การสลายตัวของชุดพลังงานออนไลน์ อนุกรมแมคลอรินและการสลายตัวของฟังก์ชันบางอย่าง คำถามทดสอบตัวเอง

ถ้าฟังก์ชัน ฉ (x)มีในช่วงเวลาหนึ่งที่มีจุด เออนุพันธ์ของคำสั่งทั้งหมดจากนั้นสูตร Taylor สามารถใช้ได้กับมัน:

ที่ไหน r n- เศษที่เรียกว่าเศษหรือเศษของอนุกรมสามารถประมาณได้โดยใช้สูตรลากรองจ์:

โดยที่ตัวเลข x อยู่ระหว่าง Xและ เอ.

ถ้าสำหรับค่าบางอย่าง x r n®0 สำหรับ น® ¥ จากนั้นในขีดจำกัด สูตรเทย์เลอร์จะเปลี่ยนค่านี้เป็นคอนเวอร์เจนต์ ซีรีส์เทย์เลอร์:

ดังนั้นฟังก์ชัน ฉ (x)สามารถขยายเป็นซีรีส์ Taylor ได้ในจุดที่พิจารณา X, ถ้า:

1) มีอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อทั้งหมด

2) อนุกรมที่สร้างขึ้นมาบรรจบกัน ณ จุดนี้

ที่ เอ= 0 เราได้รับอนุกรมที่เรียกว่า ใกล้ Maclaurin:

ตัวอย่างที่ 1 ฉ (x) = 2x.

สารละลาย... ให้เราหาค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้ที่ X=0

ฉ (x) = 2x, ฉ ( 0) = 2 0 =1;

ฉ ¢ (x) = 2x ln2, ฉ ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

ฉ ¢ (x) = 2x ln 2 2, ฉ ¢ ( 0) = 2 0 ล. 2 2 = ล. 2 2;

ฉ (น) (x) = 2x ln น 2, ฉ (น) ( 0) = 2 0 ln น 2 = ลน น 2.

แทนที่ค่าที่ได้รับของอนุพันธ์ลงในสูตรของอนุกรมเทย์เลอร์เราได้:

รัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมนี้เท่ากับอนันต์ ดังนั้น การขยายนี้ใช้ได้สำหรับ - ¥<x<+¥.

ตัวอย่าง 2 X+4) สำหรับฟังก์ชัน ฉ (x) =อี x.

สารละลาย... ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน e xและค่านิยม ณ จุดนั้น X=-4.

ฉ (x)= อี x, ฉ (-4) = อี -4 ;

ฉ ¢ (x)= อี x, ฉ ¢ (-4) = อี -4 ;

ฉ ¢ (x)= อี x, ฉ ¢ (-4) = อี -4 ;

ฉ (น) (x)= อี x, ฉ (น) ( -4) = อี -4 .

ดังนั้นอนุกรมของฟังก์ชันเทย์เลอร์ที่ต้องการจึงมีรูปแบบดังนี้

ส่วนเสริมนี้ใช้ได้สำหรับ - ¥<x<+¥.

ตัวอย่างที่ 3 ... ขยายฟังก์ชัน ฉ (x)= ln xในชุดอำนาจ ( เอ็กซ์- 1),

(เช่น ในซีรีส์เทย์เลอร์บริเวณจุดนั้น X=1).

สารละลาย... หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้

แทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสูตร เราจะได้อนุกรม Taylor ที่ต้องการ:

เมื่อใช้การทดสอบ d'Alembert เราสามารถมั่นใจได้ว่าอนุกรมมาบรรจบกันเพื่อ

½ เอ็กซ์- 1½<1. Действительно,

อนุกรมมาบรรจบกันถ้า ½ เอ็กซ์- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 เราได้รับอนุกรมสลับที่ตรงตามเงื่อนไขของการทดสอบไลบนิซ ที่ X= 0 ไม่ได้กำหนดฟังก์ชัน ดังนั้นโดเมนของการบรรจบกันของอนุกรมเทย์เลอร์จึงเป็นช่วงครึ่งเปิด (0; 2]

ให้เรานำเสนอการขยายที่ได้รับในลักษณะเดียวกันในอนุกรม Maclaurin (เช่นในบริเวณใกล้เคียงของจุด X= 0) สำหรับฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง:

(2) ,

(3) ,

(การสลายตัวสุดท้ายเรียกว่า อนุกรมทวินาม)

ตัวอย่างที่ 4 ... ขยายฟังก์ชันในอนุกรมกำลัง

สารละลาย... ในการขยาย (1) เราแทนที่ Xบน - X 2 เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 5 ... ขยายฟังก์ชันชุดแมคคลอริน

สารละลาย... เรามี

โดยใช้สูตร (4) เราสามารถเขียน:

แทน Xลงในสูตร -X, เราได้รับ:

จากที่นี่เราพบ:

ขยายวงเล็บ จัดเรียงเงื่อนไขของอนุกรมใหม่ และลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราจะได้

ชุดนี้มาบรรจบกันในช่วงเวลา

(-1; 1) เนื่องจากได้มาจากสองชุดข้อมูลซึ่งแต่ละชุดมาบรรจบกันในช่วงเวลานี้

ความคิดเห็น .

สูตร (1) - (5) สามารถใช้เพื่อขยายฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องในอนุกรมเทย์เลอร์ได้ เช่น สำหรับการขยายฟังก์ชันในกำลังจำนวนเต็มบวก ( ฮา). เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เหนือฟังก์ชันที่กำหนด จำเป็นต้องทำการแปลงที่เหมือนกันเพื่อให้ได้มาซึ่งฟังก์ชัน (1) - (5) ซึ่งแทนที่จะ Xค่าใช้จ่าย k ( ฮา) m โดยที่ k เป็นจำนวนคงที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก มักจะสะดวกที่จะเปลี่ยนตัวแปร t=ฮาและขยายฟังก์ชันผลลัพธ์เทียบกับ t ในอนุกรมของ Maclaurin

วิธีนี้แสดงให้เห็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับความพิเศษของการขยายฟังก์ชันในอนุกรมกำลัง สาระสำคัญของทฤษฎีบทนี้คือในบริเวณจุดเดียวกันนั้น ไม่สามารถรับอนุกรมกำลังสองแบบที่แตกต่างกันซึ่งจะมาบรรจบกันเป็นฟังก์ชันเดียวกัน ไม่ว่าจะขยายอย่างไร

ตัวอย่างที่ 6 ... ขยายฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียงของจุด X=3.

สารละลาย... ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้เช่นเดิมโดยใช้คำจำกัดความของอนุกรมเทย์เลอร์ซึ่งจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและค่าของพวกมันที่ X= 3 อย่างไรก็ตาม มันจะง่ายกว่าที่จะใช้การสลายตัวที่มีอยู่ (5):

อนุกรมที่เป็นผลลัพธ์มาบรรจบกันเพื่อ หรือ –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

ตัวอย่าง 7 ... เขียนอนุกรมเทย์เลอร์ในยกกำลัง ( X-1) ฟังก์ชั่น .

สารละลาย.

ซีรีส์มาบรรจบกันที่ , หรือ 2< x 5 ปอนด์

NASA จะเปิดตัวการสำรวจดาวอังคารในเดือนกรกฎาคม 2020 ยานอวกาศจะส่งมอบผู้ให้บริการอิเล็กทรอนิกส์ไปยังดาวอังคารพร้อมชื่อของสมาชิกที่ลงทะเบียนทั้งหมดของการสำรวจ

เปิดให้ลงทะเบียนผู้เข้าร่วมแล้ว รับตั๋วไปดาวอังคารจากลิงค์นี้

หากโพสต์นี้แก้ปัญหาของคุณได้หรือคุณแค่ชอบ ให้แชร์ลิงก์ไปยังเพื่อนๆ ของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

ต้องคัดลอกและวางรหัสรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งเหล่านี้ลงในรหัสของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็ก และหรือหลังแท็ก ... ตามตัวเลือกแรก MathJax โหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลงน้อยลง แต่ตัวเลือกที่สองจะติดตามและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณแทรกโค้ดที่สอง หน้าจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax อยู่ใน Blogger หรือ WordPress: ในแดชบอร์ดของไซต์ของคุณ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript ของบุคคลที่สาม คัดลอกเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองของโค้ดการโหลดที่แสดงด้านบน และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้กับ จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (ซึ่งไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax โหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมดที่ ตอนนี้ เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัป MathML, LaTeX และ ASCIIMathML และคุณพร้อมที่จะฝังสูตรคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของเว็บไซต์ของคุณแล้ว

วันส่งท้ายปีเก่าอีกครั้ง ... อากาศหนาวจัดและเกล็ดหิมะบนบานหน้าต่าง ... ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันต้องเขียนอีกครั้งเกี่ยวกับ ... เศษส่วนและสิ่งที่ Wolfram Alpha รู้เกี่ยวกับมัน มีบทความที่น่าสนใจเกี่ยวกับเรื่องนี้ ซึ่งมีตัวอย่างโครงสร้างเศษส่วนสองมิติ เราจะมาดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นของเศษส่วน 3 มิติ

เศษส่วนสามารถมองเห็นได้ (อธิบาย) เป็นรูปทรงเรขาคณิตหรือร่างกาย (หมายความว่าทั้งสองเป็นชุดในกรณีนี้คือชุดของจุด) รายละเอียดที่มีรูปร่างเหมือนกันกับตัวเลขเดิม กล่าวคือเป็นโครงสร้างคล้ายตัวเองเมื่อพิจารณารายละเอียดด้วยการขยายเราจะเห็นรูปร่างเหมือนไม่มีการขยาย ในขณะที่ในกรณีของรูปทรงเรขาคณิตปกติ (ไม่ใช่เศษส่วน) เมื่อเราซูมเข้า เราจะเห็นรายละเอียดที่มีรูปร่างที่เรียบง่ายกว่ารูปร่างดั้งเดิมนั่นเอง ตัวอย่างเช่น ด้วยกำลังขยายที่สูงพอ ส่วนหนึ่งของวงรีจะดูเหมือนส่วนของเส้นตรง สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับเศษส่วน: เมื่อเพิ่มขึ้นเราจะเห็นรูปร่างที่ซับซ้อนเหมือนเดิมอีกครั้งซึ่งจะทำซ้ำซ้ำแล้วซ้ำอีกทุกครั้งที่เพิ่มขึ้น

Benoit Mandelbrot ผู้ก่อตั้งศาสตร์แห่งเศษส่วน เขียนไว้ในบทความ Fractals and Art for Science ของเขาว่า “เศษส่วนเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีรายละเอียดซับซ้อนพอๆ กับรูปแบบทั่วไป ส่วนหนึ่งของเศษส่วนจะถูกขยายเป็นขนาด โดยรวมแล้วจะดูเหมือนทั้งหมดหรือทั้งหมดหรืออาจมีการเสียรูปเล็กน้อย "

ซีรีส์เทย์เลอร์ การสลายตัวของฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์

ปรากฎว่าฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่สามารถแสดงด้วยความแม่นยำในบริเวณใกล้เคียงของจุดใดจุดหนึ่งในรูปแบบของอนุกรมกำลังที่มีกำลังของตัวแปรในลำดับจากน้อยไปมาก เช่น บริเวณจุด x = 1:

เมื่อใช้แถวที่เรียกว่า โดยยศเทย์เลอร์ฟังก์ชันผสมที่มีฟังก์ชันพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลังสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันพีชคณิตล้วนๆ ซีรีส์มักใช้เพื่อแยกความแตกต่างและรวมเข้าด้วยกันอย่างรวดเร็ว

อนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียงกับจุด a มีรูปแบบดังต่อไปนี้:

1) โดยที่ f (x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของคำสั่งทั้งหมดสำหรับ x = a R n - ส่วนที่เหลือของอนุกรมเทย์เลอร์ถูกกำหนดโดยนิพจน์

2)

สัมประสิทธิ์ที่ k (ที่ x k) ของอนุกรมถูกกำหนดโดยสูตร

3) (การขยายตัวเกิดขึ้นรอบจุด a = 0)

สำหรับ a = 0

สมาชิกของซีรีส์ถูกกำหนดโดยสูตร

เงื่อนไขการสมัครซีรีส์เทย์เลอร์

1. เพื่อให้ฟังก์ชัน f (x) ขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์บนช่วง (-R; R) จำเป็นและเพียงพอที่ส่วนที่เหลือในสูตรเทย์เลอร์ (Maclaurin (= McLaren)) สำหรับฟังก์ชันนี้ มีแนวโน้มเป็นศูนย์ที่ k → ∞ ในช่วงเวลาที่ระบุ (-R; R)

2. จำเป็นต้องมีอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดในบริเวณใกล้เคียงซึ่งเราจะสร้างอนุกรมเทย์เลอร์

คุณสมบัติของซีรีส์เทย์เลอร์

1. ถ้า f เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ดังนั้นอนุกรมเทย์เลอร์ที่จุดใดๆ ของ a โดเมนของ f จะบรรจบกันเป็น f ในละแวกใกล้เคียงของ a
2. มีฟังก์ชันที่หาค่าได้ไม่สิ้นสุดซึ่งอนุกรมเทย์เลอร์มาบรรจบกัน แต่แตกต่างจากฟังก์ชันในละแวกใกล้เคียงของ a ตัวอย่างเช่น:

อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ในการประมาณ (การประมาณเป็นวิธีการทางวิทยาศาสตร์ที่ประกอบด้วยการแทนที่วัตถุบางอย่างด้วยวัตถุอื่น ในแง่หนึ่งหรืออีกนัยหนึ่งที่ใกล้เคียงกับฟังก์ชันดั้งเดิม แต่ง่ายกว่า) ด้วยพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำให้เป็นเส้นตรง ((จากเส้นตรง - เส้นตรง) หนึ่งในวิธีการแสดงโดยประมาณของระบบไม่เชิงเส้นแบบปิด ซึ่งการศึกษาระบบไม่เชิงเส้นจะถูกแทนที่ด้วยการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นในความหมายที่เทียบเท่ากับระบบเดิม .) สมการเกิดขึ้นจากการขยายอนุกรมเทย์เลอร์และตัดเงื่อนไขทั้งหมดที่อยู่เหนือลำดับแรกออก

ดังนั้น เกือบทุกฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นพหุนามด้วยความแม่นยำที่กำหนด

ในทฤษฎีของอนุกรมการทำงาน จุดศูนย์กลางถูกครอบครองโดยส่วนที่อุทิศให้กับการขยายฟังก์ชันในอนุกรม

ดังนั้น ปัญหาจึงเกิดขึ้น: สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด จำเป็นต้องค้นหาอนุกรมกำลังดังกล่าว

ซึ่งมาบรรจบกันเป็นช่วงๆ และผลรวมเท่ากับ
, เหล่านั้น.

= ..

งานนี้เรียกว่า ปัญหาการขยายฟังก์ชันในอนุกรมกำลัง

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการขยายฟังก์ชันในอนุกรมกำลังคือความสามารถในการสร้างความแตกต่างได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง - ตามมาจากคุณสมบัติของอนุกรมกำลังมาบรรจบกัน เงื่อนไขนี้เป็นไปตามกฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานในขอบเขตของคำจำกัดความ

ดังนั้น สมมติฟังก์ชัน
มีอนุพันธ์ของคำสั่งใด ๆ เป็นไปได้ไหมที่จะขยายเป็นอนุกรมกำลัง ถ้าเป็นไปได้ แล้วจะหาอนุกรมนี้ได้อย่างไร? ส่วนที่สองของปัญหานั้นแก้ไขได้ง่ายกว่า และเราจะเริ่มด้วยมัน

สมมุติว่าฟังก์ชัน
สามารถแสดงเป็นผลรวมของอนุกรมกำลังที่มาบรรจบกันในช่วงเวลาที่มีจุด X 0 :

= .. (*)

ที่ไหน เอ 0 ,a 1 ,a 2 ,...,ก พี ,... - ไม่ได้กำหนด (ยัง) สัมประสิทธิ์

เราใส่ความเท่าเทียมกัน (*) มูลค่า x = x 0 , แล้วเราจะได้

.

ให้เราแยกความแตกต่างของอนุกรมกำลัง (*) เทอมโดยเทอม

= ..

และสมมติว่าที่นี่ x = x 0 , รับ

.

ด้วยความแตกต่างที่ตามมา เราได้รับซีรีส์

= ..

สมมุติ x = x 0 , รับ
, ที่ไหน
.

หลังจาก พี- ความแตกต่างที่เราได้รับ

การตั้งค่าในความเท่าเทียมกันสุดท้าย x = x 0 , รับ
, ที่ไหน

จึงหาค่าสัมประสิทธิ์ได้

,
,
, …,
,….,

แทนค่าลงในอนุกรม (*) จะได้

อนุกรมผลลัพธ์เรียกว่า ข้างเทเลอร์ สำหรับฟังก์ชั่น
.

ดังนั้นเราจึงได้กำหนดให้ ถ้าฟังก์ชันสามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังเป็นยกกำลังได้ (x - x 0 ) ดังนั้นการขยายตัวนี้จึงมีความพิเศษเฉพาะตัว และชุดผลลัพธ์ก็จำเป็นต้องเป็นซีรีส์ของเทย์เลอร์

โปรดทราบว่าอนุกรมเทย์เลอร์สามารถรับได้สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่มีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ที่จุด x = x 0 . แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างฟังก์ชันกับอนุกรมผลลัพธ์ได้ เช่น ว่าผลรวมของอนุกรมนั้นเท่ากับฟังก์ชันเดิม ประการแรก ความเท่าเทียมกันดังกล่าวอาจสมเหตุสมผลเฉพาะในพื้นที่ของการบรรจบกัน และอนุกรมเทย์เลอร์ที่ได้รับสำหรับฟังก์ชันอาจแตกต่าง และประการที่สอง หากอนุกรมเทย์เลอร์มาบรรจบกัน ผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์ที่ได้รับอาจไม่ตรงกับฟังก์ชันดั้งเดิม

3.2. เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการขยายฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์

ให้เรากำหนดคำสั่งด้วยความช่วยเหลือซึ่งงานที่ตั้งไว้จะได้รับการแก้ไข

ถ้าฟังก์ชัน
ในบริเวณใกล้เคียงของจุด x 0 มีอนุพันธ์สูงถึง (น+ 1) ของการสั่งซื้อรวมแล้วในละแวกนี้สูตร เทย์เลอร์

ที่ไหนR น (X)เป็นส่วนที่เหลือของสูตรเทย์เลอร์ - มีรูปแบบ (แบบลากรองจ์)

ที่ไหน จุดξ อยู่ระหว่าง x และ x 0 .

สังเกตว่า อนุกรมเทย์เลอร์และสูตรเทย์เลอร์มีความแตกต่างกัน: สูตรเทย์เลอร์เป็นผลรวมจำกัด กล่าวคือ พี -หมายเลขคงที่

จำได้ว่าผลรวมของซีรีส์ ส(x) สามารถกำหนดเป็นขีด จำกัด ของลำดับการทำงานของผลรวมบางส่วน ส พี (x) ในช่วงเวลาหนึ่ง X:

.

ดังนั้น การขยายฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์หมายถึงการค้นหาอนุกรมที่สำหรับใดๆ XX

เราเขียนสูตรของเทย์เลอร์ในรูปแบบ โดยที่

สังเกตว่า
กำหนดข้อผิดพลาดที่เราได้รับ แทนที่ฟังก์ชัน ฉ(x) พหุนาม ส น (x).

ถ้า
, แล้ว
,เหล่านั้น. ฟังก์ชั่นขยายเป็นซีรีส์เทย์เลอร์ ในทางกลับกัน ถ้า
, แล้ว
.

เราจึงได้พิสูจน์ เกณฑ์การขยายฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์

เพื่อว่าในช่วงเวลาหนึ่งฟังก์ชันฉ(x) ขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ มีความจำเป็นและเพียงพอที่ในช่วงเวลานี้
, ที่ไหนR น (x) เป็นส่วนที่เหลือของซีรีส์เทย์เลอร์

โดยใช้เกณฑ์ที่กำหนด จะได้ เพียงพอเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชันที่จะขยายในซีรีส์เทย์เลอร์

ถ้าในบริเวณใกล้เคียงของจุด x 0 ค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันถูกจำกัดด้วยจำนวนเดียวกัน M≥ 0 คือ

, To ในละแวกนี้ ฟังก์ชันจะขยายออกไปในซีรีส์เทย์เลอร์

จากข้างบนนี้ อัลกอริทึมฟังก์ชั่นการสลายตัว ฉ(x) ในซีรีส์เทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียงของจุด X 0 :

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x):

f (x), f '(x), f” (x), f ’” (x), f (น) (x), ...

2. เราคำนวณค่าของฟังก์ชันและค่าของอนุพันธ์ ณ จุด X 0

ฉ (x 0 ), f '(x 0 ), f ”(x 0 ), f ’” (x 0 ), f (น) (x 0 ),…

3. เขียนอนุกรมเทย์เลอร์อย่างเป็นทางการ และหาขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลังที่เป็นผลลัพธ์

4. เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่เพียงพอเช่น เราตั้งขึ้นเพื่อที่ Xจากโดเมนบรรจบ ส่วนที่เหลือ R น (x) มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่
หรือ
.

การขยายตัวของฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์ตามอัลกอริธึมนี้เรียกว่า การขยายฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์ตามคำจำกัดความหรือ การสลายตัวโดยตรง

นำเสนอวิธีการแก้ไขขีดจำกัดโดยใช้การขยายฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์ คุณสมบัติของความเล็กและการขยายตัวของฟังก์ชันพื้นฐานในอนุกรมมาลอริน ตัวอย่างของการแก้ขีดจำกัดที่มีความไม่แน่นอน ∞ - ∞ หนึ่งยกกำลังอนันต์และ 0/0 จะได้รับการวิเคราะห์โดยละเอียด

เนื้อหา

วิธีการแก้ปัญหา

หนึ่งในวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการแก้ปัญหาความไม่แน่นอนและขีดจำกัดการคำนวณคือการขยายฟังก์ชันของอนุกรมกำลังของเทย์เลอร์ การประยุกต์ใช้วิธีนี้ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้
1) เรานำความไม่แน่นอนมาสู่รูปแบบ 0/0 เนื่องจากตัวแปร x มีแนวโน้มเป็นศูนย์ สำหรับสิ่งนี้ หากจำเป็น เราจะทำการแปลงและเปลี่ยนตัวแปร
2) ขยายตัวเศษและตัวส่วนในอนุกรมเทย์เลอร์ใกล้กับจุด x = 0 ... ในกรณีนี้ เราดำเนินการขยายไปถึงระดับ x n ซึ่งจำเป็นต่อการขจัดความไม่แน่นอน เงื่อนไขที่เหลือรวมอยู่ใน o (x น).

วิธีนี้ใช้ได้หากหลังจากเสร็จสิ้นขั้นตอนที่ 1) แล้ว ฟังก์ชันในตัวเศษและตัวส่วนสามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังได้

สะดวกในการย่อยสลายฟังก์ชันที่ซับซ้อนและผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันตามรูปแบบต่อไปนี้ A) เราตั้งค่าเลขชี้กำลัง n ซึ่งเราจะทำการขยาย
ข) เราใช้สูตรสำหรับการขยายฟังก์ชันในอนุกรมของเทย์เลอร์ที่ให้ไว้ด้านล่าง รักษาเงื่อนไขให้รวมอยู่ในนั้น และละทิ้งเงื่อนไขด้วย at หรือแทนที่ด้วย
C) ในฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราเปลี่ยนแปลงตัวแปรเพื่อให้อาร์กิวเมนต์ของแต่ละส่วนมีแนวโน้มเป็นศูนย์ที่ ตัวอย่างเช่น
.
ที่นี่ที่ จากนั้นคุณสามารถใช้การขยายฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงกับจุดนั้นได้

บันทึก. การขยายตัวของฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณจุดหนึ่งเรียกว่า ใกล้ Maclaurin... ดังนั้น สำหรับซีรีส์ที่ใช้เพื่อจุดประสงค์ของเรา ทั้งสองชื่อจึงเหมาะสม

คุณสมบัติประยุกต์ของ small

คำจำกัดความและการพิสูจน์คุณสมบัติของขนาดเล็กมีอยู่ในหน้า: “ขนาดใหญ่และขนาดเล็ก การเปรียบเทียบฟังก์ชัน ". ในที่นี้เราขอนำเสนอคุณสมบัติที่ใช้ในการแก้ไขขีดจำกัดโดยการขยายในซีรีย์ Maclaurin (นั่นคือ at)

เพิ่มเติม m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ
;
;
, ถ้า ;
;
;
;
, ที่ไหน ;
ที่ไหนค ≠ 0 - คงที่;
.

ในการพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้ จำเป็นต้องแสดงฟังก์ชันเล็ก ๆ น้อย ๆ ในแง่ของฟังก์ชันที่น้อยที่สุด:
, ที่ไหน .

เทย์เลอร์ (Maclaurin) การขยายตัวของฟังก์ชันพื้นฐาน

;
;
,
ที่ไหน ;
;
;
,
โดยที่ - หมายเลขเบอร์นูลลี:,;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

ตัวอย่างของ

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณขีดจำกัดของลำดับโดยใช้การขยายอนุกรมเทย์เลอร์
.

นี่คือความไม่แน่นอนของประเภท อินฟินิตี้ลบอินฟินิตี้... เรานำมาซึ่งความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 ... ในการทำเช่นนี้ เราทำการแปลง

.
ในที่นี้เราคำนึงว่าจำนวนขององค์ประกอบของลำดับ n สามารถรับได้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น ดังนั้น . เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ที่ . เราจะหาลิมิตโดยสมมติว่า x เป็นจำนวนจริง หากมีการจำกัด ค่านั้นก็จะมีอยู่สำหรับลำดับใดๆ ที่บรรจบกันเป็นศูนย์ รวมถึงเพื่อความสม่ำเสมอ

.
เราขยายฟังก์ชันในตัวเศษเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ เราใช้สูตร:
.
เราปล่อยให้เทอมเชิงเส้นเท่านั้น
.
.
ในที่นี้เราคำนึงว่าเนื่องจากมีขีดจำกัดสองด้าน จึงมีขีดจำกัดด้านเดียวเท่ากับมัน ดังนั้น .

ตัวอย่าง 2

แสดงว่าสามารถหาค่าของลิมิตที่น่าทึ่งที่สองได้โดยใช้การขยายอนุกรมเทย์เลอร์

เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร แล้ว . ที่ . เราแทน.
.

ในการคำนวณขีด จำกัด เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าค่าของตัวแปร t เป็นของย่านที่เจาะทะลุที่เลือกไว้ล่วงหน้าของจุด เราเชื่ออย่างนั้น เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันผกผันที่สัมพันธ์กัน แล้ว
.

เราคำนวณลิมิตในเลขชี้กำลังโดยใช้การขยายอนุกรมเทย์เลอร์ต่อไปนี้:
.
.

เนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นโดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันต่อเนื่องของฟังก์ชัน เราจึงมี:
.

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณขีดจำกัดโดยใช้การขยายอนุกรมเทย์เลอร์
.

นี่คือความไม่แน่นอนของประเภท 0/0 ... เราใช้การขยายฟังก์ชันต่อไปนี้ในบริเวณใกล้เคียงของจุด:
;
;
.

ขยายได้ถึงเงื่อนไขกำลังสอง:
;
.
หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยแล้วหาขีดจำกัด:
.

ตัวอย่างที่ 4

แก้ลิมิตโดยใช้อนุกรมเทย์เลอร์
.

ง่ายที่จะเห็นว่านี่คือความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 ... เราขยายโดยใช้การขยายฟังก์ชันซีรีส์เทย์เลอร์ ลองใช้ข้างต้น:
(A4.1) .
ในการขยายเลขชี้กำลัง ให้แทนที่ x ด้วย -x:
(A4.2) .
ถัดไปเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน มาเปลี่ยนตัวแปรกัน ที่ . ดังนั้นเราจึงสามารถใช้การขยายตัวของลอการิทึมธรรมชาติในบริเวณจุดนั้นได้ ลองใช้การสลายตัวข้างต้น ซึ่งเราเปลี่ยนชื่อตัวแปร x เป็น t:
(A4.3) .

สังเกตว่าถ้าเรามีฟังก์ชั่นแล้วที่ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแทนที่มันในการขยายครั้งก่อน เพราะมันใช้ได้กับบริเวณจุดนั้น ในกรณีนี้ เราจะต้องดำเนินการแปลงดังต่อไปนี้:
.
จากนั้นสำหรับและเราสามารถใช้ส่วนขยาย (A4.3)

มาลองแก้ลิมิตโดยขยายเป็นกำลังแรกของตัวแปร x: นั่นคือเราปล่อยให้เทอมคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับ x: และเชิงเส้น ส่วนที่เหลือจะถูกยกเลิก แม่นยำยิ่งขึ้นโอนไปที่
;
;
.
เนื่องจากในการขยายตัวของลอการิทึม เราละทิ้งเทอมโดยเริ่มจากดีกรี 2 โดยใช้คุณสมบัติข้างต้นเกี่ยวกับขนาดเล็ก เรามี:

.
เราแทนที่ในขีด จำกัด :

.
ได้ความกำกวมแบบนี้อีกแล้ว 0/0 ... ดังนั้นการสลายตัวในระดับหนึ่งจึงไม่เพียงพอ

หากเราทำการขยายเป็นพาวเวอร์ เราก็จะได้รับความไม่แน่นอนอีกครั้ง:
.

มาทำการขยายขอบเขตกัน นั่นคือเราจะเก็บเฉพาะสมาชิกคงที่และข้อตกลงกับปัจจัย ที่เหลือรวมไว้ใน
;
;

;

.
นอกจากนี้ เราสังเกตว่า ดังนั้น ในการขยายลอการิทึม คุณต้องละเงื่อนไข เริ่มจากดีกรี รวมทั้งใน เราใช้ส่วนขยาย (A4.3) แทนที่ t โดย:


.

แทนที่ในฟังก์ชันเดิม


.
เราพบขีดจำกัด
.

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาขีดจำกัดโดยใช้ซีรี่ส์ Taylor
.

เราจะดำเนินการขยายตัวเศษและตัวส่วนในอนุกรมมาลอรินจนถึงยกกำลังที่สี่ รวมอยู่ด้วย

เริ่มจากตัวส่วนกันก่อน เราใช้และ.

;
;

.

ทีนี้มาดูตัวเศษกัน ที่ . ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะทำการทดแทนและนำการสลายตัวไปใช้ เนื่องจากการสลายตัวนี้สามารถใช้ได้ที่ และกับเรา สังเกตว่า. ดังนั้น เราจะดำเนินการแปลงร่าง
.
ตอนนี้คุณสามารถทำการทดแทนได้ตั้งแต่ for

ให้เราขยายฟังก์ชันและพลังของมันในอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียงของจุด เราสมัคร.
;
;

;
;
;
;
นอกจากนี้โปรดทราบว่า ดังนั้น ในการรับการขยายของฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยความแม่นยำสูงสุด เราจำเป็นต้องมีการขยายที่มีความแม่นยำสูงสุด

ขยายลอการิทึมแรก


; ;
;
.

ลองขยายลอการิทึมที่สองกัน เรานำมันมาสู่รูปแบบที่
,
ที่ไหน .

ให้เราขยาย z ในอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียงของจุดขึ้นไป
มาสมัครกัน:
.
แทนที่ x ด้วย:
... แล้ว
;

;
สังเกตว่า. ดังนั้น ในการรับการขยายของฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยความแม่นยำสูงสุด เราจำเป็นต้องมีการขยายที่มีความแม่นยำสูงสุด

เราจัดวางและคำนึงถึงสิ่งนั้น


;
.

หาการขยายตัวของตัวเศษ

;
;
.

แทนการขยายของตัวเศษและส่วนและหาลิมิต
;
.

ข้อมูลอ้างอิง:
แอล.ดี. Kudryavtsev, ค.ศ. Kutasov, V.I. เชคลอฟ, M.I. ชาบูนิน. การรวบรวมปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2546