พื้นที่ของรูปโดยโหนดเป็นสูตร ในวิชาคณิตศาสตร์ในหัวข้อ "สูตรพีค" การหาพื้นที่ผิวของรูปทรงเชิงพื้นที่

ข้อความของงานถูกวางไว้โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มของงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

บทนำ

ฉันเป็นนักเรียนชั้น ป.6 ฉันเริ่มเรียนเรขาคณิตตั้งแต่ปีที่แล้ว เพราะฉันเรียนที่โรงเรียนโดยใช้หนังสือเรียน “คณิตศาสตร์ เลขคณิต เรขาคณิต” แก้ไขโดย E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. มินาเอวาและอื่น ๆ

ความสนใจมากที่สุดของฉันถูกดึงดูดโดยหัวข้อ "กำลังสองของตัวเลข", "การรวบรวมสูตร" ฉันสังเกตว่าพื้นที่ของตัวเลขเดียวกันสามารถพบได้ในวิธีที่ต่างกัน ในชีวิตประจำวันเรามักจะประสบปัญหาในการหาพื้นที่ เช่น หาพื้นที่ที่จะทาสี เป็นเรื่องที่น่าสนใจในการซื้อวอลเปเปอร์สำหรับการปรับปรุงใหม่คุณจำเป็นต้องรู้ขนาดของห้องเช่น พื้นที่ผนัง. การคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า และสามเหลี่ยมมุมฉากไม่ได้ทำให้ฉันลำบาก

ฉันรู้สึกทึ่งกับหัวข้อนี้ ฉันจึงเริ่มมองหาเนื้อหาเพิ่มเติมบนอินเทอร์เน็ต จากการค้นหา ฉันพบสูตร Pick - นี่คือสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุก การคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรนี้ดูเหมือนว่านักเรียนทุกคนจะสามารถเข้าถึงได้ นั่นคือเหตุผลที่ฉันตัดสินใจ งานวิจัย.

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ:

หัวข้อนี้เป็นการเพิ่มและเจาะลึกของการศึกษาหลักสูตรเรขาคณิต

การศึกษาหัวข้อนี้จะช่วยให้คุณเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกและการสอบได้ดียิ่งขึ้น

วัตถุประสงค์:

ทำความคุ้นเคยกับสูตร Pick

เชี่ยวชาญเทคนิคในการแก้ปัญหาเรขาคณิตโดยใช้สูตร Pick

จัดระบบและสรุปเนื้อหาเชิงทฤษฎีและปฏิบัติ

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

ตรวจสอบประสิทธิภาพและความเหมาะสมของการนำสูตรไปใช้ในการแก้ปัญหา

เรียนรู้วิธีใช้สูตร Pick กับปัญหาความซับซ้อนที่แตกต่างกัน

เปรียบเทียบปัญหาที่แก้ไขโดยใช้สูตร Pick และวิธีดั้งเดิม

ส่วนสำคัญ

1.1. ประวัติอ้างอิง

Georg Alexander Pick เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย เกิดเมื่อวันที่ 10 สิงหาคม พ.ศ. 2402 เขาเป็นเด็กที่มีพรสวรรค์ซึ่งสอนโดยพ่อของเขาซึ่งเป็นหัวหน้าสถาบันเอกชน เมื่ออายุ 16 ปี Georg จบการศึกษาจากโรงเรียนมัธยมและเข้ามหาวิทยาลัยเวียนนา เมื่ออายุได้ 20 ปี เขาได้รับสิทธิในการสอนวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สูตรการกำหนดพื้นที่ของโครงตาข่ายของรูปหลายเหลี่ยมทำให้เขาโด่งดังไปทั่วโลก เขาตีพิมพ์สูตรของเขาในบทความในปี พ.ศ. 2442 มันกลายเป็นที่นิยมเมื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวโปแลนด์ Hugo Steinhaus รวมไว้ใน 1969 ในการตีพิมพ์ภาพทางคณิตศาสตร์

Georg Pieck สำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยเวียนนาและสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกในปี 1880 หลังจากได้รับปริญญาเอก เขาได้รับการแต่งตั้งเป็นผู้ช่วยของเออร์เนสต์ มัคที่มหาวิทยาลัยเชิร์ล-เฟอร์ดินานด์ในกรุงปราก ที่นั่นเขากลายเป็นครู เขายังคงอยู่ในปรากจนกระทั่งเกษียณอายุในปี 1927 แล้วเดินทางกลับเวียนนา

Pick เป็นประธานคณะกรรมการที่มหาวิทยาลัยเยอรมันแห่งปรากซึ่งแต่งตั้ง Einstein ศาสตราจารย์วิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ในปี 1911

เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ Czech Academy of Sciences and Arts แต่ถูกไล่ออกจากโรงเรียนหลังการยึดครองกรุงปรากของนาซี

เมื่อพวกนาซีเข้าสู่ออสเตรียเมื่อวันที่ 12 มีนาคม พ.ศ. 2481 เขากลับไปปราก ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2482 พวกนาซีบุกเชโกสโลวาเกีย เมื่อวันที่ 13 กรกฎาคม พ.ศ. 2485 พิกถูกส่งตัวไปที่ค่าย Theresienstadt ซึ่งก่อตั้งโดยพวกนาซีทางตอนเหนือของโบฮีเมีย ซึ่งเขาเสียชีวิตในอีกสองสัปดาห์ต่อมาเมื่ออายุได้ 82 ปี

1.2. วิจัยและพิสูจน์

ฉันเริ่มงานวิจัยโดยถามคำถาม: ฉันสามารถหาตัวเลขส่วนใดได้บ้าง ผมสามารถทำสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมต่างๆได้ แต่แล้วรูปหลายเหลี่ยมห้า หก และโดยทั่วไปแล้วมีรูปหลายเหลี่ยมล่ะ

ในระหว่างการวิจัยในเว็บไซต์ต่างๆ ฉันเห็นวิธีแก้ไขปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมห้า, หก- และรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ สูตรการแก้ปัญหาเหล่านี้เรียกว่าสูตรของพิค เธอหน้าตาประมาณนี้ :S =B+G/2-1, ที่ไหน วี- จำนวนโหนดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยม จี- จำนวนโหนดที่วางอยู่บนเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยม ลักษณะเฉพาะของสูตรนี้คือใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกเท่านั้น

รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้อย่างง่ายดายโดยมีจุดยอดที่โหนดของโครงตาข่าย ไม่มีโหนดทั้งด้านในและด้านข้าง สามารถแสดงว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดเหล่านี้เท่ากันและเท่ากับ ½ ดังนั้น พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนของมัน ต.

ในการหาจำนวนนี้ เราแทนด้วย n จำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม โดย วี- จำนวนโหนดภายในผ่าน จีคือจำนวนโหนดที่ด้านข้าง รวมทั้งจุดยอดด้วย ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ 180° ต.

ทีนี้ลองหาผลรวมด้วยวิธีอื่นกัน

ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดที่โหนดภายในใดๆ คือ 2.180° นั่นคือ ผลรวมของมุมคือ 360° วี;ผลรวมของมุมที่โหนดด้านข้างแต่ไม่ใช่ที่จุดยอดคือ ( นายน)180° และผลรวมของมุมที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับ ( G- 2)180°. ทางนี้, T= 2.180°. B+(G-n)180°+(น -2)180 °. โดยการขยายวงเล็บและหารด้วย 360° เราจะได้สูตรสำหรับพื้นที่ S ของรูปหลายเหลี่ยมที่เรียกว่าสูตรของ Pick

2. ภาคปฏิบัติ

ฉันตัดสินใจตรวจสอบสูตรนี้ในงานจากคอลเล็กชัน OGE-2017 ฉันทำงานเพื่อคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยม ฉันตัดสินใจเปรียบเทียบคำตอบโดยแก้โจทย์ในสองวิธี: 1) ฉันเพิ่มตัวเลขลงในสี่เหลี่ยมแล้วลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ 2) ใช้สูตรพีค

S = 18-1.5-4.5 = 12 และ S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 และ S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7.5-12-4.5-4 = 49 และ S = 43+14/2-1 = 49

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ ผมสรุปได้ว่าทั้งสองสูตรให้คำตอบเหมือนกัน การหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตรพีคกลายเป็นเรื่องเร็วและง่ายขึ้น เพราะมีการคำนวณน้อยลง ความสะดวกในการตัดสินใจและประหยัดเวลาในการคำนวณจะเป็นประโยชน์กับฉันในอนาคตเมื่อผ่าน OGE

สิ่งนี้กระตุ้นให้ฉันทดสอบความเป็นไปได้ของการใช้สูตร Pick กับตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

ส=4+16/2-1=1

บทสรุป

สูตรของ Pick นั้นเข้าใจง่ายและใช้งานง่าย ขั้นแรกให้นับ หาร 2 บวกลบก็พอ ประการที่สอง คุณสามารถหาพื้นที่และตัวเลขที่ซับซ้อนได้โดยไม่ต้องใช้เวลามาก ประการที่สาม สูตรนี้ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ

ข้อเสียคือ Pick Formula ใช้ได้เฉพาะกับตัวเลขที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกและจุดยอดอยู่บนโหนดของเซลล์

ฉันแน่ใจว่าเมื่อผ่านการสอบปลายภาคปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขจะไม่ทำให้เกิดปัญหา ฉันคุ้นเคยกับสูตร Pick แล้ว

บรรณานุกรม

Bunimovich E.A. , Dorofeev G.V. , Suvorova S.B. เป็นต้น คณิตศาสตร์. เลขคณิต เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กรที่มีแอพ ไปเป็นอิเล็กตรอน carrier -3rd ed.-M.: Enlightenment, 2014.- 223, p. : ป่วย. - (ทรงกลม).

Bunimovich E.A. , Kuznetsova L.V. , Minaeva S.S. เป็นต้น คณิตศาสตร์. เลขคณิต เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กร-5th ed.-M.: Education, 2016.-240s. : ill.- (ทรงกลม).

Vasiliev N.B. รอบสูตร Pick //ควอนตัม.- 1974.-№2. -p.39-43

Rassolov V.V. ปัญหาในการวัดระนาบ / 5th ed., แก้ไข. และพิเศษ - อ.: 2549.-640ส.

