Viņam bija neparastas matemātiskās spējas. 17. gadsimta sākumā daudzus gadus ilgušu planētu kustības novērojumu rezultātā, kā arī pamatojoties uz Tiho Brahe astronomisko novērojumu analīzi, Keplers atklāja trīs likumus, kas vēlāk tika nosaukti viņa vārdā.
Keplera pirmais likums(elipses likums). Katra planēta pārvietojas elipsē ar Sauli vienā fokusā.
Keplera otrais likums(vienādu laukumu likums). Katra planēta pārvietojas plaknē, kas iet caur Saules centru, un vienādos laika periodos rādiusa vektors, kas savieno Sauli un planētu, izslauc vienādus laukumus.
Keplera trešais likums(harmoniskais likums). Planētu orbitālo periodu kvadrāti ap Sauli ir proporcionāli to elipsveida orbītu puslielāko asu kubiem.
Apskatīsim tuvāk katru no likumiem.
Keplera pirmais likums (elipses likums)
Katra Saules sistēmas planēta griežas pa elipsi, un vienā no fokusiem atrodas Saule.
Pirmais likums apraksta planētu orbītu trajektoriju ģeometriju. Iedomājieties konusa sānu virsmas daļu ar plakni, kas atrodas leņķī pret tā pamatni, nevis iet caur pamatni. Iegūtais skaitlis būs elipse. Elipses formu un tās līdzības pakāpi ar apli raksturo attiecība e = c / a, kur c ir attālums no elipses centra līdz tās fokusam (fokusa attālums), a ir puslielākā ass. Lielumu e sauc par elipses ekscentriskumu. Ja c = 0 un līdz ar to e = 0, elipse pārvēršas par apli.
Saulei tuvāko trajektorijas punktu P sauc par perihēliju. Punkts A, kas atrodas vistālāk no Saules, ir afēlijs. Attālums starp afēliju un perihēliju ir eliptiskās orbītas galvenā ass. Attālums starp afēliju A un perihēliju P veido eliptiskās orbītas galveno asi. Puse no galvenās ass garuma, a ass, ir vidējais attālums no planētas līdz Saulei. Vidējais attālums no Zemes līdz Saulei tiek saukts par astronomisko vienību (AU) un ir vienāds ar 150 miljoniem km.
Keplera otrais likums (laukumu likums)
Katra planēta pārvietojas plaknē, kas iet caur Saules centru, un vienādos laika periodos rādiusa vektors, kas savieno Sauli un planētu, aizņem vienādus laukumus.
Otrais likums apraksta izmaiņas planētu kustības ātrumā ap Sauli. Ar šo likumu ir saistīti divi jēdzieni: perihēlijs - Saulei vistuvākais orbītas punkts un afēlijs - visattālākais orbītas punkts. Planēta ap Sauli pārvietojas nevienmērīgi, un tai ir lielāks lineārais ātrums perihēlijā nekā afēlijā. Attēlā zilā krāsā iezīmēto sektoru laukumi ir vienādi un attiecīgi arī laiks, kas nepieciešams planētai, lai izietu cauri katram sektoram, ir vienāds. Zeme šķērso perihēliju janvāra sākumā un afēliju jūlija sākumā. Keplera otrais likums, laukumu likums, norāda, ka spēks, kas regulē planētu orbitālo kustību, ir vērsts uz Sauli.
Keplera trešais likums (harmoniskais likums)
Planētu orbitālo periodu kvadrāti ap Sauli ir proporcionāli to elipsveida orbītu puslielāko asu kubiem. Tas attiecas ne tikai uz planētām, bet arī uz to pavadoņiem.
Trešais Keplera likums ļauj salīdzināt planētu orbītas savā starpā. Jo tālāk planēta atrodas no Saules, jo garāks ir tās orbītas perimetrs un, pārvietojoties pa orbītu, tās pilna apgrieziena ilgums ir ilgāks. Turklāt, palielinoties attālumam no Saules, planētas kustības lineārais ātrums samazinās.
kur T 1, T 2 ir planētas 1 un 2 apgriezienu periodi ap Sauli; a 1 > a 2 ir planētu 1 un 2 orbītu puslielo asu garumi. Pusass ir vidējais attālums no planētas līdz Saulei.
Vēlāk Ņūtons atklāja, ka Keplera trešais likums nebija pilnīgi precīzs; patiesībā tas ietvēra planētas masu:
kur M ir Saules masa, un m 1 un m 2 ir planētu 1 un 2 masa.
Tā kā tiek konstatēts, ka kustība un masa ir saistītas, šī Keplera harmoniskā likuma un Ņūtona gravitācijas likuma kombinācija tiek izmantota, lai noteiktu planētu un satelītu masu, ja ir zināmas to orbītas un orbītas periodi. Zinot arī planētas attālumu līdz Saulei, varat aprēķināt gada garumu (pilnīga apgrieziena ap Sauli laiku). Un otrādi, zinot gada garumu, jūs varat aprēķināt planētas attālumu līdz Saulei.
Trīs planētu kustības likumi atklāja Keplers, sniedza precīzu skaidrojumu planētu nevienmērīgajai kustībai. Pirmais likums apraksta planētu orbītu trajektoriju ģeometriju. Otrais likums apraksta izmaiņas planētu kustības ātrumā ap Sauli. Trešais Keplera likums ļauj salīdzināt planētu orbītas savā starpā. Keplera atklātie likumi vēlāk kalpoja par pamatu Ņūtonam, lai radītu gravitācijas teoriju. Ņūtons matemātiski pierādīja, ka visi Keplera likumi ir gravitācijas likuma sekas.
Diferenciālvienādojumam (2) ir šādi pirmie integrāļi:
Apgabala integrālis
Kur - nemainīga leņķiskā impulsa vektors. Noturības dēļ ķermeņa orbīta būs plakana līkne. Ja šajā plaknē ievadām polārās koordinātas r Un υ, tad apgabala integrāli var uzrakstīt šādi:
………………….. (4)
no kura izriet Keplera otrais likums (laukumu likums). Ja ir laukums, ko laika intervālā apraksta rādiusa vektors, tad sektora ātrums:
.
(5)
(6)
Citiem vārdiem sakot, rādiusa vektora aprakstītā platība ir proporcionāla kustības laika intervāliem.
Relatīvās kustības vienādojumā iekļautais spēks ir potenciāls. Šī spēka potenciālu nosaka izteiksme
Enerģijas integrālis. No kustības vienādojuma (2) izriet enerģijas nezūdamības likums
(7)
Šeit ir konstante, kas vienāda ar kopējo mehānisko enerģiju, kas dalīta ar kustīgā ķermeņa masu.
Kopš tā laika vienādojums (7) tiks izpildīts jebkuram r , un kustība nav ierobežota telpā. Pie ˂ 0 kustība telpā ir ierobežota.
Parasti orbitālajam vienādojumam ((2) vienādojuma risinājums) ir šāda forma:
, (8)
kur ir patiesā anomālija un ekscentriskums.
Ekscentricitātes lielumu nosaka kopējās enerģijas vērtība, un tā ir vienāda ar:
.
(9)
fokusa parametrs ir:
(10)
Kā redzams no (9), ir iespējamas trīs veidu trajektorijas:
0 ≤ e ˂ 1 (һ˂0)- elipse ( e = 0– aplis);
e = 1 (һ=0) - parabola;
e > 1 (һ>0) - hiperbola.
Formula (8) definē analītisko izteiksmi Keplera pirmais vispārinātais likums.(8. diagramma)
Gravitācijas ietekmē viens debess ķermenis pārvietojas cita debess ķermeņa gravitācijas laukā pa vienu no konusa griezumiem - apli, elipsi, parabolu vai hiperbolu.
Kopumā eliptiskas kustības laikā tiek saukts centrālajam ķermenim tuvākais orbītas punkts periapsis, un vistālāk - apocentrs. Pārvietojoties ap Sauli, šie punkti tiek saukti perihēlijs Un afēlijs.
Keplera trešais vispārinātais likums. Eliptiskajai kustībai ir viegli iegūt savienojumu starp siderālo apgriezienu periodu T un daļēji galvenā ass A orbītas. Ņemot vērā, ka elipses laukums un rādiuss - vektors to raksturo laika posmā T, mums ir no (5): . No otras puses, no (10) izriet, ka
……
(11)
Pielīdzinot šīs divas izteiksmes, mēs iegūstam:
(12)
Šīs attiecības atspoguļo Keplera trešo vispārināto likumu. Tas attiecas uz jebkuriem diviem piesaistošiem materiālajiem ķermeņiem, vai tās būtu planētas, dubultzvaigznes vai mākslīgie debess ķermeņi, jo attiecības (12) labā puse ietver universālas konstantes.
Ļaujiet M 1 - Saules masa, m 1 - planētas masa, a 1 Un T 1 – attiecīgi planētas ap Sauli apgriezienu puslielākā ass un siderālais periods. Ja ir cita sistēma, piemēram, planēta M 2 un planētas pavadonis ar masu m 2 , kas riņķo ap planētu ar periodu T 2 vidējā attālumā a 2 , tad šīm divām sistēmām ir spēkā trešais vispārinātais Keplera likums (12), kas izpaužas šādā formā:
=
(13)
Kad divi mazas masas ķermeņi pārvietojas ap vienu centrālo ķermeni, piemēram, kad planētas pārvietojas ap Sauli, formulā (13) jāiekļauj M 1 = M 2 , m 1 « M 1 , m 2 « M 2 , un tad
tas ir, mēs iegūstam Keplera trešo empīrisko likumu.
No ekscentriskuma (9) un (11) izteiksmes to var viegli atrast 
Tad enerģijas integrāļa vienādojums (7) iegūst šādu formu:
(14)
Šī formula ir derīga jebkura veida kustībām. Eliptiskai orbītai a > 0, paraboliskajai orbītai a = , un hiperboliskam a ˂ 0.
Keplera kustības raksturīgie ātrumi. Katrai distancei r no centrālā ķermeņa ir divi raksturīgi ātrumi: viens pie r = a – apļveida ātrums
(15)
kam ir, rotējošais ķermenis pārvietojas apļveida orbītā; otrs ir paraboliskais ātrums
kurā kustīgs ķermenis atstāj centrālo ķermeni parabolā a = . Acīmredzot, vienmēr.
Kad ķermenis griežas pa eliptisku orbītu, vidējais orbītas ātrums sakrīt ar apļveida ātrumu
(16)
Kur a - orbītas puslielākā ass un - siderālais revolūcijas periods. No vienādībām (14) un (16) mēs atklājam, ka jebkurā eliptiskās orbītas punktā no attāluma r no centrālā ķermeņa orbitējošajam ķermenim ir ātrums
(17)
Ātrums percentrā tiek noteikts plkst r = q = a (1 - e), un ātrums apocentrā ir pie r = J = a (1 + e).
Ierobežotā divu ķermeņa problēmu gadījumā, un to nosaka tikai centrālā ķermeņa masa. Neņemot vērā planētu savstarpējo pievilcību pirmajā tuvinājumā, mēs varam apsvērt katras no tām kustību ap Sauli ierobežotas divu ķermeņu problēmas apstākļos. Tad jebkurai planētai ir vidējais ātrums
Divas ķermeņa problēmas
Kustības vienādojums
= - (M + m)
Integrāls
Keplera formulējums:
Planēta pārvietojas pa elipsi, kuras vienā no perēkļiem atrodas Saule.
Ņūtons to vispārina: pirmkārt, var aplūkot sistēmas zvaigzni - zvaigzni (dubultzvaigzni), planētu - satelītu; otrkārt, mazāks ķermenis var pārvietoties pa parabolu vai hiperbolu (33. att.).
Mūsdienu formulējums:
Gravitācijas sistēmā ķermenis B pārvietojas pa elipsi, kuras vienā no perēkļiem atrodas ķermenis A. Elipses ekscentriskumu nosaka sistēmas kopējās enerģijas skaitliskā vērtība. Gravitācijas ziņā nesaistītā sistēmā ķermenis B pārvietojas pa parabolu ( E= 0) vai ar hiperbolu ( E> 0), kuru perēkļi ir ķermenis A.
Elipse
Elipse (33. att.) ir izstiepts aplis ar īpašību, ka ir divi punkti (elipses perēkļi) F 1 Un F 2, kuram ir izpildīts nosacījums: fokusu attālumu summa no jebkura elipses punkta ir nemainīga ( F 1C + F 2C = F 1E + F 2E= const), t.i., nav atkarīgs no elipsē izvēlētā punkta).
Līnijas segments AB sauc par galveno asi, attiecīgi par segmentu A.O. = O.B.- daļēji galvenā ass (pieņemts apzīmējums a), segmenti CD Un O.C.- mazā ass un pusass b. Elipses izmēru nosaka puslielākā ass, formu nosaka ekscentriskums e = √(1 - b 2 / a 2). Plkst e= 0 elipse deģenerējas aplī, kad e= 1 — parabolā, ar e> 1 - hiperbolā, kas ir labāk attēlota kā funkcijas grafiks y = 1 / x, pagriezts par 45°. Elipsei ir liela pusass a> 0, tuvu parabolai a= ∞, hiperbolai a < 0, что, конечно, только математиче-ская абстракция.
Planētas rādiusa vektors apraksta vienādus laukumus vienādos laika periodos (34. att.).
Šis apgalvojums ir līdzīgs faktam, ka kustības ātrums samazinās līdz ar attālumu no Saules, vai, pareizāk sakot, tas ir leņķiskā impulsa saglabāšanas likums.
Ja saskaita dienu skaitu no pavasara ekvinokcijas (21. marts) līdz rudens ekvinokcijas dienai (23. septembris) un no 23. septembra līdz nākamā gada 21. martam, sanāk, ka pirmais periods ir 7 dienas. garāks par otro. Citiem vārdiem sakot, Zeme ziemā pārvietojas ātrāk nekā vasarā, tāpēc ziemā tā atrodas tuvāk Saulei. Zeme 6. janvārī šķērso Saulei tuvāko orbītas punktu — perihēliju.
Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums
Impulss ( K = mvr) ir fizikāls lielums, kas ērts, lai aprakstītu punkta kustību pa apli vai elipsi, parabolu, hiperbolu, kā arī lai aprakstītu stingra ķermeņa rotāciju. Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums(tāpat kā impulsa un enerģijas nezūdamības likumi) ir viens no trim dabas pamatlikumiem. Saskaņā ar Noetera teorēmu šis likums ir Visuma izotropijas (visu virzienu vienlīdzības) sekas.
Planētas orbītas puslielākās ass kuba attiecība pret planētas ap Sauli apgriezienu perioda kubu ir vienāda ar Saules un planētas masu summu (Ņūtona formulējumā):
a 3 / T 2 = (G/ 4π 2) . ( M + m),Materiāls no vietnes
Kur M Un m— sistēmas ķermeņu masas; a Un T— mazākā ķermeņa (planētas, satelīta) puslielākā ass un apgriezienu periods; G— gravitācijas konstante.
Ir nepieciešams pievērst uzmanību pastāvīgajam faktoram labajā pusē. Formulā tas dots SI vienībās, bet astronomijā tiek izmantota astronomiskā garuma vienība (metra vietā), gads (otrā vietā) un Saules masa (kilograma vietā). Tad, kā tas ir viegli redzams, ja mēs neņemam vērā planētas masu attiecībā pret Saules masu, nemainīgais koeficients šajā formulā ir vienāds ar vienu.
Keplera trešais likums sniedz vienīgo iespēju tieši noteikt debess ķermeņa masu (piemēram,
"Viņš dzīvoja laikmetā, kad vēl nebija pārliecības par to, ka pastāv kāds vispārējs modelis visām dabas parādībām...
Cik dziļa bija viņa ticība šādam modelim, ja, strādājot vienatnē, neviena neatbalstot un nesaprotot, viņš daudzus gadu desmitus smēlās no tā spēku sarežģītai un rūpīgai planētu kustības empīriskai izpētei un šīs kustības matemātikas likumiem!
Šodien, kad šis zinātniskais akts jau ir paveikts, neviens nevar pilnībā novērtēt, cik daudz atjautības, cik smaga darba un pacietības bija nepieciešams, lai atklātu šos likumus un tos tik precīzi izteiktu” (Alberts Einšteins par Kepleru).
Johanness Keplers bija pirmais, kurš atklāja Saules sistēmas planētu kustības likumu. Bet viņš to izdarīja, pamatojoties uz Tiho Brahe astronomisko novērojumu analīzi. Tāpēc vispirms parunāsim par viņu.
Tiho Brahe (1546-1601)
Tiho Brahe - Dāņu astronoms, astrologs un renesanses alķīmiķis. Keplers pirmais Eiropā sāka veikt sistemātiskus un augstas precizitātes astronomiskus novērojumus, uz kuru pamata Keplers atvasināja planētu kustības likumus.
Jau bērnībā viņš sāka interesēties par astronomiju, veica neatkarīgus novērojumus un radīja dažus astronomijas instrumentus. Kādu dienu (1572. gada 11. novembrī), atgriežoties mājās no ķīmiskās laboratorijas, viņš Kasiopejas zvaigznājā pamanīja neparasti spožu zvaigzni, kas tur līdz šim nebija bijusi. Viņš uzreiz saprata, ka šī nav planēta, un steidzās izmērīt tās koordinātas. Zvaigzne debesīs spīdēja vēl 17 mēnešus; Sākumā tas bija redzams pat dienas laikā, bet pamazām tā spīdums mazinājās. Šis bija pirmais supernovas sprādziens mūsu galaktikā pēdējo 500 gadu laikā. Šis notikums saviļņoja visu Eiropu, bija daudz šīs "debesu zīmes" interpretāciju - tika prognozētas katastrofas, kari, epidēmijas un pat pasaules gals. Parādījās arī zinātniski traktāti, kuros bija kļūdaini apgalvojumi, ka šī ir komēta vai atmosfēras parādība. 1573. gadā tika izdota viņa pirmā grāmata “Par jauno zvaigzni”. Tajā Brahe ziņoja, ka šim objektam nav konstatēta paralakse (objekta redzamā stāvokļa izmaiņas attiecībā pret attālu fonu atkarībā no novērotāja stāvokļa), un tas pārliecinoši pierāda, ka jaunais gaismeklis ir zvaigzne, un tas. neatrodas netālu no Zemes, bet vismaz planētas attālumā. Līdz ar šīs grāmatas parādīšanos Tiho Brahe tika atzīts par pirmo Dānijas astronomu. 1576. gadā ar Dānijas un Norvēģijas karaļa Frederika II dekrētu Tiho Brahe mūža lietošanai tika piešķirta Venas sala. Hven), kas atrodas 20 km no Kopenhāgenas, un tika atvēlētas ievērojamas summas observatorijas celtniecībai un tās uzturēšanai. Tā bija pirmā ēka Eiropā, kas īpaši celta astronomiskajiem novērojumiem. Tiho Brahe savu observatoriju nosauca par "Uraniborgu" par godu astronomijas mūzai Urānijai (nosaukums dažkārt tiek tulkots kā "pils debesīs"). Ēkas projektu izstrādājis pats Tiho Brahe. 1584. gadā blakus Uraniborgai tika uzcelta vēl viena observatorijas pils: Stjerneborg (tulkojumā no dāņu valodas “Zvaigžņu pils”). Uraniborga drīz kļuva par pasaules labāko astronomisko centru, kurā tika apvienoti novērojumi, mācot studentus un publicējot zinātniskos darbus. Bet vēlāk, saistībā ar karaļa maiņu. Tycho Brahe zaudēja finansiālo atbalstu, un pēc tam uz salas tika noteikts aizliegums nodarboties ar astronomiju un alķīmiju. Astronoms atstāja Dāniju un apstājās Prāgā.
Drīz vien Uraniborga un visas ar to saistītās ēkas tika pilnībā iznīcinātas (mūsu laikā tās ir daļēji atjaunotas).
Šajā saspringtajā laikā Brahe nonāca pie secinājuma, ka viņam vajadzīgs jauns, talantīgs matemātiķa palīgs, lai apstrādātu 20 gadu laikā uzkrātos datus. Uzzinājis par Johannesa Keplera vajāšanu, kura neparastās matemātiskās spējas viņš jau bija novērtējis no viņu sarakstes, Tiho uzaicināja viņu pie sevis. Zinātnieku priekšā bija uzdevums: no novērojumiem izsecināt jaunu pasaules sistēmu, kurai būtu jāaizstāj gan Ptolemaja, gan Kopernika sistēma. Viņš Kepleram uzticēja galveno planētu: Marsu, kura kustība ļoti neiederējās ne tikai Ptolemaja shēmā, bet arī paša Brahes modeļos (pēc viņa aprēķiniem Marsa un Saules orbītas krustojās).
1601. gadā Tiho Brahe un Keplers sāka darbu pie jaunām, pilnveidotām astronomiskām tabulām, kuras par godu imperatoram nosauca par “Rūdolfu”; tās tika pabeigtas 1627. gadā un kalpoja astronomiem un jūrniekiem līdz 19. gadsimta sākumam. Bet Tycho Brahe tikai paguva dot tabulām nosaukumu. Oktobrī viņš negaidīti saslima un nomira no nezināmas slimības.
Rūpīgi izpētījis Tiho Brahe datus, Keplers atklāja planētu kustības likumus.
Keplera planētu kustības likumi
Sākotnēji Keplers plānoja kļūt par protestantu priesteri, taču, pateicoties savām neparastajām matemātiskajām spējām, viņš 1594. gadā tika uzaicināts lasīt lekcijas par matemātiku Grācas Universitātē (tagadējā Austrija). Keplers Grācā pavadīja 6 gadus. Šeit 1596. gadā tika publicēta viņa pirmā grāmata “Pasaules noslēpums”. Tajā Keplers mēģināja atrast slepeno Visuma harmoniju, kam viņš salīdzināja dažādas “platoniskas cietvielas” (regulāros daudzskaldņus) ar piecu tolaik zināmo planētu orbītām (viņš īpaši izcēla Zemes sfēru). Viņš uzrādīja Saturna orbītu kā apli (vēl ne elipsi) uz bumbiņas virsmas, kas apvilkta ap kubu. Savukārt kubā bija iegravēta bumbiņa, kurai vajadzēja attēlot Jupitera orbītu. Šajā lodītē tika ierakstīts tetraedrs, kas apvilkts ap lodi, kas attēlo Marsa orbītu utt. Šis darbs pēc Keplera turpmākajiem atklājumiem zaudēja savu sākotnējo nozīmi (ja tikai tāpēc, ka planētu orbītas izrādījās neapaļas) ; Neskatoties uz to, Keplers līdz mūža beigām ticēja Visuma slēptās matemātiskās harmonijas pastāvēšanai un 1621. gadā pārpublicēja “Pasaules noslēpumu”, veicot tajā daudzas izmaiņas un papildinājumus.
Būdams izcils novērotājs, Tiho Brahe daudzu gadu garumā apkopoja apjomīgu darbu par planētu un simtiem zvaigžņu novērošanu, un viņa mērījumu precizitāte bija ievērojami augstāka nekā visiem viņa priekšgājējiem. Lai palielinātu precizitāti, Brahe izmantoja gan tehniskos uzlabojumus, gan īpašu paņēmienu novērojumu kļūdu neitralizēšanai. Īpaši vērtīgs bija mērījumu sistemātiskais raksturs.
Vairāku gadu laikā Keplers rūpīgi pētīja Brahes datus un rūpīgas analīzes rezultātā nonāca pie secinājuma, ka Marsa trajektorija nav aplis, bet elipse ar Sauli vienā no tās perēkļiem — pozīcija mūsdienās pazīstama kā Keplera pirmais likums.
Keplera pirmais likums (elipses likums)
Katra Saules sistēmas planēta griežas pa elipsi, un vienā no fokusiem atrodas Saule.
Elipses formu un tās līdzības pakāpi ar apli raksturo attiecība , kur ir attālums no elipses centra līdz tās fokusam (puse no starpfokusa attāluma), un tā ir puslielākā ass. Daudzumu sauc par elipses ekscentriskumu. Kad , un tāpēc elipse pārvēršas par apli.
Turpmāka analīze noved pie otrā likuma. Rādiusa vektors, kas savieno planētu un Sauli, apraksta vienādus laukumus vienādos laikos. Tas nozīmēja, ka jo tālāk planēta atrodas no Saules, jo lēnāk tā kustas.
Keplera otrais likums (laukumu likums)
Katra planēta pārvietojas plaknē, kas iet caur Saules centru, un vienādos laika periodos rādiusa vektors, kas savieno Sauli un planētu, apraksta vienādus laukumus.
Ar šo likumu ir saistīti divi jēdzieni: perihēlijs- Saulei tuvākais orbītas punkts un afēlijs- vistālākais orbītas punkts. Tādējādi no Keplera otrā likuma izriet, ka planēta ap Sauli pārvietojas nevienmērīgi, un tai ir lielāks lineārais ātrums perihēlijā nekā afēlijā.
Katru gadu janvāra sākumā Zeme pārvietojas ātrāk, ejot cauri perihēlijai, tāpēc arī šķietamā Saules kustība gar ekliptiku uz austrumiem notiek ātrāk nekā vidēji gadā. Jūlija sākumā Zeme, ejot garām afēlijai, kustas lēnāk, un tāpēc Saules kustība gar ekliptiku palēninās. Apgabalu likums norāda, ka spēks, kas regulē planētu orbitālo kustību, ir vērsts uz Sauli.
Keplera trešais likums (harmoniskais likums)
Planētu ap Sauli apgriezienu periodu kvadrāti ir saistīti kā planētu orbītu puslielāko asu kubi. Tas attiecas ne tikai uz planētām, bet arī uz to pavadoņiem.
Kur un ir divu planētu ap Sauli apgriezienu periodi, un un ir to orbītu puslielāko asu garumi.
Vēlāk Ņūtons konstatēja, ka Keplera trešais likums nav pilnīgi precīzs - tas ietver arī planētas masu: 
, kur ir Saules masa un un ir planētu masas.
Tā kā tiek konstatēts, ka kustība un masa ir saistītas, šī Keplera harmoniskā likuma un Ņūtona gravitācijas likuma kombinācija tiek izmantota, lai noteiktu planētu un satelītu masu, ja ir zināmas to orbītas un orbītas periodi.
Keplera atklājumu nozīme astronomijā
Atklāja Keplers trīs planētu kustības likumi pilnībā un precīzi izskaidroja šo kustību šķietamo nevienmērību. Daudzu izdomātu epiciklu vietā Keplera modelis ietver tikai vienu līkni - elipsi. Otrais likums noteica, kā mainās planētas ātrums, kad tā attālinās vai tuvojas Saulei, bet trešais ļauj aprēķināt šo ātrumu un apgriezienu ap Sauli periodu.
Lai gan vēsturiski Keplera pasaules sistēma ir balstīta uz Kopernika modeli, patiesībā tām ir ļoti maz kopīga (tikai Zemes ikdienas rotācija). Sfēru, kas nes planētas, apļveida kustības pazuda, un parādījās planētas orbītas jēdziens. Kopernika sistēmā Zeme joprojām ieņēma nedaudz īpašu stāvokli, jo tā bija vienīgā bez epicikliem. Pēc Keplera domām, Zeme ir parasta planēta, kuras kustība ir pakļauta trim vispārīgiem likumiem. Visas debess ķermeņu orbītas ir elipses; orbītu kopējais fokuss ir Saule.
Keplers arī atvasināja "Keplera vienādojumu", ko izmanto astronomijā, lai noteiktu debess ķermeņu atrašanās vietas.
Keplera atklātie likumi vēlāk kalpoja Ņūtonam pamats gravitācijas teorijas radīšanai. Ņūtons matemātiski pierādīja, ka visi Keplera likumi ir gravitācijas likuma sekas.
Bet Keplers neticēja Visuma bezgalībai un kā argumentu ierosināja fotometriskais paradokss(šis nosaukums radās vēlāk): ja zvaigžņu skaits ir bezgalīgs, tad jebkurā virzienā skatiens sastaptos ar zvaigzni, un debesīs nebūtu tumšu laukumu. Keplers, tāpat kā pitagorieši, uzskatīja pasauli par noteiktas skaitliskas harmonijas, gan ģeometriskas, gan muzikālas, realizāciju; šīs harmonijas struktūras atklāšana sniegtu atbildes uz visdziļākajiem jautājumiem.
citi Keplera sasniegumi
Matemātikā viņš atrada veidu, kā noteikt dažādu apgriezienu ķermeņu tilpumus, ierosināja pirmos integrālrēķina elementus, detalizēti analizēja sniegpārslu simetriju, Keplera darbs simetrijas jomā vēlāk tika pielietots kristalogrāfijā un kodēšanas teorijā. Viņš sastādīja vienu no pirmajām logaritmu tabulām un pirmo reizi ieviesa vissvarīgāko jēdzienu bezgala tāls punktsiepazīstināja ar koncepciju konusveida sekcijas fokuss un pārskatīts konisku griezumu projektīvās transformācijas, tai skaitā mainot to veidu.
Fizikāradīja terminu inerce kā ķermeņu iedzimtā īpašība pretoties pielietotam ārējam spēkam, tuvojās gravitācijas likuma atklāšanai, lai gan viņš nemēģināja to izteikt matemātiski, pirmais, gandrīz simts gadus agrāk nekā Ņūtons, izvirzīja hipotēzi, ka plūdmaiņu cēlonis ir Mēness ietekme uz okeānu augšējiem slāņiem.
Optikā: optika kā zinātne sākas ar viņa darbiem. Viņš apraksta gaismas laušanu, refrakciju un optiskā attēla jēdzienu, vispārīgo lēcu un to sistēmu teoriju. Keplers izdomāja objektīva lomu un pareizi aprakstīja tuvredzības un tālredzības cēloņus.
UZ astroloģija Kepleram bija divdomīga attieksme. Par šo jautājumu ir citēti divi viņa paziņojumi. Pirmais: " Protams, šī astroloģija ir stulba meita, bet, Dievs, kur gan viņas māte, ļoti gudrā astronomija, dotos, ja viņai nebūtu stulbas meitas! Pasaule ir vēl daudz stulbāka un tik stulba, ka šīs vecās saprātīgās mātes labā stulbajai meitai ir jāpļāpā un jāmelo. Un matemātiķu alga ir tik niecīga, ka māte droši vien nomirtu badā, ja meita neko nepelnītu" Un otrais: " Cilvēki maldās, domājot, ka zemes lietas ir atkarīgas no debesu ķermeņiem" Bet, neskatoties uz to, Keplers sastādīja horoskopus sev un saviem mīļajiem.
16. gadsimta sākumā poļu astronoms N. Koperniks (1473–1543) pamatoja heliocentrisko sistēmu, saskaņā ar kuru debess ķermeņu kustības tiek skaidrotas ar Zemes (kā arī citu planētu) kustību ap Sauli. un Zemes ikdienas rotācija. Kopernika novērošanas teorija tika uztverta kā izklaidējoša fantāzija. 16. gadsimtā šo apgalvojumu baznīca uzskatīja par ķecerību. Zināms, ka G. Bruno, kurš atklāti atbalstīja Kopernika heliocentrisko sistēmu, inkvizīcija nosodīja un sadedzināja uz sārta.
Universālās gravitācijas likumu atklāja Ņūtons, pamatojoties uz Keplera trim likumiem.Keplera pirmais likums. Visas planētas pārvietojas elipsēs, vienā no fokusiem atrodoties Saulei (7.6. att.).
Rīsi. 7.6
Keplera otrais likums. Planētas rādiusa vektors apraksta vienādus laukumus vienādos laikos (7.7. att.).
Gandrīz visas planētas (izņemot Plutonu) pārvietojas pa orbītām, kas ir tuvu apļveida formai. Apļveida orbītām Keplera pirmais un otrais likums tiek izpildīts automātiski, un trešais likums to nosaka T 2 ~ R 3 (T– aprites periods; R– orbītas rādiuss).
Ņūtons atrisināja apgriezto mehānikas problēmu un no planētu kustības likumiem ieguva gravitācijas spēka izteiksmi:
| (7.5.2) |
Kā mēs jau zinām, gravitācijas spēki ir konservatīvi spēki. Kad ķermenis pārvietojas konservatīvu spēku gravitācijas laukā pa slēgtu trajektoriju, darbs ir nulle.
Gravitācijas spēku konservatīvisma īpašība ļāva mums ieviest potenciālās enerģijas jēdzienu.
Potenciālā enerģijaķermeņa masa m, kas atrodas attālumā r no liela masas ķermeņa M, Tur ir
Tādējādi saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu ķermeņa kopējā enerģija gravitācijas laukā paliek nemainīga.
Kopējā enerģija var būt pozitīva vai negatīva vai vienāda ar nulli. Kopējās enerģijas zīme nosaka debess ķermeņa kustības raksturu.
Plkst E < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r 0 < r maks. Šajā gadījumā debess ķermenis pārvietojas līdzi eliptiska orbīta(Saules sistēmas planētas, komētas) (7.8. att.)
Rīsi. 7.8
Debess ķermeņa apgriezienu periods eliptiskā orbītā ir vienāds ar apgriezienu periodu apļveida orbītā ar rādiusu R, Kur R– orbītas puslielākā ass.
Plkst E= 0 ķermenis pārvietojas pa parabolisko trajektoriju. Ķermeņa ātrums bezgalībā ir nulle.
Plkst E< 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.
Pirmais kosmiskais ātrums ir ķermeņa kustības ātrums apļveida orbītā netālu no Zemes virsmas. Lai to izdarītu, kā izriet no Ņūtona otrā likuma, centrbēdzes spēks ir jāsabalansē ar gravitācijas spēku:
No šejienes
Otrais bēgšanas ātrums sauc par ķermeņa kustības ātrumu pa parabolisko trajektoriju. Tas ir vienāds ar minimālo ātrumu, kas jāpiešķir ķermenim uz Zemes virsmas, lai tas, pārvarot gravitāciju, kļūtu par mākslīgo Saules pavadoni (mākslīgo planētu). Lai to izdarītu, ir nepieciešams, lai kinētiskā enerģija nebūtu mazāka par darbu, kas veikts, lai pārvarētu Zemes gravitāciju:
No šejienes
Trešais bēgšanas ātrums– kustības ātrums, ar kādu ķermenis var atstāt Saules sistēmu, pārvarot Saules gravitāciju:
υ 3 = 16,7·10 3 m/s.
7.8. attēlā parādītas ķermeņu trajektorijas ar dažādu kosmisko ātrumu.
