ตรวจสอบว่านิพจน์เป็นผลต่างทั้งหมด สมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

อาจเกิดขึ้นที่ด้านซ้ายของสมการอนุพันธ์

คือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง:

และด้วยเหตุนี้สมการ (7) จึงอยู่ในรูปแบบ

หากฟังก์ชันเป็นคำตอบของสมการ (7) เช่นนั้น และดังนั้น

โดยที่ ค่าคงที่ และในทางกลับกัน หากฟังก์ชันบางอย่างแปลงสมการสุดท้าย (8) ให้กลายเป็นเอกลักษณ์ จากนั้น การแยกความแตกต่างของเอกลักษณ์ผลลัพธ์ เราจะได้ ดังนั้น โดยที่ค่าคงที่ตามอำเภอใจคืออินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิม .

หากได้รับค่าเริ่มต้นค่าคงที่จะถูกกำหนดจาก (8) และ

เป็นอินทิกรัลบางส่วนที่ต้องการ หาก ณ จุดใดจุดหนึ่ง สมการ (9) จะกำหนดเป็นฟังก์ชันโดยปริยายของ

ทางซ้ายมือของสมการ (7) จะเป็นค่าดิฟเฟอเรนเชียลรวมของฟังก์ชันบางอย่าง จำเป็นและเพียงพอที่

หากเป็นไปตามเงื่อนไขนี้ ซึ่งออยเลอร์ระบุ แสดงว่าสามารถรวมสมการ (7) เข้าด้วยกันได้อย่างง่ายดาย จริงๆ, . อีกด้านหนึ่ง . เพราะฉะนั้น,

เมื่อคำนวณอินทิกรัล ปริมาณจะถือเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจของ ในการกำหนดฟังก์ชัน เราแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่พบด้วยความเคารพและเนื่องจากเราได้รับ

จากสมการนี้เรากำหนดและรวมเข้าด้วยกันเราพบ

ดังที่คุณทราบจากหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การกำหนดฟังก์ชันโดยค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดนั้นง่ายยิ่งขึ้นไปอีกโดยใช้อินทิกรัลโค้งของจุดคงที่บางจุดและจุดที่มีพิกัดตัวแปรตามเส้นทางใดๆ

ส่วนใหญ่มักจะสะดวกที่จะใช้เส้นที่ขาดเป็นเส้นทางการรวมซึ่งประกอบด้วยสองลิงก์ที่ขนานกับแกนพิกัด ในกรณีนี้

ตัวอย่าง. .

ทางซ้ายมือของสมการคือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง เนื่องจาก

ดังนั้นอินทิกรัลทั่วไปจึงมีรูปแบบ

สามารถใช้วิธีอื่นในการกำหนดฟังก์ชันได้:

สำหรับจุดเริ่มต้นเราเลือกตัวอย่างเช่นที่มาของพิกัดเป็นเส้นทางของการรวม - เสีย แล้ว

และอินทิกรัลทั่วไปมีรูปแบบ

ซึ่งก็เหมือนกับผลก่อนหน้านี้ ส่งผลให้เป็นตัวส่วนร่วม

ในบางกรณี เมื่อด้านซ้ายของสมการ (7) ไม่ใช่ดิฟเฟอเรนเชียลแบบสมบูรณ์ ก็จะหาฟังก์ชันได้ง่าย หลังจากคูณด้วยค่าที่ด้านซ้ายของสมการ (7) กลายเป็นดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ปัจจัยบูรณาการ... โปรดทราบว่าการคูณด้วยปัจจัยการบูรณาการสามารถนำไปสู่การปรากฏตัวของโซลูชันเฉพาะที่ไม่จำเป็นซึ่งทำให้ปัจจัยนี้เป็นศูนย์

ตัวอย่าง. .

แน่นอน หลังจากคูณด้วยตัวประกอบ ด้านซ้ายจะกลายเป็นส่วนต่างทั้งหมด แท้จริงเมื่อคูณด้วยเราจะได้

หรือบูรณาการ,. คูณด้วย 2 และโพเทนชิ่ง เราก็จะได้

แน่นอนว่าปัจจัยการผสานรวมไม่ได้ง่ายเสมอไปที่จะเลือก ในกรณีทั่วไป ในการหาตัวประกอบการอินทิเกรต จำเป็นต้องเลือกคำตอบเฉพาะของสมการอนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งค่าที่ไม่ได้เป็นศูนย์เหมือนกัน หรืออยู่ในรูปแบบขยาย

ซึ่งหลังจากหารและโอนเงื่อนไขบางคำไปยังอีกด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกันแล้วจะลดลงเป็นรูปแบบ

ในกรณีทั่วไป การบูรณาการของสมการอนุพันธ์ย่อยนี้ไม่ได้หมายความว่าเป็นปัญหาที่ง่ายกว่าการรวมสมการดั้งเดิมแต่อย่างใด อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี การเลือกคำตอบเฉพาะสำหรับสมการ (11) นั้นไม่ยาก

นอกจากนี้ สมมติว่าปัจจัยการรวมเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น (เช่น เป็นฟังก์ชันเท่านั้นหรือเท่านั้น หรือฟังก์ชันเท่านั้น หรือเท่านั้น เป็นต้น) เราสามารถรวมสมการ (11) ได้อย่างง่ายดายและระบุ เงื่อนไขที่มีปัจจัยการบูรณาการประเภทที่พิจารณาอยู่ ดังนั้นคลาสของสมการจึงมีความโดดเด่นซึ่งสามารถหาปัจจัยการบูรณาการได้ง่าย

ตัวอย่างเช่น ให้เราหาเงื่อนไขที่สมการมีตัวประกอบการบูรณาการขึ้นอยู่กับเท่านั้น กล่าวคือ ... ในกรณีนี้ สมการ (11) ถูกทำให้ง่ายขึ้นและใช้รูปแบบ ดังนั้น สมมติว่ามีฟังก์ชันต่อเนื่องของ เราได้รับ

ถ้าเป็นเพียงฟังก์ชันของ ดังนั้นปัจจัยการผสานรวมขึ้นอยู่กับที่มีอยู่เท่านั้นและเท่ากับ (12) มิฉะนั้นปัจจัยการผสานรวมของแบบฟอร์มจะไม่มีอยู่

เงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของปัจจัยการบูรณาการขึ้นอยู่กับเท่านั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการเชิงเส้นหรือ แน่นอนและด้วยเหตุนี้ เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของปัจจัยการบูรณาการของแบบฟอร์ม ฯลฯ สามารถพบได้ในลักษณะเดียวกันทุกประการ

ตัวอย่าง.สมการมีตัวประกอบการบูรณาการของแบบฟอร์มหรือไม่?

ให้เราแสดงว่า สมการ (11) ที่ ใช้รูปแบบ ที่ไหน หรือ

สำหรับการมีอยู่ของปัจจัยการบูรณาการของรูปแบบที่กำหนด มันเป็นสิ่งจำเป็นและภายใต้สมมติฐานของความต่อเนื่องว่ามันเป็นเพียงหน้าที่ ในกรณีนี้ ตัวประกอบการบูรณาการจึงมีอยู่และเท่ากับ (13) เมื่อเราได้รับ นำสมการเดิมมาคูณกับในรูป

การรวมเข้าด้วยกัน เราได้รับ และหลังจากการโพเทนชิ่ง เราจะมีหรือในพิกัดเชิงขั้ว - ตระกูลของเกลียวลอการิทึม

ตัวอย่าง... หารูปร่างของกระจกเงาที่สะท้อนขนานกับทิศทางที่กำหนด รังสีทั้งหมดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดที่กำหนด

เราวางจุดกำเนิดของพิกัดที่จุดที่กำหนดและกำหนดแกน abscissa ขนานกับทิศทางที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหา ให้ลำแสงตกกระทบกระจกที่จุดหนึ่ง ให้เราพิจารณาส่วนของกระจกโดยระนาบที่ผ่านแกน abscissa และจุดหนึ่ง ให้เราลากเส้นสัมผัสไปยังส่วนที่พิจารณาของพื้นผิวกระจก ณ จุดหนึ่ง เนื่องจากมุมตกกระทบของรังสีเท่ากับมุมสะท้อน สามเหลี่ยมจึงเป็นหน้าจั่ว เพราะฉะนั้น,

สมการเอกพันธ์ที่เป็นผลลัพธ์สามารถรวมเข้าด้วยกันอย่างง่ายดายโดยการเปลี่ยนตัวแปร แต่มันจะง่ายยิ่งขึ้นไปอีก เมื่อปราศจากความไร้เหตุผลในตัวส่วน เพื่อเขียนใหม่ในรูปแบบ สมการนี้มีปัจจัยการบูรณาการที่ชัดเจน (แฟมิลี่ของพาราโบลา)

ปัญหานี้แก้ไขได้ง่ายกว่าในพิกัด และในกรณีนี้ สมการของส่วนตัดขวางของพื้นผิวที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ

เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของปัจจัยการบูรณาการหรือการมีอยู่ของคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (11) ในบางโดเมน ถ้าฟังก์ชันและมีอนุพันธ์ต่อเนื่องและอย่างน้อยหนึ่งในนั้น ฟังก์ชั่นไม่หายไป ดังนั้น วิธีปัจจัยการบูรณาการจึงถือได้ว่าเป็นวิธีการทั่วไปในการรวมสมการของรูปแบบ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความยากในการค้นหาปัจจัยการผสานรวม วิธีนี้มักใช้บ่อยที่สุดในกรณีที่ปัจจัยการผสานรวมมีความชัดเจน

ฟังก์ชั่นบางอย่าง หากเราคืนค่าฟังก์ชันจากดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด เราจะพบอินทิกรัลทั่วไปของสมการอนุพันธ์ ด้านล่างเราจะพูดถึง วิธีการกู้คืนฟังก์ชันจากส่วนต่างทั้งหมด.

ด้านซ้ายของสมการอนุพันธ์คือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง U (x, y) = 0ถ้าตรงตามเงื่อนไข

เพราะ ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด U (x, y) = 0มัน ดังนั้นเมื่อบรรลุเงื่อนไขแล้วจึงยืนยันได้ว่า

แล้ว, .

จากสมการแรกของระบบ จะได้ ... เราพบฟังก์ชันโดยใช้สมการที่สองของระบบ:

ดังนั้น เราจะพบฟังก์ชันที่ต้องการ U (x, y) = 0.

ตัวอย่าง.

ให้เราหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของDE .

สารละลาย.

ในตัวอย่างของเรา ตรงตามเงื่อนไขเพราะ:

จากนั้นทางซ้ายมือของ DE เริ่มต้นคือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง U (x, y) = 0... เราต้องหาฟังก์ชันนี้

เพราะ เป็นค่าดิฟเฟอเรนเชียลแบบเต็มของฟังก์ชัน U (x, y) = 0, วิธี:

เราบูรณาการมากกว่า xสมการที่ 1 ของระบบและแยกความแตกต่างเกี่ยวกับ yผลลัพธ์:

จากสมการที่ 2 ของระบบที่เราได้รับ วิธี:

ที่ไหน กับเป็นค่าคงที่โดยพลการ

ดังนั้น และอินทิกรัลทั่วไปของสมการที่กำหนดจะเป็น .

มีวินาที วิธีการคำนวณฟังก์ชันโดยค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด... ประกอบด้วยการรับอินทิกรัลโค้งจากจุดคงที่ (x 0, y 0)ถึงจุดที่มีพิกัดตัวแปร (x, y): ... ในกรณีนี้ ค่าของอินทิกรัลไม่ขึ้นกับพาธการรวม สะดวกในการใช้เป็นพาธการรวมโพลิไลน์ที่มีลิงก์ขนานกับแกนพิกัด

ตัวอย่าง.

ให้เราหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของDE .

สารละลาย.

เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข:

ดังนั้น ด้านซ้ายของ DE คือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่าง U (x, y) = 0... ให้เราหาฟังก์ชันนี้โดยการคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งจากจุด (1; 1) ก่อน (x, y)... เราใช้เส้นที่หักเป็นเส้นทางของการบูรณาการ: ส่วนแรกของเส้นที่ขาดจะเป็นเส้นตรง y = 1จากจุด (1, 1) ก่อน (x, 1)เนื่องจากส่วนที่สองของเส้นทางเราใช้ส่วนของเส้นตรงจากจุด (x, 1)ก่อน (x, y):

ซึ่งหมายความว่าโซลูชันทั่วไปของระบบควบคุมมีลักษณะดังนี้: .

ตัวอย่าง.

ให้เรากำหนดวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ DE

สารละลาย.

เพราะ ซึ่งหมายความว่าไม่เป็นไปตามเงื่อนไข จากนั้นทางด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์จะไม่เป็นค่าอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน และคุณจำเป็นต้องใช้วิธีการแก้ปัญหาที่สอง (สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรแบบแยกได้)

คำชี้แจงปัญหาในกรณีสองมิติ

การสร้างฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวขึ้นใหม่จากค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

9.1. คำชี้แจงปัญหาในกรณีสองมิติ 72

9.2. คำอธิบายของโซลูชัน 72

นี่เป็นหนึ่งในการประยุกต์ใช้อินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง

นิพจน์สำหรับค่าดิฟเฟอเรนเชียลรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะได้รับ:

ค้นหาฟังก์ชัน

1. เนื่องจากไม่ใช่ทุกนิพจน์ของแบบฟอร์มที่เป็นผลรวมของฟังก์ชันบางอย่าง ยู(x,y) จากนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งปัญหานั่นคือตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับส่วนต่างทั้งหมดซึ่งสำหรับฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัวมีรูปแบบ เงื่อนไขนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันของข้อความ (2) และ (3) ในทฤษฎีบทของส่วนก่อนหน้า หากตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ แสดงว่าปัญหามีทางแก้ไข นั่นคือ ฟังก์ชัน ยู(x,y) คุณสามารถกู้คืน; หากไม่ตรงตามเงื่อนไขแสดงว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข นั่นคือ ไม่สามารถกู้คืนฟังก์ชันได้

2. เป็นไปได้ที่จะหาฟังก์ชันด้วยค่าส่วนต่างทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ใช้อินทิกรัลส่วนโค้งของชนิดที่สอง คำนวณจากเส้นตรงที่เชื่อมกับจุดคงที่ ( x 0 ,y 0) และจุดตัวแปร ( x; y) (ข้าว. สิบแปด):

ดังนั้นจึงได้อินทิกรัลโค้งของชนิดที่สองของดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด ตู่(x,y) เท่ากับผลต่างระหว่างค่าของฟังก์ชัน ยู(x,y) ที่จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของสายการรวม

รู้ผลแล้วต้องเปลี่ยน ตู่เข้าไปในนิพจน์อินทิกรัลเส้นโค้งและคำนวณอินทิกรัลตามเส้นที่หัก ( ACB) ให้เป็นอิสระจากรูปร่างของเส้นบูรณาการ:

บน ( AC): บน ( SV) :

(1)

ดังนั้นจึงได้สูตรมาโดยใช้ฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัวที่คืนค่าจากส่วนต่างทั้งหมด

3. ฟังก์ชันสามารถคืนค่าได้จากส่วนต่างทั้งหมดจนถึงระยะคงที่เท่านั้น เนื่องจาก d(ยู+ cons) = ตู่... ดังนั้น จากการแก้ปัญหา เราจึงได้ชุดของฟังก์ชันที่แตกต่างกันด้วยพจน์คงที่

ตัวอย่าง (การกู้คืนฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจากส่วนต่างทั้งหมด)

1. ค้นหา ยู(x,y), ถ้า ตู่ = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

เราตรวจสอบเงื่อนไขของผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

เป็นไปตามเงื่อนไขผลต่างทั้งหมด ดังนั้น ฟังก์ชัน ยู(x,y) สามารถเรียกคืนได้

ตรวจสอบ: - จริง

ตอบ: ยู(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + ค.

2. ค้นหาฟังก์ชันดังกล่าวว่า

เราตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว:,,, หากได้รับนิพจน์

ในปัญหาที่กำลังได้รับการแก้ไข

ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับส่วนต่างทั้งหมด ดังนั้นจึงสามารถคืนค่าฟังก์ชันได้ (ปัญหาถูกวางอย่างถูกต้อง)

เราจะคืนค่าฟังก์ชันโดยใช้อินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง คำนวณตามเส้นบางเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดคงที่และจุดแปรผันตั้งแต่

(ความเท่าเทียมกันนี้ได้มาในลักษณะเดียวกับในกรณีสองมิติ)

ในทางกลับกัน อินทิกรัลโค้งของประเภทที่สองของส่วนต่างทั้งหมดไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นบูรณาการ ดังนั้นจึงเป็นการง่ายที่สุดที่จะนับตามเส้นที่หักซึ่งประกอบด้วยส่วนที่ขนานกับแกนพิกัด ในกรณีนี้ เป็นจุดคงที่ คุณสามารถใช้จุดที่มีพิกัดตัวเลขเฉพาะสำหรับคุณเพียงคนเดียว ติดตามเท่านั้น เพื่อให้ตรงจุดนี้และบนเส้นรวมทั้งหมด เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัลโค้ง (นั่นคือ ที่ทำหน้าที่และต่อเนื่อง) เมื่อคำนึงถึงข้อสังเกตนี้ ในปัญหานี้ คุณสามารถใช้จุดคงที่ เช่น จุด M 0 จากนั้นในแต่ละลิงก์ของสายที่ขาดเราจะมี

10.2. การคำนวณอินทิกรัลพื้นผิวของชนิดที่หนึ่ง 79

10.3. การใช้งานบางอย่างของอินทิกรัลพื้นผิวของชนิดแรก 81

ดิฟเฟอเรนเชียล เรียกว่า สมการของรูป

พี(x, y)dx + คิว(x, y)dy = 0 ,

โดยที่ด้านซ้ายมือคือค่าดิฟเฟอเรนเชียลรวมของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสองตัว

เราแสดงถึงฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรสองตัว (นี่คือสิ่งที่เราต้องค้นหาเมื่อแก้สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด) โดย Fแล้วเราจะติดต่อกลับไปหาเธอในไม่ช้า

สิ่งแรกที่คุณควรใส่ใจ: ด้านขวาของสมการจะต้องมีศูนย์เป็นศูนย์ และเครื่องหมายที่เชื่อมพจน์ทั้งสองคำทางด้านซ้ายต้องเป็นเครื่องหมายบวก

ประการที่สอง ต้องสังเกตความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นการยืนยันว่าสมการอนุพันธ์ที่กำหนดเป็นสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด การตรวจสอบนี้เป็นส่วนบังคับของอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการในอนุพันธ์ทั้งหมด (อยู่ในย่อหน้าที่สองของบทเรียนนี้) ดังนั้นกระบวนการในการค้นหาฟังก์ชัน Fค่อนข้างเสียเวลาและเป็นสิ่งสำคัญในระยะแรกเพื่อให้แน่ใจว่าเราจะไม่เสียเวลา

ดังนั้น ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักที่จะพบจึงเขียนแทนโดย F... ผลรวมของดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วนเหนือตัวแปรอิสระทั้งหมดจะให้ผลรวมทั้งหมด ดังนั้น หากสมการเป็นสมการอนุพันธ์ทั้งหมด ด้านซ้ายของสมการคือผลรวมของดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วน แล้วตามคำนิยาม

dF = พี(x, y)dx + คิว(x, y)dy .

เราจำสูตรการคำนวณผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

การแก้สมการสองอันสุดท้าย เราสามารถเขียนได้

ความเท่าเทียมกันแรกนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้เมื่อเทียบกับตัวแปร "เกม" ส่วนที่สอง - เมื่อเทียบกับตัวแปร "x":

ซึ่งเป็นเงื่อนไขว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่ให้มานั้นเป็นสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ขั้นตอนที่ 1.ตรวจสอบว่าสมการนั้นเป็นสมการอนุพันธ์ทั้งหมด เพื่อที่จะแสดงออก คือผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่าง F(x, y) มีความจำเป็นและเพียงพอว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ xและอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ yอีกเทอมหนึ่ง และถ้าอนุพันธ์เหล่านี้เท่ากัน สมการก็คือสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ขั้นตอนที่ 2.เขียนระบบสมการอนุพันธ์ย่อยที่ประกอบเป็นฟังก์ชัน F:

ขั้นตอนที่ 3รวมสมการแรกของระบบ - by x (y F:

,
y.

ทางเลือกอื่น (หากหาอินทิกรัลได้ง่ายกว่าด้วยวิธีนี้) คือการผสานสมการที่สองของระบบ - over y (xคงที่และถูกดึงออกจากเครื่องหมายปริพันธ์) ดังนั้น ฟังก์ชันยังถูกเรียกคืนอีกด้วย F:

,
หน้าที่ยังไม่ทราบของ .อยู่ที่ไหน X.

ขั้นตอนที่ 4แยกความแตกต่างผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (อินทิกรัลร่วมที่พบ) เทียบกับ y(อีกทางหนึ่ง - โดย x) และเท่ากับสมการที่สองของระบบ:

และอีกทางหนึ่งกับสมการแรกของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์เรากำหนด (ทางเลือก)

ขั้นตอนที่ 5บูรณาการและค้นหาผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 (ค้นหาอีกทางหนึ่ง)

ขั้นตอนที่ 6แทนที่ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 5 เป็นผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 - ลงในฟังก์ชันที่กู้คืนโดยการรวมบางส่วน F... ค่าคงที่ตามอำเภอใจ คเขียนบ่อยขึ้นหลังเครื่องหมายเท่ากับ - ทางด้านขวาของสมการ ดังนั้นเราจึงได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ในส่วนต่างทั้งหมด ดังที่ได้กล่าวไปแล้วก็มีรูปแบบ F(x, y) = ค.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 1

ขั้นตอนที่ 1. สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด xหนึ่งเทอมทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ yอีกวาระหนึ่ง
สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด .

ขั้นตอนที่ 2. F:

ขั้นตอนที่ 3บน x (yคงที่และถูกดึงออกจากเครื่องหมายปริพันธ์) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน F:

หน้าที่ยังไม่ทราบของ .อยู่ที่ไหน y.

ขั้นตอนที่ 4 y

ขั้นตอนที่ 5

ขั้นตอนที่ 6 F... ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ค :
.

ข้อผิดพลาดใดที่เป็นไปได้มากที่สุดที่นี่ ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการนำอินทิกรัลบางส่วนมาทับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งสำหรับอินทิกรัลปกติของผลคูณของฟังก์ชันและพยายามรวมโดยส่วนหรือโดยตัวแปรทดแทน และนำอนุพันธ์ย่อยของสองปัจจัยมาเป็นอนุพันธ์ของ ผลคูณของฟังก์ชันและหาอนุพันธ์ตามสูตรที่สอดคล้องกัน

สิ่งนี้ต้องจำไว้: เมื่อคำนวณอินทิกรัลบางส่วนเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง อีกตัวหนึ่งเป็นค่าคงที่และนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ และเมื่อคำนวณอนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง อีกตัวหนึ่งก็เป็น a เช่นกัน ค่าคงที่และอนุพันธ์ของนิพจน์พบได้ว่าเป็นอนุพันธ์ของตัวแปร "มีประสิทธิผล" คูณด้วยค่าคงที่

ท่ามกลาง สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด ไม่ใช่เรื่องแปลก - ตัวอย่างที่มีเลขชี้กำลัง นี่คือตัวอย่างต่อไป นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่ามีการใช้ตัวเลือกทางเลือกในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1.ให้เราตรวจสอบว่าสมการคือ สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด ... เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราหาอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับ xหนึ่งเทอมทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ yอีกวาระหนึ่ง
... อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการคือ สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด .

ขั้นตอนที่ 2.เราเขียนระบบสมการอนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่ประกอบเป็นฟังก์ชัน F:

ขั้นตอนที่ 3ให้เรารวมสมการที่สองของระบบ - over y (xคงที่และถูกดึงออกจากเครื่องหมายปริพันธ์) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน F:

หน้าที่ยังไม่ทราบของ .อยู่ที่ไหน X.

ขั้นตอนที่ 4ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (อินทิกรัลทั่วไปที่พบ) แตกต่างด้วย X

และเท่ากับสมการแรกของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์ เรากำหนด:
.

ขั้นตอนที่ 5เรารวมผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 และค้นหา:
.

ขั้นตอนที่ 6เราแทนที่ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 5 เป็นผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 - เป็นฟังก์ชันที่กู้คืนโดยการรวมบางส่วน F... ค่าคงที่ตามอำเภอใจ คเราเขียนหลังเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้รับทั่วไป คำตอบของสมการอนุพันธ์ในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด :
.

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะย้อนกลับจากทางเลือกอื่นมาเป็นตัวหลัก

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1.ให้เราตรวจสอบว่าสมการคือ สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด ... เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราหาอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับ yหนึ่งเทอมทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ xอีกวาระหนึ่ง
... อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการคือ สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด .

ขั้นตอนที่ 3เรารวมสมการแรกของระบบ - บน x (yคงที่และถูกดึงออกจากเครื่องหมายปริพันธ์) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน F:

หน้าที่ยังไม่ทราบของ .อยู่ที่ไหน y.

ขั้นตอนที่ 4ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (อินทิกรัลทั่วไปที่พบ) แตกต่างด้วย y

และเท่ากับสมการที่สองของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์ เรากำหนด:
.

ขั้นตอนที่ 5เรารวมผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 และค้นหา:

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1.ให้เราตรวจสอบว่าสมการคือ สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด ... เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราหาอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับ yหนึ่งเทอมทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยในส่วนที่เกี่ยวกับ xอีกวาระหนึ่ง
... อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการคือสมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด