Așteptarea matematică este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare
Așteptare, definiție, așteptare matematică a variabilelor aleatoare discrete și continue, eșantion, așteptare condiționată, calcul, proprietăți, sarcini, estimarea așteptării, varianță, funcție de distribuție, formule, exemple de calcul
Extindeți conținutul
Restrângeți conținutul
Valorea estimata este definitia
Unul dintre cele mai importante concepte din statistica matematică și teoria probabilității, care caracterizează distribuția valorilor sau probabilităților unei variabile aleatoare. De obicei exprimată ca o medie ponderată a tuturor parametrilor posibili ai unei variabile aleatorii. Este utilizat pe scară largă în analiza tehnică, studiul seriilor numerice, studiul proceselor continue și pe termen lung. Este important în evaluarea riscurilor, prezicerea indicatorilor de preț atunci când se tranzacționează pe piețele financiare și este utilizat în dezvoltarea de strategii și metode de tactici de joc în teoria jocurilor de noroc.
Aşteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare, distribuția probabilității unei variabile aleatoare este considerată în teoria probabilității.
Aşteptarea matematică este o măsură a valorii medii a unei variabile aleatoare în teoria probabilității. Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X notat M (x).
Aşteptarea matematică este
Aşteptarea matematică esteîn teoria probabilității, media ponderată a tuturor valorilor posibile pe care le poate lua această variabilă aleatorie.
Aşteptarea matematică este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare cu probabilitățile acestor valori.
Aşteptarea matematică este beneficiul mediu dintr-o soluție sau alta, cu condiția ca o astfel de soluție să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și distanțelor lungi.
Aşteptarea matematică esteîn teoria jocurilor de noroc, suma de câștiguri pe care un jucător le poate câștiga sau pierde, în medie, pentru fiecare pariu. În limbajul jucătorilor, acesta este uneori numit „avantaj de jucător” (dacă este pozitiv pentru jucător) sau „avantaj de cazinou” (dacă este negativ pentru jucător).
Aşteptarea matematică este procentul de profit pe câștiguri înmulțit cu profitul mediu minus probabilitatea de pierdere înmulțită cu pierderea medie.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare în teoria matematică
Una dintre caracteristicile numerice importante ale unei variabile aleatoare este așteptarea matematică. Să introducem conceptul de sistem de variabile aleatoare. Luați în considerare o colecție de variabile aleatoare care sunt rezultatele aceluiași experiment aleatoriu. Dacă - una dintre valorile posibile ale sistemului, atunci evenimentul corespunde unei anumite probabilități care satisface axiomele Kolmogorov. O funcție definită pentru orice valori posibile ale variabilelor aleatoare se numește lege de distribuție comună. Această funcție vă permite să calculați probabilitățile oricăror evenimente din. În special, legea comună de distribuție a variabilelor aleatoare și, care iau valori din mulțime și, este dată de probabilități.
Termenul de „așteptare matematică” a fost introdus de Pierre Simon marchizul de Laplace (1795) și provine din conceptul de „valoare așteptată a unei plăți”, care a apărut pentru prima dată în secolul al XVII-lea în teoria jocurilor de noroc în lucrările lui Blaise Pascal. și Christian Huygens. Cu toate acestea, prima înțelegere și evaluare teoretică completă a acestui concept a fost dată de Pafnutii Lvovich Cebyshev (mijlocul secolului al XIX-lea).
Legea distribuției valorilor numerice aleatoare (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descrie pe deplin comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele dintre caracteristicile numerice ale mărimii investigate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare sunt așteptările matematice, varianța, modul și mediana.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor valorilor sale posibile cu probabilitățile corespunzătoare. Uneori, așteptarea matematică se numește medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii pentru un număr mare de experimente. Din definiția așteptării matematice rezultă că valoarea acesteia nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este o valoare non-aleatorie (constantă).
Așteptarea matematică are o semnificație fizică simplă: dacă o unitate de masă este plasată pe o linie dreaptă prin plasarea unei mase în anumite puncte (pentru o distribuție discretă), sau „untând-o” cu o anumită densitate (pentru o distribuție absolut continuă), atunci punctul corespunzător așteptării matematice va fi coordonata „centrul de greutate” este drept.
Valoarea medie a unei variabile aleatoare este un anumit număr, care este, parcă, „reprezentantul” ei și îl înlocuiește în calcule aproximative aproximative. Când spunem: „timpul mediu de funcționare al lămpii este de 100 de ore” sau „punctul mediu de impact este deplasat față de țintă cu 2 m spre dreapta”, indicăm o anumită caracteristică numerică a unei variabile aleatorii care îi descrie. amplasarea pe axa numerică, adică „Caracterizarea postului”.
Dintre caracteristicile poziției în teoria probabilității, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică a unei variabile aleatoare, care uneori este numită pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatoare.
Luați în considerare o variabilă aleatoare X cu valori posibile x1, x2, ..., xn cu probabilităţi p1, p2, ..., pn... Trebuie să caracterizăm printr-un anumit număr poziția valorilor unei variabile aleatoare pe abscisă, ținând cont de faptul că aceste valori au probabilități diferite. În acest scop, este firesc să folosim așa-numita „medie ponderată” a valorilor xi, iar fiecare valoare a lui xi în timpul medierii ar trebui luată în considerare cu o „pondere” proporțională cu probabilitatea acestei valori. Astfel, vom calcula media variabilei aleatoare X pe care o vom nota M | X |:
Această medie ponderată se numește așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Astfel, am introdus în considerare unul dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilităților - conceptul de așteptare matematică. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare cu probabilitățile acestor valori.
X asociat cu un fel de relație cu media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii cu un număr mare de experimente. Această dependență este de același tip cu dependența dintre frecvență și probabilitate, și anume: cu un număr mare de experimente, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii se apropie (converge în probabilitate) de așteptarea sa matematică. Din prezența unei relații între frecvență și probabilitate, se poate deduce drept consecință prezența unei relații similare între media aritmetică și așteptarea matematică. Într-adevăr, luați în considerare variabila aleatoare X caracterizat printr-o serie de distribuție:
Lasă-l să fie produs N experimente independente, în fiecare dintre ele valoarea X capătă un anumit sens. Să presupunem că valoarea x1 a apărut m1 ori, valoare x2 a apărut m2 ori, sens în general xi a aparut de mie ori. Să calculăm media aritmetică a valorilor observate ale mărimii X, care, spre deosebire de așteptările matematice M | X | vom desemna M * | X |:
Cu o creștere a numărului de experimente N frecvență pi se va apropia (converge în probabilitate) de probabilităţile corespunzătoare. În consecință, media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare M | X | cu o creștere a numărului de experimente, se va apropia (converge în probabilitate) de așteptările sale matematice. Legătura de mai sus dintre media aritmetică și așteptarea matematică este conținutul uneia dintre formele legii numerelor mari.
Știm deja că toate formele legii numerelor mari afirmă faptul că anumite medii sunt stabile pentru un număr mare de experimente. Aici este vorba asupra stabilităţii mediei aritmetice dintr-o serie de observaţii de aceeaşi mărime. Cu un număr mic de experimente, media aritmetică a rezultatelor lor este aleatorie; cu o creștere suficientă a numărului de experimente, devine „aproape aleatoriu” și, stabilizându-se, se apropie de o valoare constantă - așteptarea matematică.
Proprietatea de stabilitate a mediilor cu un număr mare de experimente este ușor de verificat experimental. De exemplu, cântărind un corp într-un laborator pe o balanță precisă, obținem de fiecare dată o nouă valoare ca urmare a cântăririi; pentru a reduce eroarea de observare, cântărim corpul de mai multe ori și folosim media aritmetică a valorilor obținute. Este ușor de convins că odată cu o creștere suplimentară a numărului de experimente (cântăriri) media aritmetică reacționează la această creștere din ce în ce mai puțin, iar cu un număr suficient de mare de experimente practic încetează să se schimbe.
De remarcat că cea mai importantă caracteristică a poziției unei variabile aleatoare - așteptarea matematică - nu există pentru toate variabilele aleatoare. Este posibil să se compună exemple de astfel de variabile aleatoare pentru care așteptarea matematică nu există, deoarece suma sau integrala corespunzătoare diverge. Cu toate acestea, pentru practică, astfel de cazuri nu prezintă un interes semnificativ. De obicei, variabilele aleatoare cu care ne ocupăm au o gamă limitată de valori posibile și, desigur, au o așteptare matematică.
Pe lângă cele mai importante caracteristici ale poziției unei variabile aleatoare - așteptarea matematică - sunt uneori folosite în practică și alte caracteristici ale poziției, în special modul și mediana unei variabile aleatoare.
Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă. Termenul „valoare cea mai probabilă”, strict vorbind, se aplică doar cantităților discontinue; pentru o cantitate continuă, modul este acea valoare la care densitatea de probabilitate este maximă. Figurile arată modul pentru variabile aleatoare discontinue și, respectiv, continue.
Dacă poligonul de distribuție (curba de distribuție) are mai mult de un maxim, distribuția se numește „polimodală”.
Uneori există distribuții care au un minim, nu un maxim, la mijloc. Astfel de distribuții sunt numite „anti-modale”.
În cazul general, modul și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare nu coincid. În cazul particular, când distribuția este simetrică și modală (adică are un mod) și există o așteptare matematică, atunci aceasta coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.
O altă caracteristică a poziției este adesea folosită - așa-numita mediană a unei variabile aleatoare. Această caracteristică este de obicei folosită numai pentru variabile aleatoare continue, deși formal poate fi determinată pentru o variabilă discontinuă. Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului în care aria delimitată de curba de distribuție este înjumătățită.
În cazul unei distribuții modale simetrice, mediana coincide cu așteptarea și modul matematic.
Așteptarea matematică este valoarea medie a variabilei aleatoare - caracteristica numerică a distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare. În modul cel mai general, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X (w) este definită ca integrala Lebesgue în raport cu măsura probabilității Rîn spațiul de probabilitate inițial:
Așteptările matematice pot fi calculate și ca integrala Lebesgue a X prin distribuție de probabilitate px magnitudini X:
Într-un mod natural, puteți defini conceptul de variabilă aleatoare cu o așteptare matematică infinită. Timpii de întoarcere în unele plimbări aleatorii sunt exemple tipice.
Folosind așteptarea matematică, sunt determinate multe caracteristici numerice și funcționale ale distribuției (ca așteptarea matematică a funcțiilor corespunzătoare ale unei variabile aleatoare), de exemplu, o funcție generatoare, o funcție caracteristică, momente de orice ordin, în special variația, covarianta.
Așteptarea matematică este o caracteristică a locației valorilor unei variabile aleatoare (valoarea medie a distribuției sale). În această calitate, așteptarea matematică servește ca un parametru de distribuție „tipic” și rolul său este similar cu rolul momentului static - coordonatele centrului de greutate al distribuției de masă - în mecanică. Așteptarea matematică diferă de alte caracteristici de locație, cu ajutorul cărora distribuția este descrisă în termeni generali, mediane, moduri, prin valoarea mai mare pe care ea și caracteristica de împrăștiere corespunzătoare - dispersia - o au în teoremele limită ale teoriei probabilităților. Cu cea mai mare completitudine, sensul așteptării matematice este relevat de legea numerelor mari (inegalitatea lui Cebișev) și legea întărită a numerelor mari.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Să existe o variabilă aleatorie care poate lua una dintre mai multe valori numerice (de exemplu, numărul de puncte la aruncarea unui zar poate fi 1, 2, 3, 4, 5 sau 6). În practică, se pune adesea întrebarea pentru o astfel de valoare: ce valoare ia „în medie” cu un număr mare de teste? Care va fi venitul nostru mediu (sau pierderea) din fiecare dintre operațiunile riscante?
Să presupunem că există un fel de loterie. Vrem să înțelegem dacă este profitabil sau nu să participăm la el (sau chiar să participăm în mod repetat, în mod regulat). Să presupunem că fiecare al patrulea bilet câștigător, premiul este de 300 de ruble și prețul oricărui bilet este de 100 de ruble. Cu un număr infinit de participare, asta se întâmplă. În trei sferturi din cazuri, vom pierde, fiecare trei pierderi va costa 300 de ruble. În fiecare al patrulea caz, vom câștiga 200 de ruble. (premiul minus costul), adică pentru patru participări pierdem în medie 100 de ruble, pentru una - în medie 25 de ruble. În total, rata medie a ruinei noastre va fi de 25 de ruble pe bilet.
Aruncăm zarurile. Dacă nu este înșelăciune (fără deplasare în centrul de greutate etc.), atunci câte puncte vom avea în medie la un moment dat? Deoarece fiecare opțiune este la fel de probabilă, luăm o medie aritmetică stupidă și obținem 3,5. Deoarece aceasta este MEDIE, nu trebuie să vă indignați că nicio aruncare anume nu va da 3,5 puncte - ei bine, acest cub nu are margine cu un astfel de număr!
Acum să rezumam exemplele noastre:
Să ne uităm la poza tocmai arătată. În stânga este un tabel cu distribuția unei variabile aleatoare. Valoarea X poate lua una dintre n valori posibile (afișate în linia de sus). Nu pot exista alte valori. Fiecare valoare posibilă de mai jos este etichetată cu probabilitatea sa. În dreapta este formula, unde M (X) se numește așteptarea matematică. Semnificația acestei valori este că, cu un număr mare de teste (cu un eșantion mare), valoarea medie va tinde către această așteptare matematică.
Să revenim la același cub de joc. Așteptarea matematică a numărului de puncte la aruncare este 3,5 (calculați-vă folosind formula, dacă nu credeți). Să presupunem că ai aruncat-o de câteva ori. Au scăzut 4 și 6. În medie, au ieșit 5, adică departe de 3,5. Au mai aruncat-o o dată, au scăzut 3, adică în medie (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333... Cumva departe de așteptarea matematică. Acum fă acest experiment nebunesc - rostogolește cubul de 1000 de ori! Și dacă media nu este exact 3,5, va fi aproape de asta.
Să calculăm așteptările matematice pentru loteria de mai sus. Placa va arăta astfel:
Atunci așteptarea matematică va fi, așa cum am stabilit mai sus:
Un alt lucru este că ar fi dificil să folosești același „pe degete”, fără o formulă, dacă ar fi mai multe opțiuni. Să presupunem că ai avut 75% din bilete pierdute, 20% din bilete câștigătoare și 5% din bilete câștigătoare suplimentare.
Acum câteva proprietăți ale așteptării matematice.
Demonstrarea acestui lucru este simplă:
Un factor constant este permis să fie scos din semnul așteptării matematice, adică:
Acesta este un caz special al proprietății de liniaritate a așteptării matematice.
O altă consecință a liniarității așteptării matematice:
adică așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare sunt egale cu suma așteptărilor matematice ale variabilelor aleatoare.
Fie X, Y variabile aleatoare independente, atunci:
Acest lucru este, de asemenea, ușor de dovedit) X Yîn sine este o variabilă aleatorie, în timp ce valorile inițiale ar putea lua nși m valorile respectiv, atunci X Y poate lua valori nm. Probabilitatea fiecăreia dintre valori este calculată pe baza faptului că probabilitățile evenimente independente sunt multiplicate. Ca rezultat, obținem asta:
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue
Variabilele aleatoare continue au caracteristici precum densitatea distribuției (densitatea probabilității). Ea, de fapt, caracterizează situația în care o variabilă aleatorie ia mai des unele valori din mulțimea numerelor reale, unele mai rar. De exemplu, luați în considerare următorul grafic:
Aici X este o variabilă aleatorie în sine, f (x)- densitatea distribuţiei. Judecând după acest grafic, în experimente, valoarea X va fi adesea un număr apropiat de zero. Șanse să depășească 3 sau să fie mai puțin -3 mai degrabă pur teoretic.
De exemplu, să presupunem că există o distribuție uniformă:
Acest lucru este destul de compatibil cu înțelegerea intuitivă. Să spunem, dacă obținem o mulțime de numere reale aleatoare cu o distribuție uniformă, fiecare dintre segmente |0; 1| , atunci media aritmetică ar trebui să fie de aproximativ 0,5.
Proprietățile așteptării matematice - liniaritate etc., aplicabile pentru variabile aleatoare discrete, sunt aplicabile și aici.
Relația așteptărilor matematice cu alți indicatori statistici
În analiza statistică, alături de așteptarea matematică, există un sistem de indicatori interdependenți care reflectă omogenitatea fenomenelor și stabilitatea proceselor. Indicatorii de variație nu au adesea un sens independent și sunt utilizați pentru analiza ulterioară a datelor. Excepție este coeficientul de variație, care caracterizează omogenitatea datelor, care este o statistică valoroasă.
Gradul de variabilitate sau stabilitate a proceselor din știința statistică poate fi măsurat folosind mai mulți indicatori.
Cel mai important indicator care caracterizează variabilitatea unei variabile aleatoare este Dispersia, care este strâns și direct legat de așteptarea matematică. Acest parametru este utilizat activ în alte tipuri de analiză statistică (testarea ipotezelor, analiza relațiilor cauză-efect etc.). La fel ca media liniară, varianța reflectă și măsura răspândirii datelor în jurul mediei.
Este util să traducem limbajul semnelor în limbajul cuvintelor. Rezultă că varianța este pătratul mediu al abaterilor. Adică, mai întâi se calculează media, apoi se ia diferența dintre fiecare original și medie, se pune la pătrat, se adună și apoi se împarte la numărul de valori din populație. Diferența dintre valoarea individuală și medie reflectă măsura abaterii. Este la pătrat astfel încât toate abaterile să devină exclusiv numere pozitive și pentru a evita distrugerea reciprocă a abaterilor pozitive și negative atunci când sunt însumate. Apoi, cu pătratele abaterilor, calculăm pur și simplu media aritmetică. Medie - pătrat - abateri. Abaterile sunt pătrate și se ia în considerare media. Soluția pentru cuvântul magic „varianță” constă în doar trei cuvinte.
Cu toate acestea, în forma sa pură, cum ar fi media aritmetică sau indicele, varianța nu este utilizată. Este mai degrabă un indicator auxiliar și intermediar care este utilizat pentru alte tipuri de analiză statistică. Nici măcar nu are o unitate de măsură normală. Judecând după formulă, acesta este pătratul unității de măsură a datelor originale.
Să măsurăm o variabilă aleatoare N de ori, de exemplu, măsurăm viteza vântului de zece ori și dorim să găsim valoarea medie. Cum este media cu funcția de distribuție?
Sau vom arunca zarurile de un număr mare de ori. Numărul de puncte care vor cădea pe zar cu fiecare aruncare este o variabilă aleatorie și poate lua orice valoare naturală de la 1 la 6. Media aritmetică a punctelor pierdute calculate pentru toate aruncările de zaruri este, de asemenea, o valoare aleatorie, dar pentru mari N tinde către un număr foarte specific - așteptarea matematică Mx... În acest caz, Mx = 3,5.
Cum a apărut această valoare? Lăsa să intre Nîncercări n1 odată a scăzut 1 punct, n2 ori - 2 puncte și așa mai departe. Atunci numărul de rezultate în care un punct a fost eliminat este:
La fel și pentru rezultatele când se aruncă 2, 3, 4, 5 și 6 puncte.
Să presupunem că acum cunoaștem legea de distribuție a unei variabile aleatoare x, adică știm că o variabilă aleatoare x poate lua valori x1, x2, ..., xk cu probabilități p1, p2, ..., pk.
Așteptarea matematică Mx a unei variabile aleatoare x este:
Așteptările matematice nu sunt întotdeauna o estimare rezonabilă a unei variabile aleatorii. Deci, pentru a estima salariul mediu, este mai rezonabil să folosim conceptul de mediană, adică o astfel de valoare încât numărul de persoane care primesc mai puțin decât salariul mediu și mai mult să fie același.
Probabilitatea p1 ca variabila aleatoare x să fie mai mică decât x1 / 2 și probabilitatea p2 ca variabila aleatoare x să fie mai mare decât x1 / 2 sunt aceleași și egale cu 1/2. Mediana nu este determinată fără ambiguitate pentru toate distribuțiile.
Abatere standard sau standardîn statistică, este gradul în care datele sau seturile observaționale se abat de la medie. Este desemnat prin literele s sau s. O abatere standard mică indică faptul că datele sunt grupate în jurul mediei, în timp ce o abatere standard mare indică faptul că datele originale sunt departe de aceasta. Abaterea standard este egală cu rădăcina pătrată a unei mărimi numită varianță. Este media sumei diferențelor pătrate ale datelor inițiale care se abate de la medie. Abaterea rădăcină pătrată medie a unei variabile aleatoare se numește rădăcina pătrată a varianței:
Exemplu. În condiții de testare, când trageți la o țintă, calculați varianța și abaterea standard a unei variabile aleatorii:
Variație- variabilitatea, variabilitatea valorii trăsăturii în unităţile populaţiei. Valorile numerice individuale ale unei caracteristici care se găsesc în populația studiată se numesc opțiuni de valoare. Lipsa mediei pentru caracteristici complete agregatul forțează să suplimenteze valorile medii cu indicatori care ne permit să evaluăm caracterul tipic al acestor medii prin măsurarea variabilității (variației) trăsăturii studiate. Coeficientul de variație se calculează prin formula:
Varianta de glisare(R) este diferența dintre valorile maxime și minime ale trăsăturii în populația studiată. Acest indicator oferă cea mai generală idee despre variabilitatea trăsăturii studiate, deoarece arată diferența doar între valorile limită ale opțiunilor. Dependența de valorile extreme ale trăsăturii conferă intervalului de variație un caracter instabil, aleatoriu.
Abaterea liniară medie reprezintă media aritmetică a abaterilor absolute (modulo) ale tuturor valorilor populației analizate față de valoarea medie a acestora:
Valoarea așteptată în teoria jocurilor de noroc
Aşteptarea matematică este suma medie de bani pe care un jucător de noroc poate câștiga sau pierde la un anumit pariu. Acesta este un concept foarte important pentru jucător, deoarece este fundamental pentru evaluarea majorității situațiilor de joc. Așteptarea este, de asemenea, un instrument optim pentru analizarea aspectului de bază a cărților și a situațiilor de joc.
Să presupunem că joci o monedă cu un prieten, pariând 1 dolar în mod egal de fiecare dată, indiferent de ceea ce apare. Cozi - câștigi, capete - pierzi. Șansele de a ajunge la cozi sunt unu-la-unu și pariezi de la 1 USD la 1 USD. Astfel, așteptarea ta matematică este zero, pentru că matematic vorbind, nu poți ști dacă vei conduce sau vei pierde după două aruncări sau după 200.
Câștigul tău orar este zero. Un câștig pe oră este suma de bani pe care te aștepți să o câștigi într-o oră. Puteți arunca o monedă de 500 de ori într-o oră, dar nu veți câștiga sau pierde, pentru că sansele tale nu sunt nici pozitive, nici negative. Din punctul de vedere al unui jucător serios, un astfel de sistem de pariuri nu este rău. Dar aceasta este pur și simplu o pierdere de timp.
Dar să presupunem că cineva dorește să parieze 2 USD împotriva 1 USD în același joc. Atunci ai imediat o așteptare pozitivă de 50 de cenți de la fiecare pariu. De ce 50 de cenți? În medie, câștigi un pariu și pierzi al doilea. Pariați pe primul dolar și pierdeți 1 USD, pariați pe al doilea și câștigați 2 USD. Pariezi 1 dolar de două ori și ești cu 1 dolar înainte. Deci, fiecare dintre pariurile tale de un dolar ți-a oferit 50 de cenți.
Dacă moneda cade de 500 de ori într-o oră, câștigurile dvs. pe oră vor fi deja de 250 USD, deoarece în medie, ai pierdut de 1 250 de dolari și ai câștigat de 2 250 de dolari. 500 $ minus 250 $ este egal cu 250 $, care este câștigurile totale. Vă rugăm să rețineți că valoarea așteptată, care este suma pe care ați câștigat-o în medie la un pariu, este de 50 de cenți. Ai câștigat 250 de dolari plasând un pariu de 500 de ori, ceea ce înseamnă 50 de cenți din miză.
Valoarea așteptată nu are nimic de-a face cu rezultatul pe termen scurt. Adversarul tău, care a decis să parieze 2 dolari împotriva ta, te putea învinge la primele zece aruncări la rând, dar tu, cu avantajul de a paria 2 la 1, toate celelalte fiind egale, în toate împrejurările, câștigi 50 de cenți din fiecare pariu de 1 dolar. Nu contează dacă câștigi sau pierzi un pariu sau mai multe pariuri, ci doar dacă ai suficienți bani pentru a compensa cu calm costurile. Dacă vei continua să pariezi în același mod, atunci, pe o perioadă lungă de timp, câștigurile tale vor ajunge la suma așteptărilor tale în aruncări individuale.
De fiecare dată când faci un pariu cu cel mai bun rezultat (un pariu care se poate dovedi a fi profitabil pe termen lung), când cotele sunt în favoarea ta, cu siguranță vei câștiga ceva la el și nu contează dacă pierzi este sau nu în această mână. În schimb, dacă faci un pariu cu cel mai prost rezultat (un pariu care nu este profitabil pe termen lung), când cotele nu sunt în favoarea ta, pierzi ceva indiferent dacă câștigi sau pierzi în mâna dată.
Faci un pariu cu cel mai bun rezultat dacă așteptările tale sunt pozitive și este pozitiv dacă șansele sunt de partea ta. Când plasezi un pariu cu cel mai prost rezultat, ai așteptări negative, ceea ce se întâmplă atunci când șansele sunt împotriva ta. Jucătorii serioși pariază doar cu cel mai bun rezultat; în cel mai rău caz, renunță. Ce înseamnă șansele în favoarea ta? S-ar putea să ajungi să câștigi mai mult decât aduc șansele reale. Șansele reale de a ajunge la cozi sunt 1 la 1, dar obțineți 2 la 1 datorită raportului dintre pariuri. În acest caz, șansele sunt în favoarea ta. Cu siguranță veți obține cel mai bun rezultat cu o așteptare pozitivă de 50 de cenți per pariu.
Aici este mai mult exemplu complex așteptări matematice. Prietenul tău scrie numerele de la unu la cinci și pariază 5 USD pe 1 USD că nu vei determina numărul ascuns. Ar trebui să fiți de acord cu un astfel de pariu? Care este așteptarea aici?
În medie, vei greși de patru ori. Pe baza acestui lucru, șansele împotriva ta să ghicești numărul sunt 4 la 1. șansele sunt să pierzi un dolar dintr-o singură încercare. Cu toate acestea, câștigi 5 la 1, dacă poți pierde 4 la 1. Deci, șansele sunt în favoarea ta, poți lua pariul și spera la un rezultat mai bun. Dacă plasezi acest pariu de cinci ori, în medie vei pierde de patru ori 1 dolar și vei câștiga 5 dolari o dată. Pe baza acestui fapt, pentru toate cele cinci încercări, veți câștiga 1 dolar cu o valoare așteptată pozitivă de 20 de cenți per pariu.
Un jucător care va câștiga mai mult decât pariază, ca în exemplul de mai sus, prinde cotele. Dimpotrivă, el distruge șansele atunci când se așteaptă să câștige mai puțin decât a pariat. Un jucător care face un pariu poate avea așteptări pozitive sau negative, care depinde dacă prinde sau distruge cotele.
Dacă pariezi 50 USD pentru a câștiga 10 USD cu o probabilitate de 4 la 1 de câștig, atunci obții o așteptare negativă de 2 USD, deoarece în medie, câștigi de patru ori 10 USD și pierzi 50 USD o dată, ceea ce arată că pierderea pentru un pariu este de 10 USD. Dar dacă pariezi 30 USD pentru a câștiga 10 USD, cu aceleași șanse de a câștiga 4 la 1, atunci în acest caz ai o așteptare pozitivă de 2 USD, deoarece câștigi din nou de patru ori pentru 10 USD și pierzi 30 USD o dată pentru un profit de 10 USD. Aceste exemple arată că primul pariu este rău, iar al doilea este bun.
Așteptarea este centrul oricărei situații de joc. Când o casă de pariuri încurajează fanii fotbalului să parieze 11 USD pentru a câștiga 10 USD, ei au o așteptare pozitivă de 50 de cenți pentru fiecare 10 USD. Dacă cazinoul plătește bani egali din linia de trecere în craps, atunci așteptarea pozitivă a cazinoului este de aproximativ 1,40 USD pentru fiecare 100 USD, deoarece Acest joc este structurat în așa fel încât toți cei care pariază pe această linie pierd în medie 50,7% și câștigă 49,3% din timpul total. Fără îndoială, această așteptare pozitivă aparent minimă este cea care aduce profituri colosale proprietarilor de cazinouri din întreaga lume. După cum a remarcat proprietarul cazinoului Vegas World, Bob Stupak, „probabilitatea negativă de o miime de procent pe o distanță suficient de lungă va ruina cel mai bogat om in lume".
Așteptări matematice când joci poker
Jocul Poker este cel mai ilustrativ și mai ilustrativ exemplu în ceea ce privește utilizarea teoriei și proprietăților așteptărilor matematice.
Valoarea așteptată în poker este beneficiul mediu dintr-o anumită decizie, cu condiția ca o astfel de decizie să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și distanțelor lungi. Un joc de poker de succes înseamnă să accepti întotdeauna mișcările cu așteptări pozitive.
Semnificația matematică a așteptării matematice atunci când jucăm poker este că deseori întâlnim variabile aleatorii atunci când luăm o decizie (nu știm care cărți sunt în mâinile adversarului nostru, care cărți vor veni în rundele de pariere ulterioare). Trebuie să luăm în considerare fiecare dintre soluții din punctul de vedere al teoriei numerelor mari, care spune că la un eșantion suficient de mare, valoarea medie a unei variabile aleatoare va tinde spre așteptarea ei matematică.
Dintre formulele particulare pentru calcularea așteptărilor matematice, următoarele sunt cele mai aplicabile în poker:
Când jucați poker, valoarea așteptată poate fi calculată atât pentru pariuri, cât și pentru apeluri. În primul caz, trebuie luată în considerare fold equity, în al doilea - cotele proprii ale potului. Când evaluăm așteptările matematice ale unei mișcări, trebuie amintit că un pliu are întotdeauna o așteptare zero. Astfel, aruncarea cărților va fi întotdeauna o decizie mai profitabilă decât orice mișcare negativă.
Așteptările vă spune la ce vă puteți aștepta (profit sau pierdere) pentru fiecare dolar pe care îl riscați. Cazinourile fac bani pentru că așteptarea tuturor jocurilor care se practică în ele este în favoarea cazinoului. Cu o serie de jocuri suficient de lungă, se poate aștepta ca clientul să-și piardă banii, întrucât „probabilitatea” este în favoarea cazinoului. Cu toate acestea, jucătorii profesioniști de cazinou își limitează jocurile la perioade scurte de timp, crescând astfel șansele în favoarea lor. Același lucru este valabil și pentru investiții. Dacă așteptările tale sunt pozitive, poți câștiga mai mulți bani făcând multe tranzacții într-o perioadă scurtă de timp. Așteptările reprezintă procentajul dvs. din profit la câștig înmulțit cu profitul mediu minus probabilitatea dvs. de pierdere înmulțită cu pierderea medie.
Pokerul poate fi văzut și în termeni de așteptări matematice. Puteți presupune că o anumită mișcare este profitabilă, dar în unele cazuri poate să nu fie cea mai bună, deoarece o altă mutare este mai profitabilă. Să presupunem că ați lovit un full într-un poker cu cinci cărți. Adversarul tău pariază. Știi că dacă îți ridici oferta, el va răspunde. Prin urmare, ridicarea pare cea mai bună tactică. Dar dacă ridici pariul, cei doi jucători rămași se vor renunța cu siguranță. Dar dacă suni, vei fi complet sigur că alți doi jucători după tine vor face același lucru. Când ridicați pariul, obțineți o unitate și pur și simplu dați un call - două. Astfel, egalizarea vă oferă o așteptare matematică pozitivă mai mare și este cea mai bună tactică.
Așteptarea matematică poate oferi și o idee despre care tactici sunt mai puțin profitabile în poker și care sunt mai multe. De exemplu, când joci o anumită mână, crezi că pierderile tale vor avea o medie de 75 de cenți, inclusiv ante-urile, atunci această mână ar trebui să fie jucată deoarece acest lucru este mai bine decât plierea când ante este de 1 USD.
Un alt motiv important pentru a înțelege esența așteptărilor matematice este că îți dă un sentiment de pace indiferent dacă ai câștigat pariul sau nu: dacă ai făcut un pariu bun sau ai renunțat la timp, vei ști că ai făcut sau ai economisit o anumită sumă. de bani, pe care jucătorul mai slab nu i-a putut salva. Este mult mai dificil să renunți dacă ești supărat că adversarul tău a făcut o combinație mai puternică la schimb. Cu toate acestea, banii pe care i-ai economisit fără a juca, în loc să pariezi, se adaugă la câștigurile tale pe noapte sau pe lună.
Amintește-ți doar că, dacă ți-ai schimba mâinile, adversarul te-ar chema și, așa cum vei vedea în articolul „The Fundamental Theorem of Poker”, acesta este doar unul dintre avantajele tale. Ar trebui să fii fericit când se întâmplă asta. Poți chiar să înveți să te bucuri de o mână pierzătoare, pentru că știi că alți jucători în locul tău ar fi pierdut mult mai mult.
După cum s-a menționat în exemplul de joc cu moneda de la început, rata orară de rentabilitate este legată de valoarea așteptată, iar acest concept este deosebit de important pentru jucătorii profesioniști. Când ai de gând să joci poker, trebuie să estimi mental cât de mult poți câștiga într-o oră de joc. În cele mai multe cazuri, va trebui să vă bazați pe intuiție și experiență, dar puteți folosi și puțină matematică. De exemplu, joci draw lowball și vezi că trei jucători pariază 10 USD și apoi schimbă două cărți, ceea ce este o tactică foarte proastă, ai putea crede că de fiecare dată când pariază 10 USD, pierd aproximativ 2 USD. Fiecare dintre ei o face de opt ori pe oră, ceea ce înseamnă că toți trei pierd aproximativ 48 de dolari pe oră. Ești unul dintre cei patru jucători rămași, care sunt aproximativ egali, așa că acești patru jucători (și tu printre ei) trebuie să împartă 48 USD, iar profitul fiecăruia va fi de 12 USD pe oră. Cotele tale pe oră, în acest caz, sunt pur și simplu partea ta din suma de bani pierdută de trei jucători răi într-o oră.
Pe o perioadă lungă de timp, câștigul total al jucătorului este suma așteptărilor sale matematice în mâinile individuale. Cu cât joci mai mult cu așteptări pozitive, cu atât câștigi mai mult și invers, cu cât joci mai multe mâini cu așteptări negative, cu atât pierzi mai mult. În consecință, ar trebui să alegeți un joc care vă poate maximiza așteptările pozitive sau le poate anula pe cele negative, astfel încât să vă puteți maximiza câștigurile pe oră.
Așteptări matematice pozitive în strategia de joc
Dacă știi să numeri cărțile, s-ar putea să ai un avantaj față de cazinou dacă nu îl văd și te dau afară. Cazinourile iubesc jucătorii beți și nu suportă contoarele de cărți. Advantage vă va permite să câștigați de mai multe ori în timp decât pierdeți. Gestionarea bună a banilor folosind calcule matematice de așteptare vă poate ajuta să profitați mai mult de avantajul dvs. și să reduceți pierderile. Fără un avantaj, ar fi mai bine să donezi bani în scopuri caritabile. În tranzacționarea la bursă, avantajul este dat de sistemul de joc, care creează mai multe profituri decât pierderi, diferențe de preț și comisioane. Nicio sumă de gestionare a banilor nu va salva un sistem de joc prost.
O așteptare pozitivă este definită de o valoare mai mare decât zero. Cu cât acest număr este mai mare, cu atât așteptările statistice sunt mai puternice. Dacă valoarea este mai mică decât zero, atunci și așteptarea matematică va fi negativă. Cu cât modulul valorii negative este mai mare, cu atât situația este mai proastă. Dacă rezultatul este zero, atunci așteptarea este prag de rentabilitate. Poți câștiga doar atunci când ai o așteptare matematică pozitivă, un sistem de joc rezonabil. A juca prin intuiție duce la dezastru.
Așteptări și tranzacționare la schimb
Așteptarea matematică este un indicator statistic destul de solicitat și popular în implementarea tranzacționării bursiere pe piețele financiare. În primul rând, acest parametru este folosit pentru a analiza succesul unei tranzacții. Nu este greu de ghicit că, cu cât valoarea dată este mai mare, cu atât mai multe motive pentru a considera comerțul studiat de succes. Desigur, analiza muncii unui comerciant nu se poate face doar cu ajutorul acestui parametru. Cu toate acestea, valoarea calculată, în combinație cu alte metode de evaluare a calității muncii, poate îmbunătăți semnificativ acuratețea analizei.
Așteptarea matematică este adesea calculată în serviciile de monitorizare a conturilor de tranzacționare, ceea ce vă permite să evaluați rapid munca depusă la depozit. Ca excepții, se pot cita strategii care folosesc „sesing out” din tranzacțiile neprofitabile. Un comerciant poate fi norocos de ceva timp și, prin urmare, este posibil să nu existe deloc pierderi în munca sa. În acest caz, nu se va putea naviga doar prin așteptare, deoarece riscurile folosite în lucrare nu vor fi luate în considerare.
În tranzacționarea pe piață, așteptarea este folosită cel mai adesea atunci când se prezică profitabilitatea unei strategii de tranzacționare sau când se prezică venitul unui comerciant pe baza datelor statistice ale tranzacțiilor sale anterioare.
În ceea ce privește gestionarea banilor, este foarte important să înțelegeți că atunci când faceți tranzacții cu așteptări negative, nu există o schemă de gestionare a banilor care să poată aduce cu siguranță profituri mari. Dacă vei continua să joci la bursă în aceste condiții, atunci indiferent cum îți gestionezi banii, îți vei pierde întregul cont, oricât de mare era la început.
Această axiomă nu este valabilă numai pentru jocuri sau tranzacții cu așteptări negative, ci este valabilă și pentru jocurile cu cote egale. Prin urmare, singurul moment în care aveți șansa de a beneficia pe termen lung este atunci când intrați în tranzacții cu o valoare așteptată pozitivă.
Diferența dintre așteptarea negativă și așteptarea pozitivă este diferența dintre viață și moarte. Nu contează cât de pozitivă sau cât de negativă este așteptarea; ceea ce contează este dacă este pozitiv sau negativ. Prin urmare, înainte de a lua în considerare problemele de gestionare a banilor, trebuie să găsiți un joc cu așteptări pozitive.
Dacă nu ai un astfel de joc, atunci nicio sumă de gestionare a banilor din lume nu te va salva. Pe de altă parte, dacă ai o așteptare pozitivă, poți, printr-un bun management al banilor, să o transformi într-o funcție de creștere exponențială. Nu contează cât de mică este această așteptare pozitivă! Cu alte cuvinte, nu contează cât de profitabil este un sistem de tranzacționare cu un singur contract. Dacă aveți un sistem care câștigă 10 USD per contract la o singură tranzacție (după deducerea comisiilor și derapaje), puteți utiliza tehnici de gestionare a banilor pentru a-l face mai profitabil decât un sistem care arată un profit mediu de 1000 USD per tranzacție (după deducere). de comisioane şi derapaj).
Ceea ce contează nu este cât de profitabil a fost sistemul, ci cât de sigur se poate spune că sistemul va arăta cel puțin profit minim în viitor. Prin urmare, cea mai importantă pregătire pe care o poate face un comerciant este să se asigure că sistemul arată o așteptare matematică pozitivă în viitor.
Pentru a avea o așteptare matematică pozitivă în viitor, este foarte important să nu restrângeți gradele de libertate ale sistemului dumneavoastră. Acest lucru se realizează nu numai prin eliminarea sau reducerea numărului de parametri care trebuie optimizați, ci și prin reducerea cât mai multor reguli de sistem. Fiecare parametru pe care îl adăugați, fiecare regulă pe care o faceți, fiecare modificare mică pe care o faceți sistemului, reduce numărul de grade de libertate. În mod ideal, trebuie să construiți un sistem destul de primitiv și simplu, care va genera în mod constant profituri mici pe aproape orice piață. Din nou, este important să înțelegeți că nu contează cât de profitabil este sistemul, atâta timp cât este profitabil. Banii pe care îi câștigați în tranzacționare vor fi câștigați printr-un management eficient al banilor.
Un sistem de tranzacționare este pur și simplu un instrument care vă oferă o așteptare matematică pozitivă, astfel încât gestionarea banilor să poată fi utilizată. Sistemele care funcționează (afișează cel puțin profit minim) doar pe una sau câteva piețe, sau au reguli sau parametri diferiți pentru piețe diferite, cel mai probabil nu vor funcționa în timp real pentru o perioadă suficientă de timp. Problema cu majoritatea comercianților cunoscători de tehnologie este că ei petrec prea mult timp și efort optimizând diferitele reguli și valori ale parametrilor sistemului de tranzacționare. Acest lucru dă rezultate complet opuse. În loc să irosești energie și timp pe calculator crescând profiturile sistemului de tranzacționare, concentrează-ți energia pe creșterea nivelului de fiabilitate a obținerii profitului minim.
Știind că managementul banilor este doar un joc numeric care necesită utilizarea așteptărilor pozitive, un comerciant poate înceta să caute „Sfântul Graal” al tranzacționării cu acțiuni. În schimb, poate începe să-și testeze metoda de tranzacționare, să afle cât de logică este această metodă, dacă dă așteptări pozitive. Metodele corecte de gestionare a banilor aplicate oricărei metode de tranzacționare, chiar și mediocre, vor face singure restul muncii.
Pentru ca orice comerciant să reușească în munca sa, este necesar să rezolve cele mai importante trei sarcini:. Asigurați-vă că numărul de tranzacții de succes depășește greșelile și calculele greșite inevitabile; Configurați-vă sistemul de tranzacționare astfel încât oportunitatea de a câștiga bani să fie cât mai des posibil; Pentru a obține stabilitatea rezultatului pozitiv al operațiunilor dumneavoastră.
Și aici noi, comercianții care lucrează, putem fi ajutați de așteptarea matematică. Acest termen din teoria probabilității este unul dintre cei cheie. Cu ajutorul acestuia, puteți oferi o estimare medie a unei anumite valori aleatorii. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt similare cu centrul de greutate dacă ne imaginăm toate probabilitățile posibile ca puncte cu mase diferite.
Așa cum se aplică unei strategii de tranzacționare, pentru a evalua eficacitatea acesteia, așteptarea matematică a profitului (sau pierderii) este cel mai des utilizată. Acest parametru este definit ca suma produselor nivelurilor date de profit și pierdere și probabilitatea apariției acestora. De exemplu, strategia de tranzacționare dezvoltată presupune că 37% din toate operațiunile vor aduce profit, iar restul - 63% - vor fi neprofitabile. În același timp, venitul mediu dintr-o afacere de succes va fi de 7 USD, iar pierderea medie va fi de 1,4 USD. Să calculăm așteptările matematice ale tranzacționării utilizând următorul sistem:
Ce înseamnă acest număr? Se spune că, urmând regulile acestui sistem, în medie vom primi 1,708 USD din fiecare tranzacție închisă. Deoarece estimarea eficienței obținute este mai mare decât zero, atunci un astfel de sistem poate fi utilizat pentru muncă reală. Dacă, în urma calculului, așteptarea matematică se dovedește a fi negativă, atunci aceasta vorbește deja despre o pierdere medie și o astfel de tranzacție va duce la ruină.
Suma profitului pe tranzacție poate fi exprimată și ca valoare relativă sub formă de%. De exemplu:
- procent din venit per 1 afacere - 5%;
- procentul operațiunilor de tranzacționare reușite - 62%;
- procentul de pierdere per 1 tranzacție - 3%;
- procentul tranzacțiilor nereușite - 38%;
Adică comerțul mediu va genera 1,96%.
Este posibil să se dezvolte un sistem care, în ciuda prevalenței tranzacțiilor neprofitabile, va da un rezultat pozitiv, deoarece MO> 0.
Cu toate acestea, așteptarea singură nu este suficientă. Este dificil să câștigi bani dacă sistemul oferă foarte puține semnale de tranzacționare. În acest caz, profitabilitatea acestuia va fi comparabilă cu dobânda bancară. Fie ca fiecare tranzacție să dea o medie de doar 0,50 USD, dar dacă sistemul presupune 1000 de tranzacții pe an? Aceasta va fi o sumă foarte serioasă într-un timp relativ scurt. De aici rezultă în mod logic că o altă trăsătură distinctivă a unui sistem de tranzacționare bun poate fi considerată o perioadă scurtă de deținere a pozițiilor.
Surse și link-uri
dic.academic.ru - Dicţionar Academic de Internet
mathematics.ru - site educațional în matematică
nsu.ru - site-ul educațional al Novosibirsk universitate de stat
webmath.ru este un portal educațional pentru studenți, solicitanți și școlari.
site-ul de matematică educațional exponenta.ru
ru.tradimo.com - școală de comerț online gratuită
crypto.hut2.ru - o resursă de informații multidisciplinară
poker-wiki.ru - enciclopedia liberă a pokerului
sernam.ru - Biblioteca științifică a publicațiilor selectate de științe naturale
reshim.su - site-ul SĂ REZOLVĂM sarcinile de control al cursurilor
unfx.ru - Forex la UNFX: instruire, semnale de tranzacționare, management al încrederii
slovopedia.com - Marele Dicționar Enciclopedic al Slovopediei
pokermansion.3dn.ru - Ghidul tău pentru lumea pokerului
statanaliz.info - blog de informații „Analiza datelor statistice”
forex-trader.rf - Portalul Forex-Trader
megafx.ru - analize Forex actualizate
fx-by.com - totul pentru comerciant
După cum se știe deja, legea distribuției caracterizează complet variabila aleatoare. Totuși, legea distribuției este adesea necunoscută și trebuie să te limitezi la mai puține informații. Uneori este și mai profitabil să folosești numere care descriu o variabilă aleatoare în total; se numesc astfel de numere caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii.
Așteptarea matematică este una dintre caracteristicile numerice importante.
Așteptările matematice sunt aproximativ egale cu valoarea medie a variabilei aleatoare.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile după probabilitățile lor.
Dacă o variabilă aleatoare este caracterizată printr-o serie finită de distribuție:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | p p |
apoi valoarea aşteptată M (X) determinat de formula:
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue sunt determinate de egalitatea:
unde este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X.
Exemplul 4.7. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte aruncate cu un zar.
Soluţie:
Valoare aleatoare X ia valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6. Să compunem legea distribuției sale:
| X | ||||||
| R |
Atunci așteptarea matematică este:
Proprietățile așteptărilor matematice:
1. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu cea mai constantă:
M (C) = C.
2. Factorul constant poate fi luat în afara semnului așteptării matematice:
M (CX) = CM (X).
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
M (XY) = M (X) M (Y).
Exemplul 4.8... Variabile aleatoare independente Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare XY.
Soluţie.
Să găsim așteptările matematice pentru fiecare dintre mărimile date:
Variabile aleatoare Xși Y independent, deci așteptările matematice dorite:
M (XY) = M (X) M (Y) =
Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Consecinţă. Așteptările matematice ale sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor.
Exemplul 4.9. Trage 3 lovituri cu probabilitatea de a lovi ținta egală cu p 1 = 0,4; p 2= 0,3 și p 3= 0,6. Găsiți valoarea așteptată a numărului total de accesări.
Soluţie.
Numărul de lovituri la prima lovitură este o variabilă aleatorie X 1, care poate lua doar două valori: 1 (lovitură) cu probabilitate p 1= 0,4 și 0 (rată) cu probabilitate q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Așteptarea matematică a numărului de lovituri la prima lovitură este egală cu probabilitatea de lovire:
În mod similar, găsim așteptările matematice ale numărului de lovituri în a doua și a treia lovitură:
M (X 2)= 0,3 și M (X 3) = 0,6.
Numărul total lovituri, există și o variabilă aleatorie constând din suma loviturilor din fiecare dintre cele trei lovituri:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Așteptările matematice dorite X găsim prin teorema asupra matematicii, așteptarea sumei.
Să calculăm valoarea medie a eșantionului și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare în MS EXCEL.
Eșantion mediu
Eșantion mediu sau eșantion mediu(media eșantionului, medie) este mediaaritmetic toate valorile prelevarea de probe .
În MS EXCEL pentru a calcula proba medie puteți utiliza funcția MEDIE (). Ca argumente pentru funcție, trebuie să specificați o referință la un interval care conține valori prelevarea de probe .
Eșantion mediu este o estimare punctuală „bună” (impărtinitoare și eficientă). așteptări matematice variabilă aleatoare (vezi), adică Valoarea medie distribuția originală din care probă .
Notă: Despre calcul intervale de încredere la evaluare așteptări matematice poate fi citit, de exemplu, în articol.
Unele proprietăți medie aritmetică :
- Suma tuturor abaterilor de la Valoarea medie este egal cu 0:
- Dacă la fiecare dintre valorile x i adăugăm una și aceeași constantă Cu, atunci in medie va crește cu aceeași constantă;
- Dacă fiecare dintre valorile x i este înmulțită cu aceeași constantă Cu, atunci in medieînmulțit cu aceeași constantă.
Valorea estimata
Rău poate fi calculată nu numai pentru un eșantion, ci și pentru o variabilă aleatoare dacă este cunoscută. În acest caz Rău are un nume special - Valorea estimata.Valorea estimata caracterizează valoarea „centrală” sau medie a unei variabile aleatorii.
Notă: În literatura de limba engleză există mulți termeni pentru a denota așteptări matematice: așteptare, așteptare matematică, EV (Valoare așteptată), medie, valoare medie, medie, E [X] sau primul moment M [X].
valorea estimata calculat prin formula:
unde x i este valoarea pe care o poate lua variabila aleatoare și p (x i) este probabilitatea ca variabila aleatoare să ia această valoare.
Dacă variabila aleatoare are, atunci valorea estimata calculate prin formula.
- numarul de baieti din 10 nou-nascuti.
Este destul de clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar în următorii zece copii născuți pot exista:
Sau băieți - unul si numai unul dintre opțiunile enumerate.
Și, pentru a rămâne în formă, puțină educație fizică:
- raza de sarituri in lungime (în unele unități).
Nici măcar maestrul sportului nu o poate prezice :)
Totuși, ipoteza ta?
2) Variabilă aleatoare continuă - ia toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.
Notă : în literatura educațională sunt populare abrevierile DSV și NSV
Mai întâi, să analizăm o variabilă aleatoare discretă, apoi - continuu.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
- aceasta conformitateîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel: 
Destul de des termenul rând
distributie dar în unele situații sună ambiguu și, prin urmare, voi rămâne la „lege”.
Si acum foarte punct important
: din moment ce variabila aleatoare neapărat voi accepta unul dintre sensuri, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:
sau, dacă scrisul este restrâns:
Deci, de exemplu, legea distribuției probabilităților punctelor aruncate pe un zar este următoarea: 
Fără comentarii.
S-ar putea să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua doar valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:
Exemplul 1
Un joc are următoarea lege de distribuție câștigătoare: 
... probabil că ai visat de mult timp la astfel de sarcini :) Îți spun un secret - și eu. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.
Soluţie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una dintre trei valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu: 
Vom expune „partizanul”: 
- astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.
Control: ce se cerea pentru a fi convins.
Răspuns:
Nu este neobișnuit când legea distribuției trebuie întocmită independent. Pentru a face acest lucru, utilizați definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:
Exemplul 2
Cutia conține 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, dintre care 2 câștigă câte 1000 de ruble fiecare, iar restul - câte 100 de ruble fiecare. Întocmește legea de distribuție a unei variabile aleatoare - mărimea plății, dacă un bilet este luat la întâmplare din casetă.
Soluţie: după cum ați observat, se obișnuiește să aranjați valorile unei variabile aleatoare în ordine crescătoare... Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.
Există 50 - 12 = 38 de astfel de bilete în total și definiție clasică:
- probabilitatea ca un bilet extras la întâmplare să se dovedească a fi unul pierdut.
Restul cazurilor sunt simple. Probabilitatea de a câștiga ruble este:
Verificați: - și acesta este un moment deosebit de plăcut al unor astfel de sarcini!
Răspuns: distribuția necesară a plății: 
Următoarea sarcină pentru o soluție independentă:
Exemplul 3
Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este. Întocmește legea de distribuție a unei variabile aleatoare - numărul de lovituri după 2 lovituri.
... Stiam ca ti-a fost dor de el :) Aminteste-ti teoreme de înmulțire și adunare... Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.
Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică este util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Vorbitor limbaj simplu, aceasta valoarea medie aşteptată cu repetarea multiplă a testelor. Lasă o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități 
respectiv. Atunci așteptarea matematică a unei variabile aleatoare date este suma de produse a tuturor valorilor sale la probabilitățile corespunzătoare:
sau prăbușit: 
Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:
Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic: 
Apare întrebarea: este profitabil să joci acest joc? … Cine are ce impresii? Deci, la urma urmei, „de la mână” și nu vei spune! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea valorii așteptate, de fapt - medie ponderată după probabilitățile de câștig:
Astfel, așteptarea matematică a acestui joc este pierzând.
Nu aveți încredere în impresii - aveți încredere în cifre!
Da, aici poți câștiga de 10 sau chiar de 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung vom strica inevitabil. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri :) Ei bine, poate doar pentru distractie.
Din toate cele de mai sus, rezultă că așteptarea matematică nu mai este o valoare RANDOM.
Temă creativă pentru auto-studiu:
Exemplul 4
Domnul X joacă la ruleta europeană după următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe „roșu”. Întocmește legea distribuției unei variabile aleatoare - câștigul acesteia. Calculați așteptarea matematică a unei victorii și rotunjiți-o la copecul cel mai apropiat. cat de mult in medie jucătorul pierde cu fiecare sută de pariu?
referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). În cazul unei lovituri „roșii”, jucătorului i se plătește un pariu dublat, în caz contrar acesta merge la venitul cazinoului
Există multe alte sisteme de joc de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilități. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege și tabele de distribuție, pentru că s-a stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. De la sistem la sistem doar schimbări
Vor exista și sarcini pentru o soluție independentă, la care puteți vedea răspunsurile.
Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai des utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția sa și gradul de dispersie. Valoarea așteptată este adesea denumită pur și simplu medie. variabilă aleatorie. Dispersia unei variabile aleatoare - o caracteristică a dispersiei, dispersia unei variabile aleatoare despre așteptările sale matematice.
În multe probleme practice, o caracteristică completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatorii folosind caracteristici numerice.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Să ajungem la conceptul de așteptare matematică. Fie ca masa unei substanțe să fie distribuită între punctele axei absciselor X1 , X 2 , ..., X n... Mai mult, fiecare punct material are o masă corespunzătoare cu o probabilitate de la p1 , p 2 , ..., p n... Este necesar să se selecteze un punct pe axa absciselor, care caracterizează poziția întregului sistem de puncte materiale, ținând cont de masele acestora. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a unei variabile aleatoare X, la care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare obţinută în acest fel X se numește așteptarea sa matematică.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile prin probabilitățile acestor valori:
Exemplul 1. A fost organizată o loterie win-win. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt câte 10 ruble fiecare. 300 - 20 de ruble fiecare 200 - 100 de ruble fiecare și 100 - 200 de ruble fiecare. Care este câștigul mediu pentru un cumpărător de bilet?
Soluţie. Vom găsi câștigurile medii dacă suma totală a câștigurilor, care este 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50.000 de ruble, este împărțită la 1000 (suma totală a câștigurilor). Apoi obținem 50.000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea profitului mediu poate fi prezentată în următoarea formă:
Pe de altă parte, în aceste condiții, valoarea premiului este o variabilă aleatorie, care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. În consecință, profitul mediu așteptat este egal cu suma produselor mărimii plăților prin probabilitatea de primire a acestora.
Exemplul 2. Editura a decis să publice o nouă carte. Intenționează să vândă cartea cu 280 de ruble, din care va primi 200, 50 - librăria și 30 - autorul. Tabelul oferă informații despre costul publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.
Găsiți profitul așteptat al editorului.
Soluţie. Valoarea aleatorie „profit” este egală cu diferența dintre încasările din vânzare și costul cheltuielilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci veniturile din vânzare sunt 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:
| Număr | Profit Xi | Probabilitate pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:
.
Exemplul 3. Probabilitatea de lovire per lovitură p= 0,2. Determinați consumul de proiectile, oferind o așteptare matematică a numărului de lovituri egal cu 5.
Soluţie. Din aceeași formulă de așteptare matematică pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de proiectile:
.
Exemplul 4. Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri pentru trei lovituri, dacă probabilitatea de a lovi pentru fiecare lovitură p = 0,4 .
Sugestie: probabilitatea valorilor unei variabile aleatoare este găsită de formula Bernoulli .
Proprietățile așteptărilor matematice
Luați în considerare proprietățile așteptării matematice.
Proprietatea 1. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu această constantă:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi luat în afara semnului așteptării matematice:
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale sumei (diferenței) variabilelor aleatoare sunt egale cu suma (diferenței) așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 5. Dacă toate valorile variabilei aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar CU, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:
Când nu poți fi limitat doar de așteptările matematice
În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza în mod adecvat o variabilă aleatoare.
Fie variabilele aleatoare Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| Sens X | Probabilitate |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Sens Y | Probabilitate |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Așteptările matematice ale acestor mărimi sunt aceleași - egale cu zero:
Cu toate acestea, natura distribuției lor este diferită. Valoare aleatoare X poate lua numai valori care diferă puțin de așteptările matematice și variabila aleatoare Y poate prelua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu similar: salariul mediu face imposibilă judecarea proporției lucrătorilor cu plăți mari și prost. Cu alte cuvinte, după așteptarea matematică este imposibil să se judece ce abateri de la aceasta, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța variabilei aleatoare.
Dispersia unei variabile aleatoare discrete
Dispersia variabilă aleatoare discretă X este așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale se numește:
.
Exemplul 5. Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.
Soluţie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare Xși Y, așa cum a fost găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie la E(X)=E(y) = 0 obținem:
Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y inventa
.
Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X este foarte mic, dar o variabilă aleatorie Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferenței de distribuție a acestora.
Exemplul 6. Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.
| Proiectul 1 | Proiectul 2 | Proiectul 3 | Proiectul 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard pentru fiecare alternativă.
Soluţie. Să arătăm cum sunt calculate aceste valori pentru a treia alternativă:
Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.
Toate alternativele au aceleași așteptări matematice. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Abaterea standard poate fi interpretată ca o unitate de măsură a riscului - cu cât este mai mare, cu atât riscul investiției este mai mare. Un investitor care nu dorește riscuri mari va alege proiectul 1, deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Dacă investitorul acordă preferință riscului și randamentelor mari într-o perioadă scurtă, atunci va alege proiectul cu cea mai mare abatere standard - proiectul 4.
Proprietăți de dispersie
Iată proprietățile varianței.
Proprietatea 1. Varianta constantei este zero:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul varianței prin pătratul:
.
Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei mărimi, din care se scade pătratul așteptării matematice a mărimii în sine:
,
Unde 
.
Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:
Exemplul 7. Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.
Soluţie. Să notăm prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatoare ia o valoare X1 = −3 ... Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 - p... Să derivăm ecuația pentru așteptarea matematică:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 - p = 0,7 .
Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculăm varianța acestei variabile aleatoare prin formula din proprietatea 3 a varianței:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi uitați-vă la soluție
Exemplul 8. Variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori. Acceptă cea mai mare dintre valorile 3 cu o probabilitate de 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii.
Exemplul 9.În urnă sunt 6 bile albe și 4 negre. Se scot 3 bile din urna. Numărul de bile albe dintre bilele scoase este o variabilă aleatorie discretă X... Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Soluţie. Valoare aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților... Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Prin urmare, așteptările matematice ale unei variabile aleatoare date:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianta unei variabile aleatoare date:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue
Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa absciselor cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatoare discretă, în care argumentul funcției Xi se modifică brusc, pentru o variabilă aleatoare continuă argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.
Pentru a găsi așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți anumite integrale ... Dacă este dată o funcție de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci, diferențiând-o, trebuie să găsiți funcția de densitate.
Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau.
