Kuru elementi, palielinoties skaitam, nesamazinās vai, gluži pretēji, nepalielinās. Šādas sekvences bieži sastopamas pētījumos, un tām ir vairākas atšķirīgas iezīmes un papildu īpašības. Viena skaitļa secību nevar uzskatīt par augošu vai dilstošu.
Enciklopēdisks YouTube
-
1 / 5
Lai ir komplekts X (\displaystyle X), kurā tiek ieviesta secības attiecība.
Komplekta elementu secība X (\displaystyle X) sauca nesamazinās , ja katrs šīs secības elements nav lielāks par nākamo.
( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- nesamazinās ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\displaystyle \Leftright arrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\leqslant x_(n+1))Secība ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) komplekta elementi X (\displaystyle X) sauca nepalielinošs , ja katrs nākamais šīs secības elements nepārsniedz iepriekšējo.
( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- nepalielinošs ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightbarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\geqslant x_(n+1))Secība ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) komplekta elementi X (\displaystyle X) sauca pieaug , ja katrs nākamais šīs secības elements ir lielāks par iepriekšējo.
( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- pieaug ⇔ ∀ n ∈ N: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Secība ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) komplekta elementi X (\displaystyle X) sauca samazinās , ja katrs šīs secības elements ir lielāks par nākamo.
( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- samazinās ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 (\displaystyle \Leftright arrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)>x_(n+1))vienmuļš, ja tas nesamazinās vai nepalielinās.
Secība tiek saukta stingri vienmuļš, ja tas palielinās vai samazinās.
Acīmredzot, stingri monotoniska secība ir monotona.
Dažreiz tiek izmantots terminoloģijas variants, kurā termins "secība, kas palielinās" tiek uzskatīts par sinonīmu terminam "sekvence, kas nesamazinās", un termins "secība, kas samazinās" tiek uzskatīts par sinonīmu terminam "sekvence, kas nepalielinās". ". Šādā gadījumā augošās un dilstošās secības no iepriekš minētās definīcijas tiek sauktas attiecīgi par “stingri pieaugošu” un “stingri samazinošu”.
Monotonijas intervāli
Var izrādīties, ka iepriekš minētie nosacījumi nav izpildīti visiem skaitļiem n ∈ N (\displaystyle n\in \mathbb (N) ), bet tikai skaitļiem no noteikta diapazona
I = ( n ∈ N ∣ N − ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n(šeit ir atļauts mainīt labo apmali N+ (\displaystyle N_(+)) līdz bezgalībai). Šajā gadījumā tiek izsaukta secība monotoni uz intervālu Es (\displaystyle I) un pats diapazons Es (\displaystyle I) sauca monotonijas intervāls sekvences.
Definīcija 1. Sekvenci sauc par nesamazinošu [nepieaugošu], ja katrs secības elements, sākot no otrā, nav mazāks par [ne vairāk kā] tā iepriekšējais elements, tas ir, ja nevienādība ir patiesa visiem cipariem
Definīcija 2. Secību sauc par monotonu, ja tā ir vai nu nesamazinās, vai nepalielinās.
Ja nesamazināmas secības elementi visiem skaitļiem apmierina stingru nevienādību, tad šo secību sauc par pieaugošu.
Tāpat, ja nepalielinošas secības elementi visiem skaitļiem apmierina stingru nevienādību, tad šo secību sauc par dilstošu.
Ņemiet vērā, ka katra monotoniskā secība acīmredzami ir ierobežota vienā pusē (no augšas vai no apakšas). Patiešām, katra nepalielinošā secība ir ierobežota no apakšas (tās pirmā elementa vērtību var uzskatīt par apakšējo robežu), un katra neaugošā secība ir ierobežota no augšas (tās pirmā elementa vērtību var uzskatīt arī par augšējo saistīts).
No tā izriet, ka nepalielinoša secība tiks ierobežota no abām pusēm vai vienkārši ierobežota tad un tikai tad, ja tā ir ierobežota augšpusē, un nepalielinoša secība tiks ierobežota tad un tikai tad, ja tā ir ierobežota zemāk.
Apskatīsim monotonu secību piemērus.
1. Secība nesamazinās. No apakšas to ierobežo pirmā elementa vērtība, bet no augšas tas nav ierobežots.
2. Secība samazinās. Tas ir ierobežots no abām pusēm: no augšas ar tā pirmā elementa vērtību 2 un no apakšas, piemēram, ar skaitli 1.
Definīcija. Tiek izsaukta secība (x n). ierobežots, ja ir tāds skaitlis M>0, ka jebkuram n nevienlīdzība ir patiesa:
tie. visi secības dalībnieki pieder intervālam (-M; M).
Piemēram, secības 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) ir ierobežotas, un secība 1 0) ir neierobežota.
Teorēma tieši izriet no ierobežotas secības definīcijas un secības robežas definīcijas:
Teorēma. Ja x n ® a, tad secība (x n ) ir ierobežota.
Jāpiebilst, ka apgrieztais apgalvojums nav patiess, t.i. secības ierobežotība nenozīmē tās konverģenci.
Piemēram, secība
tomēr nav ierobežojumuDefinīcija. Tiek izsaukta secība (x n). robežojas augstāk, ja par kādu n ir tāds skaitlis M, ka x n £ M.
Piemērs.(x n ) = 3n – ierobežots zem (3, 6, 9, …).
Monotonas sekvences.
Definīcija. 1) Ja x n +1 > x n visiem n, tad secība pieaug.
2) Ja x n +1 ³ x n visiem n, tad secība nesamazinās.
3) Ja x n +1< x n для всех n, то последовательность убывающая.
4) Ja x n +1 £ x n visiem n, tad secība nav pieaugoša
Visas šīs secības tiek sauktas vienmuļš. Tiek sauktas pieaugošās un samazinošās secības stingri vienmuļš.
Piemērs.(x n ) = 1/n – samazinās un ierobežots
(x n ) = n – pieaugošs un neierobežots.
Piemērs. Pierādīt, ka secība (x n )= ir monotoni pieaugoša.
Risinājums. Atradīsim secības dalībnieku (x n +1 )=
Atradīsim atšķirības zīmi: (x n)-(x n +1)=
, jo nÎN, tad saucējs ir pozitīvs jebkuram n.Tādējādi x n +1 > x n . Secība palielinās, kas bija jāpierāda.
Piemērs. Uzziniet, vai secība palielinās vai samazinās
Risinājums. Atradīsim. Noskaidrosim atšķirību
Jo nÎN, tad 1 – 4n<0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.
Jāņem vērā, ka monotoniskās sekvences ir ierobežotas vismaz vienā pusē.
Teorēma. Monotoniskai ierobežotai secībai ir ierobežojums.
Pierādījums. Apsveriet monotonu, nesamazināmu secību
x 1 £ x 2 £ x 3 £ … £ x n £ x n +1 £ …
Šī secība ir ierobežota no augšas: x n £ M, kur M ir noteikts skaitlis.
Jo Jebkurai iepriekš ierobežotai skaitļu kopai ir skaidra augšējā robeža, tad jebkurai e>0 ir tāds skaitlis N, ka x N > a - e, kur a ir kāda kopas augšējā robeža.
Jo (x n) ir secība, kas nesamazinās, tad N > n a - e< x N £ x n ,
Līdz ar to a - e< x n < a + e
E< x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.
Citām monotoniskām sekvencēm pierādījums ir līdzīgs.
Teorēma ir pierādīta.
§3. Numurs e.
Apsveriet secību (x n ) = .
Ja secība (x n) ir monotona un ierobežota, tad tai ir ierobežota robeža.
Saskaņā ar Ņūtona binominālo formulu:
Vai kas ir tas pats
Parādīsim, ka secība (x n ) pieaug. Patiešām, pierakstīsim izteiksmi x n +1 un salīdzināsim ar izteiksmi x n:
Katrs vārds izteiksmē x n +1 ir lielāks par atbilstošo vērtību x n, turklāt x n +1 ir pievienots vēl viens pozitīvs vārds. Tādējādi secība (x n ) palielinās.
Tagad pierādīsim, ka jebkuram n tā vārdi nepārsniedz trīs: x n< 3.
Tātad secība monotoni pieaug un ir ierobežota no augšas, t.i. ir ierobežots ierobežojums. Šo ierobežojumu parasti apzīmē ar burtu e.
No nevienlīdzības izriet, ka e £ 3. Atmetot visus (x n) vienādībā esošos nosacījumus, sākot no ceturtā, iegūstam:
pārejot uz robežu, mēs saņemam
Tādējādi skaitlis e atrodas starp skaitļiem 2,5 un 3. Ja ņemat vairāk sērijas vārdu, varat iegūt precīzāku skaitļa e vērtības aplēsi.
Var parādīt, ka skaitlis e ir iracionāls un tā vērtība ir 2,71828...
Līdzīgi var pierādīt, ka
, paplašinot x prasības līdz jebkuram reālam skaitlim:Pieņemsim:
Skaitlis e ir naturālā logaritma bāze.
Augšā ir funkcijas y = lnx grafiks.
Naturālo un decimālo logaritmu attiecības.
Pieņemsim, ka x = 10 y, tad lnx = ln10 y, tāpēc lnx = yln10
y = , kur M = 1/ln10 » 0,43429… ir pārejas modulis.
§4. Funkcijas robežas jēdziens.
4.1. Funkcijas robeža punktā.
y f(x)0 a - D a a + D x
Lai funkcija f(x) ir definēta noteiktā punkta x = a tuvumā (t.i., punktā x = a funkcija var nebūt definēta)
Definīcija. Tiek izsaukts cipars A ierobežojums funkcija f(x) priekš x®a, ja jebkuram e>0 ir tāds skaitlis D>0, ka visiem x ir tāds, ka
ïx - aï< D
nevienādība ïf(x) - Aï ir patiesa< e.
To pašu definīciju var uzrakstīt citā formā:
Ja a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Funkcijas robežas ierakstīšana punktā:
Pamatteorēmas par robežām.
1. teorēma. , kur C = konst.
Sekojošās teorēmas ir derīgas, pieņemot, ka funkcijām f(x) un g(x) ir noteiktas robežas x®a.
2. teorēma.
Šīs teorēmas pierādījums tiks sniegts zemāk.
3. teorēma.
Sekas.
4. teorēma.
plkst5. teorēma. Ja f(x)>0 pie punkta x = a un , tad A>0.
Robežas zīmi f(x) nosaka līdzīgi< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.
6. teorēma. Ja g(x) £ f(x) £ u(x) tuvu punktam x = a un
, pēc tam un .Definīcija. Tiek izsaukta funkcija f(x). ierobežots punkta x = a tuvumā, ja ir tāds skaitlis M>0, ka ïf(x)ï
7. teorēma. Ja funkcijai f(x) ir ierobežota robeža pie x®a, tad tā ir ierobežota punkta x = a tuvumā.
Pierādījums. Ļaujiet , t.i. , Tad
Kur M = e + ïАï
Teorēma ir pierādīta.
4.2. Vienpusēji ierobežojumi.
Definīcija. Ja f(x) ® A 1 pie x ® a tikai pie x< a, то - называется ierobežojums funkcija f(x) punktā x = a pa kreisi, un ja f(x) ® A 2 x ® a tikai x > a, tad
sauca ierobežojums funkcija f(x) punktā x = a pa labi.
plkstIepriekš minētā definīcija attiecas uz gadījumu, kad funkcija f(x) nav definēta pašā punktā x = a, bet ir definēta kādā patvaļīgi mazā šī punkta apkārtnē.
Tiek izsaukti arī ierobežojumi A 1 un A 2 vienvirziena ierobežojumi funkcija f(x) punktā x = a. Ir arī teikts, ka A - galīgā robeža funkcijas f(x).
4.3.Funkcijas kā argumenta robeža tiecas uz bezgalību.
Definīcija. Tiek izsaukts cipars A ierobežojums funkcija f(x) x®¥, ja jebkuram skaitlim e>0 ir tāds skaitlis M>0, ka visiem x, ïxï>M pastāv nevienādība
