การแพร่กระจายความร้อนโดยการนำความร้อนในผนังเรียบและผนังทรงกระบอกในโหมดอยู่กับที่ (สภาวะขอบเขตของประเภทแรก)

ผนังเรียบชั้นเดียวที่เป็นเนื้อเดียวกัน ให้เราพิจารณาการแพร่กระจายของความร้อนโดยการนำความร้อนในผนังเรียบชั้นเดียวที่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีความหนา 8 ซึ่งมีความกว้างและความยาวไม่จำกัด

แกน เอ็กซ์ตั้งฉากกับผนัง (รูปที่ 7.4) บนพื้นผิวทั้งสองของผนังตามทิศทางของแกน ใช่เช่นเดียวกับในทิศทางของแกน ชเนื่องจากการจ่ายและการกำจัดความร้อนที่สม่ำเสมอ อุณหภูมิจึงกระจายอย่างสม่ำเสมอ

เนื่องจากผนังในทิศทางของแกนเหล่านี้มีขนาดใหญ่มาก การไล่ระดับสีตามอุณหภูมิที่สอดคล้องกัน W / ยู \u003d (k / (k= = 0 จึงไม่มีอิทธิพลต่อกระบวนการนำความร้อนของพื้นผิวด้านท้ายของผนัง ภายใต้เงื่อนไขที่ง่ายขึ้นเหล่านี้ ฟิลด์อุณหภูมิที่อยู่นิ่งจะเป็นฟังก์ชันของพิกัดเท่านั้น เอ็กซ์,เหล่านั้น. การพิจารณาปัญหาหนึ่งมิติ ตามที่ใช้กับกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนจะอยู่ในรูปแบบ (ที่ d^dh = 0)

กำหนดเงื่อนไขขอบเขตประเภทแรก:

ข้าว. 7.4.

ให้เราหาสมการของสนามอุณหภูมิและกำหนดฟลักซ์ความร้อน Ф ที่ไหลผ่านส่วนผนังพร้อมพื้นที่ ก(ในรูป 1 ลิตรไม่ได้ระบุผนังเนื่องจากอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบของรูป) การรวมครั้งแรกให้

เหล่านั้น. การไล่ระดับอุณหภูมิจะคงที่ตลอดความหนาทั้งหมดของผนัง

หลังจากการรวมครั้งที่สอง เราได้สมการฟิลด์อุณหภูมิที่ต้องการ

ที่ไหน กและ ข -ค่าคงที่การรวม

ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิตามความหนาของผนังจึงเป็นไปตามกฎเชิงเส้น และพื้นผิวที่มีอุณหภูมิความร้อนเท่ากันจะเป็นระนาบขนานไปกับผนัง

ในการระบุค่าคงที่ของการรวมโดยพลการ เราใช้เงื่อนไขขอบเขต:

เพราะ? > ? CT2 จากนั้นฉายภาพของการไล่ระดับสีบนแกน เอ็กซ์เป็นลบ

สิ่งนี้เป็นสิ่งที่คาดหวังสำหรับทิศทางที่เลือกของแกน ซึ่งสอดคล้องกับทิศทางของเวกเตอร์ความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อนพื้นผิว

แทนค่าของค่าคงที่ใน (7.24) เราจะได้นิพจน์สุดท้ายสำหรับอุณหภูมิเป็นศูนย์

เส้น เอบีในรูป 7.4 ที่เรียกว่า เส้นโค้งอุณหภูมิแสดงการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิเทียบกับความหนาของผนัง

เป็นไปได้ที่จะทราบการไล่ระดับอุณหภูมิโดยใช้สมการฟูริเยร์ (7.10) เพื่อหาปริมาณความร้อน 8 () ที่ผ่านองค์ประกอบของพื้นที่ผิว ?? 4 ตั้งฉากกับแกน ต.

และสำหรับพื้นที่ผิว ก

สูตร (7.28) สำหรับฟลักซ์ความร้อนและความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนพื้นผิวจะอยู่ในรูปแบบ

พิจารณาการแพร่กระจายของความร้อนโดยการนำความร้อนในผนังเรียบหลายชั้นซึ่งประกอบด้วยชั้นที่อยู่ติดกันหลายชั้น (เช่น สามชั้น) (ดูรูปที่ 7.5)

ข้าว. 7.5.

เห็นได้ชัดว่า ในกรณีของสนามอุณหภูมิคงที่ ฟลักซ์ความร้อนที่ผ่านพื้นผิวของพื้นที่เดียวกัน เอจะเหมือนกันทุกชั้น ดังนั้นจึงสามารถใช้สมการ (7.29) สำหรับแต่ละเลเยอร์ได้

สำหรับชั้นแรก

สำหรับชั้นที่สองและสาม

ที่ไหน เอ็กซ์ 2, A 3 - การนำความร้อนของชั้น; 8 1? 8 2 , 8 3 - ความหนาของชั้น

ที่ขอบนอกของผนังสามชั้นถือว่าทราบอุณหภูมิหรือไม่? St1 และ ? ST4. มีการตั้งค่าอุณหภูมิตามส่วนต่อประสานของเลเยอร์? ST2 และ? STZ ซึ่งถือว่าไม่รู้จัก สมการ (7.31) - (7.33) จะได้รับการแก้ไขเกี่ยวกับความแตกต่างของอุณหภูมิ:

จากนั้นจึงเพิ่มคำทีละคำและด้วยเหตุนี้จึงกำจัดอุณหภูมิขั้นกลางที่ไม่รู้จัก:

เราได้ข้อสรุปทั่วไป (7.36) สำหรับผนัง z-layer

เพื่อกำหนดอุณหภูมิกลาง? ST2 , ? STz บนระนาบของการแยกเลเยอร์ เราใช้สูตร (7.34):

ในที่สุด สรุปที่มาของผนังชั้น u เราได้สูตรสำหรับอุณหภูมิที่ขอบเขตของชั้น ith และ (r + 1):

บางครั้งพวกเขาใช้แนวคิดของการนำความร้อนเทียบเท่า R equiv สำหรับความหนาแน่นพื้นผิวของฟลักซ์ความร้อนที่ผ่านผนังเรียบหลายชั้น

ความหนารวมของผนังหลายชั้นทุกชั้นอยู่ที่ไหน การเปรียบเทียบนิพจน์ (7.37) และ (7.40) เราสรุปได้ว่า

บนมะเดื่อ 7.5 ในรูปของเส้นหักแสดงกราฟการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิตามความหนาของผนังหลายชั้น ภายในชั้น ตามที่ได้พิสูจน์ไว้ข้างต้น การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิเป็นไปตามกฎเชิงเส้น เส้นสัมผัสของความชัน cp อุณหภูมิเส้นตรงแนวนอน

เหล่านั้น. เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของการไล่ระดับสีอุณหภูมิ ^1 "ac1 ดังนั้น ตามความชันของเส้นตรง เอบี, ก่อนคริสต์ศักราชและด้วย

เพราะฉะนั้น,

เหล่านั้น. การไล่ระดับอุณหภูมิสำหรับแต่ละชั้นของผนังเรียบหลายชั้นจะแปรผกผันกับค่าการนำความร้อนของชั้นเหล่านี้

ซึ่งหมายความว่าเพื่อให้ได้การไล่ระดับสีที่อุณหภูมิสูง (ซึ่งจำเป็น เช่น เมื่อหุ้มฉนวนท่อไอน้ำ ฯลฯ) จำเป็นต้องใช้วัสดุที่มีค่าการนำความร้อนต่ำ

ผนังทรงกระบอกชั้นเดียวที่เป็นเนื้อเดียวกัน ให้เราค้นหาฟิลด์อุณหภูมิและความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อนพื้นผิวสำหรับโหมดการนำความร้อนแบบคงที่สำหรับผนังทรงกระบอกชั้นเดียวที่เป็นเนื้อเดียวกัน (รูปที่ 7.6) ในการแก้ปัญหา เราใช้สมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนในพิกัดทรงกระบอก

แกน 2 จะถูกนำไปตามแกนของท่อ สมมติว่าความยาวของท่อมีขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ในกรณีนี้ เราสามารถเพิกเฉยต่อผลกระทบของปลายท่อต่อการกระจายอุณหภูมิตามแกน 2 ได้ เราสันนิษฐานว่าเนื่องจากการจ่ายความร้อนอย่างสม่ำเสมอและการกำจัดความร้อน อุณหภูมิบนพื้นผิวด้านในจึงมีอยู่ทุกหนทุกแห่ง ST1 และบนพื้นผิวด้านนอก -? ST2 (เงื่อนไขขอบเขตประเภทแรก) ด้วยการทำให้เข้าใจง่ายเหล่านี้ (k/ = 0 และในมุมมองของความสมมาตรของฟิลด์อุณหภูมิที่เกี่ยวกับเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ (d) โดยที่ ช- รัศมีปัจจุบันของผนังทรงกระบอก

ข้าว. 7.6.

สมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อน (7.19) ภายใต้เงื่อนไข dt/ด m = 0 ใช้แบบฟอร์ม

มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน

ซึ่งก็คือการไล่ระดับอุณหภูมิ (grad ?)

การแทนที่ตัวแปร และใน (7.43) เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งพร้อมตัวแปรที่แยกกันได้

หรือ

เราได้รับ

สำหรับผนังทรงกระบอก การไล่ระดับอุณหภูมิเป็นตัวแปรที่เพิ่มขึ้นตามรัศมีที่ลดลง ช.ดังนั้นการไล่ระดับอุณหภูมิบนพื้นผิวด้านในจึงมากกว่าด้านนอก

แทนค่า และจาก (7.44) ถึง (7.45) เราได้ และ

ที่ไหน ข- ค่าคงที่การรวม

ดังนั้น เส้นโค้งการกระจายอุณหภูมิเหนือความหนาของผนังจึงเป็นเส้นโค้งลอการิทึม (เส้นโค้ง เอบีในรูป 7.6)

มากำหนดค่าคงที่กัน กและ ขรวมอยู่ในสมการฟิลด์อุณหภูมิตามเงื่อนไขขอบเขตของประเภทแรก เราระบุรัศมีภายในของพื้นผิว อาร์เอ็กซ์,กลางแจ้ง - กรัม 2 .เราระบุเส้นผ่านศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน (1 ลและ (1 2 . จากนั้นเราก็มีระบบสมการ

เราได้รับจากการแก้ระบบสมการนี้

สมการอุณหภูมิศูนย์จะอยู่ในรูปแบบ การไล่ระดับอุณหภูมิถูกกำหนดโดยสูตร (7.45):

เพราะ? ST1 > ? CT2 , และ r, r 2 , แล้วการฉายภาพล่ะ? บนเวกเตอร์รัศมีมีค่าเป็นลบ

อย่างหลังแสดงให้เห็นว่าสำหรับกรณีนี้ การไหลของความร้อนจะถูกส่งตรงจากจุดศูนย์กลางไปยังส่วนรอบนอก

เพื่อกำหนดฟลักซ์ความร้อนที่ผ่านส่วนของพื้นผิวทรงกระบอกที่มีความยาว ขใช้สมการ

จาก (7.46) เป็นไปตามที่การไหลของความร้อนผ่านพื้นผิวทรงกระบอกขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของรัศมีด้านนอกและด้านใน r 2 / ก x(หรือเส้นผ่านศูนย์กลาง ค1 2 / (1 {), ไม่ใช่ความหนาของผนัง

ความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อนพื้นผิวสำหรับพื้นผิวทรงกระบอกสามารถพบได้โดยอ้างอิงฟลักซ์ความร้อน Ф ไปยังพื้นที่ของพื้นผิวด้านใน รองประธานหรือบริเวณผิวชั้นนอก และเอ็นพี.ในการคำนวณ บางครั้งใช้ความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อนเชิงเส้น:

จาก (7.47)-(7.49) เป็นไปตามนี้

ผนังทรงกระบอกหลายชั้น พิจารณาการแพร่กระจายของความร้อนโดยการนำความร้อนในผนังทรงกระบอกสามชั้น (ท่อ) ความยาว A (รูปที่ 7.7) ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน ค1xและเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก (1 ล.เส้นผ่านศูนย์กลางกลางของแต่ละชั้น - ค1 2และ X 2 , X 3

ข้าว. 7.7.

รู้จักอุณหภูมิหรือไม่? st) ภายในและอุณหภูมิ? CT4 ผิวนอก ต้องกำหนดฟลักซ์ความร้อน Ф และอุณหภูมิหรือไม่? ST2 และ? STz ที่ขอบเขตเลเยอร์ ให้เราสร้างสมการของแบบฟอร์ม (7.46) สำหรับแต่ละเลเยอร์:

การแก้สมการ (7.51)-(7.53) ด้วยความเคารพต่อความแตกต่างของอุณหภูมิ แล้วเพิ่มเทอมต่อเทอม เราจะได้

จาก (7.54) เรามีนิพจน์การคำนวณสำหรับกำหนดฟลักซ์ความร้อนสำหรับผนังสามชั้น:

ให้เราสรุปสูตร (7.55) กับผนังท่อ u-layer:
ที่ไหน ฉัน- หมายเลขซีเรียลของเลเยอร์

จาก (7.51)-(7.53) เราพบนิพจน์สำหรับกำหนดอุณหภูมิที่ขอบเขตของชั้นกลาง:

อุณหภูมิ? ศิลปะ. +) ที่ชายแดน?-th และ (ช+ 1)-th เลเยอร์สามารถกำหนดได้ด้วยสูตรที่คล้ายกัน

เอกสารประกอบด้วยคำตอบของสมการความร้อนที่แตกต่างกันสำหรับลูกบอลกลวงภายใต้เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่หนึ่ง เช่นเดียวกับคำตอบสำหรับวัตถุที่พิจารณาทั้งหมดภายใต้เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สาม เราไม่พิจารณาประเด็นเหล่านี้ ประเด็นของการนำความร้อนแบบคงที่ในแท่ง (ซี่โครง) ของหน้าตัดคงที่และแบบแปรผัน ตลอดจนปัญหาของการนำความร้อนแบบไม่คงที่ ยังคงอยู่นอกขอบเขตของหลักสูตรของเรา

หน้า 4

. (2.24)

สมการ (2.24) เรียกว่าสมการความร้อนเชิงอนุพันธ์ (หรือสมการฟูเรียร์เชิงอนุพันธ์) สำหรับสนามอุณหภูมิสามมิติที่ไม่คงที่ในกรณีที่ไม่มีแหล่งความร้อนภายใน เป็นตัวหลักในการศึกษาประเด็นของการให้ความร้อนและการทำให้เย็นตัวในกระบวนการถ่ายเทความร้อนโดยการนำความร้อน และสร้างความสัมพันธ์ระหว่างการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิชั่วคราวและเชิงพื้นที่ ณ จุดใดๆ ในสนาม การใช้เลเซอร์โสตศอนาสิกวิทยาของเลเซอร์

การแพร่กระจายทางความร้อนเป็นพารามิเตอร์ทางกายภาพของสารและมีหน่วยเป็น m2/s ในกระบวนการทางความร้อนแบบไม่คงที่ a จะแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ

จากสมการ (2.24) จะได้ว่าการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิเมื่อเวลาผ่านไปสำหรับจุดใด ๆ ในร่างกายจะเป็นสัดส่วนกับค่าของ a ดังนั้นในสภาวะเดียวกันอุณหภูมิของร่างกายที่มีการแพร่กระจายความร้อนมากขึ้นจึงเพิ่มขึ้นเร็วขึ้น

สมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนกับแหล่งความร้อนภายในร่างกายมีรูปแบบ:

, (2.25)

โดยที่ qV คือกำลังไฟฟ้าเฉพาะของแหล่งกำเนิด นั่นคือ ปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาต่อหน่วยปริมาตรของสารต่อหน่วยเวลา

สมการนี้เขียนด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน ในพิกัดอื่นๆ ตัวดำเนินการ Laplace มีรูปแบบที่แตกต่างกัน ดังนั้นรูปแบบของสมการจึงเปลี่ยนไปด้วย ตัวอย่างเช่น ในพิกัดทรงกระบอก สมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนกับแหล่งความร้อนภายในคือ:

, (2.26)

โดยที่ r คือเวกเตอร์รัศมีในระบบพิกัดทรงกระบอก

มุมขั้วโลก

2.5 เงื่อนไขขอบเขต

สมการฟูริเยร์เชิงอนุพันธ์ที่ได้รับอธิบายปรากฏการณ์ของการถ่ายเทความร้อนโดยการนำความร้อนในรูปแบบทั่วไป ในการนำไปใช้กับกรณีเฉพาะจำเป็นต้องทราบการกระจายของอุณหภูมิในร่างกายหรือสภาวะเริ่มต้น นอกจากนี้ ต้องทราบสิ่งต่อไปนี้:

รูปทรงเรขาคณิตและมิติของร่างกาย

พารามิเตอร์ทางกายภาพของสิ่งแวดล้อมและร่างกาย

· เงื่อนไขขอบเขตที่แสดงลักษณะของการกระจายตัวของอุณหภูมิบนพื้นผิวของร่างกาย หรือปฏิสัมพันธ์ของร่างกายภายใต้การศึกษากับสิ่งแวดล้อม

คุณสมบัติพิเศษทั้งหมดนี้ ร่วมกับสมการเชิงอนุพันธ์ ให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ของกระบวนการนำความร้อนจำเพาะ และเรียกว่าเงื่อนไขเอกลักษณ์หรือเงื่อนไขขอบเขต

โดยปกติ เงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับการกระจายอุณหภูมิจะได้รับสำหรับเวลา t = 0

เงื่อนไขขอบเขตสามารถระบุได้สามวิธี

เงื่อนไขขอบเขตของประเภทแรกถูกกำหนดโดยการกระจายอุณหภูมิบนพื้นผิวของร่างกายในช่วงเวลาใดๆ

เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สองกำหนดโดยความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อนพื้นผิวที่แต่ละจุดของพื้นผิวร่างกายในช่วงเวลาใดๆ

เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สามถูกกำหนดโดยอุณหภูมิของตัวกลางที่อยู่รอบร่างกายและกฎการถ่ายเทความร้อนระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับสิ่งแวดล้อม

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดทำให้สามารถกำหนดฟิลด์อุณหภูมิในปริมาตรทั้งหมดของร่างกายในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งหรือค้นหาฟังก์ชันได้ .

2.6 การนำความร้อนผ่านผนังทรงกลม

โดยคำนึงถึงคำศัพท์ที่อธิบายไว้ในส่วน 2.1 - 2.5 งานของหลักสูตรนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้ ฟลักซ์ความร้อนคงที่จะถูกส่งผ่านผนังทรงกลม และแหล่งความร้อนคือทรงกลมภายในรัศมี R1 แหล่งพลังงาน P คงที่ ตัวกลางระหว่างทรงกลมที่มีขอบเขตเป็นไอโซโทรปิก ดังนั้นค่าการนำความร้อน c จึงเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว นั่นคือระยะทางจากจุดศูนย์กลางของทรงกลม (รัศมี) r ตามหน้าที่ . เป็นผลให้อุณหภูมิของตัวกลางในกรณีนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว - รัศมี r: T = T(r) และพื้นผิวไอโซเทอร์มอลเป็นทรงกลมที่มีศูนย์กลาง ดังนั้น ฟิลด์อุณหภูมิที่ต้องการจะอยู่นิ่งและเป็นมิติเดียว และเงื่อนไขขอบเขตคือเงื่อนไขประเภทแรก: T(R1) = T1, T(R2) = T2

ตามมาจากมิติเดียวของสนามอุณหภูมิที่ความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อน j เช่นเดียวกับการนำความร้อนและอุณหภูมิ ในกรณีนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว - รัศมี r ฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก j(r) และ T(r) สามารถหาได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสองวิธี: แก้สมการเชิงอนุพันธ์ของฟูริเยร์ (2.25) หรือใช้กฎฟูริเยร์ (2.11) ในงานนี้เลือกวิธีที่สอง กฎฟูริเยร์สำหรับสนามอุณหภูมิสมมาตรทรงกลมหนึ่งมิติที่ตรวจสอบมีรูปแบบ:1 4

คำถาม 23 ความร้อนจำเพาะของการหลอมน้ำแข็งคืออะไร

ความร้อนจำเพาะของฟิวชันหาได้จากสูตร:

โดยที่ Q คือปริมาณความร้อนที่ต้องใช้ในการหลอมวัตถุมวล m

เมื่อแข็งตัว สารต่างๆ จะปล่อยความร้อนในปริมาณที่เท่ากันซึ่งต้องใช้ไปกับการหลอม โมเลกุลสูญเสียพลังงานก่อตัวเป็นผลึกไม่สามารถต้านทานแรงดึงดูดของโมเลกุลอื่นได้ และอีกครั้ง อุณหภูมิของร่างกายจะไม่ลดลงจนกว่าจะถึงเวลาที่ร่างกายทั้งหมดแข็งตัว และจนกว่าพลังงานทั้งหมดที่ใช้ในการหลอมละลายจะถูกปลดปล่อยออกมา นั่นคือ ความร้อนจำเพาะของฟิวชันแสดงให้เห็นว่าต้องใช้พลังงานเท่าใดในการหลอมวัตถุมวล m และจะปล่อยพลังงานเท่าใดระหว่างการแข็งตัวของวัตถุนี้

ตัวอย่างเช่น ความร้อนจำเพาะของการหลอมตัวของน้ำในสถานะของแข็ง นั่นคือ ความร้อนจำเพาะของการหลอมตัวของน้ำแข็งคือ 3.4 * 10^5 J / kg

ความร้อนจำเพาะของน้ำแข็งหลอมตัวคือ 3.4 คูณ 10 ยกกำลัง 5 จูล/กก

ความร้อนจำเพาะของฟิวชันแสดงด้วยอักษรกรีก λ (แลมบ์ดา) และหน่วยการวัดคือ 1 J / kg

คำถามที่ 24 แสดง L1 - ความร้อนเฉพาะของการกลายเป็นไอ, L2 - ความร้อนเฉพาะของการหลอมเหลว มากกว่านั้น?

เนื่องจากร่างกายได้รับพลังงานระหว่างการกลายเป็นไอ จึงสรุปได้ว่าพลังงานภายในของวัตถุในสถานะก๊าซมีค่ามากกว่าพลังงานภายในของวัตถุที่มีมวลเท่ากันในสถานะของเหลว ดังนั้นในระหว่างการควบแน่น ไอน้ำจะปล่อยพลังงานในปริมาณที่จำเป็นสำหรับการก่อตัวของมัน

ความร้อนจำเพาะของการกลายเป็นไอ- ปริมาณทางกายภาพที่แสดงปริมาณความร้อนที่ต้องใช้ในการเปลี่ยนสาร 1 กิโลกรัมให้เป็นไอน้ำโดยไม่เปลี่ยนอุณหภูมิค่าสัมประสิทธิ์ " ร

ความร้อนจำเพาะของฟิวชัน- ปริมาณทางกายภาพที่แสดงปริมาณความร้อนที่ต้องใช้ในการทำให้สาร 1 กิโลกรัมกลายเป็นของเหลวโดยไม่ต้องเปลี่ยนอุณหภูมิค่าสัมประสิทธิ์ " λ » สำหรับสารต่างๆ ตามกฎแล้วจะแตกต่างกัน มีการวัดเชิงประจักษ์และแสดงรายการในตารางพิเศษ

ความร้อนจำเพาะของการกลายเป็นไอจะมากกว่า

คำถาม 25 สมการความร้อนเชิงอนุพันธ์สำหรับฟิลด์อุณหภูมิไม่นิ่งสองมิติในพิกัดคาร์ทีเซียน

х i = x, y, z – ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน;

ถ้าอุณหภูมิคงที่ตามพิกัดใดพิกัดหนึ่ง ในทางคณิตศาสตร์ เงื่อนไขนี้จะถูกเขียน (เช่น สำหรับพิกัด z) ดังนี้ dT/dz=0

ในกรณีนี้ ฟิลด์นี้เรียกว่าสองมิติและเขียน:

สำหรับโหมดไม่อยู่กับที่ T=T(x, y, t);

สำหรับโหมดนิ่ง T=T(x, y)

สมการสนามอุณหภูมิสองมิติสำหรับระบอบการปกครอง

ไม่คงที่:

คำถาม 26 สมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนสำหรับสนามอุณหภูมิที่ไม่คงที่ในพิกัดทรงกระบอก?

х i = r, φ, z – ระบบพิกัดทรงกระบอก;

เขตข้อมูลอุณหภูมิเป็นชุดของค่าอุณหภูมิในทุกจุดของโดเมนการคำนวณที่กำหนดและในเวลา

ฟิลด์อุณหภูมิวัดเป็นองศาเซลเซียสและเคลวินและยังแสดงเป็น TTD: โดยที่ x i - พิกัดของจุดในอวกาศที่พบอุณหภูมิเป็นเมตร [m]; τ คือเวลาของกระบวนการแลกเปลี่ยนความร้อนเป็นวินาที [s] ที่. ฟิลด์อุณหภูมิมีลักษณะตามจำนวนพิกัดและพฤติกรรมตามเวลา

ระบบพิกัดต่อไปนี้ใช้ในการคำนวณความร้อน:

х i = r, φ, z – ระบบพิกัดทรงกระบอก;

เขตข้อมูลอุณหภูมิซึ่ง การเปลี่ยนแปลงในเวลา, เรียกว่า ไม่นิ่งเขตข้อมูลอุณหภูมิ ในทางกลับกัน ฟิลด์อุณหภูมิซึ่ง ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา, เรียกว่า เครื่องเขียนเขตข้อมูลอุณหภูมิ

ทรงกระบอกพิกัด (r คือรัศมี; φ คือมุมขั้ว; z คือแอปพลิเคชัน) สมการความร้อนต่างกันมีรูปแบบ

,

การแก้ปัญหาในการกำหนดฟิลด์อุณหภูมินั้นดำเนินการบนพื้นฐานของสมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนซึ่งบทสรุปจะแสดงในเอกสารพิเศษ คู่มือนี้มีตัวแปรของสมการเชิงอนุพันธ์โดยไม่มีอนุพันธ์

สมการ

สมการ (4.10) เป็นสมการพลังงานเชิงอนุพันธ์ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (สมการฟูเรียร์  เคอร์ชอฟฟ์) ในรูปแบบนี้ใช้ในการศึกษากระบวนการนำความร้อนในวัตถุต่างๆ

ถ้า  x = y = z =0 เช่น พิจารณาวัตถุที่เป็นของแข็ง และในกรณีที่ไม่มีแหล่งความร้อนภายใน q v =0 สมการพลังงาน (4.10) จะเข้าสู่สมการความร้อนสำหรับของแข็ง (สมการฟูเรียร์)

(4.11)

ค่า С=a, m 2 sec ในสมการ (4.10) เรียกว่าการแพร่กระจายทางความร้อน ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ทางกายภาพของสารที่แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิในร่างกายในระหว่างกระบวนการที่ไม่คงที่

หากค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนแสดงลักษณะความสามารถของวัตถุในการนำความร้อน ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายความร้อนจะเป็นการวัดคุณสมบัติเฉื่อยทางความร้อนของร่างกาย จากสมการ (4.10) จะได้ว่าการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิตามเวลา t สำหรับจุดใดๆ ในอวกาศจะเป็นสัดส่วนกับค่า "a" กล่าวคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิที่จุดใดๆ ของร่างกายจะยิ่งมากขึ้น การแพร่กระจายความร้อนที่มากขึ้น ดังนั้น ceteris paribus การทำให้อุณหภูมิเท่ากันในทุกจุดในอวกาศจะเกิดขึ้นเร็วกว่าในร่างกายที่มีการแพร่กระจายความร้อนมาก การแพร่กระจายความร้อนขึ้นอยู่กับธรรมชาติของสาร ตัวอย่างเช่น ของเหลวและก๊าซมีความเฉื่อยทางความร้อนสูง และส่งผลให้มีการแพร่กระจายทางความร้อนต่ำ โลหะมีความเฉื่อยทางความร้อนต่ำ เนื่องจากมีค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายความร้อนสูง

ในการระบุผลรวมของอนุพันธ์อันดับสองที่เกี่ยวกับพิกัดในสมการ (4.10) และ (4.11) คุณสามารถใช้สัญลักษณ์  2 ที่เรียกว่าตัวดำเนินการ Laplace และจากนั้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

นิพจน์  2 t ในระบบพิกัดทรงกระบอกมีรูปแบบ

สำหรับวัตถุที่เป็นของแข็งในสภาวะที่อยู่นิ่งกับแหล่งความร้อนภายใน สมการ (4.10) จะถูกแปลงเป็นสมการปัวซอง

(4.12)

สุดท้าย สำหรับการนำความร้อนที่อยู่นิ่งและในกรณีที่ไม่มีแหล่งความร้อนภายใน สมการ (4.10) อยู่ในรูปของสมการลาปลาซ

(4.13)

สมการความร้อนเชิงอนุพันธ์ในพิกัดทรงกระบอกกับแหล่งความร้อนภายใน

(4.14)

4.2.6. เงื่อนไขเฉพาะสำหรับกระบวนการนำความร้อน

เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนได้มาจากกฎทั่วไปของฟิสิกส์ จึงแสดงลักษณะของปรากฏการณ์การนำความร้อนในรูปแบบทั่วไปมากที่สุด ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่เกิดขึ้นนั้นแสดงลักษณะของปรากฏการณ์การนำความร้อนทั้งชั้น ในการแยกกระบวนการที่พิจารณาโดยเฉพาะออกจากจำนวนนับไม่ได้และให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์นั้น จำเป็นต้องเพิ่มคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของคุณสมบัติเฉพาะทั้งหมดของกระบวนการที่พิจารณาในสมการเชิงอนุพันธ์ ลักษณะเฉพาะเหล่านี้ ซึ่งร่วมกับสมการเชิงอนุพันธ์ ให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ของกระบวนการนำความร้อนโดยเฉพาะ เรียกว่า เงื่อนไขเอกลักษณ์หรือเงื่อนไขขอบเขต ซึ่งรวมถึง:

ก) เงื่อนไขทางเรขาคณิตที่แสดงลักษณะรูปร่างและขนาดของร่างกายที่กระบวนการเกิดขึ้น

b) สภาพทางกายภาพที่แสดงคุณสมบัติทางกายภาพของตัวกลางและร่างกาย (, С z , , a, ฯลฯ );

c) เวลา (เริ่มต้น) เงื่อนไขที่แสดงลักษณะการกระจายของอุณหภูมิในร่างกายภายใต้การศึกษา ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น;

d) เงื่อนไขขอบเขตที่แสดงลักษณะปฏิสัมพันธ์ของร่างกายที่พิจารณากับสิ่งแวดล้อม

เงื่อนไขเริ่มต้นมีความจำเป็นเมื่อพิจารณาถึงกระบวนการที่ไม่หยุดนิ่งและประกอบด้วยกฎของการกระจายอุณหภูมิภายในร่างกาย ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น ในกรณีทั่วไป สามารถเขียนเงื่อนไขเริ่มต้นเชิงวิเคราะห์ได้ดังนี้สำหรับ =0:

t =  1 x, y, z (4.15)

ในกรณีของการกระจายอุณหภูมิในร่างกายอย่างสม่ำเสมอ เงื่อนไขเริ่มต้นจะง่ายขึ้น: ที่ =0; t=t0=ไอเด็ม

เงื่อนไขขอบเขตสามารถระบุได้หลายวิธี

ก. เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่ ๑ ระบุการกระจายของอุณหภูมิที่ผิวกาย t c ในแต่ละช่วงเวลา

t c =  2 x, y, z,  (4.16)

ในกรณีเฉพาะที่อุณหภูมิบนพื้นผิวคงที่ตลอดเวลาของกระบวนการถ่ายเทความร้อน สมการ (4.16) จะถูกทำให้ง่ายขึ้นและใช้รูปแบบ t c =idem

ข. เงื่อนไขขอบเขตแบบที่สอง ระบุค่าความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อนสำหรับแต่ละจุดของพื้นผิวและช่วงเวลาใด ๆ ในเชิงวิเคราะห์สามารถแสดงได้ดังนี้:

q n = x, y, z, , (4.17)

โดยที่ q n คือความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนบนพื้นผิวลำตัว

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อนบนพื้นผิวและในเวลาคงที่ q n =idem กรณีของการถ่ายเทความร้อนเกิดขึ้นเมื่อผลิตภัณฑ์โลหะต่างๆถูกให้ความร้อนในเตาเผาที่อุณหภูมิสูง

B. เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สาม การตั้งค่าอุณหภูมิโดยรอบ t W และกฎการถ่ายเทความร้อนระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับสิ่งแวดล้อม กฎของนิวตันใช้เพื่ออธิบายกระบวนการถ่ายเทความร้อนระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับตัวกลาง

ตามกฎของนิวตัน ปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาจากหน่วยพื้นผิวของร่างกายต่อหน่วยเวลาจะเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างร่างกาย t c และสิ่งแวดล้อม t f

q = t c  t f  (4.18)

ค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนกำหนดลักษณะความเข้มของการถ่ายเทความร้อนระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับสิ่งแวดล้อม ตัวเลขจะเท่ากับปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมา (หรือรับรู้) โดยหน่วยของพื้นผิวต่อหน่วยเวลา โดยมีความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับสิ่งแวดล้อมเท่ากับหนึ่งองศา

ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน ปริมาณความร้อนที่ถูกกำจัดออกจากพื้นผิวหน่วยต่อหน่วยเวลาเนื่องจากการถ่ายเทความร้อน (4.18) จะต้องเท่ากับความร้อนที่จ่ายให้กับพื้นผิวหน่วยต่อหน่วยเวลาเนื่องจากการนำความร้อนจาก ปริมาตรภายในร่างกาย (4.7) เช่น

, (4.19)

โดยที่ n  ปกติที่พื้นผิวของร่างกาย ดัชนี "C" บ่งชี้ว่าอุณหภูมิและการไล่ระดับสีหมายถึงพื้นผิวของร่างกาย (เมื่อ n=0)

เงื่อนไขขอบเขตสุดท้ายของประเภทที่สามสามารถเขียนได้เป็น

. (4.20)

โดยพื้นฐานแล้วสมการ (4.20) เป็นการแสดงออกเฉพาะของกฎการอนุรักษ์พลังงานสำหรับพื้นผิวของร่างกาย

ง. เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สี่ อธิบายลักษณะเงื่อนไขการแลกเปลี่ยนความร้อนของระบบร่างกายหรือร่างกายกับสิ่งแวดล้อมตามกฎการนำความร้อน สันนิษฐานว่ามีการสัมผัสกันอย่างสมบูรณ์ระหว่างร่างกาย (อุณหภูมิของพื้นผิวสัมผัสเท่ากัน) ภายใต้เงื่อนไขการพิจารณาฟลักซ์ความร้อนที่ผ่านพื้นผิวสัมผัสมีค่าเท่ากัน:

. (4.21)

ที่ไหน กับหน้า, J/(kg×K) – ความจุความร้อนไอโซบาริก; ร, กก. / ม. 3 - ความหนาแน่น; ล, W/(m×K) – ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อน; ก x, ก ย , ก zเป็นเส้นโครงของเวกเตอร์ความเร็วของไหล qv, W / m 3 - ความหนาแน่นเชิงปริมาตรของการปล่อยความร้อนภายในของของเหลว

สมการ (1.12) เขียนขึ้นสำหรับกรณี l=const.

ส่วนต่างสำหรับ ของแข็งเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อน หาได้จาก (1.12) ภายใต้เงื่อนไข ว x = ว y = ว z = 0, กับหน้า=ด้วย v=กับ:

,

ที่ไหน - การแพร่กระจายความร้อนกำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิในร่างกาย ค่า ก = ฉ(เสื้อ)สำหรับเนื้อหาต่าง ๆ จะได้รับในหนังสืออ้างอิง

สมการอนุพันธ์ของการนำความร้อน

(1.13)

อธิบายฟิลด์อุณหภูมิที่ไม่คงที่ของของแข็งที่มีการปลดปล่อยความร้อนภายใน (พร้อมแหล่งความร้อนภายใน) แหล่งความร้อนดังกล่าวสามารถเป็นได้: ความร้อนของจูลที่ปล่อยออกมาระหว่างทางเดินของกระแสไฟฟ้าผ่านตัวนำ ความร้อนที่ปล่อยออกมาจากองค์ประกอบเชื้อเพลิงของเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ ฯลฯ

สมการความร้อนเชิงอนุพันธ์ (1.13) ซึ่งเขียนด้วยพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถแสดงเป็นรูปทรงกระบอก (ร,ซี, φ) และทรงกลม (ร, φ , ψ).

โดยเฉพาะใน ทรงกระบอกพิกัด ( r-รัศมี; φ คือมุมขั้ว ซี- ใบสมัคร) สมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนมีรูปแบบ

(1.14)

เงื่อนไขความเป็นเอกลักษณ์

สมการเชิงอนุพันธ์จะอธิบายถึงกระบวนการนำความร้อนหลายๆ ในการแยกแยะกระบวนการเฉพาะออกจากชุดนี้ จำเป็นต้องกำหนดคุณลักษณะของกระบวนการนี้ ซึ่งเรียกว่า เงื่อนไขความเป็นเอกลักษณ์ และรวมถึง:

· เงื่อนไขทางเรขาคณิต ลักษณะรูปร่างและขนาดของร่างกาย

· สภาพร่างกาย ลักษณะคุณสมบัติของร่างกายที่เข้าร่วมในการแลกเปลี่ยนความร้อน

· เงื่อนไขชายแดน การกำหนดลักษณะเงื่อนไขของกระบวนการที่ขอบเขตของร่างกาย

· เงื่อนไขเริ่มต้น ระบุสถานะเริ่มต้นของระบบที่ กระบวนการที่ไม่หยุดนิ่ง.

เมื่อแก้ปัญหาการนำความร้อน มี:

· เงื่อนไขขอบเขตประเภทแรกเมื่อให้การกระจายอุณหภูมิบนพื้นผิวร่างกาย:

t c = f (x, y, z, τ)หรือ t c = คงที่;

· เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สองเมื่อได้รับความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อนบนพื้นผิวร่างกาย:

คิว ค = ฉ (x, y, z, τ)หรือ q c = คงที่;

· เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สามเมื่อตั้งอุณหภูมิปานกลาง ทีและค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนระหว่างพื้นผิวกับตัวกลาง

ตามกฎของนิวตัน-ริชมันน์ ฟลักซ์ความร้อนที่ถ่ายโอนจากพื้นผิว 1 ม. 2 ไปยังตัวกลางที่มีอุณหภูมิ ที,

ในเวลาเดียวกันการไหลของความร้อนนี้ถูกส่งไปยังพื้นผิว 1m 2 จากชั้นลึกของร่างกายโดยการนำความร้อน

จากนั้นจึงเขียนสมการสมดุลความร้อนสำหรับผิวกายได้ในรูป

(1.15)

สมการ (1.15) เป็นการกำหนดเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สาม

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์พร้อมกับเงื่อนไขเอกลักษ์คือสูตรทางคณิตศาสตร์ของปัญหา คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ประกอบด้วยค่าคงที่การรวม ซึ่งถูกกำหนดโดยใช้เงื่อนไขเฉพาะ

ควบคุมคำถามและงาน

1. วิเคราะห์การถ่ายเทความร้อนจากน้ำร้อนสู่อากาศผ่านผนังหม้อน้ำ: จากน้ำสู่ผิวด้านใน ผ่านผนัง จากผิวนอกสู่อากาศ

2. เหตุใดจึงมีเครื่องหมายลบทางด้านขวาของสมการ (1.3)

3. วิเคราะห์ด้วยความช่วยเหลือของเอกสารอ้างอิงการพึ่งพาอาศัยกัน λ(เสื้อ)สำหรับโลหะ โลหะผสม วัสดุฉนวนความร้อน ก๊าซ ของเหลว และตอบคำถาม: ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนเปลี่ยนแปลงตามอุณหภูมิสำหรับวัสดุเหล่านี้อย่างไร

4. ฟลักซ์ความร้อนถูกกำหนดอย่างไร? (คิว, ว ) ด้วยการถ่ายเทความร้อนแบบพาความร้อน การนำความร้อน การแผ่รังสีความร้อน?

5. เขียนสมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนในพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งอธิบายถึงฟิลด์อุณหภูมิคงที่แบบสามมิติโดยไม่มีแหล่งความร้อนภายใน

6. เขียนสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับฟิลด์อุณหภูมิของเส้นลวดซึ่งได้รับพลังงานเป็นเวลานานที่โหลดไฟฟ้าคงที่

2. การนำความร้อนและการถ่ายเทความร้อน
ในโหมดนิ่ง

2.1. การนำความร้อนของผนังเรียบ

ที่ให้ไว้:ความหนาของผนังเรียบสม่ำเสมอ δ (รูปที่ 2.1) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนคงที่ λ และอุณหภูมิคงที่ t1และ t2บนพื้นผิว

กำหนด: สมการของสนามอุณหภูมิ เสื้อ=ฉ(x)และความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อน ถาม, ว/ม2.

สนามอุณหภูมิของผนังอธิบายโดยสมการการนำความร้อนที่แตกต่างกัน (1.3) ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

เนื่องจากโหมดหยุดนิ่ง

· เพราะ ไม่มีแหล่งความร้อนภายใน

· เพราะ อุณหภูมิ t1และ t2บนพื้นผิวของผนังคงที่

อุณหภูมิผนังเป็นฟังก์ชันของพิกัดเดียวเท่านั้น เอ็กซ์และสมการ (1.13) ใช้แบบฟอร์ม

นิพจน์ (2.1), (2.2), (2.3) เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ของปัญหาซึ่งการแก้ปัญหาจะช่วยให้เราได้สมการฟิลด์อุณหภูมิที่ต้องการ เสื้อ=ฉ(x).

การรวมสมการ (2.1) ให้

เมื่อทำการอินทิเกรตซ้ำแล้วซ้ำอีก เราจะได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูป

ติดยาเสพติด เสื้อ=ฉ(x)ตาม (2.5) เป็นเส้นตรง (รูปที่ 2.1) ซึ่งเป็นจริงสำหรับ λ=const.

เพื่อกำหนดความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนที่ผ่านผนัง เราใช้กฎของฟูเรียร์

โดยคำนึงถึง เราได้รับสูตรการคำนวณสำหรับความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนที่ส่งผ่านผนังเรียบ

สูตร (2.6) สามารถเขียนเป็น

ที่ไหน

ค่าที่เรียกว่า การนำความร้อน ความต้านทานความร้อนผนังเรียบ

ขึ้นอยู่กับสมการ

คิวอาร์=เสื้อ 1 – ที 2

สรุปได้ว่าค่าความต้านทานความร้อนของผนังแปรผันโดยตรงกับความแตกต่างของอุณหภูมิตามความหนาของผนัง

คำนึงถึงการพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนกับอุณหภูมิ λ(เสื้อ)เป็นไปได้ถ้าเราแทนค่าลงในสมการ (2.6) และ (2.7) แลฟสำหรับช่วงอุณหภูมิ เสื้อ 1 - เสื้อ 2.

พิจารณาการนำความร้อน ผนังเรียบหลายชั้นประกอบด้วยสามชั้น
(รูปที่ 2.2)

ที่ให้ไว้:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, เล 3, เสื้อ 1 = คงที่, t4=const.

กำหนด: ถาม, ว/ม 2; t2, t3.

ในโหมดคงที่และอุณหภูมิคงที่ของพื้นผิวผนัง การไหลของความร้อนที่ส่งผ่านผนังสามชั้นสามารถแสดงได้ด้วยระบบสมการ:

อุณหภูมิที่ขอบชั้น t2และ t3สามารถคำนวณได้โดยใช้สมการ (2.8) - (2.10) หลังจากความหนาแน่นฟลักซ์ความร้อน ( ถาม) โดย (2.12)

รูปแบบทั่วไปของสมการ (2.12) สำหรับผนังเรียบหลายชั้นประกอบด้วย พีชั้นเนื้อเดียวกันที่มีอุณหภูมิคงที่บนพื้นผิวด้านนอก และ มีรูปแบบ

2.2. การนำความร้อนของผนังทรงกระบอก
ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตแบบแรก

ที่ให้ไว้: ผนังทรงกระบอกที่เป็นเนื้อเดียวกัน (ผนังท่อ) ที่มีรัศมีภายใน r1, ภายนอก - r2, ความยาว , มีค่าการนำความร้อนคงที่ λ ด้วยอุณหภูมิพื้นผิวที่คงที่ t1และ t2.
(รูปที่ 2.3)

กำหนด:สมการของสนามอุณหภูมิ
เสื้อ=f(r)การไหลของความร้อนที่ส่งผ่านผนัง
ถาม, ว.

สมการความแตกต่างของความร้อนในพิกัดทรงกระบอก (1.14) สำหรับเงื่อนไขของปัญหานี้:

ใช้แบบฟอร์ม

ขั้นตอนการแก้ระบบสมการ (2.15) - (2.17) นั้นเหมือนกับในกรณีของผนังเรียบ: พบอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง (2.15) ซึ่งมีค่าคงที่การรวมสองค่า
จาก 1และ ตั้งแต่ 2. หลังถูกกำหนดโดยใช้เงื่อนไขขอบเขต (2.16) และ (2.17) และหลังจากแทนค่าลงในคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (อินทิกรัลทั่วไป) เราได้รับ สมการสนามอุณหภูมิของผนังทรงกระบอก t = f (r)เช่น

ถ้าเราหาอนุพันธ์ทางด้านขวาของสมการ (2.18) และแทนค่าใน (2.19) เราจะได้สูตรการคำนวณสำหรับ การไหลของความร้อนของผนังทรงกระบอก

(2.20)

ในการคำนวณทางเทคนิค ฟลักซ์ความร้อนมักจะคำนวณสำหรับความยาวท่อ 1 ม.:

และโทร ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเชิงเส้น.

เราเขียนสมการ (2.20) เป็น

ที่ไหน – ความต้านทานความร้อนของการนำความร้อนของผนังทรงกระบอก.

สำหรับผนังทรงกระบอกสามชั้น(ท่อหุ้มด้วยฉนวนกันความร้อน 2 ชั้น) โดยทราบอุณหภูมิพื้นผิวคงที่ ( t1และ t4) ด้วยมิติทางเรขาคณิตที่รู้จัก ( r1, r2, r3, r4, ) และค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนของชั้น ( λ1, λ2, เล 3) (รูปที่ 2.4) เราสามารถเขียนสมการต่อไปนี้สำหรับฟลักซ์ความร้อน ถาม:

อุณหภูมิที่ขอบของชั้น (t 2,t3)สามารถคำนวณได้จากสมการ (2.21)

สำหรับ ผนังทรงกระบอกหลายชั้น, ซึ่งประกอบด้วย พีเลเยอร์ สูตร (2.22) สามารถเขียนในรูปแบบทั่วไป

(2.23)

การนำความร้อนที่มีประสิทธิภาพสำหรับผนังทรงกระบอกหลายชั้นเช่นเดียวกับผนังเรียบหลายชั้น พิจารณาจากความเท่าเทียมกันของผลรวมของความต้านทานความร้อนของผนังหลายชั้นกับความต้านทานความร้อนของผนังที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีความหนาเท่ากันกับผนังหลายชั้น ดังนั้นสำหรับฉนวนกันความร้อนสองชั้นของท่อ
(รูปที่ 2.4) การนำความร้อนที่มีประสิทธิภาพ (แลฟ)ถูกกำหนดจากความเท่าเทียมกัน

2.3. การนำความร้อนของผนังเรียบและทรงกระบอก
ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สาม (การถ่ายเทความร้อน)

เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สามประกอบด้วยการตั้งค่าอุณหภูมิของของเหลว (เ ว)และค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน () ระหว่างพื้นผิวผนังกับของเหลว

การถ่ายโอนความร้อนจากของเหลวหนึ่งไปยังอีกของเหลวหนึ่งผ่านผนังที่แยกออกจากกันเรียกว่า การถ่ายเทความร้อน.

ตัวอย่างของการถ่ายเทความร้อน ได้แก่ การถ่ายเทความร้อนจากก๊าซไอเสียสู่น้ำผ่านผนังของท่อหม้อต้มไอน้ำ การถ่ายโอนความร้อนจากน้ำร้อนไปยังอากาศแวดล้อมผ่านผนังของแบตเตอรี่ทำความร้อน เป็นต้น

แลกเปลี่ยนความร้อนระหว่างพื้นผิวและตัวกลาง (น้ำหล่อเย็น) ได้ การพาความร้อนหากสารหล่อเย็นเป็นของเหลว (น้ำ น้ำมัน ฯลฯ) หรือ การแผ่รังสีพาความร้อนเมื่อความร้อนถูกถ่ายโอนโดยการถ่ายเทความร้อนแบบพาความร้อนและการแผ่รังสี หากสารหล่อเย็นเป็นก๊าซ (ก๊าซไอเสีย อากาศ ฯลฯ)

ให้เราพิจารณาการถ่ายเทความร้อนผ่านผนังเรียบและผนังทรงกระบอกภายใต้เงื่อนไขของการถ่ายเทความร้อนแบบพาความร้อนบนพื้นผิวเท่านั้น (การถ่ายเทความร้อนเชิงซ้อน) บนพื้นผิวจะกล่าวถึงในภายหลัง การถ่ายเทความร้อน W / m 2 (Q

ถ้า 1และ 2เปรียบได้.

การถ่ายเทความร้อนผ่านผนังทรงกระบอกหลายชั้นคำนวณโดยสูตร

(2.35)

ที่ไหน F1และ F2เป็นพื้นที่ของพื้นผิวด้านในและด้านนอกของผนังทรงกระบอกหลายชั้น