primul fel.
1.1.1. Definirea unei integrale curbilinii de primul fel
Lasă în avion Oxy curba dată (L). Fie pentru orice punct al curbei (L) se defineşte o funcţie continuă f(x;y). Să rupem arcul AB linii (L) puncte A \u003d P 0, P 1, P n \u003d B pe n arcuri arbitrare P i -1 P i cu lungimi ( i = 1, 2, n) (fig.27)
Alegem pe fiecare arc P i -1 P i punct arbitrar M i (x i ; y i), calculați valoarea funcției f(x;y) la punct M i. Să facem o sumă integrală
Să , unde .
λ→0 (n→∞), independent de modul în care este împărțită curba ( L) în părți elementare, nici din alegerea punctelor M i integrală curbilinie de felul I din functie f(x;y)(integrală curbilinie pe lungimea arcului) și notăm:
cometariu. În mod similar, introducem definiția integralei curbilinii a funcției f(x;y;z) de-a lungul unei curbe spațiale (L).
Semnificația fizică a integralei curbilinii de primul fel:
Dacă (L)- curbă plană cu un plan liniar, atunci masa curbei se găsește prin formula:
1.1.2. Principalele proprietăți ale integralei curbilinii de primul fel:
3. Dacă calea integrării este împărțit în părți astfel încât , și au un singur punct comun, apoi .
4. Integrala curbilinie de primul fel nu depinde de direcția de integrare:
5. , unde este lungimea curbei.
1.1.3. Calculul unei integrale curbilinii de primul fel.
Calculul integralei curbilinie se reduce la calculul unei integrale definite.
1. Lasă curba (L) dat de ecuația . Apoi
Adică, diferența de arc este calculată prin formula.
Exemplu
Calculați masa unui segment de dreaptă dintr-un punct A(1;1) până la punctul B(2;4), Dacă .
Soluţie
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: .
Apoi ecuația dreptei ( AB): , .
Să găsim derivata.
Apoi . = .
2. Lasă curba (L) stabilite parametric: .
Apoi , adică diferența de arc este calculată prin formula .
Pentru cazul spaţial al stabilirii curbei: .Atunci
Adică, diferența de arc este calculată prin formula.
Exemplu
Aflați lungimea arcului curbei , .
Soluţie
Găsim lungimea arcului prin formula: .
Pentru a face acest lucru, găsim diferența arcului.
Aflați derivatele , , .Atunci lungimea arcului: .
3. Lasă curba (L) este dat în sistemul de coordonate polare: . Apoi
Adică, diferența de arc este calculată prin formula.
Exemplu
Calculați masa arcului dreptei , 0≤ ≤ , dacă .
Soluţie
Găsim masa arcului prin formula:
Pentru a face acest lucru, găsim diferența arcului.
Să găsim derivata.
1.2. Integrală curbilinie de al 2-lea fel
1.2.1. Definiția unei integrale curbilinii de al 2-lea fel
Lasă în avion Oxy curba dată (L). Dai drumul (L) dat o funcţie continuă f(x;y). Să rupem arcul AB linii (L) puncte A \u003d P 0, P 1, P n \u003d Bîn direcția din punct A până la punctul ÎN pe n arcuri arbitrare P i -1 P i cu lungimi ( i = 1, 2, n) (Fig. 28).
Alegem pe fiecare arc P i -1 P i punct arbitrar M i (x i ; y i), calculați valoarea funcției f(x;y) la punct M i. Să facem o sumă integrală, unde - lungimea proiecției arcului P i -1 P i pe axă Bou. Dacă direcția de mișcare de-a lungul proiecției coincide cu direcția pozitivă a axei Bou, atunci se consideră proiecția arcelor pozitiv, in caz contrar - negativ.
Să , unde .
Dacă există o limită a sumei integrale la λ→0 (n→∞), care nu depinde de modul în care este împărțită curba (L)în părți elementare, nici din alegerea punctelor M iîn fiecare parte elementară, atunci această limită se numește integrală curbilinie de al 2-lea fel din functie f(x;y)(integrală curbilinie peste coordonată X) și notează:
Cometariu. Integrala curbilinie peste coordonata y este introdusă în mod similar:
Cometariu. Dacă (L) este o curbă închisă, apoi se notează integrala peste ea
Cometariu. Dacă este activat ( L) sunt date trei funcții simultan și există integrale ale acestor funcții, , ,
apoi expresia: ++ numit integrală generală curbilinie de felul 2 si scrie:
1.2.2. Principalele proprietăți ale integralei curbilinii de al 2-lea fel:
3. Când se schimbă direcția de integrare, integrala curbilinie de felul 2 își schimbă semnul.
4. Dacă calea de integrare este împărțită în părți astfel încât , și are un singur punct comun, atunci
5. Dacă curba ( L) se află în avion:
Axa perpendiculară Oh, atunci =0 ;
Axa perpendiculară Oi, Acea ;
Axa perpendiculară Oz, atunci =0.
6. Integrală curbilinie de al 2-lea fel peste o curbă închisă nu depinde de alegerea punctului de plecare (depinde doar de direcția curbei).
1.2.3. Semnificația fizică a integralei curbilinii de al 2-lea fel.
Job A forțe atunci când se deplasează un punct material al unei unități de masă dintr-un punct M exact N de-a lungul ( MN) este egal cu:
1.2.4. Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel.
Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel se reduce la calculul unei integrale definite.
1. Lasă curba ( L) este dat de ecuația .
Exemplu
Calculați unde ( L) - linie frântă OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).
Soluţie
Din moment ce (Fig. 29), atunci
1) Ecuația (OA): , ,
2) Ecuația dreptei (AB): .
2. Lasă curba (L) setați parametric: .
Cometariu.În cazul spațial:
Exemplu
calculati
Unde ( AB)- segment din A(0;0;1) inainte de B(2;-2;3).
Soluţie
Să găsim ecuația dreptei ( AB):
Să trecem la reprezentarea parametrică a ecuației unei linii drepte (AB). Apoi .
punct A(0;0;1) parametru de potrivire t egal: deci t=0.
punct B(2;-2;3) parametru de potrivire t, egal cu: prin urmare, t=1.
La mutarea din A La ÎN,parametru t se modifică de la 0 la 1.
1.3. Formula lui Green. L) incl. M(x; y; z) cu topoare Ox, Oy, Oz
Cursul 5 Integrale curbilinii de primul și al doilea fel, proprietățile lor ..
Problema masei curbei. Integrală curbilinie de primul fel.
Problema masei curbei. Fie ca în fiecare punct al curbei materialului neted în bucăți L: (AB) să fie dată densitatea acestuia. Determinați masa curbei.
Procedăm în același mod în care am procedat la determinarea masei unei regiuni plane (integrală dublă) și a unui corp spațial (integrală triplă).
1. Organizați împărțirea regiunii arcului L în elemente - arce elementare astfel încât aceste elemente să nu aibă puncte interioare comune și ( starea A )
3. Să construim suma integrală , unde este lungimea arcului (de obicei se introduc aceleași denumiri pentru arc și lungimea acestuia). Aceasta este o valoare aproximativă pentru masa curbei. Simplificarea este că am presupus că densitatea arcului este constantă pe fiecare element și am luat un număr finit de elemente.
Trecerea la limita sub conditie 
(starea B
), obținem o integrală curbilinie de primul fel ca limită a sumelor integrale:
.
Teorema existenței.
Fie funcția continuă pe un arc neted în bucăți L. Atunci o integrală curbilinie de primul fel există ca limită a sumelor integrale.
Cometariu. Această limită nu depinde de
Proprietăți ale unei integrale curbilinii de primul fel.
1. Liniaritate
a) proprietatea de suprapunere
b) proprietatea de omogenitate 
.
Dovada. Să notăm sumele integrale pentru integralele din partea stângă a egalităților. Deoarece numărul de termeni din suma integrală este finit, să trecem la sumele integrale pentru părțile din dreapta egalităților. Apoi trecem la limita, conform teoremei privind trecerea la limita in egalitate, obtinem rezultatul dorit.
2. Aditivitate.
Dacă ,
Acea =
+
3. .Iată lungimea arcului .
4. Dacă inegalitatea este satisfăcută pe arc, atunci 
Dovada. Să notăm inegalitatea pentru sumele integrale și să trecem la limită.
Rețineți că, în special, este posibil
5. Teorema de estimare.
Dacă există constante astfel încât , atunci
Dovada. Integrarea inegalității 
(proprietatea 4), obținem 
. Prin proprietatea 1, constantele pot fi scoase de sub integrale. Folosind proprietatea 3, obținem rezultatul dorit.
6. Teorema medie(valoarea integralei).
Există un punct 
, Ce 
Dovada. Deoarece funcția este continuă pe o mulțime mărginită închisă, atunci infimul ei există 
și marginea superioară 
. Inegalitatea este îndeplinită. Împărțind ambele părți la L, obținem 
. Dar numărul 
închis între limitele inferioare și superioare ale funcției. Deoarece funcția este continuă pe o mulțime închisă de limite L, funcția trebuie să ia această valoare la un moment dat. Prin urmare, .
Calculul unei integrale curbilinii de primul fel.
Parametrizăm arcul L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Fie t 0 să corespundă punctului A, iar t 1 să corespundă punctului B. Atunci integrala curbilinie de primul fel se reduce la o integrală definită ( 
- formula cunoscută din semestrul I pentru calculul diferenţialului lungimii arcului):
Exemplu. Calculați masa unei spire a unei elice omogene (densitate egală cu k): .
Integrală curbilinie de al 2-lea fel.
Problema muncii forței.
|
| Cât de mult lucrează forța?F(M) la mutarea punctuluiMîntr-un arcAB? Dacă arcul AB ar fi un segment de linie dreaptă, iar forța ar fi constantă ca mărime și direcție atunci când punctul M se mișcă de-a lungul arcului AB, atunci munca ar putea fi calculată prin formula , unde este unghiul dintre vectori. În cazul general, această formulă poate fi utilizată pentru a construi o sumă integrală, presupunând că forța este constantă pe un element arc de lungime suficient de mică. În loc de lungimea unui element mic al arcului, puteți lua lungimea coardei care îl subtinde, deoarece aceste cantități sunt cantități infinitezimale echivalente sub condiția (primul semestru). |
1. Organizați împărțirea regiunii-arc AB în elemente - arce elementare astfel încât aceste elemente să nu aibă puncte interioare comune și ( starea A )
2. Marcam pe elementele partiției „punctele marcate” M i și calculăm valorile funcției din ele
3. Construiți suma integrală 
, unde este vectorul îndreptat de-a lungul coardei care subtinde arcul -.
4. Trecerea la limita sub conditie (starea B
), obținem o integrală curbilinie de al doilea fel ca limită a sumelor integrale (și munca forței):
.
Deseori menționată
Teorema existenței.
Fie funcția vectorială continuă pe un arc neted pe bucăți L. Atunci o integrală curbilinie de al doilea fel există ca limită a sumelor integrale.
.
Cometariu. Această limită nu depinde de
O metodă de alegere a unei partiții, atâta timp cât condiția A este îndeplinită
Selectarea „puncte marcate” pe elementele de partiție,
O metodă de rafinare a partiției, atâta timp cât condiția B este îndeplinită
Proprietățile unei integrale curbilinii de al 2-lea fel.
1. Liniaritate
a) proprietatea de suprapunere
b) proprietatea de omogenitate 
.
Dovada. Să notăm sumele integrale pentru integralele din partea stângă a egalităților. Deoarece numărul de termeni din suma integrală este finit, folosind proprietatea produsului scalar, trecem la sumele integrale pentru părțile din dreapta egalităților. Apoi trecem la limita, conform teoremei privind trecerea la limita in egalitate, obtinem rezultatul dorit.
2. Aditivitate.
Dacă ,
Acea =
+
.
Dovada. Să alegem o partiție a domeniului L astfel încât niciunul dintre elementele partiției (inițial și atunci când partiția este rafinată) să nu conțină atât elementele L 1 cât și elementele L 2 în același timp. Acest lucru se poate face prin teorema existenței (remarcă asupra teoremei). În plus, demonstrația este efectuată în termeni de sume integrale, ca în secțiunea 1.
3. Orientabilitate.
= -
Dovada. Integrala arcului –L, adică în direcția negativă de ocolire a arcului, există o limită a sumelor integrale, în termenii cărora există în schimb (). Scotând „minus” din produsul scalar și din suma unui număr finit de termeni, trecând la limită, obținem rezultatul cerut.
Pentru cazul în care aria de integrare este un segment al unei curbe situate într-un plan. Notația generală a integralei curbilinie este următoarea:
Unde f(X, y) este o funcție a două variabile și L- curba, pe segment ABîn care are loc integrarea. Dacă integrandul este egal cu unu, atunci integrala curbilinie este egală cu lungimea arcului AB .
Ca întotdeauna în calculul integral, integrala curbilinie este înțeleasă ca limita sumelor integrale ale unor părți foarte mici ale ceva foarte mare. Ce se rezumă în cazul integralelor curbilinii?
Să fie un segment în plan AB vreo curbă L, și funcția a două variabile f(X, y) definite în punctele curbei L. Să realizăm următorul algoritm cu acest segment al curbei.
- Curba împărțită AB pe partea cu puncte (figurile de mai jos).
- În fiecare parte, alegeți liber un punct M.
- Găsiți valoarea funcției în punctele selectate.
- Înmulțiți valorile funcției cu
- lungimea pieselor in caz integrală curbilinie de primul fel ;
- proiecții ale pieselor pe axa de coordonate în caz integrală curbilinie de al doilea fel .
- Găsiți suma tuturor produselor.
- Aflați limita sumei integrale găsite cu condiția ca lungimea celei mai lungi părți a curbei să tinde spre zero.
Dacă această limită există, atunci aceasta limita sumei integrale și se numește integrală curbilinie a funcției f(X, y) de-a lungul curbei AB .
primul fel
Caz integral curbiliniu
al doilea fel
Să introducem următoarea notație.
Meu ( ζ eu ; η i)- un punct cu coordonatele selectate pe fiecare secțiune.
feu ( ζ eu ; η i)- valoarea funcției f(X, y) în punctul ales.
Δ si- lungimea unei părți dintr-un segment al curbei (în cazul unei integrale curbilinii de primul fel).
Δ Xi- proiecția unei părți a segmentului de curbă pe axă Bou(în cazul unei integrale curbilinii de al doilea fel).
d= maxΔ s i este lungimea celei mai lungi părți a segmentului de curbă.
Integrale curbilinii de primul fel
Pe baza celor de mai sus despre limita sumelor integrale, integrala curbilinie de primul fel se scrie astfel:
.
Integrala curbilinie de primul fel are toate proprietăţile care integrala definita. Cu toate acestea, există o diferență importantă. Pentru o integrală definită, atunci când limitele integrării sunt schimbate, semnul se schimbă la opus:
În cazul unei integrale curbilinii de primul fel, nu contează care dintre punctele curbei AB (A sau B) luați în considerare începutul segmentului și care sfârșit, adică
.
Integrale curbilinii de al doilea fel
Pe baza celor spuse despre limita sumelor integrale, integrala curbilinie de al doilea fel se scrie astfel:
.
În cazul unei integrale curbilinii de al doilea fel, când începutul și sfârșitul unui segment al curbei sunt inversate, semnul integralei se modifică:
.
La compilarea sumei integrale a unei integrale curbilinii de al doilea fel, valorile funcției feu ( ζ eu ; η i) poate fi înmulțit și cu proiecția părților segmentului de curbă pe axă Oi. Apoi obținem integrala
.
În practică, se utilizează de obicei unirea integralelor curbilinie de al doilea fel, adică două funcții f = P(X, y) Și f = Q(X, y) și integrale
,
și suma acestor integrale
numit integrală curbilinie generală de al doilea fel .
Calculul integralelor curbilinii de primul fel
Calculul integralelor curbilinie de primul fel se reduce la calculul integralelor definite. Să luăm în considerare două cazuri.
Să fie dată o curbă pe plan y = y(X)
și un segment de curbă AB corespunde cu schimbarea variabilei X din A inainte de b. Apoi în punctele curbei integrandul f(X, y) = f(X, y(X))
("y" trebuie exprimat prin "x") și diferența de arc 
iar integrala curbilinie poate fi calculată prin formula
.
Dacă integrala este mai ușor de integrat peste y, apoi din ecuația curbei trebuie exprimat X = X(y) ("x" prin "y"), unde și integrala se calculează prin formula
.
Exemplul 1
Unde AB- segment de linie între puncte A(1; −1) și B(2; 1) .
Soluţie. Compuneți ecuația unei drepte AB, folosind formula 
(ecuația unei drepte care trece prin două puncte date A(X1
; y 1
)
Și B(X2
; y 2
)
):
Din ecuația unei drepte exprimăm y prin X :
Atunci și acum putem calcula integrala, deoarece ne rămâne doar „x”:
Să fie dată o curbă în spațiu
Apoi, în punctele curbei, funcția trebuie exprimată în termeni de parametru t() și diferența de arc 
, deci integrala curbilinie poate fi calculată prin formula
În mod similar, dacă este dată o curbă pe plan
,
atunci integrala curbilinie se calculează prin formula
.
Exemplul 2 Calculați integrala curbilinie
Unde L- parte a liniei cercului
situat în primul octant.
Soluţie. Această curbă este un sfert din linia cercului, situată în plan z= 3 . Corespunde cu valorile parametrilor. Deoarece
apoi diferenţialul arcului
Să exprimăm integrandul în termeni de parametru t :
Acum că avem totul exprimat printr-un parametru t, putem reduce calculul acestei integrale curbilinie la o integrală definită:
Calculul integralelor curbilinii de al doilea fel
La fel ca în cazul integralelor curbilinii de primul fel, calculul integralelor de al doilea fel se reduce la calculul integralelor definite.
Curba este dată în coordonate dreptunghiulare carteziene
Fie o curbă pe un plan dată de ecuația funcției „y”, exprimată prin „x”: y = y(X) și arcul curbei AB corespunde schimbarea X din A inainte de b. Apoi substituim expresia „y” prin „x” în integrand și determinăm diferența acestei expresii „y” față de „x”: . Acum, când totul este exprimat prin „x”, integrala curbilinie de al doilea fel este calculată ca o integrală definită:
În mod similar, o integrală curbilinie de al doilea fel este calculată atunci când curba este dată de ecuația funcției „x”, exprimată prin „y”: X = X(y) , . În acest caz, formula de calcul a integralei este următoarea:
Exemplul 3 Calculați integrala curbilinie
, Dacă
A) L- segment de linie dreaptă OA, Unde DESPRE(0; 0) , A(1; −1) ;
b) L- arc de parabolă y = X² de la DESPRE(0; 0) la A(1; −1) .
a) Calculați integrala curbilinie pe un segment de dreaptă (albastru în figură). Să scriem ecuația unei linii drepte și să exprimăm „Y” prin „X”:
.
Primim dy = dx. Rezolvăm această integrală curbilinie:
b) dacă L- arc de parabolă y = X², primim dy = 2xdx. Calculăm integrala:
În exemplul tocmai rezolvat, am obținut același rezultat în două cazuri. Și aceasta nu este o coincidență, ci rezultatul unui model, deoarece această integrală satisface condițiile următoarei teoreme.
Teorema. Dacă funcţiile P(X,y) , Q(X,y) şi derivatele lor parţiale , - continuu în regiune D funcții și în punctele acestei regiuni, derivatele parțiale sunt egale, atunci integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare de-a lungul liniei L situat in zona D .
Curba este dată sub formă parametrică
Să fie dată o curbă în spațiu
.
iar în integranţi substituim
expresii ale acestor funcţii printr-un parametru t. Obținem formula pentru calcularea integralei curbilinii:
Exemplul 4 Calculați integrala curbilinie
,
Dacă L- parte a unei elipse
îndeplinirea condiției y ≥ 0 .
Soluţie. Această curbă este partea elipsei care se află în plan z= 2 . Ea corespunde valorii parametrului.
putem reprezenta integrala curbilinie ca o integrală definită și o putem calcula:
Având în vedere o integrală curbilinie și L- o linie închisă, atunci o astfel de integrală se numește integrală peste un contur închis și este mai ușor să o calculezi folosind Formula lui Green .
Mai multe exemple de calcul a integralelor curbilinie
Exemplul 5 Calculați integrala curbilinie
Unde L- un segment de dreaptă între punctele sale de intersecție cu axele de coordonate.
Soluţie. Să determinăm punctele de intersecție ale dreptei cu axele de coordonate. Înlocuirea dreptei în ecuație y= 0 , obținem , . Înlocuind X= 0 , obținem , . Astfel, punctul de intersecție cu axa Bou - A(2; 0) , cu axa Oi - B(0; −3) .
Din ecuația unei drepte exprimăm y :
.
,
.
Acum putem reprezenta integrala curbilinie ca o integrală definită și începem să o calculăm:
În integrand, selectăm factorul , îl scoatem din semnul integral. În integrandul rezultat, folosim aducând sub semnul diferenţialuluiși în sfârșit obținem.
