Spēka daudzstūru uzbūve prasa sarežģītas un apgrūtinošas konstrukcijas un nesniedz pietiekami precīzus rezultātus. Šādos gadījumos viņi izmanto citu metodi, kur ģeometrisko konstrukciju aizstāj ar skalāro lielumu aprēķiniem. To panāk, projicējot noteiktus spēkus uz taisnstūra koordinātu sistēmas asi.
Ass ir taisna līnija, kurai ir piešķirts noteikts virziens. Vektora projekcija uz asi ir skalārs lielums, ko nosaka ass segments, kas nogriezts ar perpendikulu, kas uz to nomests no vektora sākuma un beigām.
Vektora projekciju uzskata par pozitīvu (+), ja virziens no projekcijas sākuma līdz beigām sakrīt ar ass pozitīvo virzienu. Vektora projekciju uzskata par negatīvu (-), ja virziens no projekcijas sākuma līdz beigām ir pretējs ass pozitīvajam virzienam.
Apskatīsim vairākus gadījumus, kad spēki tiek projicēti uz asi.
1. Spēks ir dots (7. att., A), tas atrodas vienā plaknē ar asi x. Spēka vektors veido asu leņķi α ar ass pozitīvo virzienu. Lai atrastu projekcijas lielumu, no spēka vektora sākuma un beigām mēs nolaižam perpendikulu pret asi x; mēs saņemam
P x = ab = P cos α. (4)
Vektora projekcija šajā gadījumā ir pozitīva.
2. Spēks ir dots (7. att., b), kas atrodas vienā plaknē ar asi x, bet tā vektors veido neasu leņķi α ar ass pozitīvo virzienu. Spēka projekcija J uz asi x negatīvs
Q x = - ab = - Q cos α. (5)
3. Jauda dota , perpendikulāri asij x(7. att., c). Spēka projekcija uz asi x ir vienāds ar nulli, t.i. N x = N cos 90° = 0.
Tātad, spēka projekcija uz koordinātu asi ir vienāda ar spēka moduļa un leņķa kosinusa reizinājumu starp spēka vektoru un ass pozitīvo virzienu.
Spēks atrodas lidmašīnā xOy(8. att.), var projicēt uz divām koordinātu asīm Vērsis Un Oy. Attēlā parādīts spēks un tā projekcijas Px Un Py. Sakarā ar to, ka izvirzījumi veido taisnu leņķi viens ar otru, no taisnleņķa trīsstūra ABCšādi:
(6)
Šīs formulas var izmantot, lai noteiktu spēka lielumu un virzienu, ja ir zināmas tā projekcijas uz koordinātu asīm.
C1
Dotajai staru diagrammai ir jāatrod atbalsta reakcijas, ja l=14 m, a=3,8 m, b=5 m, M=11 kN m, F=10 kN.
Risinājums. Tā kā nav horizontālas slodzes, atbalstam A ir tikai vertikāla reakcija RA. Mēs sastādām līdzsvara vienādojumus visu spēku momentu formā attiecībā pret punktiem A un B.
no kurienes mēs to atrodam?
Lai pārbaudītu, izveidosim līdzsvara vienādojumu vertikālajai asij:
Kontroles jautājumi
sijas eņģes spēka punkts
Kā ir spēka projekcija uz asi?
Spēka projekcija uz asi ir algebrisks lielums, kas vienāds ar spēka moduļa un leņķa kosinusu starp ass pozitīvo virzienu un spēka vektoru (t.i., tas ir segments, kas uzzīmēts ar spēku uz atbilstošās asis).
Px= P cos?= P cos90o=0;
Rx=R cos? = -R cos(180o-?).
Spēka projekcija uz asi ir pozitīva, att. 2a), ja 0 ? ?< ?/2.
Kādā gadījumā spēka projekcija uz asi ir vienāda ar nulli?
Spēka projekcija uz asi var būt vienāda ar nulli, att. 2b), ja? = ?/2.)
Kādā gadījumā spēka projekcija uz asi ir vienāda ar spēka moduli?
Spēka projekcija uz asi ir vienāda ar spēka lielumu, ja? =0?.
Kādā gadījumā spēka projekcija uz asi ir negatīva?
Spēka projekcija uz asi var būt negatīva, att. 2. c), ja?/2< ? ? ?.
Cik līdzsvara vienādojumu ir sastādīti plaknei konverģentai spēku sistēmai?
Spēkus sauc par saplūstošiem, ja to darbības līnijas krustojas vienā punktā. Konverģējošu spēku plaknes sistēma tiek izdalīta, ja visu šo spēku darbības līnijas atrodas vienā plaknē.
Saplūstošu spēku sistēmas līdzsvars.
No mehānikas likumiem izriet, ka stingrs ķermenis, uz kuru iedarbojas savstarpēji līdzsvaroti ārējie spēki, var ne tikai būt miera stāvoklī, bet arī veikt kustību, ko sauksim par kustību “pēc inerces”. Šāda kustība būtu, piemēram, ķermeņa vienmērīga un taisna kustība uz priekšu.
No šejienes mēs iegūstam divus svarīgus secinājumus:
1) Statiskā līdzsvara nosacījumus apmierina spēki, kas iedarbojas gan uz ķermeni miera stāvoklī, gan uz ķermeni, kas kustas “pēc inerces”.
2) Brīvam cietam ķermenim pielikto spēku līdzsvars ir nepieciešams, bet nepietiekams nosacījums paša ķermeņa līdzsvaram (atpūtai); Ķermenis būs miera stāvoklī tikai tad, ja tas bija miera stāvoklī un līdz brīdim, kad tam tiks pielietoti līdzsvaroti spēki.
Cietam ķermenim pielikto konverģences spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, lai šo spēku rezultants būtu vienāds ar nulli. Nosacījumi, kuriem pašiem spēkiem ir jāatbilst, var tikt izteikti ģeometriskā vai analītiskā formā.
1. Ģeometriskā līdzsvara nosacījums. Tā kā saplūstošo spēku rezultants tiek definēts kā no šiem spēkiem veidota spēka daudzstūra noslēguma mala, tas var izzust tad un tikai tad, ja daudzstūrī pēdējā spēka beigas sakrīt ar pirmā spēka sākumu, t.i., kad daudzstūris aizveras.
Līdz ar to, lai sistēma būtu līdzsvarā, ir nepieciešami un pietiekami konverģējoši spēki, lai no šiem spēkiem veidotais spēka daudzstūris aizvērtos.
2. Analītiskā līdzsvara nosacījumi. Analītiski saplūstošo spēku sistēmas rezultāto nosaka formula
Tā kā pozitīvo vārdu summa atrodas zem saknes, R iet uz nulli tikai tad, ja vienlaikus
tas ir, kad spēki, kas iedarbojas uz ķermeni, apmierina vienādības:
Vienādības izsaka līdzsvara nosacījumus analītiskā formā: lai konverģējošu spēku telpiskās sistēmas līdzsvars būtu līdzsvarā, ir nepieciešams un pietiekami, lai šo spēku projekciju summas uz katru no trim koordinātu asīm būtu vienādas ar nulle.
Ja visi saplūstošie spēki, kas iedarbojas uz ķermeni, atrodas vienā plaknē, tad tie veido plakanu saplūstošu spēku sistēmu. Plakanas konverģējošu spēku sistēmas gadījumā mēs acīmredzami iegūstam tikai divus līdzsvara nosacījumus
Vienādības izsaka arī nepieciešamos nosacījumus (vai vienādojumus) brīva stingra ķermeņa līdzsvaram saplūstošu spēku iedarbībā.
Kurā virzienā ir vērsta stieņa reakcija ar šarnīru galiem?
Lai savienojums kādā konstrukcijā ir stienis AB, kas fiksēts galos ar eņģēm (3. att.). Pieņemsim, ka stieņa svaru var neņemt vērā, salīdzinot ar slodzi, ko tas uztver. Tad uz stieni iedarbosies tikai divi spēki, kas pielikti pie eņģēm A un B. Bet, ja stienis AB ir līdzsvarā, tad punktos A un B pieliktajiem spēkiem jābūt vērstiem pa vienu taisni, t.i., pa stieņa asi. Līdz ar to galos noslogots stienis, kura svaru, salīdzinot ar šīm slodzēm, var neievērot, darbojas tikai nospriegojumā vai saspiešanā. Ja šāds stienis ir saite, tad stieņa reakcija tiks virzīta pa stieņa asi.
Kā spēka moments ir attiecībā pret punktu?
Spēka momentu attiecībā pret punktu nosaka spēka moduļa un no punkta līdz spēka darbības līnijai nolaistā perpendikula garuma reizinājums (4. att., a). Kad ķermenis ir fiksēts punktā O, spēkam ir tendence to pagriezt ap šo punktu. Punktu O, ap kuru tiek ņemts moments, sauc par momenta centru, un perpendikula a garumu sauc par spēka plecu attiecībā pret momenta centru.
Spēku momentus mēra ņūtonometros (N m) vai kilogrammetros (kgf m) vai atbilstošos reizinātos un apakšreiziņos, kā arī pāru momentos.
Kādā gadījumā spēka moments par punktu ir vienāds ar nulli?
Spēka darbības līnijai ejot caur doto punktu, tā moments attiecībā pret šo punktu ir vienāds ar nulli, jo aplūkojamajā gadījumā plecs ir vienāds ar nulli: a = 0 (4. att., c).
Cik līdzsvara vienādojumu ir sastādīti plakanai patvaļīgai spēku sistēmai?
Plakanai patvaļīgai spēku sistēmai var izveidot trīs līdzsvara vienādojumus:
Kā reakcijas tiek vērstas uz fiksētu locītavu?
Fiksēts eņģes balsts (5. att., balsts B). Šāda atbalsta reakcija iet caur eņģes asi un var būt jebkurā virzienā zīmējuma plaknē. Risinot uzdevumus, reakciju attēlosim pēc tās sastāvdaļām un pa koordinātu asu virzieniem. Ja, atrisinot problēmu, mēs atrodam un, tad tiks noteikta arī reakcija; modulo
Kā reakcija ir vērsta uz kustīgu locītavu?
Pārvietojamais eņģes balsts (6. att., balsts A) neļauj ķermenim kustēties tikai perpendikulāri balsta slīdēšanas plaknei. Šāda balsta reakcija ir vērsta normāli pret virsmu, uz kuras balstās kustīgā atbalsta veltņi.
Konverģējošu spēku līdzsvara problēmu risināšana, konstruējot slēgtus spēka daudzstūrus, ir saistīta ar apgrūtinošām konstrukcijām. Universāla metode šādu problēmu risināšanai ir pāriet uz doto spēku projekciju noteikšanu uz koordinātu asīm un darbību ar šīm projekcijām. Ass ir taisna līnija, kurai ir piešķirts noteikts virziens.
Vektora projekcija uz asi ir skalārs lielums, ko nosaka ass segments, kas nogriezts ar perpendikulu, kas uz to nomests no vektora sākuma un beigām.
Vektora projekciju uzskata par pozitīvu, ja virziens no projekcijas sākuma līdz beigām sakrīt ar ass pozitīvo virzienu. Vektora projekciju uzskata par negatīvu, ja virziens no projekcijas sākuma līdz beigām ir pretējs ass pozitīvajam virzienam.
Tādējādi spēka projekcija uz koordinātu asi ir vienāda ar spēka moduļa reizinājumu un leņķa kosinusu starp spēka vektoru un ass pozitīvo virzienu.
Apskatīsim vairākus gadījumus, kad spēki tiek projicēti uz asi:
Spēka vektors F(15. att.) izveido asu leņķi ar x ass pozitīvo virzienu.
Lai atrastu projekciju, no spēka vektora sākuma un beigām nolaižam perpendikulus pret asi ak; mēs saņemam
1. F x = F cos α
Vektora projekcija šajā gadījumā ir pozitīva
Spēks F(16. att.) ir ar pozitīvo ass virzienu X strups leņķis α.
Tad F x = F cos α, bet tā kā α = 180 0 - φ,
F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.
Spēka projekcija F uz asi akšajā gadījumā tas ir negatīvs.
Spēks F(17. att.) perpendikulāri asij ak.
Spēka F projekcija uz asi X vienāds ar nulli
F x = F cos 90° = 0.
Spēks atrodas lidmašīnā kā(18. att.), var projicēt uz divām koordinātu asīm Ak Un OU.
Spēks F var sadalīt komponentos: F x un F y. Vektoru modulis F x ir vienāds ar vektora projekciju F uz asi vērsis, un vektora modulis F y ir vienāds ar vektora projekciju F uz asi ak.
No Δ OAV: F x = F cos α, F x = F grēks α.
No Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F grēks φ.
Spēka lielumu var atrast, izmantojot Pitagora teorēmu:
Vektoru summas vai rezultāta projekcija uz jebkuru asi ir vienāda ar vektoru summas projekciju algebrisko summu uz to pašu asi.
Apsveriet saplūstošos spēkus F 1 , F 2 , F 3, un F 4, (19. att., a). Šo spēku ģeometriskā summa vai rezultāts F ko nosaka spēka daudzstūra noslēdzošā puse
Atkritīsim no spēka daudzstūra virsotnēm uz asi x perpendikulu.
Ņemot vērā iegūtās spēku projekcijas tieši no pabeigtās konstrukcijas, mums ir
F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x
kur n ir vektora terminu skaits. Viņu projekcijas ievada iepriekšminēto vienādojumu ar atbilstošo zīmi.
Plaknē spēku ģeometrisko summu var projicēt uz divām koordinātu asīm, bet telpā attiecīgi uz trim.
Analītiskā metode statikas problēmu risināšanai ir balstīta uz spēka projekcijas uz asi jēdzienu. Spēka (tāpat kā jebkura cita vektora) projekcija uz asi ir algebrisks lielums, kas vienāds ar spēka lieluma un leņķa starp spēku un ass pozitīvo virzienu kosinusa reizinājumu.
Ja šis leņķis ir akūts, projekcija ir pozitīva, ja tā ir neasa, tā ir negatīva, un, ja spēks ir perpendikulārs asij, tā projekcija uz asi ir nulle. Tātad spēkiem, kas parādīti attēlā. 18,
Spēka F projekcija uz plakni ir vektors, kas atrodas starp spēka F sākuma un beigu projekcijām uz šo plakni (19. att.). Tādējādi, atšķirībā no spēka projicēšanas uz asi, spēka projekcija uz plakni ir vektora lielums, jo to raksturo ne tikai tā skaitliskās vērtības, bet arī virziens plaknē. leņķis starp spēka F virzienu un tā projekciju
Dažos gadījumos, lai atrastu spēka projekciju uz asi, ir ērtāk vispirms atrast tā projekciju uz plakni, kurā atrodas šī ass, un pēc tam projicēt atrasto projekciju uz plaknes uz šo asi. Piemēram, attēlā parādītajā gadījumā. 19, mēs atrodam tādā veidā, ka
Spēku noteikšanas analītiskā metode. Lai analītiski norādītu spēku, ir jāizvēlas koordinātu asu sistēma Oxyz, attiecībā pret kuru tiks noteikts spēka virziens telpā.
Mehānikā izmantosim labās puses koordinātu sistēmu, t.i., sistēmu, kurā īsākā ass izlīdzināšana ar asi notiek, skatoties no ass pozitīvā gala pretēji pulksteņrādītāja virzienam (20. att.).
Vektoru, kas attēlo spēku F, var izveidot, ja ir zināms šī spēka modulis un leņķi, ko spēks veido ar koordinātu asīm. Tādējādi lielumi nosaka spēku F. Spēka pielikšanas punkts A jānorāda atsevišķi pēc tā koordinātām.
Lai atrisinātu mehānikas uzdevumus, spēku ir ērtāk norādīt ar tā projekcijām uz koordinātu asīm. Zinot šīs projekcijas, jūs varat noteikt spēka moduli un leņķus, ko tas veido ar koordinātu asīm, izmantojot formulas:
Ja visi apskatāmie spēki atrodas vienā plaknē, tad katru no spēkiem var norādīt pēc projekcijām uz divām asīm.Tad formulas, kas nosaka spēku no tā projekcijām, iegūs formu:
Spēku saskaitīšanas analītiskā metode. Pāreja no atkarībām starp vektoriem uz atkarībām starp to projekcijām tiek veikta, izmantojot šādu ģeometrijas teorēmu: summas vektora projekcija uz jebkuru asi ir vienāda ar summējamo vektoru projekciju algebrisko summu uz to pašu asi. Saskaņā ar šo teorēmu, ja R ir spēku summa, tad
Zinot no (6) formulām, mēs atrodam:
Formulas (8), (9) ļauj mums analītiski atrisināt spēku saskaitīšanas problēmu.
Spēkiem, kas atrodas vienā plaknē, atbilstošās formulas ir šādas:
Ja spēkus nosaka to moduļi un leņķi ar asīm, tad, lai izmantotu analītisko saskaitīšanas metodi, vispirms ir jāaprēķina šo spēku projekcijas uz koordinātu asīm.
Bieži ģeometrisks nepieciešams pievienot spēka vektorus sarežģīti un apgrūtinoši konstrukcijas. Šādos gadījumos viņi ķeras pie citam metode, kur ģeometriskā konstrukcija aizstāts par aprēķiniem skalārs daudzumus Tas ir sasniegts projicējot noteiktus spēkus uz taisnstūra koordinātu sistēmas asi.
Kā labāk zināms no matemātikas, ass sauca neierobežota taisna līnija, kam noteikta virziens. Vektora projekcija uz asi ir skalārs vērtība, kas tiek noteikta ass segments, nogriezt perpendikulu, izlaists no vektora sākuma un beigām uz ass.
Tiek apskatīta vektora projekcija pozitīvs (+ ), ja virziens ir no projekcijas sākuma līdz tās beigām sērkociņi ar pozitīvu ass virzienu. Tiek apskatīta vektora projekcija negatīvs (- ), ja virziens ir no projekcijas sākuma līdz tās beigām pretī ass pozitīvais virziens.
Apsveriet sēriju Spēku projektēšanas gadījumi uz asi.
- Ņemot vērā spēku R (rīsi. A ), tas atrodas vienā plaknē ar asi X . Spēka vektors veido asu leņķi ar ass pozitīvo virzienu α .
Lai atrastu vērtību prognozes, no spēka vektora sākuma un beigām nolaižam perpendikulus pret asi X, mēs saņemam
Р x = ab = Р cos α .
Šajā gadījumā vektora projekcija pozitīvs.
2. Dotā jauda J (rīsi. b ), kas atrodas vienā plaknē ar asi X , bet tā vektors veido neasu leņķi ar ass pozitīvo virzienu α .
Spēka projekcija J uz asi X
Q x = ab = Q cos α,
cos a = - cos β .
Jo α > 90° , tad cos cos α - negatīvs Izmērs. Izteicis cos α cauri cos β (β - akūts leņķis), mēs beidzot saņemam
Q x = - Q cos β
Šajā gadījumā spēka projekcija negatīvs.
Tātad, spēka projekcija uz asi koordinātas ir vienādas ar spēka moduļa un leņķa kosinusa reizinājums starp spēka vektoru un ass pozitīvo virzienu.
Nosakot spēka vektora projekciju uz asi, parasti izmanto kosinusu akūts leņķis, neatkarīgi no tā, kura ass virziena - pozitīva vai negatīva - tas veidojas. Pierakstīties izvirzījumus ir vieglāk uzstādīt tieši saskaņā ar zīmējumu.
Spēks atrodas lidmašīnā xOy , var projicēt uz divām koordinātu asīm Ak Un OU . Apskatīsim zīmējumu.
Tas parāda spēku R un tās prognozes R x Un RU . Sakarā ar to, ka prognozes veidojas savā starpā taisni leņķis, no taisnleņķa trīsstūra ABC šādi:
