การเร่งความเร็วของจุดสัมผัสและจุดปกติ การเร่งความเร็วแบบสัมผัสและแบบปกติ แทนเจนต์และอัตราเร่งปกติ แกนธรรมชาติและสามเหลี่ยมหน้าจั่วธรรมชาติ

ตัวอย่างเช่น รถยนต์ที่สตาร์ทจากการหยุดนิ่งจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร่ง เมื่อมันเพิ่มความเร็ว ที่จุดเริ่มต้น ความเร็วรถเป็นศูนย์ เมื่อเริ่มเคลื่อนที่แล้วรถจะเร่งความเร็วด้วยความเร็วที่กำหนด หากจำเป็นต้องเบรกรถจะไม่สามารถหยุดได้ทันทีแต่เป็นช่วงระยะเวลาหนึ่ง นั่นคือความเร็วของรถมักจะเป็นศูนย์ - รถจะเริ่มเคลื่อนที่ช้าๆจนกว่าจะหยุดสนิท แต่ฟิสิกส์ไม่มีคำว่า "การชะลอตัว" หากร่างกายเคลื่อนไหวลดความเร็วลง กระบวนการนี้เรียกอีกอย่างว่า อัตราเร่งแต่มีเครื่องหมาย "-"

อัตราเร่งเฉลี่ยเรียกว่าอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อช่วงเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น คำนวณความเร่งเฉลี่ยโดยใช้สูตร:

มันอยู่ที่ไหน . ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งจะเหมือนกับทิศทางการเปลี่ยนแปลงความเร็ว Δ = - 0

โดยที่ 0 คือความเร็วเริ่มต้น ในช่วงเวลาหนึ่ง t 1(ดูรูปด้านล่าง) ที่ร่างกาย 0 ในช่วงเวลาหนึ่ง t2ร่างกายมีความเร็ว ตามกฎการลบของเวกเตอร์ เรากำหนดเวกเตอร์ของการเปลี่ยนแปลงในความเร็ว Δ = - 0 จากที่นี่เราคำนวณความเร่ง:

.

SI หน่วยความเร่งเรียกว่า 1 เมตรต่อวินาทีต่อวินาที (หรือ เมตรต่อวินาทียกกำลังสอง):

.

เมตรต่อวินาทีกำลังสองคือความเร่งของจุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ซึ่งใน 1 วินาที ความเร็วของจุดนี้จะเพิ่มขึ้น 1 m / s กล่าวอีกนัยหนึ่งความเร่งกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วของร่างกายใน 1 วินาที ตัวอย่างเช่น หากความเร่งเท่ากับ 5 m / s 2 แสดงว่าความเร็วของร่างกายเพิ่มขึ้น 5 m / s ทุกวินาที

การเร่งความเร็วของร่างกายทันที (จุดวัสดุ)ในช่วงเวลาที่กำหนดเป็นปริมาณทางกายภาพที่เท่ากับขีดจำกัดที่ความเร่งเฉลี่ยมีแนวโน้มเมื่อช่วงเวลามีแนวโน้มเป็น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือความเร่งที่พัฒนาขึ้นโดยร่างกายในช่วงเวลาที่สั้นมาก:

.

การเร่งความเร็วมีทิศทางเดียวกับการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว Δ ในช่วงเวลาที่สั้นมากในระหว่างที่ความเร็วเปลี่ยนแปลง เวกเตอร์การเร่งความเร็วสามารถระบุได้โดยใช้การฉายภาพบนแกนพิกัดที่สอดคล้องกันในกรอบอ้างอิงที่กำหนด (การฉายภาพ a X, a Y, a Z)

ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงแบบเร่งความเร็วของร่างกายจะเพิ่มขนาดเช่น v 2> v 1 และเวกเตอร์ความเร่งมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ความเร็ว 2

หากความเร็วของร่างกายลดลงในค่าสัมบูรณ์ (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем ช้าลง(ความเร่งเป็นลบ และ< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

หากมีการเคลื่อนที่ตามแนววิถีโค้ง โมดูลัสและทิศทางของความเร็วจะเปลี่ยนไป ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ความเร่งจะแสดงในรูปแบบของ 2 องค์ประกอบ

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส)เรียกว่าองค์ประกอบของเวคเตอร์ความเร่ง ซึ่งกำหนดแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจร ณ จุดที่กำหนดของวิถีการเคลื่อนที่ การเร่งความเร็วในแนวโค้งจะอธิบายระดับการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็วเมื่อทำการเคลื่อนที่แบบโค้ง

มี เวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสτ (ดูรูปด้านบน) ทิศทางจะเหมือนกับทิศทางของความเร็วเชิงเส้นหรือตรงข้ามกับมัน เหล่านั้น. เวกเตอร์ของการเร่งในแนวสัมผัสอยู่ในแกนเดียวกันกับวงกลมแทนเจนต์ซึ่งเป็นวิถีโคจรของร่างกาย

อัตราเร่งเป็นปริมาณที่กำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว

ตัวอย่างเช่น รถยนต์ที่เคลื่อนที่ออกจากที่ใดที่หนึ่ง เพิ่มความเร็วในการเคลื่อนที่ กล่าวคือ มันเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร่ง ในขั้นต้น ความเร็วของมันคือศูนย์ หลังจากออกตัว รถจะค่อยๆ เร่งความเร็วด้วยความเร็วระดับหนึ่ง หากสัญญาณไฟจราจรสีแดงสว่างขึ้น รถจะหยุด แต่เขาจะไม่หยุดทันที แต่ในบางครั้ง นั่นคือความเร็วจะลดลงเหลือศูนย์ - รถจะเคลื่อนที่ช้าจนหยุดเลย อย่างไรก็ตาม ฟิสิกส์ไม่มีคำว่า "การชะลอตัว" หากร่างกายเคลื่อนไหว ชะลอความเร็ว นี่จะเป็นความเร่งของร่างกายด้วยเครื่องหมายลบเท่านั้น (ดังที่คุณจำได้ ความเร็วคือปริมาณเวกเตอร์)

> คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อช่วงเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น คุณสามารถกำหนดความเร่งเฉลี่ยตามสูตร:

ข้าว. 1.8. อัตราเร่งเฉลี่ย.ในSI หน่วยความเร่งคือ 1 เมตรต่อวินาทีต่อวินาที (หรือเมตรต่อวินาทีกำลังสอง) นั่นคือ

เมตรต่อวินาทีกำลังสองเท่ากับความเร่งของจุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงซึ่งในหนึ่งวินาทีความเร็วของจุดนี้จะเพิ่มขึ้น 1 m / s กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเร่งกำหนดว่าความเร็วของร่างกายเปลี่ยนแปลงไปมากเพียงใดในหนึ่งวินาที ตัวอย่างเช่น หากความเร่งเท่ากับ 5 m / s 2 แสดงว่าความเร็วของร่างกายเพิ่มขึ้น 5 m / s ทุกวินาที

การเร่งความเร็วของร่างกายทันที (จุดวัสดุ)ในช่วงเวลาที่กำหนดเป็นปริมาณทางกายภาพที่เท่ากับขีดจำกัดที่ความเร่งเฉลี่ยมีแนวโน้มเมื่อช่วงเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือความเร่งที่ร่างกายพัฒนาในช่วงเวลาสั้น ๆ :

ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงแบบเร่งความเร็วของร่างกายจะเพิ่มขึ้นในโมดูลัสนั่นคือ

วี 2> วี 1

และทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งจะตรงกับเวกเตอร์ความเร็ว

ถ้าความเร็วของร่างกายลดลงในค่าสัมบูรณ์ นั่นคือ

วี 2< v 1

แล้วทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งจะอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีนี้คือ ช้าลงในขณะที่ความเร่งจะเป็นลบ (และ< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

ข้าว. 1.9. อัตราเร่งทันที

เมื่อเคลื่อนที่ไปตามวิถีโค้ง ไม่เพียงแต่โมดูลความเร็วจะเปลี่ยนไป แต่ยังรวมถึงทิศทางด้วย ในกรณีนี้ เวกเตอร์ความเร่งจะแสดงเป็นสององค์ประกอบ (ดูหัวข้อถัดไป)

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส)เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่กำกับไปตามเส้นสัมผัสไปยังวิถีที่จุดที่กำหนดของวิถีการเคลื่อนที่ การเร่งความเร็วในแนวโค้งเป็นตัวกำหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่แบบโค้ง

ข้าว. 1.10. การเร่งความเร็วสัมผัส

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัส (ดูรูปที่ 1.10) เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของความเร็วเชิงเส้นหรือตรงข้ามกับมัน นั่นคือเวกเตอร์ของความเร่งในแนวสัมผัสอยู่บนแกนเดียวกันกับวงกลมแทนเจนต์ซึ่งเป็นวิถีของร่างกาย

อัตราเร่งปกติ

อัตราเร่งปกติเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่กำกับไปตามเส้นปกติไปยังวิถีการเคลื่อนที่ ณ จุดที่กำหนดบนวิถีของร่างกาย นั่นคือเวกเตอร์ของการเร่งความเร็วปกติตั้งฉากกับความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ (ดูรูปที่ 1.10) ความเร่งปกติแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในทิศทางและเขียนแทนด้วยตัวอักษร เวกเตอร์ความเร่งปกติจะชี้ไปตามรัศมีความโค้งของวิถี

อัตราเร่งเต็มที่

อัตราเร่งเต็มที่ในการเคลื่อนที่แบบโค้ง ประกอบด้วยความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งปกติ และถูกกำหนดโดยสูตร:

(ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

มีสูตรพื้นฐานของจลนศาสตร์ของจุดวัสดุ ที่มาและการนำเสนอของทฤษฎี

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: ตัวอย่างการแก้ปัญหา (วิธีประสานการระบุการเคลื่อนที่ของจุด)

สูตรพื้นฐานของจลนศาสตร์จุดวัสดุ

ต่อไปนี้เป็นสูตรพื้นฐานสำหรับจลนศาสตร์ของจุดวัสดุ หลังจากนั้นเราจะให้ข้อสรุปและการนำเสนอทฤษฎีแก่พวกเขา

เวกเตอร์รัศมีของวัสดุชี้ M ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz:
,
โดยที่เวกเตอร์หน่วย (เวกเตอร์หน่วย) อยู่ในทิศทางของแกน x, y, z

ความเร็วจุด:
;
.
.
เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแทนเจนต์ไปยังเส้นทางของจุด:
.

การเร่งความเร็วของจุด:
;
;
;
; ;

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส):
;
;
.

อัตราเร่งปกติ:
;
;
.

เวกเตอร์หน่วยชี้ไปที่จุดศูนย์กลางความโค้งของวิถีของจุด (ตามแนวปกติหลัก):
.

.

เวกเตอร์รัศมีและวิถีของจุด

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุ M ให้เราเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคงที่ Oxyz ที่จุดคงที่ O จากนั้นตำแหน่งของจุด M จะถูกกำหนดโดยพิกัดของมันโดยเฉพาะ (x, y, z)... พิกัดเหล่านี้เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์รัศมีจุดวัสดุ

เวกเตอร์รัศมีของจุด M คือเวกเตอร์ที่ลากจากจุดกำเนิดของระบบพิกัดคงที่ O ไปยังจุด M
,
โดยที่เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน x, y, z

เมื่อจุดเคลื่อนที่ พิกัดจะเปลี่ยนไปตามกาลเวลา นั่นคือมันเป็นหน้าที่ของเวลา จากนั้นระบบสมการ
(1)
สามารถมองได้ว่าเป็นสมการของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการพาราเมทริก เส้นโค้งดังกล่าวเป็นวิถีโคจรของจุด

วิถีของจุดวัสดุเป็นเส้นที่จุดเคลื่อนที่

หากจุดหนึ่งเคลื่อนที่ในระนาบ คุณสามารถเลือกแกนและระบบพิกัดเพื่อให้อยู่ในระนาบนี้ได้ จากนั้นวิถีจะถูกกำหนดโดยสองสมการ

ในบางกรณี สามารถแยกเวลาออกจากสมการเหล่านี้ได้ จากนั้นสมการวิถีจะขึ้นอยู่กับรูปแบบ:
,
ฟังก์ชั่นบางอย่างอยู่ที่ไหน การพึ่งพานี้มีเพียงตัวแปรและ ไม่มีพารามิเตอร์

ความเร็วจุดวัสดุ

ความเร็วของจุดวัสดุคืออนุพันธ์เวลาของเวกเตอร์รัศมี

ตามคำจำกัดความของความเร็วและคำจำกัดความของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของเวลาในกลศาสตร์แสดงด้วยจุดเหนือสัญลักษณ์ แทนที่นิพจน์สำหรับเวกเตอร์รัศมีที่นี่:
,
ซึ่งเราได้กำหนดอย่างชัดเจนว่าต้องพึ่งพาพิกัดตรงเวลา เราได้รับ:

,
ที่ไหน
,
,

- การฉายภาพความเร็วบนแกนพิกัด พวกมันได้มาจากการแยกเวลาของส่วนประกอบของเวกเตอร์รัศมี
.

ทางนี้
.
โมดูลความเร็ว:
.

แทนเจนต์วิถี

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ระบบสมการ (1) ถือได้ว่าเป็นสมการของเส้นตรง (เส้นโค้ง) ที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก เวลาในการพิจารณานี้มีบทบาทเป็นพารามิเตอร์ จากหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นที่ทราบกันดีว่าเวกเตอร์ทิศทางสำหรับแทนเจนต์กับเส้นโค้งนี้มีองค์ประกอบดังต่อไปนี้:
.
แต่นี่คือส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเร็วของจุด นั่นคือ ความเร็วของจุดวัสดุมุ่งสัมผัสวิถีโคจร.

ทั้งหมดนี้สามารถแสดงให้เห็นได้โดยตรง ให้ในขณะที่จุดนั้นอยู่ในตำแหน่งที่มีเวกเตอร์รัศมี (ดูรูป) และในช่วงเวลานั้น - อยู่ในตำแหน่งที่มีเวกเตอร์รัศมี ลากเส้นตรงผ่านจุดและ ตามคำจำกัดความ แทนเจนต์คือเส้นตรงที่เส้นตรงมีแนวโน้ม
ให้เราแนะนำสัญกรณ์:
;
;
.
จากนั้นเวกเตอร์จะถูกชี้ไปตามเส้นตรง

เมื่อทำการพุ่ง เส้นตรงมีแนวโน้มที่จะสัมผัสกัน และเวกเตอร์มีแนวโน้มที่จะความเร็วของจุดในช่วงเวลา:
.
เนื่องจากเวกเตอร์ถูกกำกับไปตามเส้นตรง และเส้นตรงไปที่ เวกเตอร์ความเร็วจึงมุ่งไปตามเส้นสัมผัส
นั่นคือเวกเตอร์ความเร็วของจุดวัสดุถูกชี้ไปตามเส้นสัมผัสไปยังวิถี

แนะนำ เวกเตอร์ทิศทางแทนเจนต์ของความยาวหน่วย:
.
ลองดูว่าความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับหนึ่ง แท้จริงแล้วตั้งแต่
, แล้ว:
.

จากนั้นเวกเตอร์ความเร็วของจุดสามารถแสดงได้ดังนี้:
.

การเร่งจุดวัสดุ

ความเร่งของจุดวัสดุคืออนุพันธ์ของเวลาของความเร็ว

ในทำนองเดียวกันกับก่อนหน้านี้ เราได้รับส่วนประกอบของความเร่ง (การฉายภาพความเร่งบนแกนพิกัด):
;
;
;
.
โมดูลเร่งความเร็ว:
.

สัมผัส (สัมผัส) และความเร่งปกติ

ทีนี้ ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งที่สัมพันธ์กับวิถีโคจร เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้สูตร:
.
เราสร้างความแตกต่างให้ทันเวลาโดยใช้กฎในการแยกแยะผลิตภัณฑ์:
.

เวกเตอร์สัมผัสกับเส้นทาง อนุพันธ์ของเวลามุ่งไปในทิศทางใด

เพื่อตอบคำถามนี้ ลองใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าความยาวของเวกเตอร์เป็นค่าคงที่และเท่ากับหนึ่ง จากนั้นกำลังสองของความยาวของมันก็เท่ากับหนึ่ง:
.
ต่อไปนี้ เวกเตอร์สองตัวในวงเล็บแสดงถึงผลคูณดอทของเวกเตอร์ ให้เราแยกความแตกต่างของสมการสุดท้ายในเวลา:
;
;
.
เนื่องจากดอทโปรดัคของเวกเตอร์และเท่ากับศูนย์ เวกเตอร์เหล่านี้จึงตั้งฉากกัน เนื่องจากเวกเตอร์ถูกกำกับในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจร เวกเตอร์จึงตั้งฉากกับเส้นสัมผัส

องค์ประกอบแรกเรียกว่าการเร่งความเร็วในแนวสัมผัสหรือแนวสัมผัส:
.
องค์ประกอบที่สองเรียกว่าการเร่งความเร็วปกติ:
.
จากนั้นความเร่งเต็มที่คือ:
(2) .
สูตรนี้เป็นการสลายตัวของการเร่งความเร็วเป็นสององค์ประกอบตั้งฉากร่วมกัน - แทนเจนต์กับวิถีและตั้งฉากกับแทนเจนต์

ตั้งแต่นั้นมา
(3) .

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส)

คูณทั้งสองข้างของสมการ (2) สเกลาร์ถึง:
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา แล้ว
;
.
ที่นี่เราใส่:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าความเร่งในแนวสัมผัสเท่ากับการฉายภาพความเร่งรวมบนทิศทางของเส้นสัมผัสถึงวิถีโคจรหรือซึ่งเท่ากันบนทิศทางความเร็วของจุด

ความเร่งในแนวสัมผัส (tangential) ของจุดวัสดุคือการฉายภาพความเร่งเต็มที่ไปยังทิศทางของเส้นสัมผัสไปยังวิถีโคจร (หรือไปยังทิศทางของความเร็ว)

โดยสัญลักษณ์ เราแสดงถึงเวกเตอร์ของการเร่งความเร็วในแนวสัมผัสที่กำกับไปตามเส้นสัมผัสไปยังวิถี จากนั้นเป็นค่าสเกลาร์เท่ากับการฉายภาพความเร่งทั้งหมดบนทิศทางของเส้นสัมผัส มันสามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ

แทนที่เรามี:
.

มาแทนที่ในสูตร:
.
แล้ว:
.
นั่นคือ ความเร่งในแนวสัมผัสเท่ากับอนุพันธ์เวลาของโมดูลัสความเร็วจุด ทางนี้, ความเร่งในแนวสัมผัสทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในค่าสัมบูรณ์ของความเร็วของจุด... เมื่อความเร็วเพิ่มขึ้น ความเร่งในแนวสัมผัสจะเป็นบวก (หรือชี้ไปตามความเร็ว) เมื่อความเร็วลดลง ความเร่งในแนวสัมผัสจะเป็นลบ (หรือตรงกันข้ามกับความเร็ว)

ทีนี้ลองดูเวกเตอร์กัน

พิจารณาเวกเตอร์หน่วยของแทนเจนต์กับวิถี ลองวางที่มาของมันที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดกัน จากนั้นจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะอยู่บนทรงกลมของรัศมีหน่วย เมื่อจุดวัสดุเคลื่อนที่ จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะเคลื่อนที่ไปตามทรงกลมนี้ กล่าวคือ มันจะหมุนรอบที่มาของมัน อนุญาต เป็นความเร็วเชิงมุมชั่วขณะของการหมุนเวกเตอร์ ณ ช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้นอนุพันธ์ของมันคือความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ มันถูกตั้งฉากกับเวกเตอร์ ลองใช้สูตรการเคลื่อนที่แบบหมุนกัน โมดูลัสเวกเตอร์:
.

ตอนนี้ให้พิจารณาตำแหน่งของจุดสำหรับจุดปิดสองจุดในเวลา ให้ ณ เวลานั้นจุดนั้นอยู่ในตำแหน่ง และ ณ เวลานั้น - อยู่ในตำแหน่งนั้น อนุญาต และ เป็นเวกเตอร์หน่วยสัมผัสกับวิถีที่จุดเหล่านี้ ผ่านจุดและวาดระนาบตั้งฉากกับเวกเตอร์และ อนุญาต เป็นเส้นที่เกิดจากจุดตัดของระนาบเหล่านี้ ให้เราลากเส้นตั้งฉากจากจุดไปที่เส้นตรง หากตำแหน่งของจุดและอยู่ใกล้เพียงพอ การเคลื่อนที่ของจุดนั้นถือได้ว่าเป็นการหมุนในวงกลมรัศมีรอบแกน ซึ่งจะเป็นแกนหมุนของจุดวัสดุทันที เนื่องจากเวกเตอร์และตั้งฉากกับระนาบ และ มุมระหว่างระนาบเหล่านี้จึงเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์กับ จากนั้นความเร็วรอบการหมุนของจุดรอบแกนในทันทีจะเท่ากับความเร็วการหมุนของเวกเตอร์ในทันที:
.
นี่คือระยะห่างระหว่างจุดและ

ดังนั้นเราจึงพบโมดูลัสของอนุพันธ์เวลาเวกเตอร์:
.
ตามที่เราระบุไว้ก่อนหน้านี้ เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ จากเหตุผลข้างต้น จะเห็นได้ว่ามันมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางความโค้งของวิถีทันที ทิศทางนี้เรียกว่าหลักปกติ

อัตราเร่งปกติ

อัตราเร่งปกติ

กำกับไปตามเวกเตอร์ อย่างที่เราทราบ เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของเส้นโคจรในชั่วพริบตา
อนุญาต เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้นำจากจุดวัสดุไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถีทันที (ตามแนวปกติหลัก) แล้ว
;
.
เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน - ไปยังจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถี ดังนั้น
.

จากสูตร (2) เรามี:
(4) .
จากสูตร (3) เราพบโมดูลการเร่งความเร็วปกติ:
.

คูณทั้งสองข้างของสมการ (2) สเกลาร์ถึง:
(2) .
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา แล้ว
;
.
ดังนั้นจะเห็นได้ว่าโมดูลัสของการเร่งความเร็วปกติเท่ากับการฉายภาพความเร่งเต็มที่บนทิศทางของเส้นตั้งฉากหลัก

ความเร่งปกติของจุดวัสดุคือการฉายภาพความเร่งทั้งหมดไปยังทิศทางที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวิถี

มาเปลี่ยนกันเถอะ แล้ว
.
กล่าวคือ ความเร่งปกติทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในทิศทางของความเร็วของจุด และสัมพันธ์กับรัศมีความโค้งของวิถี

จากที่นี่คุณจะพบรัศมีความโค้งของวิถี:
.

และสรุปได้ว่าสูตร (4) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้
.
ที่นี่เราใช้สูตรสำหรับผลคูณของเวกเตอร์สามตัว:
,
ที่พวกเขาใส่กรอบ
.

ดังนั้นเราจึงได้รับ:
;
.
ลองเทียบโมดูลของด้านซ้ายและด้านขวา:
.
แต่เวกเตอร์และตั้งฉากกัน ดังนั้น
.
แล้ว
.
นี่เป็นสูตรที่มีชื่อเสียงจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สำหรับความโค้งของเส้นโค้ง

ดูสิ่งนี้ด้วย:

การเร่งความเร็วสัมผัส (สัมผัส) เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่กำกับไปตามเส้นสัมผัสไปยังวิถีที่จุดที่กำหนดของวิถีการเคลื่อนที่ การเร่งความเร็วในแนวโค้งเป็นตัวกำหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่แบบโค้ง

ทิศทางเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัส เออยู่บนแกนเดียวกันกับวงกลมสัมผัสซึ่งเป็นวิถีของร่างกาย

อัตราเร่งปกติ- เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่มุ่งไปตามเส้นปกติไปยังวิถีการเคลื่อนที่ ณ จุดที่กำหนดบนวิถีของร่างกาย

เวกเตอร์ ตั้งฉากกับความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ ชี้ไปตามรัศมีความโค้งของวิถี

สูตรความเร็วสำหรับการเคลื่อนไหวที่เร่งสม่ำเสมอ

การเคลื่อนที่แบบแปลนและการหมุนของลำตัวที่แข็งกระด้าง

การเคลื่อนไหวแปล - การเคลื่อนไหวที่ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ไปตามวิถีเดียวกัน
การเคลื่อนที่แบบแปลนมีสองประเภท: สม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ

การเคลื่อนที่แบบหมุน คือการเคลื่อนไหวของร่างกายรอบแกนใดแกนหนึ่ง ด้วยการเคลื่อนไหวดังกล่าว ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ไปตามวงกลมซึ่งศูนย์กลางของแกนนี้คือแกน

ความเร็วเชิงมุม. ความเร่งเชิงมุม .

ความเร็วเชิงมุม - ปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งเป็นเวกเตอร์เทียม (เวกเตอร์แกน) และแสดงลักษณะความเร็วของการหมุนของจุดวัสดุรอบจุดศูนย์กลางของการหมุน เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมมีขนาดเท่ากับมุมการหมุนของจุดรอบจุดศูนย์กลางการหมุนต่อหน่วยเวลา:

ความเร่งเชิงมุม - ปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์เทียมเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเวกเตอร์เทียมของความเร็วเชิงมุมเทียบกับเวลา

ความเร่งเชิงมุมแสดงถึงความเข้มของการเปลี่ยนแปลงในโมดูลัสและทิศทางของความเร็วเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง

ความสัมพันธ์ของความเร็วเชิงเส้นกับการเร่งความเร็วเชิงมุมและแนวดิ่งกับเชิงมุม

แต่ละจุดของวัตถุที่หมุนได้มีความเร็วเชิงเส้นต่างกัน ความเร็วของแต่ละจุดซึ่งกำหนดแนวสัมผัสไปยังวงกลมที่สอดคล้องกันจะเปลี่ยนทิศทางอย่างต่อเนื่อง ขนาดของความเร็วถูกกำหนดโดยความเร็วของการหมุนของร่างกายและระยะทาง R ของจุดที่พิจารณาจากแกนของการหมุน ให้ร่างกายหมุนเป็นมุมในช่วงเวลาสั้น ๆ (ภาพที่ 2.4) จุดที่อยู่ในระยะ R จากแกนผ่านเส้นทางเท่ากับ

ความเร็วเชิงเส้นของจุดตามคำจำกัดความ

กฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน (หรือ กฎความเฉื่อย)

มีกรอบอ้างอิงดังกล่าวที่สัมพันธ์กับวัตถุที่เคลื่อนที่แบบแปลนซึ่งแยกตัวออกจากกันโดยรักษาความเร็วไว้ไม่เปลี่ยนแปลงทั้งในด้านขนาดและทิศทาง

กรอบอ้างอิงเฉื่อย เป็นกรอบอ้างอิงที่สัมพันธ์กับจุดวัสดุซึ่งปราศจากอิทธิพลภายนอก วางหรือเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ (กล่าวคือ ด้วยความเร็วคงที่)

ธรรมชาติมีสี่ประการ ประเภทของปฏิสัมพันธ์

1. แรงโน้มถ่วง (Gravitational Force) คือ ปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่มีมวล

2. แม่เหล็กไฟฟ้า - ใช้ได้กับวัตถุที่มีประจุไฟฟ้า รับผิดชอบแรงทางกลเช่นแรงเสียดทานและแรงยืดหยุ่น

3. ปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่ง - ระยะสั้นนั่นคือมันทำหน้าที่ในระยะห่างของลำดับของขนาดของนิวเคลียส

4. อ่อนแอ อันตรกิริยาดังกล่าวมีหน้าที่รับผิดชอบสำหรับปฏิสัมพันธ์บางประเภทระหว่างอนุภาคมูลฐาน สำหรับบางประเภทของการสลาย β และสำหรับกระบวนการอื่นๆ ที่เกิดขึ้นภายในอะตอม นั่นคือนิวเคลียสของอะตอม

น้ำหนัก - เป็นลักษณะเชิงปริมาณของคุณสมบัติเฉื่อยของร่างกาย แสดงให้เห็นว่าร่างกายตอบสนองต่ออิทธิพลภายนอกอย่างไร

พลัง - เป็นการวัดเชิงปริมาณของการกระทำของกันและกัน

กฎข้อที่สองของนิวตัน

แรงที่กระทำต่อร่างกายเท่ากับผลคูณของมวลกายโดยความเร่งที่เกิดจากแรงนี้: F = ma

วัดใน

ปริมาณทางกายภาพที่เท่ากับผลคูณของมวลของร่างกายและความเร็วของการเคลื่อนที่เรียกว่า แรงกระตุ้นของร่างกาย (หรือ ปริมาณการเคลื่อนไหว). โมเมนตัมของร่างกายเป็นปริมาณเวกเตอร์ หน่วย SI ของการวัดแรงกระตุ้นคือ กิโลกรัม-เมตร ต่อวินาที (kg m / s).

การแสดงออกของกฎข้อที่สองของนิวตันโดยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของร่างกาย

การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ - นี่คือการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ กล่าวคือ เมื่อความเร็วไม่เปลี่ยนแปลง (v = const) และไม่มีการเร่งความเร็วหรือลดความเร็ว (a = 0)

การเคลื่อนไหวตรง - นี่คือการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง นั่นคือ วิถีการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเป็นเส้นตรง

การเคลื่อนไหวที่เร่งอย่างเท่าเทียมกัน - การเคลื่อนที่ที่ความเร่งคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง

ร่างกายทั้งหมดที่อยู่รอบตัวเราเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่อง การเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศนั้นสังเกตได้ในทุกระดับ เริ่มจากการเคลื่อนที่ของอนุภาคมูลฐานในอะตอมของสสารและจบลงด้วยการเคลื่อนที่อย่างรวดเร็วของดาราจักรในจักรวาล ไม่ว่าในกรณีใดกระบวนการเคลื่อนที่จะเกิดขึ้นด้วยความเร่ง ในบทความนี้ เราจะพิจารณารายละเอียดแนวคิดของการเร่งความเร็วในแนวสัมผัสและให้สูตรที่สามารถคำนวณได้

ปริมาณจลนศาสตร์

ก่อนพูดถึงความเร่งในแนวสัมผัส ให้เราพิจารณาว่าปริมาณใดที่ใช้กำหนดลักษณะการเคลื่อนที่เชิงกลตามอำเภอใจของวัตถุในอวกาศ

ก่อนอื่นนี่คือเส้นทาง L ซึ่งแสดงระยะทางเป็นเมตร เซนติเมตร กิโลเมตร เป็นต้น ที่ร่างกายได้เดินทางในช่วงระยะเวลาหนึ่ง

ลักษณะสำคัญประการที่สองในจลนศาสตร์คือความเร็วของร่างกาย ต่างจากเส้นทาง เป็นค่าเวกเตอร์และชี้ไปตามวิถีของร่างกาย ความเร็วเป็นตัวกำหนดว่าพิกัดเชิงพื้นที่เปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนเมื่อเวลาผ่านไป สูตรสำหรับการคำนวณคือ:

ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของเวลาของเส้นทาง

ในที่สุด ลักษณะสำคัญที่สามของการเคลื่อนที่ของวัตถุก็คือความเร่ง ตามคำจำกัดความในฟิสิกส์ ความเร่งคือปริมาณที่กำหนดการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป สามารถเขียนสูตรได้ดังนี้

ความเร่งก็เหมือนกับความเร็ว ก็เป็นปริมาณเวกเตอร์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ตรงกันข้ามกับมัน มันมีทิศทางไปในทิศทางของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ทิศทางของการเร่งความเร็วยังเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์ของแรงที่เกิดขึ้นที่กระทำต่อร่างกายด้วย

วิถีและอัตราเร่ง

ปัญหามากมายในฟิสิกส์ได้รับการพิจารณาในกรอบของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ ตามกฎแล้ว เราไม่พูดถึงความเร่งในแนวสัมผัสของจุด แต่ทำงานด้วยความเร่งเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม หากการเคลื่อนที่ของร่างกายไม่เป็นเชิงเส้น ความเร่งรวมของมันสามารถแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ:

• แทนเจนต์;
• ปกติ.

ในกรณีของการเคลื่อนที่เชิงเส้น องค์ประกอบปกติจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่พูดถึงการขยายเวกเตอร์ของการเร่งความเร็ว

ดังนั้นวิถีการเคลื่อนที่จึงเป็นตัวกำหนดลักษณะและองค์ประกอบของความเร่งเต็มที่เป็นส่วนใหญ่ วิถีการเคลื่อนที่เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นเส้นจินตภาพในอวกาศตามร่างกายเคลื่อนไหว วิถีโคจรใดๆ จะนำไปสู่การปรากฏตัวของส่วนประกอบการเร่งความเร็วที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กล่าวไว้ข้างต้น

การหาค่าความเร่งในแนวสัมผัส

Tangential หรือที่เรียกอีกอย่างว่าความเร่งในแนวสัมผัสเป็นองค์ประกอบของความเร่งทั้งหมดซึ่งมุ่งตรงไปยังวิถีการเคลื่อนที่ เนื่องจากความเร็วยังมุ่งไปตามวิถีด้วย เวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสจึงเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์ความเร็ว

ข้างต้น แนวคิดของการเร่งความเร็วถูกกำหนดให้เป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว เนื่องจากความเร็วเป็นเวกเตอร์ จึงสามารถเปลี่ยนได้ทั้งค่าสัมบูรณ์หรือในทิศทาง ความเร่งในแนวสัมผัสกำหนดการเปลี่ยนแปลงในโมดูลัสความเร็วเท่านั้น

โปรดทราบว่าในกรณีของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง เวกเตอร์ความเร็วจะไม่เปลี่ยนทิศทาง ดังนั้นตามคำจำกัดความข้างต้น ความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งเชิงเส้นจึงเป็นค่าเดียวและเท่ากัน

ได้สมการความเร่งในแนวสัมผัส

สมมุติว่าร่างกายเคลื่อนไปตามวิถีโค้ง จากนั้นความเร็วของ v¯ ที่จุดที่เลือกสามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

ในที่นี้ v คือโมดูลัสของเวกเตอร์ v¯, u t ¯ คือเวกเตอร์ความเร็วของหน่วยที่กำกับในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจร

โดยใช้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของการเร่งความเร็ว เราได้รับ:

a¯ = dv¯ / dt = d (v * u t ¯) / dt = dv / dt * u t ¯ + v * d (u t ¯) / dt

เมื่อหาอนุพันธ์ เราใช้คุณสมบัติของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เราเห็นว่าความเร่งรวม a¯ ณ จุดที่พิจารณาสอดคล้องกับผลรวมของสองเทอม พวกมันคือแทนเจนต์และความเร่งปกติของจุดตามลำดับ

สมมติว่าบางคำเกี่ยวกับ มันมีหน้าที่ในการเปลี่ยนเวกเตอร์ความเร็ว นั่นคือ การเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ของร่างกายตามแนวโค้ง หากเราคำนวณค่าของเทอมที่สองอย่างชัดแจ้ง เราจะได้สูตรสำหรับการเร่งความเร็วปกติ:

a n = v * d (u t ¯) / dt = v 2 / r

ความเร่งปกติจะมุ่งไปตามเส้นปกติที่คืนค่าไปยังจุดที่กำหนดบนเส้นโค้ง ในกรณีของการเคลื่อนที่แบบวงกลม ความเร่งปกติคือศูนย์กลาง

สมการความเร่งในแนวสัมผัส a เสื้อ ¯ มีรูปแบบดังนี้

นิพจน์นี้บ่งชี้ว่าความเร่งในแนวสัมผัสไม่สัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงทิศทาง แต่กับโมดูลัสความเร็ว v¯ ในชั่วพริบตาเดียว เนื่องจากความเร่งในแนวสัมผัสถูกส่งไปในแนวสัมผัสไปยังจุดที่พิจารณาของวิถี มันจึงตั้งฉากกับองค์ประกอบปกติเสมอ

และโมดูลเร่งความเร็วเต็มที่

ด้านบนถูกนำเสนอข้อมูลทั้งหมดที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณผ่านแทนเจนต์และปกติ เนื่องจากองค์ประกอบทั้งสองตั้งฉากกัน เวกเตอร์ของพวกมันจึงสร้างขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือเวกเตอร์ความเร่งเต็ม ข้อเท็จจริงนี้ทำให้สามารถเขียนสูตรสำหรับโมดูลการเร่งความเร็วแบบเต็มในรูปแบบต่อไปนี้:

a = √ (a n 2 + a t 2)

มุม θ ระหว่างความเร่งรวมและความเร่งในแนวสัมผัสสามารถกำหนดได้ดังนี้:

ยิ่งความเร่งในแนวสัมผัสมากเท่าใด ทิศทางของความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งเต็มก็จะยิ่งใกล้ขึ้นเท่านั้น

ความสัมพันธ์ระหว่างการเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งเชิงมุม

วิถีโคจรตามแบบฉบับที่ร่างกายเคลื่อนไหวในเทคโนโลยีและธรรมชาติเป็นวงกลม อันที่จริงการเคลื่อนที่ของเฟือง ใบมีด และดาวเคราะห์รอบแกนของมันเองหรือรอบดวงดารานั้นเกิดขึ้นได้อย่างแม่นยำตามเส้นรอบวง การเคลื่อนไหวที่สอดคล้องกับวิถีนี้เรียกว่าการหมุน

จลนศาสตร์ของการหมุนนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยค่าเดียวกับจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง อย่างไรก็ตาม จลนศาสตร์ของการหมุนนั้นมีลักษณะเชิงมุม ดังนั้น เพื่ออธิบายการหมุน จึงใช้มุมศูนย์กลางของการหมุน θ ความเร็วเชิงมุม ω และความเร่ง α สำหรับปริมาณเหล่านี้ สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

สมมุติว่าวัตถุได้หมุนรอบแกนของการหมุนรอบแกนของการหมุนรอบหนึ่งรอบในเวลา t จากนั้นสำหรับความเร็วเชิงมุม เราสามารถเขียนได้ว่า:

ความเร็วเชิงเส้นในกรณีนี้จะเท่ากับ:

โดยที่ r คือรัศมีของวิถีโคจร สองนิพจน์สุดท้ายช่วยให้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วทั้งสองได้:

ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์เวลาของด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน เราได้:

ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันเป็นผลคูณของรัศมีของวงกลม ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันคือการเปลี่ยนแปลงของโมดูลัสความเร็ว กล่าวคือ ความเร่งในแนวสัมผัส

ดังนั้นความเร่งในแนวสัมผัสและค่าเชิงมุมที่คล้ายกันจึงสัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน:

หากเราคิดว่าจานหมุนอยู่ ความเร่งในแนวสัมผัสของจุดที่ค่าคงที่ของ α จะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงเมื่อระยะห่างจากจุดนี้ถึงแกนหมุน r เพิ่มขึ้น

การหาความเร่งในแนวสัมผัสจากฟังก์ชันความเร็วที่ทราบ

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความเร็วของร่างกายที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งหนึ่งของวิถีนั้นอธิบายโดยฟังก์ชันของเวลาต่อไปนี้:

จำเป็นต้องกำหนดสูตรสำหรับการเร่งความเร็วในแนวสัมผัสและหาค่าของมัน ณ เวลา t = 5 วินาที

ขั้นแรก เราเขียนสูตรสำหรับโมดูลัสความเร่งในแนวสัมผัส:

นั่นคือในการคำนวณฟังก์ชัน a เสื้อ (t) ควรพิจารณาอนุพันธ์ของความเร็วตามเวลา เรามี:

เสื้อ = d (2 * เสื้อ 2 + 3 * เสื้อ + 5) / dt = 4 * เสื้อ + 3

แทนที่เวลา t = 5 วินาทีลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เรามาถึงคำตอบ: a t = 23 m / s 2

โปรดทราบว่ากราฟของความเร็วกับเวลาในปัญหานี้เป็นพาราโบลา ในขณะที่กราฟของการเร่งในแนวสัมผัสจะเป็นเส้นตรง

งานกำหนดความเร่งในแนวสัมผัส

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าจุดวัสดุเริ่มหมุนด้วยความเร็วสม่ำเสมอจากจุดศูนย์ของเวลา 10 วินาทีหลังจากเริ่มการหมุน ความเร่งสู่ศูนย์กลางจะเท่ากับ 20 m / s 2 จำเป็นต้องกำหนดความเร่งในแนวสัมผัสของจุดใน 10 วินาที หากทราบว่ารัศมีการหมุนเท่ากับ 1 เมตร

อันดับแรก เราเขียนสูตรสำหรับความเร่งสู่ศูนย์กลางหรือความเร่งปกติ a c:

จากการใช้สูตรความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม เราได้:

ด้วยการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ความเร็วและความเร่งเชิงมุมสัมพันธ์กันโดยสูตร:

แทน ω ลงในความเท่าเทียมกันของ c เราจะได้:

ความเร่งเชิงเส้นผ่านการเร่งในแนวสัมผัสแสดงดังต่อไปนี้:

แทนที่ความเท่าเทียมกันสุดท้ายในอันสุดท้าย เราได้รับ:

a c = a t 2 / r 2 * t 2 * r = a t 2 / r * t 2 =>

a เสื้อ = √ (a c * r) / t

สูตรสุดท้ายโดยคำนึงถึงข้อมูลจากเงื่อนไขของปัญหานำไปสู่คำตอบ: a t = 0.447 m / s 2