คำนิยาม. สินค้าหรือทางแยกเหตุการณ์ A และ B เรียกเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันทั้ง A และ B การกำหนดงาน: AB หรือ A B

ตัวอย่าง. การกดปุ่มเป้าหมายสองครั้งเป็นผลจากสองเหตุการณ์ คำตอบของทั้งสองคำถามของตั๋วในการสอบคือผลคูณของสองเหตุการณ์

เหตุการณ์ A และ B เรียกว่า เข้ากันไม่ได้หากผลิตภัณฑ์ของพวกเขาเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เช่น AB = วี

เหตุการณ์ A - การสูญเสียเสื้อคลุมแขนและ B - การสูญเสียตัวเลขระหว่างการโยนเหรียญครั้งเดียวไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์ A และ B ไม่เข้ากัน

แนวคิดของผลรวมและผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์มีการตีความทางเรขาคณิตที่ชัดเจน

ข้าว. 6.4. การตีความทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ (a) และผลรวม (b) ของสองเหตุการณ์ร่วมกัน

ให้เหตุการณ์ A เป็นเซตของจุดในพื้นที่ A เหตุการณ์ B คือเซตของจุดในพื้นที่ B พื้นที่แรเงาสอดคล้องกับเหตุการณ์ AB ในรูปที่ 6.4, a; เหตุการณ์ในรูปที่ 6.4, b.

สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ A และ B เรามี: AB = V (รูปที่ 6.5, a) เหตุการณ์ A + B สอดคล้องกับพื้นที่แรเงาในรูปที่ 6.5, b.

ข้าว. 6.5. การตีความทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ (a) และผลรวม (b) ของสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

กิจกรรมและการโทร ตรงข้ามหากไม่เข้ากันและโดยรวมแล้วถือเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ กล่าวคือ

ตัวอย่างเช่น มายิงที่เป้าหมายหนึ่งนัด: เหตุการณ์ - ผู้ยิงโดนเป้าหมาย ไม่โดน; โยนเหรียญ: เหตุการณ์คือหัว − ตัวเลขถูกทอย เด็กนักเรียนเขียนแบบทดสอบ: เหตุการณ์ - ไม่ใช่ความผิดพลาดเพียงครั้งเดียวใน ควบคุมงาน, - มีข้อผิดพลาดในงานควบคุม นักเรียนมาทำแบบทดสอบ เหตุการณ์ A - ผ่านการทดสอบ - ไม่ผ่านการทดสอบ

มีเด็กชายและเด็กหญิงในชั้นเรียน นักเรียนดี นักเรียนดี และนักเรียนสามคนเรียนภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน ให้เหตุการณ์ M เป็นเด็กผู้ชาย O เป็นนักเรียนที่ยอดเยี่ยม A เป็นนักเรียน ภาษาอังกฤษ. นักเรียนที่ออกจากชั้นเรียนโดยไม่ได้ตั้งใจจะเป็นทั้งเด็กผู้ชาย นักเรียนที่ดี และผู้เรียนภาษาอังกฤษได้หรือไม่ นี่จะเป็นผลิตภัณฑ์หรือจุดตัดของเหตุการณ์ MOA

ตัวอย่าง. โยนลูกเต๋า - ลูกบาศก์ที่ทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีการนับจำนวนใบหน้า สังเกตจำนวน (จำนวนแต้ม) ที่ตกลงมาบนใบหน้า ให้เหตุการณ์ A เป็นลักษณะที่ปรากฏของจำนวนคี่ และเหตุการณ์ B เป็นลักษณะที่ปรากฏของตัวเลขที่เป็นผลคูณของสาม ค้นหาผลลัพธ์ที่ประกอบขึ้นเป็นแต่ละเหตุการณ์: U, A, A + B, AB และระบุความหมาย

วิธีการแก้. ผลลัพธ์ - การปรากฏบนหน้าบนของตัวเลขใดๆ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ชุดของผลลัพธ์ทั้งหมดประกอบขึ้นเป็นช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้น เป็นที่ชัดเจนว่าเหตุการณ์ , เหตุการณ์

เหตุการณ์คือการเกิดขึ้นของจำนวนคี่หรือผลคูณของสามอย่างใดอย่างหนึ่ง เมื่อแสดงรายการผลลัพธ์ จะพิจารณาว่าแต่ละผลลัพธ์ในชุดสามารถมีได้เพียงครั้งเดียว

เหตุการณ์คือการเกิดขึ้นของทั้งจำนวนคี่และผลคูณของสาม

ตัวอย่าง.ตรวจสอบการบ้านของนักเรียนสามคน ให้เหตุการณ์เป็นงานที่เสร็จสมบูรณ์โดยนักเรียน th ความหมายของเหตุการณ์คืออะไร: และ ?

วิธีการแก้.เหตุการณ์คือการทำให้งานเสร็จสมบูรณ์โดยนักเรียนอย่างน้อยหนึ่งคน กล่าวคือ หรือนักเรียนคนใดคนหนึ่ง (หรือคนแรกหรือคนที่สองหรือสามคน) หรือสองคนหรือทั้งสามคน

กิจกรรม - นักเรียนคนใดไม่ทำภารกิจให้เสร็จ ไม่ว่าจะเป็นคนแรก คนที่สอง หรือคนที่สาม เหตุการณ์คือการทำให้งานเสร็จสมบูรณ์โดยนักเรียนสามคน: คนแรก คนที่สอง และคนที่สาม

เมื่อพิจารณาถึงการเกิดขึ้นร่วมกันของหลายเหตุการณ์ อาจมีบางกรณีที่การเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีผลกระทบต่อความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นอีกเหตุการณ์หนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากวันนั้นมีแดดจัดในฤดูใบไม้ร่วง อากาศก็มีแนวโน้มแย่ลง (ฝนเริ่มตก) หากมองไม่เห็นดวงอาทิตย์ก็มีแนวโน้มว่าฝนจะตก

คำนิยาม.เหตุการณ์ A เรียกว่า เป็นอิสระจากเหตุการณ์ B ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นหรือไม่ มิฉะนั้น เหตุการณ์ A จะถูกเรียกขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B เรียก 2 เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระ, หากความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือการไม่เกิดขึ้นของอีกสิ่งหนึ่ง, ขึ้นอยู่กับ - อย่างอื่น. เหตุการณ์จะเรียกว่าอิสระแบบคู่ ถ้าทุกสองเหตุการณ์ไม่ขึ้นต่อกัน

ทฤษฎีบท. (การคูณความน่าจะเป็น) ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์สอง เหตุการณ์อิสระเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

P(A B)=P(A) P(B)

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับเหตุการณ์จำนวนจำกัด ตราบใดที่เหตุการณ์เหล่านี้เป็นอิสระร่วมกัน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่น ๆ เหล่านี้เกิดขึ้นหรือไม่

ตัวอย่าง. นักเรียนทำการสอบสามครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านครั้งแรกคือ 0.9 ครั้งที่สองคือ 0.65 และครั้งที่สามคือ 0.35 หาความน่าจะเป็นที่เขาสอบตกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

