Составляя сумму моментов, мы используем правило знаков термеха: против часовой стрелки «+», по часовой стрелке «-». Это не формулировка, но так гораздо проще запомнить.
У многих встречается проблема: как понять в какую сторону сила вращает конструкцию?
Вопрос не очень сложный и если знать некоторые хитрости - довольно легкий в понимании.
Начнем с простого, у нас есть схема
И для примера нам нужна сумма моментов относительно точки А.
Будем идти по порядку слева на право:
Ra и Ha не дадут момента, так как они действуют в точке А и у них к этой точке не будет плеча.
Это пример: зеленая линия - линия силы Ra, желтая - На. К точке А нету плеч, т.к. она лежит на линиях действия этих сил.
Продолжим: момент, возникающий в жесткой заделке Ма. С моментами довольно просто, в какую сторону он направлен разберется любой, в данном случае он направлен против часовой стрелки.
Сила от распределенной нагрузки Q направлена вниз с плечом 2,5 . Куда же она вращает нашу конструкцию?
Отбросим все силы, кроме Q. Помним, что в точке А у нас забит «гвоздь».
Если представить, что точка А - центр циферблата часов, то видно, что сила Q вращает нашу балку по часовой стрелке, а значит знак будет «-».
Точка А - центр циферблата и F вращает балку против часовой стрелки, знак будет «+»
С моментом все понятно, он направлен против часовой стрелки, а значит вращает балку в ту же сторону.
Бывают другие моменты:
Дана рама. Нам нужно составить сумму моментов относительно точки А.
Рассматриваем только силу F, не трогаем реакции в заделке.
И так, в какую сторону сила F вращает конструкцию относительно точки А?
Для этого, как и раньше мы проводим из точки А оси, а для F - линию действия силы
Теперь все видно и понятно - конструкция вращается по часовой стрелке
Таким образом, проблем с направлением быть не должно.
Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.
Если известен радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:
Действительно, модуль этого векторного произведения:
.
(1.9)
В соответствии с рисунком , поэтому:
Вектор , как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторами, которые принадлежат плоскости Π. Направление векторатаково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение откпроисходит по часовой стрелке. Другими словами, вектордостраивает систему векторов () до правой тройки.
Зная координаты точки приложения силы в системе координат, начало которой совпадает с точкой О, и проекцию силы на эти оси координат, момент силы может быть определен следующим образом:
.
(1.11)
Момент силы относительно оси
Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку, называется моментом силы относительно оси.
Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:
Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F⃗ Π. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком ``плюс"", иначе - ``минус"".
1.2 Постановка задачи.
Определение реакций опор и шарнира С.
1.3 Алгоритм решения задачи.
Разделим конструкцию на части и рассмотрим равновесие каждой из конструкции.
Рассмотрим равновесие всей конструкции в целом. (рис.1.1)
Составим 3 уравнения равновесия для всей конструкции в целом:
Рассмотрим равновесие правой части конструкции.(рис 1.2)
Составим 3 уравнения равновесия для правой части конструкции.
Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рисунок 4).
Рисунок 4 – Момент силы F относительно точки О
При закреплении тела в точке О сила F стремится поворачивать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпендикуляра а называется плечом силы относительно центра момента.
Момент силы F относительно О определяется произведением силы на плечо.
М О (F) = F·a.
Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке, а отрицательным - против часовой стрелки. Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точки равен нулю, так как в рассматриваемом случае плечо а = 0 (рисунок 5).
Рисунок 5 – Определение знака момента силы относительно точки
Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой определяется момент.
Уравнения равновесия плоской системы сил
Условия равновесия сил на плоскости: для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.
F ГЛ = 0; М ГЛ = Σ М О (F i) = 0.
Получим основную форму уравнения равновесия:
Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.
Для разных случаев используются три группы уравнений равновесия:
1. Первая форма уравнений равновесия
2. Вторая форма уравнений равновесия
3. Третья форма уравнений равновесия
Для системы параллельных сил (рисунок 43), можно составить только два уравнения равновесия:
Пример.
Дано: F = 24 кH; q = 6 кН/м; М = 12 кН·м α = 60°; а = 1,8 м; b = 5,2 м; с = 3,0 м. Определить реакции V A , H A и V В (рисунок 6).
Рисунок 6 – Заданная двухопорная балка
Отбрасываем связи (опоры А и В), заменяем их действие реакциями: неподвижная опора имеет реакции V А (вертикальная) и H А (горизонтальная). Подвижная опора - реакцию V B (вертикальная). Выбираем систему координат ХУ с началом в левой опоре, определяем равнодействующую распределенной нагрузки:
Q = q·a 2 = 6·5,2 = 31,2 кН.
Чертим расчетную схему балки (рисунок 7).
Рисунок 7 – Расчётная схема балки
Для полученной произвольной плоской системы сил составляем уравнения равновесия:
∑F ix = 0; H A – F·cos60° = 0;
∑F i у = 0; V A – F·cos30° – Q + V B = 0;
∑М А (F i) = 0; Q·(1,8 + 2,6) + F·cos30°·(1,8 + 5,2) – М – V B ·(1,8 + 5,2 + 3) = 0.
Решаем систему уравнений.
H A = F·cos60° = 24·0,5 = 12 кН;
V A = F·cos30° + Q – V B = 24·0,866 + 31,2 – 27,08 = 24,9 кН.
Для проверки правильности решения составим сумму моментов относительно точки приложения наклонной силы F:
∑М А (F i) = V A ·(1,8 + 5,2) – Q·2,6 – М – V B ·3 = 24,9·7 – 31,2·2,6 – 12 – 27,08·3 = – 0,06.
Ответ: опорные реакции балки равны V A = 24,9 кН; V В = 27,08 кН; Н А = 12 кН.
1. Что определяет эффект действия пары сил?
2. Зависит ли эффект действия пары сил от её положения в плоскости?
3.Зависят ли значения и направление момента силы относительно точки от взаимного расположения этой точки и линии действия силы?
4. Когда момент силы относительно точки равен нулю?
5. Сколь независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?
Действие одной силы или системы сил на твёрдое тело может быть связано не только с поступательным, но и с вращательным движением. Как известно, силовым фактором вращательного движения является момент силы.
Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определённой длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие. Если взять гаечный ключ в несколько раз длиннее, то, прилагая то же усилие, гайку можно затянуть значительно сильнее. Из этого следует, что одна и та же сила может оказывать различное вращательное действие. Вращательное действие силы характеризуется моментом силы .
Понятие момента силы относительно точки ввёл в механику итальянский учёный и художник эпохи Возрождения Леонардо да Винчи.
Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо (рис. 5.1):
Точка, относительно которой берется момент, называется центром момента. Плечом силы относительно точки называется кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы.
Единица момента силы в системе СИ:
[М] = [Р] · [h] = сила ∙ длина = ньютон ∙ метр = Н ∙м .
Рис. 5.1. Момент силы относительно точки
|
Рис. 6.1
Понятие пары сил введено в механику в начале XIX в. французским учёным Пуансо, который разработал теорию пар. Рассмотрим основные понятия.
Любые две силы, кроме сил, образующих пару, можно заменить равнодействующей. Пара сил не имеет равнодействующей, и никакими способами пару сил нельзя преобразовать к одной эквивалентной силе. Пара – такой же самостоятельный простейший механический элемент, как и сила.
Плоскость, в которой лежат силы, образующие пару, называют плоскостью действия пары . Кратчайшее расстояние между линиями сил, образующих пару, называют плечом пары h . Произведение модуля одной из сил пары на её плечо называют моментом пары и обозначают
М = ± Ph . (6.1)
Действие пары на тело характеризуется моментом, стремящимся вращать тело. При этом, если пара сил вращает тело против часовой стрелки, то момент такой пары считается положительным, если по часовой стрелке, то момент считается отрицательным.
Свойства пар
Не изменяя действия на тело, пару сил можно:
1) как угодно перемещать в её плоскости;
2) переносить в любую плоскость, параллельную плоскости действия этой пары;
3) изменять модуль сил и плечо пары, но так, чтобы ее момент (т. е. произведение модуля силы на плечо) и направление вращения оставались неизменными;
4) алгебраическая сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю;
5) алгебраическая сумма моментов сил, образующих пару, относительно любой точки постоянна и равна моменту пары.
Две пары считают эквивалентными, если они стремятся вращать тело в одну сторону и их моменты численно равны. Пару может уравновесить только другая пара с моментом, имеющим противоположный знак.
Сложение пар
Система пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, эквивалентна одной равнодействующей паре , момент которой равен алгебраической сумме моментов слагаемых пар, т. е.
Равновесие пар
Плоская система пар находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех пар равна нулю, т. е. .
Часто бывает удобным представить момент пары в виде вектора. Вектор-момент пары направлен перпендикулярно к плоскости действия пары в сторону, откуда вращательное действие пары наблюдается против часовой стрелки (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Вектор-момент пары сил
Пример 7. На балку, свободно опирающуюся на гладкий уступ А и шарнирно укреплённую в точке В, действует пара с моментом М = 1500 Нм. Определить реакции в опорах, если l = 2 м (рис. 6.3, а ).
Решение . Пару может уравновесить только другая пара с равным, но противоположно направленным моментом (рис. 6.3, б ). Следовательно,
В механике существует понятие о моменте силы относительно точки.
Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком (плюс или минус) произведение модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы (рис. 12), т. е.
М 0 ()= ± P h.
Точка О, относительно которой берется момент силы, называется центром момента; ОВ = h -кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы - называется плечом силы относительно данной точки; знак плюс ставится в случае, если сила стремится повернуть плечо h против хода часовой стрелки, а знак минус - в противоположном направлении. Момент силы относительно точки О на рис. 12 положительный.
Из последнего равенства следует, что при h =0, т.е. когда О- центр моментов– расположен на линии действия силы , М 0 () =0. Как известно, сила-скользящий вектор, поэтому при переносе силы по линиям действия из точки А в любую другую точку A 1 , А 2 и т. д. (рис. 12) длина плеча не изменится, а значит не изменится и значение момента силы относительно точки. Момент силы, как и момент пары, измеряют в ньютонометрах.
Рис.12. Момент силы относительно точки O .
1.12. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил
Пусть к данному телу приложена система параллельных сил , , , , (рис. 13). Через произвольную точку О, взятую в плоскости действия сил, проведем ось Ох, перпендикулярную силам, и ось Оу, параллельную этим силам. Запишем для данной системы сил уравнения равновесия
Рис.13. Система параллельных сил.
Каждая сила перпендикулярна оси Ох, и ее проекция на эту ось равна нулю. Следовательно, первое уравнение обращается в тождество 0 = 0 и выполняется независимо от того, уравновешиваются силы или нет. Таким образом, для плоской системы параллельных сил остается только два уравнения равновесия, причем на ось Оу силы проецируются в натуральную величину, так как эта ось параллельна заданным силам.
Система уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил принимает вид
Уравнения равновесия для плоской системы параллельных сил можно записывать в виде
Точки А и В –произвольные точки, предпочтительно их взять на оси х, уравнение =0 служит для проверки правильности вычислений.
Итак, для произвольной плоской системы сил мы имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы параллельных сил только два уравнения равновесия. Соответственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил - не более двух.
Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой.
1.13. Типы опор балок
В машинах и сооружениях очень часто встречаются тела удлиненной формы, называемые балками. Они в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения с другими элементами и передачи на них усилий. Опоры балок, рассматриваемых как плоские системы, бывают трех основных типов.
· Подвижная шарнирная опора (рис. 14, а) . Такая опора не препятствует вращению конца балки и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через центр катка.
Схематическое изображение подвижной шарнирной опоры дано на рис. 14, б.
Рис. 14. Типы опор балок.
Подвижные опоры дают возможность балке беспрепятственно изменять свою длину при изменении температуры и тем самым устраняют возможность появления температурных напряжений.
· Неподвижная шарнирная опора (рис. 14, в ). Такая опора допускает вращение конца балки, но устраняет поступательное перемещение ее в любом направлении Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие - горизонтальную и вертикальную
· Жесткая заделка, или защемление (рис. 14 , г). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре может в общем случае возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (вертикальную и горизонтальную) и момент защемления (реактивный момент).
Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой или просто консолью.
Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравнений статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, возможных для данной задачи, то балки называют статически неопределимыми.
Пример.
Определить неизвестные параметры реакций опор А и В для заданной (рис.15) конструкции балки, нагруженной параллельными силами и .
