Piezīme. Dotajā piemērā visu determinantu aprēķins beidzās ar attēlojumu faktoru reizinājuma formā, no kuriem viens (13) tika samazināts dalīšanas laikā. Šī situācija ir ļoti izplatīta. Tāpēc nav jāsteidzas ar faktoru reizināšanu, lai gan visbiežāk tie neatceļas.

Problēma 4.4. Atrisiniet vienādojumu sistēmas, izmantojot Krāmera likumu:

	1 + 4x 2 + x 3 = 21			1 + x 2 - x 3 = 2	2x 1 + x 2 + x 3 = 7
				3x 2 - 3x3 = 1
1) 4x1 + 2x2 + x3 = 27					3) x1 + 4x2 - 5x3
	3x2 + 2x3 = 19			− 2x2 + 3x3 = 7
					4x1 + 10x2 - x3

Iepriekš minēto problēmu risināšana parāda, ka Krāmera formulas ir vienota un ērta metode lineāro vienādojumu sistēmu risinājumu atrašanai.

Piezīme: Krāmera formulu lietošana ir ievērojami vienkāršota, ja jāatrod tikai viens no nezināmajiem: šajā gadījumā ir jāsaskaita tikai divi noteicošie faktori.

2.4.4. Vienādojumu sistēmas ar parametriem

Iepriekš tika aplūkotas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas ar fiksētiem koeficientiem nezināmajiem un vienādojumu labās puses. Praktiskajās problēmās ļoti bieži šie koeficienti un labās puses vērtības nav precīzi zināmas. Tāpēc ir nepieciešams analizēt šādu parametru ietekmi uz sistēmu risinājumu.

Piemērs 4.5. Izpētīt risinājuma atkarību no vienādojumu sistēmas

3 x + 8 y = a5 x + 9 y = b

no parametriem a un b.

Šeit no parametriem ir atkarīgas tikai vienādojumu labās puses. Tāpēc ka

							27 − 40 = − 13 ≠ 0

Lai atrastu risinājumu, varat izmantot Kramera formulas. Mums ir:

∆1				9a − 8b,∆ 2				3b–5a

x = x

= ∆ 1

9a-8b

8b–9a

Y=x

∆ 2 =

5a-3b

− 13

Aizstājot, mēs pārliecināmies, ka iegūtais risinājums ir pareizs:

8b–9a

5a-3b

a(-27 + 40)

B(24–24)

8b–9a

5a-3b

a (− 45 + 45)

− 27)

Jo īpaši, ja a = 11, b = 14, mēs iegūstam: x =

8 × 14 - 9 × 11

1 un y = 1.

y(a, b)

x(a, b)

Tādējādi katrs parametru pāris a un b atbilst unikālam skaitļu pārim x un y, kas apmierina doto vienādojumu sistēmu. Tas nozīmē, ka vienādojumu sistēmas risinājums ir sakārtots pāris un divas divu mainīgo (parametri a un b) funkcijas. Abas funkcijas ir definētas jebkurai šo parametru vērtībām un ir lineāri atkarīgas no neatkarīgiem mainīgajiem a un b. Turklāt x monotoni pieaug

kausēšanas funkcija b un monotoni samazinoša funkcija a,					- pretēji,
pieaugoša funkcija a un monotoniski dilstoša funkcija b.
Problēma 4.5. Atrodiet risinājumus vienādojumu sistēmām
8 x + 5 y = 2 a + 1	4 x + 9 y = a + b	9x + 4 g
3 x + 2 y = a	3 x + 8 y = 3 a − b	8 x + 3 g

un izpētīt to risinājuma atkarību no parametriem a un b. Ieteikums. Uzzīmējiet iegūtos risinājumus x (a, b) un y (a, b)

kā mainīgo parametru a un b funkcijas. Paskaidrojiet, kāpēc visos uzdevumos risinājumi ir lineāri atkarīgi no parametriem a un b.

Piemērs 4.6. Izpētīt risinājuma atkarību no vienādojumu sistēmas

			(a + 3) x + 2 ay = 5
no parametriem a un b.					x + 5 y = b
Šajā piemērā nezināmo koeficienti ir atkarīgi no parametra
a , un labās puses ir no parametra b .
Atradīsim nezināmo koeficientu matricas determinantu:
		a + 3 2			5(a + 3) − 2a = 3(a + 5)

Šis determinants nav vienāds ar nulli tikai tad, ja a ≠ − 5. Tāpēc Krāmera formulas var izmantot tikai tad, ja a ≠ − 5. Šajā gadījumā:

∆1 =					25 − 2ab , ∆ 2 =		a+3			Ab + 3b - 5

x = x		25 − 2ab	y = x			3 b – 5 + ab
		3(a+5)				3(a+5)

Apskatīsim atsevišķi gadījumu a = − 5. Tad sākotnējā sistēma ir:

− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b

− 5 − c x = c , y = 2

Protams, jebkura nezināmā vērtības izvēlē pastāv patvaļa, un risinājumu var uzrakstīt arī formā:

x = − 5 2 − 5 c, y = c

Tādējādi sākotnējās sistēmas nezināmo faktoru koeficientu atkarība no parametra var izraisīt risinājuma neesamību vai bezgalīgi daudzu risinājumu klātbūtni. Atklātais fakts ir vispārinājums tam, kas iepriekš bija zināms vienam vienādojumam ax = b un divu lineāru vienādojumu sistēmām ar diviem nezināmiem.

1. piezīme. Konstantes c ievadīšana vienādojumu sistēmas risinājumā atgādina patvaļību integrācijas konstantes izvēlē.

2. piezīme. Aplūkotais piemērs parāda, ka, tāpat kā vienam vienādojumam, lineārām algebriskām sistēmām ar lielu vienādojumu un nezināmo skaitu ir iespējami tikai trīs dažādi gadījumi: viens risinājums, bez atrisinājuma vai bezgalīgi daudz risinājumu.

Problēma 4.6. Izpētiet vienādojumu sistēmas risinājumus:

4 x + 5 ay = 2 a		4 x + 5 ay = 2 a			4 x + 5 ay = 2 a
8 x + 10 g		8 x + 10 g			8 x + 10 y = b

Problēma 4.7. Izstrādājiet savu divu algebrisko vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem un diviem parametriem un izpētiet to atkarībā no parametru vērtībām.

Jautājumi paškontrolei

1) Kas ir noteicošā elementa minoritāte?

2) Kāda ir atšķirība starp algebrisko komplementu un determinanta mazo elementu?

3) Kas ir adjoint matrica?

4) Kā atrast adjoint matricu noteiktai matricai?

5) Kāda ir adjungētās matricas secība?

6) Kādā gadījumā apgrieztā matrica nepastāv?

7) Kuru matricu sauc par nevienskaitli?

8) Kādos apstākļos var izmantot Krāmera formulas?

9) Kāds ir lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājums?

10) Kādi noteicošie faktori ir iekļauti Krāmera formulās?

11) Kad noteicošie faktori ir atkarīgi no parametriem?

12) Vai adjungētās matricas un sākotnējās matricas reizinājums var būt skalārā matrica?

13) Kā faktoru pārkārtošanās ietekmē rezultātu, reizinot adjungēto un sākotnējo matricu?

14) Kādas ir Krāmera formulas?

15) Kādos apstākļos var atrast risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai, izmantojot Krāmera likumu (formulas)?

Dažkārt vienādojumos daži koeficienti nav norādīti ar konkrētām skaitliskām vērtībām, bet tiek apzīmēti ar burtiem.

Piemērs: cirvis+b=c.

Šajā vienādojumā X- nezināms, a, b, c– koeficienti, kas var iegūt dažādas skaitliskās vērtības. Tādā veidā norādītos koeficientus sauc parametrus.

Viens vienādojums ar parametriem definē daudzus vienādojumus (visām iespējamām parametru vērtībām).

Piemērs: –5 X+10=– 1;

x+4y= 0;

–102–1000y=; utt.

tie ir visi vienādojumi, kurus nosaka vienādojums ar parametriem cirvis+b=c.

Vienādojuma atrisināšana ar parametriem nozīmē:

1. Norādiet, pie kādām parametru vērtībām vienādojumam ir saknes un cik to ir dažādām parametru vērtībām.

2. Atrodiet visas sakņu izteiksmes un katrai no tām norādiet tās parametru vērtības, pie kurām šī izteiksme nosaka vienādojuma sakni.

Pievērsīsimies jau dotajam vienādojumam ar parametriem cirvis+b=c un mēs to atrisināsim.

Ja A¹0, pēc tam https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

plkst a=0 Un b=c, x– jebkurš reāls skaitlis;

plkst a=0 Un b¹ c, vienādojumam nav sakņu.

Šī vienādojuma risināšanas procesā mēs izolējām parametra vērtību a=0, kurā vienādojumā notiek kvalitatīvas izmaiņas, turpmāk šo parametra vērtību sauksim par “kontroli”. Atkarībā no tā, kāds vienādojums mums ir, parametra “kontroles” vērtības tiek atrastas atšķirīgi. Apskatīsim dažāda veida vienādojumus un norādīsim, kā atrast parametra “kontroles” vērtības.

I. Lineārie vienādojumi ar parametru un vienādojumi, kas reducējami uz lineāriem

Šādos vienādojumos parametru “kontroles” vērtības, kā likums, ir vērtības, kuru dēļ koeficienti ir nulle X.

1. piemērs. : 2A(A–2)x=a– 2

1. “Kontroles” vērtības ir vērtības, kas atbilst nosacījumam:

2A(A–2)=0

Atrisināsim šo mainīgā vienādojumu A.

2a= 0 vai A–2= 0, no kurienes a= 0, a= 2.

2. Atrisināsim sākotnējo vienādojumu parametra “kontroles” vērtībām.

Plkst a= 0 mums ir 0× x=– 2, taču tas tā nav nevienai reālai vērtībai X, tas ir, šajā gadījumā vienādojumam nav sakņu.

Plkst a= 2 mums ir 0× x= 0, tas attiecas uz jebkuru vērtību X, kas nozīmē, ka vienādojuma sakne ir jebkurš reāls skaitlis X.

3. Atrisināsim sākotnējo vienādojumu gadījumā, kad A¹ 0 un A¹ 2 tad 2 A(A–2)¹ 0 un abas vienādojuma puses var dalīt ar 2 A(A-2), mēs iegūstam:

Jo A¹ 2, tad daļu var samazināt par ( A–2), tad mums ir .

Atbilde: plkst a= 0, nav sakņu;

plkst a= 2, sakne – jebkurš reāls skaitlis;

plkst A¹ 0, A¹ 2, .

Var iedomāties algoritmu šāda veida vienādojuma risināšanai.

1. Nosakiet parametra “kontroles” vērtības.

2. Atrisiniet vienādojumu priekš X, pie kontroles parametru vērtībām.

3. Atrisiniet vienādojumu priekš X, ar vērtībām, kas atšķiras no “kontroles” vērtībām.

4. Uzrakstiet atbildi formā:

Atbilde: 1) parametru vērtībām..., vienādojumam ir saknes...;

2) parametru vērtībām..., vienādojumam ir saknes...;

3) parametra... vērtībām vienādojumam nav sakņu.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ar parametru

(A 2–2A+1)x=a 2+2A- 3

1. Atrodiet parametra kontroles vērtības

A 2–2A+1=0 Û ( A–1)2=0 Û A=1

2. Atrisiniet vienādojumu priekš a= 1

0× x=(1+2×1–3) Û 0× x= 0 Þ X- jebkurš reāls skaitlis.

3. Atrisiniet vienādojumu priekš A¹ 1

A 2–2A+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

jo A¹ 1, frakciju var samazināt

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ar parametru

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Atbilde: 1) plkst a= 2, bez saknēm;

2) kad A¹ 0,A¹ 2, ;

3) kad a= 0 vienādojumam nav jēgas.

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ar parametru

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

jo X¹ 0 un A¹ – 2, vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam

(A+3)x= 2A–1

atradīsim parametra kontroles vērtības

A+3= 0 Þ a=– 3.

2. Atrisiniet vienādojumu priekš a=– 3.

0× x=– 7

jebkurā X nav vienlīdzības

3. Atrisiniet vienādojumu priekš A¹ – 3, a+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

tāpēc, lai vienādojumam būtu jēga https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, nav sakņu;

2) kad A¹ – 2, A¹ – 3, , .

II. Kvadrātvienādojumi ar parametru un vienādojumi, kas reducējami uz kvadrātvienādojumiem

Šādos vienādojumos par “kontroli” parasti tiek ņemtas parametra vērtības, kas padara koeficientu pie nulles nulles. X 2, jo šajā gadījumā vienādojums kļūst lineārs, kā arī parametra vērtība, kas liek vienādojuma diskriminantam pazust, jo kvadrātvienādojuma reālo sakņu skaits ir atkarīgs no diskriminanta vērtības.

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ar parametru

(A–1)X 2+2(2A+1)X+(4A+3)= 0

1. Atradīsim parametru vērtības, kuru dēļ koeficients ir nulle X

A- 1=0 Û a= 1

2. Atrisiniet vienādojumu priekš a= 1

0× X 2+2 (2×1+1) X+4×1+3=0 Û 6 X+7=0 Û .

3. Atradīsim parametra vērtības, kuru dēļ vienādojuma diskriminants pazūd

D=(2(2A+1))2–4(A–1)(4A+3)=(4A+1)2–(4A–4)(4A+3)=4(5A+4)

4(5A+4)=0 Û .

4. Atrisināsim vienādojumu , šajā gadījumā vienādojumam būs viena reāla sakne

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9X 2+6X+1=0 Û (3 X+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. Šajā gadījumā D<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. Atrisiniet vienādojumu priekš A Nr. 1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Atbilde: 1) ar https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) kad a= 1, ;

3) priekš , nav īstu sakņu;

4) plkst A Nr. 1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. Kopš A ir daļdaļas saucējā, tad vienādojumam ir jēga tikai tad, kad A#0. Saucējs satur arī izteiksmes a2x– 2A un 2- Ak, kas arī nedrīkst būt nulle

a2x– 2A¹0 Û A(Ak–2)¹0 Û A¹0, Ak-2¹0 Û A¹0, ;

2–Ak¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. Atrisiniet vienādojumu priekš A¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–A)X 2+2X+1+A=0 ...................(*)

3. Atradīsim parametru vērtības, kuru dēļ koeficients ir nulle X 2

1–A=0 Û A=1

4. Atrisiniet vienādojumu (*) priekš A=1

0× X 2+2X+2=0 Û 2 x=– 2 Û x=–1

Tūlīt pārbaudīsim, vai tas atbilst X no https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, kas nozīmē, ka, kad A=1, x=– 1.

Atrisināsim vienādojumu sistēmu ar parametru (A. Larin, 98. variants)

Atrodiet visas parametra vērtības, katrai no kurām sistēma

ir tieši viens risinājums.

Apskatīsim sistēmu tuvāk. Sistēmas pirmajā vienādojumā kreisā puse ir , bet labā puse nav atkarīga no parametra. Tas ir, mēs varam uzskatīt šo vienādojumu par funkcijas vienādojumu

un mēs varam attēlot šo funkciju.

Otrais sistēmas vienādojums

ir atkarīgs no parametra, un, izvēloties pilnu kvadrātu vienādojuma kreisajā pusē, mēs iegūstam apļa vienādojumu.

Tāpēc ir jēga uzzīmēt katra vienādojuma grafikus un redzēt, kādā parametra vērtībā šiem grafikiem ir viens krustošanās punkts.

Sāksim ar pirmo vienādojumu. Vispirms atvērsim moduļus. Lai to izdarītu, mēs pielīdzinām katru submodulāro izteiksmi nullei, lai atrastu punktus, kuros zīme mainās.

Pirmā submodulārā izteiksme maina zīmi pie , otrā - pie .

Atzīmēsim šos punktus uz koordinātu līnijas un katrā intervālā atradīsim katras submodulārās izteiksmes zīmes:

Ņemiet vērā, ka un vienādojumam nav jēgas, tāpēc mēs šos punktus pārduram.

Tagad paplašināsim moduļus katrā intervālā. (Atcerieties: ja apakšmodulāra izteiksme ir lielāka vai vienāda ar nulli, tad moduli paplašinām ar tādu pašu zīmi, un, ja mazāka par nulli, tad ar pretēju zīmi.)

Abas submodulārās izteiksmes ir negatīvas, tāpēc abus moduļus izvēršam ar pretēju zīmi:

Tas ir, ja sākotnējai funkcijai ir forma

Šajā intervālā pirmā submodulārā izteiksme ir negatīva, bet otrā ir pozitīva, tāpēc mēs iegūstam:

- funkcija neeksistē šajā intervālā.

3. title="x>2">!}

Šajā intervālā abas submodulārās izteiksmes ir pozitīvas; mēs izvēršam abus moduļus ar vienu un to pašu zīmi. Mēs iegūstam:

Tas ir, ar title="x>2"> исходная функция имеет вид !}

Tātad, mēs saņēmām funkcijas grafiku

Tagad apskatīsim otro vienādojumu:

Atlasīsim pilnu kvadrātu vienādojuma kreisajā pusē; lai to izdarītu, pievienojiet skaitli 4 abām vienādojuma pusēm:

Konkrētai parametra vērtībai šī vienādojuma grafiks ir aplis, kura centrs atrodas punktā ar koordinātām, kura rādiuss ir 5. Dažādām vērtībām mums ir virkne apļu:

Mēs pārvietosim apli no apakšas uz augšu, līdz tas skars pirmās funkcijas diagrammas kreiso pusi. Attēlā šis aplis ir sarkans. Šī apļa centrs ir punkts, tā koordinātas ir (-2;-3). Turklāt, virzoties uz augšu, aplim ir viens krustošanās punkts ar funkcijas grafika kreiso pusi, tas ir, sistēmai ir unikāls risinājums.

Mēs turpinām pārvietot apli uz augšu, līdz tas skar pirmās funkcijas diagrammas labo pusi. Tas notiks, kad apļa centrs atrodas punktā ar koordinātām (-2;0) - attēlā šis aplis ir zils.

Virzoties tālāk uz augšu, aplis krustos gan pirmās funkcijas grafika kreiso, gan labo daļu, tas ir, aplim būs divi krustošanās punkti ar pirmās funkcijas grafiku, un sistēmai būs divi risinājumi. Šī situācija turpinās, līdz apļa centrs atrodas punktā ar koordinātām (-2; 5) - šis aplis ir zaļš. Šajā brīdī aplis pieskaras diagrammas kreisajai pusei un krustojas labajā pusē. Tas ir, sistēmai ir viens risinājums.

Tātad sistēmai ir unikāls risinājums, kad (-3;0].

Atbilde:A [ -2, ].

Uzdevums Nr.2. Pie kādām parametru vērtībām A Un b vai sistēmai ir bezgala daudz risinājumu?

Risinājums.

Koordinātu plaknē xOy punktu kopa, kas atbilst jebkuram sistēmas vienādojumam, ir taisnas līnijas. Un tad sistēmas risinājums būs šo līniju krustošanās punkti. Tāpēc sākotnējā sistēmā būs bezgalīgi daudz risinājumu tad un tikai tad, ja šīs līnijas sakritīs. Vispārīgā gadījumā divas taisnes, kuras definē vienādojumi un sakrīt ja, un (tām ir viens krustpunkts, pie un tām nav krustošanās punktu). Līdz ar to sistēmai būs bezgalīgi daudz risinājumu gadījumā, ja sistēma būs konsekventa

Atrisinot sistēmu, iegūstam, .

Atbilde:, .

Uzdevums Nr.3. Pie kādām parametru vērtībām A vismaz vienai parametra vērtībai c sistēmai ir risinājumi jebkurai parametra vērtībām b?

Risinājums.

Ja reizinām otro vienādojumu ar b un no iegūtā vienādojuma atņemiet sistēmas pirmo vienādojumu, tad mums būs

Ja reizināt ar b pirmo vienādojumu un no iegūtā vienādojuma atņemiet otro sistēmas vienādojumu, tad

Tādējādi sākotnējā sistēma ir līdzvērtīga sistēmai

Jebkurā gadījumā sistēmai vienmēr ir unikāls risinājums. Ja, tad sistēmai būs vienādojuma risinājumi

Uzskatot to par kvadrātisku attiecībā pret parametru c, mēs nonākam pie secinājuma, ka tam būs vismaz viens risinājums, ja un, t.i. Ja.

Kad mēs aplūkojam vienādojumu

Šajā gadījumā, atrisinot nevienlīdzību, kur mēs to atrodam.

Atbilde:.

Uzdevums Nr.4. Pie kādām parametru vērtībām A vai sistēmai ir četri risinājumi?

Risinājums.

Pieņemot, ka mēs pārrakstām sistēmu formā

Ņemiet vērā, ka, ja pāris ir risinājums sistēmai, tad pāris ir arī šīs sistēmas risinājums. Tāpēc, ja - sistēmas risinājums ir tāds, ka un, tad sistēmai būs astoņi risinājumi.

Tādējādi sākotnējai sistēmai būs četri risinājumi šādos divos gadījumos: , vai.

Un tad, ja; Tas. Ja vai, tad.

Atbilde:, .

Uzdevums Nr.5. A, katram no kuriem sistēmai ir unikāls risinājums.

Risinājums.

Pārveidosim sākotnējo sistēmu:

Vienādojums nosaka krustojošu līniju pāri un.

norāda šo līniju daļas, kas atrodas pa labi no līnijas, t.i. stariem D.B. Un C.E.(bez punktiem B Un AR), sk. att.

Vienādojums definē taisnu līniju m ar slīpumu a iet caur punktu. Visas vērtības ir jāatrod A, katram no kuriem taisna līnija m ir viens kopīgs punkts ar staru savienību BD Un SE.

a) Tiešs AB m ne stars nešķērsos BD, nav staru SE.

b) tieši AC tiek dots ar vienādojumu. Tāpēc, kad taisni mšķērsos staru BD, bet nešķērsos staru SE.

c) Kad taisni m apturēs staru BD, un staru kūlis SE.

d) Visbeidzot, ar taisnu līniju mšķērsos tikai staru SE, un kad tas nešķērso vienu staru BD, nav staru SE.

Atbilde:, .

Uzdevums Nr.6. Atrodiet visas parametru vērtības a, katram no kuriem vienādojumu sistēmai ir tieši divi atrisinājumi.

Risinājums.

Aizstāsim pirmo vienādojumu ar starpību, bet otro ar sākotnējo vienādojumu summu:

Kad otrais sistēmas vienādojums, un līdz ar to visai sistēmai nav risinājumu. Kad mēs saņemam:

Ir skaidrs (skat. attēlu), ja sistēmai ir četri risinājumi (punktu koordinātas). A, B, C Un D), un at - divi risinājumi (punktu koordinātes M Un N).

Atbilde:.

Secinājums

Jaunajai paaudzei uz lūpām ir visu zinātņu karalienes vārds. Dažiem to neiedod līdz augstākajam izglītības līmenim. Bet visiem ir jākārto vienotais valsts eksāmens šajā priekšmetā. Un vienotais valsts eksāmens matemātikā nav nemaz tik viegls. Tāpēc tie, kuriem atlicis gads, vai mazāk, vai vairāk, jau sāk gatavoties. Un tas apliecina, ka manis izvēlētā pētījuma tēma ir aktuāla.

Manā pētnieciskajā darbā visas figūras ir nesaraujami saistītas ar planimetriju, taču, lai saprastu šo zinātni, ir jāzina par stereometriju. Darba gaitā apguvu svarīgus jēdzienus un formulas uzdevumu risināšanai ar noteiktām figūrām: lode, konuss, cilindrs. Problēmu risināšanā man palīdzēja tādas tehnikas un metodes kā: spēja veikt darbības ar ģeometriskām formām; planimetrisko uzdevumu risināšana, lai atrastu ģeometriskos lielumus (garumus, leņķus, laukumus); vienkāršāko stereometrisko uzdevumu risināšana, lai atrastu ģeometriskos lielumus (garumus, leņķus, laukumus, tilpumus); telpisku figūru attēls; kuba, prizmas, piramīdas griezumi; trijstūra laukums, aplis, konusa virsmas laukums, cilindrs; cilindra, konusa, sfēras tilpums. Manis izvēlētās problēmas tika atrisinātas, izmantojot jēdzienus par šo vai citu figūru un formulām, kas apstiprina manu hipotēzi.

Līdzīgi dokumenti

Standartmetodes vienādojumu un nevienādību risināšanai. Algoritms vienādojuma risināšanai ar parametru. Vienādojuma joma. Nevienādību risināšana ar parametriem. Parametra ietekme uz rezultātu. Derīgas mainīgā vērtības. Grafiku krustošanās punkti.

tests, pievienots 15.12.2011


Ievads vienādojumos un to parametros. Pirmās pakāpes vienādojumu atrisināšana ar vienu nezināmo, nosakot nezināmā pieļaujamo vērtību kopu. Skaitļa moduļa jēdziens, risinot lineāros vienādojumus ar moduli un kvadrātvienādojumus ar parametru.

tests, pievienots 03.09.2011


Divu mainīgo vienādojumu sistēmas risināšanas metodes. Taisna līnija ir kā lineāra vienādojuma grafiks. Aizstāšanas un saskaitīšanas metožu izmantošana, risinot lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem. Lineāro vienādojumu sistēmas risināšana pēc Gausa metodes.

abstrakts, pievienots 10.11.2009


Vienādojuma ar parametriem jēdziena definīcija. Šo vienādojumu risināšanas princips vispārīgos gadījumos. Vienādojumu risināšana ar parametriem, kas saistīti ar eksponenciālo, logaritmisko un trigonometrisko funkciju īpašībām. Deviņi vienādojumu risināšanas piemēri.

abstrakts, pievienots 02.09.2009


Aptuvenie skaitļi un darbības ar tiem. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana. Funkciju interpolācija un ekstrapolācija. Parasto diferenciālvienādojumu skaitlisks risinājums. Vienādojuma saknes atdalīšana. Meklējiet rezultāta kļūdu.

tests, pievienots 18.10.2012


Aptuvenās sakņu vērtības. Dihotomijas metode (jeb segmenta sadalīšana uz pusēm), vienkārša iterācija un Ņūtons. Metode segmenta dalīšanai uz pusēm, lai atrisinātu vienādojumu. Ņūtona metodes konverģences izpēte. Vairāku secīgu tuvinājumu konstruēšana.

laboratorijas darbs, pievienots 15.07.2009


Pamatdefinīcijas. Risinājuma algoritms. Nevienādības ar parametriem. Pamatdefinīcijas. Risinājuma algoritms. Šis ir tikai viens no algoritmiem nevienādību risināšanai ar parametriem, izmantojot xOa koordinātu sistēmu.

kursa darbs, pievienots 11.12.2002


Vienādojumu sistēmas pamatrisinājuma atrašana, taisnes vienādojuma sastādīšana, ievešana kanoniskā formā un līknes konstruēšana. Pašvērtības un lineārās transformācijas vektori. Ķermeņa tilpuma un notikuma varbūtības aprēķināšana.

tests, pievienots 12.11.2012


Iracionālu vienādojumu risināšanas metodes. Mainīgā aizstāšanas metode. Divu vai vairāku radikāļu lineāras kombinācijas. Vienādojums ar vienu radikāli. Reizinot ar tā konjugētā izteiksmi. Metode vienādojumu risināšanai, izolējot perfektus kvadrātus zem radikālas zīmes.

tests, pievienots 15.02.2016


Vienādojuma skaitlisks risinājums ar Eilera un Runge-Kutta metodi programmā Excel. Programma Turbo Pascal valodā. Algoritma blokshēma. Runge-Kutta metode otrās kārtas diferenciālvienādojumam. "plēsoņa-laupījuma" tipa modelis, ņemot vērā savstarpējo mijiedarbību.