วิธีการแก้: แสดงว่า ก - นักศึกษาสอบไม่ผ่านอย่างน้อยหนึ่งครั้ง จากนั้น P(A) = 1- P(ùA) โดยที่ ùA เป็นเหตุการณ์ตรงข้ามที่นักเรียนสอบผ่านทั้งหมด เนื่องจากการสอบแต่ละครั้งผ่านไม่ได้ขึ้นอยู่กับการสอบอื่น ดังนั้น Р(А)=1-Р(ùА)= 1-0.9*0.65*0.35=0.7953

คำนิยาม. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งคำนวณโดยสมมติว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นเรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ A ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นของ B และแสดงโดย P B (A) หรือ P (A / B)

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นของการเกิดผลคูณของสองเหตุการณ์ เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่สอง ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เหตุการณ์แรกเกิดขึ้น:

P (A B) \u003d P (A) P A (B) \u003d P (B) P B (A) (*)

ตัวอย่าง. นักเรียนดึงตั๋วหนึ่งใบจาก 34 สองครั้ง ความน่าจะเป็นที่เขาจะผ่านการสอบเป็นเท่าใดหากเขาเตรียมตั๋ว 30 ใบและครั้งแรกที่เขาหยิบตั๋วที่ไม่สำเร็จออกมา?

วิธีการแก้: ให้งาน A คือครั้งแรกได้ตั๋วเสีย งาน B - ครั้งที่สองได้ตั๋วดี จากนั้น A·B - นักเรียนจะสอบผ่าน (ภายใต้สถานการณ์ที่กำหนด) เหตุการณ์ A และ B ขึ้นอยู่กับเพราะ ความน่าจะเป็นของการเลือกตั๋วที่ประสบความสำเร็จในการพยายามครั้งที่สองนั้นขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของตัวเลือกแรก ดังนั้นเราจึงใช้สูตร (6):

P (A B) \u003d P (A) RA (B) \u003d (4/34) * (30/33) \u003d 20/187

โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นที่ได้รับในการแก้ปัญหาคือ ≈0.107 เหตุใดความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านจึงน้อยมากหากเรียนรู้ตั๋ว 30 ใบจาก 34 ใบและให้ลองสองครั้ง!

ทฤษฎีบท. (ทฤษฎีบทการบวกขยาย) ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน (ผลคูณ):

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B).

ตัวอย่าง. นักเรียนสองคนแก้ปัญหา ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนแรกจะแก้ปัญหา (เหตุการณ์ A) คือ 0.9; ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนที่สองจะแก้ปัญหา (เหตุการณ์ B) คือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่จะแก้ปัญหาคืออะไร?

เมื่อหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จะใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส

สถาบันเกษตร"

ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

การบวกและการคูณความน่าจะเป็น ทำซ้ำการทดสอบอิสระ

บรรยายสำหรับนักศึกษาคณะการจัดการที่ดิน

การเรียนทางไกล

Gorki, 2012

การบวกและการคูณความน่าจะเป็น ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

การทดสอบอิสระ

1. การบวกความน่าจะเป็น

ผลรวมของสองเหตุการณ์ร่วมกัน แต่และ ที่เรียกว่าเหตุการณ์ จากซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ แต่หรือ ที่. ในทำนองเดียวกัน ผลรวมของเหตุการณ์ร่วมหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์

ผลรวมของสองเหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อกัน แต่และ ที่เรียกว่าเหตุการณ์ จาก, ประกอบด้วยในเหตุการณ์หรือเหตุการณ์ แต่, หรือ เหตุการณ์ ที่. ผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเหล่านี้

ทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้นั้นถูกต้อง: ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ , เช่น. . ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปถึงเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในจำนวนที่จำกัด

จากทฤษฎีบทนี้ดังต่อไปนี้:

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์เท่ากับหนึ่ง

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามมีค่าเท่ากับหนึ่ง กล่าวคือ
.

ตัวอย่าง 1 . กล่องหนึ่งประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีน้ำเงิน 5 ลูก ลูกบอลจะถูกสับและสุ่มออกมาหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะมีสีเป็นเท่าใด

วิธีการแก้ . ขอแสดงเหตุการณ์:

อา=(เอาลูกบอลสีออก);

บี=(จับลูกบอลสีขาว);

ค=(จับลูกบอลสีแดง);

ดี=(เอาลูกบอลสีน้ำเงินออก)

แล้ว อา= ค+ ดี. ตั้งแต่เกิดเหตุการณ์ ค, ดีเข้ากันไม่ได้ เราใช้ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:

ตัวอย่างที่ 2 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีดำ 6 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากโกศ ความน่าจะเป็นที่พวกมันมีสีเดียวกันทั้งหมดเป็นเท่าไหร่?

วิธีการแก้ . ขอแสดงเหตุการณ์:

อา\u003d (นำลูกบอลที่มีสีเดียวกันออกมา);

บี\u003d (นำลูกบอลสีขาวออก);

ค= (นำลูกบอลสีดำออก)

เพราะ อา= บี+ คและกิจกรรมต่างๆ ที่และ จากเข้ากันไม่ได้แล้วโดยทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่เท่ากับ
, ที่ไหน
4,

. ทดแทน kและ นลงในสูตรแล้วรับ
ในทำนองเดียวกัน เราพบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จาก:
, ที่ไหน
,
, เช่น.
. แล้ว
.

ตัวอย่างที่ 3 . จากสำรับไพ่ 36 ใบ จะสุ่มไพ่ 4 ใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีอย่างน้อยสามเอซในหมู่พวกเขา

วิธีการแก้ . ขอแสดงเหตุการณ์:

อา\u003d (ในบรรดาไพ่ที่จั่วออกมามีอย่างน้อยสามเอซ);

บี\u003d (ในบรรดาไพ่ที่จั่วออกมามีสามเอซ);

ค= (ในบรรดาไพ่ที่จั่วออกมามีสี่เอซ)

เพราะ อา= บี+ ค, และกิจกรรมต่างๆ ที่และ จากไม่สอดคล้องกัน แล้ว
. มาหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กัน ที่และ จาก:

,
. ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่จั่วออกมามีอย่างน้อยสามเอซจึงเท่ากับ

0.0022.

1. การคูณความน่าจะเป็น

งาน สองเหตุการณ์ แต่และ ที่เรียกว่าเหตุการณ์ จากซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันดังนี้
. คำจำกัดความนี้ขยายไปถึงจำนวนเหตุการณ์ที่จำกัด

ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า เป็นอิสระ ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดอย่างใดอย่างหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าอีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นหรือไม่ พัฒนาการ , , … , เรียกว่า ร่วมกันอย่างอิสระ หากความน่าจะเป็นของการเกิดของแต่ละคนไม่ขึ้นกับว่าเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 4 . ลูกศรสองลูกยิงไปที่เป้าหมาย ขอแสดงเหตุการณ์:

อา=(มือปืนคนแรกยิงเข้าเป้า);

บี= (มือปืนคนที่สองตีเป้าหมาย)

เห็นได้ชัดว่า ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยมือปืนคนแรก ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามือปืนคนที่สองตีหรือพลาด และในทางกลับกัน ดังนั้นเหตุการณ์ แต่และ ที่เป็นอิสระ.

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระนั้นถูกต้อง: ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์อิสระเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ : .

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับ นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระโดยรวม: .

ตัวอย่างที่ 5 . มือปืนสองคนยิงไปที่เป้าหมายเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะตีลูกแรกคือ 0.9 และครั้งที่สองคือ 0.7 มือปืนทั้งสองยิงนัดเดียวพร้อมกัน กำหนดความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายสองครั้ง

วิธีการแก้ . ขอแสดงเหตุการณ์:

อา

บี

ค=(ลูกศรทั้งสองจะพุ่งเข้าใส่เป้าหมาย)

เพราะ
, และกิจกรรมต่างๆ แต่และ ที่อิสระ แล้ว
, เช่น. .

พัฒนาการ แต่และ ที่เรียกว่า ขึ้นอยู่กับ หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หนึ่งขึ้นกับว่าอีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นหรือไม่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ ที่มันมาแล้ว เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข และเขียนว่า
หรือ
.

ตัวอย่างที่ 6 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีดำ 7 ลูก ลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศ ขอแสดงเหตุการณ์:

อา=(เอาลูกบอลสีขาวออก) ;

บี=(เอาลูกบอลสีดำออก)

ก่อนที่คุณจะเริ่มวาดลูกบอลจากโกศ
. ลูกบอลหนึ่งลูกถูกดึงออกมาจากโกศและกลายเป็นสีดำ แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่หลังเหตุการณ์ ที่จะแตกต่างกันเท่ากัน . ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ที่, เช่น. เหตุการณ์เหล่านี้จะขึ้นอยู่กับ

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันนั้นถูกต้อง: ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งคำนวณจากการสันนิษฐานว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้นแล้ว, เช่น. หรือ .

ตัวอย่าง 7 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีแดง 8 ลูก สุ่มจับลูกบอลสองลูกจากมัน หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองเป็นสีดำ

วิธีการแก้ . ขอแสดงเหตุการณ์:

อา=(จับลูกบอลสีดำก่อน);

บี=(ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาเป็นอันดับสอง)

พัฒนาการ แต่และ ที่พึ่งได้เพราะ
, แ
. แล้ว
.

ตัวอย่างที่ 8 . ลูกศรสามลูกยิงไปที่เป้าหมายโดยอิสระจากกัน ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายสำหรับมือปืนคนแรกคือ 0.5 สำหรับครั้งที่สอง - 0.6 และสำหรับครั้งที่สาม - 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่การยิงสองครั้งจะเกิดขึ้นหากผู้ยิงแต่ละคนยิงหนึ่งนัด

วิธีการแก้ . ขอแสดงเหตุการณ์:

อา=(จะมีการโจมตีสองครั้งที่เป้าหมาย);

บี=(มือปืนคนแรกยิงเข้าเป้า);

ค=(มือปืนคนที่สองจะตีเป้าหมาย);

ดี=(มือปืนคนที่สามจะโดนเป้าหมาย);

=(นักกีฬาคนแรกจะไม่โดนเป้าหมาย);

=(มือปืนที่สองจะไม่โดนเป้าหมาย);

=(มือปืนคนที่สามจะไม่โดนเป้า)

ตามตัวอย่าง
,
,
,

,
,
. ตั้งแต่ จากนั้นใช้ทฤษฎีบทบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และทฤษฎีบทสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ เราได้รับ:

ให้เหตุการณ์
สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ของการทดลองบางอย่างและเหตุการณ์ แต่เกิดขึ้นได้กับเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเท่านั้น ถ้าทราบความน่าจะเป็นและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ แต่จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คำนวณโดยสูตร:

หรือ
. สูตรนี้เรียกว่า สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด , และกิจกรรมต่างๆ
สมมติฐาน .

ตัวอย่างที่ 9 . สายการประกอบได้รับชิ้นส่วน 700 ชิ้นจากเครื่องแรกและชิ้นส่วน 300 ชิ้น จากที่สอง เครื่องแรกให้การปฏิเสธ 0.5% และเครื่องที่สอง - 0.7% ค้นหาความน่าจะเป็นที่สินค้าที่ได้รับมีข้อบกพร่อง

วิธีการแก้ . ขอแสดงเหตุการณ์:

อา=(สินค้าที่ได้รับจะมีข้อบกพร่อง);

= (ส่วนที่ทำในเครื่องแรก);

= (ส่วนที่ทำในเครื่องที่สอง).

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนถูกสร้างขึ้นในเครื่องแรกคือ
. สำหรับเครื่องที่สอง
. โดยเงื่อนไข ความน่าจะเป็นที่จะได้ชิ้นส่วนที่ชำรุดจากเครื่องแรกเท่ากับ
. สำหรับเครื่องที่สอง ความน่าจะเป็นนี้เท่ากับ
. จากนั้นความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ได้รับจะมีข้อบกพร่องคำนวณโดยสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

หากทราบว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้นจากการทดสอบ แต่แล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นกับสมมติฐาน
, เท่ากับ
, ที่ไหน
- ความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์ แต่. สูตรนี้เรียกว่า สูตรเบย์ และให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
หลังจากที่ได้ทราบแล้วว่าเหตุการณ์ แต่ได้มาถึงแล้ว

ตัวอย่าง 10 . ชิ้นส่วนประเภทเดียวกันสำหรับรถยนต์ผลิตขึ้นที่โรงงานสองแห่งและไปที่ร้าน โรงงานแห่งแรกผลิตชิ้นส่วนได้ 80% และโรงงานแห่งที่สอง - 20% การผลิตโรงงานแห่งแรกประกอบด้วยชิ้นส่วนมาตรฐาน 90% และโรงงานแห่งที่สอง - 95% ผู้ซื้อซื้อส่วนหนึ่งและกลายเป็นมาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ส่วนนี้ผลิตในโรงงานแห่งที่สอง

วิธีการแก้ . ขอแสดงเหตุการณ์:

อา=(ซื้อชิ้นส่วนมาตรฐาน);

= (ส่วนผลิตที่โรงงานแห่งแรก);

= (ส่วนผลิตที่โรงงานแห่งที่สอง)

ตามตัวอย่าง
,
,
และ
. คำนวณความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์ แต่: 0.91. ความน่าจะเป็นที่จะผลิตชิ้นส่วนในโรงงานแห่งที่สองคำนวณโดยใช้สูตรเบย์:

.

