บันทึก. ในตัวอย่างที่ให้ไว้ การคำนวณปัจจัยกำหนดทั้งหมดจบลงด้วยการแสดงในรูปผลคูณของปัจจัย ซึ่งหนึ่งในนั้น (13) ลดลงระหว่างการหาร สถานการณ์นี้เป็นเรื่องปกติมาก ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องรีบเร่งในการคูณปัจจัย แม้ว่าส่วนใหญ่มักจะไม่ยกเลิกก็ตาม

ปัญหา 4.4. แก้ระบบสมการโดยใช้กฎของแครมเมอร์:

	1 + 4x 2 + x 3 = 21			1 + x 2 - x 3 = 2	2x 1 + x 2 + x 3 = 7
				3x 2 - 3x3 = 1
1) 4x1 + 2x2 + x3 = 27					3) x1 + 4x2 - 5x3
	3x2 + 2x3 = 19			− 2x2 + 3x3 = 7
					4x1 + 10x2 - x3

การแก้ปัญหาข้างต้นแสดงให้เห็นว่าสูตรของแครมเมอร์เป็นวิธีการค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นหนึ่งเดียวและสะดวกสบาย

บันทึก: การใช้สูตรของแครมเมอร์จะง่ายขึ้นมากหากคุณต้องการค้นหาค่าที่ไม่ทราบเพียงค่าเดียว ในกรณีนี้ คุณจะต้องนับปัจจัยกำหนดเพียงสองตัวเท่านั้น

2.4.4. ระบบสมการพร้อมพารามิเตอร์

ข้างต้น มีการพิจารณาระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่สำหรับไม่ทราบค่าและด้านขวามือของสมการตลอดทั้งระบบ ในปัญหาเชิงปฏิบัติ บ่อยครั้งที่ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้และค่าของด้านขวามือมักไม่ทราบอย่างถูกต้อง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องวิเคราะห์อิทธิพลของพารามิเตอร์ดังกล่าวต่อการแก้ปัญหาของระบบ

ตัวอย่างที่ 4.5 ตรวจสอบการพึ่งพาของการแก้โจทย์กับระบบสมการ

3 x + 8 y = a5 x + 9 y = b

จากพารามิเตอร์ a และ b

ในที่นี้ เฉพาะด้านขวามือของสมการเท่านั้นที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ เพราะว่า

							27 − 40 = − 13 ≠ 0

หากต้องการหาวิธีแก้ปัญหา คุณสามารถใช้สูตรของแครเมอร์ได้ เรามี:

∆1				9a - 8b,∆ 2				3b−5a

x = x

= ∆ 1

9a−8b

8b−9a

ย=เอ็กซ์

∆ 2 =

5a−3b

− 13

โดยการทดแทนเราตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นถูกต้อง:

8b−9a

5a−3b

ก(- 27 + 40)

บี(24 - 24)

8b−9a

5a−3b

ก(- 45 + 45)

− 27)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า a = 11, b = 14 เราจะได้: x =

8×14 - 9×11

1 และ y = 1

ใช่(ก, ข)

x(ก,ข)

ดังนั้น พารามิเตอร์ a และ b แต่ละคู่จึงสอดคล้องกับคู่ตัวเลข x และ y ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งเป็นไปตามระบบสมการที่กำหนด ซึ่งหมายความว่าการแก้ระบบสมการคือคู่ลำดับและฟังก์ชันสองฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว (พารามิเตอร์ a และ b) ฟังก์ชันทั้งสองถูกกำหนดไว้สำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์เหล่านี้และขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระ a และ b แบบเชิงเส้น นอกจากนี้ x ยังเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ

ฟังก์ชันการหลอมเหลว b และฟังก์ชันการลดลงแบบซ้ำซากจำเจ a,					- ในทางกลับกัน
ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น a และฟังก์ชันที่ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ b
ปัญหา 4.5 ค้นหาคำตอบของระบบสมการ
8 x + 5 ปี = 2 a + 1	4 x + 9 y = ก + ข	9x + 4 ปี
3 x + 2 y = ก	3 x + 8 y = 3 a - b	8 x + 3 ปี

และสำรวจการพึ่งพาการแก้ปัญหากับพารามิเตอร์ a และ b คำแนะนำ. พล็อตผลลัพธ์ผลลัพธ์ x (a, b) และ y (a, b)

เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ตัวแปร a และ b อธิบายว่าทำไมในปัญหาทั้งหมด ผลเฉลยจึงขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a และ b เป็นเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 4.6 ตรวจสอบการพึ่งพาของการแก้โจทย์กับระบบสมการ

			(a + 3) x + 2 ay = 5
จากพารามิเตอร์ a และ b					x + 5 y = ข
ในตัวอย่างนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์
a และด้านขวามาจากพารามิเตอร์ b .
มาหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จัก:
		ก + 3 2			5(ก + 3) − 2a = 3(ก + 5)

ดีเทอร์มิแนนต์นี้ไม่เท่ากับศูนย์เฉพาะเมื่อ ≠ − 5 เท่านั้น ดังนั้น สูตรของแครมเมอร์สามารถใช้ได้เฉพาะเมื่อ ≠ − 5 เท่านั้น ในกรณีนี้:

∆1 =					25 − 2ab , ∆ 2 =		ก+3			เอบี + 3b - 5

x = x		25 − 2ab	ย = x			3 ข − 5 + AB
		3(ก+5)				3(ก+5)

ให้เราพิจารณากรณี a = − 5 แยกกัน จากนั้นระบบดั้งเดิมคือ:

− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b

− 5 − c x = ค , y = 2

แน่นอนว่า มีความเด็ดขาดในการเลือกค่าของสิ่งที่ไม่ทราบ และวิธีการแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ในรูปแบบ:

x = − 5 2 − 5 c , y = c

ดังนั้นการพึ่งพาพารามิเตอร์ของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จักของระบบดั้งเดิมสามารถทำให้เกิดการไม่มีวิธีแก้ปัญหาหรือการมีอยู่ของโซลูชั่นจำนวนอนันต์ ข้อเท็จจริงที่ค้นพบนี้เป็นลักษณะทั่วไปของสิ่งที่เคยทราบมาก่อนสำหรับสมการหนึ่ง ax = b และสำหรับระบบของสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

หมายเหตุ 1 การนำค่าคงที่ c มาใช้ในการแก้ระบบสมการนั้น มีความคล้ายคลึงกับการเลือกค่าคงที่อินทิเกรต

โน้ต 2. ตัวอย่างที่พิจารณาแสดงให้เห็นว่า สำหรับสมการเดียว สำหรับระบบพีชคณิตเชิงเส้นที่มีสมการจำนวนมากและไม่ทราบค่า มีเพียงสามกรณีเท่านั้นที่เป็นไปได้: คำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบมากมายไม่จำกัด

ปัญหา 4.6. สำรวจคำตอบของระบบสมการ:

4 x + 5 ปี = 2 ก		4 x + 5 ปี = 2 ก			4 x + 5 ปี = 2 ก
8 x + 10 ปี		8 x + 10 ปี			8 x + 10 ปี = ข

ปัญหา 4.7. สร้างระบบสมการพีชคณิตสองสมการของคุณเองโดยมีสองค่าที่ไม่รู้จักและพารามิเตอร์สองตัวแล้วศึกษาขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์

คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง

1) ตัวรองขององค์ประกอบดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร?

2) ความแตกต่างระหว่างการเสริมพีชคณิตและองค์ประกอบรองของดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร?

3) เมทริกซ์ที่อยู่ติดกันคืออะไร?

4) จะค้นหาเมทริกซ์ adjoint สำหรับเมทริกซ์ที่กำหนดได้อย่างไร

5) ลำดับของเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันคืออะไร?

6) เมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ในกรณีใด?

7) เมทริกซ์ใดเรียกว่าไม่เอกพจน์?

8) สูตรของ Cramer สามารถใช้ภายใต้เงื่อนไขใดได้บ้าง

9) ข้อใดคือคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น?

10) ปัจจัยใดบ้างที่รวมอยู่ในสูตรของแครมเมอร์

11) ปัจจัยกำหนดจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เมื่อใด

12) ผลคูณของเมทริกซ์ adjoint และเมทริกซ์ดั้งเดิมสามารถเป็นเมทริกซ์สเกลาร์ได้หรือไม่?

13) การจัดเรียงปัจจัยใหม่ส่งผลต่อผลลัพธ์อย่างไรเมื่อคูณเมทริกซ์ที่อยู่ติดและเมทริกซ์ดั้งเดิม

14) สูตรของแครเมอร์คืออะไร?

15) การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นได้ภายใต้เงื่อนไขใดโดยใช้กฎของแครมเมอร์ (สูตร)

บางครั้งในสมการค่าสัมประสิทธิ์บางอย่างไม่ได้ถูกกำหนดโดยค่าตัวเลขเฉพาะ แต่จะระบุด้วยตัวอักษร

ตัวอย่าง: ขวาน+ข=ค.

ในสมการนี้ เอ็กซ์– ไม่ทราบ, ก ข ค– ค่าสัมประสิทธิ์ที่สามารถรับค่าตัวเลขที่แตกต่างกันได้ สัมประสิทธิ์ที่ระบุในลักษณะนี้เรียกว่า พารามิเตอร์.

สมการหนึ่งที่มีพารามิเตอร์จะกำหนดสมการหลายสมการ (สำหรับค่าพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด)

ตัวอย่าง: –5 เอ็กซ์+10=– 1;

x+4ย= 0;

–102–1000ย=; ฯลฯ

นี่คือสมการทั้งหมดที่ระบุโดยสมการพร้อมพารามิเตอร์ ขวาน+ข=ค.

การแก้สมการด้วยพารามิเตอร์หมายความว่า:

1. ระบุว่าค่าพารามิเตอร์ใดที่สมการมีรากและมีเท่าใดสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน

2. ค้นหานิพจน์ทั้งหมดสำหรับรากและระบุค่าพารามิเตอร์ที่นิพจน์นี้กำหนดรากของสมการสำหรับแต่ละค่า

ให้เราหันไปใช้สมการที่กำหนดพร้อมพารามิเตอร์ ขวาน+ข=คและเราจะแก้ไขมัน

ถ้า ก¹0 จากนั้น https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

ที่ ก=0และ ข=ค, x- จำนวนจริงใดๆ

ที่ ก=0และ ข¹ ค,สมการไม่มีราก

ในกระบวนการแก้สมการนี้ เราได้แยกค่าของพารามิเตอร์ออก ก=0เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในสมการ เราจะเรียกค่าพารามิเตอร์นี้ว่า "การควบคุม" ต่อไป ขึ้นอยู่กับสมการที่เรามี ค่า "ควบคุม" ของพารามิเตอร์จะแตกต่างกันไป ลองดูสมการประเภทต่างๆ และระบุวิธีค้นหาค่า "ควบคุม" ของพารามิเตอร์

I. สมการเชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์และสมการที่สามารถลดเป็นเชิงเส้นได้

ในสมการดังกล่าวค่า "ควบคุม" ของพารามิเตอร์ตามกฎคือค่าที่ทำให้สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ เอ็กซ์.

ตัวอย่างที่ 1 : 2ก(ก–2)x=ก– 2

1. ค่า “การควบคุม” คือค่าที่ตรงตามเงื่อนไข:

2ก(ก–2)=0

ลองแก้สมการนี้สำหรับตัวแปรกัน ก.

2ก= 0 หรือ ก–2= 0 จากที่ไหน ก= 0, ก= 2.

2. มาแก้สมการเริ่มต้นสำหรับค่า "ควบคุม" ของพารามิเตอร์กัน

ที่ ก= 0 เรามี 0× x=– 2 แต่นี่ไม่ใช่กรณีของมูลค่าที่แท้จริงใดๆ เอ็กซ์นั่นคือ ในกรณีนี้ สมการไม่มีราก

ที่ ก= 2 เรามี 0× x= 0 นี่เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์ซึ่งหมายความว่ารากของสมการคือจำนวนจริงใดๆ เอ็กซ์.

3. เรามาแก้สมการเดิมในกรณีที่เมื่อไร ก¹ 0 และ ก¹ 2 แล้วก็ 2 ก(ก–2)¹ 0 และทั้งสองด้านของสมการสามารถหารด้วย 2 ได้ ก(ก–2) เราได้รับ:

เพราะ ก¹ 2 จากนั้นเศษส่วนสามารถลดลงได้ ( ก–2) แล้วเราก็มี .

คำตอบ:ที่ ก= 0 ไม่มีราก;

ที่ ก= 2, รูท – จำนวนจริงใดๆ

ที่ ก¹ 0, ก¹ 2, .

เราสามารถจินตนาการถึงอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการประเภทนี้ได้

1. กำหนดค่า "ควบคุม" ของพารามิเตอร์

2. แก้สมการสำหรับ เอ็กซ์ที่ค่าพารามิเตอร์ควบคุม

3. แก้สมการสำหรับ เอ็กซ์ที่ค่าที่แตกต่างจากค่า "ควบคุม"

4. เขียนคำตอบลงในแบบฟอร์ม:

คำตอบ: 1) สำหรับค่าพารามิเตอร์... สมการมีราก...;

2) สำหรับค่าพารามิเตอร์... สมการมีราก...;

3) สำหรับค่าของพารามิเตอร์... สมการไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการด้วยพารามิเตอร์

(ก 2–2ก+1)x=ก 2+2เอ- 3

1. ค้นหาค่าควบคุมของพารามิเตอร์

ก 2–2ก+1=0 Û ( ก–1)2=0 Û ก=1

2. แก้สมการสำหรับ ก= 1

0× x=(1+2×1–3) Û 0× x= 0 Þ เอ็กซ์- จำนวนจริงใดๆ

3. แก้สมการสำหรับ ก¹ 1

ก 2–2ก+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

เพราะ ก¹ 1 เศษส่วนสามารถลดลงได้

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการด้วยพารามิเตอร์

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. คำตอบ: 1) เมื่อใด ก= 2 ไม่มีราก;

2) เมื่อใด ก¹ 0,ก¹ 2, ;

3) เมื่อใด ก=สมการ 0 ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการด้วยพารามิเตอร์

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

เพราะ เอ็กซ์¹ 0 และ ก¹ – 2 สมการจะเท่ากับสมการ

(ก+3)x= 2ก–1

มาหาค่าควบคุมของพารามิเตอร์กันดีกว่า

ก+3= 0 Þ ก=– 3.

2. แก้สมการสำหรับ ก=– 3.

0× x=– 7

ได้เลย เอ็กซ์ไม่มีความเท่าเทียมกัน

3. แก้สมการสำหรับ ก¹ – 3, เอ+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

ดังนั้นเพื่อให้สมการสมเหตุสมผล https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src="> จึงไม่มีราก

2) เมื่อใด ก¹ – 2, ก¹ – 3, , .

ครั้งที่สอง สมการกำลังสองที่มีพารามิเตอร์และสมการที่ลดเป็นกำลังสองได้

ในสมการดังกล่าวค่าของพารามิเตอร์ที่ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์มักจะถือเป็น "การควบคุม" เอ็กซ์ 2 เนื่องจากในกรณีนี้สมการจะกลายเป็นเส้นตรง เช่นเดียวกับค่าของพารามิเตอร์ ซึ่งทำให้การแบ่งแยกของสมการหายไป เนื่องจากจำนวนรากที่แท้จริงของสมการกำลังสองขึ้นอยู่กับค่าของการแบ่งแยก

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการด้วยพารามิเตอร์

(ก–1)เอ็กซ์ 2+2(2ก+1)เอ็กซ์+(4ก+3)= 0

1. ให้เราค้นหาค่าพารามิเตอร์ที่ทำให้สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ เอ็กซ์

เอ- 1=0 Û ก= 1

2. แก้สมการสำหรับ ก= 1

0× เอ็กซ์ 2+2(2×1+1) เอ็กซ์+4×1+3=0 Û 6 เอ็กซ์+7=0 Û .

3. ให้เราค้นหาค่าของพารามิเตอร์ที่ทำให้การแบ่งแยกสมการหายไป

ดี=(2(2ก+1))2–4(ก–1)(4ก+3)=(4ก+1)2–(4ก–4)(4ก+3)=4(5ก+4)

4(5ก+4)=0 Û .

4. ลองแก้สมการสำหรับ ในกรณีนี้ สมการจะมีรากที่แท้จริงหนึ่งอัน

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9เอ็กซ์ 2+6เอ็กซ์+1=0 Û (3 เอ็กซ์+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src="> ในกรณีนี้ ดี<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. แก้สมการสำหรับ กหมายเลข 1 https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. คำตอบ: 1) ด้วย https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) เมื่อใด ก= 1, ;

3) สำหรับ ไม่มีรากที่แท้จริง;

4) ที่ และ กหมายเลข 1 https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. ตั้งแต่ กอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนแล้วสมการจะสมเหตุสมผลเมื่อเท่านั้น ก#0. ตัวส่วนยังมีนิพจน์อยู่ด้วย a2x– 2กและ 2- โอ้ซึ่งจะต้องไม่เป็นศูนย์ด้วย

a2x– 2ก¹0 Û ก(โอ้–2)¹0 Û ก¹0, โอ้–2¹0 Û ก¹0, ;

2–โอ้¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. แก้สมการสำหรับ ก¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–ก)เอ็กซ์ 2+2เอ็กซ์+1+ก=0 ...................(*)

3. ให้เราค้นหาค่าพารามิเตอร์ที่ทำให้สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ เอ็กซ์ 2

1–ก=0 Û ก=1

4. แก้สมการ (*) สำหรับ ก=1

0× เอ็กซ์ 2+2เอ็กซ์+2=0 Û 2 x=– 2 Û x=–1

มาตรวจสอบกันทันทีว่าเข้ากันหรือไม่ เอ็กซ์จาก https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src="> ซึ่งหมายความว่าเมื่อ ก=1, x=– 1.

ลองแก้ระบบสมการด้วยพารามิเตอร์ (อ. ลาริน ตัวเลือก 98)

ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ซึ่งแต่ละค่าของระบบ

มีทางออกเดียวเท่านั้น

มาดูระบบกันดีกว่า ในสมการแรกของระบบ ด้านซ้ายคือ และด้านขวาไม่ได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ นั่นคือเราสามารถพิจารณาสมการนี้เป็นสมการของฟังก์ชันได้

และเราสามารถพลอตฟังก์ชันนี้ได้

สมการที่สองของระบบ

ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ และโดยการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้สมการของวงกลม

ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะพล็อตกราฟของแต่ละสมการและดูว่ากราฟเหล่านี้มีจุดตัดกันเพียงค่าใดของพารามิเตอร์

เริ่มจากสมการแรกกันก่อน ก่อนอื่น เรามาเปิดโมดูลกันก่อน ในการทำเช่นนี้ เราเทียบแต่ละนิพจน์ย่อยให้เป็นศูนย์เพื่อค้นหาจุดที่เครื่องหมายเปลี่ยนแปลง

นิพจน์ submodular แรกเปลี่ยนเครื่องหมาย ที่ ครั้งที่สอง - ที่

เรามาพลอตจุดเหล่านี้บนเส้นพิกัดและค้นหาสัญญาณของนิพจน์ย่อยแต่ละนิพจน์ในแต่ละช่วงเวลา:

โปรดทราบว่าสมการ for และ ไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นเราจึงเจาะจุดเหล่านี้

ตอนนี้เรามาขยายโมดูลในแต่ละช่วงเวลากัน (โปรดจำไว้ว่า: หากนิพจน์ submodular มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เราจะขยายโมดูลด้วยเครื่องหมายเดียวกัน และหากน้อยกว่าศูนย์ เราจะขยายโมดูลด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม)

นิพจน์ submodular ทั้งสองเป็นค่าลบ ดังนั้นเราจึงขยายทั้งสองโมดูลด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม:

นั่นคือเมื่อฟังก์ชันดั้งเดิมมีรูปแบบ

ในช่วงเวลานี้ นิพจน์ย่อยแรกเป็นค่าลบ และนิพจน์ที่สองเป็นค่าบวก ดังนั้นเราจึงได้:

- ไม่มีฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลานี้

3. title="x>2">!}

ในช่วงเวลานี้ นิพจน์ย่อยทั้งสองเป็นค่าบวก เราขยายทั้งสองโมดูลด้วยเครื่องหมายเดียวกัน เราได้รับ:

นั่นคือ ด้วย title="x>2"> исходная функция имеет вид !}

เราก็ได้กราฟของฟังก์ชันมา

ทีนี้ลองดูสมการที่สอง:

ลองเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ทางด้านซ้ายของสมการ โดยเพิ่มเลข 4 ลงทั้งสองด้านของสมการ:

สำหรับค่าเฉพาะของพารามิเตอร์ กราฟของสมการนี้คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดพิกัด ซึ่งมีรัศมี 5 สำหรับค่าที่ต่างกัน เรามีชุดของวงกลม:

เราจะย้ายวงกลมจากล่างขึ้นบนจนกระทั่งแตะด้านซ้ายของกราฟของฟังก์ชันแรก ในภาพวงกลมนี้เป็นสีแดง จุดศูนย์กลางของวงกลมนี้คือจุด พิกัดคือ (-2;-3) นอกจากนี้ เมื่อเคลื่อนขึ้นไป วงกลมจะมีจุดตัดหนึ่งจุดทางด้านซ้ายของกราฟฟังก์ชัน กล่าวคือ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

เราเลื่อนวงกลมต่อไปจนกระทั่งแตะทางด้านขวาของกราฟของฟังก์ชันแรก สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดที่มีพิกัด (-2;0) - ในรูปวงกลมนี้เป็นสีน้ำเงิน

เมื่อเคลื่อนขึ้นไปอีก วงกลมจะตัดกันทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของกราฟของฟังก์ชันแรก กล่าวคือ วงกลมจะมีจุดตัดกัน 2 จุดกับกราฟของฟังก์ชันแรก และระบบจะมีคำตอบ 2 วิธี สถานการณ์นี้จะดำเนินต่อไปจนกระทั่งศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดพิกัด (-2; 5) - วงกลมนี้เป็นสีเขียว ณ จุดนี้ วงกลมแตะด้านซ้ายของกราฟและตัดทางด้านขวา นั่นคือระบบมีทางออกเดียว

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเมื่อ (-3;0].

คำตอบ:ก [ -2, ].

ภารกิจที่ 2ที่ค่าพารามิเตอร์ใด กและ ขระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายเหลือเฟือหรือไม่?

สารละลาย.

บนระนาบพิกัด xOyเซตของจุดที่เป็นไปตามสมการใดๆ ของระบบคือเส้นตรง แล้วคำตอบของระบบคือจุดตัดของเส้นพวกนี้ ดังนั้น ระบบเดิมจะมีคำตอบจำนวนอนันต์หากเส้นเหล่านี้ตรงกัน ในกรณีทั่วไป เส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการและตรงกันว่า ถ้า และ (ที่เส้นทั้งสองมีจุดตัดกันหนึ่งจุด ที่ และไม่มีจุดตัดกัน) ส่งผลให้ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดในกรณีที่ระบบมีความสอดคล้องกัน

การแก้ปัญหาระบบเราได้รับ .

คำตอบ:, .

ภารกิจที่ 3ที่ค่าพารามิเตอร์ใด กสำหรับค่าพารามิเตอร์อย่างน้อยหนึ่งค่า c ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าพารามิเตอร์ใดๆ ข?

สารละลาย.

ถ้าเราคูณสมการที่สองด้วย ขและลบสมการแรกของระบบออกจากสมการที่ได้ เราก็จะได้

ถ้าคูณด้วย ขสมการแรกแล้วลบสมการที่สองของระบบออกจากสมการผลลัพธ์แล้วจึงลบสมการที่สองของระบบ

ดังนั้นระบบเดิมจึงเทียบเท่ากับระบบ

ไม่ว่าในกรณีใด ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวอยู่เสมอ หากแล้วระบบจะมีคำตอบของสมการ

เมื่อพิจารณาว่ามันเป็นกำลังสองด้วยความเคารพต่อพารามิเตอร์ c เราก็ได้ข้อสรุปว่ามันจะมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธีถ้า และ กล่าวคือ ถ้า.

เมื่อเราพิจารณาสมการแล้ว

ในกรณีนี้ แก้อสมการโดยที่เราพบว่า

คำตอบ:.

ภารกิจที่ 4ที่ค่าพารามิเตอร์ใด กระบบมีสี่วิธีแก้ไขหรือไม่?

สารละลาย.

สมมติว่าเราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบ

โปรดทราบว่าหากคู่คือคำตอบของระบบ คู่นี้ก็ถือเป็นคำตอบของระบบนี้เช่นกัน ดังนั้น ถ้า - คำตอบของระบบเป็นแบบนั้น และ ระบบก็จะมีคำตอบ 8 คำตอบ

ดังนั้น ระบบเดิมจะมีวิธีแก้ปัญหาสี่วิธีในสองกรณีต่อไปนี้: หรือ

แล้วถ้า; ที่. ถ้าหรือแล้ว.

คำตอบ:, .

ภารกิจที่ 5 กซึ่งแต่ละระบบมีโซลูชั่นเฉพาะตัว

สารละลาย.

มาเปลี่ยนระบบเดิมกันเถอะ:

สมการระบุคู่ของเส้นตัดกันและ

ระบุส่วนของบรรทัดเหล่านี้ที่อยู่ทางด้านขวาของบรรทัด เช่น รังสีเอกซ์ ดี.บี.และ ส.ศ.(ไม่มีจุด บีและ กับ) ดูภาพประกอบ

สมการกำหนดเส้นตรง มที่มีความลาดชัน กผ่านจุดหนึ่ง จะต้องพบค่าทั้งหมด กซึ่งแต่ละเส้นจะมีเส้นตรง มมีจุดร่วมจุดเดียวกับการรวมกันของรังสี บีดีและ เอส.

ก) โดยตรง เอบี มไม่มีรังสีใดจะข้าม บีดี, ไม่มีลำแสง เอส.

ข) โดยตรง เครื่องปรับอากาศได้จากสมการ ดังนั้นเมื่อตรงแล้ว มจะข้ามลำแสง บีดีแต่จะไม่ข้ามรังสี เอส.

c) เมื่อตรง มจะหยุดลำแสง บีดีและลำแสง เอส.

d) ในที่สุดด้วยเส้นตรง มจะข้ามคานเท่านั้น เอสและเมื่อมันไม่ข้ามคานเดียว บีดี, ไม่มีลำแสง เอส.

คำตอบ:, .

ภารกิจที่ 6ค้นหาค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด กซึ่งแต่ละระบบสมการจะมีคำตอบอยู่สองคำตอบพอดี

สารละลาย.

ลองแทนที่สมการแรกด้วยผลต่าง และสมการที่สองด้วยผลรวมของสมการดั้งเดิม:

เมื่อสมการที่สองของระบบแล้วทั้งระบบจึงไม่มีคำตอบ เมื่อเราได้รับ:

จะเห็นได้ชัดเจน (ดูรูป) ว่าเมื่อระบบมีคำตอบ 4 ข้อ (พิกัดจุด ก, บี, คและ ดี) และ ที่ - สองโซลูชั่น (พิกัดของจุด มและ เอ็น).

คำตอบ:.

บทสรุป

คนรุ่นใหม่มีชื่อเป็นราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งมวลบนริมฝีปาก สำหรับบางคนจะไม่ได้รับการศึกษาจนกว่าจะถึงระดับการศึกษาสูงสุด แต่ทุกคนจะต้องสอบ Unified State ในวิชานี้ และการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย ดังนั้นใครที่มีเวลาเหลืออีกปีหรือน้อยกว่าหรือมากกว่านั้นก็เริ่มเตรียมตัวกันแล้ว และนี่เป็นการยืนยันว่าหัวข้อวิจัยที่ฉันเลือกมีความเกี่ยวข้อง

ในงานวิจัยของฉัน ตัวเลขทั้งหมดเชื่อมโยงกับแผนผังระนาบอย่างแยกไม่ออก แต่เพื่อที่จะเข้าใจวิทยาศาสตร์นี้ คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับสามมิติ ในระหว่างการทำงาน ฉันได้เรียนรู้แนวคิดและสูตรสำคัญในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับตัวเลขบางประเภท เช่น บอล กรวย ทรงกระบอก ในการแก้ปัญหาฉันได้รับความช่วยเหลือจากเทคนิคและวิธีการเช่นความสามารถในการดำเนินการด้วยรูปทรงเรขาคณิต การแก้ปัญหาเชิงระนาบเพื่อหาปริมาณเรขาคณิต (ความยาว มุม พื้นที่) การแก้ปัญหาสามมิติที่ง่ายที่สุดเพื่อค้นหาปริมาณเรขาคณิต (ความยาว มุม พื้นที่ ปริมาตร) รูปภาพของตัวเลขเชิงพื้นที่ ส่วนของลูกบาศก์ ปริซึม ปิรามิด พื้นที่ของสามเหลี่ยม, วงกลม, พื้นที่ผิวของกรวย, ทรงกระบอก; ปริมาตรของทรงกระบอก กรวย ทรงกลม ปัญหาที่ฉันเลือกได้รับการแก้ไขโดยใช้แนวคิดเกี่ยวกับตัวเลขและสูตรนั้น ซึ่งยืนยันสมมติฐานของฉัน

เอกสารที่คล้ายกัน

วิธีมาตรฐานในการแก้สมการและอสมการ อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ โดเมนของสมการ การแก้อสมการด้วยพารามิเตอร์ อิทธิพลของพารามิเตอร์ต่อผลลัพธ์ ค่าที่ถูกต้องสำหรับตัวแปร จุดตัดของกราฟ

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 12/15/2554


สมการเบื้องต้นและพารามิเตอร์ การแก้สมการระดับแรกด้วยค่าที่ไม่รู้จัก กำหนดชุดของค่าที่อนุญาตของค่าที่ไม่รู้จัก แนวคิดเรื่องโมดูลัสของตัวเลข การแก้สมการเชิงเส้นด้วยโมดูลัสและสมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 03/09/2554


วิธีการแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัว เส้นตรงก็เหมือนกับกราฟของสมการเชิงเส้น การใช้วิธีทดแทนและการบวกเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

บทคัดย่อ เพิ่มเมื่อ 11/10/2552


นิยามแนวคิดของสมการพร้อมพารามิเตอร์ หลักการแก้สมการเหล่านี้ในกรณีทั่วไป การแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม และตรีโกณมิติ ตัวอย่างการแก้สมการเก้าตัวอย่าง

บทคัดย่อ เพิ่มเมื่อ 02/09/2009


ตัวเลขโดยประมาณและการดำเนินการกับพวกเขา การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น การประมาณค่าและการอนุมานของฟังก์ชัน คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ การแยกรากของสมการ ค้นหาข้อผิดพลาดของผลลัพธ์

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 10/18/2555


ค่ารากโดยประมาณ วิธีการแบ่งขั้ว (หรือการแบ่งครึ่ง) การวนซ้ำอย่างง่าย และนิวตัน วิธีการแบ่งครึ่งส่วนเพื่อแก้สมการ ศึกษาการลู่เข้าของวิธีของนิวตัน การสร้างการประมาณค่าต่อเนื่องหลายครั้ง

งานห้องปฏิบัติการ เพิ่มเมื่อ 15/07/2552


คำจำกัดความพื้นฐาน อัลกอริธึมโซลูชัน อสมการกับพารามิเตอร์ คำจำกัดความพื้นฐาน อัลกอริธึมโซลูชัน นี่เป็นเพียงหนึ่งในอัลกอริธึมสำหรับแก้ไขอสมการด้วยพารามิเตอร์โดยใช้ระบบพิกัด xOa

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 12/11/2002


การหาคำตอบพื้นฐานสำหรับระบบสมการ วาดสมการเส้นตรง นำมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน และสร้างเส้นโค้ง ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์การแปลงเชิงเส้น การคำนวณปริมาตรของร่างกายและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 11/12/2555


วิธีการแก้สมการอตรรกยะ วิธีการแทนที่ตัวแปร ผลรวมเชิงเส้นของอนุมูลสองตัวขึ้นไป สมการที่มีหนึ่งราก คูณด้วยนิพจน์คอนจูเกตของมัน วิธีการแก้สมการโดยแยกกำลังสองสมบูรณ์ใต้เครื่องหมายกรณฑ์

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 15/02/2559


การแก้สมการเชิงตัวเลขโดยวิธีออยเลอร์และวิธี Runge-Kutta ใน Excel โปรแกรมในภาษา Turbo Pascal ผังงานอัลกอริทึม วิธีรุ่งเง-คุตตะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง แบบจำลองประเภท "นักล่า - เหยื่อ" โดยคำนึงถึงปฏิสัมพันธ์ภายในเฉพาะ