ไอ.วี. ยาเชนโก โอจีอี คณิตศาสตร์: ตัวเลือกการสอบทั่วไป: O-39 36 ตัวเลือก - M.: National Education Publishing House, 2017 -240 p. - (โรงเรียน OGE. FIPI)

"ฉันจะแก้ OGE": คณิตศาสตร์ ระบบการฝึกอบรมของ Dmitry Gushchin OGE-2017: งาน คำตอบ วิธีแก้ปัญหา [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] โหมดการเข้าถึง: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (เข้าถึงเมื่อ 04/02/2017)

มีสูตรเด็ดที่ช่วยให้นับได้ พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมบนกริดพิกัดแทบไม่มีข้อผิดพลาด ไม่ใช่สูตรแต่มีจริง ทฤษฎีบท. มองแวบแรกอาจดูซับซ้อน แต่การแก้ปัญหาสองสามงานก็เพียงพอแล้ว - และคุณจะเข้าใจว่าฟีเจอร์นี้เจ๋งแค่ไหน ดังนั้นไปข้างหน้า!

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความใหม่:

โหนดสแต็กพิกัดคือจุดใดๆ ที่อยู่ที่จุดตัดของเส้นแนวตั้งและแนวนอนของกริดนี้

การกำหนด:

ในรูปแรกโหนดจะไม่ถูกทำเครื่องหมายเลย อันที่สองมี 4 โหนด สุดท้าย ในรูปที่สาม ทั้งหมด 16 โหนดถูกทำเครื่องหมาย

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับปัญหา B5 อย่างไร ความจริงก็คือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมในปัญหาดังกล่าว เสมออยู่ที่โหนดของกริด ด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีบทต่อไปนี้จึงใช้ได้กับพวกเขา:

ทฤษฎีบท. พิจารณารูปหลายเหลี่ยมบนกริดพิกัดซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่โหนดของกริดนี้ จากนั้นพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ:

โดยที่ n คือจำนวนโหนดภายในรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด k คือจำนวนโหนดที่อยู่บนขอบเขตของมัน (โหนดขอบเขต)

ตัวอย่างเช่น ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมธรรมดาบนตารางพิกัดและพยายามทำเครื่องหมายโหนดภายในและโหนดขอบเขต

รูปแรกแสดงรูปสามเหลี่ยมธรรมดา ในภาพที่สอง มีการทำเครื่องหมายโหนดภายใน จำนวนซึ่งคือ n = 10 ภาพที่สาม โหนดที่วางอยู่บนเส้นขอบจะถูกทำเครื่องหมาย มีทั้งหมด k = 6 รายการ

บางทีผู้อ่านหลายคนอาจไม่เข้าใจวิธีการนับตัวเลข n และ k เริ่มต้นด้วยโหนดภายใน ทุกอย่างชัดเจนที่นี่: เราวาดสามเหลี่ยมด้วยดินสอและดูว่ามีแรเงากี่โหนด

โหนดขอบเขตจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เส้นขอบรูปหลายเหลี่ยม - สายหักปิดซึ่งตัดกันตารางพิกัดหลายจุด วิธีที่ง่ายที่สุดคือทำเครื่องหมายที่ "จุดเริ่มต้น" และจากนั้นไปที่จุดที่เหลือ

โหนดขอบเขตจะเป็นเพียงจุดบนเส้นตรงที่พวกมันตัดกันพร้อมกัน สามบรรทัด:

อันที่จริงเส้นขาด
เส้นกริดแนวนอน
เส้นแนวตั้ง

เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรในปัญหาจริง

งาน. ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมถ้าขนาดเซลล์คือ 1 x 1 ซม.:

ขั้นแรก ให้ทำเครื่องหมายโหนดที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมเช่นเดียวกับเส้นขอบ:

ปรากฎว่ามีโหนดภายในเพียงโหนดเดียว: n = 1 มีโหนดขอบเขตหกโหนด: สามโหนดตรงกัน มีจุดยอดสามเหลี่ยมและอีกสามคนนอนตะแคงข้าง รวม k = 6

ตอนนี้เราคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร:

นั่นคือทั้งหมด! แก้ไขปัญหา.

งาน. หาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมบนกระดาษตาหมากรุกที่มีขนาดเซลล์ 1 ซม. x 1 ซม. ให้คำตอบเป็นตารางเซนติเมตร

อีกครั้ง เราทำเครื่องหมายโหนดภายในและโหนดขอบเขต มี n = 2 โหนดภายใน โหนดขอบเขต: k = 7 โดยที่ 4 คือ จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมและอีก 3 คนนอนตะแคงข้าง

มันยังคงแทนที่ตัวเลข n และ k ในสูตรพื้นที่:

ให้ความสนใจกับตัวอย่างสุดท้าย ปัญหานี้ถูกเสนอจริงในงานวินิจฉัยในปี 2555 หากคุณทำงานตามมาตรฐาน คุณจะต้องสร้างเพิ่มเติมอีกมาก และด้วยวิธีการของนอตทุกอย่างก็แก้ไขได้ด้วยปากเปล่า

หมายเหตุสำคัญในพื้นที่

แต่สูตรไม่ใช่ทุกอย่าง ลองเขียนสูตรใหม่เล็กน้อยโดยให้พจน์อยู่ทางด้านขวา ถึงตัวส่วนร่วม. เราได้รับ:

ตัวเลข n และ k คือจำนวนโหนด ซึ่งเป็นจำนวนเต็มเสมอ ตัวเศษทั้งหมดจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย เราหารด้วย 2 ซึ่งแสดงถึงข้อเท็จจริงที่สำคัญ:

พื้นที่จะแสดงเสมอ จำนวนเต็มหรือเศษส่วน. ยิ่งกว่านั้น ที่ส่วนท้ายของเศษส่วนจะมี "ห้าในสิบ" เสมอ: 10.5; 17.5 เป็นต้น

ดังนั้น พื้นที่ในโจทย์ B5 จะแสดงเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนของรูปแบบ ***.5 เสมอ หากคำตอบต่างกันแสดงว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่ง จำสิ่งนี้ไว้เสมอเมื่อคุณทำข้อสอบจริงในวิชาคณิตศาสตร์!

การคำนวณพื้นที่ของรูป

เลือกวิธี

ผลงานของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5B MBOU หมายเลข 23 ในอีร์คุตสค์

บัลซูโคว่า อเล็กซานดรา

หัวหน้า: Khodyreva T.G.

2014

การคำนวณพื้นที่ของรูป เลือกวิธี

วัตถุประสงค์ของการศึกษา : งานบนกระดาษตาหมากรุก

วิชาที่เรียน : ปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนกระดาษตาหมากรุก วิธีการ และเทคนิคในการแก้ปัญหา

วิธีการวิจัย คำสำคัญ: การเปรียบเทียบ การวางนัยทั่วไป การเปรียบเทียบ การศึกษาวรรณกรรมและแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต การวิเคราะห์ข้อมูล

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:

เลือกข้อมูลหลัก น่าสนใจ เข้าใจง่าย

วิเคราะห์และจัดระเบียบข้อมูลที่ได้รับ

ค้นหาวิธีการและเทคนิคต่าง ๆ ในการแก้ปัญหาบนกระดาษตาหมากรุก

ตรวจสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้สูตรพีค

สร้างงานนำเสนออิเล็กทรอนิกส์ของงานเพื่อนำเสนอสื่อที่รวบรวม

เรขาคณิตเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังที่สุดสำหรับการปรับแต่งความสามารถทางจิตของเรา และช่วยให้เราสามารถคิดและให้เหตุผลได้อย่างถูกต้อง

(จี. กาลิเลโอ)

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ

ความหลงใหลในวิชาคณิตศาสตร์มักเริ่มต้นด้วยการคิดเกี่ยวกับปัญหา ดังนั้น เมื่อศึกษาหัวข้อ "พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม" จึงเกิดคำถามว่า มีงานที่แตกต่างจากงานที่พิจารณาในตำราเรียนหรือไม่ งานดังกล่าวรวมถึงงานบนกระดาษตาหมากรุก ลักษณะเฉพาะของปัญหาดังกล่าวคืออะไร มีวิธีและเทคนิคพิเศษในการแก้ปัญหาบนกระดาษตาหมากรุกหรือไม่ ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ ครูได้แนะนำให้เรารู้จักวิธีการคำนวณรูปหลายเหลี่ยมที่น่าสนใจ ฉันเริ่มศึกษาวรรณกรรมแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตในหัวข้อนี้ ดูเหมือนว่าสิ่งที่น่าสนใจสามารถพบได้บนระนาบตาหมากรุกนั่นคือบนกระดาษที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเรียงรายไปด้วยสี่เหลี่ยมที่เหมือนกัน ปรากฎว่างานที่เกี่ยวข้องกับกระดาษตาหมากรุกนั้นค่อนข้างหลากหลาย ฉันเรียนรู้วิธีคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุก สำหรับงานจำนวนมากบนกระดาษในกรง ไม่มีกฎทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหา วิธีการและเทคนิคเฉพาะ นี่คือคุณสมบัติที่กำหนดคุณค่าสำหรับการพัฒนาทักษะหรือทักษะทางการศึกษาเฉพาะ แต่โดยทั่วไปแล้วความสามารถในการคิดสะท้อนวิเคราะห์ค้นหาการเปรียบเทียบนั่นคืองานเหล่านี้พัฒนาทักษะการคิดในความหมายที่กว้างที่สุด

และฉันยังได้เรียนรู้ด้วยว่างานดังกล่าวได้รับการพิจารณาในเอกสารการควบคุมและการวัดของ GIA และการสอบ Unified State ดังนั้นฉันจึงพิจารณาว่าการศึกษาเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับการใช้งานไม่เพียง แต่ในอนาคตเท่านั้น กระบวนการศึกษาแต่ยังสำหรับการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานโอลิมปิก

2.แนวความคิดของพื้นที่

สี่เหลี่ยม- ลักษณะเชิงตัวเลขของรูปทรงเรขาคณิตสองมิติ ซึ่งแสดงขนาดของรูปนี้ ในอดีต การคำนวณพื้นที่เรียกว่า . รูปที่มีพื้นที่เรียกว่า กำลังสอง .

พื้นที่ของรูปทรงแบนในแง่ของเรขาคณิต

1. สี่เหลี่ยม- การวัดรูปทรงแบนที่สัมพันธ์กับรูปทรงมาตรฐาน ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเท่ากับหนึ่ง

2. สี่เหลี่ยม- ลักษณะเฉพาะของตัวเลขที่เกิดจากร่างแบนของคลาสบางคลาส (เช่น รูปหลายเหลี่ยม) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับหน่วยความยาว เท่ากับ หน่วยของพื้นที่

3. สี่เหลี่ยม- ค่าบวก ค่าตัวเลขซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

 ตัวเลขเท่ากันมีพื้นที่เท่ากัน

 หากร่างถูกแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ที่เป็นตัวเลขธรรมดา (นั่นคือส่วนที่สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมแบนจำนวนจำกัด) พื้นที่ของรูปนี้จะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของมัน ชิ้นส่วน;

 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับหน่วยวัดเท่ากับหนึ่ง

ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ไม่ใช่ค่าเฉพาะ แต่ให้เฉพาะคุณลักษณะตามเงื่อนไขของรูปทรงแบนเท่านั้น ในการหาพื้นที่ของตัวเลขตามอำเภอใจ จำเป็นต้องกำหนดจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเท่ากับหนึ่งช่อง ตัวอย่างเช่น ลองหาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ตารางเซนติเมตรพอดี 6 ครั้งพอดี ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 6 cm2

การเลือกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับหน่วยวัด เนื่องจากหน่วยวัดขั้นต่ำสำหรับทุกพื้นที่ไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ นี่เป็นผลมาจากข้อตกลงระหว่างผู้คนที่เกิดขึ้นระหว่างการคัดเลือก "โดยธรรมชาติ" ที่มีอายุหลายศตวรรษ นอกจากนี้ยังมีข้อเสนออื่น ๆ สำหรับหน่วยวัด ตัวอย่างเช่น มีการเสนอให้ใช้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นหน่วยดังกล่าว (กล่าวคือ รูปแบนใดๆ สามารถแสดงเป็น "ผลรวม" ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจำนวนหนึ่งได้) ซึ่งจะนำไปสู่ การเปลี่ยนแปลงในการแสดงตัวเลขของพื้นที่

ดังนั้นสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่จึงปรากฏในคณิตศาสตร์และไม่ได้รับรู้ทันทีโดยบุคคล - นี่ นักวิทยาศาสตร์หลายคนที่อาศัยอยู่ในยุคต่างๆ และ ประเทศต่างๆ. (สูตรที่ไม่ถูกต้องไม่พบสถานที่ในวิทยาศาสตร์และถูกลืมเลือน) สูตรที่แท้จริงได้รับการเสริม แก้ไข และพิสูจน์มานานกว่าพันปี จนกระทั่งมาถึงเราในรูปแบบที่ทันสมัย

แน่นอน การวัดพื้นที่ประกอบด้วยการเปรียบเทียบพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนดกับพื้นที่ของตัวเลขที่นำมาเป็นหน่วยวัด จากการเปรียบเทียบจะได้ตัวเลขที่แน่นอน - ค่าตัวเลขของพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนด ตัวเลขนี้แสดงจำนวนครั้งที่พื้นที่ของตัวเลขที่กำหนดมากกว่า (หรือน้อยกว่า) กว่าพื้นที่ของตัวเลขซึ่งนำมาเป็นหน่วยของพื้นที่

ตู่ ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่นั้นเป็นปริมาณเทียม ซึ่งมนุษย์ใช้ในอดีตเพื่อวัดคุณสมบัติบางอย่างของรูปทรงแบน ความจำเป็นในการป้อนค่าดังกล่าวเกิดจากความต้องการที่เพิ่มขึ้นในการรู้ว่าพื้นที่นี้หรืออาณาเขตนั้นกว้างเพียงใด ต้องใช้เมล็ดพืชเท่าใดในการหว่านในทุ่งหรือคำนวณพื้นที่ผิวสำหรับตกแต่งกระเบื้องประดับ

สูตรพีค

ในการประมาณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนกระดาษตาหมากรุก ก็เพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเซลล์ที่รูปหลายเหลี่ยมนี้ครอบคลุม (เราใช้พื้นที่ของเซลล์เป็นหน่วย) แม่นยำยิ่งขึ้น ifส คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม B คือจำนวนเซลล์ที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด และ G คือจำนวนเซลล์ที่มีส่วนภายใน เราจะพิจารณาเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ที่โหนดของกระดาษตาหมากรุก - ในจุดที่เส้นตารางรูปหลายเหลี่ยมตัดกันอย่างน้อยหนึ่งจุดร่วม

พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ ที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกสามารถคำนวณได้ง่าย ๆ โดยแสดงเป็นผลรวมหรือผลต่างของพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากและสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านตามเส้นกริดที่ลากผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยมที่วาด

ในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท . อนุญาต - จำนวนจุดจำนวนเต็มภายในรูปหลายเหลี่ยม - จำนวนจุดจำนวนเต็มบนขอบเขต - พื้นที่ของมัน แล้วสูตรเด็ด:

ตัวอย่าง. สำหรับรูปหลายเหลี่ยมในรูปหลี่ = 7 (จุดสีแดง) 9 (จุดสีเขียว) ดังนั้นส = 7+ 9/2 -1 = 10,5 หน่วยตาราง

ทฤษฎีบทของพิค- ผลลัพธ์สุดคลาสสิค และ .

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่โหนดและไม่มีโหนดทั้งด้านในหรือด้านข้าง (ยกเว้นจุดยอด) เท่ากับ 1/2 ความจริงข้อนี้

3. ประวัติศาสตร์

สูตรของ Pick ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย Georg Alexander (1859-1942) ใน . เมื่ออายุได้ 16 ปี จอร์จเรียนจบและเข้าเรียน. เมื่ออายุได้ 20 ปี เขาได้รับสิทธิในการสอนวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ในปี พ.ศ. 2427 พีคได้ไปที่ถึง . ที่นั่นเขาได้พบกับลูกศิษย์ของไคลน์อีกคนหนึ่ง. ต่อมาในปี พ.ศ. 2428 ได้เสด็จกลับมายังที่ซึ่งเขาใช้เวลาที่เหลือในอาชีพวิทยาศาสตร์ของเขา

Georg Pick เป็นเพื่อนกับ Einstein Pick และ Einstein ไม่เพียงแบ่งปันความสนใจทางวิทยาศาสตร์เท่านั้น แต่ยังหลงใหลในดนตรีอีกด้วย พิก ซึ่งเล่นในวงที่ประกอบด้วยอาจารย์มหาวิทยาลัย ได้แนะนำไอน์สไตน์ให้รู้จักกับสังคมวิทยาศาสตร์และดนตรีของปราก

วงกลมของความสนใจทางคณิตศาสตร์ของพีคนั้นกว้างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขามีมากกว่า50 งานวิทยาศาสตร์. ทฤษฎีบทของ Pick ซึ่งเขาค้นพบในปี 1899 เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ในประเทศเยอรมนี ทฤษฎีบทนี้รวมอยู่ในหนังสือเรียนของโรงเรียน

4.แอพพลิเคชั่นของ Pick's Formula

สูตร Pick ไม่เพียงแต่ใช้เพื่อคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังใช้เพื่อแก้ปัญหามากมายในระดับโอลิมปิกด้วย

ตัวอย่างการใช้สูตรของ Pick ในการแก้ปัญหา:

1) ราชาหมากรุกเดินไปรอบ ๆ กระดาน 8 × 8 ช่องโดยไปเยี่ยมแต่ละอัน

สนามบ้านเพียงครั้งเดียวและ ย้ายครั้งสุดท้ายกลับมาที่เดิม

สนาม. เส้นขาดที่เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมศูนย์กลางของทุ่งนานั้น

พระราชาเสด็จสวรรคต ไม่มีทางแยก พื้นที่ใดสามารถ

จำกัดสายที่ขาดนี้หรือไม่ (ด้านข้างของเซลล์คือ 1)

ทันทีจากสูตร Pick ว่าพื้นที่ล้อมรอบด้วย lo-

มานาคือ 64/2 − 1 = 31; ที่นี่โหนดตาข่ายเป็นศูนย์กลาง 64

เขตข้อมูล และ โดยสมมติฐาน ทั้งหมดอยู่บนขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้น

ดังนั้น แม้ว่าจะมี "วิถี" ของกษัตริย์ค่อนข้างมาก แต่ก็มีทั้งหมด

จำกัดรูปหลายเหลี่ยมของพื้นที่เท่ากัน

งานจากวัสดุควบคุมและการวัดของ GIA และ Unified State Examination

งาน B3

ค้นหาพื้นที่ของภาพที่ปรากฎบนกระดาษตาหมากรุกที่มีขนาดเซลล์ 1 ซม. 1 ซม. (ดูรูป) ให้คำตอบเป็นตารางเซนติเมตร

4.บทสรุป

ในกระบวนการวิจัย ฉันศึกษาเอกสารอ้างอิง วรรณกรรมวิทยาศาสตร์ยอดนิยม ฉันได้เรียนรู้ว่าปัญหาในการหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่โหนดของตารางเป็นแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย Pick ในปี 1899 เพื่อพิสูจน์สูตร Pick ที่ยอดเยี่ยม

จากการทำงานของฉัน ฉันได้เพิ่มพูนความรู้ในการแก้ปัญหาด้วยกระดาษตาหมากรุก กำหนดประเภทของปัญหาที่อยู่ระหว่างการศึกษาด้วยตนเอง และเชื่อมั่นในความหลากหลายของปัญหา

ฉันเรียนรู้วิธีคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนแผ่นตาหมากรุก งานที่ถือว่ามีระดับความยากต่างกัน - ตั้งแต่ง่ายไปจนถึงโอลิมปิก ทุกคนสามารถค้นหางานที่มีความซับซ้อนในระดับที่เป็นไปได้ เริ่มต้นจากที่ จะสามารถดำเนินการต่อไปเพื่อแก้ปัญหาที่ยากขึ้นได้

ฉันสรุปได้ว่าหัวข้อที่ฉันสนใจนั้นค่อนข้างหลากหลาย งานบนกระดาษตาหมากรุกนั้นหลากหลาย วิธีการและเทคนิคในการแก้ปัญหาก็มีความหลากหลายเช่นกัน ดังนั้นฉันจึงตัดสินใจทำงานในทิศทางนี้ต่อไป

5. วรรณกรรมที่ใช้:

1. N. B. Vasil'ev "รอบสูตร" Kvant - 1974. - หมายเลข 12

2. Kokse Prasolov VV งานในการวัดระนาบ - M.: MTsNMO, 2006.t e r G.S.M. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิต - ม.: เนาก้า, 2509

3. Roslova L.O. , Sharygin I.F. การวัด - ม.: เอ็ด. "เปิดโลก", 2548

แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต:

คำติชมเกี่ยวกับงาน

“การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขระนาบ เลือกวิธี"

การพิจารณาหัวข้อนี้จะเพิ่มกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน ซึ่งต่อมาในบทเรียนเรขาคณิตจะเริ่มเห็นความกลมกลืนของภาพวาดและจะหยุดรับรู้ว่าเรขาคณิต (และคณิตศาสตร์โดยทั่วไป) เป็นวิทยาศาสตร์ที่น่าเบื่อ

วิจารณ์โดยครูคณิตศาสตร์

Khodyreva Tatyana Georgievna

จิบาดุลลิน่า G.I. (Nurlat โรงเรียนมัธยม MAOU №1)

1. Bunimovich E.A. , Dorofeev G.V. , Suvorova S.B. เป็นต้น คณิตศาสตร์. เลขคณิต เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กรที่มีแอพ ไปเป็นอิเล็กตรอน ผู้ให้บริการ -3rd ed. - อ.: การศึกษา, 2557. - 223, น. : ป่วย. - (ทรงกลม).

2. Bunimovich E.A. , Kuznetsova L.V. , Minaeva S.S. เป็นต้น คณิตศาสตร์. เลขคณิต เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กรต่างๆ ฉบับที่ 5 – ม.: ตรัสรู้, 2559. – 240 น.: ป่วย. - (ทรงกลม).

3. Vasiliev N.B. รอบสูตร Pick // Kvant. - พ.ศ. 2517 - ลำดับที่ 2 – หน้า 39–43.

4. Rassolov V.V. ปัญหาในการวัดระนาบ ฉบับที่ ๕, ฉบับที่. และเพิ่มเติม – ม.: 2549. – 640 น.

5. ยาชเชนโก ไอ.วี. โอจีอี คณิตศาสตร์: ตัวเลือกการสอบมาตรฐาน: O-39 36 ตัวเลือก - M.: National Education Publishing House, 2017. - 240 p. - (OGE. FIPI - โรงเรียน).

6. ฉันจะแก้ OGE: คณิตศาสตร์ ระบบการฝึกอบรมของ Dmitry Gushchin OGE-2017: งาน คำตอบ วิธีแก้ปัญหา [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] – โหมดการเข้าถึง: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (เข้าถึงเมื่อ 04/02/2017)

ฉันเป็นนักเรียนชั้น ป.6 ฉันเริ่มเรียนเรขาคณิตตั้งแต่ปีที่แล้ว เพราะฉันเรียนที่โรงเรียนโดยใช้หนังสือเรียน “คณิตศาสตร์ เลขคณิต เรขาคณิต” แก้ไขโดย E.A. บูนิโมวิช, L.V. Kuznetsova, S.S. มินาเอวาและอื่น ๆ

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ. หัวข้อนี้เป็นการเพิ่มและเจาะลึกการศึกษาวิชาเรขาคณิต

วัตถุประสงค์:

1. ทำความคุ้นเคยกับสูตรพีค

2. เชี่ยวชาญเทคนิคในการแก้ปัญหาเรขาคณิตโดยใช้สูตร Pick

3. จัดระบบและสรุปเนื้อหาเชิงทฤษฎีและปฏิบัติ

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

1. ตรวจสอบประสิทธิภาพและความเหมาะสมของการนำสูตรไปใช้ในการแก้ปัญหา

2. เรียนรู้การใช้สูตร Peak ในงานที่มีความซับซ้อนต่างกัน

3. เปรียบเทียบปัญหาที่แก้ไขโดยใช้สูตร Pick และวิธีดั้งเดิม

ส่วนสำคัญ

ประวัติอ้างอิง

Georg Alexander Pick - นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย เกิด 10 สิงหาคม เขาเป็นเด็กที่มีพรสวรรค์ซึ่งสอนโดยพ่อของเขาซึ่งเป็นหัวหน้าสถาบันเอกชน เมื่ออายุ 16 ปี Georg จบการศึกษาจากโรงเรียนมัธยมและเข้ามหาวิทยาลัยเวียนนา เมื่ออายุได้ 20 ปี เขาได้รับสิทธิในการสอนวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สูตรการกำหนดพื้นที่ของโครงตาข่ายของรูปหลายเหลี่ยมทำให้เขาโด่งดังไปทั่วโลก เขาตีพิมพ์สูตรของเขาในบทความในปี พ.ศ. 2442 มันกลายเป็นที่นิยมเมื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวโปแลนด์ Hugo Steinhaus รวมไว้ใน 1969 ในการตีพิมพ์ภาพทางคณิตศาสตร์

วิจัยและพิสูจน์

ในระหว่างการวิจัยในเว็บไซต์ต่างๆ ฉันเห็นวิธีแก้ไขปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมห้า, หก- และรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ สูตรการแก้ปัญหาเหล่านี้เรียกว่าสูตรของพิค ดูเหมือนว่านี้: S=B+G/2-1 โดยที่ B คือจำนวนโหนดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยม G คือจำนวนโหนดที่วางอยู่บนเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยม ลักษณะเฉพาะของสูตรนี้คือใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่วาดบนกระดาษตาหมากรุกเท่านั้น

รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้อย่างง่ายดายโดยมีจุดยอดที่โหนดของโครงตาข่าย ไม่มีโหนดทั้งด้านในและด้านข้าง สามารถแสดงว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมดเท่ากันและเท่ากับ ½ ดังนั้น พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวน T

ในการหาตัวเลขนี้ ให้แทนด้วย n จำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม โดย B คือจำนวนโหนดภายใน โดย G คือจำนวนโหนดที่ด้านข้าง รวมทั้งจุดยอดด้วย ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ 180° ต.

ทีนี้ลองหาผลรวมด้วยวิธีอื่นกัน

ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดที่โหนดภายในใดๆ คือ 2.180° นั่นคือ ผลรวมของมุมคือ 360° วี; ผลรวมของมุมที่โหนดด้านข้าง แต่ไม่ใช่ที่จุดยอด คือ (Г - n) 180° และผลรวมของมุมที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับ (Г - 2) 180 °. ดังนั้น T=2.180° V + (G-n) 180 ° + (n-2) 180 ° โดยการขยายวงเล็บและหารด้วย 360° เราจะได้สูตรสำหรับพื้นที่ S ของรูปหลายเหลี่ยมที่เรียกว่าสูตรของ Pick

ภาคปฏิบัติ

S = 18-1.5-4.5 = 12 และ S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 และ S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7.5-12-4.5-4 = 49 และ S = 43+14/2-1 = 49

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

ส=4+16/2-1=1

บทสรุป

ลิงค์บรรณานุกรม

แกบบาซอฟ เอ็น.เอ็น. PEAK FORMULA // เริ่มต้นในวิทยาศาสตร์ - 2560. - ลำดับที่ 6-1. - หน้า 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (เข้าถึงเมื่อ 03/05/2020)

วิกิพจนานุกรมมีรายการสำหรับ "ปิก้า" ปิก้าในกิจการทหาร: ปิก้าอาวุธเจาะเย็น, ประเภทของหอกยาว Pikemen เป็นทหารราบประเภทหนึ่งในกองทัพยุโรปในศตวรรษที่ 16 และต้นศตวรรษที่ 18 พิกเคลเฮล์ม (p ... Wikipedia

ทฤษฎีบทของ Pick (เรขาคณิตเชิงผสม)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 ทฤษฎีบทของ Pick เป็นผลลัพธ์คลาสสิกของเรขาคณิตเชิงผสมและเรขาคณิตของตัวเลข พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนเต็ม ... Wikipedia

สามเหลี่ยม- คำนี้มีความหมายอื่น ดูสามเหลี่ยม (ความหมาย) สามเหลี่ยม (ในอวกาศแบบยุคลิด) คือ รูปทรงเรขาคณิตเกิดจากสามส่วนที่เชื่อมสามจุดที่ไม่ติดอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว สามจุด ... ... Wikipedia

ราวสำหรับออกกำลังกาย- คำนี้มีความหมายอื่นๆ ดูที่ ห้อยโหน (ความหมาย) ห้อยโหน (จากภาษากรีก τραπέζιον "table"; ... Wikipedia

รูปสี่เหลี่ยม- QUADRANGLES ┌──────────────┼────────────── ไม่นูนนูนตัดกัน ... Wikipedia

Bigon- ดิกอนปกติบนพื้นผิวของทรงกลม ดิกอนในเรขาคณิตคือ ... Wikipedia

เพนตากอน- รูปห้าเหลี่ยมปกติ (ห้าเหลี่ยม) รูปห้าเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีห้ามุม วัตถุที่มีรูปร่างนี้เรียกอีกอย่างว่ารูปห้าเหลี่ยม ปริมาณภายใน ... Wikipedia

หกเหลี่ยม- หกเหลี่ยมปกติ หกเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีหกมุม วัตถุที่มีรูปร่างนี้เรียกอีกอย่างว่าหกเหลี่ยม ผลรวมของมุมภายในของรูปหกเหลี่ยมนูน p ... Wikipedia

สิบสองเหลี่ยม- แก้ไขรูปสองเหลี่ยม Dodecagon (กรีก ... Wikipedia

สี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกมุมเป็นมุมฉาก (เท่ากับ 90 องศา) บันทึก. ในเรขาคณิตแบบยุคลิด เพื่อให้รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็เพียงพอแล้วที่จะมีมุมอย่างน้อยสามมุมที่ถูกต้อง มุมที่สี่ (โดยอาศัยอำนาจจาก ... Wikipedia

หนังสือ

สโมสรคณิตศาสตร์ "จิงโจ้" ฉบับที่ 8 คณิตศาสตร์บนกระดาษตาหมากรุก ปัญหานี้มีไว้สำหรับงานและเกมต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับกระดาษตาหมากรุก โดยเฉพาะการดูรายละเอียดในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่...

โครงการบ้านในชนบทพร้อมชั้นใต้ดินราคาและรูปถ่าย

วิธีปรับระดับผนังในอพาร์ตเมนต์ด้วยมือของคุณเอง: วัสดุและเครื่องมือสำหรับการทำงานในอพาร์ตเมนต์ด้วยตัวเอง

วิธีการตั้งค่า WIFI บนแล็ปท็อป?

เราเตอร์ Sagemcom: การตั้งค่ากาน้ำชาทีละขั้นตอน