Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент равны нулю, т.е.
Система сил уравновешена. Под действием такой системы сил твердое тело будет находиться в равновесии. Очевидно, что в общем случае двум векторным уравнениям (4.1) соответствуют шесть скалярных уравнений, отражающих равенство нулю проекций этих векторов на оси выбранной координатной системы (например, декартовой).
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю, т.е.
На тело действует результирующая пара сил, стремящаяся его повернуть. Заметим, что в этом случае выбор центра приведения не влияет на результат.
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю, т.е.
На тело действует равнодействующая системы сил, проходящая через центр приведения и стремящаяся сдвинуть тело вдоль линии своего действия. Очевидно, что соотношения (4.3.) справедливы для всех точек линии действия равнодействующей.
Заметим, что к этому случаю сводится действие системы сходящихся сил, если за центр приведения принять точку пересечения линий действия сил системы (т.к. моменты сил относительно этой точки равны нулю).
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент не равны нулю, а их направления составляют прямой угол, т. е.
то такую систему сил тоже можно привести к равнодействующей, но проходящей через другой центр приведения - точку . Для выполнения этой операции сначала рассмотрим эквивалентные системы сил, изображенные на рис. 4.2.б и рис. 4.1. Очевидно, что если заменить обозначения (точку В назвать центром О, точку А – центром ), стоящая перед нами задача требует выполнения операции, обратной выполненной в лемме о параллельном переносе силы. С учетом сказанного, точка должна, во-первых, располагаться в плоскости, перпендикулярной вектору главного момента, проходящей через центр О, и, во-вторых, лежать на линии, параллельной линии действия главного вектора сил и отстоящей от нее на расстоянии h, равном
Из двух найденных линий следует выбрать ту, для точек которой равен нулю вектор главного момента (момент главного вектора сил относительно нового центра должен быть равен по модулю и противоположен по направлению главному моменту системы сил относительно точки О).
В общем случае после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О неравные нулю главный вектор и главный момент составляют между собой не прямой угол (рис.4.5.а).
Если главный момент разложить на две составляющие – вдоль главного вектора сил и перпендикулярно ему, то, в соответствии с (4.5), может быть найден такой центр приведения , для которого перпендикулярная составляющая главного момента становится равной нулю, а величины и направления главного вектора и первой составляющей главного момента остаются прежними (рис.4.5.б). Совокупность векторов и называется силовым винтом или динамой .
Дальнейшее упрощение не представляется возможным.
Поскольку при такой смене центра приведения изменяется только проекция главного момента на направление, перпендикулярное главному вектору системы сил, остается неизменной величина скалярного произведения этих векторов, т.е.
Это выражение называется вторым инвариантом
статики .
Пример 4.1. На вершины прямоугольного параллелепипеда со сторонами и действуют силы и (см. рис.4.6). Приняв за центр приведения системы сил начало координат указанной на рисунке декартовой координатной системы, записать выражения для проекций главного вектора и главного момента.
Запишем тригонометрические соотношения для определения углов:
Теперь можно записать выражения для проекций главного вектора и главного момента сил системы:
Примечание: знание проекций вектора на координатные оси позволит, в случае необходимости, вычислить его величину и направляющие косинусы.
Как выше было доказано, произвольная система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к одной силе, равной главному вектору системы и приложенной в произвольном центре приведения О
, и одной паре с моментом , равным главному моменту системы относительно того же центра. Поэтому в дальнейшем произвольную систему сил можно заменять эквивалентной ей совокупностью двух векторов - силы и момента , приложенных в точке О
. При изменении положения центра приведения О
главный вектор будет сохранять величину и направление, а главный момент будет изменяться. Докажем, что если главный вектор отличен от нуля и 
перпендикулярен к главному моменту, то система сил приводится к одной силе, которую в этом случае будем называть равнодействующей (рис.8). Главный момент можно представить парой сил ( , ) с плечом , тогда силы и главный век тор образуют систему двух
сил эквивалентную нулю, которую можно отбросить. Останется одна сила , действующая вдоль прямой, параллельной главно
Рис 8 му вектору и проходящей на расстоянии
h = от плоскости, образуемой векторами и . Рассмотренный случай показывает, что если с самого начала выбрать центр приведения на прямой L, то систему сил сразу бы привели к равнодействующей, главный момент был бы равен нулю. Теперь докажем, что если главный вектор отличен от нуля и не перпендикулярен к главному моменту, то за центр приведения может быть выбрана такая точка О *, что главный момент относительно этой точки и главный вектор расположатся на одной прямой. Для доказательства разложим момент на две составляющие- одну , направленную вдоль главного вектора, и другую - перпендикулярную к главному вектору. Тем самым пара сил раскладывается на две пары с моментами: и , причем плоскость первой пары перпендикулярна к , тогда плоскость второй пары, перпендикулярная к вектору (рис 9) содержит вектор . Совокупность пары с моментом и силы образует систему сил, которая может быть сведена к одной силе (рис.8) , проходящей через точку О* . Таким образом (рис 9), совокупность главного вектора и главного момента в точке О сведена к силе , проходящей через точку О* , и паре с моментом параллельным этой прямой , что и требовалось доказать. Совокупность силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к линии действия силы, называется динамой (рис.10). Пару сил можно представить двумя равными по величине силами ( , ), расположенными как показано на рис 10. Но, сложив две силы и , получим их сумму и оставшуюся силу , откуда следует (рис.10), что совокупность главного вектора и главного момента в точке О , может быть сведена к двум непересекающимся силам и .
Рассмотрим некоторые случаи приведения системы сил.
1. Плоская система сил. Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY . Тогда в самом общем случае
Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно
следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей.
2. Система параллельных сил. Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ . Тогда в самом общем случае
Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно
следовательно, и этом случае главный вектор перпендикулярен главному моменту: система параллельных сил приводится к равнодействующей. В частном случае, если равен нулю, то и главный вектор сил равен нулю, и система сил приводится к паре сил, вектор момента которой находится в плоскости OXY . Систематизируем теперь рассмотренные случаи. Напомним: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения.
Рассмотрим некоторые частные случаи предыдущей теоремы.
1. Если для данной системы силR = 0, M 0 = 0, то она находится в равновесии.
2. Если для данной системы силR = 0, M 0 0, то она приводится к одной паре с моментом M 0 = m 0 (F i). В этом случае величина M 0 не зависит от выбора центра О.
3. Если для данной системы силR 0, то она приводится к одной равнодействующей, причем если R 0 и M 0 = 0, то система заменяется одной силой, т.е. равнодействующей R, проходящей через центр О; в случае если R 0 и M 0 0, то система заменяется одной силой, проходящей через некоторую точку С, причем ОС = d(OCR) и d = |M 0 |/R.
Таким образом, плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда R 0) или к одной паре (когда R = 0).
Пример 2. К диску приложены силы:
(рис. 3.16) привести эту систему сил к простейшему виду.
Решение: выберем систему координат Оху. За центр приведения выберем точку О. Главный векторR:
R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; Рис. 3.16
R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0. Поэтому R = 0.
Главный момент системы М 0:
М 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0, где а – радиус диска.
Ответ: R = 0; М 0 = 0; тело находится в равновесии.
Привести к простейшему виду систему силF 1 , F 2 , F 3, изображенную на рисунке (рис. 3.17). Силы F 1 и F 2 направлены по противоположным сторонам, а сила F 3 – по диагонали прямоугольника ABCD, сторона AD которого равна a. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.
Решение: направим оси координат так, как это показано на рисунке. Определим проекции всех сил на оси координат:
Модуль главного
вектора R
равен:
;
.
Направляющие
косинусы будут:
;
.
Отсюда: (х,R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .
О
пределим
главный момент системы сил относительно
центра приведения А. Тогда
m A = m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).
Учитывая, чтоm A (F 1) = m A (F 3) = 0, так как направление сил проходит через точку А, тогда
m A = m A (F 2) = F*a.
Таким образом система сил приведена к силе R и паре сил с моментом m A , направленном против часовой стрелки (рис. 3.18).
Ответ: R = 2F; (х,^ R) = 150 0 ; (y,^ R) = 60 0 ; m A = F*a.
Вопросы для самоконтроля
Что такое момент силы относительно центра?
Что такое пара сил?
Приведение произвольной плоской системы сил к данному центру?
Сложение параллельных сил?
Литература: , , .
Лекция 4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил
Основная форма условий равновесия. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:
F ix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.
Вторая форма условий равновесия: Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно каких-либо двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:
m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; F ix = 0.
Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов): Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.
П
ример 1. Определить реакции заделки
консольной балки, находящейся под
действием равномерно распределенной
нагрузки, одной сосредоточенной силы
и двух пар сил (рис. 4.1); интенсивность
нагрузкиq
= 3*10 4 H/м;
F
= 4*10 4 H;
m 1
= 2*10 4 H*м;
m 2
= 3*10 4 H*м.
BN
= 3м; NC
= 3м; CA
= 4м.
Р
ешение:
По принципу освобождаемости от связей заменим связи соответствующими реакциями. При жесткой заделке в стене возникает сила реакцииR A неизвестного направления и неизвестным моментом m А (рис. 4.2). Распределенную нагрузку заменим эквивалентной сосредоточенной силой Q, приложенной в точке К (ВК = 1,5м). Выберем систему координат ВХУ и составим условия равновесия балки в основной форме:
проекции сил на ось Х: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)
проекции сил на ось Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)
сумма моментов:m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)
СилуF разложим в точке С на две взаимно перпендикулярные составляющие F” и F’; сила F’ момента относительно точки А не создает, так как линия действия силы проходит через точку А. Модуль силы F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.
Подставляя численные значения в уравнения (1), (2) и (3), получим:
Вданной системе трех уравнений имеются три неизвестные, поэтому система имеет решение и притом только единственное.
4*10 4 *0,7 = R Ax R Ax = 2.8*10 4 H
3*10 4 *3 – 4*10 4 *0.7 + R Ay = 0 R Ay = 11.8*10 4 H
m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8.5 + 4*10 4 *2.8 = 0 m A = - 86.8*10 4 H*м
Ответ: R Ax = 2.8*10 4 H; R Ay = 11.8*10 4 H; m A = - 86.8*10 4 H*м.
Пример 2. Определить реакции опор А, В, С и шарнира D составной балки (рис. 4.3).
q
= 1,75*10 4 H/м;
F
= 6*10 4 H;
P
= 5*10 4 H.
Решение: По принципу освобождаемости от связей заменим связи соответствующими реакциями.
Распределенную нагрузкуq заменим эквивалентной сосредоточенной силой Q = q*KA, приложенной в точке М (АМ = 2м). Количество неизвестных сил реакции: R Ax , R Ay , R B , R C и две пары составляющих сил реакции в шарнире D.
Р
ассмотрим
отдельно реакции в шарниреD.
Для этого рассмотрим отдельно балки AD
и DE
(рис. 4.5а, 4.5б).
По третьему закону Ньютона в шарниреD на балку KD действует система сил R Dx и R Dy , а на балку DE система сил противоположная: R’ Dx и R’ Dy , причем модули сил попарно равны, т.е. R Dx = R Dx и R Dy = R Dy . Это внутренние силы составной балки, поэтому количество неизвестных сил реакции составляет шесть. Для их определения надо составить шесть независимых уравнений состояний равновесия. Возможны следующие варианты составления уравнений состояния.
Составляем условия равновесия для всей конструкции (3 уравнения) и для отдельного элемента этой конструкции: балки KD или балки DE. При составлении уравнений равновесия для всей конструкции внутренние силы не учитываются, так как при суммировании они взаимно уничтожаются.
Уравнения условия равновесия для всей конструкции:
R Ax – Fcos60 0 = 0
Q - R Ay – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0
m A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC – P*AE = 0
Уравнения условия равновесия для элемента DE:
R’ Dy , + R C – P*DE = 0
M D (F) = R C *DC – P*DE = 0
Таким образом составлено шесть независимых уравнений с шестью неизвестными, поэтому система уравнений имеет решение и причем только единственное. Решая систему уравнений определим неизвестные силы реакции.
Пусть к твердому телу приложены одновременно несколько пар сил с моментами , действующих в различных плоскостях. Можно ли эту систему пар привести к более простому виду? Оказывается, что можно, и ответ подсказывается следующей теоремой о сложении двух пар.
Теорема. Две пары сил, действующие в разных плоскостях, эквивалентны одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов заданных пар.
Пусть пары заданы своими моментами и (рис. 36,а). Построим две плоскости, перпендикулярные этим векторам (плоскости действия пар) и, выбрав некоторый отрезок АВ на линии пересечения плоскостей за плечо, общее для обеих пар, построим соответствующие пары: (рис. 36, б).
В соответствии с определением момента пары можем написать
В точках А и В имеем сходящиеся силы. Применяя правило параллелограмма сил (аксиома 3), будем иметь:
Заданные пары оказываются эквивалентными двум силам , также образующим пару. Тем самым первая часть теоремы доказана. Вторая часть теоремы доказывается прямым вычислением момента результирующей пары:
Если число пар то, попарно складывая их в соответствии с этой теоремой, можно любое число пар привести к одной паре. В результате приходим к следующему выводу: совокупность (систему) пар сил, приложенных к абсолютно твердому телу, можно привести к одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов всех заданных пар.
Математически это можно записать следующим образом:
На рис. 37 дается геометрическая иллюстрация полученного вывода.
Для равновесия пар сил требуется, чтобы момент результирующей пары был равен нулю, что приводит к равенству
Это условие можно выразить в геометрической и аналитической форме. Геометрическое условие равновесия пар сил: чтобы система пар сил находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы векторный многоугольник, построенный из моментов всех пар, был замкнутым.
Аналитическое условие равновесия пар сил: чтобы система пар сил находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторов-моментов всех пар на произвольно выбранные координатные оси Oxyz были равны нулю:
Если все пары лежат в одной плоскости, то есть образуют плоскую систему пар, получается лишь одно аналитическое условие равновесия-сумма алгебраических моментов пар равна нулю.
Вопросы для самопроверки
1. В чем состоит правило силового многоугольника? Для чего служит силовой многоугольник?
2. Как найти равнодействующую сходящихся сил аналитическим способом?
3. В чем состоит геометрическое условие равновесия сходящихся сил? Как формулируется это же условие аналитически?
4. Сформулируйте теорему о трех силах.
5. Какие задачи статики называются статически определенными и какие - статически неопределенными? Приведите пример статически неопределенной задачи.
6. Что называется парой сил?
7. Что называется моментом (вектором-моментом) пары сил? Каковы направление, модуль и точка приложения момента?
8. Что называется алгебраическим моментом пары?
9. Сформулируйте правило сложения пар, произвольным образом расположенных в пространстве.
10. В чем заключаются векторное, геометрическое и аналитическое условия равновесия системы пар сил?
Случай I.
Если главный вектор системы сил равен нулю и ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы взаимно уравновешиваются.
Случай II.
Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то силы приводятся к паре сил. Момент этой пары сил равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.
В этом случае главные моменты системы сил относительно всех точек пространства геометрически равны.
Случай III.
Если главный вектор системы сил не равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы приводятся к равнодействующей , линия действия которой проходит через центр привидения.
Случай IV. и .
Если главный момент системы сил относительно центра приведения перпендикулярен к главному вектору, то силы приводятся к равнодействующей , линия действия которой не проходит через центр приведения (рис. 145).
Случай V. и 
.
Если главный момент системы сил относительно центра приведения не перпендикулярен к главному вектору, то силы приводятся к двум скрещивающимся силам или к силовому винту (динаме), т.е. к совокупности силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна к силе.
Приведение к двум скрещивающимся силам (рис. 147):
Уравнения равновесия различных систем сил
Для сил, произвольно расположенных в пространстве, соответствуют два условия равновесия:
Модули главного момента и главного вектора для рассматриваемой системы сил определяются по формулам:
Условия выполняются только при соответствующих им шести основных уравнения равновесия сил, расположенных произвольно в пространстве:
Первые три уравнения называют уравнениями моментов сил относительно осей координат, а последние три - уравнениями проекций сил на оси.
Формы уравнений равновесия плоской системы сил
Для сил, произвольно расположенных на плоскости, имеются два условия равновесия:
Два условия равновесия сил, произвольно расположенных на плоскости, можно выразить в виде системы трех уравнений:
Эти уравнения называются основными уравнениями равновесия плоской системы сил. Центр моментов и направление осей координат для этой системы уравнений можно выбирать произвольно.
Существует и две другие системы трех уравнений системы сил.
При этом в системе ось u не должна быть перпендикулярна прямой проходящей через точки A и B.
Так как главные моменты системы сил относительно двух центров равны нулю, то рассматриваемая система сил не приводится к паре сил. Проекция равнодействующей на любую ось равна сумме проекций составляющих сил, т.е. следовательно, предполагаемая равнодействующая Таким образом, система сил не приводится ни к паре сил, ни к равнодействующей, а, следовательно, уравновешивается.
где точки A, B, C не лежат на одной прямой. В этом случае силы не приводятся к паре сил, так как главные моменты сил относительно трех центров равны нулю. Силы не приводятся и к равнодействующей, так как если она существует, то линия ее действия не может пройти через три точки не лежащие на одной прямой. Таким образом, система сил не приводится ни к паре сил, ни к равнодействующей, а, следовательно, уравновешивается.
Центр параллельных сил
При сложении двух параллельных сил две параллельные приводятся к одной силе - равнодействующей, линия действия которой направлена параллельно линиям действия сил. Равнодействующая приложена в точке делящей прямую, на расстояния обратно пропорциональные величинам сил.
Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения равнодействующей не определена. Если силы повернуть на один и тот же угол и вновь произвести сложение сил, то получим другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий равнодействующих может рассматриваться как точка приложения равнодействующей, не изменяющая своего положения при повороте всех сил одновременно на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил.
