Proprietăți triunghi isoscel exprimă următoarele teoreme.
Teorema 1. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.
Teorema 2. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea bazei este mediana și înălțimea.
Teorema 3. Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și înălțimea.
Teorema 4. Într-un triunghi isoscel, înălțimea trasată la bază este bisectoarea și mediana.
Să demonstrăm una dintre ele, de exemplu, Teorema 2.5.
Dovada. Se consideră un triunghi isoscel ABC cu baza BC și se demonstrează că ∠ B = ∠ C. Fie AD bisectoarea triunghiului ABC (Fig. 1). Triunghiurile ABD și ACD sunt egale prin primul semn de egalitate al triunghiurilor (AB = AC prin condiție, AD este o latură comună, ∠ 1 = ∠ 2, deoarece AD este o bisectoare). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ C. Se demonstrează teorema.
Folosind teorema 1, se stabilește următoarea teoremă.
Teorema 5. Al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale (Fig. 2).
Cometariu. Propozițiile expuse în exemplele 1 și 2 exprimă proprietățile punctului mijlociu perpendicular pe segmentul de dreaptă. Din aceste propoziţii rezultă că perpendicularele medii pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct.
Exemplul 1. Demonstrați că punctul planului echidistant de capetele segmentului se află pe perpendiculară pe acest segment.
Soluţie. Fie punctul M să fie echidistant de capetele segmentului AB (Fig. 3), adică AM = BM.
Atunci Δ AMB este isoscel. Să trasăm o dreaptă p prin punctul M și mijlocul O al segmentului AB. Segmentul MO prin construcție este mediana triunghiului isoscel AMB și, prin urmare (Teorema 3), iar înălțimea, adică dreapta MO, este mediana perpendiculară pe segmentul AB.
Exemplul 2. Demonstrați că fiecare punct al perpendicularei pe segment este echidistant de capetele sale.
Soluţie. Fie p punctul de mijloc perpendicular pe segmentul AB și punctul O - punctul de mijloc al segmentului AB (vezi Fig. 3).
Să considerăm un punct arbitrar M situat pe dreapta p. Să desenăm segmentele AM și VM. Triunghiurile AOM și PTO sunt egale, deoarece au unghiuri drepte la vârful O, cateta OM este comună, iar cateta OA este egală cu cateta OB după condiție. Din egalitatea triunghiurilor AOM și PTO rezultă că AM = BM.
Exemplul 3.În triunghiul ABC (vezi fig. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; într-un triunghi DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Comparați triunghiurile ABC și DEF. Găsiți unghiuri egale corespunzător.
Soluţie. Aceste triunghiuri sunt egale în al treilea atribut. În consecință, unghiuri egale: A și E (se află opuse laturi egale BC și FD), B și F (se află vizavi de laturile egale AC și DE), C și D (se află vizavi de laturile egale AB și EF).
Exemplul 4.În figura 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.
Găsiți unghiul D.
Soluţie. Luați în considerare triunghiurile ABC și ADC. Ele sunt egale la al treilea criteriu (AB = DC, BC = AD după condiție și partea AC este comună). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ В = ∠ D, dar unghiul В este egal cu 100 °, ceea ce înseamnă că unghiul D este egal cu 100 °.
Exemplul 5.Într-un triunghi isoscel ABC cu baza AC, unghiul exterior la vârful C este de 123 °. Aflați unghiul ABC. Dați răspunsul în grade.
Soluție video.
Primii istorici ai civilizației noastre - grecii antici - menționează Egiptul ca fiind locul de naștere al geometriei. Este greu să fii de acord cu ei, știind cu ce precizie uluitoare au fost ridicate mormintele uriașe ale faraonilor. Dispunerea reciprocă a planurilor piramidelor, proporțiile lor, orientarea către punctele cardinale - pentru a obține o astfel de perfecțiune ar fi de neconceput fără cunoașterea bazelor geometriei.
Însuși cuvântul „geometrie” poate fi tradus ca „măsurarea pământului”. Mai mult, cuvântul „pământ” nu acționează ca o planetă - parte Sistem solar, ci ca un avion. Marcarea zonelor pentru întreținere Agricultură, cel mai probabil, este baza foarte originală a științei formelor geometrice, a tipurilor și proprietăților acestora.
Triunghiul este cea mai simplă figură spațială a planimetriei, conținând doar trei puncte - vârfurile (nu există niciodată mai puțin). La baza fundațiilor, poate, apare în el ceva misterios și străvechi. Ochiul atotvăzător din interiorul triunghiului este unul dintre cele mai vechi semne oculte cunoscute, iar geografia distribuției sale și intervalul de timp sunt pur și simplu uimitoare. De la vechile civilizații egiptene, sumeriene, aztece și alte civilizații până la comunități oculte mai moderne împrăștiate pe tot globul.
Ce sunt triunghiurile
Un triunghi versatil obișnuit este un închis figură geometrică, constând din trei segmente de lungimi diferite și trei unghiuri, dintre care niciunul nu este drept. Pe lângă el, există mai multe tipuri speciale.
Un triunghi cu unghi ascuțit are toate unghiurile mai mici de 90 de grade. Cu alte cuvinte, toate colțurile unui astfel de triunghi sunt ascuțite.
Triunghiul dreptunghic, peste care în tot timpul școlarii plângeau din cauza abundenței teoremelor, are un unghi cu o magnitudine de 90 de grade sau, cum se mai spune, o linie dreaptă.
Un triunghi obtuz diferă prin aceea că unul dintre colțurile sale este obtuz, adică mărimea sa este mai mare de 90 de grade.
Un triunghi echilateral are trei laturi de aceeași lungime. Pentru o astfel de figură, toate unghiurile sunt, de asemenea, egale.
Și în sfârșit, într-un triunghi isoscel cu trei laturi, două sunt egale.
Trăsături distinctive
Proprietățile unui triunghi isoscel determină, de asemenea, diferența principală, principală a acestuia - egalitatea celor două laturi. Aceste laturi egale sunt de obicei numite șolduri (sau, mai des, părțile laterale), dar a treia latură se numește „bază”.
În figura luată în considerare, a = b.
Al doilea criteriu pentru un triunghi isoscel rezultă din teorema sinusurilor. Deoarece laturile a și b sunt egale, sinusurile unghiurilor lor opuse sunt de asemenea egale:
a / sin γ = b / sin α, de unde avem: sin γ = sin α.
Egalitatea sinusurilor presupune egalitatea unghiurilor: γ = α.
Deci, al doilea semn al unui triunghi isoscel este egalitatea celor două unghiuri adiacente bazei.
Al treilea semn. Într-un triunghi se disting elemente precum înălțimea, bisectoarea și mediana.
Dacă în procesul de rezolvare a problemei se dovedește că în triunghiul considerat oricare două dintre aceste elemente coincid: înălțimea cu bisectoarea; bisectoare cu mediană; mediană cu înălțimea - putem concluziona cu siguranță că triunghiul este isoscel.
Proprietățile geometrice ale figurii
1. Proprietățile unui triunghi isoscel. Unul dintre calități distinctive a figurii este egalitatea unghiurilor adiacente bazei:
<ВАС = <ВСА.
2. Încă o proprietate a fost luată în considerare mai sus: mediana, bisectoarea și înălțimea într-un triunghi isoscel coincid dacă sunt construite de la vârf până la bază.
3. Egalitatea bisectoarelor trase din vârfurile de la bază:
Dacă AE este bisectoarea unghiului BAC, iar CD este bisectoarea unghiului BCA, atunci: AE = DC.
4. Proprietățile unui triunghi isoscel asigură și egalitatea înălțimilor, care sunt desenate din vârfurile de la bază.
Dacă construim înălțimile triunghiului ABC (unde AB = BC) de la vârfurile A și C, atunci segmentele CD și AE obținute vor fi egale.
5. Egale vor fi și medianele trase din colțurile de la bază.
Deci, dacă AE și DC sunt mediane, adică AD = DB și BE = EC, atunci AE = DC.
Înălțimea unui triunghi isoscel
Egalitatea laturilor și unghiurilor la ele introduce unele particularități în calculul lungimilor elementelor figurii în cauză.
Înălțimea într-un triunghi isoscel împarte figura în 2 triunghiuri dreptunghiulare simetrice, ale căror laturi ies în afară cu ipotenuzele. Înălțimea în acest caz este determinată conform teoremei lui Pitagora, ca un picior.
Un triunghi poate avea toate cele trei laturi egale, atunci se va numi echilateral. Înălțimea într-un triunghi echilateral se determină în același mod, doar pentru calcule este suficient să cunoaștem o singură valoare - lungimea laturii acestui triunghi.
Puteți determina înălțimea într-un alt mod, de exemplu, cunoscând baza și unghiul adiacent acesteia.
Mediana unui triunghi isoscel
Tipul de triunghi considerat, datorită caracteristicilor sale geometrice, se rezolvă destul de simplu prin setul minim de date inițiale. Deoarece mediana dintr-un triunghi isoscel este egală atât cu înălțimea, cât și cu bisectoarea sa, algoritmul pentru determinarea sa nu este diferit de ordinea în care sunt calculate aceste elemente.
De exemplu, puteți determina lungimea medianei după latura laterală cunoscută și valoarea unghiului apex.
Cum se determină perimetrul
Deoarece cele două laturi ale figurii planimetrice considerate sunt întotdeauna egale, este suficient să cunoaștem lungimea bazei și lungimea uneia dintre laturi pentru a determina perimetrul.
Luați în considerare un exemplu când trebuie să determinați perimetrul unui triunghi de la o bază și înălțime cunoscute.
Perimetrul este egal cu suma bazei și de două ori lungimea laturii. Latura laterală, la rândul ei, este definită folosind teorema lui Pitagora ca ipotenuză a unui triunghi dreptunghic. Lungimea sa este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratului înălțimii și pătratul jumătății bazei.
Aria unui triunghi isoscel
De regulă, nu este dificil să calculați aria unui triunghi isoscel. Regula universală pentru determinarea ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimea acestuia se aplică, desigur, în cazul nostru. Cu toate acestea, proprietățile unui triunghi isoscel fac din nou sarcina mai ușoară.
Să presupunem că înălțimea și unghiul adiacente bazei sunt cunoscute. Este necesar să se determine aria figurii. Puteți face acest lucru.
Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180 °, nu este dificil să se determine valoarea unghiului. În continuare, folosind proporția alcătuită după teorema sinusurilor, se determină lungimea bazei triunghiului. Totul, baza și înălțimea - date suficiente pentru a determina zona - sunt disponibile.
Alte proprietăți ale unui triunghi isoscel
Poziția centrului unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel depinde de mărimea unghiului de vârf. Deci, dacă un triunghi isoscel are un unghi acut, centrul cercului este situat în interiorul figurii.
Centrul unui cerc care este circumscris în jurul unui triunghi isoscel obtuz se află în afara acestuia. Și, în cele din urmă, dacă unghiul la vârf este de 90 °, centrul se află exact în mijlocul bazei, iar diametrul cercului trece prin bază însăși.
Pentru a determina raza unui cerc circumscris unui triunghi isoscel, este suficient să se împartă lungimea laturii laterale cu de două ori cosinusul a jumătate din valoarea unghiului apex.
Dintre toate triunghiurile, există două tipuri speciale: triunghiuri dreptunghiulare și triunghiuri isoscele. De ce sunt aceste tipuri de triunghiuri atât de speciale? Ei bine, în primul rând, astfel de triunghiuri se dovedesc foarte des a fi personajele principale ale sarcinilor USE din prima parte. Și în al doilea rând, problemele despre triunghiuri dreptunghiulare și isoscele sunt mult mai ușor de rezolvat decât alte probleme de geometrie. Trebuie doar să cunoașteți câteva reguli și proprietăți. Toate cele mai interesante sunt discutate în subiectul corespunzător, dar acum vom lua în considerare triunghiurile isoscele. Și mai presus de toate, ce este un triunghi isoscel. Sau, după cum spun matematicienii, care este definiția unui triunghi isoscel?
Vezi cum arată:
La fel ca un triunghi dreptunghic, un triunghi isoscel are nume speciale pentru laturile sale. Se numesc două laturi egale laturile laterale iar tertul este bază.
Și din nou, fiți atenți la imagine:
Desigur, poate fi așa:
Deci fii atent: latura - una dintre cele două laturi egaleîntr-un triunghi isoscel și baza este un terț.
De ce este un triunghi isoscel atât de bun? Pentru a înțelege acest lucru, să desenăm înălțimea la bază. Îți amintești ce înălțime are?
Deci ce s-a întâmplat? Dintr-un triunghi isoscel, au ieșit două dreptunghiulare.
Acest lucru este deja bun, dar se va dovedi așa în orice, cel mai „coosbral” triunghi.
Care este diferența dintre imaginea unui triunghi isoscel? Uita-te din nou:
Ei bine, în primul rând, desigur, nu este suficient ca acești matematicieni ciudați să vadă pur și simplu - cu siguranță trebuie să demonstreze. Și apoi, brusc, aceste triunghiuri sunt ușor diferite și le vom considera la fel.
Dar nu vă faceți griji: în acest caz, demonstrarea este aproape la fel de ușor ca să vedeți.
Să începem? Uită-te cu atenție, avem:
Si asta inseamnă! De ce? Da, doar găsim și, și din teorema lui Pitagora (amintindu-ne în același timp că)
Te-ai asigurat? Ei bine, acum avem
Și pe trei părți - cel mai ușor (al treilea) semn al egalității triunghiurilor.
Ei bine, triunghiul nostru isoscel s-a împărțit în două dreptunghiulare identice.
Vezi cât de interesant este? S-a dovedit ca:
Cum se obișnuiește să se vorbească despre asta printre matematicieni? Să mergem în ordine:
(Rețineți că mediana este linia trasă de la vârful care împarte latura în jumătate, iar bisectoarea este unghiul.)
Ei bine, aici am discutat ce bine se poate vedea dacă i se oferă un triunghi isoscel. Am dedus că unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale, iar înălțimea, bisectoarea și mediana, trasate la bază, coincid.
Și acum apare o altă întrebare: cum să recunoaștem un triunghi isoscel? Adică, după cum spun matematicienii, ce sunt semnele unui triunghi isoscel?
Și se dovedește că trebuie doar să „întoarceți” toate declarațiile dimpotrivă. Acesta, desigur, nu este întotdeauna cazul, dar un triunghi isoscel este încă un lucru grozav! Ce se întâmplă după „răsturnare”?
Ei bine, uite:
Dacă înălțimea și mediana coincid, atunci:
Dacă înălțimea și bisectoarea coincid, atunci: 
Dacă bisectoarea și mediana coincid, atunci:
Ei bine, nu uitați și folosiți:
- Dacă vi se oferă un triunghi triunghi isoscel, nu ezitați să desenați înălțimea, obțineți două triunghiuri dreptunghiulare și rezolvați problema unui triunghi dreptunghic.
- Dacă i se dă asta două unghiuri sunt egale apoi triunghiul exact isoscel și poți ține înălțimea și.... (Casa pe care a construit-o Jack...).
- Dacă se dovedește că înălțimea este înjumătățită pe lateral, atunci triunghiul este isoscel cu toate bonusurile care decurg.
- Dacă se dovedește că înălțimea a împărțit unghiul în etaje - și isoscel!
- Dacă bisectoarea a împărțit latura în jumătate sau mediana este unghiul, atunci se întâmplă și acest lucru numaiîntr-un triunghi isoscel
Să vedem cum arată în sarcini.
Problema 1(cel mai simplu)
Într-un triunghi, laturile și sunt egale și. Găsi.
Noi decidem:
Mai întâi un desen.
Care este fundația aici? Cu siguranță, .
Ne amintim că dacă, atunci și.
Desen actualizat:
Să notăm prin. Care este suma unghiurilor triunghiului de acolo? ?
Folosim:
Asta e Răspuns: .
Nu e greu, nu? Nici măcar înălțimea nu era necesară.
Sarcina 2(De asemenea, nu foarte complicat, dar trebuie să repetați subiectul)
Într-un triunghi,. Găsi.
Noi decidem:
Triunghiul este isoscel! Desenăm înălțimea (acesta este trucul cu ajutorul căruia totul se va rezolva acum).
Acum „ștergem din viață”, vom lua în considerare doar.
Deci, în avem:
Amintirea valorilor tabelare ale cosinusului (bine, sau uitându-vă la foaia de cheat ...)
Rămâne de găsit:.
Răspuns: .
Rețineți că avem aici foarte necesare cunoștințe privind un triunghi dreptunghic și sinusuri și cosinusuri „tabulare”. Foarte des se întâmplă: subiectele, „triunghiul isoscel” și în puzzle-uri merg în pachete, dar cu alte subiecte nu sunt foarte prietenoase.
Triunghi isoscel. Nivel mediu.
Aceste două laturi egale sunt numite laturile laterale, A a treia latură este baza unui triunghi isoscel.
Priviți imaginea: și - laturile, - baza triunghiului isoscel.
Să înțelegem într-o singură imagine de ce este așa. Să desenăm înălțimea din punct.
Aceasta înseamnă că au toate elementele corespunzătoare egale.
Tot! Într-o singură lovitură (înălțimea) au dovedit toate afirmațiile deodată.
Și amintiți-vă: pentru a rezolva problema triunghiului isoscel, este adesea foarte util să coborâți înălțimea până la baza triunghiului isoscel și să o împărțiți în două triunghiuri dreptunghiulare egale.
Semne ale unui triunghi isoscel
Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:
Aproape toate aceste afirmații pot fi din nou dovedite „dintr-o lovitură”.
1. Deci, lasati in au fost egali cu si.
Să desenăm înălțimea. Atunci
2.a) Acum introduceți un triunghi potrivirea înălțimii și bisectoarei.
2.b) Și dacă înălțimea și mediana coincid? Totul este aproape la fel, nu mai complicat!
 |
- pe două picioare |
2.c) Dar dacă nu există înălțime, care este coborât la baza unui triunghi isoscel, atunci nu există triunghiuri dreptunghiulare inițial. Prost!
Dar există o cale de ieșire - citiți-o în următorul nivel de teorie, pentru că aici demonstrația este mai complicată, dar pentru moment, amintiți-vă doar că dacă mediana și bisectoarea coincid, atunci triunghiul va fi și isoscel, iar înălțimea va fi. coincid încă cu această bisectoare și mediană.
Să rezumam:
- Dacă triunghiul este isoscel, atunci unghiurile de la bază sunt egale, iar înălțimea, bisectoarea și mediana trasate la bază coincid.
- Dacă într-un triunghi există două unghiuri egale sau vreo două dintre cele trei linii (bisectoare, mediană, înălțime) coincid, atunci un astfel de triunghi este isoscel.
Triunghi isoscel. Scurtă descriere și formule de bază
Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi egale.
Semne ale unui triunghi isoscel:
- Dacă într-un triunghi două unghiuri sunt egale, atunci este isoscel.
- Dacă într-un anumit triunghi coincid:
A) înălțime și bisectoare sau
b) înălțimea și mediana sau
v) mediană și bisectoare,
tras într-o parte, atunci un astfel de triunghi este isoscel.
RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!
Deveniți student YouClever,
Pregătiți-vă pentru OGE sau USE în matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,
Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de instruire „100gia” (reshebnik), o versiune de probă nelimitată USE și OGE, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și la alte servicii YouClever și 100gia.
