А). Французский ученый Луи де Бройль (1892–1987) в 1924 г. в докторской диссертации «Исследования по теории квантов» выдвинул смелую гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, утверждая, что поскольку свет ведет себя в одних случаях как волна, а в других – как частица, то и материальные частицы (электроны и др.) в силу общности законов природы должны обладать волновыми свойствами. «В оптике, – писал он, – в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества обратная ошибка? Не думали ли мы слишком много о картине «частиц» и не пренебрегали ли чрезмерной картиной волн?» В то время гипотеза де Бройля выглядела безумной. Лишь в 1927 г., три года спустя, наука пережила огромное потрясение: физики К. Дэвиссон и Л. Джермер экспериментально подтвердили гипотезу де Бройля, получив дифракционную картину электронов.
Согласно квантовой теории света А. Эйнштейна, волновые характеристики фотонов света (частота колебаний v ф, релятивистской массой m ф и импульсом р ф) соотношениями:
По идее де Бройля, любая микрочастица, в том числе и с массой покоя ш 0 Ц 0, должна обладать не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Соответствующие частота v и длина волны л определяются при этом соотношениями, подобными эйнштейновским:
Отсюда длина волны де Бройля -
Таким образом, соотношения Эйнштейна, полученные им при построении теории фотонов в результате гипотезы, выдвинутой де Бройлем, приобрели универсальный характер и стали одинаково применимыми как для анализа корпускулярных свойств света, так и при исследовании волновых свойств всех микрочастиц.
Б). Свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Волновые свойства проявляются при распространении света (интерференция, дифракция). Корпускулярные свойства проявляются при взаимодействии света с веществом (фотоэффект, излучение и поглощение света атомами).
Свойства фотона как частицы (энергия E и импульс p ) связаны с его волновыми свойствами (частотой ν и длиной волны λ) соотношениями
где h = 6,63·10 –34 Дж·с – постоянная Планка.
Французский физик де Бройль в 1924 г. высказал предположение, что сочетание волновых и корпускулярных свойств присуще не только свету, но и любому материальному телу. Согласно де Бройлю, каждому телу массой m , движущемуся со скоростью υ, соответствует волновой процесс с длиной волны
(нерелятивистское приближение υ << c ).
Наиболее отчетливо волновые свойства проявляются у элементарных частиц. Это происходит потому, что из-за малой массы частиц длина волны оказывается сравнимой с расстоянием между атомами в кристаллических решетках. В этом случае при взаимодействии пучка частиц с кристаллической решеткой возникаетдифракция.
Для иллюстрации волновых свойств частиц часто используют мысленный эксперимент – прохождение пучка электронов (или других частиц) через щель ширинойΔx . С точки зрения волновой теории при дифракции на щели пучок будет уширяться с угловой расходимостью θ ≥ λ / Δx . С корпускулярной точки зрения уширение пучка после прохождения щели объясняется появлением у частиц некоторого поперечного импульса. Разброс значений этого поперечного импульса («неопределенность») есть
Соотношение
носит название соотношения неопределенностей. Это соотношение на корпускулярном языке выражает наличие волновых свойств у частиц.
Эксперимент по прохождению пучка электронов через две близко расположенные щели может служить еще более яркой иллюстрацией волновых свойств частиц. Этот эксперимент является аналогом оптического интерференционного опыта Юнга.
Компьютерная модель воссоздает на экране дисплея мысленные эксперименты по дифракции электронов на одной и двух щелях.
Подлетая к экрану со щелями, частицы взаимодействуют с ним как волны де Бройля. Поведение частиц в пространстве между экраном со щелями и фотопластинкой описывается в квантовой физике с помощью Ψ-функций. Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность обнаружения частицы в том или ином месте. Таким образом, попадание частиц в различные точки фотопластинки есть вероятностный процесс. Компьютерная модель позволяет продемонстрировать этот процесс.
В случае одиночной щели модель иллюстрирует соотношение неопределенностей, которое является следствием двойственной природы частиц. Можно изменять в некоторых пределах ширину щели и наблюдать дифракционное размытие электронного пучка на фотопластинке.
Предполагается, что электроны имеют энергию порядка 100 эВ.
Обратите внимание, что в случае двух щелей наблюдаемое на фотопластинке распределение не является простым наложением двух независимых распределений от каждой из щелей в отдельности. Появление интерференционных полос на фотопластинке однозначно свидетельствует о том, что каждая достигшая фотопластинки частица одновременно прошла через обе щели экрана.
64.Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В 1927 г. В.Гейзенберг открыл так называемые , в соответствии с которыми неопределенности координаты и импульсасвязаны между собой соотношением: , где,h постоянная Планка. Своеобразие описания микромира в том, что произведение неопределенности (точности определения) положения Δx и неопределенности (точности определения) импульса Δp x всегда должно быть равно или больше константы, равной – . Из этого следует, что уменьшение одной из этих величин должно приводить к увеличению другой. Хорошо известно, что любое измерение сопряжено с определенными ошибками и совершенствуя приборы измерения, можно уменьшать погрешности, т. е. повышать точность измерения. Но Гейзенберг показал, что существуют сопряженные (дополнительные) характеристики микрочастицы, точное одновременное измерение которых, принципиально невозможно. Т.е. неопределенность – свойство самого состояния, оно не связано с точностью прибора.
Для других сопряженных величин – энергии E и времени t соотношения неопределенностей , имеет вид: . Это означает, что при характерном времени эволюции системы Δt , погрешность определения ее энергии не может быть меньше чем . Из этого соотношения следует возможность возникновения из ничего, так называемых,виртуальных частиц на промежуток времени меньший, чем и обладающих энергией ΔE . При этом закон сохранения энергии не будет нарушен. Поэтому по современным представлениям вакуум это не пустота, в которой отсутствуют поля и частицы, а физическая сущность, в которой постоянно возникают и исчезают виртуальные частицы.
Одним из основных принципов квантовой механики является принцип неопределенностей , открытый Гейзенбергом. Получение информации об одних величинах, описывающих микрообъект, неизбежно ведет к уменьшению информации о других величинах, дополнительных к первым. Приборы, регистрирующие величины, связанные соотношениями неопределенности, разного типа, они дополнительны друг к другу. Под измерением в квантовой механике подразумевается всякий процесс взаимодействия между классическим и квантовыми объектами, происходящий помимо и независимо от какого-либо наблюдателя. Если в классической физике измерение не возмущало сам объект, то в квантовой механике каждое измерение разрушает объект, уничтожая его волновую функцию. Для нового измерения объект нужно готовить заново. В этой связи Н. Бор выдвинул принцип дополнительности , суть которого в том, что для полного описания объектов микромира необходимо использование, двух противоположных, но дополняющих друг друга представлений.
Дифракция фотонов, как иллюстрация соотношения неопределенностей
С точки зрения квантовой теории свет можно рассматривать как поток световых квантов - фотонов. При дифракции монохроматической плоской волны света на узкой щели, каждый фотон, прошедший через щель, попадает в определенную точку на экране (Рис 1.). Предсказать, в какую именно точку попадет фотон невозможно. Однако в совокупности, попадая в разные точки экрана, фотоны дают дифракционную картину. Когда фотон проходит через щель, можно говорить, что его координата x, была определена с погрешностью Δx, которая равна размеру щели. Если фронт плоской монохроматической волны параллелен плоскости экрана со щелью, то каждый фотон имеет импульс, направленный по оси z перпендикулярно экрану. Зная длину волны, этот импульс можно точно определить: p = h/λ.
Однако после прохождения через щель, направление импульса меняется, в результате чего и наблюдается дифракционная картина. Модуль импульса остается постоянным, так как при дифракции света длина волны не меняется. Отклонение от первоначального направления возникает за счет появления составляющей Δp x вдоль оси х (Рис. 1.). Величину этой составляющей для каждого конкретного фотона определить невозможно, но максимальное ее значение по модулю определяет ширину 2S дифракционной картины. Максимальное значение Δp x и является мерой неопределенности импульса фотона, возникающей при определении его координаты с погрешностью Δx. Как видно из рисунка, максимальное значение Δp x равно: Δp x = psinθ, . Если L >> s , тогда можно записать: sinθ =s/L и Δp x = p(s/L ).
Французский ученый Луи де Бройль, осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма . Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия Е и импульс р , а с другой – волновые характеристики – частота n и длина волны l . Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:
Смелость гипотезы де Бройля заключалась именно в том, что соотношение (1) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля :
Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р .
Определим некоторые основные свойства волн де Бройля. Рассмотрим свободно движущуюся со скоростью v частицу массой m . Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн де Бройля. Итак, фазовая скорость:
, (3)
где и , – волновое число. Так как c>v , то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме.
Групповая скорость: 
.
Для свободной частицы, согласно теории относительности Эйнштейна, справедливо 
, тогда
.
Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.
Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Значит, необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.
В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга , микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (x, y, z ), и определенную соответствующую проекцию импульса (p x , p y , p z ), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям
т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h .
Из соотношения неопределенностей (4) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (Dx =0), то в этом состоянии (Dp x ®¥), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является , таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам .
В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t , т.е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию
Подчеркнем, что DЕ – неопределенность энергии некоторого состояния системы, Dt – промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Dt , не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность , т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной . Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.
2. Волновая функция и ее свойства
Итак, квантовая механика описывает законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Однако при этом отмечается, что волны де Бройля (микрочастицы) не обладают всеми свойствами электромагнитных волн. Например, электромагнитные волны представляют собой распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве какого-либо электромагнитного поля. Экспериментально доказано, что равномерно и прямолинейно движущиеся заряженные частицы не излучают электромагнитных волн.
Из опытов по дифракции электронов следует, что в этих экспериментах обнаруживается неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных или рассеянных по различным направлениям: в некоторых направлениях наблюдается большее число электронов, чем во всех других. С волновой точки зрения наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Другими словами, интенсивность волн в данной точке пространства определяет плотность вероятности попадания электронов в эту точку. Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероятностного истолкования волн де Бройля.
Единственное правильное толкование волн материи, позволяющее согласовать между собой описанные факты, это статистическое толкование : интенсивность волны пропорциональна вероятности обнаружить частицу в данном месте. Для того, чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, вводят функцию , называемую волновой функцией (или псифункцией). Определяли ее так, чтобы вероятность dW того, что частица находится в элементе объема dV , равнялась произведению и элемента объема dV :
Физический смысл имеет не сама функция Y, а квадрат ее модуля: , где Y * – функция, комплексно сопряженная с Y. Величина имеет смысл плотности вероятности : , т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами x, y, z . Так как пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице, то это значит, что волновая функция удовлетворяет условию нормировки вероятностей :
Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Это налагает на волновую функцию ряд ограничительных условий. Функция Y, характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть:
1. конечной (вероятность не может быть больше единицы);
2. однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);
3. непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции : если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , то она также может находиться в состоянии Y, описываемом линейной комбинацией этих функций:
где С n (n =1, 2, …) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей .
Волновая функция, являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект:
.
где интегрирование ведется по всему бесконечному пространству, как и в случае (7).
3. Уравнение Шредингера.
Статистическое истолкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающем движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции , так как именно она, или, точнее, величина , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV , т.е. в области с координатами x и x +dx , y и y +dy , z и z +dz . Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением.
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется . Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид:
, (8)
где , m
– масса частицы, D – оператор Лапласа 
, i
– мнимая единица, – функция потенциальной энергии частицы в силовом поле, в котором она движется, – искомая волновая функция частицы.
Уравнение (8) справедливо для любой частицы, движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т.е. v<
1) функция Y должна быть конечной , непрерывной и однозначной ;
2) производные 
должны быть непрерывны
;
3) функция должна быть интегрируема
, т.е. интеграл 
должен быть конечным
.
Уравнение (8) является общим уравнением Шредингера. Его также называют временным уравнением Шредингера , так как оно содержит производную от функции Y по времени. Однако для большинства физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (8) можно упростить, исключив зависимость Y от времени, иными словами найти уравнение Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии . Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция явно не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что
где Е – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это в (8), получим
откуда придем к уравнению, определяющему функцию y :
. (9)
Уравнение (9) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний . В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются упомянутые выше условия регулярности волновых функций. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями y . Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е , а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными . Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями . Собственные значения Е могут образовать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном , или сплошном , спектре, во втором – о дискретном спектре .
4. Ядерная модель атома.
Общепринятую сегодня ядерную (планетарную) модель атома предложил Э. Резерфорд. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева, е – элементарный заряд), размер 10 -15 -10 -14 м и массу, практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10 -10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т.е. вокруг ядра вращается Z электронов.
Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху. Преодоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой – квантовой – теории атома. Первая попытка построения такой теории была предпринята Нильсом Бором. В основу своей теории Бор положил два постулата.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) : в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состоянием атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющее условию
где m e – масса электрона, v – его скорость по n -ой орбите радиуса r n .
Второй постулат Бора (правило частот) : при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией
равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (E n
и E m
– соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)). При E n
<E m
происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т.е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при E n
>E m
– его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т.е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот 
квантовых переходов определяет линейчатый спектр атома.
Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем – систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы He + , Li 2+). Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в такой системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение , предложенное Резерфордом, и уравнение (10), получим выражение для радиуса n -й стационарной орбиты:
.
Откуда следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел. Для атома водорода (Z =1) радиус первой орбиты электрона при n =1, называемый первым боровским радиусом (а ), равен
,
что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов.
Кроме этого, учитывая квантованные для радиуса n -й стационарной орбиты значения, можно показать, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:
,
где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.
5. Атом водорода в квантовой механике.
Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия He + , двукратно ионизированного лития Li ++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z =1),
,
где r – расстояние между электроном и ядром.
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (9), учитывающему предыдущее значение потенциальной энергии:
, (12)
где m – масса электрона, Е – полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (12) обычно используют сферическую систему координат: r , q , j . Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют.
1. Энергия . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (27) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции y , только при собственных значениях энергии
, (13)
т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии. Самый нижний уровень Е 1 , отвечающий минимальной возможной энергии, - основной , все остальные (E n >E 1 , n =1, 2, 3, …) – возбужденные . При E <0 движение электрона является связанным , а при E >0 – свободным ; область непрерывного спектра Е >0 соответствует ионизированному атому . Выражение (13) совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.
2. Квантовые числа . В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (12) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным n , орбитальным l и магнитным m l .
Главное квантовое число n , согласно (13), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:
n =1, 2, 3, …
Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется , т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой
где l – орбитальное квантовое число , которое при заданном n принимает значения l =0, 1, …, (n -1), т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.
Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор L l момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L lz на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные:
Рис. 1
|
где m l – магнитное квантовое число , которое при заданном l может принимать значения m l =0, ±1, ±2, …, ±l , т.е. всего 2l +1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число m l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление , причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l +1 ориентаций.
Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве .
3. Спектр . Светящиеся газы дают линейчатые спектры испускания. В соответствии с законом Кирхгофа спектры поглощения газов также имеют линейчатую структуру. Все сериальные формулы спектра водорода могут быть выражены единой формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера :
, (16)
где R =3,293×10 15 с -1 – постоянная Ридберга , m и n – целые числа, причем для данной серии n =m +1, m +2, m +3 и т.д. Всего различают шесть серий спектральных линий: серия Лаймана (m =1), серия Бальмера (m =2), серия Пашена (m =3), серия Брэкета (m =4), серия Пфунда (m =5), серия Хэмфри (m =6) (рис. 1).
6. Спин электрона. Принцип Паули. Принцип неразличимости
тождественных частиц.
В 1922 г. было обнаружено, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю (14). Магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением электрона, пропорционален механическому моменту, поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, т.е. расщепления быть не должно.
Для объяснения этого явления, а также ряда других трудностей в атомной физике было предложено, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса , не связанным с движением электрона в пространстве, – спином . Спин электрона (и всех других частиц) – квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.
Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) L s , то ему соответствует собственный магнитный момент. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону
,
где s – спиновое квантовое число .
По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция L sz спина квантуется так, что вектор L s может принимать 2s +1 ориентаций. Так как в опытах наблюдались только две ориентации, то 2s +1=2, откуда s =1/2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, аналогичным (15):
где m s – магнитное спиновое квантовое число ; оно может иметь только два значения: .
Распределение электронов в атоме подчиняется квантово-механическому закону, называемому принципом Паули или принципом исключения . В своей простейшей формулировке он гласит: «В любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного n , орбитального l , магнитного m l и спинового m s », т.е. Z(n, l, m l , m s) =0 или 1, где Z(n, l, m l , m s) – число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: n, l, m l , m s . Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.
Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n , называют электронной оболочкой . В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам , соответствующим данному l . Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n -1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l +1).
Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлементным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например, электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики. Такие частицы называются тождественными .
Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики – принципе неразличимости тождественных частиц , согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы. В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам, т.е. классические частицы обладают индивидуальностью.
В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность () нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.
7. Квантовые статистики. Вырожденный газ.
Основная задача статистической физики в квантовых статистиках состоит в нахождении функции распределения частиц системы по тем или другим параметрам – координатам, импульсам, энергиям и т.п., а также в отыскании средних значений этих параметров, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц. Для систем фермионов и бозонов эти задачи решаются единообразно, но несколько различно в связи с тем, что бозоны не подчиняются принципу Паули. В соответствии с этим различаются две квантовые статистики: Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, в рамках которых определен вид функции распределения частиц системы по энергиям.
Напомним, что функция распределения по энергиям представляет собой долю от общего числа частиц, которые имеют энергию в интервале значений от W до W+dW :
,
где N – общее число частиц, f(W) – функция распределения по энергиям.
Для системы из n невзаимодействующих фермионов с энергией W (идеальный Ферми-газ) или системы из n невзаимодействующих бозонов с энергией W (идеальный Бозе-газ) были определены похожие функции распределения:
, (17)
где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, m - химический потенциал, представляющий собой изменение энергии системы при изменении на единицу числа частиц системы при изохорном или изоэнтропийном процессе. В рамках статистики Ферми-Дирака в (32) берут знак «+», т.е. в этом случае . Соответственно для Бозе-газа – знак «-» и .
Газ называется вырожденным , если его свойства отличаются от свойств классического идеального газа. В вырожденном газе происходит взаимное квантово-механическое влияние частиц газа, обусловленное неразличимостью тождественных частиц. Поведение фермионов и бозонов различно при вырождении.
Для характеристики степени вырождения газа вводится параметр вырождения А :
Функция распределения с помощью параметра вырождения для обеих квантовых статистик запишется в виде:
.
Если параметр вырождения мал A<<1, то и функция распределения превращается в функцию распределения Максвелла-Больцмана , лежащую в основе классической статистики невырожденного газа:
Температурой вырождения называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц. Сравнительно легко можно грубо оценить температурный критерий вырождения газа. Вырождение обычных газов сказывается при низких температурах. Для фотонного и электронного газа в металлах это не справедливо. Электронный газ в металлах практически всегда вырожден. Только при температурах выше нескольких десятков тысяч градусов электроны металла подчинялись бы классической статистике Максвелла-Больцмана. Но существование металлов в конденсированном состоянии при таких температурах невозможно. Поэтому классическое описание поведения электронов в металлах приводит в электродинамике в ряде случаев к законам, резко противоречащих опыту. В полупроводниках концентрация электронного газа много меньше, чем в металлах. В этих условиях температура вырождения составляет порядка 10 -4 К и электронный газ в полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике. Примером вырожденного газа служит фотонный газ. Так как масса фотона равна нулю, то температура вырождения стремится к бесконечности. Фотонный газ при любой температуре является вырожденным. Атомные и молекулярные газы имеют весьма малые температуры вырождения. Например, для водорода при нормальных условиях температура вырождения составляет около 1 К. Для остальных газов, более тяжелых, чем водород, она еще меньше. Газы при нормальных условиях не бывают вырождены. Вырождение, связанное с квантовыми свойствами газов, проявляется значительно меньше, чем отклонение газов от идеальности, вызванное межмолекулярными взаимодействиями.
Максимальная энергия, которую могут иметь электроны проводимости в кристалле при 0 К называется энергией Ферми и обозначается E F . Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми . Уровню Ферми соответствует энергия Ферми, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.
8. Понятие о зонной теории твердых тел.
Используя уравнение Шредингера, в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения такой задачи для случая многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела .
Рис. 2
|
Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней. При образовании кристаллической решетки, т.е. при сближении атомов до межатомных расстояний решетки, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуя зонный энергетический спектр . На рис. 2 показано расщепление энергетических уровней в зависимости от расстояния между атомами. Видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» – принадлежат всему твердому телу.
Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 2 областей, называемых разрешенными энергетическими уровнями . Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее расположены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями столь ничтожно (порядка 10 -22 эВ), что зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям. Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергий, называемыми запрещенными энергетическими зонами . В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с атомами.
Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон. Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. В общем случае можно говорить о валентной зоне , которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электронов свободных атомов, и о зоне проводимости (свободной зоне) , которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов. В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая (рис. 3).
На рис. 3, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т.е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны,
Квантовая природа света. Волновые свойства света, обнаруживаемые в явлениях интерференции и дифракции, и корпускулярные свойства света, проявляющиеся при фотоэффекте и эффекте Комптона, кажутся взаимно исключающими друг друга. Однако такие противоречия существовали лишь в классической физике. Квантовая теория полностью объясняет с единых позиций все свойства света. Характерной чертой квантовой теории света является объяснение всех явлений, в том числе и тех, которые ранее казались объяснимыми лишь с позиций волновой теории. Например, явления интерференции и дифракции света квантовая теория описывает как результат перераспределения фотонов в пространстве.
Распределение фотонов в пучках света при интерференции и дифракции описывается статистическими законами, дающими те же результаты, что и волновая теория. Однако торжество современной квантовой теории в объяснении всех световых явлений не означает, что никаких волн в природе нет.
Волновые свойства электрона. Полному отказу от волновых представлений о природе света препятствуют не только сила традиции, удобство волновой теории и трудность современной квантовой теории. Есть и более серьезная причина. В 1924 г. французский физик Луи де Б рой ль впервые высказал идею, согласно которой одновременное проявление корпускулярных и волновых свойств присуще не только свету, но и любому другому материальному объекту. Эта идея была лишь теоретической гипотезой, так как в то время наука не располагала экспериментальными фактами, которые бы подтверждали существование волновых свойств у элементарных частиц и атомов. В этом заключалось существенное отличие гипотезы де Бройля о волновых свойствах частиц от гипотезы Эйнштейна о существовании фотонов света, выдвинутой им после открытия явления фотоэффекта.
Гипотеза де Бройля существовании волн материи была детально разработана, и полученные из нее следствия могли быть подвергнуты экспериментальной проверке. Основное предположение де Бройля заключалось в том, что любой материальный объект обладает волновыми свойствами и длина волны связана с его импульсом таким же соотношением, каким связаны между собой длина световой волны и импульс фотона. Найдем выражение, связывающее импульс фотона р с длиной волны света. Импульс фотона определяется формулой:
Л. Де Бройль
рис.1 рис.
2
Из уравнения
Е= m с 2 = hv (2)
можно определить массу фотона:
Учитывая это, можно формулу преобразовать так:
Отсюда получаем для длины световой волны формулу:
Если это выражение справедливо, как предположил де Бройль, для любого материального объекта, то длина волны тела массой т, движущегося со скоростью v, может быть найдена так:
Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Брой-ля подучили в 1927 г. независимо друг от друга американские физики К. Д. Дэвиссон и Л. X. Джермер и английский физик Д. П. Томсон. Дэвиссон и Джермер изучали отражение электронных пучков от поверхности кристаллов на установке, схема которой изображена на рисунке 1. Перемещая приемник электронов по дуге окружности, центр которой находится в месте падения электронного пучка на кристалл, они обнаружили сложную зависимость интенсивности отраженного пучка от угла рис. 2. Отражение излучения только под определенными углами означает, что это излучение представляет собой волновой процесс и его избирательное отражение есть результат дифракции на атомах кристаллической решетки. По известным значениям постоянной кристаллической решетки и d угла дифракционного максимума можно по уравнению Вульфа - Брэггов
вычислить длину волны дифрагировавшего
излучения и сопоставить ее с дебройлевской длиной волны
электронов, вы
численной по известному ускоряющему напряжению U:
Вычисленная таким образом из опытных данных длина волны совпала по значению с дебройлевской длиной волны.
Интересны результаты другого опыта, в котором пучок электронов направлялся на монокристалл, но расположение приемника и кристалла не изменялось. При изменении ускоряющего напряжения, т. е. скорости электронов, зависимость силы тока через гальванометр от ускоряющего напряжения имела вид, представленный на рисунке 3. Электронный пучок испытывал наиболее эффективное отражение при скоростях частиц, удовлетворяющих - условию дифракционного максимума.
Последующие эксперименты полностью подтвердили правильность гипотезы де Бройля и возможность использования уравнения (6) для расчета длины волны, связанной с любым материальным объектом. Обнаружена дифракция не только элементарных частиц (электрон, протон, нейтрон), но и атомов.
Выполнив расчеты длины дебройлевской волны для различных материальных объектов, можно понять, почему мы не замечаем в повседневной жизни волновых свойств окружающих нас тел. Их длины волн оказываются столь малыми, что проявление волновых свойств невозможно обнаружить. Так, для пули массой 10 г, движущейся со скоростью 660 м/с, длина дебройлевской волны равна:
Дифракция
электронов на решетке кристалла никеля становится заметной лишь
при таких скоростях движения электронов, при которых их дебройлевская длина
волны становится сравнимой с постоянной решетки.
рис.
3 рис. 4
При этом условии дифракционная картина, получаемая от электронного пучка, становится подобной картине дифракции пучка рентгеновских лучей с такой же длиной волны. На рисунке 4 представлены фотографии дифракционных картин, наблюдающихся при прохождении пучка света (а) и пучка электронов (б) у края экрана.
Гипотеза де Бройля и атом Бора. Гипотеза о волновой природе электрона позволила дать принципиально новое объяснение стационарным состояниям в атомах. Для того чтобы понять это объяснение, выполним сначала расчет длины дебройлевской волны электрона, движущегося по первой разрешенной круговой орбите в атоме водорода. Подставив в уравнение (6) выражение для скорости электрона на первой круговой орбите, получим:
Это значит, что в атоме водорода, находящемся в первом стационарном состоянии, длина дебройлевской волны электрона в точности равна длине его круговой орбиты! Для любой другой орбиты с порядковым номером п получаем:
Этот результат позволяет выразить постулат Бора о стационарных состояниях в такой форме: электрон вращается вокруг ядра неопределенно долго, не излучая энергии, если на его орбите укладывается целое число длин волн де Бройля.
Такая формулировка постулата Бора соединяет в себе одновременно утверждение о наличии у электрона волновых и корпускулярных свойств, отражая его двойственную природу. Соединение волновых и корпускулярных свойств в этом постулате происходит потому, что при расчете длины волны электрона используется модуль скорости, полученный при расчете движения электрона как заряженной частицы по круговой орбите радиуса r.
Взаимные превращения света и вещества. Глубокое единство двух различных форм материи - вещества в виде различных элементарных частиц и электромагнитного поля в виде фотонов - обнаруживается не только в двойственной корпускулярно-волновой природе всех материальных объектов, но главным образом в том, что все известные частицы и фотоны взаимно превращаемы.
Самый известный пример взаимных превращений частиц - это превращение пары электрон - позитрон в два или три гамма-кванта. Этот процесс наблюдается при каждой встрече электрона с позитроном и называется аннигиляцией (т.е. исчезновением). При аннигиляции строго выполняются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и электрического заряда (электрон и позитрон обладают равными зарядами противоположного знака), но материя в форме вещества исчезает, превращаясь в материю в форме электромагнитного излучения.
Процесс, обратный аннигиляции, наблюдается при взаимодействии гамма-квантов с атомными ядрами. Гамма-квант, энергия которого превышает энергию покоя Ео=2m 0 c 2 пары элект рон - позитрон , может превратиться в такую пару.
О.С.Агеева, Т.Н.Строганова, К.С.Чемезова
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Тюмень. 2009
УДК 537(075):621.38
Агеева О.С., Строганова Т.Н., Чемезова К.С. Элементы квантовой механики и физики твердого тела: Учебное пособие. – Тюмень, -ТюмГНГУ, 2009. – 135 с.
В кратком виде излагаются физические основы квантовой механики, теория движения в поле потенциальных сил, изучаются туннельный эффект, атом водорода, физические основы работы лазеров.
Рассматриваются зонная теория твердых тел, электронная теория проводимости металлов и полупроводников, физические процессы в металлах, полупроводниках, p-n-переходах, обсуждаются вопросы, связанные с работой конкретных полупроводниковых и микроэлектронных приборов.
Предназначено для студентов технических специальностей ТюмГНГУ.
Ил. 79, табл.5.
Рецензенты: В.А.Михеев, кандидат физ.-мат. наук, заведующий кафедрой радиофизики Тюменского государственного университета; В.Ф.Новиков, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой физики №1 ТюмГНГУ.
© Издательство «Нефтегазовый университет», 2009
ПРЕДИСЛОВИЕ
Громадный прогресс в области электротехники и электроники в значительной мере связан с успехами физики твердого тела, поэтому современный инженер независимо от специальности должен обладать некоторым минимумом знаний в этой области науки. В свою очередь, физика твердого тела базируется на квантовой механике.
Квантовая механика - это наука о движении микрочастиц – электронов, нуклонов, атомов. Эти частицы подчиняются иным законам, чем макроскопические тела, состоящие из многих атомов. Основной особенностью микрочастиц является то, что они обладают свойствами волны. При этом многие характеристики частиц (энергия, импульс, момент импульса) в большинстве случаев могут иметь лишь дискретные значения и изменяться только определенными порциями – квантами. Отсюда и произошло название – квантовая механика.
Имеющаяся в настоящее время специальная литература по квантовой механике и физике твердого тела предполагает подробное, детальное изучение предмета; она использует достаточно сложный математический аппарат и не рассчитана на студента, для которого данная дисциплина не является основной. В то же время в учебниках по общему курсу физики ряд вопросов, связанных со свойствами твердых тел, либо освещен недостаточно, либо не рассматривается совсем. Связь между уравнениями квантовой механики, их решениями и работой современных электронных, оптических и оптоэлектронных приборов, как правило, не просматривается.
Авторы настоящего пособия сделали попытку частично восполнить существующий пробел в учебной литературе по квантовой механике и физике твердого тела и изложить некоторые разделы этого большого и сложного курса в форме, доступной для студента технического ВУЗа, изучающего курс общей физики на младших курсах. Главное внимание в пособии уделено рассмотрению свойств металлов и полупроводников с позиций зонной теории твердых тел.
Основные вопросы квантовой механики изложены в главе 1. В ней же даны основы работы лазеров. Главы 2-4 посвящены анализу поведения электронов в кристаллах, электрофизическим свойствам металлов и полупроводников. Наиболее подробно рассмотрено явление проводимости полупроводников, приведены примеры практического применения данного явления. В главах 5-7 рассмотрен p-n- переход и ряд оптических явлений в полупроводниках. В этой части пособия значительное внимание уделено физическим процессам, лежащим в основе работы современных полупроводниковых и микроэлектронных приборов.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц
В 1924г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу: корпускулярно-волновая двойственность свойств, установленная для света, имеет универсальный характер. Все частицы, имеющие конечный импульс, обладают волновыми свойствами. Движению частиц соответствует некоторый волновой процесс.
С каждым движущимся микрообъектом связываются корпускулярные характеристики: энергия E и импульс и волновые характеристики - длина волны λ или частота ν. Полная энергия частицы и ее импульс определятся формулами
; (1.1.1)
. (1.1.2)
Длина волны, связанной с движущейся частицей, определится выражением
. (1.1.3)
Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля получено в опытах по дифракции электронов на кристаллах. Рассмотрим кратко сущность этих опытов.
