Când rezumăm momentele, folosim regula semnelor Termekh: în sens invers acelor de ceasornic „+”, în sensul acelor de ceasornic „-”. Aceasta nu este o formulare, dar este mult mai ușor de reținut.
Mulți oameni au o problemă: cum să înțelegem în ce direcție forța rotește structura?
Întrebarea nu este foarte dificilă și dacă cunoașteți câteva trucuri este destul de ușor de înțeles.
Să începem simplu, avem o diagramă
Și, de exemplu, avem nevoie de suma momentelor despre punctul A.
Să mergem în ordine de la stânga la dreapta:
Ra și Ha nu vor da impuls, deoarece acționează în punctul A și nu vor avea un umăr până la acest punct.
Acesta este un exemplu: linia verde este linia electrică Ra, linia galbenă este Na. Nu există umeri pentru punctul A, pentru că se află pe liniile de acțiune ale acestor forțe.
Să continuăm: momentul care apare în potrivirea strânsă a lui Ma. Din momentele în care este destul de simplu, în ce direcție este direcționat, oricine își va da seama, în acest caz este direcționat în sens invers acelor de ceasornic.
Forța din sarcina distribuită Q este îndreptată în jos cu un braț de 2,5. Unde ne îndreaptă structura?
Să aruncăm toate forțele cu excepția Q. Amintiți-vă că în punctul A avem un „cui” ciocănit.
Dacă ne imaginăm că punctul A este centrul cadranului ceasului, atunci putem vedea că forța Q ne rotește fasciculul în sensul acelor de ceasornic, ceea ce înseamnă că semnul va fi „-”.
Punctul A este centrul cadranului și F rotește fasciculul în sens invers acelor de ceasornic, semnul va fi „+”
Cu momentul, totul este clar, este direcționat în sens invers acelor de ceasornic, ceea ce înseamnă că rotește fasciculul în aceeași direcție.
Există și alte momente:
Se dă un cadru. Trebuie să adunăm momentele despre punctul A.
Considerăm doar forța F, nu atingeți reacțiile din terminare.
Deci, în ce direcție forța F rotește structura în raport cu punctul A?
Pentru aceasta, ca și înainte, trasăm axa din punctul A, iar pentru F - linia de acțiune a forței
Acum totul este vizibil și clar - structura se rotește în sensul acelor de ceasornic
Astfel, nu ar trebui să existe probleme cu direcția.
Momentul forței în raport cu punctul O este un vector, al cărui modul este egal cu produsul modulului forței de către umăr - cea mai mică distanță de la punctul O la linia de acțiune a forței. Direcția vectorului momentului forței este perpendiculară pe planul care trece prin punct și linia de acțiune a forței, astfel încât privind în direcția vectorului momentului, rotația efectuată de forța din jurul punctului O apare în sensul acelor de ceasornic.
Dacă se cunoaște vectorul de rază punctul de aplicare a forței în raport cu punctul O, atunci momentul acestei forțe în raport cu O este exprimat după cum urmează:
Într-adevăr, modulul acestui produs încrucișat:
.
(1.9)
Prin urmare, conform imaginii:
Un vector, ca și rezultatul unui produs vector, este perpendicular pe vectorii care aparțin planului Π. Direcția vectorului este astfel încât, privind în direcția acestui vector, cea mai scurtă rotație este în sensul acelor de ceasornic. Cu alte cuvinte, vectorul extinde sistemul de vectori () la tripletul din dreapta.
Cunoscând coordonatele punctului de aplicare a forței în sistemul de coordonate, a cărui origine coincide cu punctul O și proiecția forței pe aceste axe de coordonate, momentul forței poate fi determinat după cum urmează:
.
(1.11)
Moment de forță în jurul axei
Proiecția momentului forței în jurul unui punct pe o axă care trece prin acest punct se numește momentul forței în jurul axei.
Momentul forței în jurul axei este calculat ca momentul proiecției forței pe planul Π, perpendicular pe axă, relativ la punctul de intersecție al axei cu planul Π:
Semnul momentului este determinat de direcția de rotație, care tinde să dea corpului forța F⃗ Π. Dacă, privind în direcția axei Oz, forța rotește corpul în sensul acelor de ceasornic, atunci momentul este luat cu un semn plus, altfel - minus.
1.2 Afirmarea problemei.
Determinarea reacțiilor suporturilor și a balamalei C.
1.3 Algoritm pentru rezolvarea problemei.
Să împărțim structura în părți și să considerăm echilibrul fiecărei structuri.
Luați în considerare echilibrul întregii structuri ca întreg. (Figura 1.1)
Să alcătuim 3 ecuații de echilibru pentru întreaga structură ca întreg:
Luați în considerare echilibrul părții drepte a structurii. (Figura 1.2)
Să alcătuim 3 ecuații de echilibru pentru partea dreaptă a structurii.
Momentul forței raportat la un punct este determinat de produsul modulului de forță de lungimea perpendicularului scăzut de la punct la linia de acțiune a forței (Figura 4).
Figura 4 - Momentul forței F în raport cu punctul O
Când corpul este fixat în punctul O, forța F tinde să-l rotească în jurul acestui punct. Punctul O, relativ la care este luat momentul, se numește centrul momentului, iar lungimea perpendicularei a se numește umărul forței în raport cu centrul momentului.
Momentul forței F relativ la O este determinat de produsul forței de către umăr.
M O (F) = F a.
Momentul este considerat pozitiv dacă forța tinde să rotească corpul în sensul acelor de ceasornic și negativ - în sens invers acelor de ceasornic. Când linia de acțiune a forței trece prin acest punct, momentul forței în raport cu acest punct este zero, deoarece, în cazul în care se are în vedere, umărul a = 0 (Figura 5).
Figura 5 - Determinarea semnului momentului de forță în raport cu punctul
Există o diferență semnificativă între momentul unui cuplu și momentul forței. Valoarea numerică și direcția momentului unei perechi de forțe nu depind de poziția acestei perechi în plan. Valoarea și direcția (semnul) momentului de forță depind de poziția punctului față de care este determinat momentul.
Ecuații de echilibru pentru un sistem plan de forțe
Condiții pentru echilibrul forțelor pe plan: pentru echilibrul unui sistem de forțe situat în mod arbitrar în plan, este necesar și suficient ca vectorul principal și momentul principal al acestor forțe relativ la orice centru, fiecare separat egal cu zero .
F GL = 0; M GL = Σ M O (F i) = 0.
Obținem forma de bază a ecuației de echilibru:
Teoretic, ecuațiile momentelor pot fi scrise într-un set infinit, dar în practică, pentru a rezolva probleme pe plan, sunt suficiente trei ecuații de echilibru. În fiecare caz specific, sunt utilizate ecuații cu o necunoscută.
Pentru diferite cazuri, se utilizează trei grupuri de ecuații de echilibru:
1. Prima formă de ecuații de echilibru
2. A doua formă de ecuații de echilibru
3. A treia formă de ecuații de echilibru
Pentru un sistem de forțe paralele (Figura 43), pot fi trasate doar două ecuații de echilibru:
Exemplu.
Dat: F = 24 kH; q = 6 kN / m; M = 12 kN m a = 60 °; a = 1,8 m; b = 5,2 m; c = 3,0 m. Determinați reacțiile V A, H A și V B (Figura 6).
Figura 6 - O grindă cu două suporturi dată
Eliminăm conexiunile (suporturile A și B), înlocuim acțiunea lor cu reacții: suportul fix are reacții V А (vertical) și H А (orizontal). Suport mobil - reacție V B (verticală). Selectăm sistemul de coordonate XY cu originea în suportul din stânga, determinăm rezultatul încărcării distribuite:
Q = q · a 2 = 6 · 5,2 = 31,2 kN.
Desenăm schema de proiectare a fasciculului (Figura 7).
Figura 7 - Schema de proiectare a fasciculului
Pentru sistemul de forțe plan arbitrar obținut, compunem ecuațiile de echilibru:
∑F ix = 0; H A - F · cos60 ° = 0;
∑F i у = 0; V A - F · cos30 ° - Q + V B = 0;
∑М А (F i) = 0; Q (1,8 + 2,6) + F cos30 ° (1,8 + 5,2) - M - V B (1,8 + 5,2 + 3) = 0.
Rezolvăm sistemul de ecuații.
H A = F · cos60 ° = 24 · 0,5 = 12 kN;
V A = F cos30 ° + Q - V B = 24 0,866 + 31,2 - 27,08 = 24,9 kN.
Pentru a verifica corectitudinea soluției, alcătuim suma momentelor relative la punctul de aplicare a forței înclinate F:
∑M A (F i) = VA (1,8 + 5,2) - Q 2,6 - M - VB 3 = 24,9 7 - 31,2 2,6 - 12 - 27, 08 3 = - 0,06.
Răspuns: reacțiile de susținere ale fasciculului sunt V A = 24,9 kN; V B = 27,08 kN; H A = 12 kN.
Întrebări de control:
1. Ce determină efectul unei perechi de forțe?
2. Efectul acțiunii unei perechi de forțe depinde de poziția sa în plan?
3. Valorile și direcția momentului forței în raport cu un punct depind de poziția relativă a acestui punct și de linia de acțiune a forței?
4. Când este momentul forței aproximativ un punct egal cu zero?
5. Câte ecuații de echilibru independente se pot face pentru un sistem plan de forțe paralele?
Acțiunea unei forțe sau a unui sistem de forțe asupra unui corp rigid poate fi asociată nu numai cu mișcarea de translație, ci și cu mișcarea de rotație. După cum știți, factorul de forță al mișcării de rotație este momentul forței.
Luați în considerare o piuliță care este strânsă cu o cheie de o anumită lungime, aplicând forță musculară la capătul cheii. Dacă luați o cheie de câteva ori mai mult, atunci, aplicând aceeași forță, piulița poate fi strânsă mult mai mult. Din aceasta rezultă că aceeași forță poate avea acțiune de rotație diferită. Acțiunea de rotație a unei forțe este caracterizată de un moment de forță.
Conceptul unui moment de forță relativ la un punct a fost introdus în mecanică de către omul de știință italian și artistul Renașterii Leonardo da Vinci.
Momentul de forță relativ la un punct se numește produs al modulului de forță de pe umărul ei(fig. 5.1):
Se numește punctul relativ la care este luat momentul centrul momentului. Forța umărului în raport cu un punct numită cea mai mică distanță de la centrul momentului la linia de acțiune a forței.
Unitatea SI a momentului de forță:
[M] = [P]· [h] = putere∙ lungime = newton∙metru = N∙m.
Orez. 5.1. Moment de forță relativ la un punct
|
Orez. 6.1
Conceptul de pereche de forțe a fost introdus în mecanică la începutul secolului al XIX-lea. Savantul francez Poinsot, care a dezvoltat teoria perechilor. Să luăm în considerare conceptele de bază.
Orice două forțe, cu excepția forțelor care formează o pereche, pot fi înlocuite cu o rezultantă. O pereche de forțe nu are rezultate și în niciun caz o pereche de forțe nu poate fi convertită într-o forță echivalentă. O pereche este un element mecanic la fel de independent ca forța.
Se numește planul în care se află forțele care formează o pereche planul de acțiune al perechii... Cea mai mică distanță între liniile de forțe care formează o pereche se numește pereche de umeri h... Produsul modulului uneia dintre forțele unei perechi de pe umăr se numește moment de cupluși denotați
M = ± Ph. (6.1)
Acțiunea unei perechi asupra unui corp este caracterizată de un moment care tinde să rotească corpul. Mai mult, dacă o pereche de forțe rotește corpul în sens invers acelor de ceasornic, atunci momentul unei astfel de perechi este considerat pozitiv, dacă în sensul acelor de ceasornic, atunci momentul este considerat negativ.
Proprietăți de pereche
Fără a schimba acțiunea asupra corpului, câteva forțe pot fi:
1) mișcați-l după cum doriți în planul său;
2) transferați pe orice plan paralel cu planul de acțiune al acestei perechi;
3) modificați modulul forțelor și brațul perechii, dar astfel încât momentul său (adică produsul modulului forței de către braț) și direcția de rotație să rămână neschimbate;
4) suma algebrică a proiecțiilor forțelor care formează o pereche pe orice axă este egală cu zero;
5) suma algebrică a momentelor forțelor care formează o pereche, relativ la orice punct, este constantă și egală cu momentul perechii.
Două perechi sunt considerate echivalente dacă tind să rotească corpul într-o singură direcție și momentele lor sunt egale numeric. O pereche poate fi echilibrată doar de o altă pereche cu un moment care are semnul opus.
Adăugarea de perechi
Un sistem de perechi situate într-un plan sau în planuri paralele este echivalent cu o pereche rezultată, al cărei moment este egal cu suma algebrică a momentelor termenilor perechilor, adică
Echilibrul perechilor
Un sistem plan de perechi este în echilibru dacă suma algebrică a momentelor tuturor perechilor este egală cu zero, adică
Este adesea convenabil să se reprezinte momentul unei perechi ca vector. Momentul vector al perechii este direcționat perpendicular pe planul acțiunii perechii în direcția din care se observă acțiunea de rotație a perechii în sens invers acelor de ceasornic (Fig. 6.2).
Orez. 6.2. Vector-moment al unei perechi de forțe
Exemplul 7. Pe o grindă sprijinită liber pe o margine netedă Ași articulat la punctul V, cuplul acționează cu momentul M= 1500 Nm. Determinați reacțiile din suporturi dacă l = 2 m(fig. 6.3, A).
Soluţie... O pereche poate fi echilibrată doar de o altă pereche cu un moment egal, dar opus (Fig. 6.3, b). Prin urmare,
În mecanică, există un concept al momentului forței în raport cu un punct.
Momentul forței raportat la un punct este produsul modulului de forță luat cu un semn (plus sau minus) de cea mai mică distanță de la punct la linia de acțiune a forței(fig. 12), adică
M 0()= ± P h.
Punct O, relativ la care se ia momentul forței se numește centru moment; ОВ = h- se numește cea mai mică distanță de la centrul momentului la linia de acțiune a forței umăr de forță relativ la un punct dat; se pune un semn plus dacă forța tinde să întoarcă umărul hîn sens invers acelor de ceasornic, iar semnul minus este în direcția opusă. Moment de forță relativ la un punct Oîn fig. 12 este pozitiv.
Din ultima egalitate rezultă că pentru h= 0, adică cand O- centrul momentelor - situat pe linia de acțiune a forței, M 0() = 0. După cum știți, forța este un vector glisant, prin urmare, atunci când forța este transferată de-a lungul liniilor de acțiune din punct A la orice alt punct A 1, A 2 etc. (Fig. 12) lungimea brațului nu se va schimba, ceea ce înseamnă că nici valoarea momentului de forță în raport cu punctul nu se va schimba. Momentul forței, ca și momentul unei perechi, se măsoară în newtonometri.
Fig. 12. Moment de forță relativ la un punct O.
1.12. Ecuații de echilibru ale unui sistem plan de forțe paralele
Să se aplice un sistem de forțe paralele unui corp dat , , , , (fig. 13). Printr-un punct arbitrar O, luat în planul de acțiune al forțelor, trasăm axa Oh, perpendicular pe forțe și pe axă OU, paralel cu aceste forțe. Pentru un sistem dat de forțe, scriem ecuațiile de echilibru
Fig. 13. Sistem de forțe paralele.
Fiecare forță este perpendiculară pe axa Ox, iar proiecția sa pe această axă este zero. În consecință, prima ecuație devine identitatea 0 = 0 și este satisfăcută indiferent dacă forțele sunt echilibrate sau nu. Astfel, pentru un sistem plan de forțe paralele, rămân doar două ecuații de echilibru și pe axă OU forțele sunt proiectate la dimensiuni complete, deoarece această axă este paralelă cu forțele date.
Sistemul de ecuații de echilibru pentru un sistem plan de forțe paralele ia forma
Ecuațiile de echilibru pentru un sistem plan de forțe paralele pot fi scrise în formă
Punctele A și B sunt puncte arbitrare, este de preferat să le luați pe axă NS, ecuația = 0 este utilizată pentru a verifica corectitudinea calculelor.
Deci, pentru un sistem plan arbitrar de forțe, avem trei ecuații de echilibru, iar pentru un sistem plan de forțe paralele, doar două ecuații de echilibru. În consecință, atunci când se rezolvă probleme de echilibru pentru un sistem plan arbitrar de forțe, pot fi găsite trei necunoscute și atunci când se ia în considerare echilibrul unui sistem plan de forțe paralele - nu mai mult de două.
Dacă numărul necunoscutelor depășește numărul de ecuații statice, problema devine static nedefinită.
1.13. Tipuri de suport pentru grinzi
Corpurile alungite numite grinzi sunt foarte frecvente în mașini și structuri. Sunt concepute în principal pentru a transporta sarcini laterale. Grinzile au dispozitive speciale de sprijin pentru împerecherea cu alte elemente și transferul forțelor către ele. Suporturile pentru grinzi, considerate ca sisteme plate, sunt de trei tipuri principale.
· Suport articulabil mobil (Fig. 14, a)... Acest suport nu împiedică capătul fasciculului să se rotească și să se deplaseze de-a lungul planului de rulare. În el se poate produce o singură reacție, care este perpendiculară pe planul de rulare și trece prin centrul rolei.
O reprezentare schematică a unui rulment pivotant mobil este prezentată în Fig. paisprezece, b.
Orez. 14. Tipuri de suporturi pentru grinzi.
Suporturile mobile permit fasciculului să-și schimbe în mod liber lungimea atunci când temperatura se schimbă și elimină astfel posibilitatea unor tensiuni de temperatură.
· Suport fix de articulație (Fig. 14, c). Un astfel de suport permite rotația capătului fasciculului, dar elimină mișcarea de translație în orice direcție. Reacția care apare în el poate fi descompusă în două componente - orizontală și verticală
· Terminare rigidă sau ciupire (fig. 14, G). O astfel de fixare nu permite deplasări liniare sau unghiulare ale secțiunii de referință. În acest suport, în cazul general, poate apărea o reacție, care este de obicei descompusă în două componente (verticală și orizontală) și un moment de ciupire (moment reactiv).
Se numește o grindă cu un capăt terminat grindă în consolă sau pur și simplu consolă.
Dacă reacțiile de sprijin pot fi găsite din unele ecuații statice, atunci fasciculele sunt numite definibil static. Dacă numărul de reacții de suport necunoscute este mai mare decât numărul de ecuații statice care sunt posibile pentru o anumită problemă, atunci grinzile sunt numite static nedefinit.
Exemplu.
Determinați parametrii necunoscuți ai reacțiilor suporturilor A și B pentru o structură de fascicul dată (Fig. 15) încărcată cu forțe paralele și.
