การลดกำลังลงในรูปแบบที่ง่ายที่สุด กรณีของการลดลงเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด ? กรณีพิเศษของการลดระบบกองกำลัง

ถ้าหลังจากนำระบบแรงเชิงพื้นที่ไปยังศูนย์กลาง O ที่เลือกแล้ว เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักจะเท่ากับศูนย์ นั่นคือ

ระบบกองกำลังมีความสมดุล ภายใต้การทำงานของระบบแรงเช่นนี้ ร่างกายที่แข็งกระด้างจะอยู่ในภาวะสมดุล เห็นได้ชัดว่า ในกรณีทั่วไป สมการเวกเตอร์สองสมการ (4.1) สอดคล้องกับสมการสเกลาร์หกสมการที่สะท้อนความเท่าเทียมกันถึงศูนย์ของเส้นโครงของเวกเตอร์เหล่านี้บนแกนของระบบพิกัดที่เลือก (เช่น คาร์ทีเซียน)

หากหลังจากนำระบบแรงเชิงพื้นที่ไปยังศูนย์กลางที่เลือก O แล้วเวกเตอร์หลักจะเท่ากับศูนย์และโมเมนต์หลักไม่เท่ากับศูนย์นั่นคือ

แรงคู่ที่เกิดขึ้นจะกระทำต่อร่างกายโดยมีแนวโน้มที่จะหมุน โปรดทราบว่าในกรณีนี้ การเลือกศูนย์กลางของการลดจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

หากหลังจากนำระบบแรงเชิงพื้นที่ไปที่ศูนย์กลาง O ที่เลือกแล้วเวกเตอร์หลักจะไม่เท่ากับศูนย์และโมเมนต์หลักจะเท่ากับศูนย์นั่นคือ

ระบบของแรงที่เป็นผลลัพธ์จะกระทำต่อร่างกาย ผ่านจุดศูนย์กลางของการลดขนาดและมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนร่างกายไปตามแนวของการกระทำ เห็นได้ชัดว่า ความสัมพันธ์ (4.3.) ใช้ได้กับทุกจุดของแนวการกระทำของผลลัพธ์

โปรดทราบว่าการกระทำของระบบของแรงบรรจบกันจะลดลงในกรณีนี้หากจุดตัดของแนวการกระทำของแรงของระบบเป็นจุดศูนย์กลางของการลดลง (เนื่องจากช่วงเวลาของแรงที่สัมพันธ์กับจุดนี้คือ เท่ากับศูนย์)

หากหลังจากนำระบบแรงเชิงพื้นที่ไปยังจุดศูนย์กลาง O ที่เลือกแล้ว เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักจะไม่เท่ากับศูนย์ และทิศทางของพวกมันจะเป็นมุมฉาก เช่น

จากนั้นระบบของกองกำลังดังกล่าวสามารถลดลงเป็นผลได้ แต่ผ่านจุดศูนย์กลางการลดอีกจุดหนึ่ง ในการดำเนินการนี้ ก่อนอื่นเราจะพิจารณาระบบแรงที่เทียบเท่าที่แสดงในรูป 4.2.b และมะเดื่อ 4.1. เห็นได้ชัดว่าหากเราแทนที่สัญกรณ์ (จุด B เรียกว่าจุดศูนย์กลาง O จุด A คือศูนย์กลาง ) งานที่เราต้องเผชิญนั้นต้องการการดำเนินการที่ตรงกันข้ามกับการดำเนินการในบทแทรกเรื่องการถ่ายโอนแรงแบบขนาน จากมุมมองที่กล่าวมาแล้ว ประการแรก จุดต้องอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์กำลังหลักที่ผ่านจุดศูนย์กลาง O และประการที่สอง ต้องอยู่บนเส้นขนานกับแนวการกระทำของเวกเตอร์กำลังหลักและเว้นระยะห่าง จากระยะทาง h เท่ากับ

จากสองเส้นที่พบ ควรเลือกหนึ่งเส้นสำหรับจุดที่เวกเตอร์ของช่วงเวลาหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ (โมเมนต์ของเวกเตอร์หลักของแรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใหม่จะต้องเท่ากันในค่าสัมบูรณ์และมีทิศทางตรงกันข้าม ไปยังช่วงเวลาหลักของระบบแรงเทียบกับจุด O)

ในกรณีทั่วไป หลังจากนำระบบแรงเชิงพื้นที่ไปยังศูนย์กลาง O ที่เลือกแล้ว เวกเตอร์หลักที่ไม่เป็นศูนย์และโมเมนต์หลักจะไม่สร้างมุมฉากระหว่างกัน (รูปที่ 4.5.a)

หากโมเมนต์หลักถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน - ตามเวกเตอร์กำลังหลักและตั้งฉากกับมัน ตาม (4.5) คุณจะพบศูนย์การลดลงดังกล่าวซึ่งองค์ประกอบตั้งฉากของโมเมนต์หลักจะเท่ากับศูนย์ และขนาดและทิศทางของเวกเตอร์หลักและองค์ประกอบแรกของช่วงเวลาหลักยังคงเหมือนเดิม (รูปที่ 4.5.b) เซตของเวกเตอร์เรียกว่า สกรูไฟฟ้าหรือ ไดนาโม.

ไม่สามารถทำให้เข้าใจง่ายขึ้นได้อีก

เนื่องจากด้วยการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวในศูนย์อ้างอิง การฉายภาพของช่วงเวลาหลักในทิศทางที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์หลักของระบบแรงจึงเปลี่ยนไป ค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จึงยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เช่น

นิพจน์นี้เรียกว่า ค่าคงที่ที่สอง

วิชาว่าด้วยวัตถุ.

ตัวอย่าง 4.1 บังคับและกระทำบนจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานและด้านขนาน (ดูรูปที่ 4.6) ที่มาของพิกัดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่ระบุในรูปเป็นจุดศูนย์กลางของการลดลงของระบบแรง เขียนนิพจน์สำหรับเส้นโครงของเวกเตอร์หลักและช่วงเวลาหลัก

ลองเขียนความสัมพันธ์ตรีโกณมิติเพื่อกำหนดมุม:

ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับเส้นโครงของเวกเตอร์หลักและช่วงเวลาหลักของระบบ:

หมายเหตุ: การรู้เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนพิกัดจะช่วยให้สามารถคำนวณขนาดและทิศทางของโคไซน์ได้ หากจำเป็น

ตามที่ได้พิสูจน์ไว้ข้างต้น ระบบกองกำลังตามอำเภอใจ ซึ่งตั้งอยู่ในอวกาศโดยพลการ สามารถลดลงเหลือหนึ่งแรงเท่ากับเวกเตอร์หลักของระบบและนำไปใช้ในศูนย์กลางการลดโดยพลการ เกี่ยวกับและหนึ่งคู่กับโมเมนต์เท่ากับโมเมนต์หลักของระบบรอบศูนย์กลางเดียวกัน ดังนั้น ในอนาคต ระบบแรงตามอำเภอใจสามารถถูกแทนที่ด้วยชุดของเวกเตอร์สองตัวที่เท่ากัน นั่นคือ แรงและโมเมนต์ที่ใช้ ณ จุดหนึ่ง เกี่ยวกับ. เมื่อเปลี่ยนตำแหน่งจุดศูนย์กลางอ้างอิง เกี่ยวกับเวกเตอร์หลักจะคงขนาดและทิศทางไว้ และโมเมนต์หลักจะเปลี่ยนไป ให้เราพิสูจน์ว่าถ้าเวกเตอร์หลักไม่ใช่ศูนย์และ ตั้งฉากกับโมเมนต์หลัก จากนั้นระบบของแรงจะลดลงเหลือหนึ่งแรง ซึ่งในกรณีนี้เราจะเรียกว่าผลลัพธ์ (รูปที่ 8) โมเมนต์หลักสามารถแสดงเป็นคู่ของแรง ( , ) ด้วยไหล่ จากนั้นแรงและเวกเตอร์หลักจะสร้างระบบสอง

แรงเทียบเท่าศูนย์ซึ่งสามารถยกเลิกได้ จะมีแรงหนึ่งกระทำในแนวเส้นตรงขนานกับหลัก

รูปที่ 8 ไปยังเวกเตอร์และผ่านไปในระยะไกล

ชม.= จากระนาบที่เกิดจากเวกเตอร์ และ กรณีที่พิจารณาแสดงให้เห็นว่าถ้าเราเลือกจุดศูนย์กลางของการลดในบรรทัดตั้งแต่เริ่มต้น แอลจากนั้นระบบของแรงจะนำไปสู่ผลลัพธ์ทันที โมเมนต์หลักจะเท่ากับศูนย์ ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าถ้าเวกเตอร์หลักแตกต่างจากศูนย์และไม่ตั้งฉากกับโมเมนต์หลัก คุณสามารถเลือกจุดดังกล่าวเป็นศูนย์การลดลงได้ เกี่ยวกับ* ว่าช่วงเวลาหลักเกี่ยวกับจุดนี้และเวกเตอร์หลักจะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราแบ่งโมเมนต์ออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกมุ่งไปตามเวกเตอร์หลัก และอีกส่วนตั้งฉากกับเวกเตอร์หลัก ดังนั้น แรงคู่จะถูกแบ่งออกเป็นสองคู่ด้วยโมเมนต์: และ และระนาบของคู่แรกตั้งฉากกับ จากนั้นระนาบของคู่ที่สองซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ (รูปที่ 9) มีเวกเตอร์ . การรวมกันของคู่กับโมเมนต์และแรงก่อให้เกิดระบบของแรงซึ่งสามารถลดลงเหลือหนึ่งแรง (รูปที่ 8) ผ่านจุด O* ดังนั้น (รูปที่ 9) การรวมกันของเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักที่จุด เกี่ยวกับลดลงเป็นแรงผ่านจุด เกี่ยวกับ*และคู่ที่มีโมเมนต์ขนานกับเส้นนี้ ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ การรวมกันของแรงและคู่ที่มีระนาบตั้งฉากกับแนวการกระทำของแรงเรียกว่าไดนาโม (รูปที่ 10) แรงคู่หนึ่งสามารถแทนด้วยแรงที่เท่ากันสองแรง ( , ) ซึ่งแสดงอยู่ในรูปที่ 10 แต่เมื่อเพิ่มแรงทั้งสอง และ เราจะได้ผลรวมและแรงที่เหลือ ซึ่งจะตามมา (รูปที่ 10) การรวมกันของเวกเตอร์หลักและช่วงเวลาหลักในจุด เกี่ยวกับ, สามารถลดลงเหลือสองแรงที่ไม่ตัดกัน และ

ให้เราพิจารณาบางกรณีของการลดระบบกองกำลัง

1. ระบบกองกำลังแบน ให้กองกำลังทั้งหมดอยู่ในระนาบเพื่อความชัดเจน อ๊อกซี่. จากนั้นในกรณีทั่วไป

เวกเตอร์หลักไม่เป็นศูนย์ โมเมนต์หลักไม่เป็นศูนย์ ผลิตภัณฑ์ดอทของพวกมันเป็นศูนย์ จริง ๆ แล้ว

ดังนั้น เวกเตอร์หลักจึงตั้งฉากกับโมเมนต์หลัก: ระบบแรงแบบราบจะลดลงเป็นผลลัพท์

2. ระบบแรงคู่ขนาน ให้แรงทั้งหมดขนานกับแกนเพื่อความชัดเจน ออนซ์. จากนั้นในกรณีทั่วไป

นอกจากนี้ เวกเตอร์หลักไม่เป็นศูนย์ โมเมนต์หลักไม่เป็นศูนย์ และผลคูณสเกลาร์ของพวกมันเป็นศูนย์ แน่นอน

ดังนั้น ในกรณีนี้ เวกเตอร์หลักจะตั้งฉากกับโมเมนต์หลัก: ระบบของแรงคู่ขนานจะลดลงเป็นผลลัพธ์ ในกรณีเฉพาะ ถ้ามันมีค่าเท่ากับศูนย์ เวกเตอร์หลักของแรงจะเท่ากับศูนย์ และระบบของแรงจะลดลงเหลือคู่ของแรง ซึ่งเป็นเวกเตอร์โมเมนต์ที่อยู่ในระนาบ อ๊อกซี่. ตอนนี้เราจัดระบบกรณีที่พิจารณาแล้ว จำได้ว่าระบบแรงเชิงพื้นที่โดยพลการที่ใช้กับวัตถุแข็งนั้นเทียบเท่ากับแรงเท่ากับเวกเตอร์หลักที่ใช้ที่จุดโดยพลการของร่างกาย (ศูนย์ลด) และคู่ของแรงที่มีโมเมนต์เท่ากับโมเมนต์หลักของ ระบบของแรงที่สัมพันธ์กับศูนย์การลดลงที่ระบุ

พิจารณากรณีพิเศษของทฤษฎีบทก่อนหน้า

1. ถ้าสำหรับระบบแรงที่กำหนด R = 0, M 0 = 0 แสดงว่ามันอยู่ในสภาวะสมดุล

2. ถ้าสำหรับระบบแรงที่กำหนด R = 0, M 0  0 จากนั้นจะลดลงเหลือหนึ่งคู่พร้อมกับโมเมนต์ M 0 = m 0 (F i) ในกรณีนี้ ค่าของ M 0 ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของศูนย์ O

3. ถ้าสำหรับระบบแรงที่กำหนด R  0 จะลดลงเหลือหนึ่งผลลัพธ์ และถ้า R  0 และ M 0 = 0 ระบบจะถูกแทนที่ด้วยแรงเดียว เช่น ผลลัพธ์ R ผ่านจุดศูนย์กลาง O; ถ้า R  0 และ M 0  0 ระบบจะถูกแทนที่ด้วยแรงหนึ่งแรงที่ผ่านจุด C และ OS = d(OCR) และ d = |M 0 |/R

ดังนั้น ระบบแรงแบบราบ ถ้าไม่อยู่ในสภาวะสมดุล จะลดลงเหลือหนึ่งผลลัพธ์ (เมื่อ R  0) หรือหนึ่งคู่ (เมื่อ R = 0)

ตัวอย่างที่ 2 แรงที่ใช้กับดิสก์:

(รูปที่ 3.16) นำระบบกองกำลังนี้ไปสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุด

วิธีแก้ไข: เลือกระบบพิกัด Oxy สำหรับจุดศูนย์กลางของการลดลง เราเลือกจุด O เวกเตอร์หลัก R:

R x \u003d F ix \u003d -F 1 cos30 0 - F 2 cos30 0 + F 4 cos45 0 \u003d 0; ข้าว. 3.16

R y \u003d F iy \u003d -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 - F 3 + F 4 cos45 0 \u003d 0 ดังนั้น R \u003d 0

ช่วงเวลาหลักของระบบ M 0:

M 0: \u003d m 0 (F i) \u003d F 3 *a - F 4 *a * sin45 0 \u003d 0 โดยที่ a คือรัศมีของดิสก์

คำตอบ: R = 0; ม 0 = 0; ร่างกายอยู่ในภาวะสมดุล

นำระบบกองกำลัง F 1, F 2, F 3 มาสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุดในรูป (รูปที่ 3.17) แรง F 1 และ F 2 พุ่งไปคนละด้าน และแรง F 3 พุ่งไปตามแนวทแยงของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ซึ่งด้าน AD เท่ากับ a |ฉ 1 | = |ฉ 2 | = |F 3 |/2 = F.

วิธีแก้ไข: กำหนดแกนพิกัดตามที่แสดงในรูป เรากำหนดการฉายของแรงทั้งหมดบนแกนพิกัด:

โมดูลของเวกเตอร์หลัก R คือ:
;
.

โคไซน์ทิศทางจะเป็น:
;
.

ดังนั้น: (x, R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

เกี่ยวกับ ให้เราจำกัดช่วงเวลาหลักของระบบแรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลง A จากนั้น

m A \u003d m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3)

เมื่อพิจารณาว่า m A (F 1) \u003d m A (F 3) \u003d 0 เนื่องจากทิศทางของแรงผ่านจุด A ดังนั้น

ม A \u003d ม A (F 2) \u003d F * ก

ดังนั้นระบบของแรงจะลดลงเป็นแรง R และแรงคู่หนึ่งที่มีโมเมนต์ m A กำกับทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 3.18)

คำตอบ: R = 2F; (x, ^ R) \u003d 150 0; (y,^ R) = 60 0 ; ม. A = F*ก.

คำถามสำหรับการควบคุมตนเอง

โมเมนต์ของแรงเกี่ยวกับศูนย์กลางคืออะไร?

สองแรงคืออะไร?

นำระบบกองกำลังแบนโดยพลการไปยังศูนย์กลางที่กำหนด?

การบวกของแรงคู่ขนาน?

วรรณกรรม:,,.

การบรรยายครั้งที่ 4

รูปแบบพื้นฐานของสภาวะสมดุลสำหรับความสมดุลของระบบระนาบโดยพลการของแรง มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของเส้นโครงของแรงทั้งหมดในแต่ละแกนพิกัดทั้งสองและผลรวมของโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดๆ ที่อยู่ในระนาบการกระทำของ กองกำลังมีค่าเท่ากับศูนย์:

แก้ไข = 0; F iy = 0; m 0 (F ผม) = 0

รูปแบบที่สองของสภาวะสมดุล:สำหรับดุลยภาพของแรงในระบบแบนตามอำเภอใจ มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดเหล่านี้เทียบกับจุดศูนย์กลาง A และ B สองจุดใดๆ และผลรวมของเส้นโครงบนแกนวัวที่ไม่ตั้งฉากกับเส้นตรง AB เท่ากับศูนย์:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0;  แก้ไข = 0

รูปแบบที่สามของสภาวะสมดุล (สมการของสามช่วงเวลา):สำหรับความสมดุลของระบบแรงแบบแบนตามอำเภอใจ มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของแรงทั้งหมดเหล่านี้เทียบกับศูนย์สามจุด A, B, C ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวจะต้องเท่ากับศูนย์:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0

พี ตัวอย่างที่ 1 กำหนดปฏิกิริยาของการฝังคานเท้าแขนภายใต้การกระทำของโหลดที่กระจายอย่างสม่ำเสมอ แรงเข้มข้นหนึ่งแรงและแรงสองคู่ (รูปที่ 4.1) ความเข้มของโหลด q \u003d 3 * 10 4 H / m; F \u003d 4 * 10 4 H; ม. 1 \u003d 2 * 10 4 H * ม. ม. 2 \u003d 3 * 10 4 H * ม. BN = 3m; NC = 3m; CA = 4 ม.

ร สารละลาย:

ตามหลักการของการปลดปล่อยจากพันธะ เราจะแทนที่พันธะด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกัน ด้วยการผนึกอย่างแน่นหนาในผนัง แรงปฏิกิริยา R A ของทิศทางที่ไม่รู้จักและช่วงเวลาที่ไม่รู้จัก m A เกิดขึ้น (รูปที่ 4.2) เราแทนที่โหลดแบบกระจายด้วยแรงกระจุกตัวเทียบเท่า Q ที่จุด K (VK = 1.5 ม.) เราเลือกระบบพิกัด VHU และกำหนดเงื่อนไขสมดุลสำหรับลำแสงในรูปแบบหลัก:

แรงที่ฉายบนแกน X: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

บังคับเส้นโครงบนแกน Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

ผลรวมของช่วงเวลา: m A (F) \u003d m 1 - m 2 + m A + Q * KA + F ”* CA \u003d 0 (3)

เราสลายแรง F ที่จุด C ออกเป็นสองส่วนที่ตั้งฉากกัน F” และ F ’; แรง F’ ไม่ได้สร้างโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับจุด A เนื่องจากแนวแรงกระทำผ่านจุด A โมดูลัสของแรง F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2

การแทนค่าตัวเลขลงในสมการ (1), (2) และ (3) เราได้:

มีสามสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบสมการสามสมการนี้ ดังนั้นระบบจึงมีคำตอบและยิ่งกว่านั้นมีเพียงสมการเดียวเท่านั้น

4*10 4 *0.7 = R ขวาน R ขวาน = 2.8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0.7 + R อาย = 0 R อาย = 11.8*10 4 ชั่วโมง

ม. A – 10 4 + 3*10 4 *3*8.5 + 4*10 4 *2.8 = 0 ม. A = - 86.8*10 4 H*ม.

คำตอบ: R ขวาน \u003d 2.8 * 10 4 H; R Ay \u003d 11.8 * 10 4 H; ม. A \u003d - 86.8 * 10 4 H * ม.

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดปฏิกิริยาของส่วนรองรับ A, B, C และบานพับ D ของคานประกอบ (รูปที่ 4.3)

ถาม \u003d 1.75 * 10 4 H / m; F \u003d 6 * 10 4 H; P \u003d 5 * 10 4 ชม.

วิธีแก้ปัญหา: ตามหลักการของการปลดปล่อยจากพันธะ เราจะแทนที่พันธะด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกัน

เราแทนที่โหลดแบบกระจาย q ด้วยแรงเข้มข้นเทียบเท่า Q = q * KA ที่จุด M (AM = 2m) จำนวนของแรงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบสาเหตุ: R Ax , R Ay , R B , RC และแรงปฏิกิริยาของส่วนประกอบสองคู่ในบานพับ D

ร ให้เราพิจารณาปฏิกิริยาในบานพับ D แยกกัน ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณาคาน AD และ DE แยกกัน (รูปที่ 4.5a, 4.5b)

ตามกฎข้อที่สามของนิวตันในบานพับ D ระบบของแรง R Dx และ R Dy กระทำบนลำแสง KD และระบบแรงตรงข้ามกระทำกับลำแสง DE: R' Dx และ R' Dy และโมดูลของแรง มีค่าเท่ากันคือ R Dx = R Dx และ R Dy = R Dy นี่คือแรงภายในของลำแสงคอมโพสิต ดังนั้นจำนวนของแรงปฏิกิริยาที่ไม่รู้จักคือหก ในการตรวจสอบจำเป็นต้องสร้างสมการอิสระหกสมการของสภาวะสมดุล ตัวเลือกต่อไปนี้สำหรับการรวบรวมสมการของรัฐเป็นไปได้

เราสร้างเงื่อนไขสมดุลสำหรับโครงสร้างทั้งหมด (3 สมการ) และสำหรับองค์ประกอบแยกต่างหากของโครงสร้างนี้: คาน KD หรือคาน DE เมื่อรวบรวมสมการดุลยภาพสำหรับโครงสร้างทั้งหมด แรงภายในจะไม่ถูกนำมาพิจารณา เนื่องจากเมื่อรวมกันแล้วพวกมันจะหักล้างกันเอง

สมการสภาวะสมดุลสำหรับโครงสร้างทั้งหมด:

R ขวาน – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay - Fsin60 0 + R B + RC - P = 0

m A (F) = Q*m A - Fsin60 0 *AN + R B *AB + RC *AC - P*AE = 0

สมการสภาวะสมดุลสำหรับองค์ประกอบ DE:

R’ ได , + RC – P*DE = 0

MD (F) = RC *DC - P*DE = 0

ดังนั้น สมการอิสระ 6 สมการที่มีนิรนาม 6 สมการจึงประกอบขึ้น ดังนั้นระบบสมการจึงมีคำตอบ และยิ่งกว่านั้นมีเพียงสมการเดียวเท่านั้น การแก้ระบบสมการ เรากำหนดแรงปฏิกิริยาที่ไม่รู้จัก

ปล่อยให้แรงหลายคู่ที่มีช่วงเวลาที่กระทำในระนาบต่างๆ ถูกนำไปใช้กับร่างกายที่แข็งกระด้างพร้อมๆ กัน ระบบคู่นี้สามารถลดลงเป็นรูปแบบที่เรียบง่ายได้หรือไม่? ปรากฎว่าเป็นไปได้ และคำตอบนั้นเสนอโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้ในการบวกสองคู่

ทฤษฎีบท. แรงสองคู่ที่กระทำในระนาบที่แตกต่างกันจะเทียบเท่ากับแรงคู่หนึ่งที่มีโมเมนต์เท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของโมเมนต์ของคู่ที่กำหนด

ให้ทั้งคู่ได้รับช่วงเวลาและ (รูปที่ 36a) เราสร้างระนาบสองระนาบที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์เหล่านี้ (ระนาบของการกระทำของคู่) และโดยเลือกบางส่วน AB บนเส้นตัดกันของระนาบเลยไหล่ทั่วไปของทั้งคู่ เราสร้างคู่ที่สอดคล้องกัน: (รูปที่ 36 , ข).

เราสามารถเขียนตามนิยามโมเมนต์ของคู่ได้

ที่จุด A และ B เรามีแรงมาบรรจบกัน การใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานแรง (สัจพจน์ 3) เราจะได้:

คู่ที่กำหนดจะเทียบเท่ากับแรงสองแรงที่ก่อตัวเป็นคู่ ดังนั้น ทฤษฎีบทส่วนแรกจึงได้รับการพิสูจน์ ส่วนที่สองของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์โดยการคำนวณโมเมนต์ของคู่ผลลัพธ์โดยตรง:

หากเป็นจำนวนคู่ ให้เพิ่มเป็นคู่ตามทฤษฎีบทนี้ จำนวนคู่ใดๆ จะลดลงเหลือหนึ่งคู่ เป็นผลให้เราได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้: ชุด (ระบบ) ของคู่ของแรงที่ใช้กับร่างกายที่เข้มงวดอย่างยิ่งสามารถลดลงเหลือหนึ่งคู่โดยมีโมเมนต์เท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของโมเมนต์ของคู่ที่กำหนดทั้งหมด

ในทางคณิตศาสตร์ สามารถเขียนได้ดังนี้

บนมะเดื่อ 37 ให้ภาพประกอบทางเรขาคณิตของผลลัพธ์ที่ได้

สำหรับสมดุลของแรงคู่นั้น กำหนดให้โมเมนต์ของคู่ผลลัพธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งนำไปสู่ความเท่ากัน

เงื่อนไขนี้สามารถแสดงในรูปแบบเรขาคณิตและการวิเคราะห์ เงื่อนไขทางเรขาคณิตสำหรับสมดุลของแรงคู่: เพื่อให้ระบบของแรงคู่อยู่ในสมดุล มีความจำเป็นและเพียงพอที่รูปหลายเหลี่ยมเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นจากช่วงเวลาของคู่ทั้งหมดจะถูกปิด

เงื่อนไขการวิเคราะห์สำหรับคู่ของแรงสมดุล: เพื่อให้ระบบของแรงคู่อยู่ในสมดุล มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลบวกเชิงพีชคณิตของเส้นโครงของโมเมนต์เวกเตอร์ของคู่ทั้งหมดบนแกนพิกัดที่เลือกโดยพลการ Oxyz เท่ากับศูนย์:

หากคู่ทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน นั่นคือ ก่อตัวเป็นระบบคู่แบบราบ จะได้เงื่อนไขสมดุลเชิงวิเคราะห์เพียงเงื่อนไขเดียว ผลรวมของโมเมนต์เชิงพีชคณิตของคู่จะเท่ากับศูนย์

คำถามสำหรับการตรวจสอบตนเอง

1. กฎรูปหลายเหลี่ยมกำลังคืออะไร? รูปหลายเหลี่ยมแรงใช้สำหรับอะไร?

2. จะหาผลลัพธ์ของแรงบรรจบกันด้วยวิธีการวิเคราะห์ได้อย่างไร?

3. สภาวะทางเรขาคณิตสำหรับสมดุลของแรงบรรจบกันคืออะไร? เงื่อนไขนี้มีสูตรวิเคราะห์อย่างไร?

4. กำหนดทฤษฎีบทสามแรง

5. ปัญหาใดของสถิตยศาสตร์ที่เรียกว่ากำหนดโดยคงที่และปัญหาใดที่เรียกว่าไม่กำหนดโดยคงที่ ยกตัวอย่างปัญหาที่ไม่แน่นอนทางสแตติก

6. กองกำลังคู่เรียกว่าอะไร?

7. โมเมนต์ (โมเมนต์เวกเตอร์) ของแรงคู่หนึ่งเรียกว่าอะไร ทิศทาง โมดูล และจุดของการประยุกต์ใช้ในขณะนี้คืออะไร?

8. โมเมนต์เชิงพีชคณิตของคู่เรียกว่าอะไร

9. กำหนดกฎสำหรับการเพิ่มคู่ที่อยู่ในพื้นที่โดยพลการ

10. เวกเตอร์ เรขาคณิต และเงื่อนไขเชิงวิเคราะห์สำหรับสมดุลของระบบคู่แรงคืออะไร?

กรณี I.

ถ้าเวกเตอร์หลักของระบบแรงมีค่าเท่ากับศูนย์และโมเมนต์หลักเทียบกับจุดศูนย์กลางการลดเท่ากับศูนย์ แสดงว่าแรงนั้นสมดุลกัน

กรณีที่สอง

หากเวกเตอร์หลักของระบบแรงมีค่าเท่ากับศูนย์ และโมเมนต์หลักเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางการลดไม่เท่ากับศูนย์ แรงนั้นจะลดลงเหลือคู่ของแรง โมเมนต์ของแรงคู่นี้เท่ากับโมเมนต์หลักของระบบแรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลง

ในกรณีนี้ ช่วงเวลาหลักของระบบแรงที่เกี่ยวกับทุกจุดในอวกาศจะเท่ากันทางเรขาคณิต

กรณีที่สาม

หากเวกเตอร์หลักของระบบแรงไม่เท่ากับศูนย์ และโมเมนต์หลักที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางการลดเท่ากับศูนย์ แรงนั้นจะลดลงไปยังผลลัพธ์ ซึ่งแนวของการกระทำที่ผ่านจุดศูนย์กลางของ ผี.

กรณีที่สี่ และ .

หากช่วงเวลาหลักของระบบของแรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลงนั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์หลัก แรงนั้นจะลดลงไปยังผลลัพธ์ ซึ่งแนวของการกระทำจะไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของการลด (รูปที่ 145) .

กรณี V. และ .

หากโมเมนต์หลักของระบบแรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางการลดไม่ตั้งฉากกับเวคเตอร์หลัก แรงนั้นจะลดลงเหลือสองแรงที่ตัดกันหรือกับสกรูกำลัง (ไดนาโม) เช่น เป็นการรวมกันของแรงและคู่ของแรงที่มีระนาบตั้งฉากกับแรงนั้น

ลดแรงข้ามสองแรง (รูปที่ 147):

สมการสมดุลของระบบแรงต่างๆ

สำหรับกองกำลังที่ตั้งโดยพลการในอวกาศ สภาวะสมดุลสองเงื่อนไขสอดคล้องกัน:

โมดูลของช่วงเวลาหลักและเวกเตอร์หลักสำหรับระบบแรงที่พิจารณานั้นถูกกำหนดโดยสูตร:

เงื่อนไขเป็นไปตามสมการพื้นฐานหกสมการที่สอดคล้องกันของความสมดุลของแรงซึ่งอยู่ในอวกาศโดยพลการ:

สมการสามตัวแรกเรียกว่าสมการของโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด และสามสมการสุดท้ายคือสมการของเส้นโครงของแรงบนแกน

รูปแบบของสมการสมดุลสำหรับระบบระนาบของแรง

สำหรับแรงที่ตั้งโดยพลการบนระนาบ มีเงื่อนไขสมดุลสองเงื่อนไข:

เงื่อนไขสองประการสำหรับความสมดุลของแรงที่ตั้งโดยพลการบนระนาบสามารถแสดงเป็นระบบสมการสามสมการ:

สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการพื้นฐานสำหรับความสมดุลของระบบระนาบของแรง ศูนย์กลางของช่วงเวลาและทิศทางของแกนพิกัดสำหรับระบบสมการนี้สามารถเลือกได้ตามอำเภอใจ

มีอีกสองระบบจากสามสมการของระบบแรง

ในขณะเดียวกันแกนในระบบ ยูจะต้องไม่ตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด A และ B

เนื่องจากช่วงเวลาหลักของระบบแรงที่เกี่ยวกับศูนย์สองศูนย์มีค่าเท่ากับศูนย์ ระบบของแรงที่พิจารณาจึงไม่ลดลงเป็นแรงคู่ เส้นโครงของผลลัพธ์บนแกนใด ๆ จะเท่ากับผลรวมของเส้นโครงของแรงประกอบ เช่น ดังนั้น ผลลัพธ์ที่คาดคะเน ดังนั้น ระบบแรงจึงไม่ลดลงเหลือคู่ของแรงหรือผลที่ตามมา ดังนั้น จึงมีความสมดุล

โดยที่จุด A, B, C ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ในกรณีนี้ แรงจะไม่ลดลงเป็นแรงคู่ เนื่องจากช่วงเวลาหลักของแรงรอบศูนย์กลางทั้งสามมีค่าเท่ากับศูนย์ แรงจะไม่ลดลงเป็นผลลัพธ์เช่นกัน เนื่องจากหากมีอยู่ แนวปฏิบัติของแรงนั้นจะไม่สามารถผ่านจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ดังนั้นระบบของแรงจึงไม่ลดลงเป็นแรงคู่หรือแรงผลลัพธ์ ดังนั้นจึงมีความสมดุล

ศูนย์กลางของกองกำลังคู่ขนาน

เมื่อเพิ่มแรงขนานสองแรง แรงคู่ขนานสองแรงจะลดลงเป็นแรงเดียว - แรงลัพธ์ ซึ่งเป็นแนวของการกระทำที่ขนานไปกับแนวการกระทำของแรง ผลลัพธ์จะถูกนำไปใช้ที่จุดที่แบ่งเส้นตรงที่ระยะทางแปรผกผันกับขนาดของแรง

เนื่องจากสามารถถ่ายโอนแรงไปตามแนวของแรงกระทำได้ จึงไม่ได้กำหนดจุดใช้งานของผลลัพธ์ หากแรงหมุนผ่านมุมเดียวกันและแรงถูกเพิ่มอีกครั้ง เราจะได้ทิศทางที่แตกต่างกันของแนวการกระทำของผลลัพธ์ จุดตัดของเส้นผลลัพธ์ทั้งสองนี้ถือเป็นจุดใช้งานของผลลัพธ์ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนตำแหน่งเมื่อแรงทั้งหมดหมุนพร้อมกันผ่านมุมเดียวกัน จุดดังกล่าวเรียกว่าศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน