Secvențe limitate, monotone. Secvențe de numere Termenii sunt aranjați în ordine crescătoare

Elementele cărora nu scad odată cu creșterea numărului sau, dimpotrivă, nu cresc. Astfel de secvențe sunt adesea întâlnite în cercetare și au o serie de caracteristici distinctive și proprietăți suplimentare. O succesiune de un număr nu poate fi considerată ascendentă sau descendentă.

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Să fie un set X (\displaystyle X), pe care se introduce relația de ordine.

  Succesiunea elementelor multimii X (\displaystyle X) numit nescădere , dacă fiecare element al acestei secvențe nu este mai mare decât următorul.

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- nescădere ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\leqslant x_(n+1))

  Urmare ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) elemente ale ansamblului X (\displaystyle X) numit necrescătoare , dacă fiecare element următor al acestei secvențe nu îl depășește pe cel anterior.

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- necreste ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\geqslant x_(n+1))

  Urmare ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) elemente ale ansamblului X (\displaystyle X) numit crescând , dacă fiecare element următor al acestei secvențe este mai mare decât cel precedent.

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- crescând ⇔ ∀ n ∈ N: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  Urmare ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) elemente ale ansamblului X (\displaystyle X) numit in scadere , dacă fiecare element al acestei secvențe este mai mare decât următorul.

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- in scadere ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)>x_(n+1))

  monoton, dacă nu este în scădere sau în creștere.

  Secvența este numită strict monoton, dacă este în creștere sau în scădere.

  Evident, o secvență strict monotonă este monotonă.

  Uneori este folosită o variantă de terminologie în care termenul „secvență crescătoare” este considerat sinonim pentru termenul „secvență nedescrescătoare”, iar termenul „secvență descrescătoare” este considerat sinonim pentru termenul „secvență necrescătoare”. ". Într-un astfel de caz, secvențele crescătoare și descrescătoare din definiția de mai sus se numesc „strict crescător” și, respectiv, „strict descrescătoare”.

  Intervale de monotonie

  Se poate dovedi că condițiile de mai sus nu sunt îndeplinite pentru toate numerele n ∈ N (\displaystyle n\in \mathbb (N) ), dar numai pentru numere dintr-un anumit interval

  I = ( n ∈ N ∣ N − ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (aici este permisă inversarea marginii din dreapta N + (\displaystyle N_(+)) catre infinit). În acest caz, secvența este numită monoton pe interval I (\displaystyle I) , și gama în sine I (\displaystyle I) numit un interval de monotonie secvente.

  Definiție 1. O secvență se numește nedescrescătoare [necrescătoare] dacă fiecare element al șirului, începând cu al doilea, nu este mai mic decât [nu mai mult decât] elementul său anterior, adică dacă inegalitatea este adevărată pentru toate numere

  Definiție 2. O secvență se numește monotonă dacă este fie nedescrescătoare, fie necrescătoare.

  Dacă elementele unei secvențe nedescrescătoare pentru toate numerele satisfac o inegalitate strictă, atunci această secvență se numește crescătoare.

  În mod similar, dacă elementele unei secvențe necrescătoare pentru toate numerele satisfac o inegalitate strictă, atunci această secvență se numește descrescătoare.

  Rețineți că fiecare secvență monotonă este în mod evident mărginită de o parte (fie de sus, fie de jos). Într-adevăr, fiecare succesiune nedescrescătoare este mărginită de jos (valoarea primului său element poate fi luată ca limită inferioară), iar fiecare secvență necrescătoare este mărginită deasupra (valoarea primului său element poate fi luată și ca limită superioară). legat).

  Rezultă că o secvență nedescrescătoare va fi mărginită de ambele părți, sau pur și simplu mărginită, dacă și numai dacă este mărginită deasupra, iar o secvență necrescătoare va fi mărginită dacă și numai dacă este mărginită dedesubt.

  Să ne uităm la exemple de secvențe monotone.

  1. Secvența este nedescrescătoare. Este limitat de jos de valoarea primului său element, dar nu este limitat de sus.

  2. Secvența este descrescătoare. Este limitat de ambele părți: de sus de valoarea primului său element 2 și de jos, de exemplu, de numărul 1.

  Definiție. Se numește șirul (x n). limitat, dacă există un număr M>0 astfel încât pentru oricare n inegalitatea este adevarata:

  acestea. toți membrii șirului aparțin intervalului (-M; M).

  De exemplu, secvențele 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) sunt limitate, iar secvența 1 0) este nelimitată.

  Teorema rezultă direct din definiția unei secvențe mărginite și definiția limitei unei secvențe:

  Teorema. Dacă x n ® a, atunci șirul (x n ) este mărginit.

  Trebuie remarcat faptul că afirmația inversă nu este adevărată, adică. mărginirea unei secvențe nu implică convergența acesteia.

  De exemplu, secvența nu are limita insa

  
  

  Definiție. Se numește șirul (x n). mărginit deasupra, dacă pentru vreunul n există un număr M astfel încât x n £ M.

  
  

  Exemplu.(x n ) = 3n – mărginit mai jos (3, 6, 9, …).

  Secvențe monotone.

  Definiție. 1) Dacă x n +1 > x n pentru toți n, atunci șirul este crescător.

  2) Dacă x n +1 ³ x n pentru toți n, atunci succesiunea este nedescrescătoare.

  3) Dacă x n +1< x n для всех n, то последовательность убывающая.

  4) Dacă x n +1 £ x n pentru toți n, atunci șirul este necrescător

  Toate aceste secvențe sunt numite monoton. Se numesc secvențe crescătoare și descrescătoare strict monoton.

  Exemplu.(x n ) = 1/n – descrescător și limitat

  (x n ) = n – crescător și nelimitat.

  Exemplu. Demonstrați că șirul (x n )= este monoton crescător.

  Soluţie. Să găsim un membru al șirului (x n +1 )=

  Să găsim semnul diferenței: (x n)-(x n +1)=

  , deoarece nÎN, atunci numitorul este pozitiv pentru orice n.

  Astfel x n +1 > x n . Secvența crește, ceea ce ar fi trebuit dovedit.

  Exemplu. Aflați dacă succesiunea crește sau descrește

  Soluţie. Să-l găsim. Să găsim diferența

  
  
  

  Deoarece nÎN, apoi 1 – 4n<0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

  Trebuie remarcat faptul că secvențele monotone sunt limitate pe cel puțin o parte.

  Teorema. O secvență mărginită monotonă are o limită.

  Dovada. Luați în considerare o secvență monotonă nedescrescătoare

  x 1 £ x 2 £ x 3 £ … £ x n £ x n +1 £ …

  Această succesiune este mărginită de sus: x n £ M, unde M este un anumit număr.

  Deoarece Orice mulțime numerică mărginită mai sus are o limită superioară clară, atunci pentru orice e>0 există un număr N astfel încât x N > a - e, unde a este o limită superioară a mulțimii.

  Deoarece (x n) este o secvență nedescrescătoare, atunci pentru N > n a - e< x N £ x n ,

  Prin urmare a - e< x n < a + e

  E< x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

  Pentru alte secvențe monotone demonstrația este similară.

  Teorema a fost demonstrată.

  §3. Număr e.

  Se consideră șirul (x n ) = .

  Dacă șirul (x n) este monoton și mărginit, atunci are o limită finită.

  Conform formulei binomiale a lui Newton:

  Sau ce este la fel

  Să arătăm că șirul (x n ) este crescător. Într-adevăr, să scriem expresia x n +1 și să o comparăm cu expresia x n:

  Fiecare termen din expresia x n +1 este mai mare decât valoarea corespunzătoare x n și, în plus, x n +1 are încă un termen pozitiv adăugat. Astfel, șirul (x n ) este crescător.

  Să demonstrăm acum că pentru orice n termenii săi nu depășesc trei: x n< 3.

  

  Deci, secvența este monoton crescătoare și mărginită de sus, adică. are o limită finită. Această limită este de obicei indicată prin literă e.

  

  Din inegalitate rezultă că e £ 3. Înlăturând toți termenii din egalitatea pentru (x n), începând cu al patrulea, avem:

  

  trecând la limită, ajungem

  Astfel, numărul e este cuprins între numerele 2,5 și 3. Dacă luați mai mulți termeni ai seriei, puteți obține o estimare mai precisă a valorii numărului e.

  Se poate arăta că numărul e este irațional și valoarea lui este 2,71828...

  În mod similar, se poate demonstra că , extinzând cerințele pentru x la orice număr real:

  Sa presupunem:

  

  

  Numărul e este baza logaritmului natural.

  

  Mai sus este graficul funcției y = lnx.

  Relația dintre logaritmii naturali și zecimali.

  Fie x = 10 y, atunci lnx = ln10 y, deci lnx = yln10

  y = , unde M = 1/ln10 » 0,43429... este modulul de tranziție.

  §4. Conceptul de limită a unei funcții.

  4.1. Limita unei funcții într-un punct.

  y f(x)

  0 a - D a a + D x

  Fie definită funcția f(x) într-o anumită vecinătate a punctului x = a (adică în punctul x = a funcția poate să nu fie definită)

  Definiție. Se numește numărul A limită funcția f(x) pentru x®a, dacă pentru orice e>0 există un număr D>0 astfel încât pentru tot x astfel încât

  ïx - aï< D

  inegalitatea ïf(x) - Aï este adevărată< e.

  Aceeași definiție poate fi scrisă sub altă formă:

  Dacă a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

  Scrierea limitei unei funcții într-un punct:

  Teoreme de bază despre limite.

  Teorema 1. , unde C = const.

  Următoarele teoreme sunt valabile în ipoteza că funcțiile f(x) și g(x) au limite finite pentru x®a.

  Teorema 2.

  Demonstrarea acestei teoreme va fi dată mai jos.

  Teorema 3.

  Consecinţă.

  Teorema 4. la

  Teorema 5. Dacă f(x)>0 lângă punctul x = a și , atunci A>0.

  Semnul limitei la f(x) este determinat în mod similar< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

  Teorema 6. Dacă g(x) £ f(x) £ u(x) lângă punctul x = a şi , apoi și .

  Definiție. Se numește funcția f(x). limitat lângă punctul x = a, dacă există un număr M>0 astfel încât ïf(x)ï

  Teorema 7. Dacă funcția f(x) are o limită finită la x®a, atunci aceasta este limitată în apropierea punctului x = a.

  Dovada. Să , adică , Apoi

  Unde M = e + ïАï

  Teorema a fost demonstrată.

  4.2. Limite unilaterale.

  Definiție. Dacă f(x) ® A 1 la x ® a numai la x< a, то - называется limită funcția f(x) în punctul x = a stânga, iar dacă f(x) ® A 2 pentru x ® a numai pentru x > a, atunci numit limită funcția f(x) în punctul x = a pe dreapta.

  la

  Definiția de mai sus se referă la cazul în care funcția f(x) nu este definită în punctul x = a în sine, ci este definită într-o vecinătate arbitrar mică a acestui punct.

  Limitele A 1 și A 2 sunt de asemenea numite limite unidirecționale funcția f(x) în punctul x = a. Se mai spune că A- limita finala funcțiile f(x).

  4.3.Limita unei funcţii ca argument tinde spre infinit.

  Definiție. Se numește numărul A limită funcția f(x) pentru x®¥, dacă pentru orice număr e>0 există un număr M>0 astfel încât pentru tot x, ïxï>M inegalitatea să fie valabilă