งานสำหรับงานอิสระ

ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายสำหรับมือปืนคนแรกคือ 0.8 สำหรับวินาที - 0.7 และครั้งที่สาม - 0.9 มือปืนยิงนัดเดียว ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีเป้าหมายอย่างน้อยสองครั้ง

ร้านซ่อมได้รับรถแทรกเตอร์ 15 คัน เป็นที่ทราบกันว่า 6 คนจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องยนต์และที่เหลือ - เพื่อเปลี่ยนส่วนประกอบแต่ละส่วน สามรถแทรกเตอร์จะถูกสุ่มเลือก ค้นหาความน่าจะเป็นที่รถแทรกเตอร์ที่เลือกไว้ไม่เกินสองคันจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องยนต์

ที่โรงงานคอนกรีตเสริมเหล็ก มีการผลิตแผง โดย 80% เป็น คุณภาพสูงสุด. ค้นหาความน่าจะเป็นที่จากสามแผงที่เลือกแบบสุ่ม อย่างน้อยสองแผงจะเป็นเกรดสูงสุด

คนงานสามคนประกอบตลับลูกปืน ความน่าจะเป็นที่แบริ่งประกอบโดยคนงานคนแรกมีคุณภาพสูงสุดคือ 0.7 ที่สอง - 0.8 และที่สาม - 0.6 สำหรับการควบคุม ตลับลูกปืนหนึ่งอันถูกสุ่มจากตลับลูกปืนที่ประกอบโดยคนงานแต่ละคน ค้นหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองรายการมีคุณภาพสูงสุด

ความน่าจะเป็นที่จะถูกรางวัลลอตเตอรีของรุ่นแรกคือ 0.2 ครั้งที่สอง - 0.3 และที่สาม - 0.25 มีตั๋วหนึ่งใบสำหรับแต่ละฉบับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตั๋วอย่างน้อยสองใบจะชนะ

นักบัญชีทำการคำนวณโดยใช้หนังสืออ้างอิงสามเล่ม ความน่าจะเป็นที่ข้อมูลที่เขาสนใจจะอยู่ในไดเร็กทอรีแรกคือ 0.6 ในไดเร็กทอรีที่สอง - 0.7 และในไดเร็กทอรีที่สาม - 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ข้อมูลที่น่าสนใจสำหรับนักบัญชีจะอยู่ในไดเร็กทอรีไม่เกินสองไดเร็กทอรี

สามเครื่องสร้างชิ้นส่วน หุ่นยนต์ตัวแรกสร้างส่วนหนึ่งของคุณภาพสูงสุดด้วยความน่าจะเป็น 0.9 หุ่นยนต์ตัวที่สองที่มีความน่าจะเป็น 0.7 และตัวที่สามที่มีความน่าจะเป็น 0.6 สุ่มไอเทมหนึ่งชิ้นจากแต่ละเครื่อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองรายการมีคุณภาพสูงสุด

ชิ้นส่วนประเภทเดียวกันถูกประมวลผลบนเครื่องสองเครื่อง ความน่าจะเป็นของการผลิตชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับเครื่องแรกคือ 0.03 สำหรับเครื่องที่สอง - 0.02 ชิ้นส่วนที่ผ่านกระบวนการจะซ้อนกันในที่เดียว ในหมู่พวกเขา 67% มาจากเครื่องแรกและที่เหลือมาจากเครื่องที่สอง ส่วนที่สุ่มจับกลายเป็นมาตรฐาน หาความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นกับเครื่องแรก

การประชุมเชิงปฏิบัติการได้รับตัวเก็บประจุชนิดเดียวกันสองกล่อง กล่องแรกมีตัวเก็บประจุ 20 ตัว โดย 2 ตัวมีข้อบกพร่อง ในกล่องที่สองมีตัวเก็บประจุ 10 ตัว โดย 3 ตัวมีข้อบกพร่อง ตัวเก็บประจุถูกถ่ายโอนไปยังหนึ่งกล่อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวเก็บประจุสุ่มจากกล่องนั้นดี

ในเครื่องจักรสามเครื่อง มีการผลิตชิ้นส่วนประเภทเดียวกันซึ่งป้อนเข้าในสายพานลำเลียงทั่วไป ในบรรดารายละเอียดทั้งหมด 20% จากเครื่องแรก 30% จากเครื่องที่สองและ 505 จากเครื่องที่สาม ความน่าจะเป็นของการผลิตชิ้นส่วนมาตรฐานในเครื่องแรกคือ 0.8 ในเครื่องที่สอง - 0.6 และที่สาม - 0.7 ส่วนที่ถ่ายเป็นมาตรฐาน หาความน่าจะเป็นที่ส่วนนี้สร้างขึ้นบนเครื่องที่สาม

คนหยิบรับ 40% ของชิ้นส่วนจากโรงงานเพื่อประกอบ แต่, และที่เหลือ - จากโรงงาน ที่. ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจากโรงงาน แต่- คุณภาพสูงสุด เท่ากับ 0.8 และมาจากโรงงาน ที่– 0.9. ตัวเลือกสุ่มหยิบส่วนหนึ่งและไม่ได้คุณภาพสูงสุด หาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนี้มาจากโรงงาน ที่.

นักเรียน 10 คนจากกลุ่มแรกและนักเรียน 8 คนจากกลุ่มที่สองได้รับการคัดเลือกให้เข้าร่วมการแข่งขันกีฬานักเรียน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจากกลุ่มแรกจะเข้าทีมชาติของสถาบันการศึกษาคือ 0.8 และจากที่สอง - 0.7 สุ่มเลือกนักเรียนทีมชาติ หาความน่าจะเป็นจากกลุ่มแรก

ทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น
เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

ชื่อเรื่องดูน่ากลัว แต่จริงๆ แล้วง่ายมาก ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตลอดจนวิเคราะห์งานทั่วไปที่ งานสำหรับคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น เจอกันแน่นอน หรือ มีโอกาสมากกว่า ได้เจอกันแล้วในทางของคุณ เพื่อศึกษาเนื้อหาของบทความนี้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณต้องรู้และเข้าใจคำศัพท์พื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็น และสามารถทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายได้ อย่างที่คุณเห็น จำเป็นต้องมีเพียงเล็กน้อย ดังนั้นไขมันบวกในสินทรัพย์จึงเกือบจะรับประกันได้ แต่ในทางกลับกัน ฉันเตือนอีกครั้งเกี่ยวกับทัศนคติที่ผิวเผินต่อตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง - ยังมีรายละเอียดปลีกย่อยเพียงพออีกด้วย ขอให้โชคดี:

ทฤษฎีบทเพิ่มเติมสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของหนึ่งในสอง เข้ากันไม่ได้เหตุการณ์หรือ (ไม่ว่าอะไรก็ตาม)เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ข้อเท็จจริงที่คล้ายคลึงกันก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จำนวนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สามเหตุการณ์ และ :

ทฤษฎีบทความฝัน =) อย่างไรก็ตาม ความฝันดังกล่าวก็มีการพิสูจน์เช่นกัน ซึ่งหาได้ เช่น ใน คู่มือการเรียนวศ.บ. กัมเมอร์แมน.

มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดใหม่ที่ไม่เคยมีใครเห็นมาก่อน:

เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

เริ่มต้นด้วยกิจกรรมอิสระ เหตุการณ์เป็น เป็นอิสระ ถ้าความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น อะไรก็ได้ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจากลักษณะที่ปรากฏ/ไม่ปรากฏของเหตุการณ์อื่นของเซตที่พิจารณา (ในการรวมกันทั้งหมดที่เป็นไปได้) ... แต่มีอะไรที่จะบดบังวลีทั่วไป:

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ: ความน่าจะเป็นของการเกิดร่วมกันของเหตุการณ์อิสระและเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

กลับไปที่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของบทเรียนที่ 1 ซึ่งจะมีการโยนเหรียญสองเหรียญและกิจกรรมต่อไปนี้:

- หัวจะตกบนเหรียญที่ 1;
- หัวบนเหรียญที่ 2

หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กัน (หัวจะปรากฏบนเหรียญที่ 1 และ Eagle จะปรากฏบนเหรียญที่ 2 - จำวิธีการอ่าน สินค้าของกิจกรรม !) . ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวกับเหรียญหนึ่งเหรียญไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของการโยนเหรียญอีกเหรียญ ดังนั้นเหตุการณ์และเหตุการณ์จึงเป็นอิสระ

ในทำนองเดียวกัน:
คือความน่าจะเป็นที่เหรียญที่ 1 จะขึ้นหัว และบนหางที่ 2;
คือความน่าจะเป็นที่หัวปรากฏบนเหรียญที่ 1 และบนหางที่ 2;
คือความน่าจะเป็นที่เหรียญที่ 1 จะตกหาง และบนนกอินทรีตัวที่ 2

โปรดทราบว่าเหตุการณ์รูปแบบ เต็มกลุ่ม และผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง: .

เห็นได้ชัดว่าทฤษฎีบทการคูณขยายไปถึงเหตุการณ์อิสระจำนวนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์เป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกันคือ: มาฝึกกัน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม:

งาน3

แต่ละกล่องสามกล่องมี 10 ส่วน ในกล่องแรกมีชิ้นส่วนมาตรฐาน 8 ชิ้น ส่วนที่สอง - 7 ชิ้นที่สาม - 9 ชิ้นจะถูกสุ่มออกจากแต่ละกล่อง หาความน่าจะเป็นที่ทุกส่วนเป็นมาตรฐาน

วิธีการแก้: ความน่าจะเป็นในการดึงชิ้นส่วนมาตรฐานหรือชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานออกจากกล่องใดๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าส่วนใดจะถูกดึงออกจากกล่องอื่น ดังนั้นปัญหาจึงอยู่ที่เหตุการณ์อิสระ พิจารณาเหตุการณ์อิสระต่อไปนี้:

– ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่ 1
– ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่ 2
- ถอดชิ้นส่วนมาตรฐานออกจากลิ้นชักที่ 3 แล้ว

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
คือความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

งานอีเวนท์ที่เราสนใจ (ส่วนมาตรฐานจะเอามาจากลิ้นชักที่ 1 และจากมาตรฐานที่ 2 และจากมาตรฐานที่ ๓)แสดงโดยผลิตภัณฑ์

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

คือความน่าจะเป็นที่จะดึงส่วนมาตรฐานหนึ่งส่วนจากสามกล่อง

ตอบ: 0,504

หลังจากเติมพลังการออกกำลังกายด้วยกล่องแล้ว โกศที่น่าสนใจรอเราอยู่ไม่น้อย:

งาน 4

โกศสามใบประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 6 ลูกและลูกบอลสีดำ 4 ลูก สุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่: ก) ลูกบอลทั้งสามลูกจะเป็นสีขาว b) ทั้งสามลูกจะเป็นสีเดียวกัน

จากข้อมูลที่ได้รับ ให้เดาวิธีจัดการกับรายการ "เป็น" ;-) ตัวอย่างโซลูชันโดยประมาณได้รับการออกแบบในรูปแบบวิชาการพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของเหตุการณ์ทั้งหมด

เหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน. งานนี้มีชื่อว่า ขึ้นอยู่กับ ถ้ามันเป็นไปได้ พึ่งพาจากเหตุการณ์หนึ่งหรือหลายเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้ว คุณไม่ต้องไปไกลเพื่อดูตัวอย่าง - เพียงไปที่ร้านค้าที่ใกล้ที่สุด:

- พรุ่งนี้เวลา 19.00 น. ขนมปังสดออกขายนะคะ

ความน่าจะเป็นของงานนี้ขึ้นอยู่กับกิจกรรมอื่นๆ มากมาย ไม่ว่าจะเป็นขนมปังสดส่งในวันพรุ่งนี้ ขายหมดก่อน 19.00 น. หรือไม่ ฯลฯ เหตุการณ์นี้สามารถเชื่อถือได้และเป็นไปไม่ได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่างๆ ดังนั้นเหตุการณ์คือ ขึ้นอยู่กับ.

ขนมปัง ... และตามที่ชาวโรมันเรียกร้องวงเวียน:

- ตอนสอบนักเรียนจะได้ตั๋วง่ายๆ

หากคุณไม่ไปเป็นคนแรก เหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับว่าความน่าจะเป็นจะขึ้นอยู่กับตั๋วที่เพื่อนร่วมชั้นได้จับรางวัลไปแล้ว

จะตรวจสอบการพึ่งพา/ความเป็นอิสระของเหตุการณ์ได้อย่างไร?

บางครั้งมีการระบุไว้โดยตรงในเงื่อนไขของปัญหา แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องทำการวิเคราะห์อย่างอิสระ ไม่มีแนวทางที่ชัดเจนในที่นี้ และข้อเท็จจริงของการพึ่งพาอาศัยกันหรือความเป็นอิสระของเหตุการณ์เกิดขึ้นจากการให้เหตุผลเชิงตรรกะตามธรรมชาติ

เพื่อไม่ให้โยนทุกอย่างในกองเดียว งานสำหรับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ ฉันจะเน้นในบทเรียนต่อไป แต่ตอนนี้เราจะพิจารณาทฤษฎีบทที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ:

ปัญหาทฤษฎีบทบวกสำหรับความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกัน
และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ควบคู่นี้ตามการประเมินอัตนัยของฉันทำงานในประมาณ 80% ของงานในหัวข้อที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ฮิตฮิตและคลาสสิกที่แท้จริงของทฤษฎีความน่าจะเป็น:

งาน 5

มือปืนสองคนยิงนัดที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะตีสำหรับนักกีฬาคนแรกคือ 0.8 สำหรับครั้งที่สอง - 0.6 หาความน่าจะเป็นที่:

ก) มีนักกีฬาเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะโดนเป้าหมาย
b) นักกีฬาอย่างน้อยหนึ่งคนจะโดนเป้าหมาย

วิธีการแก้: ความน่าจะเป็นในการตี/พลาดของผู้ยิงคนหนึ่งไม่ขึ้นกับประสิทธิภาพของมือปืนอีกคนอย่างชัดเจน

พิจารณาเหตุการณ์:
– นักกีฬาคนแรกจะตีเป้าหมาย
- มือปืนคนที่ 2 จะตีเป้าหมาย

ตามเงื่อนไข: .

มาหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามกัน - ที่ลูกศรที่เกี่ยวข้องจะพลาด:

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - มีเพียงคนเดียวที่ยิงเข้าเป้า เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สองประการ:

นักกีฬาคนแรกจะตี และพลาดครั้งที่2
หรือ
ที่ 1 จะพลาด และที่ 2 จะตี

ที่ลิ้น พีชคณิตเหตุการณ์ ข้อเท็จจริงนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

อันดับแรก เราใช้ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ จากนั้น - ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

คือความน่าจะเป็นที่จะตีเพียงครั้งเดียว

b) พิจารณาเหตุการณ์: - นักกีฬาอย่างน้อยหนึ่งคนจะโดนเป้าหมาย

ก่อนอื่น มาคิดกันเถอะ - เงื่อนไข "อย่างน้อยหนึ่งอย่าง" หมายถึงอะไร ในกรณีนี้หมายความว่าผู้ยิงคนแรกคนใดคนหนึ่งจะตี (คนที่ 2 จะพลาด) หรือครั้งที่ 2 (พลาดครั้งที่ 1) หรือลูกศรทั้งสองพร้อมกัน - รวม 3 ผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้

วิธีที่หนึ่ง: เมื่อพิจารณาความน่าจะเป็นที่เตรียมไว้ของรายการก่อนหน้า จะสะดวกที่จะนำเสนอเหตุการณ์เป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันต่อไปนี้:

หนึ่งจะได้รับ (เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 2 อย่าง) หรือ
หากลูกศรทั้งสองโดน เราแสดงว่าเหตุการณ์นี้ด้วยตัวอักษร

ทางนี้:

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนแรกจะตี และนักกีฬาคนที่ 2 จะตี

ตามทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
คือความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

วิธีที่สอง: พิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้าม: – มือปืนทั้งสองจะพลาด

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ผลที่ตามมา:

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับวิธีที่สอง - โดยทั่วไปแล้วจะมีเหตุผลมากกว่า

นอกจากนี้ยังมีทางเลือกอื่น วิธีที่สามในการแก้ ตามทฤษฎีบทของการรวมเหตุการณ์ร่วมซึ่งเงียบไปข้างต้น

! หากคุณกำลังอ่านเนื้อหาเป็นครั้งแรก เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน เป็นการดีกว่าที่จะข้ามย่อหน้าถัดไป

วิธีที่สาม : เหตุการณ์เป็นงานร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าผลรวมของเหตุการณ์นั้นเป็นการแสดงออกถึงเหตุการณ์ "ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนยิงเข้าเป้า" (ดูรูปที่ พีชคณิตเหตุการณ์ ). โดย ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วม และทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ลองดู: เหตุการณ์และ (0, 1 และ 2 ตามลำดับ)สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นต้องเท่ากับหนึ่ง:
ซึ่งต้องได้รับการตรวจสอบ

ตอบ:

ด้วยการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างละเอียดถี่ถ้วน คุณจะพบกับภารกิจมากมายในเนื้อหาเกี่ยวกับทหาร และซึ่งเป็นเรื่องปกติ หลังจากนั้นคุณจะไม่ต้องการยิงใครเลย งานนั้นเกือบจะเป็นของกำนัล ทำไมไม่ทำให้แม่แบบง่ายยิ่งขึ้นไปอีก? ขอย่อรายการให้สั้นลง:

วิธีการแก้: ตามเงื่อนไข: , คือความน่าจะเป็นที่จะโดนผู้ยิงที่เกี่ยวข้อง ความน่าจะเป็นที่พลาดของพวกเขาคือ:

ก) ตามทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของการเข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงเพียงคนเดียวจะโดนเป้าหมาย

b) ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่มือปืนทั้งสองจะพลาด

จากนั้น: คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนจะโดนเป้าหมาย

ตอบ:

ในทางปฏิบัติ คุณสามารถใช้ตัวเลือกการออกแบบใดก็ได้ แน่นอนบ่อยครั้งที่พวกเขาไปทางสั้น ๆ แต่ก็ไม่ควรลืมวิธีที่ 1 - แม้ว่าจะยาวกว่า แต่ก็มีความหมายมากกว่า - มันชัดเจนกว่า อะไร ทำไม และทำไมเพิ่มขึ้นและทวีคูณ ในบางกรณี สไตล์ไฮบริดจะเหมาะสม เมื่อสะดวกที่จะระบุเฉพาะบางเหตุการณ์ด้วยตัวพิมพ์ใหญ่

งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

งาน 6

มีการติดตั้งเซ็นเซอร์ทำงานอิสระสองตัวสำหรับสัญญาณเตือนไฟไหม้ ความน่าจะเป็นที่เซ็นเซอร์จะทำงานระหว่างเกิดเพลิงไหม้คือ 0.5 และ 0.7 สำหรับเซ็นเซอร์ตัวแรกและตัวที่สองตามลำดับ หาความน่าจะเป็นที่เกิดไฟไหม้:

ก) เซ็นเซอร์ทั้งสองจะล้มเหลว
b) เซ็นเซอร์ทั้งสองจะทำงาน
ค) การใช้ ทฤษฎีบทเพิ่มเติมสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์ ให้หาความน่าจะเป็นที่เซ็นเซอร์เพียงตัวเดียวจะทำงานระหว่างเกิดเพลิงไหม้ ตรวจสอบผลลัพธ์โดยการคำนวณความน่าจะเป็นนี้โดยตรง (โดยใช้ทฤษฎีบทการบวกและการคูณ).

ที่นี่ความเป็นอิสระของการทำงานของอุปกรณ์นั้นสะกดออกมาโดยตรงในเงื่อนไขซึ่งเป็นคำชี้แจงที่สำคัญ โซลูชันตัวอย่างได้รับการออกแบบในรูปแบบวิชาการ

จะเกิดอะไรขึ้นหากในปัญหาที่คล้ายกัน มีความน่าจะเป็นเท่ากัน เช่น 0.9 และ 0.9 คุณต้องตัดสินใจเหมือนกันทุกประการ! (ซึ่งอันที่จริงได้แสดงให้เห็นแล้วในตัวอย่างสองเหรียญ)

งาน7

ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยผู้ยิงคนแรกด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะไม่ถูกยิงหลังจากที่ผู้ยิงคนแรกและคนที่สองยิงหนึ่งนัดคือ 0.08 ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายโดยมือปืนคนที่สองด้วยการยิงครั้งเดียวเป็นเท่าใด

และนี่คือปริศนาตัวต่อเล็กๆ ที่ใส่กรอบไว้สั้นๆ เงื่อนไขสามารถปรับรูปแบบใหม่ให้กระชับขึ้นได้ แต่ฉันจะไม่สร้างเงื่อนไขเดิมขึ้นใหม่ - ในทางปฏิบัติ ฉันต้องเจาะลึกลงไปในการประดิษฐ์ที่หรูหรามากขึ้น

