Propagarea căldurii prin conducție termică în pereți plani și cilindrici în modul staționar (condiții limită de primul tip)

Perete plat omogen cu un singur strat. Să luăm în considerare propagarea căldurii prin conducție termică într-un perete plat omogen monostrat de grosime 8, cu lățimea și lungimea sa nelimitată.

Axă X direcționați-l perpendicular pe perete (Fig. 7.4). Pe ambele suprafețe ale peretelui ca și în direcția axei y, cât şi în direcţia axei G datorită furnizării și eliminării uniforme a căldurii, temperaturile sunt distribuite uniform.

Deoarece peretele în direcția acestor axe are dimensiuni infinit de mari, gradienții de temperatură corespunzători W / yu \u003d (k / (k= = 0 și, prin urmare, nu există nicio influență asupra procesului de conductivitate termică a suprafețelor de capăt ale peretelui. În aceste condiții de simplificare, câmpul staționar de temperatură este o funcție numai a coordonatei X, acestea. se consideră o problemă unidimensională. După cum se aplică în acest caz, ecuația diferențială a conducției căldurii va lua forma (at d^dh = 0)

Condițiile limită de primul fel sunt date:

Orez. 7.4.

Să găsim ecuația câmpului de temperatură și să determinăm fluxul de căldură Ф care trece prin secțiunea peretelui cu arie A(pe fig. 1L peretele nu este indicat, deoarece este situat într-un plan perpendicular pe planul figurii). Prima integrare dă

acestea. gradientul de temperatură este constant pe toată grosimea peretelui.

După a doua integrare, obținem ecuația dorită a câmpului de temperatură

Unde AȘi b - constante de integrare.

Astfel, modificarea temperaturii de-a lungul grosimii peretelui urmează o lege liniară, iar suprafețele izoterme sunt plane paralele cu fețele peretelui.

Pentru a determina constantele arbitrare de integrare, folosim condițiile la limită:

Deoarece? > ? CT2 , apoi proiecția gradientului pe axă X la fel de negativ ca

acest lucru era de așteptat pentru direcția aleasă a axei, care coincide cu direcția vectorului de densitate a fluxului de căldură la suprafață.

Înlocuind valoarea constantelor din (7.24), obținem expresia finală pentru temperatura zero

Linia a-bîn fig. 7.4, așa-numitul curba temperaturii, arată modificarea temperaturii în funcție de grosimea peretelui.

Cunoscând gradientul de temperatură, este posibil, folosind ecuația Fourier (7.10), să găsim cantitatea de căldură 8 () care trece prin elementul de suprafață ?? 4, perpendicular pe axă. T.

si pentru o suprafata A

Formula (7.28) pentru fluxul de căldură și densitatea fluxului de căldură la suprafață ia forma

Luați în considerare propagarea căldurii prin conducție termică într-un perete plat multistrat format din mai multe (de exemplu, trei) straturi apropiate (vezi Fig. 7.5).

Orez. 7.5.

Evident, în cazul unui câmp de temperatură staționar, fluxul de căldură care trece prin suprafețele aceleiași zone A, va fi la fel pentru toate straturile. Prin urmare, ecuația (7.29) poate fi utilizată pentru fiecare dintre straturi.

Pentru primul strat

pentru al doilea și al treilea strat

Unde X 2, A 3 - conductivitatea termică a straturilor; 8 1? 8 2 , 8 3 - grosimea stratului.

La limitele exterioare ale peretelui cu trei straturi, temperaturile sunt considerate cunoscute? St1 si? ST4. Temperaturile sunt stabilite de-a lungul interfețelor straturilor? ST2 Și? STZ, care sunt considerate necunoscute. Ecuațiile (7.31) - (7.33) vor fi rezolvate în raport cu diferențele de temperatură:

și apoi adăugați termen cu termen și astfel eliminăm temperaturile intermediare necunoscute:

Generalizând (7.36) pentru un perete cu strat z, se obține

Pentru a determina temperaturile intermediare? ST2, ? STz pe planurile de separare a straturilor, folosim formulele (7.34):

În cele din urmă, generalizând derivația la un perete cu strat în U, obținem o formulă pentru temperatura la limita straturilor i-lea și (r + 1)-lea:

Uneori folosesc conceptul de conductivitate termică echivalentă R echiv. Pentru densitatea suprafeței fluxului de căldură care trece printr-un perete multistrat plat,

unde este grosimea totală a tuturor straturilor peretelui multistrat. Comparând expresiile (7.37) și (7.40), concluzionăm că

Pe fig. 7.5 sub forma unei linii întrerupte arată un grafic al schimbărilor de temperatură pe grosimea unui perete multistrat. În interiorul stratului, așa cum sa demonstrat mai sus, schimbarea temperaturii urmează o lege liniară. Tangenta pantei cp, linia dreaptă a temperaturii la orizontală

acestea. egal cu valoarea absolută a gradientului de temperatură ^1 "ac1 Astfel, conform pantei dreptelor ab, BC si cu

Prin urmare,

acestea. gradienții de temperatură pentru straturile individuale ale unui perete plat multistrat sunt invers proporționali cu conductivitățile termice ale acestor straturi.

Aceasta înseamnă că pentru a obține gradienți mari de temperatură (ceea ce este necesar, de exemplu, la izolarea conductelor de abur etc.), sunt necesare materiale cu valori scăzute de conductivitate termică.

Perete cilindric monostrat omogen. Să găsim câmpul de temperatură și densitatea fluxului de căldură la suprafață pentru un mod staționar de conducere a căldurii pentru un perete cilindric omogen cu un singur strat (Fig. 7.6). Pentru a rezolva problema, folosim ecuația diferențială a conducției căldurii în coordonate cilindrice.

Axa 2 va fi îndreptată de-a lungul axei conductei. Să presupunem că lungimea țevii este infinit de mare în comparație cu diametrul. În acest caz, putem neglija efectul capetelor conductei asupra distribuției temperaturii de-a lungul axei 2. Presupunem că, datorită furnizării și eliminării uniforme a căldurii, temperatura de pe suprafața interioară este peste tot. ST1, iar pe suprafața exterioară -? ST2 (condiții la limită de primul fel). Cu aceste simplificări (k/ = 0, și având în vedere simetria câmpului de temperatură față de orice diametru G- raza de curent a peretelui cilindric.

Orez. 7.6.

Ecuația diferențială a conducerii căldurii (7.19) în condiția dt/d m = 0 ia forma

Să introducem o nouă variabilă

care este gradientul de temperatură (grad ?).

Înlocuirea unei variabile Șiîn (7.43), obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi cu variabile separabile

sau

Integrarea, obținem

Pentru un perete cilindric, gradientul de temperatură este o variabilă care crește odată cu descreșterea razei G. Prin urmare, gradientul de temperatură pe suprafața interioară este mai mare decât pe cea exterioară.

Înlocuirea valorii Și de la (7.44) la (7.45), obținem Și

Unde un b- constante de integrare.

Prin urmare, curba de distribuție a temperaturii pe grosimea peretelui este o curbă logaritmică (curba a-bîn fig. 7.6).

Să definim constantele AȘi b, incluse în ecuația câmpului de temperatură, pe baza condițiilor la limită de primul fel. Notăm raza interioară a suprafeței r x,în aer liber - g 2 . Notăm diametrele corespunzătoare (1 lȘi (1 2 . Atunci avem un sistem de ecuații

Rezolvând acest sistem de ecuații, obținem

Ecuația temperaturii zero va lua forma Gradientul de temperatură este determinat de formula (7.45):

Deoarece? ST1 > ? CT2 , și r, r 2 , apoi gradul de proiecție? pe raza vectorului are o valoare negativă.

Acesta din urmă arată că în acest caz fluxul de căldură este direcționat de la centru spre periferie.

Pentru a determina fluxul de căldură care trece printr-o secțiune a unei suprafețe cilindrice cu o lungime b, utilizați ecuația

Din (7.46) rezultă că fluxul de căldură care trece prin suprafața cilindrică depinde de raportul dintre razele exterioare și interioare r 2 / g x(sau diametre c1 2 / (1 {), nu grosimea peretelui.

Densitatea fluxului de căldură la suprafață pentru o suprafață cilindrică poate fi găsită raportând fluxul de căldură Ф la aria suprafeței interioare Un vp sau la suprafața exterioară Și np.În calcule, densitatea fluxului de căldură liniar este uneori utilizată:

Din (7.47)-(7.49) rezultă

Perete cilindric multistrat. Luați în considerare propagarea căldurii prin conductivitate termică într-un perete (conductă) cilindric cu trei straturi de lungime A (Fig. 7.7) cu un diametru interior c1 x si diametrul exterior (1 l. Diametre intermediare ale straturilor individuale - c1 2şi X2, X3.

Orez. 7.7.

Se cunosc temperaturile? st) internă și temperatură? Suprafața exterioară CT4. Fluxul de căldură Ф și temperatura trebuie determinate? ST2 Și? STz la limitele stratului. Să compunem o ecuație de forma (7.46) pentru fiecare strat:

Rezolvând (7.51)-(7.53) cu privire la diferențele de temperatură, și apoi adunând termen cu termen, obținem

Din (7.54) avem o expresie de calcul pentru determinarea fluxului de căldură pentru un perete cu trei straturi:

Să generalizăm formula (7.55) la peretele țevii cu strat în U:
Unde i- numărul de serie al stratului.

Din (7.51)-(7.53) găsim o expresie pentru determinarea temperaturii la limitele straturilor intermediare:

temperatura? Artă. +) la hotar?-lea si (G+ 1)-al-lea strat poate fi determinat printr-o formulă similară

Literatura de specialitate conține soluții ale ecuației diferențiale de căldură pentru o bilă goală în condiții la limită de primul fel, precum și soluții pentru toate corpurile considerate în condiții la limită de al treilea fel. Nu luăm în considerare aceste probleme. Problemele conductivității termice staționare în tije (nervuri) cu secțiuni transversale constante și variabile, precum și problemele conductivității termice nestaționare, au rămas, de asemenea, în afara domeniului cursului nostru.

Pagina 4

. (2.24)

Ecuația (2.24) se numește ecuația diferențială a căldurii (sau ecuația diferențială Fourier) pentru un câmp de temperatură nestaționar tridimensional în absența surselor interne de căldură. Este principalul în studierea problemelor de încălzire și răcire a corpurilor în procesul de transfer de căldură prin conductivitate termică și stabilește o relație între schimbările de temperatură temporală și spațială în orice punct al câmpului. Aplicarea laserului de otorinolaringologie a laserelor.

Difuzitatea termică este un parametru fizic al unei substanțe și are unitatea m2/s. În procesele termice nestaționare, a caracterizează viteza de schimbare a temperaturii.

Din ecuația (2.24) rezultă că modificarea temperaturii în timp pentru orice punct al corpului este proporțională cu valoarea lui a. Prin urmare, în aceleași condiții, temperatura corpului care are o difuzivitate termică mai mare crește mai repede.

Ecuația diferențială a conducerii căldurii cu o sursă de căldură în interiorul corpului are forma:

, (2.25)

unde qV este puterea specifică a sursei, adică cantitatea de căldură eliberată per unitate de volum a substanței pe unitate de timp.

Această ecuație este scrisă în coordonate carteziene. În alte coordonate, operatorul Laplace are o formă diferită, deci se schimbă și forma ecuației. De exemplu, în coordonate cilindrice, ecuația diferențială pentru conducerea căldurii cu o sursă de căldură internă este:

, (2.26)

unde r este vectorul rază într-un sistem de coordonate cilindric;

unghi polar.

2.5 Condiții la limită

Ecuația diferențială Fourier obținută descrie fenomenele de transfer de căldură prin conducție termică în cea mai generală formă. Pentru a-l aplica la un caz anume este necesar sa se cunoasca distributia temperaturii in organism sau conditiile initiale. În plus, trebuie cunoscute următoarele:

forma geometrică și dimensiunile corpului,

parametrii fizici ai mediului și ai corpului,

· condiții la limită care caracterizează distribuția temperaturilor pe suprafața corpului, sau interacțiunea corpului studiat cu mediul.

Toate aceste caracteristici particulare, împreună cu ecuația diferențială, oferă o descriere completă a unui proces specific de conducere a căldurii și sunt numite condiții de unicitate sau condiții la limită.

De obicei, condițiile inițiale pentru distribuția temperaturii sunt date pentru timpul t = 0.

Condițiile limită pot fi specificate în trei moduri.

Condiția la limită de primul fel este dată de distribuția temperaturii pe suprafața corpului pentru orice moment de timp.

Condiția la limită de al doilea fel este dată de densitatea fluxului de căldură la suprafață în fiecare punct al suprafeței corpului pentru orice moment de timp.

Condiția limită de al treilea fel este dată de temperatura mediului care înconjoară corpul și legea transferului de căldură între suprafața corpului și mediu.

Rezolvarea ecuației diferențiale a conducției căldurii în condiții date de unicitate face posibilă determinarea câmpului de temperatură în întregul volum al corpului pentru orice moment de timp sau găsirea funcției .

2.6 Conducerea căldurii printr-un perete sferic

Ținând cont de terminologia descrisă în secțiunile 2.1 - 2.5, sarcina acestui lucru de curs poate fi formulată după cum urmează. Un flux de căldură constant este direcționat prin peretele sferic, iar sursa de căldură este sfera interioară cu raza R1. Puterea sursei P este constantă. Mediul dintre sferele limită este izotrop, deci conductivitatea sa termică c este o funcție a unei variabile - distanța de la centrul sferelor (raza) r. Conform sarcinii . Ca urmare, temperatura mediului este și în acest caz o funcție a unei variabile - raza r: T = T(r), iar suprafețele izoterme sunt sfere concentrice. Astfel, câmpul de temperatură dorit este staționar și unidimensional, iar condițiile la limită sunt condiții de primul fel: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Din unidimensionalitatea câmpului de temperatură rezultă că densitatea fluxului de căldură j, precum și conductibilitatea termică și temperatura, sunt în acest caz funcții ale unei variabile - raza r. Funcțiile necunoscute j(r) și T(r) pot fi determinate în unul din două moduri: fie rezolvați ecuația diferențială Fourier (2.25), fie folosiți legea Fourier (2.11). În această lucrare, se alege a doua metodă. Legea Fourier pentru câmpul de temperatură simetric sferic unidimensional investigat are forma:1 4

Întrebarea 23 Care este căldura specifică de fuziune a gheții

Căldura specifică de fuziune se găsește prin formula:

unde Q este cantitatea de căldură necesară pentru a topi un corp de masă m.

atunci când sunt solidificate, substanțele emit aceeași cantitate de căldură care a fost necesară pentru a se consuma la topirea lor. Moleculele, pierzând energie, formează cristale, neputând rezista atracției altor molecule. Și din nou, temperatura corpului nu va scădea până în momentul în care întregul corp se va solidifica și până când toată energia care a fost cheltuită la topirea lui nu va fi eliberată. Adică, căldura specifică de fuziune arată câtă energie trebuie consumată pentru a topi un corp de masă m și câtă energie va fi eliberată în timpul solidificării acestui corp.

De exemplu, căldura specifică de fuziune a apei în stare solidă, adică căldura specifică de fuziune a gheții este de 3,4 * 10^5 J / kg

Căldura specifică de fuziune a gheții este de 3,4 ori 10 la puterea de 5 joule/kg

Căldura specifică de fuziune este notă cu litera greacă λ (lambda), iar unitatea de măsură este 1 J/kg

Întrebarea 24 Să notăm L1 - căldură specifică de vaporizare, L2 - căldură specifică de fuziune. Asta mai mult?

Deoarece corpul primește energie în timpul vaporizării, se poate concluziona că energia internă a unui corp în stare gazoasă este mai mare decât energia internă a unui corp de aceeași masă în stare lichidă. Prin urmare, în timpul condensului, aburul degajă cantitatea de energie necesară pentru formarea sa.

Căldura specifică de vaporizare- o mărime fizică care arată cantitatea de căldură necesară pentru a transforma 1 kg dintr-o substanță în abur fără a-i schimba temperatura. Coeficienți" r

Căldura specifică de fuziune- o mărime fizică care arată cantitatea de căldură necesară pentru a transforma 1 kg dintr-o substanță într-un lichid fără a-i schimba temperatura. Coeficienți" λ » pentru diferite substanțe, de regulă, sunt diferite. Ele sunt măsurate empiric și enumerate în tabele speciale.

Căldura specifică de vaporizare este mai mare

Întrebarea 25 ecuația diferențială a căldurii pentru un câmp bidimensional de temperatură nestaționar în coordonate carteziene?

х i = x, y, z – sistem de coordonate carteziene;

Dacă temperatura rămâne constantă de-a lungul uneia dintre coordonate, atunci matematic această condiție se scrie (de exemplu, pentru coordonata z) după cum urmează: dT/dz=0.

În acest caz, câmpul se numește bidimensional și se scrie:

pentru modul nestaționar T=T(x, y, t);

pentru modul staționar T=T(x, y).

Ecuații bidimensionale de câmp de temperatură pentru regim

nestaționar:

Întrebarea 26 ecuația diferențială a conducției căldurii pentru un câmp de temperatură nestaționar în coordonate cilindrice?

х i = r, φ, z – sistem de coordonate cilindric;

câmp de temperatură este un set de valori ale temperaturii în toate punctele unui domeniu de calcul dat și în timp.

Câmpul de temperatură se măsoară în grade Celsius și Kelvin și se notează și ca în TTD: , unde x i - coordonatele punctului din spațiu în care se găsește temperatura, în metri [m]; τ este timpul procesului de schimb de căldură în secunde, [s]. Acea. câmpul de temperatură se caracterizează prin numărul de coordonate și comportamentul acestuia în timp.

Următoarele sisteme de coordonate sunt utilizate în calculele termice:

х i = r, φ, z – sistem de coordonate cilindric;

câmp de temperatură, care schimbari in timp, numit nestaționară câmp de temperatură. Dimpotrivă, câmpul de temperatură, care nu se schimbă în timp, numit staționar câmp de temperatură.

cilindric coordonate (r este raza; φ este unghiul polar; z este aplicat), ecuația diferențială a căldurii are forma

,

Rezolvarea problemelor pentru determinarea câmpului de temperatură se realizează pe baza ecuației diferențiale a conducției căldurii, ale cărei concluzii sunt prezentate în literatura specială. Acest manual oferă variante ale ecuațiilor diferențiale fără derivații.

Ecuația

Ecuația (4.10) este o ecuație de energie diferențială într-un sistem de coordonate carteziene (ecuația Fourier  Kirchhoff). În această formă, este utilizat în studiul procesului de conducere a căldurii în orice corp.

Dacă  x = y = z =0, adică se consideră un corp solid, iar în absența surselor interne de căldură q v =0, atunci ecuația energiei (4.10) intră în ecuația căldurii pentru solide (ecuația Fourier)

(4.11)

Valoarea С=a, m 2 sec din ecuația (4.10) se numește difuzivitate termică, care este un parametru fizic al unei substanțe care caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în organism în timpul proceselor instabile.

Dacă coeficientul de conductivitate termică caracterizează capacitatea corpurilor de a conduce căldura, atunci coeficientul de difuzivitate termică este o măsură a proprietăților inerțiale termice ale corpului. Din ecuația (4.10) rezultă că modificarea temperaturii în timp t pentru orice punct din spațiu este proporțională cu valoarea „a”, adică viteza de schimbare a temperaturii în orice punct al corpului va fi cu atât mai mare, cu atât mai mare difuzibilitatea termică. Prin urmare, ceteris paribus, egalizarea temperaturilor în toate punctele din spațiu va avea loc mai rapid în corpul care are o difuzivitate termică mare. Difuzitatea termică depinde de natura substanței. De exemplu, lichidele și gazele au o inerție termică mare și, în consecință, o difuzivitate termică scăzută. Metalele au inerție termică scăzută, deoarece au un coeficient mare de difuzivitate termică.

Pentru a desemna suma derivatelor secunde în raport cu coordonatele din ecuațiile (4.10) și (4.11), puteți folosi simbolul  2 , așa-numitul operator Laplace și apoi în sistemul de coordonate cartezian

Expresia  2 t într-un sistem de coordonate cilindric are forma

Pentru un corp solid în condiții staționare cu o sursă de căldură internă, ecuația (4.10) este transformată în ecuația Poisson

(4.12)

În sfârșit, pentru conducția staționară a căldurii și în absența surselor interne de căldură, ecuația (4.10) ia forma ecuației Laplace

(4.13)

Ecuația diferențială a căldurii în coordonate cilindrice cu o sursă de căldură internă

(4.14)

4.2.6. Condiții de unicitate pentru procesele de conducție a căldurii

Deoarece ecuația diferențială a conducției căldurii este derivată pe baza legilor generale ale fizicii, ea caracterizează fenomenul conducției căldurii în forma sa cea mai generală. Prin urmare, putem spune că ecuația diferențială rezultată caracterizează o întreagă clasă de fenomene de conducere a căldurii. Pentru a separa procesul considerat în mod specific dintr-un număr nenumărabil și pentru a oferi descrierea sa matematică completă, este necesar să adăugați ecuației diferențiale o descriere matematică a tuturor caracteristicilor particulare ale procesului luat în considerare. Aceste caracteristici particulare, care, împreună cu ecuația diferențială, oferă o descriere matematică completă a unui anumit proces de conducere a căldurii, sunt numite condiții de unicitate sau condiții la limită, care includ:

a) conditii geometrice care caracterizeaza forma si dimensiunile corpului in care are loc procesul;

b) condiţiile fizice care caracterizează proprietăţile fizice ale mediului şi ale corpului (, С z , , a etc.);

c) condiţii de timp (iniţiale) care caracterizează distribuţia temperaturilor în organismul studiat la momentul iniţial de timp;

d) condiţii la limită care caracterizează interacţiunea corpului considerat cu mediul.

Condițiile inițiale sunt necesare atunci când se consideră procese non-staționare și constau în stabilirea legii de distribuție a temperaturii în interiorul corpului în momentul inițial de timp. În cazul general, condiția inițială poate fi scrisă analitic după cum urmează pentru =0:

t =  1 x, y, z. (4,15)

În cazul unei distribuţii uniforme a temperaturii în corp, se simplifică condiţia iniţială: la =0; t=t0=idem.

Condițiile limită pot fi specificate în mai multe moduri.

A. Condiții la limită de primul fel, specificând distribuția temperaturii pe suprafața corpului t c pentru fiecare moment de timp:

t c =  2 x, y, z, . (4,16)

În cazul particular în care temperatura de la suprafață este constantă pe toată durata proceselor de transfer de căldură, ecuația (4.16) este simplificată și ia forma t c =idem.

B. Condiții la limită de al doilea fel, specificând valoarea densității fluxului de căldură pentru fiecare punct al suprafeței și orice moment de timp. Analitic, aceasta poate fi reprezentată după cum urmează:

q n = x, y, z, , (4.17)

unde q n este densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului.

În cel mai simplu caz, densitatea fluxului de căldură pe suprafață și în timp rămâne constantă q n =idem. Un astfel de caz de transfer de căldură apare, de exemplu, atunci când diferite produse metalice sunt încălzite în cuptoare cu temperatură înaltă.

B. Condiții la limită de al treilea fel, stabilirea temperaturii ambiante t W și legea transferului de căldură între suprafața corpului și mediu. Legea lui Newton este folosită pentru a descrie procesul de transfer de căldură între suprafața corpului și mediu.

Conform legii lui Newton, cantitatea de căldură degajată de o unitate de suprafață a corpului pe unitatea de timp este proporțională cu diferența de temperatură dintre corp t c și mediu t f

q = t c  t f . (4,18)

Coeficientul de transfer de căldură caracterizează intensitatea transferului de căldură între suprafața corpului și mediu. Din punct de vedere numeric, este egală cu cantitatea de căldură degajată (sau percepută) de o unitate de suprafață pe unitatea de timp cu o diferență de temperatură între suprafața corpului și mediu egală cu un grad.

Conform legii conservării energiei, cantitatea de căldură care este îndepărtată dintr-o unitate de suprafață pe unitatea de timp datorită transferului de căldură (4.18) trebuie să fie egală cu căldura furnizată unei unități de suprafață pe unitatea de timp datorită conducției de căldură din volumele interne ale corpului (4.7), adică.

, (4.19)

unde n  normal cu suprafața corpului; indicele „C” indică faptul că temperatura și gradientul se referă la suprafața corpului (când n=0).

Condiția de limită finală de al treilea fel poate fi scrisă ca

. (4.20)

Ecuația (4.20), în esență, este o expresie particulară a legii conservării energiei pentru suprafața unui corp.

D. Condiții la limită de al patrulea fel, care caracterizează condițiile de schimb de căldură a unui sistem de corpuri sau a unui corp cu mediul înconjurător conform legii conducerii căldurii. Se presupune că există un contact perfect între corpuri (temperaturile suprafețelor de contact sunt aceleași). În condițiile luate în considerare, fluxurile de căldură care trec prin suprafața de contact sunt egale:

. (4.21)

Unde cu p, J/(kg×K) – capacitate termică izobară; r, kg/m 3 - densitate; l, W/(m×K) – coeficient de conductivitate termică; w x, w y, w z sunt proiecțiile vectorului viteza fluidului; qv, W / m 3 - densitatea volumetrică a degajării interne de căldură a lichidului.

Ecuația (1.12) este scrisă pentru acest caz l=const.

Diferenţial pentru solide se numește ecuația diferențială a conducției căldurii și poate fi obținută din (1.12) în condiția w x = w y = w z = 0, cu p=cu v=Cu:

,

unde - difuzivitate termică, caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în organism. Valori a = f(t) pentru diverse organisme sunt date în cărți de referință.

Ecuația diferențială a conducerii căldurii

(1.13)

descrie câmpul de temperatură nestaționar al solidelor cu degajare internă de căldură (cu surse interne de căldură). Astfel de surse de căldură pot fi: Căldura Joule degajată în timpul trecerii curentului electric prin conductori; căldura degajată de elementele combustibile ale reactoarelor nucleare etc.

Ecuația diferențială a căldurii (1.13), scrisă în coordonate carteziene, poate fi reprezentată în formă cilindrice (r,z, φ) si sferica (r, φ , ψ).

În special, în cilindric coordonate ( r- rază; φ este unghiul polar; z- aplicate), ecuaţia diferenţială a conducţiei căldurii are forma

(1.14)

Condiții de unicitate

Ecuația diferențială descrie multe procese de conducere a căldurii. Pentru a evidenția un anumit proces din acest set, este necesar să se formuleze caracteristicile acestui proces, care sunt numite conditii de unicitate și includ:

· conditii geometrice caracterizarea formei și dimensiunii corpului;

· condiţiile fizice caracterizarea proprietăților corpurilor care participă la schimbul de căldură;

· condiţiile de frontieră caracterizarea condițiilor procesului la limita corpului;

· condiții inițiale caracterizarea stării iniţiale a sistemului la procese nestaţionare.

Atunci când se rezolvă problemele de conducție a căldurii, există:

· condiţii la limită de primul fel când este dată distribuția temperaturii pe suprafața corpului:

t c = f (x, y, z, τ) sau t c = const;

· condiţii la limită de al doilea fel când densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului este dată:

q c = f (x, y, z, τ) sau q c = const;

· condiţii la limită de al treilea fel când temperatura medie este setată tși coeficientul de transfer de căldură între suprafață și mediu.

În conformitate cu legea Newton-Richmann, fluxul de căldură transferat de la 1 m 2 de suprafață într-un mediu cu o temperatură t,

În același timp, acest flux de căldură este furnizat la 1m 2 din suprafață din straturile adânci ale corpului prin conductivitate termică.

Apoi, ecuația de echilibru termic pentru suprafața corpului poate fi scrisă sub formă

(1.15)

Ecuația (1.15) este o formulare matematică a condițiilor la limită de al treilea fel.

Sistemul de ecuații diferențiale, împreună cu condițiile de unicitate, este o formulare matematică a problemei. Soluțiile ecuațiilor diferențiale conțin constante de integrare, care sunt determinate folosind condiții de unicitate.

Controlați întrebările și sarcinile

1. Analizați modul în care căldura este transferată de la apă caldă la aer prin peretele caloriferului: de la apă la suprafața interioară, prin perete, de la suprafața exterioară la aer.

2. De ce există un minus în partea dreaptă a ecuației (1.3)?

3. Analizați cu ajutorul literaturii de referință dependența λ(t) pentru metale, aliaje, materiale termoizolante, gaze, lichide și răspunde la întrebarea: cum se modifică coeficientul de conductivitate termică cu temperatura pentru aceste materiale?

4. Cum se determină fluxul de căldură? (Q, W ) cu transfer de căldură convectiv, conductivitate termică, radiație termică?

5. Notați ecuația diferențială a conducerii căldurii în coordonate carteziene, care descrie un câmp de temperatură staționar tridimensional fără surse interne de căldură.

6. Notați ecuația diferențială pentru câmpul de temperatură al firului, care este alimentat mult timp la o sarcină electrică constantă.

2. CONDUCTIVITATE TERMICA SI TRANSFER DE CALDURA
ÎN MOD STATIONAR

2.1. Conductibilitatea termică a unui perete plat

Dat: grosimea peretelui plat uniform δ (Fig. 2.1) cu un coeficient de conductivitate termică constant λ si temperaturi constante t1Și t2 pe suprafete.

Defini: ecuația câmpului temperaturii t=f(x)și densitatea fluxului de căldură q, W/m2.

Câmpul de temperatură al peretelui este descris de ecuația de conducere diferențială a căldurii (1.3) în următoarele condiții:

Deoarece modul este staționar;

· deoarece nu există surse interne de căldură;

· deoarece temperatura t1Și t2 pe suprafețele peretelui sunt constante.

Temperatura peretelui este în funcție de o singură coordonată X iar ecuația (1.13) ia forma

Expresiile (2.1), (2.2), (2.3) sunt formularea matematică a problemei, a cărei rezolvare ne va permite să obținem ecuația de câmp de temperatură necesară t=f(x).

Integrarea ecuației (2.1) dă

La integrarea repetată, obținem soluția ecuației diferențiale în forma

Dependenta t=f(x), conform (2.5) este o linie dreaptă (Fig. 2.1), ceea ce este adevărat pentru λ=const.

Pentru a determina densitatea fluxului de căldură care trece prin perete, folosim legea Fourier

Tinand cont obținem formula de calcul pentru densitatea fluxului de căldură transmis printr-un perete plat,

Formula (2.6) poate fi scrisă ca

Unde

Valoarea este numită conductivitate termică rezistență termică perete plat.

Pe baza ecuației

qR=t 1 – t 2

se poate concluziona că rezistența termică a peretelui este direct proporțională cu diferența de temperatură pe grosimea peretelui.

Luați în considerare dependența coeficientului de conductivitate termică de temperatură, λ(t), este posibil dacă înlocuim în ecuațiile (2.6) și (2.7) valorile λav pentru intervalul de temperatură t1-t2.

Luați în considerare conductivitatea termică perete plat multistrat, constând, de exemplu, din trei straturi
(Fig. 2.2).

Dat:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, λ 3, t 1 = const, t4=const.

Defini: q, W/m2; t2, t3.

În modul staționar și temperaturi constante ale suprafețelor pereților, fluxul de căldură transmis prin peretele cu trei straturi poate fi reprezentat prin sistemul de ecuații:

Temperaturi la limitele stratului t2Și t3 poate fi calculat folosind ecuațiile (2.8) - (2.10) după densitatea fluxului de căldură ( q) prin (2.12).

Forma generală a ecuației (2.12) pentru un perete plat multistrat constând din P straturi omogene cu temperaturi constante pe suprafetele exterioare si , are forma

2.2. Conductibilitatea termică a unui perete cilindric
în condiţii la limită de primul fel

Dat: Perete cilindric omogen (perete conductă) cu rază interioară r1, extern - r2, lungime , cu conductivitate termică constantă λ , cu temperaturi de suprafață constante t1Și t2.
(Fig. 2.3).

Defini: ecuația câmpului temperaturii
t=f(r), fluxul de căldură transmis prin perete
Q, W.

Ecuația diferențială a căldurii în coordonate cilindrice (1.14) pentru condițiile acestei probleme:

ia forma

Procedura de rezolvare a sistemului de ecuații (2.15) - (2.17) este aceeași ca și în cazul unui perete plat: se găsește integrala generală a ecuației diferențiale de ordinul doi (2.15), care conține două constante de integrare.
de la 1Și din 2. Acestea din urmă sunt determinate folosind condițiile la limită (2.16) și (2.17), iar după înlocuirea valorilor lor în soluția ecuației diferențiale (integrala generală), obținem ecuația câmpului de temperatură a unui perete cilindric t = f (r) la fel de

Dacă luăm derivata părții drepte a ecuației (2.18) și o înlocuim în (2.19), obținem formula de calcul pentru fluxul de căldură al peretelui cilindric

(2.20)

În calculele tehnice, fluxul de căldură este adesea calculat pentru 1 m lungime de conductă:

și a sunat densitatea fluxului termic liniar.

Scriem ecuația (2.20) ca

Unde – rezistența termică a conductibilității termice a unui perete cilindric.

Pentru un perete cilindric cu trei straturi(conducta acoperita cu doua straturi de termoizolatie) cu temperaturi de suprafata constante cunoscute ( t1Și t4), cu dimensiuni geometrice cunoscute ( r1, r2, r3, r4, ) și coeficienții de conductivitate termică a straturilor ( λ1, λ2, λ 3) (Fig. 2.4), putem scrie următoarele ecuații pentru fluxul de căldură Q:

Temperaturile la limitele straturilor (t 2,t3) poate fi calculat din ecuațiile (2.21).

Pentru perete cilindric multistrat, constând din P straturi, formula (2.22) poate fi scrisă în forma generală

(2.23)

Conductivitate termică eficientă pentru un perete cilindric multistrat, precum și pentru un perete plat multistrat, se determină din egalitatea sumei rezistențelor termice ale unui perete multistrat cu rezistența termică a unui perete omogen de aceeași grosime cu cel multistrat. Deci, pentru o izolație termică în două straturi a unei țevi
(Fig. 2.4) conductivitate termică efectivă (λeff) se determină din egalitate

2.3. Conductibilitatea termică a pereților plani și cilindrici
în condiții limită de al treilea fel (transfer de căldură)

Condiții limită de al treilea fel consta in setarea temperaturii lichidului (t w)și coeficientul de transfer termic () între suprafața peretelui și lichid.

Transferul de căldură de la un fluid la altul printr-un perete care le desparte se numește transfer de căldură.

Exemple de transfer de căldură sunt transferul de căldură de la gazele de ardere la apă prin peretele unei conducte de cazan de abur, transferul de căldură de la apă caldă la aerul ambiant prin peretele unei baterii de încălzire etc.

Schimbul de căldură între suprafață și mediu (lichid de răcire) poate fi convective dacă lichidul de răcire este lichid (apă, ulei etc.) sau radiativ-convectiv când căldura este transferată prin transfer de căldură convectiv și prin radiație, dacă lichidul de răcire este un gaz (gaze de ardere, aer etc.).

Să luăm în considerare transferul de căldură prin pereți plani și cilindrici în condiția unui transfer de căldură numai convectiv pe suprafețe. Transferul de căldură cu transfer de căldură radiativ-convectiv (transfer complex de căldură) pe suprafețe va fi discutat mai târziu Transferul de căldură W/m 2 (Q

Dacă a 1Și a 2 comparabil.

Transfer de căldură printr-un perete cilindric multistrat calculate prin formula

(2.35)

Unde F1Și F2 sunt zonele suprafețelor interioare și exterioare ale peretelui cilindric multistrat.