2 dv/dt.

และถ้าเราเอา dr / dt เราจะได้รับ:

dr/dt = ก. 3 dv/dt,

หรือ dr/dt = db/dt

ดังนั้นเราจึงมีความเร็วที่วัดได้สองค่า วีและ ขและอีกหนึ่งความเร็ว r ที่นับไม่ถ้วน แต่มีความสมมาตรมากที่สุด และความเร่งหกชนิด ซึ่ง dr/dt และ db/dt เหมือนกันสองชนิด ความเร่งใดที่เหมาะสม กล่าวคือ รู้สึกถึงร่างกายที่เร่งรีบ?

เราจะกลับไปที่ความเร่งของเราเองด้านล่าง แต่สำหรับตอนนี้ เราจะหาว่าความเร่งประเภทใดรวมอยู่ในกฎข้อที่สองของนิวตัน อย่างที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ากฎข้อที่สองของกลศาสตร์ในกลศาสตร์สัมพัทธภาพเขียนอยู่ในรูป ฉ=m เอปรากฎว่าผิด แรงและความเร่งสัมพันธ์กันโดยสมการแทน

ฉ= ม. (ก. 3 วี(วา)/c 2 + g เอ),

ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณทางวิศวกรรมของเครื่องเร่งปฏิกิริยาแบบสัมพัทธภาพ ถ้าเราเปรียบเทียบสมการนี้กับสมการที่ได้จากความเร่ง d ข/dt:

d ข/dt = ก. 3 วี(วี d วี/dt)/c 2 + gd วี/dt,

จากนั้นเราสังเกตว่าพวกมันต่างกันด้วยตัวประกอบ m เท่านั้น นั่นคือคุณสามารถเขียน:

ฉ= ม ด ข/dt.

สมการสุดท้ายจะส่งกลับสถานะมวลของการวัดความเฉื่อยในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ แรงที่กระทำต่อร่างกายเป็นสัดส่วนกับความเร่ง d ข/dt. สัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือมวลคงที่ บังคับเวกเตอร์ ฉและความเร่ง d ข/dt เป็นทิศทางร่วมสำหรับทิศทางของเวกเตอร์ วีและ เอ, หรือ ขและ d ข/dt.

สูตรเขียนในรูปความเร่ง d วี/dt ไม่ให้สัดส่วนดังกล่าว ความเร่งของแรงและพิกัดพิกัดมักไม่ตรงกันในทิศทาง จะขนานกันในสองกรณีเท่านั้น: ถ้าเวกเตอร์ วีและ d วี/dt ขนานกัน และหากตั้งฉากกัน แต่ในกรณีแรกกำลัง ฉ= มก. 3 วัน วี/dt และในวินาที - ฉ=mgd วี/dt.

ดังนั้นในกฎของนิวตัน เราต้องใช้ความเร่ง d ข/dt คือ เปลี่ยน เป็นเจ้าของความเร็ว ข, วัดโดยนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์

บางทีด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า ฉ= md r/dt โดยที่ d r/dt เป็นเวกเตอร์ของการเร่งความเร็วภายใน แต่ความเร็วเป็นค่าที่นับไม่ถ้วน แม้ว่าจะคำนวณได้ง่ายก็ตาม ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์จะเป็นจริงหรือไม่ ฉันไม่สามารถพูดได้ แต่ความเสมอภาคสเกลาร์นั้นเป็นจริงเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า dr/dt=db/dt และ ฉ=md ข/dt.

อัตราเร่งเป็นค่าที่กำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว

ตัวอย่างเช่น รถยนต์ที่เคลื่อนตัวออกไปเพิ่มความเร็วในการเคลื่อนที่ กล่าวคือ มันเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร่ง ในขั้นต้น ความเร็วของมันคือศูนย์ เริ่มจากหยุดนิ่ง รถจะค่อยๆ เร่งความเร็วจนถึงระดับที่กำหนด หากสัญญาณไฟจราจรสีแดงสว่างขึ้น รถจะหยุด แต่มันจะไม่หยุดทันที แต่หลังจากนั้นไม่นาน นั่นคือความเร็วของมันจะลดลงเหลือศูนย์ - รถจะเคลื่อนที่ช้า ๆ จนกว่าจะหยุดสนิท อย่างไรก็ตาม ในฟิสิกส์ไม่มีคำว่า "การชะลอตัว" หากร่างกายเคลื่อนไหวช้าลง นี่จะเป็นความเร่งของร่างกายด้วยเครื่องหมายลบเท่านั้น (ดังที่คุณจำได้ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์)

อัตราเร่งเฉลี่ย

อัตราเร่งเฉลี่ย> คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อช่วงเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น ความเร่งเฉลี่ยสามารถกำหนดได้โดยสูตร:

ที่ไหน - เวกเตอร์การเร่งความเร็ว.

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว Δ = - 0 (ในที่นี้ 0 คือความเร็วเริ่มต้น นั่นคือความเร็วที่ร่างกายเริ่มเร่งความเร็ว)

ณ เวลา t1 (ดูรูป 1.8) ร่างกายมีความเร็วเป็น 0 . ณ เวลา t2 ร่างกายมีความเร็ว ตามกฎการลบเวกเตอร์ เราพบเวกเตอร์ของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว Δ = - 0 . จากนั้นความเร่งสามารถกำหนดได้ดังนี้:

ข้าว. 1.8. อัตราเร่งเฉลี่ย.

ในSI หน่วยความเร่งคือ 1 เมตรต่อวินาทีต่อวินาที (หรือเมตรต่อวินาทีกำลังสอง) นั่นคือ

เมตรต่อวินาทีกำลังสองเท่ากับความเร่งของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงซึ่งในหนึ่งวินาทีความเร็วของจุดนี้จะเพิ่มขึ้น 1 m / s กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเร่งกำหนดว่าความเร็วของร่างกายเปลี่ยนแปลงไปมากเพียงใดในหนึ่งวินาที ตัวอย่างเช่น หากความเร่งเท่ากับ 5 m / s 2 แสดงว่าความเร็วของร่างกายเพิ่มขึ้น 5 m / s ทุกวินาที

เพิ่มทันที

ความเร่งทันทีของร่างกาย (จุดวัสดุ)ในช่วงเวลาที่กำหนดคือปริมาณทางกายภาพที่เท่ากับขีดจำกัดที่ความเร่งเฉลี่ยมีแนวโน้มเมื่อช่วงเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือความเร่งที่ร่างกายพัฒนาในช่วงเวลาสั้น ๆ :

ทิศทางของการเร่งความเร็วยังสอดคล้องกับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว Δ สำหรับค่าที่น้อยมากของช่วงเวลาที่เกิดการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว เวกเตอร์การเร่งความเร็วสามารถกำหนดได้โดยการฉายภาพบนแกนพิกัดที่สอดคล้องกันในหน้าต่างอ้างอิงที่กำหนด (การฉายภาพ a X, a Y , a Z)

ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงแบบเร่งความเร็วของร่างกายจะเพิ่มขึ้นในค่าสัมบูรณ์นั่นคือ

V2 > v1

และทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งจะตรงกับเวกเตอร์ความเร็ว 2

ถ้าความเร็วโมดูโลของร่างกายลดลง นั่นคือ

วี 2< v 1

แล้วทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งจะอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว 2 กล่าวอีกนัยหนึ่งในกรณีนี้ ชะลอตัวในขณะที่ความเร่งจะเป็นลบ (และ< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

ข้าว. 1.9. อัตราเร่งทันที

เมื่อเคลื่อนที่ไปตามวิถีโค้ง ไม่เพียงแต่โมดูลัสของความเร็วจะเปลี่ยนไปเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางด้วย ในกรณีนี้ เวกเตอร์ความเร่งจะแสดงเป็นสององค์ประกอบ (ดูหัวข้อถัดไป)

การเร่งความเร็วสัมผัส

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส)เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่กำกับไปตามเส้นสัมผัสไปยังวิถีที่จุดที่กำหนดในวิถี การเร่งความเร็วในแนวโค้งเป็นตัวกำหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่แบบโค้ง

ข้าว. 1.10. การเร่งความเร็วในแนวสัมผัส

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัส τ (ดูรูปที่ 1.10) เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของความเร็วเชิงเส้นหรืออยู่ตรงข้ามกับทิศทางนั้น นั่นคือเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสอยู่บนแกนเดียวกับวงกลมแทนเจนต์ซึ่งเป็นวิถีของร่างกาย

อัตราเร่งปกติ

อัตราเร่งปกติเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่กำกับไปตามเส้นปกติไปยังวิถีการเคลื่อนที่ ณ จุดที่กำหนดบนวิถีการเคลื่อนที่ของร่างกาย นั่นคือเวกเตอร์ความเร่งปกติตั้งฉากกับความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ (ดูรูปที่ 1.10) ความเร่งปกติแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในทิศทางและเขียนแทนด้วยตัวอักษร n เวกเตอร์ความเร่งปกติจะชี้ไปตามรัศมีความโค้งของวิถี

อัตราเร่งเต็มที่

อัตราเร่งเต็มที่ในการเคลื่อนที่โค้งประกอบด้วยความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งปกติตาม กฎการบวกเวกเตอร์และถูกกำหนดโดยสูตร:

(ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

นอกจากนี้ยังกำหนดทิศทางของการเร่งความเร็วเต็มที่อีกด้วย กฎการบวกเวกเตอร์:

= τ + n