พบกับเขา - เขาเป็นคนที่ตัดรายละเอียดจำนวนมากให้คุณ =):

งาน 8

คนงานทำงานสามเครื่อง ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะเครื่องแรกจะต้องมีการปรับคือ 0.3 วินาที - 0.75 เครื่องที่สาม - 0.4 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะ:

ก) เครื่องทั้งหมดจะต้องมีการปรับ;
b) จะต้องมีการปรับเครื่องเพียงเครื่องเดียวเท่านั้น
c) อย่างน้อยหนึ่งเครื่องจะต้องมีการปรับเปลี่ยน

วิธีการแก้: เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้กล่าวถึงกระบวนการทางเทคโนโลยีเพียงขั้นตอนเดียว ดังนั้นการทำงานของแต่ละเครื่องจึงควรพิจารณาให้เป็นอิสระจากการทำงานของเครื่องจักรอื่นๆ

โดยการเปรียบเทียบกับงานหมายเลข 5 ที่นี่คุณสามารถเข้าสู่การพิจารณาเหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเครื่องจักรที่เกี่ยวข้องจะต้องมีการปรับระหว่างกะ จดความน่าจะเป็น หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม ฯลฯ แต่ด้วยวัตถุสามชิ้น ฉันไม่ต้องการวาดงานแบบนั้นจริงๆ - มันจะใช้เวลานานและน่าเบื่อหน่าย ดังนั้นจึงมีกำไรมากขึ้นอย่างเห็นได้ชัดในการใช้สไตล์ "เร็ว" ที่นี่:

ตามเงื่อนไข: - ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะ เครื่องจักรที่เกี่ยวข้องจะต้องมีการปรับจูน ความน่าจะเป็นที่ไม่ต้องการความสนใจคือ:

หนึ่งในผู้อ่านพบว่ามีการพิมพ์ผิดที่นี่ฉันจะไม่แก้ไข =)

ก) ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะทั้ง 3 เครื่องจะต้องมีการปรับ

ข) เหตุการณ์ "ระหว่างกะ ต้องมีการปรับเครื่องเดียวเท่านั้น" ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สามประการ:

1) เครื่องที่ 1 จะต้องความสนใจ และเครื่องที่2 จะไม่ต้องการ และเครื่องที่ 3 จะไม่ต้องการ
หรือ:
2) เครื่องที่ 1 จะไม่ต้องการความสนใจ และเครื่องที่2 จะต้อง และเครื่องที่ 3 จะไม่ต้องการ
หรือ:
3) เครื่องที่ 1 จะไม่ต้องการความสนใจ และเครื่องที่2 จะไม่ต้องการ และเครื่องที่ 3 จะต้อง.

ตามทฤษฎีบทของการเพิ่มความน่าจะเป็นของการเข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

- ความน่าจะเป็นที่จะต้องมีการปรับเครื่องเพียงเครื่องเดียวระหว่างกะ

ฉันคิดว่าตอนนี้มันควรจะชัดเจนสำหรับคุณว่านิพจน์มาจากไหน

c) คำนวณความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรจะไม่ต้องการการปรับ แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม:
– ต้องมีการปรับอย่างน้อยหนึ่งเครื่อง

ตอบ:

รายการ "ve" สามารถแก้ไขได้ด้วยผลรวม โดยที่ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะมีเพียงสองเครื่องเท่านั้นที่จะต้องปรับ ในทางกลับกัน เหตุการณ์นี้มีผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 3 รายการ ซึ่งลงนามโดยเปรียบเทียบกับรายการ "เป็น" พยายามหาความน่าจะเป็นด้วยตนเองเพื่อตรวจสอบปัญหาทั้งหมดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน

งาน 9

ปืนสามกระบอกยิงวอลเลย์ไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นของการยิงนัดเดียวจากปืนกระบอกแรกคือ 0.7 จากปืนที่สอง - 0.6 จากปืนที่สาม - 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่: 1) อย่างน้อยหนึ่งกระสุนปืนกระทบเป้าหมาย; 2) มีเพียงสองโพรเจกไทล์เท่านั้นที่จะโจมตีเป้าหมาย 3) เป้าหมายจะถูกโจมตีอย่างน้อยสองครั้ง

คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

และอีกครั้งเกี่ยวกับความบังเอิญ: ในกรณีที่ตามเงื่อนไข ค่าความน่าจะเป็นเริ่มต้นสองค่าหรือทั้งหมดตรงกัน (เช่น 0.7; 0.7 และ 0.7) ให้ปฏิบัติตามอัลกอริทึมการแก้ปัญหาเดียวกันทุกประการ

โดยสรุปของบทความ เราจะวิเคราะห์ปริศนาทั่วไปอีกข้อหนึ่ง:

งาน 10

มือปืนตีเป้าหมายด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันในแต่ละนัด ความน่าจะเป็นนี้เป็นเท่าใดหากความน่าจะเป็นของการโจมตีอย่างน้อยหนึ่งครั้งในสามนัดคือ 0.973

วิธีการแก้: แทนด้วย - ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายในแต่ละครั้ง
และตลอด - ความน่าจะเป็นที่จะพลาดในแต่ละครั้ง

ลองเขียนเหตุการณ์:
- ด้วย 3 นัดผู้ยิงจะโดนเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
- ผู้ยิงจะพลาด 3 ครั้ง

ตามเงื่อนไข ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม:

ในทางกลับกัน ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ทางนี้:

- ความน่าจะเป็นที่จะพลาดในแต่ละครั้ง

ผลที่ตามมา:
คือความน่าจะเป็นที่จะตีแต่ละนัด

ตอบ: 0,7

เรียบง่ายและสง่างาม

ในปัญหาที่พิจารณา มีคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการโจมตีเพียงครั้งเดียว การโจมตีเพียงสองครั้ง และความน่าจะเป็นของการโจมตีสามครั้งบนเป้าหมาย โครงร่างการแก้ปัญหาจะเหมือนกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ:

อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างที่สำคัญพื้นฐานก็คือมี การทดสอบอิสระซ้ำๆ ซึ่งดำเนินการตามลำดับโดยเป็นอิสระจากกันและมีความเป็นไปได้ที่จะเกิดผลลัพธ์เท่ากัน

\(\blacktriangleright\) หากการดำเนินการของเหตุการณ์ \(C\) ต้องการการดำเนินการของทั้งเหตุการณ์พร้อมกัน (ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้พร้อมกัน) \(A\) และ \(B\) (\(C=\(A\ ) และ \( B\)\) ) ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ \(C\) จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ \(A\) และ \(B\)

โปรดทราบว่าหากเหตุการณ์ไม่เข้ากัน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันคือ \(0\)

\(\blacktriangleright\) แต่ละเหตุการณ์สามารถแสดงเป็นวงกลมได้ แล้วถ้าเหตุการณ์เป็นข้อต่อวงกลมจะต้องตัดกัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ \(C\) คือความน่าจะเป็นที่จะเข้าไปในวงกลมทั้งสองวงพร้อมกัน

\(\blacktriangleright\) ตัวอย่างเช่น เมื่อทอยลูกเต๋า ให้หาความน่าจะเป็น \(C=\) (ทอยตัวเลข \(6\) )
เหตุการณ์ \(C\) สามารถกำหนดเป็น \(A=\) (เลขคู่) และ \(B=\) (ตัวเลขหารด้วยสาม)
แล้ว \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

งาน 1 #3092

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะแบบรวมศูนย์

ร้านค้าจำหน่ายรองเท้าผ้าใบจากสองแบรนด์คือ Dike และ Ananas ความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกรองเท้าผ้าใบคู่หนึ่งคือ Dike คือ \(0.6\) แต่ละบริษัทสามารถเขียนชื่อบนรองเท้าผ้าใบผิดพลาดได้ ความน่าจะเป็นที่ Dike สะกดชื่อผิดคือ \(0.05\) ; ความน่าจะเป็นที่อานนท์สะกดชื่อผิดคือ \(0.025\) ค้นหาความน่าจะเป็นที่รองเท้าผ้าใบที่ซื้อมาแบบสุ่มจะมีการสะกดชื่อบริษัทที่ถูกต้อง

เหตุการณ์ A: “รองเท้าผ้าใบคู่จะมีชื่อที่ถูกต้อง” เท่ากับผลรวมของเหตุการณ์ B: “รองเท้าผ้าใบคู่จะมาจาก Dike และมีชื่อที่ถูกต้อง” และ C: “รองเท้าผ้าใบคู่จะเป็น จากอานนท์และด้วยชื่อที่ถูกต้อง”
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "รองเท้าจะถูกสร้างขึ้นโดย Dike" และ "ชื่อของบริษัท Dike สะกดถูกต้อง": \ ในทำนองเดียวกันสำหรับเหตุการณ์ C: \ เพราะเหตุนี้, \

คำตอบ: 0.96

งาน 2 #166

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะแบบรวมศูนย์

หาก Timur เล่นกับหมากฮอสสีขาว เขาจะเอาชนะ Vanya ด้วยความน่าจะเป็น 0.72 หาก Timur เล่นกับหมากฮอสสีดำ เขาจะเอาชนะ Vanya ด้วยความน่าจะเป็น 0.63 Timur และ Vanya เล่นสองเกมและในเกมที่สองพวกเขาเปลี่ยนสีของหมากฮอส ค้นหาความน่าจะเป็นที่ Vanya ชนะทั้งสองครั้ง

Vanya ชนะด้วยสีขาวด้วยความน่าจะเป็น \(0.37\) และสีดำด้วยความน่าจะเป็น \(0.28\) เหตุการณ์ "จากสองเกม Vanya ชนะด้วยสีขาว"\(\ \) และ "จากสองเกม Vanya ชนะด้วยสีดำ"\(\ \) เป็นอิสระจากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันจะเท่ากับ \

คำตอบ: 0.1036

งาน 3 #172

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะแบบรวมศูนย์

ทางเข้าพิพิธภัณฑ์มียามสองคนคอยคุ้มกัน ความน่าจะเป็นที่พี่คนโตจะลืมเครื่องส่งรับวิทยุคือ \(0,2\) และความน่าจะเป็นที่น้องคนสุดท้องจะลืมเครื่องส่งรับวิทยุคือ \(0,1\) ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะไม่มีวิทยุคืออะไร?

เนื่องจากเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีความเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันจึงเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ \

คำตอบ: 0.02

งาน 4 #167

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะแบบรวมศูนย์

กระโดดจากความสูง 1 เมตร Kostya หักขาด้วยความน่าจะเป็น \(0.05\) . กระโดดจากความสูง 1 เมตร Vanya หักขาด้วยความน่าจะเป็น \(0.01\) กระโดดจากความสูง 1 เมตร Anton หักขาของเขาด้วยความน่าจะเป็น \(0.01\) . Kostya, Vanya และ Anton กระโดดจากความสูง 1 เมตรพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่ Kostya เท่านั้นที่จะหักขาของเขาคืออะไร? ปัดเศษคำตอบของคุณเป็นพัน

เหตุการณ์ "เมื่อกระโดดจากความสูง 1 เมตร Kostya หักขา"\(,\ \) "เมื่อกระโดดจากความสูง 1 เมตร Vanya ไม่หักขา"\(\ \) และ "เมื่อกระโดดจาก ความสูง 1 เมตร Anton ไม่หักขา”\( \ \) เป็นอิสระดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันจึงเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น: \ หลังจากปัดเศษในที่สุดเราก็ได้ \(0,049\)

คำตอบ: 0.049

งาน 5 #170

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะแบบรวมศูนย์

Maxim และ Vanya ตัดสินใจเล่นโบว์ลิ่ง แม็กซิมประเมินอย่างถูกต้องว่าโดยเฉลี่ยแล้วเขาโจมตีหนึ่งครั้งทุก ๆ แปดครั้ง Vanya ประเมินอย่างถูกต้องว่าโดยเฉลี่ยแล้วเขาทำการนัดหยุดงานทุกๆห้าครั้ง Maxim และ Vanya โยนคนละครั้ง (โดยไม่คำนึงถึงผลการแข่งขัน) ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีการนัดหยุดงานระหว่างพวกเขาเป็นเท่าใด

เนื่องจากเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีความเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันจึงเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่แม็กซิมจะไม่โดนนัดหยุดงานเท่ากับ \ ความน่าจะเป็นที่ Vanya จะไม่โดนโจมตีคือ \(1 - 0.2 = 0.8\) แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ \[\dfrac(7)(8)\cdot 0.8 = 0.7.\]

คำตอบ: 0.7

งาน 6 #1646

ระดับงาน: เท่ากับการตรวจสอบสถานะแบบรวมศูนย์

Anton และ Kostya กำลังเล่นปิงปอง ความน่าจะเป็นที่ Kostya จะตีโต๊ะด้วยลายเซ็นของเขาคือ \(0.9\) ความน่าจะเป็นที่ Anton จะชนะการชุมนุมที่ Kostya พยายามส่งลายเซ็นคือ \(0,3\) Kostya พยายามตีโต๊ะด้วยการชกอันเป็นเอกลักษณ์ของเขา ความน่าจะเป็นที่ Kostya ยิงได้จริง ๆ ด้วยลายเซ็นต์ของเขาและในที่สุดก็ชนะการจับฉลากครั้งนี้เป็นเท่าใด

เนื่องจากเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีความเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันจึงเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น ในเวลาเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่ Anton จะไม่ชนะการชุมนุมที่ Kostya พยายามส่งลายเซ็นของเขาคือ \(1 - 0.3 = 0.7\) . จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ \