คำตอบของอินทิกรัลเส้นโค้งแบบที่ 1 ปริพันธ์เชิงโค้ง. เราหามวลของส่วนโค้งตามสูตร

แบบที่ 1

1.1.1. นิยามของปริพันธ์เชิงโค้งชนิดที่ 1

ให้ขึ้นเครื่องบิน อ๊อกซี่เส้นโค้งที่กำหนด (ล).ปล่อยให้จุดใด ๆ ของเส้นโค้ง (L)มีการกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่อง ฉ(x;y).มาทำลายส่วนโค้งกันเถอะ เอบีเส้น (L)จุด A \u003d P 0, P 1, P n \u003d Bบน นส่วนโค้งโดยพลการ พี ฉัน -1 พี ฉันมีความยาว ( ฉัน = 1, 2, n) (รูปที่ 27)

เราเลือกในแต่ละส่วนโค้ง พี ฉัน -1 พี ฉันจุดโดยพลการ ม ฉัน (x ฉัน ; y ฉัน) ,คำนวณค่าของฟังก์ชัน ฉ(x;y)ที่จุด ม. ลองทำผลรวมอินทิกรัลกัน

ให้ ที่ .

λ→0 (n→∞), โดยไม่ขึ้นกับวิธีการแบ่งส่วนโค้ง ( แอล) เป็นส่วนพื้นฐานหรือจากตัวเลือกของคะแนน ม อินทิกรัลเชิงโค้งชนิดที่ 1จากฟังก์ชั่น ฉ(x;y)(อินทิกรัลเส้นโค้งตามความยาวของส่วนโค้ง) และแสดงว่า:

ความคิดเห็น. ในทำนองเดียวกัน เราแนะนำนิยามของอินทิกรัลเส้นโค้งของฟังก์ชัน ฉ(x;y;z)ตามเส้นโค้งของพื้นที่ (ล).

ความหมายทางกายภาพของอินทิกรัลเส้นโค้งประเภทที่ 1:

ถ้า (L)-เส้นโค้งระนาบกับระนาบเชิงเส้น จากนั้นหามวลของเส้นโค้งได้จากสูตร:

1.1.2. คุณสมบัติหลักของอินทิกรัลเส้นโค้งของประเภทที่ 1:

3. หากเส้นทางของการบูรณาการออกเป็นส่วนต่างๆ เช่นนั้น และมีจุดร่วมเดียวแล้ว

4. อินทิกรัลเส้นโค้งของประเภทที่ 1 ไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางของการรวม:

5. ความยาวของเส้นโค้งอยู่ที่ไหน

1.1.3. การคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งประเภทที่ 1

การคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งจะลดลงเป็นการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน

1. ปล่อยให้เส้นโค้ง (L)กำหนดโดยสมการ แล้ว

นั่นคือค่าส่วนโค้งคำนวณโดยสูตร

ตัวอย่าง

คำนวณมวลของส่วนของเส้นตรงจากจุด ก(1;1)ถึงจุด ข(2;4),ถ้า .

สารละลาย

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด: .

แล้วสมการเส้นตรง ( เอบี): , .

ลองหาอนุพันธ์กัน

แล้ว . = .

2. ปล่อยให้เส้นโค้ง (L)ตั้งแบบพาราเมตริก: .

จากนั้น นั่นคือ ค่าส่วนโค้งจะคำนวณโดยสูตร

สำหรับกรณีเชิงพื้นที่ของการตั้งค่าเส้นโค้ง: จากนั้น

นั่นคือค่าส่วนโค้งคำนวณโดยสูตร

ตัวอย่าง

หาความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง , .

สารละลาย

เราหาความยาวของส่วนโค้งตามสูตร: .

ในการทำเช่นนี้เราจะพบส่วนต่างของส่วนโค้ง

ค้นหาอนุพันธ์ , , จากนั้นความยาวของส่วนโค้ง: .

3. ปล่อยให้เส้นโค้ง (L)ได้รับในระบบพิกัดเชิงขั้ว: . แล้ว

นั่นคือค่าส่วนโค้งคำนวณโดยสูตร

ตัวอย่าง

คำนวณมวลของส่วนโค้งของเส้น , 0≤ ≤ , ถ้า .

สารละลาย

เราหามวลของส่วนโค้งตามสูตร:

ในการทำเช่นนี้เราจะพบส่วนต่างของส่วนโค้ง

ลองหาอนุพันธ์กัน

1.2. อินทิกรัลเส้นโค้งชนิดที่ 2

1.2.1. ความหมายของปริพันธ์เชิงโค้งชนิดที่ 2

ให้ขึ้นเครื่องบิน อ๊อกซี่เส้นโค้งที่กำหนด (L). ให้บน (L)ให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง ฉ(x;ย).มาทำลายส่วนโค้งกันเถอะ เอบีเส้น (L)จุด A \u003d P 0, P 1, P n \u003d Bในทิศทางจากจุด กถึงจุด ในบน นส่วนโค้งโดยพลการ พี ฉัน -1 พี ฉันมีความยาว ( ฉัน = 1, 2, n) (รูปที่ 28)

เราเลือกในแต่ละส่วนโค้ง พี ฉัน -1 พี ฉันจุดโดยพลการ ม ฉัน (x ฉัน ; y ฉัน), คำนวณค่าของฟังก์ชัน ฉ(x;y)ที่จุด ม. มาทำผลรวมอินทิกรัล โดยที่ - ความยาวของเส้นโครงโค้ง P i -1 P iต่อเพลา วัว. หากทิศทางการเคลื่อนที่ตามแนวเส้นโครงตรงกับทิศทางบวกของแกน วัวจากนั้นพิจารณาการฉายของส่วนโค้ง เชิงบวก, มิฉะนั้น - เชิงลบ.

ให้ ที่ .

หากมีขีดจำกัดสำหรับผลรวมของอินทิกรัลที่ λ→0 (n→∞) ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการแบ่งส่วนโค้ง (L)เป็นส่วนพื้นฐานหรือจากตัวเลือกของคะแนน มในแต่ละส่วนเบื้องต้น จึงเรียกขีดจำกัดนี้ว่า อินทิกรัลเส้นโค้งชนิดที่ 2จากฟังก์ชั่น ฉ(x;y)(อินทิกรัลเส้นโค้งเหนือพิกัด เอ็กซ์) และแสดงว่า:

ความคิดเห็นอินทิกรัลเส้นโค้งเหนือพิกัด y ถูกนำมาใช้ในทำนองเดียวกัน:

ความคิดเห็นถ้า (L)เป็นเส้นโค้งปิด แล้วแสดงอินทิกรัลทับ

ความคิดเห็นถ้าเปิด ( แอล) จะได้รับฟังก์ชันสามฟังก์ชันพร้อมกันและมีอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้ , , ,

จากนั้นนิพจน์: ++ เรียกว่า อินทิกรัลเส้นโค้งทั่วไปชนิดที่ 2และเขียน:

1.2.2. คุณสมบัติหลักของอินทิกรัลเส้นโค้งของประเภทที่ 2:

3. เมื่อทิศทางของการอินทิเกรตเปลี่ยนไป อินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดที่ 2 จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

4. หากเส้นทางการรวมถูกแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และมีจุดร่วมเดียว

5. ถ้าเส้นโค้ง ( แอล) อยู่ในระนาบ:

แกนตั้งฉาก โอ้แล้ว = 0 ;

แกนตั้งฉาก โอ๊ย, ที่ ;

แกนตั้งฉาก ออนซ์แล้ว = 0

6. ปริพันธ์เชิงเส้นของเส้นโค้งประเภทที่ 2 บนเส้นโค้งปิดไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดเริ่มต้น (ขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้งเท่านั้น)

1.2.3. ความหมายทางกายภาพของปริพันธ์เชิงโค้งแบบที่ 2

งาน กแรงเมื่อย้ายจุดวัสดุของหน่วยมวลจากจุดหนึ่ง มอย่างแน่นอน เอ็นตาม ( มิน) เท่ากับ:

1.2.4. การคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งประเภทที่ 2

การคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งของประเภทที่ 2 จะลดลงเป็นการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน

1. ให้เส้นโค้ง ( แอล) ได้จากสมการ

ตัวอย่าง

คำนวณที่ไหน ( แอล) - เส้นขาด สตง: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

สารละลาย

ตั้งแต่ (รูปที่ 29) แล้ว

1) สมการ (สผ.): , ,

2) สมการเส้นตรง (อ): .

2. ปล่อยให้เส้นโค้ง (L)ตั้งค่าพารามิเตอร์: .

ความคิดเห็นในกรณีเชิงพื้นที่:

ตัวอย่าง

คำนวณ

ที่ไหน ( เอบี)-ส่วนจาก เอ(0;0;1)ก่อน ข(2;-2;3).

สารละลาย

มาหาสมการของเส้นตรงกัน ( เอบี):

มาดูการแสดงพาราเมตริกของสมการเส้นตรงกัน (เอบี). แล้ว .

จุด เอ(0;0;1)จับคู่พารามิเตอร์ ทีเท่ากัน: ดังนั้น เสื้อ=0.

จุด ข(2;-2;3)จับคู่พารามิเตอร์ ทีเท่ากับ: ดังนั้น เสื้อ=1.

เมื่อย้ายจาก กถึง ใน,พารามิเตอร์ ทีเปลี่ยนจาก 0 เป็น 1

1.3. สูตรของกรีน. L ) รวม ม(x; y; z)ด้วยขวาน อ็อกซ์, ออย, ออซ

บทที่ 5 ปริพันธ์เชิงโค้งชนิดที่ 1 และชนิดที่ 2 คุณสมบัติของ ..

โจทย์ปัญหามวลของเส้นโค้ง อินทิกรัลเส้นโค้งแบบที่ 1

โจทย์ปัญหามวลของเส้นโค้งให้แต่ละจุดของเส้นโค้งของวัสดุที่เรียบตามขวาง L: (AB) ระบุความหนาแน่นของมัน กำหนดมวลของเส้นโค้ง

เราดำเนินการในลักษณะเดียวกับที่เราทำเมื่อหามวลของพื้นที่ราบ (อินทิกรัลสองเท่า) และวัตถุเชิงพื้นที่ (อินทิกรัลสามเท่า)

1. จัดพาร์ติชันของส่วนโค้ง L เป็นองค์ประกอบ - ส่วนโค้งพื้นฐานเพื่อให้องค์ประกอบเหล่านี้ไม่มีจุดภายในทั่วไปและ ( เงื่อนไข ก )

3. มาสร้างผลรวมอินทิกรัล โดยที่ความยาวของส่วนโค้ง (โดยปกติจะใช้การกำหนดเดียวกันสำหรับส่วนโค้งและความยาวของส่วนโค้ง) นี่คือค่าโดยประมาณสำหรับมวลของเส้นโค้ง การทำให้เข้าใจง่ายคือเราสันนิษฐานว่าความหนาแน่นของส่วนโค้งคงที่ในแต่ละองค์ประกอบและรับจำนวนองค์ประกอบที่จำกัด

ผ่านเกณฑ์ตามเงื่อนไข (เงื่อนไข B ) เราได้รับอินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดแรกเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล:

.

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่

ปล่อยให้ฟังก์ชันต่อเนื่องบนส่วนโค้ง L ที่เรียบทีละชิ้น จากนั้นอินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดแรกจะเป็นลิมิตของผลรวมอินทิกรัล

ความคิดเห็นขีด จำกัด นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ

คุณสมบัติของอินทิกรัลเชิงโค้งชนิดที่หนึ่ง

1. เชิงเส้น
ก) คุณสมบัติการซ้อนทับ

b) คุณสมบัติความเป็นเนื้อเดียวกัน .

การพิสูจน์. ให้เราเขียนผลรวมของปริพันธ์ทางด้านซ้ายของการเท่ากัน เนื่องจากจำนวนพจน์ในผลรวมอินทิกรัลมีจำกัด เรามาดูผลรวมอินทิกรัลสำหรับด้านขวาของการเท่ากันกัน จากนั้นเราผ่านไปยังขีด จำกัด ตามทฤษฎีบทเมื่อผ่านไปยังขีด จำกัด ในความเท่าเทียมกัน เราได้รับผลลัพธ์ที่ต้องการ

2. สารเติมแต่ง
ถ้า , ที่ = +

3. นี่คือความยาวของส่วนโค้ง

4. หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจในส่วนโค้งแล้ว

การพิสูจน์. ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันสำหรับผลรวมทั้งหมดและผ่านไปยังขีดจำกัด

โปรดทราบว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นไปได้

5. ทฤษฎีบทการประมาณค่า

หากมีค่าคงที่เช่นนั้น

การพิสูจน์. การบูรณาการความไม่เท่าเทียมกัน (คุณสมบัติ ๔) เราก็ได้ . ด้วยคุณสมบัติ 1 ค่าคงที่สามารถดึงออกมาจากใต้อินทิกรัลได้ ใช้คุณสมบัติ 3 เราได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

6. ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย(ค่าของอินทิกรัล).

มีจุด , อะไร

การพิสูจน์. เนื่องจากฟังก์ชันต่อเนื่องบน set ขอบเขตปิด ดังนั้น infimum จึงมีอยู่จริง และขอบบน . อสมการถูกเติมเต็ม หารทั้งสองข้างด้วย L เราได้ . แต่เบอร์ อยู่ระหว่างขอบล่างและขอบบนของฟังก์ชัน เนื่องจากฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซต L ที่มีขอบเขตปิด ฟังก์ชันจึงต้องใช้ค่านี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เพราะฉะนั้น, .

การคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งของประเภทแรก

เราทำให้ส่วนโค้งเป็นพารามิเตอร์ L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t) ให้ t 0 ตรงกับจุด A และ t 1 ตรงกับจุด B จากนั้นอินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดแรกจะลดลงเป็นอินทิกรัลแน่นอน ( - สูตรที่รู้จักกันในภาคการศึกษาที่ 1 สำหรับการคำนวณส่วนต่างของความยาวส่วนโค้ง):

ตัวอย่าง.คำนวณมวลของเกลียวที่เป็นเนื้อเดียวกัน (ความหนาแน่นเท่ากับ k) หนึ่งรอบ: .

อินทิกรัลเส้นโค้งชนิดที่ 2

ปัญหาของการทำงานของแรง

แรงทำงานเท่าไหร่ฉ(ม) เมื่อย้ายจุดมในส่วนโค้งเอบี? ถ้าส่วนโค้ง AB เป็นส่วนของเส้นตรง และแรงจะคงที่ทั้งในด้านขนาดและทิศทางเมื่อจุด M เคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้ง AB ดังนั้นงานสามารถคำนวณได้ด้วยสูตร โดยที่มุมระหว่างเวกเตอร์คือตำแหน่งใด ในกรณีทั่วไป สูตรนี้สามารถใช้สร้างผลรวมอินทิกรัล โดยสมมติว่าแรงคงที่บนส่วนโค้งที่มีความยาวน้อยเพียงพอ แทนที่จะใช้ความยาวขององค์ประกอบเล็กๆ ของส่วนโค้ง คุณสามารถใช้ความยาวของคอร์ดมาแทนความยาวของส่วนนั้นได้ เนื่องจากปริมาณเหล่านี้เทียบเท่ากับปริมาณที่น้อยมากภายใต้เงื่อนไข (ภาคการศึกษาแรก)

1. จัดพาร์ติชันของภูมิภาค - ส่วนโค้ง AB เป็นองค์ประกอบ - ส่วนโค้งพื้นฐานเพื่อให้องค์ประกอบเหล่านี้ไม่มีจุดภายในทั่วไปและ ( เงื่อนไข ก )

2. เราทำเครื่องหมายองค์ประกอบของพาร์ติชัน "จุดที่ทำเครื่องหมาย" M i และคำนวณค่าของฟังก์ชันในนั้น

3. สร้างผลรวมที่สมบูรณ์ โดยที่เวกเตอร์กำกับไปตามคอร์ดที่อยู่ใต้ส่วนโค้ง

4. ผ่านเกณฑ์ตามเงื่อนไข (เงื่อนไข B ) เราได้รับอินทิกรัลเส้นโค้งของประเภทที่สองเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล (และงานของแรง):

. มักถูกอ้างถึง

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่

ให้ฟังก์ชันเวกเตอร์ต่อเนื่องบนส่วนโค้ง L ที่เรียบทีละชิ้น จากนั้นอินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดที่สองจะมีค่าเป็นลิมิตของผลรวมอินทิกรัล

.

ความคิดเห็นขีด จำกัด นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ

วิธีการเลือกพาร์ติชัน ตราบใดที่ตรงตามเงื่อนไข A

การเลือก "จุดที่ทำเครื่องหมาย" บนองค์ประกอบพาร์ติชัน

วิธีการปรับปรุงพาร์ติชัน ตราบใดที่ตรงตามเงื่อนไข B

สมบัติของอินทิกรัลเส้นโค้งแบบที่ 2

1. เชิงเส้น
ก) คุณสมบัติการซ้อนทับ

b) คุณสมบัติความเป็นเนื้อเดียวกัน .

การพิสูจน์. ให้เราเขียนผลรวมของปริพันธ์ทางด้านซ้ายของการเท่ากัน เนื่องจากจำนวนเทอมในผลรวมอินทิกรัลมีจำกัด การใช้คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ เราจึงส่งต่อผลรวมอินทิกรัลสำหรับด้านขวาของการเท่ากันไปยังผลรวมอินทิกรัล จากนั้นเราผ่านไปยังขีด จำกัด ตามทฤษฎีบทเมื่อผ่านไปยังขีด จำกัด ในความเท่าเทียมกัน เราได้รับผลลัพธ์ที่ต้องการ

2. สารเติมแต่ง
ถ้า , ที่ = + .

การพิสูจน์. ให้เราเลือกพาร์ติชันของโดเมน L เพื่อให้ไม่มีองค์ประกอบใดของพาร์ติชัน (เริ่มต้นและเมื่อปรับแต่งพาร์ติชันแล้ว) มีทั้งองค์ประกอบ L 1 และองค์ประกอบ L 2 พร้อมกัน สามารถทำได้โดยทฤษฎีบทการดำรงอยู่ (หมายเหตุในทฤษฎีบท) นอกจากนี้ การพิสูจน์จะดำเนินการในรูปของผลรวมทั้งหมด ดังในส่วนที่ 1

3. ทิศทาง

= -

การพิสูจน์. อินทิกรัลส่วนโค้ง –L เช่น ในทิศทางลบของการข้ามส่วนโค้ง มีขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล โดยมี () แทน การนำ "ลบ" ออกจากผลคูณของสเกลาร์และจากผลรวมของจำนวนที่จำกัด ผ่านไปถึงขีดจำกัด เราได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

สำหรับกรณีที่พื้นที่ของอินทิเกรตเป็นส่วนของเส้นโค้งที่อยู่ในระนาบ สัญกรณ์ทั่วไปของอินทิกรัลเส้นโค้งมีดังนี้:

ที่ไหน ฉ(x, ย) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว และ แอล- เส้นโค้งตามส่วน เอบีซึ่งการบูรณาการเกิดขึ้น ถ้าอินทิกรัลเท่ากับหนึ่ง อินทิกรัลเส้นโค้งจะเท่ากับความยาวของส่วนโค้ง AB .

เช่นเคยในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ปริพันธ์เชิงเส้นโค้งเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลของส่วนที่เล็กมากๆ ของบางสิ่งที่มีขนาดใหญ่มาก สรุปในกรณีของปริพันธ์เชิงโค้งคืออะไร?

ให้มีส่วนบนเครื่องบิน เอบีโค้งบาง แอลและฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ฉ(x, ย) กำหนดไว้ที่จุดต่างๆ ของเส้นโค้ง แอล. ให้เราใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้กับส่วนโค้งนี้

1. แยกเส้นโค้ง เอบีในส่วนที่มีจุด (รูปด้านล่าง)
2. ในแต่ละส่วน เลือกจุดได้อย่างอิสระ ม.
3. ค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่เลือก
4. คูณค่าฟังก์ชันด้วย
   • ความยาวของชิ้นส่วนในกรณี อินทิกรัลเส้นโค้งชนิดที่หนึ่ง ;
   • การฉายของชิ้นส่วนบนแกนพิกัดในกรณี อินทิกรัลเส้นโค้งชนิดที่สอง .
5. ค้นหาผลรวมของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด
6. ค้นหาขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลที่พบภายใต้เงื่อนไขที่ว่าความยาวของส่วนที่ยาวที่สุดของเส้นโค้งมีแนวโน้มเป็นศูนย์

หากมีขีด จำกัด นี้อยู่ นี่คือสิ่งนี้ ลิมิตของผลรวมอินทิกรัลและเรียกว่าอินทิกรัลเส้นโค้งของฟังก์ชัน ฉ(x, ย) ตามแนวโค้ง เอบี .

ชนิดแรก

กรณีอินทิกรัลแบบโค้ง
ชนิดที่สอง

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้

มฉัน ( ζ ฉัน ; η ฉัน)- จุดที่มีพิกัดที่เลือกไว้ในแต่ละส่วน

ฉฉัน ( ζ ฉัน ; η ฉัน)- ค่าฟังก์ชัน ฉ(x, ย) ในจุดที่เลือก

Δ สฉัน- ความยาวของส่วนหนึ่งของส่วนของเส้นโค้ง (ในกรณีของอินทิกรัลเส้นโค้งประเภทแรก)

Δ xฉัน- การฉายส่วนหนึ่งของส่วนโค้งบนแกน วัว(ในกรณีของอินทิกรัลเส้นโค้งประเภทที่สอง)

ง= สูงสุด สฉันคือความยาวของส่วนที่ยาวที่สุดของส่วนโค้ง

ปริพันธ์เชิงโค้งชนิดที่หนึ่ง

จากข้างต้นเกี่ยวกับลิมิตของผลรวม อินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดแรกเขียนได้ดังนี้

.

อินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดแรกมีคุณสมบัติทั้งหมดที่ อินทิกรัลแน่นอน. อย่างไรก็ตาม มีความแตกต่างที่สำคัญประการหนึ่ง สำหรับอินทิกรัลที่แน่นอน เมื่อลิมิตของการอินทิเกรตถูกเปลี่ยน เครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:

ในกรณีของอินทิกรัลเส้นโค้งประเภทแรก ไม่สำคัญว่าจุดใดของเส้นโค้ง เอบี (กหรือ ข) พิจารณาจุดเริ่มต้นของส่วนและจุดสิ้นสุด นั่นคือ

.

ปริพันธ์เชิงเส้นโค้งประเภทที่สอง

จากที่ได้กล่าวไว้เกี่ยวกับลิมิตของผลรวมอินทิกรัลแล้ว อินทิกรัลเส้นโค้งประเภทที่สองเขียนได้ดังนี้

.

ในกรณีของอินทิกรัลเส้นโค้งประเภทที่สอง เมื่อจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของส่วนของเส้นโค้งกลับด้าน เครื่องหมายของอินทิกรัลจะเปลี่ยนไป:

.

เมื่อรวบรวมอินทิกรัลของอินทิกรัลเส้นโค้งประเภทที่สอง ค่าของฟังก์ชัน ฉฉัน ( ζ ฉัน ; η ฉัน)ยังสามารถคูณด้วยการฉายส่วนของส่วนโค้งบนแกน โอ๊ย. จากนั้นเราจะได้อินทิกรัล

.

ในทางปฏิบัติ มักใช้ยูเนี่ยนของปริพันธ์เชิงเส้นโค้งของชนิดที่สอง นั่นคือ สองฟังก์ชัน ฉ = พี(x, ย) และ ฉ = ถาม(x, ย) และอินทิกรัล

,

และผลรวมของอินทิกรัลเหล่านี้

เรียกว่า อินทิกรัลเส้นโค้งทั่วไปของชนิดที่สอง .

การคำนวณปริพันธ์เชิงเส้นโค้งประเภทแรก

การคำนวณปริพันธ์เชิงเส้นโค้งของประเภทแรกจะลดลงเป็นการคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอน ลองพิจารณาสองกรณี

ให้เส้นโค้งบนระนาบ ย = ย(x) และส่วนโค้ง เอบีสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร xจาก กก่อน ข. จากนั้นที่จุดของเส้นโค้งอินทิกรัล ฉ(x, ย) = ฉ(x, ย(x)) ("y" ต้องแสดงผ่าน "x") และค่าส่วนโค้ง และอินทิกรัลเส้นโค้งสามารถคำนวณได้จากสูตร

.

หากเป็นอินทิกรัลจะอินทิกรัลได้ง่ายกว่า ยจากสมการของเส้นโค้งจำเป็นต้องแสดง x = x(ย) ("x" ถึง "y") โดยที่และอินทิกรัลคำนวณโดยสูตร

.

ตัวอย่างที่ 1

ที่ไหน เอบี- ส่วนของเส้นระหว่างจุด ก(1; −1) และ ข(2; 1) .

สารละลาย. เขียนสมการของเส้นตรง เอบีโดยใช้สูตร (สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ก(x1 ; ย 1 ) และ ข(x2 ; ย 2 ) ):

จากสมการเส้นตรงเราแสดง ยผ่าน x :

จากนั้นและตอนนี้ เราสามารถคำนวณอินทิกรัลได้ เนื่องจากเราเหลือ "x" เพียงตัวเดียว:

ให้เส้นโค้งในอวกาศ

จากนั้น ที่จุดต่างๆ ของเส้นโค้ง ฟังก์ชันจะต้องแสดงในรูปของพารามิเตอร์ ที() และค่าส่วนโค้ง ดังนั้นสูตรอินทิกรัลเส้นโค้งสามารถคำนวณได้

ในทำนองเดียวกัน ถ้าให้เส้นโค้งบนระนาบ

,

จากนั้นคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งโดยสูตร

.

ตัวอย่างที่ 2คำนวณ Curvilinear Integral

ที่ไหน แอล- ส่วนของเส้นวงกลม

อยู่ในออคแรกต์

สารละลาย. เส้นโค้งนี้เป็นหนึ่งในสี่ของเส้นวงกลมที่อยู่ในระนาบ ซี= 3 . สอดคล้องกับค่าพารามิเตอร์ เพราะ

แล้วค่าส่วนโค้ง

ให้เราแสดงอินทิกรันด์ในแง่ของพารามิเตอร์ ที :

ตอนนี้เรามีทุกอย่างที่แสดงผ่านพารามิเตอร์ ทีเราสามารถลดการคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งนี้เป็นอินทิกรัลที่แน่นอนได้:

การคำนวณปริพันธ์เชิงเส้นโค้งประเภทที่สอง

เช่นเดียวกับในกรณีของปริพันธ์เชิงโค้งของประเภทแรก การคำนวณปริพันธ์ของประเภทที่สองจะลดลงเหลือการคำนวณปริพันธ์แน่นอน

เส้นโค้งถูกกำหนดเป็นพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

ให้เส้นโค้งบนระนาบกำหนดโดยสมการของฟังก์ชัน "y" ซึ่งแสดงผ่าน "x": ย = ย(x) และส่วนโค้งของเส้นโค้ง เอบีสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง xจาก กก่อน ข. จากนั้นเราแทนที่นิพจน์ "y" ถึง "x" ลงในอินทิกรัลและหาอนุพันธ์ของนิพจน์ "y" เทียบกับ "x": ตอนนี้ เมื่อทุกอย่างถูกแสดงด้วย "x" อินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดที่สองจะถูกคำนวณเป็นอินทิกรัลแน่นอน:

ในทำนองเดียวกัน อินทิกรัลเส้นโค้งของประเภทที่สองจะถูกคำนวณเมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการของฟังก์ชัน "x" ซึ่งแสดงผ่าน "y": x = x(ย) , . ในกรณีนี้ สูตรการคำนวณอินทิกรัลมีดังนี้:

ตัวอย่างที่ 3คำนวณ Curvilinear Integral

, ถ้า

ก) แอล- ส่วนของเส้นตรง สสจ, ที่ไหน เกี่ยวกับ(0; 0) , ก(1; −1) ;

ข) แอล- ส่วนโค้งของพาราโบลา ย = x² จาก เกี่ยวกับ(0; 0) ถึง ก(1; −1) .

a) คำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งเหนือส่วนของเส้นตรง (สีน้ำเงินในรูป) เขียนสมการของเส้นตรงและแสดง "Y" ถึง "X":

.

เราได้รับ ตาย = ดีเอ็กซ์. เราแก้อินทิกรัลเส้นโค้งนี้:

ข) ถ้า แอล- ส่วนโค้งของพาราโบลา ย = x² เราได้รับ ตาย = 2xdx. เราคำนวณส่วนประกอบ:

ในตัวอย่างที่เพิ่งแก้ไข เราได้ผลลัพธ์เดียวกันในสองกรณี และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ แต่เป็นผลมาจากรูปแบบ เนื่องจากอินทิกรัลนี้เป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชั่น พี(x,ย) , ถาม(x,ย) และอนุพันธ์บางส่วน , - ต่อเนื่องในภูมิภาค งฟังก์ชันและที่จุดของภูมิภาคนี้ อนุพันธ์บางส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นอินทิกรัลเส้นโค้งจะไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรตตามแนวเส้น แอลตั้งอยู่ในภูมิภาค ง .

เส้นโค้งถูกกำหนดในรูปแบบพาราเมตริก

ให้เส้นโค้งในอวกาศ

.

และในอินทิกรัลที่เราแทนที่

การแสดงออกของฟังก์ชันเหล่านี้ผ่านพารามิเตอร์ ที. เราได้รับสูตรสำหรับการคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้ง:

ตัวอย่างที่ 4คำนวณ Curvilinear Integral

,

ถ้า แอล- ส่วนหนึ่งของวงรี

ตรงตามเงื่อนไข ย ≥ 0 .

สารละลาย. เส้นโค้งนี้คือส่วนของวงรีที่อยู่ในระนาบ ซี= 2 . มันสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์

เราสามารถแสดงอินทิกรัลเส้นโค้งเป็นอินทิกรัลที่แน่นอนและคำนวณได้:

กำหนดอินทิกรัลเส้นโค้งและ แอล- เส้นปิด ดังนั้นอินทิกรัลดังกล่าวเรียกว่าอินทิกรัลเหนือรูปร่างปิด และง่ายต่อการคำนวณโดยใช้ สูตรของกรีน .

ตัวอย่างเพิ่มเติมของการคำนวณปริพันธ์เส้นโค้ง

ตัวอย่างที่ 5คำนวณ Curvilinear Integral

ที่ไหน แอล- ส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดตัดกับแกนพิกัด

สารละลาย. ให้เรากำหนดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนพิกัด การแทนเส้นตรงลงในสมการ ย= 0 , เราได้รับ , . การทดแทน x= 0 เราได้รับ , . ดังนั้น จุดตัดกับแกน วัว - ก(2; 0) พร้อมแกน โอ๊ย - ข(0; −3) .

จากสมการเส้นตรงเราแสดง ย :

.

, .

ตอนนี้เราสามารถแสดงอินทิกรัลเส้นโค้งเป็นอินทิกรัลที่แน่นอนและเริ่มคำนวณได้:

ในอินทิกรัล เราเลือกปัจจัย เรานำมันออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล ในอินทิกรัลที่เป็นผลลัพธ์ เราใช้ นำภายใต้เครื่องหมายของส่วนต่างและในที่สุดเราก็ได้รับ