Prin produsul a două evenimente și se numeşte eveniment constând în producerea în comun a acestor evenimente.

Prin producerea mai multor evenimente se numeşte eveniment constând în apariţia în comun a tuturor acestor evenimente.

De exemplu, apariția stemei în trei aruncări simultane de monede.

Probabilitate condițională

Probabilitate condițională este probabilitatea apariției unui eveniment, calculată din ipoteza că evenimentul a avut deja loc:

Exemplu. Urna conține 3 bile albe și 3 negre. O minge este scoasă din urnă de două ori, fără a le întoarce înapoi. Găsiți probabilitatea ca o bilă albă să apară în al doilea test (eveniment) dacă o bilă neagră a fost îndepărtată în timpul primului test (eveniment ).

Soluţie. După primul test, în urnă au rămas 5 bile, dintre care 3 sunt albe.

Căutarea probabilității condiționate

Probabilitate condițională evenimente, cu condiția ca evenimentul să fi avut deja loc, prin definiție, este egal cu

Teorema înmulțirii probabilităților

Teorema. Probabilitatea apariției comune a două evenimente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată din ipoteza că primul eveniment a avut deja loc:

Dovada. Prin definiția probabilității condiționate,

Cometariu. ... Un eveniment este la fel cu un eveniment. Prin urmare,

și. (***)

Consecinţă. Probabilitatea producerii comune a mai multor evenimente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitățile condiționate ale tuturor celorlalte, iar probabilitățile fiecărui eveniment ulterior sunt calculate pe ipoteza că toate evenimentele anterioare au apărut deja ( în cazul producerii a trei evenimente:

Ordinea în care se află evenimentele poate fi aleasă în orice mod.

Exemplu. Urna conține 5 bile albe, 4 negre și 3 albastre. O bilă este îndepărtată la întâmplare fără a o returna, apoi a doua și a treia bile sunt îndepărtate. Găsiți probabilitatea ca la primul test să apară o minge albă (eveniment), la al doilea - o neagră (eveniment) și la al treilea - albastru (eveniment).

Soluţie. Probabilitatea ca o minge albă să apară în prima încercare

Probabilitatea ca o minge neagră să apară în a doua încercare, calculată din ipoteza că o minge albă a apărut în prima încercare (probabilitate condiționată)

Probabilitatea ca o minge albastră să apară în a treia încercare, calculată din ipoteza că o minge albă a apărut în prima încercare și o minge neagră a apărut în a doua (probabilitate condiționată)

Cautarea probabilitatii

Teoreme de adunare și înmulțire pentru probabilități.
Dependenții și evenimente independente

Titlul pare înfricoșător, dar de fapt este foarte simplu. În această lecție, ne vom familiariza cu teoremele de adunare și înmulțire a probabilităților evenimentelor, precum și vom analiza probleme tipice, care, împreună cu problema definiţiei clasice a probabilităţii se va întâlni cu siguranță sau, mai probabil, te-ai întâlnit deja în drumul tău. Pentru a studia eficient materialele acestui articol, trebuie să cunoașteți și să înțelegeți termenii de bază. teoria probabilitățiiși să poată efectua cele mai simple operații aritmetice. După cum puteți vedea, este necesar foarte puțin și, prin urmare, un plus de grăsime în activ este aproape garantat. Dar, pe de altă parte, avertizez din nou împotriva unei atitudini superficiale față de exemplele practice - există și suficiente subtilități. Noroc:

Teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente: probabilitatea ca unul dintre cei doi să apară inconsecventă evenimente sau (indiferent de situatie), este egal cu suma probabilităților acestor evenimente:

Un fapt similar este valabil pentru un număr mare de evenimente inconsecvente, de exemplu, pentru trei evenimente inconsecvente și:

Teorema visului =) Cu toate acestea, un astfel de vis este supus demonstrației, care poate fi găsită, de exemplu, în ghid de studiu V.E. Gmurman.

