เครื่องหมาย ส่วนประกอบ และคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ป้าย ส่วนประกอบและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สามเหลี่ยมหน้าจั่ว คำอธิบายสั้น ๆ และสูตรพื้นฐาน

ในบรรดาสามเหลี่ยมทั้งหมด มีสองประเภทพิเศษ: สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เหตุใดรูปสามเหลี่ยมประเภทนี้จึงมีความพิเศษ ประการแรกสามเหลี่ยมดังกล่าวมักจะกลายเป็นตัวแสดงหลักในงานของการตรวจสอบสถานะแบบครบวงจรในส่วนแรก ประการที่สอง ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมหน้าจั่วแก้ได้ง่ายกว่าปัญหาอื่นๆ ในเรขาคณิต คุณเพียงแค่ต้องรู้กฎและคุณสมบัติบางประการ สิ่งที่น่าสนใจที่สุดถูกกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง และตอนนี้เราจะพิจารณาสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก่อนอื่น สามเหลี่ยมหน้าจั่วคืออะไร หรืออย่างที่นักคณิตศาสตร์บอก นิยามของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคืออะไร?

ดูว่ามีลักษณะอย่างไร:

เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีชื่อพิเศษด้านข้าง สองด้านเท่ากันเรียกว่า ข้างและบุคคลที่สาม พื้นฐาน.

และดูภาพอีกครั้ง:

แน่นอนว่าอาจเป็นแบบนี้:

ดังนั้นจงระวัง: ด้าน - หนึ่งในสอง ด้านเท่ากัน ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และ พื้นฐานคือบุคคลที่สาม

ทำไมสามเหลี่ยมหน้าจั่วถึงดีมาก? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้วาดความสูงไปที่ฐาน จำความสูงได้มั้ยคะ?

เกิดอะไรขึ้น? จากสามเหลี่ยมหน้าจั่วหนึ่งอัน สามเหลี่ยมมุมฉากสองอันปรากฏออกมา

สิ่งนี้ดีอยู่แล้ว แต่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นกับสามเหลี่ยมที่ "เฉียง" ที่สุด

อะไรคือความแตกต่างระหว่างรูปภาพสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว? ดูอีกครั้ง:

อย่างแรกเลย แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์แปลก ๆ เหล่านี้เพิ่งจะมองเห็นไม่เพียงพอ - พวกเขาต้องพิสูจน์อย่างแน่นอน แล้วทันใดนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้ก็แตกต่างกันเล็กน้อย และเราจะพิจารณาพวกมันเหมือนกัน

แต่อย่ากังวล ในกรณีนี้ การพิสูจน์นั้นง่ายพอๆ กับการมองเห็น

เราควรจะเริ่มเลย? ดูให้ดี เรามี:

และดังนั้นจึง,! ทำไม? ใช่ เราเพิ่งค้นพบและจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (จำได้พร้อมๆ กันว่า)

คุณแน่ใจไหม? ตอนนี้เรามี

และทั้งสามด้าน - เครื่องหมายที่ง่ายที่สุด (ที่สาม) ของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมหน้าจั่วของเราแบ่งออกเป็นสองสี่เหลี่ยมที่เหมือนกัน

ดูน่าสนใจแค่ไหน? ปรากฎว่า:

เป็นเรื่องปกติที่นักคณิตศาสตร์จะพูดถึงเรื่องนี้อย่างไร ไปตามลำดับ:

(เราจำได้ว่าค่ามัธยฐานคือเส้นที่ลากจากจุดยอดที่ผ่าด้านข้าง และเส้นแบ่งครึ่งคือมุม)

ทีนี้ เรามาคุยกันถึงสิ่งที่ดีที่สามารถเห็นได้ถ้าให้สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เราได้อนุมานว่าในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน และความสูง แบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานที่วาดไปยังฐานเท่ากัน

และตอนนี้มีคำถามอื่นเกิดขึ้น: จะรู้จักสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร? นั่นคือตามที่นักคณิตศาสตร์พูดว่าอะไรคือ สัญญาณของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว?

และปรากฎว่าคุณต้อง "เปิด" ข้อความทั้งหมดในทางตรงกันข้าม แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป แต่สามเหลี่ยมหน้าจั่วยังคงเป็นสิ่งที่ดี! จะเกิดอะไรขึ้นหลังจากการ "พลิกกลับ"?

ดูที่นี่:
หากความสูงและค่ามัธยฐานเท่ากัน ให้ทำดังนี้

หากส่วนสูงและแบ่งครึ่งเท่ากัน ให้ทำดังนี้


หากแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐานเท่ากัน แสดงว่า:

อย่าลืมและใช้:

• หากให้สามเหลี่ยมหน้าจั่ว อย่าลังเลที่จะวาดความสูง หาสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปแล้วแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีอยู่แล้ว
• ถ้าให้มา สองมุมเท่ากันแล้วสามเหลี่ยม อย่างแน่นอนหน้าจั่วและคุณสามารถวาดความสูงและ .... (บ้านที่แจ็คสร้าง ... )
• หากปรากฎว่าความสูงถูกแบ่งครึ่งโดยด้านข้าง สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นหน้าจั่วพร้อมโบนัสที่ตามมาทั้งหมด
• หากปรากฎว่าความสูงแบ่งมุมกับพื้น - หน้าจั่วด้วย!
• หากแบ่งครึ่งด้านครึ่งหรือค่ามัธยฐาน - มุม สิ่งนี้ก็เกิดขึ้นเช่นกัน เท่านั้นในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เรามาดูกันว่ามันมีลักษณะอย่างไรในงาน

งาน 1(ง่ายที่สุด)

ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและเท่ากัน ก. หา.

เราตัดสินใจ:

ขั้นแรกให้วาดรูป

อะไรคือพื้นฐานที่นี่? แน่นอน, .

เราจำได้ว่าถ้าแล้วและ

อัปเดตภาพวาด:

มากำหนดกันสำหรับ ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมคืออะไร? ?

เราใช้:

นั่นมัน คำตอบ: .

ง่ายใช่มั้ย? ฉันไม่ต้องไปสูง

งาน2(ไม่ยุ่งยากมาก แต่คุณต้องทำซ้ำธีม)

ในรูปสามเหลี่ยม หา.

เราตัดสินใจ:

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว! เราวาดความสูง (นี่คือจุดสนใจด้วยความช่วยเหลือซึ่งทุกอย่างจะถูกตัดสินในตอนนี้)

ตอนนี้ "เราลบออกจากชีวิต" เราจะพิจารณาเท่านั้น

ดังนั้นในเรามี:

เราจำได้ ค่าตารางโคไซน์ (ดีหรือดูที่แผ่นโกง ... )

มันยังคงพบ: .

ตอบ: .

สังเกตว่าเราอยู่ที่นี่ มากความรู้ที่จำเป็นเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากและไซน์และโคไซน์ "ตาราง" บ่อยครั้งสิ่งนี้เกิดขึ้น: หัวข้อ "Isoceles Triangle" และในปริศนาจะรวมกันเป็นชุด แต่ไม่ค่อยเป็นมิตรกับหัวข้ออื่น ๆ

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ระดับกลาง.

เหล่านี้ สองด้านเท่ากันเรียกว่า ข้าง, แ ด้านที่สามเป็นฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ดูภาพ: และ - ด้านข้าง - ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ลองดูในภาพเดียวว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น วาดความสูงจากจุด

ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมดมีค่าเท่ากัน

ทุกอย่าง! ในครั้งเดียวถลาลง (ความสูง) ข้อความทั้งหมดได้รับการพิสูจน์ในครั้งเดียว

และคุณจำไว้: ในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มักจะมีประโยชน์มากในการลดความสูงไปที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และแบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากัน

สัญญาณของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:

ข้อความเหล่านี้เกือบทั้งหมดสามารถพิสูจน์ได้อีกครั้งว่า "ในคราวเดียว"

1. ให้ v ออกมาเท่ากัน และ

มาดูส่วนสูงกัน แล้ว

2. ก) ตอนนี้ให้ในรูปสามเหลี่ยม สูงเท่ากัน.

2. b) และถ้าส่วนสูงและค่ามัธยฐานเท่ากัน? ทุกอย่างเกือบจะเหมือนกัน ไม่มีอะไรซับซ้อนไปกว่านี้อีกแล้ว!

- สองขา

2. ค) แต่ถ้าไม่มีความสูงซึ่งถูกลดระดับลงไปที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะไม่มีสามเหลี่ยมมุมฉากในตอนแรก แย่!

แต่มีทางออก - อ่านมันในทฤษฎีระดับถัดไป เพราะการพิสูจน์ที่นี่ซับซ้อนกว่า แต่สำหรับตอนนี้ จำไว้ว่าถ้าค่ามัธยฐานและครึ่งแบ่งครึ่งตรงกัน สามเหลี่ยมก็จะเป็นหน้าจั่วด้วย และความสูงจะเท่ากัน ยังคงตรงกับเส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐานเหล่านี้

เพื่อสรุป:

1. หากสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานจะเท่ากัน และความสูง ครึ่งวงกลม และค่ามัธยฐานที่วาดไปยังฐานจะเท่ากัน
2. หากในสามเหลี่ยมบางรูปมีสองมุมเท่ากัน หรือสองในสามเส้น (แบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน ความสูง) ตรงกัน แสดงว่าสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว คำอธิบายสั้น ๆ และสูตรพื้นฐาน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน

สัญญาณของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

1. ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีสองมุมเท่ากัน แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว
2. หากเป็นรูปสามเหลี่ยมตรง:
   ก) ส่วนสูงและแบ่งครึ่งหรือ
   ข) ความสูงและค่ามัธยฐานหรือ
   วี) ค่ามัธยฐานและครึ่งเสี้ยว,
   วาดไปด้านใดด้านหนึ่งจากนั้นสามเหลี่ยมดังกล่าวจะเป็นหน้าจั่ว

บทความที่เหลือ 2/3 มีให้สำหรับนักเรียนที่ฉลาดเท่านั้น!

มาเป็นนักเรียนของ YouClever

เตรียมความพร้อมสำหรับ OGE หรือ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ในราคา "กาแฟหนึ่งแก้วต่อเดือน"

และยังเข้าถึงหนังสือเรียน "YouClever" ได้ไม่จำกัด, โปรแกรมฝึกอบรม "100gia" (หนังสือโซลูชัน), USE และ OGE รุ่นทดลองใช้ไม่จำกัดจำนวน, งาน 6000 งานพร้อมการวิเคราะห์โซลูชันและบริการอื่นๆ ของ YouClever และ 100gia

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วแสดงทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 2 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและความสูง

ทฤษฎีบทที่ 3 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ลากไปที่ฐานคือเส้นแบ่งครึ่งและความสูง

ทฤษฎีบทที่ 4 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ความสูงที่ลากไปที่ฐานคือเส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐาน

ให้เราพิสูจน์หนึ่งในนั้น เช่น ทฤษฎีบท 2.5

การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC ที่มีฐาน BC และพิสูจน์ว่า ∠ B = ∠ C ให้ AD เป็นตัวแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 1) สามเหลี่ยม ABD และ ACD เท่ากันตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม (AB = AC ตามเงื่อนไข AD คือด้านร่วม ∠ 1 = ∠ 2 เนื่องจาก AD ​​คือครึ่งครึ่ง) ตามมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ที่ ∠ B = ∠ C. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

โดยใช้ทฤษฎีบท 1 เราสร้างทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 5. เกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม หากด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งด้านเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน (รูปที่ 2)

ความคิดเห็น ประโยคที่กำหนดในตัวอย่างที่ 1 และ 2 แสดงคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน จากข้อเสนอเหล่านี้ว่า เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านข้างของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง.

ตัวอย่างที่ 1พิสูจน์ว่าจุดของระนาบห่างจากปลายส่วนเท่ากันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนี้

สารละลาย. ให้จุด M อยู่ห่างจากจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์ AB เท่ากัน (รูปที่ 3) นั่นคือ AM = VM

จากนั้น ΔAMV คือหน้าจั่ว ให้เราลากเส้น p ผ่านจุด M และจุดกึ่งกลาง O ของส่วน AB โดยการสร้าง เซ็กเมนต์ MO เป็นค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AMB ดังนั้น (ทฤษฎีบท 3) และความสูง กล่าวคือ เส้นตรง MO คือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับเซกเมนต์ AB

ตัวอย่าง 2พิสูจน์ว่าแต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนนั้นห่างจากปลายของมันเท่ากัน

สารละลาย. ให้ p เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน AB และจุด O เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB (ดูรูปที่ 3)

พิจารณาจุดใดก็ได้ M ที่อยู่บนเส้น p มาวาดส่วน AM และ VM กัน สามเหลี่ยม AOM และ VOM เท่ากัน เนื่องจากมุมของพวกมันที่จุดยอด O เป็นเส้นตรง ขา OM เป็นเรื่องปกติ และขา OA เท่ากับขา OB ตามเงื่อนไข จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม AOM และ BOM จะได้ว่า AM = BM

ตัวอย่างที่ 3ในรูปสามเหลี่ยม ABC (ดูรูปที่ 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; ในรูปสามเหลี่ยม DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

เปรียบเทียบสามเหลี่ยม ABC และ DEF หามุมที่เท่ากัน

สารละลาย. สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากันในเกณฑ์ที่สาม ดังนั้น มุมเท่ากัน: A และ E (อยู่ตรงข้ามกับด้านเท่ากัน BC และ FD), B และ F (อยู่ตรงข้ามกับด้านเท่ากัน AC และ DE), C และ D (อยู่ตรงข้ามกับด้านเท่ากัน AB และ EF)

ตัวอย่างที่ 4ในรูปที่ 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °

หามุม D

สารละลาย. พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และ ADC มีค่าเท่ากันในคุณลักษณะที่สาม (AB = DC, BC = AD โดยเงื่อนไขและด้าน AC เป็นเรื่องปกติ) จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ จะเป็นไปตามที่ ∠ B = ∠ D แต่มุม B คือ 100° ดังนั้นมุม D คือ 100°

ตัวอย่างที่ 5ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC ที่มีฐาน AC มุมภายนอกที่จุดยอด C คือ 123° หามุม ABC ให้คำตอบเป็นองศา

โซลูชันวิดีโอ

นักประวัติศาสตร์คนแรกของอารยธรรมของเรา - ชาวกรีกโบราณ - กล่าวถึงอียิปต์ว่าเป็นแหล่งกำเนิดของเรขาคณิต เป็นการยากที่จะไม่เห็นด้วยกับพวกเขาโดยรู้ว่าสุสานยักษ์ของฟาโรห์ถูกสร้างขึ้นอย่างแม่นยำเพียงใด การจัดเรียงระนาบของปิรามิดร่วมกัน สัดส่วน การวางแนวไปยังจุดสำคัญ - เป็นเรื่องที่คิดไม่ถึงที่จะบรรลุความสมบูรณ์แบบดังกล่าวโดยไม่ทราบพื้นฐานของเรขาคณิต

คำว่า "เรขาคณิต" สามารถแปลได้ว่า "การวัดโลก" ยิ่งกว่านั้นคำว่า "โลก" ไม่ได้ทำหน้าที่เป็นดาวเคราะห์ - part ระบบสุริยะแต่เป็นเครื่องบิน ทำเครื่องหมายพื้นที่สำหรับการบำรุงรักษา เกษตรกรรมน่าจะเป็นพื้นฐานดั้งเดิมของวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตประเภทและคุณสมบัติของมัน

สามเหลี่ยมเป็นรูปเชิงพื้นที่ที่ง่ายที่สุดของ planimetry มีเพียงสามจุด - จุดยอด (ไม่มีน้อยไปกว่านี้) รากฐานของฐานรากอาจเป็นเพราะเหตุใดจึงดูเหมือนว่ามีบางสิ่งลึกลับและเก่าแก่อยู่ในนั้น ตาที่มองเห็นได้หมดภายในรูปสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสัญญาณลึกลับที่รู้จักกันเร็วที่สุด และภูมิศาสตร์ของการกระจายและกรอบเวลาของมันก็น่าทึ่งมาก ตั้งแต่อียิปต์โบราณ สุเมเรียน แอซเท็ก และอารยธรรมอื่นๆ ไปจนถึงชุมชนสมัยใหม่ของคนรักไสยศาสตร์ที่กระจัดกระจายอยู่ทั่วโลก

สามเหลี่ยมคืออะไร

สามเหลี่ยมมุมฉากธรรมดาคือปิด รูปทรงเรขาคณิตประกอบด้วยสามส่วนที่มีความยาวต่างกันและมีมุมสามมุมซึ่งไม่มีส่วนที่เป็นเส้นตรง นอกจากนี้ยังมีชนิดพิเศษอีกหลายชนิด

สามเหลี่ยมแหลมมีมุมทั้งหมดน้อยกว่า 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทุกมุมของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมแหลม

สามเหลี่ยมมุมฉากที่เด็กนักเรียนร้องไห้ตลอดเวลาเพราะทฤษฎีบทมากมาย มีมุมเดียวที่มีค่า 90 องศาหรือที่เรียกว่ามุมขวา

สามเหลี่ยมป้านมีความโดดเด่นด้วยความจริงที่ว่ามุมหนึ่งของมันคือมุมป้าน นั่นคือ ค่าของมันมากกว่า 90 องศา

สามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้านสามด้านที่มีความยาวเท่ากัน ในรูปดังกล่าว ทุกมุมก็เท่ากัน

และสุดท้าย ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีสามด้าน สองมีค่าเท่ากัน

คุณสมบัติที่โดดเด่น

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วยังกำหนดหลัก ความแตกต่างที่สำคัญ - ความเท่าเทียมกันของทั้งสองฝ่าย ด้านที่เท่ากันเหล่านี้มักเรียกว่าสะโพก (หรือบ่อยครั้งกว่าคือด้านข้าง) แต่ด้านที่สามเรียกว่า "ฐาน"

ในรูปที่พิจารณา a = b

เครื่องหมายที่สองของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามมาจากทฤษฎีบทไซน์ เนื่องจากด้าน a และ b เท่ากัน ไซน์ของมุมตรงข้ามของพวกมันจึงเท่ากัน:

a/sin γ = b/sin α ดังนั้นเราจึงมี: sin γ = sin α

จากความเท่าเทียมกันของไซน์จะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของมุม: γ = α

ดังนั้น เครื่องหมายที่สองของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือความเท่ากันของมุมสองมุมที่อยู่ติดกับฐาน

สัญญาณที่สาม ในรูปสามเหลี่ยม องค์ประกอบต่างๆ เช่น ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานมีความโดดเด่น

หากในกระบวนการแก้ปัญหาปรากฎว่าในรูปสามเหลี่ยมที่กำลังพิจารณา องค์ประกอบสองส่วนนี้ตรงกัน: ความสูงกับเส้นแบ่งครึ่ง แบ่งครึ่งด้วยค่ามัธยฐาน ค่ามัธยฐานกับความสูง - เราสามารถสรุปได้ว่าสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คุณสมบัติทางเรขาคณิตของตัวเลข

1. คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว หนึ่งใน คุณสมบัติที่โดดเด่นรูปคือความเสมอภาคของมุมที่อยู่ติดกับฐาน:

<ВАС = <ВСА.

2. คุณสมบัติอื่นที่กล่าวถึงข้างต้น: ค่ามัธยฐาน แบ่งครึ่ง และความสูงในสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน หากสร้างจากยอดถึงฐาน

3. ความเท่าเทียมกันของเส้นแบ่งครึ่งที่ดึงมาจากจุดยอดที่ฐาน:

ถ้า AE เป็นตัวแบ่งครึ่งของมุม BAC และ CD เป็นตัวแบ่งครึ่งของมุม BCA ดังนั้น: AE = DC

4. คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วยังให้ความเท่าเทียมกันของความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดที่ฐาน

หากเราสร้างความสูงของสามเหลี่ยม ABC (โดยที่ AB = BC) จากจุดยอด A และ C ดังนั้นส่วนที่เป็นผลลัพธ์ของ CD และ AE จะเท่ากัน

5. ค่ามัธยฐานที่ลากจากมุมที่ฐานก็จะออกมาเท่ากัน

ดังนั้น ถ้า AE และ DC เป็นค่ามัธยฐาน นั่นคือ AD = DB และ BE = EC ดังนั้น AE = DC

ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ความเท่าเทียมกันของด้านและมุมที่พวกเขาแนะนำคุณสมบัติบางอย่างในการคำนวณความยาวขององค์ประกอบของตัวเลขในคำถาม

ความสูงในสามเหลี่ยมหน้าจั่วแบ่งรูปออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสมมาตร 2 รูป ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน ความสูงในกรณีนี้ถูกกำหนดตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นขา

สามเหลี่ยมสามารถมีด้านทั้งสามเท่ากันได้จากนั้นจึงเรียกว่าด้านเท่า ความสูงในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน เพียงสำหรับการคำนวณ ก็เพียงพอที่จะทราบค่าเดียวเท่านั้น - ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมนี้

คุณสามารถกำหนดความสูงได้อีกทางหนึ่ง เช่น การรู้ฐานและมุมที่อยู่ติดกัน

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ประเภทของสามเหลี่ยมที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เนื่องจากคุณลักษณะทางเรขาคณิต จะแก้ไขได้ง่ายๆ ด้วยชุดข้อมูลเริ่มต้นขั้นต่ำ เนื่องจากค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีค่าเท่ากับทั้งความสูงและครึ่งวงกลม อัลกอริทึมในการพิจารณาหาค่ามันจึงไม่แตกต่างจากลำดับในการคำนวณองค์ประกอบเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น คุณสามารถกำหนดความยาวของค่ามัธยฐานโดยทราบด้านด้านข้างและค่าของมุมที่จุดยอด

วิธีการกำหนดปริมณฑล

เนื่องจากตัวเลขเชิงระนาบที่พิจารณาอยู่มีสองด้านเท่ากันเสมอ ดังนั้น การหาเส้นรอบรูปก็เพียงพอแล้วที่จะทราบความยาวของฐานและความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง

ลองพิจารณาตัวอย่างเมื่อคุณต้องการกำหนดเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากฐานและความสูงที่ทราบ

เส้นรอบวงเท่ากับผลรวมของฐานและความยาวของด้านเป็นสองเท่า ด้านด้านข้างถูกกำหนดโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ความยาวเท่ากับสแควร์รูทของผลบวกกำลังสองของความสูงและกำลังสองของฐานครึ่ง

พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ตามกฎแล้วไม่ทำให้เกิดปัญหาและการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ในกรณีของเรา กฎสากลสำหรับการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงของมันนั้นสามารถใช้ได้แน่นอน อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วทำให้งานง่ายขึ้นอีกครั้ง

สมมุติว่าเรารู้ความสูงและมุมประชิดฐาน คุณต้องกำหนดพื้นที่ของรูป คุณสามารถทำได้ด้วยวิธีนี้

เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180° จึงไม่ยากที่จะกำหนดขนาดของมุม นอกจากนี้ โดยใช้สัดส่วนที่วาดขึ้นตามทฤษฎีบทไซน์ ความยาวของฐานของรูปสามเหลี่ยมจะถูกกำหนด มีทุกอย่าง ฐานและความสูง - มีข้อมูลที่เพียงพอในการกำหนดพื้นที่ - พร้อมใช้งาน

คุณสมบัติอื่นๆ ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมหน้าจั่วขึ้นอยู่กับมุมของจุดยอด ดังนั้น หากสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นมุมแหลม ศูนย์กลางของวงกลมจะอยู่ภายในรูปนั้น

ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมหน้าจั่วป้านอยู่ด้านนอก และสุดท้าย หากมุมที่จุดยอดคือ 90° จุดศูนย์กลางจะอยู่ตรงกลางฐานพอดี และเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมจะผ่านฐานไปเอง

เพื่อที่จะกำหนดรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมหน้าจั่ว การแบ่งความยาวของด้านข้างด้วยสองเท่าของโคไซน์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดยอดก็เพียงพอแล้ว