Измерения различают по способу получения информации, по характеру изменений измеряемой величины в процессе измерений, по количеству измерительной информации, по отношению к основным единицам.
По способу получения информации измерения разделяют на прямые, косвенные, совокупные и совместные.
Прямые измерения – это непосредственное сравнение физической величины с ее мерой. Например, при определении длины предмета линейкой происходит сравнение искомой величины (количественного выражения значения длины) с мерой, т. е. линейкой.
Косвенные измерения – отличаются от прямых тем, что искомое значение величины устанавливают по результатам прямых измерений таких величин, которые связаны с искомой определенной зависимостью. Так, если измерить силу тока амперметром, а напряжение вольтметром, то по известной функциональной взаимосвязи всех трех величин можно рассчитать мощность электрической цепи.
Совокупные измерения – сопряжены с решением системы уравнений, составляемых по результатам одновременных измерений нескольких однородных величин. Решение системы уравнений дает возможность вычислить искомую величину.
Совместные измерения – это измерения двух или более неоднородных физических величин для определения зависимости между ними.
Совокупные и совместные измерения часто применяют в измерениях различных параметров и характеристик в области электротехники.
По характеру изменения измеряемой величины в процессе измерений бывают статистические, динамические и статические измерения.
Статистические измерения связаны с определением характеристик случайных процессов, звуковых сигналов, уровня шумов и т. д. Статические измерения имеют место тогда, когда измеряемая величина практически постоянна.
Динамические измерения связаны с такими величинами, которые в процессе измерений претерпевают те или иные изменения. Статические и динамические измерения в идеальном виде на практике редки.
По количеству измерительной информации различают однократные и многократные измерения.
Однократные измерения – это одно измерение одной величины, т. е. число измерений равно числу измеряемых величин. Практическое применение такого вида измерений всегда сопряжено с большими погрешностями, поэтому следует проводить не менее трех однократных измерений и находить конечный результат как среднее арифметическое значение.
Многократные измерения характеризуются превышением числа измерений количества измеряемых величин. Преимущество многократных измерений – в значительном снижении влияний случайных факторов на погрешность измерения.
По используемому методу измерения – совокупности приемов использования принципов и средств измерений различают:
– метод непосредственной оценки;
– метод сравнения с мерой;
– метод противопоставления;
– метод дифференциальный;
– метод нулевой;
– метод замещения;
– метод совпадений.
По условиям, определяющим точность результата, измерения делятся на три класса: измерения максимально возможной точности, достижимой при существующем уровнетехники; контрольно-поверочные измерения, погрешность которых не должна превышать некоторое заданное значение; технические (рабочие) измерения, в которых погрешность результата измерения определяется характеристиками средств измерений.
Содержание статьи
ИЗМЕРЕНИЯ И ВЗВЕШИВАНИЕ. Измерения служат для получения точного, объективного и легко воспроизводимого описания физической величины. Не производя измерений, нельзя охарактеризовать физическую величину количественно. Чисто словесные определения «низкая» или «высокая» температура, «низкое» или «высокое» напряжение неадекватны, так как они не содержат сравнения с известными эталонами и, следовательно, отражают лишь субъективные мнения. При измерении физической величины ей приписывается некоторое численное значение.
Фундаментальные и производные измерения.
К фундаментальным измерениям относят те, на которых производится прямое сопоставление с первичными эталонами массы, длины и времени. (Недавно к ним добавили эталоны электрического заряда и температуры.) Так, длину измеряют с помощью линейки или кронциркуля, угол посредством транспортира или теодолита, массу используя равноплечные рычажные весы и т.д. Число, показывающее, сколько раз соответствующий эталон (или кратная ему единица) «укладывается» в измеряемой величине, и является фундаментальной мерой этой величины.
К производным измерениям относят те, в которых участвуют вторичные, или производные, физические единицы, такие, как площадь, объем, плотность, давление, скорость, ускорение, импульс и т.д. Измерение таких производных величин сопровождается математическими операциями с основными, или фундаментальными, единицами. Так, при измерении (определении) площади прямоугольника сначала измеряют основание и высоту и затем их перемножают. Плотность вещества определяют посредством деления его массы на объем (который, в свою очередь, является производной величиной). Вычисление средней скорости включает в себя измерения расстояния, преодоленного за единицу времени. При выполнении производных измерений используют, как правило, приборы, проградуированные непосредственно в терминах величин, подлежащих измерению, что исключает необходимость каких-либо математических вычислений. Таким образом, соответствующее математическое уравнение «содержится» в самом приборе.
Прямые и косвенные измерения.
В зависимости от способа получения количественных данных измерения разделяют на прямые и косвенные. При прямых измерениях измеряемая величина выражается в тех же единицах, что и эталон, используемый для измерений. Например, на равноплечных рычажных весах неизвестную массу сравнивают с эталонной, а линейкой определяют неизвестную длину в терминах эталонной. С другой стороны, результатом измерения температуры с помощью градусника оказывается высота столба жидкости, заполняющей стеклянную трубку. В этом косвенном методе измерения температуры предполагают существование линейной зависимости между приращениями температуры и высоты столбика ртути или спирта в термометре.
Косвенные измерения осуществляются с помощью датчиков, которые сами по себе не являются измерительными инструментами, а выполняют роль преобразователей информации. Например, пьезоэлектрический датчик из титаната бария генерирует электрическое напряжение, изменяя свои размеры под действием механической нагрузки. Следовательно, измеряя это напряжение, можно определить такие чисто механические величины, как деформации, моменты или ускорения. Другой тензометрический датчик преобразует механическое перемещение (удлинение, сокращение или поворот) в изменение электрического сопротивления. Значит, измеряя последнюю величину, можно косвенно, но с высокой точностью определить такие механические характеристики, как силы растяжения сжатия или момент кручения. Электрическое сопротивление фоторезистора из сернистого кадмия уменьшается, когда датчик облучают светом. Следовательно, чтобы определить величину освещенности, воспринимаемой датчиком, необходимо только измерить его сопротивление. Некоторые чувствительные к измерениям температуры оксиды металлов, называемые терморезисторами, характеризуются заметными изменениями электрического сопротивления при изменении температуры. В этом случае также достаточно измерить электрическое сопротивление, чтобы определить значение температуры. Один из видов расходомеров позволяет преобразовать в расход потока линейно связанное с ним число оборотов ротора, вращающегося в постоянном магнитном поле.
Линейные и нелинейные измерительные устройства.
Наиболее простым типом измерительного датчика является «линейное» устройство, в котором выходная информация (показание прибора) прямо пропорциональна воспринимаемой прибором входной информации. В качестве примера рассмотрим эмиссионный фотоэлемент (с внешним фотоэффектом), который состоит из двух электродов, изготовленных из чистых металлов (один из них является светочувствительным). Электроды заключены в стеклянную вакуумную трубку и подсоединены к источнику постоянного тока, разность потенциалов которого можно варьировать. К этому устройству подсоединяется микроамперметр, проградуированный в единицах освещенности. Такое комбинированное устройство представляет собой фотоэлектрической фотометр, для которого измеряемой величиной является свет, а выходной электрический ток. Чем выше освещенность (при постоянной разности потенциалов на электродах), тем большее число электронов испускает фотокатод (отрицательный электрод). Рабочая характеристика этого прибора является существенно линейной в широком диапазоне значений освещенности, и поэтому он имеет равномерную шкалу.
Примером существенно нелинейного прибора является омметр, служащий для измерения электрического сопротивления в собственных единицах (Ом). Прибор содержит высокочувствительный датчик электрического тока с миниатюрным элементом питания и защитный резистор, которые соединяются последовательно. Так как кривая зависимости тока от сопротивления при постоянном напряжении является гиперболой, то и связь между входной и выходной величинами у этого прибора существенно нелинейна. Шкала такого прибора будет «измельчаться» в диапазоне больших сопротивлений (малых токов). Этот прибор необходимо тщательно проградуировать, прежде чем он будет пригоден для измерения неизвестных сопротивлений.
Другим примером нелинейного устройства измерительного является термоэлектрический датчик (термопара). В электрической цепи, составленной из двух различных металлов, стыки (спаи) которых поддерживают при различных температурах, создается разность потенциалов, которая тем больше, чем выше температура т.н. «горячего» спая. Однако, если исследовать зависимость разности потенциалов от температуры для пары металлов железо медь, обнаружится, что разность потенциалов растет практически линейно только до температуры 150° С; она достигает максимума при 200° С и затем уменьшается, обращаясь в нуль при температуре около 600° С. Этот измерительный инструмент также требует тщательной градуировки (при нескольких известных значениях температуры и разности потенциалов), для того чтобы можно было адекватно использовать его нелинейную характеристику.
Погрешности измерений.
Систематические погрешности.
Идеальных измерений не существует. Даже если измерительная аппаратура сконструирована и изготовлена наилучшим образом, все равно она будет вносить определенные систематические (постоянные) погрешности. К систематическим относятся погрешности неправильной установки начала отсчета, неправильной градуировки шкалы прибора, погрешности, вызванные неточностью шага ходового винта или неравенством длин плеч весов, погрешности, обусловленные люфтами редукторов, и т.д. Так, если измерять некоторую длину с помощью метрового прутка, который на самом деле немного меньше метра, все измерения этой длины будут содержать систематическую погрешность. Можно примириться с этой погрешностью или же попытаться уменьшить ее, используя более совершенное измерительное устройство. Однако в случае редукторов, например, уменьшение люфта в зацеплении до минимального значения для уменьшения систематической погрешности измерений может привести к увеличению сил трения до таких значений, что редуктор не сможет работать.
Случайные погрешности.
Существуют также случайные погрешности. К ним относятся, например, погрешности, вносимые вибрациями в лабораторных исследованиях, переходными процессами в электрических цепях или тепловыми шумами в вакуумных трубках. Такие погрешности нельзя предсказать заранее и трудно оценить теоретически. Уменьшение влияния случайных погрешностей измерений достигается многократными измерениями и (после отбрасывания ошибочных результатов) вычислением среднего значения.
Ошибки наблюдателя.
Ошибки наблюдателя, или субъективные погрешности, возникают вследствие ошибок в оценках ситуации наблюдателем. Запаздывание с включением или остановкой секундомера, тенденция к завышению или занижению результатов, погрешности при интерпретации шкал и отклонений стрелок, ошибки ручных расчетов и т.д. все это примеры ошибок наблюдателя, которые влияют на точность определения измеряемых величин. Так как результаты измерений одного и того же значения величины обычно группируются около некоторого центрального значения, относительно которого отклонения как в одну, так и в другую сторону приблизительно одинаковы, то по этим результатам необходимо определить среднее значение, вероятную погрешность единичного измерения и вероятную погрешность вычисленного среднего значения. Результаты измерений, которые слишком далеко отклоняются от среднего значения, признаются ошибочными и отбрасываются до процедуры осреднения.
Погрешности, обусловленные внешними влияниями.
При работе с вторичными, или «рабочими», эталонами, а также с другими измерительными приборами могут возникать некоторые специфические погрешности, обусловленные внешними влияниями. (Такие погрешности тщательно контролируются и сводятся до минимума в первичных эталонах, которые хранятся со всеми предосторожностями, обеспечивающими их неизменность.) Так, на величину имеющегося в лаборатории эталона сопротивления могут оказывать влияние изменения влажности воздуха или частоты электрического тока, проходящего через него, механические напряжения, приложенные к резистору. Измерения с использованием вторичного эталона емкости могут содержать высокочастотные погрешности, отклонения, связанные с диэлектрическими потерями и сопротивлением утечки, и погрешности, обусловленные изменением температуры. К приборным погрешностям относятся запаздывание и гистерезисные явления у барометров-анероидов, чрезмерно медленное реагирование некоторых манометров Бурдона и т.д. Экспериментатор должен знать о тех конкретных погрешностях, которым подвержены его приборы, и принимать соответствующие меры, чтобы скорректировать или уменьшить влияние этих погрешностей посредством улучшения методики измерений или усовершенствования конструкции прибора.
1.Методы измерения:прямые и косвенные.Прямые -когда измеряется непосредственно сама измеряемая величина.(измерение темп ртутным термометром)Косвенное -когда измеряется не сама изм.вел. а величины функционально связанные с нею.(измеряют U и R а затем рассчитывают I) По принципу методы измерения делят на: 1Метод непосредственной оценки (измерение длины метром).2Метод сравнения с мерой (измерение массы груза с помощью образцовых гирь)Мера -тех.средство высокой точности измерения. 3Дифференциальный метод -при этом методе измеряется не сама изм.вел R x а ее отклонение от заданной величины R 0 .Для измерения используется специальная мостовая схема кот состоит из 4плеч: R x, R 0 , R 1 , R 2 . В схеме всегда R 1 =R 2 .Балластные сопротивления для повышения точности измерения: СД-диаганаль питания, АВ-измерительная диаганаль.Измерит схема находится в равновесии т.е потенциалы точек АиВ равны(φ А = φ В)Если выполняется условие R x R 2 =R 0 R 1 если R x =R 0 схема находится в равновесии.Если Rx отличается от R 0 то потенциал т.А отличается от потенциала т.В разность потенциалов= ∆φ= φ А -φ В (измеряется прибором).R 0 может состоять из нескольких последовательно включенных сопротивлений разной величины.Такое устройство наз магазином сопротивлений. 4Нулевой метод -при этом методе в качестве изм.прибора используется гальванометр,кот определяет разность потенциалов в изм.диаганале.Если измеряемой сопротивление R x отличается от R 0 то появляется разность потенциалов и перемещая ползунок R 0 добиваются чтобы гальванометр показывал 0.по положению ползунка и шкале определяют значение R x .5Компенсационные метод (является разновидностью нулевого и еще наз методом силовой компенсации)Разность потенциалов усиливается электронным усилителем и постоупает на реверсивный электродвигатель кот начинает перемещать ползунок R 0 и стрелку ук-теля до тех пор пока не сравняются потенциалы точек АиВ.
2.Погрешность измерения делится на Абсалютную,Относительную, Приведенную.1.Абсалютная погрешность -разность между значениями измеряемой величины и ее действит.значением.За дествит.значение принимается показания образцового прибора. ∆ абс =±(А изм -А дейст).2Приведенная -отношениеабсалютной погрешности к нормированному значению,выражается в %. ∆ прив = ∆ абс /N*100.3.Относительная -отношение абсолютной погрешности к измеренной величине,выражается в %.Погрешности могут систематич (обусловлена конструкцией прибора и не зависит от внешних факторов)случайная (зависит от условий измерения,изменение параметров окр.среды,питания)промах (вызвана неправильными действиями оператора)Допустимые погрешности ограничиваются классом точности прибора.Он определяетяс заводом изготовителем и указывается на шкале прибора или в его паспорте. Класс точности-обощенная хар-ка прибора,ограничивающая систематич и случайные погрешности.(1;1,5;2;2,5;3;4)10 n .n-ук-тель степени,единица илиотриц число..Чем не выше цифра класса точности,тем ниже точность измерения(ртутный термометр показвает темп 21,5 а показание образцового термометра-21,9. = ∆ абс /А изм *100%-относительная погрешность.К=∆ абс /N*100%-приведенная погрешность.
3.Автоматич контроль (АК)-задачей является измерение параметров техпроцесса и отображение инфы о текущем значении параметра показывающими и регистрирующими приборами.При автоматич контроле средства автоматизации не вмешиваются в управление техпроцессом даже при создании аварийной ситуации..АК может быть местным и дистанционным.При местном АК датчики и первич. Преобразователи устанавливаются непосредственно на тех.оборудовании.Показывающин приборы могут находиться на оборудовании а регистрирующие на местных щитах кот размещены на раб.месте ОТП. Дистанционный контроль упрощает управлениетехпроцессом.На раб.месте ОТП на щите расположены средства ДУ регулирующими органами(GLE-c этой панели оператор может изменить положение регулирующего органа и по прибору на этой панели контролировать насколько % открылся/закрылся регулирующий орган а по вторичному прибору наблюдать как изменилось значение контролируемого параметра. Автоматич сигнализация- предназначена для сигнализации отклонений значений параметра от заданного значения.Бывает световая и звуковая.Световая(выполняется пневматич или электрич лампами) Звуковая(электрич звонками,сиренами и ревунами).Сигнализация может быть технологич и аварийной.Технологич-предупреждает ОТП что параметр отклонился от нормы.Аварийная-техпроцесс приближается к аварийному состоянию.Используют сирены и ревуны.
4.Автоматич регулирование.САР предназначена для содержания регулируемого параметра на заданном уровне с заданной точностью длительное время.САР работает по след алгоритму:ПП получает онформацию о текущем значении регулируемого параметра и преобразует в унифиц сигнал.Тот поступает на ВП для отображения информации и на АР.АР сравнивает полученную инфу с заданием определяет величину и знак рассогласования и в соответствии с выбранным законом регулирования управляющее воздействие поступает на регулирующий орган кот изменяет энергетичи или технологич потоки и возвращает регулируемую величину к заданному значению.ОТП непосредственно не участчует в упралении а только наблюдает за ходом техпроцесса и при необходимости изменяет задание на АР
При косвенных измерениях значение искомой величины находят по результатам прямых измерений других величин, с которыми измеряемая величина связана функциональной зависимостью. Пример косвенных измерений - измерение удельного сопротивления проводника по результатам измерения его сопротивления, площади поперечного сечения и длины.
В общем случае при косвенных измерениях имеет место нелинейная зависимость между измеряемой величиной и её аргументами
Если каждый из аргументов характеризуется своей оценкой и погрешностью
то (3.19) запишется в следующем виде:
Выражение (3.20) можно разложить в ряд Тейлора по степеням:
где - остаточный член ряда.
Из этого выражения можно записать абсолютную погрешность измерения X
Если принять R0 =0, что справедливо при малых погрешностях аргументов (xi0), то получаем линейное выражение для погрешности измерения. Такая операция называется линеаризацией нелинейного уравнения (3.19). В получаемом в этом случае выражении для погрешности - коэффициенты влияния, а Wixi - частные погрешности.
Пренебречь остаточным членом при оценке погрешности допустимо не всегда, т.к. в этом случае оценка погрешности оказывается смещенной. Поэтому, когда связь между X и xi в выражении (3.19) нелинейная, проверяют допустимость линеаризации по следующему критерию
где в качестве остаточного члена берут член ряда второго порядка
Если известны границы погрешностей аргументов (случай наиболее часто встречающийся при однократных измерениях), то легко определить максимальную погрешность измерения X:
Эту оценку обычно принимают при однократных измерениях и числе аргументов меньше 5.
При нормальном распределении всех аргументов и одинаковых доверительных вероятностях, выражение (3.25) упрощается
Обычно, особенно при однократных измерениях, законы распределения аргументов неизвестны, а вид суммарного распределения определить практически невозможно, учитывая трансформацию законов распределения при нелинейной связи измеряемой величины X и её аргументов. В этом случае в соответствии с методом ситуационного моделирования принимают закон распределения аргументов равновероятным. При этом доверительная граница погрешности результата косвенного измерения определится по формуле
где зависит от выбранной вероятности, числа слагаемых и соотношения между ними. Для равных по величине слагаемых и для=0,95 -=1,1; для =0,99 - =1,4.
Погрешности результатов измерения аргументов могут быть заданы не границами, а параметрами систематических и случайных составляющих погрешностей - границами и СКО. В этом случае оценивают отдельно систематическую и случайную составляющие погрешности косвенного измерения, а затем объединяют полученные оценки.
Что касается суммирования систематических погрешностей (или их неисключенных остатков), то оно осуществляется в зависимости от наличия сведений о распределении погрешностей с использованием выражений (3.24) - (3.27), в которых вместо погрешностей измерений аргументов следует подставить соответствующие границы для систематических погрешностей.
Случайные погрешности результатов косвенных измерений суммируются следующим образом.
Погрешность результата косвенного наблюдения, имеющего случайные погрешности аргументов j будет равна
Определим дисперсию этой погрешности
т.к. последнее слагаемое равно нулю, то
В этом выражении - ковариационная функция (корреляционный момент), равный нулю, если погрешности аргументов независимы друг от друга.
Вместо ковариационной функции часто пользуются коэффициентом корреляции
В этом случае дисперсия результата наблюдения будет иметь вид
Для получения дисперсии результата измерения необходимо разделить это выражение на число измерений n.
В этих выражениях rij - коэффициенты попарной корреляции между погрешностями измерений. Если rij = 0, то второе слагаемое в правой части (3.30) равно нулю и общее выражение для погрешности упрощается. Значение rij либо известно априорно (в случае однократных измерений), либо (для многократных измерений) его оценка определяется для каждой пары аргументов xi и xj по формуле
Наличие корреляционной связи между погрешностями аргументов имеет место в том случае, когда аргументы измеряются одновременно, однотипными приборами, находящимися в одинаковых условиях. Причиной возникновения корреляционной связи является изменение условий измерения (пульсации напряжения питающей сети, переменные наводки, вибрации и т.д.). О наличии корреляции удобно судить по графику, на котором изображены пары последовательно получаемых результатов измерений величин xi и xj .
При малом числе наблюдений может оказаться, что rij 0 даже при отсутствии корреляционной связи между аргументами. В этом случае необходимо пользоваться числовым критерием отсутствия корреляционной связи, который состоит в выполнении неравенства
где - коэффициент Стьюдента для заданной вероятности и числа измерений (табл. А5).
Границы случайной погрешности после определения оценки дисперсии результатов измерения определяются по формуле
где при неизвестном результирующем распределении берется из неравенства Чебышева
Неравенство Чебышева дает завышенную оценку погрешности результата измерений. Поэтому, когда число аргументов больше 4, распределение их одномодальны и среди погрешностей нет резко выделяющихся, число измерений, выполненных при измерении всех аргументов превышает 25-30, то определяется из нормированного нормального распределения для доверительной вероятности.
Трудности возникают при меньшем числе наблюдений. В принципе можно было бы воспользоваться распределением Стьюдента, но неизвестно как в этом случае определить число степеней свободы. Точного решения эта задача не имеет. Приближенную оценку числа степеней свободы, называемую эффективной, можно найти по формуле, предложенной Б. Уэлчем
Имея и заданную вероятность можно найти по распределению Стьюдента и, следовательно, .
Если при разложении в ряд Тейлора необходимо учитывать члены второго порядка, то дисперсию результата наблюдения следует определять по формуле
Границы суммарной погрешности измерений оценивают аналогично тому, как это было сделано для случая прямых измерений.
В общем случае, при многократных косвенных измерениях статистическая обработка результатов сводится к выполнению следующих операций:
- 1) из результата наблюдений каждого аргумента исключаются известные систематические погрешности;
- 2) проверяют, соответствует ли распределение групп результатов каждого аргумента заданному закону распределения;
- 3) проверяют наличие резко выделяющихся погрешностей (промахов) и исключают их;
- 4) вычисляют оценки аргументов и параметры их точности;
- 5) проверяют отсутствие корреляции между результатами наблюдений аргументов попарно;
- 6) вычисляют результат измерений и оценки параметров его точности;
- 7) находят доверительные границы случайной погрешности, неисключенную систематическую погрешность и общую погрешность результата измерения.
Частные случаи вычисления погрешностей при косвенных измерениях
Наиболее простыми, но распространенными случаями зависимости между аргументами при косвенных измерениях являются случаи линейной зависимости, степенных одночленов и дифференциальной функции.
В случае линейной зависимости
не требуется проведения линеаризации выражения для погрешности, которое, очевидно будет иметь вид
То есть, вместо коэффициентов влияния можно использовать коэффициенты из выражения (3.34). Дальнейшее определение погрешности измерения будет производиться аналогично косвенным измерениям с линеаризацией.
Из этого выражения можно определить коэффициенты влияния
Подставляя (3.36) в (3.35) и деля обе части на, получаем искомую относительную погрешность
где - относительные погрешности измерения аргументов.
Таким образом, в случае уравнения измерения в виде степенных одночленов и представлении погрешностей в относительной форме, в качестве коэффициентов влияния берутся степени соответствующих одночленов.
Практический прием нахождения коэффициентов влияния при выражении погрешностей в форме относительных погрешностей состоит в том, что уравнение измерения сначала логарифмируют, а потом дифференцируют. В рассматриваемом случае
То есть полученное выражение аналогично (3.37).
В метрологии часто встречается дифференциальная функция вида
Дисперсия результата измерения в этом случае будет равна
Малое значение дисперсии может быть только в случае, когда в этом случае
Во всех остальных случаях отлично от нуля. При отсутствии корреляции
Максимальное значение дисперсии результата измерения будет в том случае, когда в этом случае
Таким образом, при измерении малых разностей дисперсия результата измерения может быть соизмерима с самим результатом измерения.
Критерий ничтожных погрешностей
Не все частные погрешности косвенных измерений играют одинаковую роль в формировании итоговой погрешности результата.
Поэтому интересно оценить, при каких условиях их присутствие не оказывает влияния на результат измерения.
При вероятностном суммировании результирующая погрешность будет равна
При отбрасывании k-й погрешности
откуда следует
и, следовательно,
Отличие между и можно считать незначительным, если оно не будет превышать погрешности округления при выражении значения погрешности результата измерения. Так как последняя не должна выражается более чем двумя значащими цифрами, а максимальная погрешность округления не будет превышать половины старшего отбрасываемого разряда, то отличие между и будет незначительным, если
С учетом предыдущего выражения
Таким образом, частной погрешностью можно пренебречь в том случае, когда она в три раза меньше, чем суммарная погрешность косвенного измерения.
Совместные измерения
Совместными называются проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними
Наиболее часто на практике определяют зависимость Y от одного аргумента x
При этом совместно измеряют n значений аргумента xi, i = 1, 2,... , n и соответствующие значения величины Yi и по полученным данным определяют функциональную зависимость (3.39). Этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем. Применяемые при этом методы прямо переносятся на зависимость от нескольких аргументов.
В метрологии совместные измерения двух аргументов применяются при градуировке СИТ, в результате которой определятся градуировочная зависимость, приводимая в паспорте СИТ в виде таблицы, графика или аналитического выражения. Предпочтительнее всего задавать ее в аналитическом виде, поскольку такая форма представления наиболее компактна и удобна для решения широкого круга практических задач.
Примером совместных измерений может служить задача определения температурной зависимости сопротивления терморезистора
R(t) = R20 + (t-20) + (t -20)2,
где R20 - сопротивление терморезистора при 20 оС;
Температурные коэффициенты сопротивления.
Для определения R20 , или производится измерение R(t) в n температурных точках (n>3) и по этим результатам определяется искомая зависимость.
При определении зависимости в аналитическом виде следует придерживаться следующего порядка действий.
- 1. Построить график искомой зависимости Y=f(x).
- 2. Задать предполагаемый функциональный вид зависимости
Y=f(x, A0, A1, … Am), (3.40)
где Aj - неизвестные параметры зависимости.
Вид зависимости может быть известен либо из физических закономерностей, описывающих явление, положенное в основу работы СИТ, либо на основе предыдущего опыта и предварительного анализа данных (анализ графика искомой зависимости).
- 3. Выбрать метод определения параметров этой зависимости. При этом необходимо учитывать выбранный вид зависимости и априорные сведения о погрешности измерения xi и Yi.
- 4. Вычислить оценки параметров A j зависимости выбранного вида.
- 5. Оценить степень отклонения экспериментальной зависимости от аналитической, для проверки правильности выбора вида зависимости.
- 6. Определить погрешности нахождения, используя известные характеристики случайных и систематических погрешностей измерения x и Y.
В современной математике разработаны многочисленные методы решения таких задач. Наиболее распространенными из них является метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод разработал Карл Фридрих Гаусс еще в 1794 г. для оценки параметров орбит небесных тел и до сих пор он с успехом используется при обработке экспериментальных данных.
В МНК оценки параметров искомой зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от расчетных значений минимальна, т.е.
где - невязки.
При рассмотрении МНК ограничимся случаем, когда искомая функция - полином, т.е.
Задача заключается в том, чтобы определить такие значения коэффициентов, при которых выполнялось бы условие (3.41).
Для этого запишем выражение для невязок в каждой экспериментальной точке
Число точек n выбирают значительно больше, чем m+1.
Это, как будет показано ниже, необходимо для уменьшения погрешности определения.
Согласно принципу наименьших квадратов (3.41), наилучшими значениями коэффициентов будут те, для которых сумма квадратов невязок
будет минимальна. Минимум функции многих переменных, как известно, достигается тогда, когда все ее частные производные равняются нулю. Поэтому дифференцируя (3.44), получаем
Следовательно, вместо исходной условной системы (3.42), которая вообще говоря есть система несовместная, так как имеет n уравнений с m+1 неизвестными (n > m+1), мы получим систему линейных относительно уравнений (3.45). В ней число уравнений при любом n точно равно числу неизвестных m+1. Система (3.45) называется нормальной системой.
Таким образом, поставленная задача заключается в приведении условной системы к нормальной.
Воспользовавшись обозначениями, введенными Гауссом
и после сокращения всех уравнений на 2 и перегруппировки членов, получим
Анализируя выражение (3.42) и (3.46) видим, что для получения первого уравнения нормальной системы достаточно просуммировать все уравнения системы (3.42). Для получения второго уравнения нормальной системы (3.42), суммируются все уравнения, предварительно умноженные на xi. То есть, для получения k-го уравнения нормальной системы необходимо умножить уравнения системы (3.42) на и просуммировать полученные выражения.
Наиболее кратко решение системы (3.45) описывается с помощью определителей
где главный определитель D равен
а определители DJ получаются из главного определителя D путем замены столбца с коэффициентами при неизвестном АJ на столбец со свободными членами
Оценка СКО величин, найденных как результат совместных измерений, выражается следующей формулой
Прямыми измерениями называют такие измерения, которые получены непосредственно с помощью измерительного прибора. К прямым измерениям можно отнести измерение длины линейкой, штангенциркулем, измерение напряжения вольтметром, измерение температуры термометром и т.п. На результатах прямых измерений могут оказать влияние различные факторы. Поэтому погрешность измерений имеет различный вид, т.е. имеет место погрешность прибора, систематические и случайные погрешности, ошибки округления при снятии отсчета со шкалы прибора, промахи. В связи с этим важно выявить в каждом конкретном эксперименте, какая из ошибок измерения является наибольшей, и если окажется, что одна из них на порядок превышает все остальные, то последними погрешностями можно пренебречь.
Если же все учитываемые погрешности по порядку величины одинаковы, то необходимо оценить совместный эффект нескольких различных погрешностей. В общем случае суммарная ошибка подсчитывается по формуле:
где – случайная погрешность, – погрешность прибора, – погрешность округления.
В большинстве экспериментальных исследований физическая величина измеряется не прямо, а через другие величины, которые в свою очередь определяются прямыми измерениями. В этих случаях измеряемая физическая величина определяется через прямо измеренные величины посредством формул. Такие измерения называются косвенными. На языке математики это означает, что искомая физическая величина f связана с другими величинами х 1, х 2, х 3, … ,. х n функциональной зависимостью, т.е
F = f (x 1 , x 2 ,….,х n )
Примером таких зависимостей может служить объем шара
.
В данном случае косвенно измеряемой величиной является V - шара, которая определится при прямом измерении радиуса шара R. Данная измеряемая величина V является функцией одной переменной.
Другим примером может быть плотность твердого тела
.
(8)
Здесь – является косвенно измеряемая величина, которая определяется прямым измерением массы тела m и косвенной величиной V . Данная измеряемая величина является функцией двух переменных, т.е.
= (m, V)
Теория погрешностей показывает, что погрешность функции оценивается суммой погрешностей всех аргументов. Погрешность функции будет тем меньше, чем меньше погрешностей её аргументов.
4.Построение графиков по экспериментальным измерениям.
Существенным моментом экспериментального исследования является построение графиков. При построении графиков, прежде всего необходимо выбрать систему координат. Наиболее распространенной является прямоугольная система координат с координатной сеткой, образованной равностоящими друг от друга параллельными прямыми (например, миллиметровая бумага). На осях координат через определенные промежутки наносятся деления в определенном масштабе для функции и аргумента.
В лабораторных работах при изучении физических явлений приходится учитывать изменения одних величин в зависимости от изменения других. Например: при рассмотрении движения тела устанавливается функциональная зависимость пройденного пути от времени; при изучении электросопротивления проводника от температуры. Можно привести еще множество примеров.
Переменную величину У называют функцией другой переменной величины Х (аргумент), если каждому значение У будет соответствовать вполне определенное значение величины Х , то можно записать зависимость функции в виде У = У(Х) .
Из определения функции следует, что для её задания необходимо указать два множества чисел (значений аргумента Х и функции У ), а так же закон взаимозависимости и соответствия между ними (Х и У ). Экспериментально функция может быть задана четырьмя способами:
Таблицей; 2. Аналитически, в виде формулы; 3. Графически; 4. Словесно.
Например: 1. Табличный способ задания функции –зависимости величины постоянного тока I от величины напряжения U , т.е. I = f (U ) .
Таблица 2
2.Аналитический способ задания функции устанавливается формулой, при помощи которой по заданным (известным) значениям аргумента можно определить соответствующие значения функции. Например, функциональная зависимость, приведенная в таблице 2, может быть записана формулой:
(9)
3.Графический способ задания функции.
Графиком функции I = f (U ) в декартовой системе координат называется геометрическое место точек, построенное по числовым значениям координатной точки аргумента и функции.
На рис. 1 построен график зависимости I = f (U ) , заданный таблицей.
Точки, найденные на опыте и наносимые на график, отмечаются отчетливо в виде кружочков, крестиков. На графике для каждой построенной точки необходимо указывать погрешности в виде «молоточков» (см. рис 1). Размеры этих «молоточков» должны быть равны удвоенному значению абсолютных ошибок функции и аргумента.
Масштабы графиков надо выбирать так, чтобы наименьшее расстояние, отсчитываемое по графику, было бы не меньше наибольшей абсолютной погрешности измерений. Однако такой выбор масштаба не всегда удобен. В некоторых случаях удобней взять по одной из осей несколько больший или меньший масштаб.
Если исследуемый интервал значений аргумента или функции отстоит от начала координат на величину, сравнимую с величиной самого интервала, то целесообразно перенести начало координат в точку, близкую к началу исследуемого интервала, как по оси абсцисс, так и по оси ординат.
Проведение кривой (т.е. соединение экспериментальных точек) через точки обычно осуществляется в соответствии с идеями метода наименьших квадратов. В теории вероятностей показано, что наилучшим приближением к экспериментальным точкам будет такая кривая (или прямая), для которой сумма наименьших квадратов отклонений по вертикали от точки до кривой будет минимальной.
Нанесенные на координатную бумагу точки соединяют плавной кривой, причем кривая должна проходить возможно ближе ко всем экспериментальным точкам. Проводить кривую следует так, чтобы она лежала возможно ближе к точкам не превышаемые погрешности и чтобы по обе стороны кривой оказывалось приблизительно равное их количество (см. рис. 2).
Если при построении кривой одна или несколько точек выходят за пределы области допустимых значений (см. рис. 2, точки А и В ), то кривую проводят по остальным точкам, а выпавшие точки А и В как промахи не берут в учет. Затем проводят повторные измерения в этой области (точки А и В ) и устанавливается причина такого отклонения (либо это промах или законное нарушение найденной зависимости).
Если исследуемая, экспериментально построенная функция обнаруживает «особые» точки, (например, точки экстремума, перегиба, разрыва и т.д.). То увеличивается число экспериментов при малых значениях шага (аргумента) в области особых точек.
