Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная. Внеклассное мероприятие "разрезание геометрических фигур на части" Какие отрезки можно провести чтобы разрезать фигуру

Стекло — это материал особенный и отличается от других строительных материалов.

Данный строительный материал обладает чрезвычайной хрупкостью и в своем большинстве является прозрачным.

Вот поэтому прежде, чем купить стекло и работать с ним, необходимо начать покупки именно с инструмента.

Но первый попавшийся инструмент покупать не следует, потому что он может быть некачественным и не сможет отрезать стекло так как надо.

Очень важно определить какой инструмент вам нужен, ведь стеклорезы бывают нескольких видов :

  1. Роликовые;
  2. Алмазные;
  3. Масляные;

Роликовые

В роликовом стеклорезе для резки стекла встроен специальный ролик, который изготовлен из очень прочного вольфрамокобальтового сплава. Обычный диаметр ролика составляет 6,6 мм, такой диаметр ролика позволяет осуществлять резку стекла толщиной до 4 мм.

Алмазные

Алмазный стеклорез оснащён соответственно маленьким алмазом, этот алмаз режет стекло. Хорошо известна твёрдость алмаза и поэтому его очень давно стали использовать для резки стекла.

В наше время, как и раньше, алмазный стеклорез считается лучшим инструментом для того чтобы отрезать стекло.

Масляные

Не так давно список стеклорезов пополнил масляный стеклорез.

Это по сути улучшенный роликовый инструмент, в ручку которого встроен резервуар для подачи смазки к ролику. Данная смазка связывает частицы, которые образовались при резке стекла при этом обеспечивая плавное движение. Данным стеклорезом можно разрезать стекло до 20 мм.

  1. Перед покупкой любого вида стеклореза лучше всего попросить продавца проверить .
  2. В том случае, если инструмент вас устраивает, то можете его покупать, но покупайте тот, который вам демонстрировали.

Как резать стекло

Лист стекла не так уж и просто отрезать, как это кажется с первого раза. Чтобы сделать отрез стекла, необходима подготовка.

Подготовка

  1. Абсолютно новое стекло достаточно будет хорошо очистить от пыли и вытереть насухо газетами, для таких работ ткань не подходит.
  2. В том случае, если предстоит резать старое стекло, то сначала его стоит обезжирить, после этого стекло хорошо моют с помощью воды и моющих средств.
  3. После всех вышеперечисленных манипуляций стекло необходимо будет просушить в закрытом и чистом помещении.

Раскрой стекла

Так же к подготовительным работам относят и раскрой стекла, и подготовку тары для сбора отходов. Тары должно быть две, то есть для сбора мелких отходов и для сбора более крупных, которые могут в дальнейшем для чего-то пригодиться.

Резку стекла лучше всего начинать с простого оконного стекла, а потом переходить на более сложные варианты.

Техника резки стекла


При применении алмазного стеклореза , необходимо его держать у самого низа ручки и проводить плавно линию по линейке, почти не надавливая на стекло.

При резке стекла роликовым стеклорезом требуется небольшое надавливание и при движении стеклореза на поверхности стекла появляется белёсая полоса и более глубокая, чем при применении алмазного инструмента.

Возможные ошибки

При реке стекла бывают две ошибки :

  1. Нажим стеклорезом бывает слишком сильным;
  2. Стеклорезом проводят по несколько раз по одному и тому же месту.

Старайтесь при резке стекла нажимать на инструмент равномерно по всей длине прореза.

Если вы при резке стекла заметили сколы, то это означает только то что вы слишком нажимаете на инструмент. Чтобы этого не было, уменьшите давление на стеклорез.

Ни в коем случае не проводите по порезанной линии дважды, это может испортить ваш инструмент.

Завершающий этап — ломка стекла

Тонкие стёкла ломают руками. Кусок стекла, который уже прорезали, необходимо положить на край стола, так, чтобы линия отреза находилась сверху и немного выступала за край стола, а основная часть стекла должна лежать на столе.

Нужно одной рукой прижать стекольное полотно, а второй нужно взяться за выступающую часть стекла и плавно рукой надавить на стекло вниз.

Если край, который нужно отломить, небольшой и руками его отломить невозможно применяют плоскогубцы.

Знание теории резки стела позволяет вам применить данные знания на практике. То есть вы можете взять небольшой кусок стекла и потренироваться на нём.

После того как вы попробуете резку стекла на практике в дальнейшем вы будете уже более уверены в своих навыках. Надеемся, что эта информация будет полезной. Желаем вам удачи и терпения!

Серия факультативных занятий по теме «Решение задач на разрезание»

Пояснительная записка

Основные цели , которые мы ставим на факультативных занятиях заключаются в следующем:

    Изложить материал о видах разрезания многоугольников;

    Способствовать формированию умений у учащихся мысленно осуществлять такие преобразования как:

    • параллельный перенос,

      поворот,

      центральную симметрию и различные композиции данных преобразований.

    И главною целью всех занятий: добиться положительного изменения способностей к пространственному мышлению.

Задачи, предлагаемые на факультативных занятиях носят творческий характер, их решение требует от учащихся следующих умений:

    умение совершать такие мысленные преобразования, которые видоизменяют местоположение имеющихся у учащихся в представлении образов, их структуру, строение;

    умение изменять образ и по местоположению, и по структуре одновременно и неоднократно совершать композиции отдельных операций.

Тематическое планирование:

1. Анкета № 1 – 1 час.

2. Задачи на разрезание. Разрезание типа R – 1 час.

3. Разрезание типа Р – 1 час.

4. Разрезание типа Q – 1 час.

5. Разрезание типа S – 1 час.

6. Разрезание типа T – 1 час.

7. Анкета № 2 – 1 час.

При составлении серии факультативных занятий были использованы задачи из журналов «Квант», «Математика в школе» и книги Г. Линдгрена.

Методические рекомендации: При знакомстве учащихся с задачами мы рекомендуем данные задачи рассматривать именно по типам разрезания, предложенным Г. Линдгреном, что позволяет, с одной стороны, классифицировать данные задачи, с другой – на занятиях решать задачи на пространственные преобразования различного уровня сложности (на второй и третий типы оперирования образами, по И.С. Якиманской). Задачи факультативных занятий рекомендуем использовать при работе с учащимися 7 – 9 классов.

Занятие № 1

Тема: Задачи на разрезание. Разрезание типа R (рациональное разрезание).

Цель: Познакомить учащихся с понятием задачи на разрезание, изложить суть разрезания типа R , осуществив разбор решения задач на данный тип разрезания, в процессе решения задач способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекраивание, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, плакат.

Метод: объяснительно – иллюстративный.

Учитель: на доске плакат:

Схема: Задачи на разрезание

Задачи на разрезание

1)Фигуру разрезать на несколько фигур

3)Перекроить одну или несколько фигур в другую фигуру


2) Сложить фигуру из заданных фигур


Среди всех задач на разрезания большую их часть составляют задачи на рациональные разрезания. Это связано с тем, что подобные разрезания легко придумать да и головоломки на них основанные не слишком простые и не слишком сложные.

Задачи на R - разрезание


1) Фигуру разрезать на несколько (в основном равных) фигур

3) Перекроить одну или несколько фигур в заданную фигуру

2) Сложить фигуру из заданных (в основном равных) фигур


3.1. С использованием ступенчатого разрезания

3.2. Без использования ступенчатого разрезания


Познакомимся с решением задач на каждый вид R разрезания.

II этап: Этап решения задач

Методы: частично-поисковый

Задача № 1 (AII ): Разрежьте квадрат со стороной четыре клетки на две равные части. Найдите как можно больше способов разрезания.

Замечание: Разрезать можно только по сторонам клеток.

Решение:

Учащиеся в тетрадях осуществляют поиск таких разрезаний, затем учитель обобщает все способы разрезаний найденные учащимися.

Задача № 2 (АII ): Разрежьте данные фигуры на две равные части.

Замечание: Разрезать можно не только по сторонам клеток, но и по диагонали.

Учащиеся в тетрадях осуществляют поиск таких разрезаний с помощью учителя.

Квадрат имеет много замечательных свойств. Прямые углы, равные стороны, симметричность придает ему простоту и совершенство формы. На складывание квадратов из одинаковых и различных по форме частей существует множество головоломок.

К примеру задача № 3 (БII ): Даны четыре одинаковые детали. Составьте из них мысленно, используя каждый раз все четыре детали квадрат. Все пробы делайте на бумаге. Результаты решения оформите в виде рисунка, сделанного от руки.

Решение:


Разрезанная на части шахматная доска, которую надо правильно сложить – одна из популярных и известных головоломок. От того, на сколько частей доска разделена, зависит сложность сборки.

Предлагаю следующую задачу:

Задача № 4 (БII ): Собрать шахматную доску из частей изображенных на рисунке.

Решение:

Задача №5 (ВII ): Разрежьте «Кораблик» на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Решение:

1) разрезать на две части как на рисунке

    одну из частей перевернуть (т. е. осуществить поворот)

Задача № 6 (ВII ): Любую из трех фигур, можно разрезать на две части, из которых нетрудно сложить квадрат. Найдите такие разрезания.

а) б)

в)

Решение:

параллельный перенос части 1 относительно части 2

поворот части 1 относительно части 2

) б) в)

Задача № 7 (ВII ):Прямоугольник со сторонами 4 и 9 единиц разрезать на две равные части, сложив которые надлежащим образом, можно было бы получить квадрат.

    разрез делается в виде ступенек, высота и ширина которых одинакова;

    фигура разбивается на части и одну часть передвигаем на одну (или несколько) ступеньку вверх, поместив ее на другую часть.

Решение:

параллельный перенос части 1

Задача № 9 (ВII ):Разрезав фигуру, изображенную на рисунке, на две части сложите из них квадрат так, чтобы цветные квадратики были симметричны относительно всех осей симметрии квадрата.

Решение:

параллельный перенос части 1

Задача № 9 (ВIII ):Как нужно разрезать два квадрата 3 х 3 и 4 х 4, чтобы из получившихся частей можно было бы сложить один квадрат? Придумайте несколько способов. Постарайтесь обойтись как можно меньшим числом частей.

Решение:

параллельный перенос частей

Способ:

Способ:

параллельный перенос и поворот

способ:

4 способ:

параллельный перенос и поворот частей


Учащиеся с помощью учителя осуществляют поиск разрезаний.

Задача № 10 (АIII ): Фигуру изображенную на рисунке, требуется разделить на 6 одинаковых частей, делая разрезы только по линиям сетки. Сколькими способами вам удастся это сделать?

Решение: Два возможных решения.

Задача № 11 (БII ):Сложите шахматную доску из заданных частей.

Решение:

Задача № 12 (ВIII ): Преобразуйте прямоугольник размера 3 х 5 в прямоугольник размером 5 х 3, причем соответствующие части не должны поворачиваться.

Примечание: воспользуйтесь ступенчатым разрезанием.

Решение: (параллельный перенос)

Задача № 13 (ВIII ):Разрежьте одним разрезом фигуру на 2 части, чтобы сложить квадрат 8 х 8.

Решение:

поворот части 2 относительно части 1


Методические указания: Задачи на разрезание типа R одни из легких и интересных. Многие задачи на данный тип разрезания подразумевают несколько способов решения и самостоятельное решение учащимися данных задач может способствовать выявлению всех способов решения. Задачи 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 предполагают работу учащихся с изображением фигур, путем осуществления мыслительных преобразований («разрезание», сложение, поворот, параллельный перенос). Задачи 4, 5, 9, 11 предполагают работу учащихся с моделями (из бумаги), путем непосредственного разрезания фигуры ножницами и осуществлением математических преобразований (поворота, параллельного переноса) происходит поиск решения задач. Задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 – на второй тип оперирования образами, задачи 9, 10, 12 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 2

Тема: Разрезание типа P (Р сдвиг параллелограмма).

Цель: Изложить суть разрезания типа Р, в процессе разбора решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекраивание, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование:

I этап: Ориентированный этап

Метод: проблемное изложение.

Учитель ставит проблему (решить задачу № 1) и показывает ее решение.

Задача № 1 (ВIII ): Преобразовать параллелограмм со сторонами 3 и 5 см в новый параллелограмм с теми же углами, что и у исходного параллелограмма, одна из сторон которого равна 4 см.

Решение: 1)

4)

АВСD – параллелограмм

АВ = 3, АD = 5

    проводим разрез АО ВО = D К = 4;

    сдвигаем часть 1 вверх (параллельный перенос) вправо вдоль линии разреза до тех пор, пока точка О не попадет на продолжение стороны DC ;

    проводим разрез КА’ так, что КА’ || DC ;

    и Δ АА’К вставляем в выемку, расположенную ниже точки О (параллельный перенос Δ АА’К вдоль прямой АО).

КВОD искомый параллелограмм (КD = 4)

KDO = ADC, BAD = 1 + 4,

1 = 2 и 4 =  3 – накрест лежащие при параллельных прямых.

Следовательно,  BAD = 2 +3 = BOC =  BKD ,  BAD =  BKD и т.д.

У

Задачи на Р сдвиг

Перекроить одну или несколько фигур в другую фигуру

читель:

Суть разрезания типа Р:

    делаем разрез данной фигуры, который удовлетворяет требованиям задачи;

    осуществляем параллельный перенос отрезанной части вдоль линии разреза до совпадения вершины отрезанной части с продолжением другой стороны исходной фигуры (параллелограмма);

    делаем второй разрез параллельный стороне параллелограмма, получаем еще часть;

    осуществляем параллельный перенос вновь отрезанной части вдоль линии первого разреза до совпадения вершин (вкладываем часть в выемку).

II этап: Этап решения задач

Методы: объяснительно – иллюстративный

Задача № 2 (ВII ): Преобразуйте квадрат 5 х 5 в прямоугольник с шириной 3.

Решение:

1) 2) – 3) 4)

    разрез АО / ВО = D Т = 3

    параллельный перенос ΔАВО вдоль прямой АО до тех пор пока точка О  (DC )

    разрез ТА’ / ТА’ || СD

    ΔAA ’T параллельным переносом вдоль прямой АО.

TBOD искомый прямоугольник (ТВ = 3).

Задача № 3 (ВIII ): Сложить из трех одинаковых квадратов один большой квадрат.

Примечание: из трех квадратов сложите прямоугольник затем примените Р сдвиг.

Решение:

S пр = 1.5 * 4,5 = 6,75

кв = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Задача № 4 (ВIII ):Перекроите прямоугольник 5 х 1 в квадрат

Римечание: сделайте разрез АВ (АW =
), к прямоугольнику ХУВА примените Р сдвиг.

Решение:

1)

2) – 3) 4) 5)


Задача № 5 (ВIII ): Преобразуйте русское Н в квадрат.

Примечание: сделайте разрез как показано на рисунке, из полученных частей сложите прямоугольник.

Решение:

Задача № 6 (BIII ): Треугольник преобразуйте в трапецию.

Примечание: сделайте разрез как на рисунке.

Решение:

    поворот части 1;

    разрез АВ;

    ΔАВС параллельным переносом вдоль АВ до тех пор пока точка В  (FM )

    разрез ОР / ОР || FM ;

    ΔАОР параллельным переносом вдоль АВ. Точка Р совпадает с точкой В;

    OFBC искомая трапеция.

Задача № 7 (ВIII ):Из трех равных греческих крестов сделать один квадрат.

Решение:

Задача № 8 (ВIII ): Преобразовать букву Т в квадрат.

Примечание: Сначала из буквы т перекроите прямоугольник.

Решение: S т = 6 (ед 2 ), S кв = (
) 2

поворот

композиция параллельных переносов

МВ = КС =

Задача № 9 (ВIII ):Перекроите изображенный на рисунке флаг в квадрат.

Примечание: Сначала флаг преобразуйте в прямоугольник

Решение:

поворот

S фл = 6,75 АВ = С D =
S кв = (
) 2

параллельный перенос

Методические указания: При знакомстве учащихся с задачами на разрезание типа Р, суть данного типа разрезания мы рекомендуем излагать при решении конкретной задачи. Решения задач мы советуем сначала осуществлять на моделях (из бумаги), непосредственным разрезанием фигур ножницами и совершением параллельного переноса, а затем в процесс решения задач от моделей фигур переходить к работе с изображением геометрических фигур, путем осуществления мыслительных преобразований (разрезание, параллельный перенос).

Занятие № 3

Тема: Разрезание типа Q (Q – сдвиг четырехугольника).

Цель: Изложим суть разрезания типа Q , в процессе решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: проблемное изложение.

Учитель ставит перед учащимися проблему (решить задачу № 1) и показывает решение.

Задача № 1 (BIII ): Данный четырехугольник преобразуйте в новый четырехугольник.

Решение:

    проводим разрез НР так, что ВН = МН, PF = DF ;

    проводим разрез МЕ / МЕ || ВС;

    проводим разрез РТ / РТ || AD ;

    Δ 3 и Δ 1 поворачиваем по часовой стрелке относительно части 2;

    Часть 1 параллельным переносом по прямой HF до тех пор пока точка Т  АР;

    АМСР искомый четырехугольник (со стороной СР и АМ (в условии могут быть заданы)).

Задача № 2 (ВIII ): Преобразовать четырехугольник в новый четырехугольник (длинный четырехугольник).

Решение:


    (поворот части 1 относительно точки О пока УО совпадет с АО);

    (поворот части (1 – 2) относительно точки Т пока ВТ не совпадет с WT );

XAZW искомый четырехугольник.

В задачах с использованием Q разрезаний делаются разрезы и отрезанные части подвергаются преобразованию поворота.

Задачи на Q разрезание


преобразовать данную фигуру (четырехугольник) в другую фигуру (четырехугольник)


Во многих задачах элементы Q сдвига используются при преобразовании треугольника в какой-либо четырехугольник или наоборот (треугольник как «четырехугольник», одна из сторон которого имеет нулевую длину).

II этап: Этап решения задач

Задача № 3 (ВII ):От треугольника отрезан маленький треугольник, как показано на рисунке. Переложи маленький треугольник так, чтобы получился параллелограмм.


Поворот части 1 относительно точки Р пока КР совпадет с МР.

АОО’М – искомый параллелограмм.

Задача № 4 (BII , BIII ): Какие из данных треугольников можно превратить в прямоугольники, сделав один (два) разрез и переложив полученные части?

1) 2) 3) 4)

5)

Решение:

1)

5)

1), 5) один разрез (разрез – средняя линия треугольника)

2)

3)

4)

2), 3), 4) два разреза (1-ый разрез – средняя линия, 2-ой разрез – высота из вершины треугольника).

Задача № 5 (ВII ):перестройте трапецию в треугольник.

Решение:

    разрез КС (АК = КВ)

    поворот ΔКВС вокруг точки К так, чтобы отрезки КВ и КА совместились.

ΔFCD искомый треугольник.

Задача № 6 (ВIII ):Как разбить трапецию на фигуры, из которых можно составить прямоугольник?

Решение:

1) разрез ОР (АО = ОВ, ОР┴АD )

2) разрез TF (CT = TD , TF ┴AD )

    поворот части 1 относительно точки О так, чтобы АО и ВО совместились.

    Поворот части 2 относительно точки Т так, чтобы DT и СТ совместились.

    PLMF – прямоугольник.

III этап: постановка домашнего задания.

Задача № 7 (ВIII ): преобразуйте произвольный треугольник в прямоугольный треугольник.

Замечание:

1) сначала преобразуйте произвольный треугольник в прямоугольник.

2) прямоугольник в прямоугольный треугольник.

Решение:

поворот

Задача № 8 (ВII ):Произвольный параллелограмм преобразуйте в треугольник, сделав лишь один разрез.

Решение:

поворот

Поворот части 2 вокруг точки О на 180º (центр симметрии)

Методические указания: Изложение сути Q разрезания мы рекомендуем

осуществлять в процессе решения конкретных задач. Основными математическими преобразованиями, которыми пользуются в решении задач на данный тип разрезания являются: поворот (в частности центральная симметрия, параллельный перенос). Задачи 1, 2, 7 – на практические действия с моделями геометрических фигур, в задачах 3, 4, 5, 6, 8 подразумевается работа с изображением геометрических фигур. Задачи 3, 4, 5, 8 – на второй тип оперирования образами, задачи 1, 2, 4, 6, 7 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 4.

Тема: Разрезание типа S .

Цель: Изложить суть разрезания типа S , в процессе решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекрывание, поворот, параллельный перенос, центральная симметрия), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап.

Метод: объяснительно-иллюстративный.

Задача № 1 (ВII ):как перекроить параллелограмм, стороны которого 3,5 см и 5 см, в параллелограмм со сторонами 3,5 см и 5,5 см, сделав лишь один «разрез»?

Решение:

1) проведем отрезок (разрез) СО = 5,5 см, параллелограмм разбили на две части.

2) треугольник СОМ прикладываем к противоположной стороне параллелограмма АК. (т. е. параллельный перенос ∆ СОМ на отрезок СА в направлении СА).

3) САОО` искомый параллелограмм (СО = 5,5 см, СА = 3,5 см).

Задача № 1 (ВIII ): покажите как можно разрезать квадрат на 3 части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, у которого одна из сторон вдвое больше другой.

Решение:

Постройте квадрат ABCD

    проведем диагональ АС

    проведем половину диагонали BD отрезок OD (OD ┴AC ), OD = ½ AC . Постройте из полученных 3-ех частей прямоугольник (длиной АС, шириной AD

Для этого:

    осуществите параллельный перенос частей 1 и 2. часть 1 (∆1) в направлении D А, ∆2 в направлении АВ на отрезок АВ.

АОО`С искомый прямоугольник (со сторонами АС, ОА = ½ АС).

Учитель: Мы рассмотрели с вами решение 2-х задач, тип разрезания используемый в решении данных задач носит образное название S -разрезание.

S -разрезание – это в основном преобразование какого-то одного параллелограмма в другой параллелограмм.

Суть данного разрезания в следующем:

    проводим разрез, равный по длине стороне требуемого параллелограмма;

    осуществляем параллельный перенос отрезанной части до совпадения равных противоположных сторон параллелограмма (т.е. прикладываем отрезанную часть к противоположной стороне параллелограмма)

В зависимости от требования задачи будет зависеть и количество разрезов.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача №3 (BII ):разделите параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

Начертим произвольный параллелограмм.

Решение:

    из точки В опустим высоту ВН (ВН┴AD )

    осуществим параллельный перенос ∆ АВН на отрезок ВС в направлении ВС.

Сделайте чертеж полученного прямоугольника.

ВНРС – прямоугольник.

Задача№4 (BIII ):Стороны параллелограмма 3 и 4см. Превратите его в параллелограмм со сторонами 3,5см, сделав два разреза.

Решение:

1)

2)

Искомый параллелограмм.

В общем случае S -разрезание основано на методе наложения полосок, которые позволяют решить задачу о преобразовании любых многоугольников.

В выше изложенных задачах, в связи с их легкостью, мы обошлись без метода наложения полосок, хотя все эти решения могут быть получены именно с помощью данного метода. Но в более сложных задачах без полосок не обойтись.

Кратко метод наложения полосок сводится к следующему:

1) Разрежьте (в этом есть необходимость) каждый многоугольник (многоугольник, который преобразовывают и многоугольник, в который надо преобразовать исходный многоугольник) на части, из которых можно сложить две полоски.

2) Наложите полоски друг на друга под подходящим углом, при этом края одной из них всегда должны быть расположены одинаково по отношению к элементам другой полоски.

3) При этом все линии, расположенные в общей части 2-х полосок, покажут места нужных разрезов.

Буква S , используется в термине «S -разрезание», происходит от английского Strip – полоска.

II этап: Этап решения задач

Убедимся на примере задачи 3, что метод наложения полосок дает искомое решение.

Задача № 3 (ВII ):Разделите параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

Решение:

1)

2)

3)

1) получим полосу из параллелограмма

2) полосы из прямоугольников

3) наложим полосу 2 на полосу 1, так как показано на рисунке 3

4) получаем требуемое задачи.

Задача № 5 (BIII ):В равнобедренном треугольнике отмечены середины боковых сторон и их проекции на основание. Через отмеченные точки проведены две прямые. Покажите, что из полученных частей можно сложить ромб.

Решение:

часть2, 3 – поворот вокруг точки

часть 4 – параллельный перенос

В данной задаче разрезание треугольников уже указано, можем убедиться, что это S -разрезание.

Задача № 6 (BIII ): Преобразуйте три греческих креста в квадрат (используя полоски).

Решение:

1)


Налагаем полоску из квадратов на полоску из крестов так чтобы точка А и точка С принадлежали краям полоски из крестов.

∆АВН = ∆СD В, следовательно, квадрат состоит из ∆АВС и ∆АВМ.

III этап: Постановка домашнего задания

Задача № 7 (ВIII ):Данный прямоугольник преобразуйте в другой прямоугольник, стороны которого отличны от сторон исходного прямоугольника.

Примечание: Посмотрите решение задачи 4.

Решение:

    разрез АО (АО – ширина требуемого прямоугольника);

    разрез DP / DP  AO (DP – длина требуемого прямоугольника);

    параллельный перенос ∆АВО в направлении ВС на отрезок ВС;

    параллельный перенос ∆АPD на отрезок АО в направлении АО;

    PFED требуемый прямоугольник.

Задача № 8 (BIII ): Правильный треугольник разбит на части отрезком, из данных частей сложите квадрат.

Примечание: Можете убедиться с помощью наложения полосок, что это S разрезание.

    поворот части 2 вокруг точки О;

    поворот части 3 вокруг точки С;

    параллельный перенос части 4

Дополнительная задача № 9 (BII ): Разрежьте параллелограмм по прямой проходящей через его центр, так чтобы из полученных двух кусков можно было сложить ромб.

Решение:

O  QT

    разрез QT ;

    часть 1 параллельным переносом на ВС отрезок в направлении ВС (CD и АВ совмещаются).

Методические указания: S – разрезание – один из наиболее сложных типов разрезания. Мы рекомендуем излагать суть данного разрезания на конкретных задачах. На занятиях по решению задач на S – разрезание мы рекомендуем использовать задачи, в которых разрезания фигур даны и необходимо из полученных частей сложить требуемую фигуру, это объясняется сложностью самостоятельного осуществления учащимися метода наложения полосок, который составляет суть S – разрезания. При этом учитель на более доступных для учащихся задачах (например, на задачах 3, 5, 8) может показать, как метод наложения полосок позволяет получить разрезания, данные в условиях задач. Задачи 4, 5, 6, 8, 9 – на практические действия с моделями геометрических фигур, задачи 1, 2, 3, 7 – на работу с изображением геометрических фигур. Задачи 1, 3, 9 – на второй тип оперирования образами, задачи 2, 4, 5, 6, 7, 8 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 5

Тема: Разрезание типа Т.

Цель: Изложить суть разрезания типа S , в процессе разбора решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, цветные пасты, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: объяснительно-иллюстративный

Учитель: Использование для решения задач Т – разрезания подразумевает составление мозаики, и их последующее наложение. Полоски используемые в S – разрезании могут быть получены из мозаики. Следовательно, метод наложения мозаики обобщает метод полосок.

Рассмотрим суть Т – разрезания на примере решения задач.

Задача № 1 (BIII ): Преобразовать греческий крест в квадрат.

1) первый шаг состоит в том, чтобы исходный многоугольник преобразовать в элемент мозаики (и в этом есть необходимость);

2) из данных элементов составляем мозаику № 1 (составляем мозаику из греческих крестов);

5) все линии расположенные в общей части двух мозаик покажут места нужных разрезов.

II этап: Этап решения задач

Метод: частично - поисковый

Задача № 2 (BIII ): Греческий крест разрезан на три части, сложите из этих частей прямоугольник.

Примечание: можем убедиться, что данное разрезание есть разрезание типа Т.

Решение:

    поворот части 1 вокруг точки О;

    поворот части 2 вокруг точки А.

Задача № 3 (BIII ): Выпуклый четырехугольник разрежем по двум прямым, соединяющим середины противоположных сторон. Покажите, что из полученных четырех кусков всегда можно сложить параллелограмм.


    часть 2 поворот вокруг точки О (или центр симметрии) на 180 ;

    часть 3 поворот вокруг точки С (или центр симметрии) на 180 ;

    часть 1 – параллельный перенос.

Покажем мозаику, из которой данное разрезание получено.

Задача № 4 (BIII ): Три одинаковых треугольника разрезали по разным медианам. Сложите из шести полученных кусков один треугольник.

Решение:

1) из данных треугольников составляем треугольники как на рисунке 1 (центральная симметрия);

2)составляем из трех новых треугольников другой треугольник (равные стороны совпадают).

Покажем, как данные разрезы получились, пользуясь мозаиками.

Задача № 5 (BIII ): Греческий крест разрезали на части, составить из этих частей прямоугольный равнобедренный треугольник.

Решение:

    часть 1 центральная симметрия;

    часть 3 центральная симметрия;

    части 3 и 4 – поворот.

Задача № 6 (BIII ): Данную фигуру перекроите в квадрат.

Решение:

    часть 1 поворот вокруг точки О;

    часть 3 поворот на 90 вокруг точки А.

Задача № 7 (BIII ): Греческий крест перекроите в параллелограмм (разрезы даны).

Решение:

    часть 2 – параллельный перенос относительно части 1;

    часть 3 параллельный перенос по линии разреза.

III этап: Постановка домашнего задания.

Задача № 8 (BIII ): Два одинаковых бумажных выпуклых четырехугольника разрезами: первый – по одной из диагоналей, а второй – по другой диагонали. Докажите, что из полученных частей можно сложить параллелограмм.

Решение: композиция поворотов.

Задача № 9 (BIII ): Из двух одинаковых греческих крестов сложите квадрат.

Решение:

Методические указания: Т – разрезание – наиболее сложный тип разрезания, образующий разрезания типа S . Суть Т – разрезания рекомендуем излагать в процессе решения задач. Из-за сложности реализации для учащихся метода наложения мозаик, составляющего суть Т – разрезания, на занятиях мы советуем использовать задачи, в условиях которых заданы разрезания и требуется из полученных частей фигуры с помощью математических преобразований (поворота, параллельного переноса) получить искомую фигуру. При этом на более доступных для учащихся задачах учитель может показать способ получения данных разрезаний, с помощью метода наложения мозаик. Задачи, предложенные на занятии № 5, на третий тип оперирования образами и предполагает работу учащихся с моделями геометрических фигур, путем осуществления поворота и параллельного переноса.

Вступительное слово учителя:

Небольшая историческая справка: Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абуль-Вефа. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее построение другой фигуры в начале 20 века. Одним из основателей этого раздела был знаменитый основатель головоломок Генри Э.Дьюдени.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется их решать, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. (На занятии мы будем указывать лишь один из возможных примеров разрезания. Можно допустить, что у учащихся может получиться какая-то другая верная комбинация -- не надо этого бояться).

Данное занятие предполагается провести в виде практического занятия. Разбить участников кружка на группы по 2-3 человека. Каждой из групп предоставить заранее подготовленные учителем фигуры. Учащиеся располагают линейкой (с делениями), карандашом, ножницами. Разрешается производить с помощью ножниц лишь прямолинейные разрезы. Разрезав какую-нибудь фигуру на части, необходимо составить другую фигуру из тех же частей.

Задачи на разрезание:

1). Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

Подсказка: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т.

2). Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник.

3). Разделите фигуру на две одинаковые части, и из полученных частей сложите шахматную доску.

Подсказка: Предложить начать выполнять задание со второй части, как бы получить шахматную доску. Вспомнить, какую форму имеет шахматная доска (квадрат). Посчитать имеющееся количество клеточек в длину, в ширину. (Напомнить, что клеток должно быть 8).

4). Попробуйте тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков.

Подсказка: попробовать разрезать сыр вдоль.

Задачи для самостоятельного решения:

1). Вырежьте квадрат из бумаги и выполните следующее:

· разрежьте на такие 4 части, из которых можно составить два равных меньших квадрата.

· разрежьте на пять частей - четыре равнобедренных треугольника и один квадрат - и сложите их так, чтобы получилось три квадрата.

Саркисян Роман

Исследовательская работа «Задачи на разрезание» выполнена учениками 8 класса

Учащимися приводятся и исследуются приемы разрезания фигур в играх «Пентамино», «Танграмм», головоломках, доказательстве теорем.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Научно -исследовательская работа на тему

«Задачи на разрезание»

Выполнили: Саркисян Роман, Шаврова Анастасия,

учащиеся 8 класса

МБОУ «Северомуйская СОШ»

Руководитель: учитель математики Огаркова И.И

  1. Введение
  2. Историческая справка
  3. Игра «Пентамино»
  4. Игра «Танграм»
  5. Задача «Торт»
  6. Задача №4- «Разрежь прямоугольник»
  7. Задача №5 - «Разрежь два квадрата»
  8. Задача №6- «Разрежь два квадрата-2»
  9. Задача №7 – Крест
  10. Задача №8 – Крест -2
  11. Задача №9- Квадрат 8*8
  12. Задача №10 Площадь параллелограмма
  13. Задача №11 Площадь трапеции
  14. Задача №12 Площадь треугольника
  15. Заключение
  16. Литература.

Введение

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Д. Пойя

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на разрезание. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на разрезание.

Актуальность (Слайд 2)

  1. Математики открывают новые связи между математическими объектами. В результате этой работы находятся общие методы для решения различных задач. И эти задачи получают стандартные методы решения, переходя из разряда творческих в разряд технических, то есть требующих для своего решения применения уже известных методов.
  2. Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Объект исследования : задачи на разрезание

Предмет исследования : многообразие задач на разрезание, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

(Слайд3) Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на разрезание.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач: (Слайд 4)

  1. подобрать необходимую литературу
  2. научиться разрезать геометрические фигуры на части, необходимые для составления той или иной другой геометрической фигуры, используя их свойства и признаки;
  3. научиться доказывать, что площади фигур равны, разрезая их на определенные части и доказывая, что эти фигуры равносоставленные;
  4. провести геометрическое исследование, конструирование в решении задач различных типов.
  5. отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
  6. проанализировать и систематизировать полученную информацию
  7. найти различные методы и приёмы решения задач на разрезание
  8. классифицировать исследуемые задачи
  9. найти способы перекраивания: треугольника в равносоставленный параллелограмм; параллелограмма в равносоставленный треугольник; трапеции в равносоставленный треугольник.
  10. Создать электронную презентацию работы

Гипотеза: возможно, многообразие задач на разрезание, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на разрезание, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.

При решении задач на разрезание нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

(Слайд 5) Историческая справка

Задачи на разрезание, как один из видов головоломок, привлекали к себе внимание с древнейших времен. Первый трактат, в котором рассматриваются задачи на разрезание, написал знаменитый арабский астроном и математик из Хорасана Абу аль – Вефа (940 – 998 н.э.). В начале XX века благодаря бурному росту периодических изданий решение задач на разрезание фигур на то или иное число частей и последующее составление из них новой фигуры привлекает внимание как средство развлечения широких слоев общества. Теперь и геометры всерьёз занялись этими задачами, тем более, что в их основе лежит старинная задача о равновеликих и равносоставленных фигурах, которая исходит еще от античных геометрах. Известными специалистами в этом разделе геометрии были знаменитые классики занимательной геометрии и составители головоломок Генри Э. Дьюдени и Гарри Линдгрен.

Энциклопедией решения различных задач на разрезание является книга Гарри Линдгрена «Геометрия разрезаний». В этой книге можно найти рекорды по разрезанию многоугольников на заданные фигуры

Рассматривая решения задач на разрезание понимаешь, что универсального алгоритма или метода не существует. Иногда начинающий геометр в своем решении может значительно превзойти более опытного человека. Это простота и доступность является основой популярности игр основанных на решении таких задач, например - (Слайд 6) пентамино «родственницы» тетриса, танграмма.

(Слайд7) Игра «Пентамино» Правила игры

Суть игры заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. Игра заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.

Игра «Танграмм» (Слайд 8)

В игре « танграмм», из семи базовых элементов можно сложить значительное множество фигур. Все собираемые фигуры должны иметь равную площадь, т.к. собираются из одинаковых элементов. Отсюда следует что:

  1. В каждую собираемую фигуру должны войти непременно все семь элементов.
  2. При составлении фигуры элементы не должны налегать друг на друга, т.е. располагаться только в одной плоскости.
  3. Элементы фигур должны примыкать один к другому.

Задания

В игре танграмм можно выделить 3 основные категории заданий:

  1. Поиск одного или нескольких способов построения данной фигуры или изящного доказательства невозможности построения фигуры.
  2. Нахождение способа, позволяющего с наибольшей выразительностью или юмором (или тем и другим вмести) изобразить силуэты животных, людей и другие узнаваемые предметы.
  3. Решение различных задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением фигур из 7 танов.

Задача 3 (Слайд 9)

Торт , украшенный розочками, тремя прямолинейными разрезами разделили на куски так, что на каждом куске оказалось, ровно по одной розочке. Какое наибольшее число розочек могло быть на торте?

Комментарий. В основе решения задачи лежит применение аксиомы: «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости». Следует изобразить всевозможные случаи расположения трех прямых. Из рисунка становится, что наибольшее число частей – 7 – получается, когда прямые пересекаются попарно. Следовательно, на торте могло быть не более 7 розочек.

Задача 4 (Слайд10)

Разрежьте прямоугольник , ax2a на такие части,что из них можно было составить равновеликий ему:

1) прямоугольный треугольник;

2) квадрат.

Решение задачи понятно из рисунков 2 и 3.

Задача 5 (Слайд 11)

Разрежьте два квадрата 1х1 и 3х3 на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

Комментарий. Эта задача – на перекраивание фигуры, состоящий из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат. Площадь нового квадрата равна 3 2 +1 2 , значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна, т. е. является гипотенузой прямоугольника с катетами 3 и 1. Построение такого квадрата понятно из рисунка 4

Задача 6 (Слайд 12)

Разрежьте два произвольных квадрата на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

Решение задачи понятно из рисунка 5. Площадь нового квадрата равна a 2 + b 2 , значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна

т. е. является гипотенузой прямоугольно- го треугольника с катетами a и b.

Задача 7 (Слайд 13)

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрежьте его на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.

Решение задачи понятно из рисунка 6.

Задача 8 (Слайд 14)

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Как шестью такими крестами оклеить поверхность луба, каждая грань которого равновелика кресту.

Комментарий. Крест накладывается на грань (рис. 7), обрезать и переклеивать «торчащие уши» не надо – они переходят на соседнюю грань и оказываются в нужных местах. Завернув «торчащие уши» на соседние грани, можно таким образом заклеить поверхность куба шестью крестами (рис.8).

Задача 9 (Слайд 15)

Квадрат 8х8 разрезан на четыре части, как показано на рисунке 9. Из полученных частей составлен прямоугольник 13х5 . Площадь прямоугольника равна 65, а площадь квадрата – 64. Объясните, где ошибка.

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

a b c

Линия может быть

  1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
  2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
  1. самопересекающейся
  2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

  1. прямой
  2. ломанной
  3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

a

прямая линия AB

B A

Прямые могут быть

  1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
    • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
  2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

a

луч AB

B A

Лучи совпадают, если

  1. расположены на одной и той же прямой,
  2. начинаются в одной точке,
  3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

B A

прямая линия AB

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.