În cel precedent am dat o serie de formule care ne permit să aflăm caracteristicile numerice ale funcțiilor atunci când sunt cunoscute legile de distribuție a argumentelor. Totuși, în multe cazuri, pentru a găsi caracteristicile numerice ale funcțiilor, nici nu este nevoie să cunoaștem legile de distribuție ale argumentelor, ci este suficient să cunoaștem doar câteva dintre caracteristicile lor numerice; în acest caz, în general ne lipsim de nicio lege de distribuție. Determinarea caracteristicilor numerice ale funcțiilor prin caracteristicile numerice date ale argumentelor este utilizată pe scară largă în teoria probabilității și face posibilă simplificarea semnificativă a soluționării unui număr de probleme. În cea mai mare parte, astfel de metode simplificate sunt funcții liniare; totuși, unele funcții neliniare elementare permit, de asemenea, o abordare similară.
În prezent, prezentăm o serie de teoreme privind caracteristicile numerice ale funcţiilor, care în totalitatea lor reprezintă un aparat foarte simplu de calcul a acestor caracteristici, aplicabil într-o gamă largă de condiţii.
1. Așteptarea matematică a unei variabile non-aleatoare
Proprietatea formulată este suficient de evidentă; se poate dovedi considerând o valoare non-aleatoare ca o formă particulară a uneia aleatoare, cu o valoare posibilă cu o probabilitate de unu; apoi conform formulei generale pentru așteptarea matematică:
.
2. Dispersia unei mărimi nealeatoare
Dacă este o cantitate nealeatoare, atunci
3. Scoaterea unei valori nealeatoare pentru semnul așteptării matematice
, (10.2.1)
adică o mărime nealeatoare poate fi luată în afara semnului așteptării matematice.
Dovada.
a) Pentru cantităţi discontinue
b) Pentru cantităţi continue
.
4. Scăderea unei valori non-aleatoare pentru semnul de dispersie și abaterea standard
Dacă este o valoare non-aleatoare, dar este o valoare aleatoare, atunci
, (10.2.2)
adică o mărime nealeatoare poate fi scoasă din semnul varianței prin pătrarea acesteia.
Dovada. Prin definiția varianței
Consecinţă
,
adică o valoare non-aleatorie poate fi scoasă din semnul deviației pătratice medii prin valoarea sa absolută. Obținem demonstrația extragând rădăcina pătrată a formulei (10.2.2) și ținând cont că r.s.s. este o valoare substanţial pozitivă.
5. Aşteptarea matematică a sumei variabilelor aleatoare
Să demonstrăm că pentru oricare două variabile aleatoare și
adică valorea estimata suma a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice.
Această proprietate este cunoscută ca teorema adăugării așteptărilor.
Dovada.
a) Fie un sistem de variabile aleatoare discontinue. Aplicăm sumei variabilelor aleatoare formula generală (10.1.6) pentru așteptarea matematică a unei funcții a două argumente:
.
Ho nu reprezintă nimic mai mult decât probabilitatea totală ca o valoare să capete o valoare:
;
prin urmare,
.
Să demonstrăm în mod similar că
,
iar teorema este demonstrată.
b) Fie un sistem de variabile aleatoare continue. Conform formulei (10.1.7)
. (10.2.4)
Transformăm prima dintre integrale (10.2.4):
;
în mod similar
,
iar teorema este demonstrată.
Trebuie remarcat în mod special că teorema de adunare a așteptărilor matematice este valabilă pentru orice variabile aleatoare, atât dependente, cât și independente.
Teorema de adunare a așteptărilor matematice este generalizată la un număr arbitrar de termeni:
, (10.2.5)
adică așteptarea matematică a sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice.
Pentru demonstrație, este suficientă aplicarea metodei de inducție completă.
6. Așteptările matematice ale unei funcții liniare
Luați în considerare o funcție liniară a mai multor argumente aleatoare:
unde sunt coeficienți non-aleatori. Să demonstrăm asta
, (10.2.6)
adică așteptarea matematică a unei funcții liniare este egală cu aceeași funcție liniară a așteptărilor matematice ale argumentelor.
Dovada. Folosind teorema de adunare pentru m. iar regula pentru plasarea unei valori non-aleatoare dincolo de semnul m.o., obținem:
.
7. Dispepacestea sunt sumele variabilelor aleatoare
Varianța sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma varianțelor acestora plus momentul de corelație dublat:
Dovada. Notăm
Prin teorema adunării aşteptărilor matematice
Să trecem de la variabile aleatoare la valori centrate corespunzătoare. Scăzând egalitatea (10.2.9) termen cu termen din egalitatea (10.2.8), avem:
Prin definiția varianței
Q.E.D.
Formula (10.2.7) pentru varianța sumei poate fi generalizată la orice număr de termeni:
,
(10.2.10)
unde este momentul de corelare al cantităților, semnul de sub sumă înseamnă că însumarea se aplică tuturor combinațiilor posibile în perechi de variabile aleatoare 
.
Demonstrarea este similară cu cea anterioară și decurge din formula pentru pătratul unui polinom.
Formula (10.2.10) poate fi scrisă sub altă formă:
, (10.2.11)
unde suma dublă se aplică tuturor elementelor matricei de corelație a sistemului de mărimi conţinând atât momente de corelaţie cât şi varianţă.
Dacă toate variabilele aleatoare care intră în sistem sunt necorelate (adică la), formula (10.2.10) ia forma:
, (10.2.12)
adică varianța sumei variabilelor aleatoare necorelate este egală cu suma varianțelor termenilor.
Această afirmație este cunoscută sub numele de teorema de adunare a varianței.
8. Dispersia unei funcţii liniare
Se consideră o funcție liniară a mai multor variabile aleatoare.
unde sunt valori non-aleatoare.
Să demonstrăm că varianța acestei funcții liniare este exprimată prin formula
, (10.2.13)
unde este momentul de corelare al mărimilor,.
Dovada. Să introducem notația:
. (10.2.14)
Aplicând în partea dreaptă a expresiei (10.2.14) formula (10.2.10) pentru varianța sumei și ținând cont de asta, obținem:
unde este momentul de corelare al mărimilor:
.
Să calculăm acest moment. Noi avem:
;
în mod similar
Înlocuind această expresie în (10.2.15), ajungem la formula (10.2.13).
În cazul particular când toate cantitățile sunt necorelate, formula (10.2.13) ia forma:
, (10.2.16)
adică varianța funcției liniare a variabilelor aleatoare necorelate este egală cu suma produselor pătratelor coeficienților și a varianțelor argumentelor corespunzătoare.
9. Aşteptarea matematică a produsului variabilelor aleatoare
Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare este egală cu produsul așteptărilor lor matematice plus momentul de corelație:
Dovada. Vom pleca de la definirea momentului de corelare:
Transformăm această expresie folosind proprietățile așteptării matematice:
care este evident echivalent cu formula (10.2.17).
Dacă variabilele aleatoare sunt necorelate, atunci formula (10.2.17) ia forma:
adică așteptarea matematică a produsului a două variabile aleatoare necorelate este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Această afirmație este cunoscută ca teorema înmulțirii așteptărilor.
Formula (10.2.17) nu este altceva decât o expresie a celui de-al doilea moment central mixt al sistemului prin al doilea moment inițial mixt și așteptări matematice:
. (10.2.19)
Această expresie este adesea folosită în practică atunci când se calculează momentul de corelație în același mod ca pentru o variabilă aleatorie, varianța este adesea calculată prin al doilea moment inițial și așteptarea matematică.
Teorema înmulțirii așteptărilor matematice este generalizată la un număr arbitrar de factori, doar că în acest caz pentru aplicarea sa nu este suficient ca mărimile să fie necorelate, ci se cere ca și unele momente mixte superioare să dispară, al căror număr depinde pe numărul de termeni din produs. Aceste condiții sunt cu siguranță îndeplinite dacă variabilele aleatoare incluse în produs sunt independente. În acest caz
, (10.2.20)
adică așteptarea matematică a produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Această afirmație este ușor de demonstrat prin metoda inducției complete.
10. Dispersia produsului variabilelor aleatoare independente
Să demonstrăm că pentru mărimi independente
Dovada. Să notăm. Prin definiția varianței
Întrucât cantitățile sunt independente și
La independent valorile sunt de asemenea independente; prin urmare,
,
Dar nu există nimic mai mult decât al doilea moment inițial de mărime și, prin urmare, este exprimat în termeni de varianță:
;
în mod similar
.
Înlocuind aceste expresii în formula (10.2.22) și aducând termeni similari, ajungem la formula (10.2.21).
În cazul în care variabilele aleatoare centrate sunt înmulțite (valori cu așteptări matematice egale cu zero), formula (10.2.21) ia forma:
, (10.2.23)
adică varianța produsului variabilelor aleatoare centrate independente este egală cu produsul varianțelor acestora.
11. Momentele superioare ale sumei variabilelor aleatoare
În unele cazuri, este necesar să se calculeze cele mai mari momente ale sumei variabilelor aleatoare independente. Să demonstrăm câteva relații legate de aceasta.
1) Dacă mărimile sunt independente, atunci
Dovada.
de unde prin teorema înmulţirii aşteptărilor matematice
Dar primul moment central pentru orice mărime este zero; cei doi termeni de mijloc dispar și se demonstrează formula (10.2.24).
Relația (10.2.24) poate fi generalizată cu ușurință prin inducție la un număr arbitrar de termeni independenți:
. (10.2.25)
2) Al patrulea moment central al sumei a două variabile aleatoare independente este exprimat prin formula
unde sunt variaţiile cantităţilor şi.
Dovada este complet similară cu cea anterioară.
Folosind metoda inducției complete, este ușor de demonstrat o generalizare a formulei (10.2.26) la un număr arbitrar de termeni independenți.
După cum se știe deja, legea distribuției caracterizează complet variabila aleatoare. Totuși, legea distribuției este adesea necunoscută și trebuie să te limitezi la mai puține informații. Uneori este și mai profitabil să folosești numere care descriu o variabilă aleatoare în total; se numesc astfel de numere caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii.
Așteptarea matematică este una dintre caracteristicile numerice importante.
Așteptările matematice sunt aproximativ egale cu valoarea medie a variabilei aleatoare.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile după probabilitățile lor.
Dacă o variabilă aleatoare este caracterizată printr-o serie finită de distribuție:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | p p |
apoi valoarea aşteptată M (X) determinat de formula:
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue sunt determinate de egalitatea:
unde este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X.
Exemplul 4.7. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte aruncate cu un zar.
Soluţie:
Valoare aleatoare X ia valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6. Să compunem legea distribuției sale:
| X | ||||||
| R |
Atunci așteptarea matematică este:
Proprietățile așteptărilor matematice:
1. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu cea mai constantă:
M (C) = C.
2. Factorul constant poate fi scos dincolo de semnul așteptării matematice:
M (CX) = CM (X).
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
M (XY) = M (X) M (Y).
Exemplul 4.8... Variabile aleatoare independente Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare XY.
Soluţie.
Să găsim așteptările matematice pentru fiecare dintre mărimile date:
Variabile aleatoare Xși Y independent, deci așteptările matematice dorite:
M (XY) = M (X) M (Y) =
Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Consecinţă. Așteptările matematice ale sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor.
Exemplul 4.9. Trage 3 lovituri cu probabilitatea de a lovi ținta egală cu p 1 = 0,4; p 2= 0,3 și p 3= 0,6. Găsiți valoarea așteptată a numărului total de accesări.
Soluţie.
Numărul de lovituri la prima lovitură este o variabilă aleatorie X 1, care poate lua doar două valori: 1 (lovitură) cu probabilitate p 1= 0,4 și 0 (rată) cu probabilitate q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Așteptarea matematică a numărului de lovituri la prima lovitură este egală cu probabilitatea de lovire:
În mod similar, găsim așteptările matematice ale numărului de lovituri în a doua și a treia lovitură:
M (X 2)= 0,3 și M (X 3) = 0,6.
Numărul total lovituri, există și o variabilă aleatorie constând din suma loviturilor din fiecare dintre cele trei lovituri:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Așteptările matematice dorite X găsim prin teorema asupra matematicii, așteptarea sumei.
Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare (distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare staționare) când numărul de eșantioane sau numărul de măsurători (uneori se spune - numărul de teste) tinde spre infinit.
Media aritmetică a unei variabile aleatoare unidimensionale a unui număr finit de teste este de obicei numită o estimare a așteptărilor matematice... Când numărul de teste ale unui proces aleator staționar tinde spre infinit, estimarea așteptării matematice tinde spre așteptarea matematică.
Aşteptarea este unul dintre conceptele de bază în teoria probabilităţilor).
YouTube colegial
1 / 5
✪ Așteptări și variații - bezbotvy
✪ Teoria probabilității 15: așteptări
✪ Valoarea așteptată
✪ Așteptări și variații matematice. Teorie
✪ Valoarea așteptată în tranzacționare
Subtitrări
Definiție
Să fie dat spațiul de probabilitate (Ω, A, P) (\ displaystyle (\ Omega, (\ mathfrak (A)), \ mathbb (P)))și o variabilă aleatoare definită pe ea X (\ stil de afișare X)... Adică, prin definiție, X: Ω → R (\ displaystyle X \ colon \ Omega \ la \ mathbb (R)) este o funcție măsurabilă. Dacă există o integrală Lebesgue a X (\ stil de afișare X) in spatiu Ω (\ stil de afișare \ Omega), atunci se numește așteptarea matematică sau valoarea medie (așteptată) și se notează M [X] (\ displaystyle M [X]) sau E [X] (\ displaystyle \ mathbb (E) [X]).
M [X] = ∫ Ω X (ω) P (d ω). (\ displaystyle M [X] = \ int \ limits _ (\ Omega) \! X (\ omega) \, \ mathbb (P) (d \ omega).)Formule de bază pentru așteptările matematice
M [X] = ∫ - ∞ ∞ x d F X (x); x ∈ R (\ displaystyle M [X] = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! x \, dF_ (X) (x); x \ în \ mathbb (R)).
Așteptarea matematică a unei distribuții discrete
P (X = xi) = pi, ∑ i = 1 ∞ pi = 1 (\ displaystyle \ mathbb (P) (X = x_ (i)) = p_ (i), \; \ sum \ limits _ (i = 1) ) ^ (\ infty) p_ (i) = 1),atunci rezultă direct din definiţia integralei Lebesgue că
M [X] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\ displaystyle M [X] = \ sum \ limits _ (i = 1) ^ (\ infty) x_ (i) \, p_ (i)).Valoarea așteptată a unei valori întregi
P (X = j) = p j, j = 0, 1,. ... ... ; ∑ j = 0 ∞ pj = 1 (\ displaystyle \ mathbb (P) (X = j) = p_ (j), \; j = 0,1, ...; \ quad \ sum \ limits _ (j = 0 ) ^ (\ infty) p_ (j) = 1)atunci așteptarea sa matematică poate fi exprimată în termenii funcției generatoare a șirului (p i) (\ displaystyle \ (p_ (i) \))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\ displaystyle P (s) = \ sum _ (k = 0) ^ (\ infty) \; p_ (k) s ^ (k))ca valoarea primei derivate în unitate: M [X] = P ′ (1) (\ displaystyle M [X] = P "(1))... Dacă așteptarea matematică X (\ stil de afișare X) la nesfârşit atunci lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\ displaystyle \ lim _ (s \ la 1) P "(s) = \ infty) si vom scrie P ′ (1) = M [X] = ∞ (\ displaystyle P "(1) = M [X] = \ infty)
Acum să luăm funcția de generare Q (s) (\ displaystyle Q (s)) secvențe de cozi de distribuție (q k) (\ displaystyle \ (q_ (k) \))
q k = P (X> k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k. (\ displaystyle q_ (k) = \ mathbb (P) (X> k) = \ sum _ (j = k + 1) ^ (\ infty) (p_ (j)); \ quad Q (s) = \ sum _ (k = 0) ^ (\ infty) \; q_ (k) s ^ (k).)Această funcție generatoare este asociată cu o funcție definită anterior P (s) (\ displaystyle P (s)) proprietate: Q (s) = 1 - P (s) 1 - s (\ displaystyle Q (s) = (\ frac (1-P (s)) (1-s))) la | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} ... Din aceasta, prin teorema valorii medii, rezultă că așteptarea matematică este pur și simplu egală cu valoarea acestei funcție în unitate:
M [X] = P ′ (1) = Q (1) (\ displaystyle M [X] = P "(1) = Q (1))Așteptarea matematică a unei distribuții absolut continue
M [X] = ∫ - ∞ ∞ xf X (x) dx (\ displaystyle M [X] = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! Xf_ (X) (x) \, dx ).Așteptările matematice ale unui vector aleatoriu
Lăsa X = (X 1,…, X n) ⊤: Ω → R n (\ displaystyle X = (X_ (1), \ puncte, X_ (n))) ^ (\ sus) \ colon \ Omega \ to \ mathbb ( R) ^ (n)) este un vector aleatoriu. Apoi, prin definiție
M [X] = (M [X 1],…, M [X n]) ⊤ (\ displaystyle M [X] = (M, \ puncte, M) ^ (\ sus)),adică așteptarea matematică a unui vector este determinată din punct de vedere al componentelor.
Așteptarea matematică a transformării unei variabile aleatoare
Lăsa g: R → R (\ displaystyle g \ două puncte \ mathbb (R) \ la \ mathbb (R)) este o funcție Borel astfel încât variabila aleatoare Y = g (X) (\ displaystyle Y = g (X)) are o așteptare matematică finită. Atunci formula este valabilă pentru ea
M [g (X)] = ∑ i = 1 ∞ g (xi) pi, (\ displaystyle M \ left = \ sum \ limits _ (i = 1) ^ (\ infty) g (x_ (i)) p_ ( i),)dacă X (\ stil de afișare X) are o distribuție discretă;
M [g (X)] = ∫ - ∞ ∞ g (x) f X (x) dx, (\ displaystyle M \ left = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! G (x ) f_ (X) (x) \, dx,)dacă X (\ stil de afișare X) are o distribuţie absolut continuă.
Dacă distribuţia P X (\ displaystyle \ mathbb (P) ^ (X)) variabilă aleatorie X (\ stil de afișare X) forma generala, deci
M [g (X)] = ∫ - ∞ ∞ g (x) P X (d x). (\ displaystyle M \ left = \ int \ limits _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! g (x) \, \ mathbb (P) ^ (X) (dx).)În cazul special când g (X) = X k (\ displaystyle g (X) = X ^ (k)), valorea estimata M [g (X)] = M [X k] (\ displaystyle M = M) numit k (\ stil de afișare k)-al-lea moment al unei variabile aleatorii.
Cele mai simple proprietăți ale așteptărilor matematice
- Așteptarea matematică a unui număr este numărul însuși.
- Așteptarea este liniară, adică
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile după probabilitățile lor.
Fie că variabila aleatoare poate lua numai valorile de probabilitate ale cărora sunt, respectiv, egale. Atunci așteptarea matematică a variabilei aleatoare este determinată de egalitate
Dacă o variabilă aleatoare discretă ia un set numărabil de valori posibile, atunci
Mai mult, așteptarea matematică există dacă seria din partea dreaptă a egalității converge absolut.
Cometariu. Din definiție rezultă că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este o valoare non-aleatoare (constantă).
Definiția așteptării matematice în cazul general
Să definim așteptarea matematică a unei variabile aleatoare, a cărei distribuție nu este neapărat discretă. Să începem cu cazul variabilelor aleatoare nenegative. Ideea va fi de a aproxima astfel de variabile aleatoare cu unele discrete, pentru care așteptarea matematică a fost deja determinată, iar așteptarea matematică este stabilită egală cu limita așteptărilor matematice ale variabilelor aleatoare discrete care o aproximează. Apropo, aceasta este o idee generală foarte utilă că o anumită caracteristică este mai întâi determinată pentru obiecte simple, iar apoi pentru obiecte mai complexe este determinată prin aproximarea lor cu altele mai simple.
Lema 1. Fie o variabilă aleatoare nenegativă arbitrară. Apoi există o succesiune de variabile aleatoare discrete astfel încât
Dovada. Împărțim semiaxa în segmente de lungime egală și definim
Apoi proprietățile 1 și 2 urmează cu ușurință din definiția variabilei aleatoare și
Lema 2. Fie o variabilă aleatoare nenegativă și două secvențe de variabile aleatoare discrete cu proprietățile 1-3 din lema 1. Atunci
Dovada. Rețineți că pentru variabile aleatoare nenegative admitem
În virtutea proprietății 3, este ușor de observat că există o succesiune de numere pozitive astfel încât
De aici rezultă că
Folosind proprietățile așteptărilor matematice pentru variabile aleatoare discrete, obținem
Trecând la limita pentru, obținem afirmația Lemei 2.
Definiția 1. Fie o variabilă aleatoare nenegativă, -secvență de variabile aleatoare discrete cu proprietăți 1-3 din lema 1. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este numărul
Lema 2 garantează că nu depinde de alegerea șirului de aproximare.
Să fie acum o variabilă aleatoare arbitrară. Noi definim
Rezultă ușor din definiția și că
Definiţia 2. Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare arbitrare este numărul
Dacă cel puțin unul dintre numerele din partea dreaptă a acestei egalități este finit.
Proprietățile așteptărilor matematice
Proprietatea 1. Aşteptarea matematică a unei valori constante este egală cu cea mai constantă:
Dovada. Vom considera o constantă ca o variabilă aleatoare discretă care are o valoare posibilă și o ia cu probabilitate, prin urmare,
Observație 1. Să definim produsul unei valori constante printr-o variabilă aleatoare discretă ca o aleatoare discretă, ale cărei valori posibile sunt egale cu produsele unei constante și ale valorilor posibile; probabilitățile valorilor posibile sunt egale cu probabilitățile valorilor posibile corespunzătoare. De exemplu, dacă probabilitatea unei valori posibile este egală, atunci probabilitatea ca valoarea să ia o valoare este, de asemenea, egală cu
Proprietatea 2. Un factor constant poate fi luat în afara semnului așteptării matematice:
Dovada. Fie ca variabila aleatoare să fie specificată de legea distribuției probabilităților:
Ținând cont de observația 1, scriem legea distribuției unei variabile aleatoare
Observația 2. Înainte de a trece la următoarea proprietate, subliniem că două variabile aleatoare sunt numite independente dacă legea de distribuție a uneia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă valoare. În caz contrar, variabilele aleatoare sunt dependente. Mai multe variabile aleatoare sunt numite independent reciproc dacă legile de distribuție a oricărui număr dintre ele nu depind de ce valori posibile au asumat celelalte valori.
Observația 3. Să definim produsul variabilelor aleatoare independente și ca variabilă aleatoare ale căror valori posibile sunt egale cu produsele fiecărei valori posibile cu fiecare valoare posibilă a probabilității valorilor posibile ale produsului sunt egal cu produsele probabilităților valorilor posibile ale factorilor. De exemplu, dacă probabilitatea unei valori posibile este, probabilitatea unei valori posibile este atunci probabilitatea unei valori posibile este
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
Dovada. Fie variabile aleatoare independente și date prin propriile legi de distribuție a probabilității:
Să compunem toate valorile pe care le poate lua o variabilă aleatoare. Pentru a face acest lucru, înmulțim toate valorile posibile cu fiecare valoare posibilă; Ca urmare, obținem și, ținând cont de Observația 3, scriem legea distribuției presupunând, pentru simplitate, că toate valorile posibile ale produsului sunt diferite (dacă nu este cazul, atunci demonstrarea se realizează într-un mod similar). cale):
Așteptările matematice sunt egale cu suma produselor tuturor valorilor posibile după probabilitățile lor:
Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
Dovada. Fie variabilele aleatoare și date de următoarele legi de distribuție:
Alcătuirea tuturor valorilor posibile ale cantității Pentru a face acest lucru, adăugați fiecare valoare posibilă la fiecare valoare posibilă; obținem Să presupunem pentru simplitate că aceste valori posibile sunt diferite (dacă nu este cazul, atunci demonstrația este efectuată într-un mod similar) și notăm probabilitățile lor, respectiv, prin și
Așteptările matematice ale unei cantități sunt egale cu suma produselor valorilor posibile după probabilitățile lor:
Să demonstrăm că un Eveniment constând în faptul că ia o valoare (probabilitatea acestui eveniment este egală cu) implică un eveniment care constă în faptul că ia o valoare sau (probabilitatea acestui eveniment conform teoremei adunării). este egală) și invers. De aici rezultă că egalitățile
Înlocuind părțile din dreapta acestor egalități în relația (*), obținem
sau in sfarsit
Dispersia și deviația standard
În practică, este adesea necesar să se estimeze împrăștierea valorilor posibile ale unei variabile aleatorii în jurul valorii sale medii. De exemplu, în artilerie, este important să știți cât de aproape vor cădea obuzele lângă ținta care urmează să fie lovită.
La prima vedere, s-ar putea părea că pentru a estima împrăștierea, cea mai simplă modalitate este de a calcula toate valorile posibile ale abaterii unei variabile aleatoare și apoi de a găsi valoarea medie a acestora. Cu toate acestea, această cale nu va da nimic, deoarece abaterea medie, adică. pentru orice variabilă aleatoare este egală cu zero. Această proprietate se explică prin faptul că unele posibile abateri sunt pozitive, în timp ce altele sunt negative; ca urmare a rambursării lor reciproce, abaterea medie este egală cu zero. Aceste considerații indică oportunitatea înlocuirii posibilelor abateri cu valorile lor absolute sau cu pătratele lor. Asta fac ei în practică. Adevărat, în cazul în care eventualele abateri sunt înlocuite cu valori absolute, trebuie să se opereze cu valori absolute, ceea ce duce uneori la dificultăți serioase. Prin urmare, de cele mai multe ori merg pe direcția inversă, adică. calculați valoarea medie a pătratului abaterii, care se numește varianță.
Așteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare X, dată pe un spațiu de probabilitate discret, este numărul m = M [X] = ∑x i p i dacă seria converge absolut.
Scopul serviciului... Utilizarea serviciului online se calculează așteptările matematice, varianța și abaterea standard(vezi exemplu). În plus, este reprezentat grafic un grafic al funcției de distribuție F (X).
Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare
- Așteptarea matematică a unei constante este egală cu ea însăși: M [C] = C, C este o constantă;
- M = C M [X]
- Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: M = M [X] + M [Y]
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M = M [X] M [Y], dacă X și Y sunt independenți.
Proprietăți de dispersie
- Varianța constantei este zero: D (c) = 0.
- Factorul constant poate fi scos din semnul de varianță prin pătratul acestuia: D (k * X) = k 2 D (X).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci varianța sumei este egală cu suma varianțelor: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt dependente: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
- Formula de calcul este valabilă pentru varianța:
D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2
Un exemplu. Sunt cunoscute așteptările și variațiile matematice ale a două variabile aleatoare independente X și Y: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Aflați așteptările matematice și varianța variabilei aleatoare Z = 9X-8Y + 7.
Soluţie. Pe baza proprietăților așteptării matematice: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23...
Pe baza proprietăților de dispersie: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345
Algoritm pentru calcularea valorii așteptate
Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate cu numere naturale; atribuiți o probabilitate diferită de zero fiecărei valori.- Înmulțim perechile: x i cu p i pe rând.
- Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i.
De exemplu, pentru n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Exemplul #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Găsim așteptarea matematică prin formula m = ∑x i p i.
Așteptări matematice M [X].
M [x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Găsim varianța prin formula d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
Dispersia D [X].
D [X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Abaterea standard σ (x).
σ = sqrt (D [X]) = sqrt (7,69) = 2,78
Exemplul nr. 2. O variabilă aleatorie discretă are următoarea serie de distribuție:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Soluţie. Găsim valoarea a din relația: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 sau 0,24 = 3 a, de unde a = 0,08
Exemplul nr. 3. Determinați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete dacă varianța ei este cunoscută și x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d (x) = 12,96
Soluţie.
Aici trebuie să compuneți o formulă pentru a găsi varianța d (x):
d (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
unde așteptarea m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Pentru datele noastre
m (x) = 6 * 0,3 + 9 * 0,3 + x 3 * 0,1 + 15 * 0,3 = 9 + 0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3- (9 + 0,1x 3) 2
sau -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
În consecință, este necesar să găsiți rădăcinile ecuației și vor fi două dintre ele.
x 3 = 8, x 3 = 12
O alegem pe cea care satisface condiția x 1
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