Să facem cunoștință cu concepte noi, necunoscute până acum:

Evenimente dependente și independente

Să începem cu evenimente independente. Evenimentele sunt independent dacă probabilitatea apariţiei oricare dintre ei nu depinde de la apariția/neapariția evenimentelor rămase ale ansamblului luat în considerare (în toate combinațiile posibile). ... Dar ce este acolo pentru a măcina fraze generale:

Teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente: probabilitatea apariției comune a evenimentelor independente și este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Să revenim la cel mai simplu exemplu din prima lecție, în care se aruncă două monede și la următoarele evenimente:

- capete vor fi aruncate pe prima moneda;
- capete vor fi aruncate pe a 2-a monedă.

Să găsim probabilitatea evenimentului (un vultur va apărea pe prima monedă și pe moneda a 2-a va apărea un vultur - ne amintim cum se citește producerea de evenimente!) ... Probabilitatea de a obține capete pe o monedă nu depinde în niciun fel de rezultatul aruncării unei alte monede, prin urmare, evenimentele sunt independente.

De asemenea:
- probabilitatea ca prima monedă să aterizeze cozi și pe a 2-a cozi;
- probabilitatea ca pe prima monedă să apară un vultur și pe a 2-a cozi;
- probabilitatea ca pe prima monedă să apară cozi și pe al 2-lea vultur.

Rețineți că evenimentele se formează grup complet iar suma probabilităţilor lor este egală cu unu:.

Teorema înmulțirii se extinde în mod evident la un număr mare de evenimente independente, deci, de exemplu, dacă evenimentele sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor comune este egală cu:. Să exersăm mai departe exemple concrete:

Problema 3

Fiecare dintre cele trei cutii conține 10 părți. În prima casetă sunt 8 părți standard, în a doua - 7, în a treia - 9. Din fiecare casetă se ia la întâmplare o parte. Găsiți probabilitatea ca toate detaliile să fie standard.

Soluţie: probabilitatea de a prelua o parte standard sau non-standard din orice cutie nu depinde de ce piese sunt preluate din alte casete, prin urmare, problema se ocupă de evenimente independente. Luați în considerare următoarele evenimente independente:

- o piesă standard a fost scoasă din prima cutie;
- o piesă standard a fost scoasă din a 2-a cutie;
- o parte standard a fost scoasă din a 3-a cutie.

Conform definiției clasice:
- probabilităţile corespunzătoare.

Eveniment de interes pentru noi (o parte standard va fi scoasă din prima cutie și de la al 2-lea standard și de la al 3-lea standard) exprimate prin produs.

Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:

- probabilitatea ca o piesă standard să fie eliminată din trei casete.

Răspuns: 0,504

După exerciții revigorante cu cutii, ne așteaptă urne nu mai puțin interesante:

Problema 4

Trei urne conțin 6 bile albe și 4 negre. Din fiecare urnă se ia o minge la întâmplare. Aflați probabilitatea ca: a) toate cele trei bile să fie albe; b) toate cele trei bile vor avea aceeași culoare.

Pe baza informațiilor primite, ghiciți cum să faceți față punctului „fi” ;-) Un exemplu de soluție este conceput în stil academic cu o listă detaliată a tuturor evenimentelor.

Evenimente dependente... Evenimentul este numit dependent dacă probabilitatea sa depinde dintr-unul sau mai multe evenimente care au avut loc deja. Nu trebuie să mergeți departe pentru exemple - este suficient să ajungeți la cel mai apropiat magazin:

- Mâine la ora 19.00 va fi la vânzare pâine proaspătă.

Probabilitatea acestui eveniment depinde de multe alte evenimente: dacă pâinea proaspătă va fi livrată mâine, dacă se va epuiza sau nu înainte de ora 19, etc. În funcție de diferite circumstanțe, acest eveniment poate fi fie cert, fie imposibil. Deci evenimentul este dependent.

Pâine... și, așa cum cereau romanii, ochelari:

- studentul va primi un bilet simplu pentru examen.

Dacă nu mergi primul, atunci evenimentul va fi dependent, deoarece probabilitatea acestuia va depinde de biletele care au fost deja extrase de colegii studenți.

Cum se definește dependența/independența evenimentului?

Uneori, acest lucru este menționat direct în enunțul problemei, dar mai des trebuie să efectuați o analiză independentă. Nu există aici un punct de referință neechivoc, iar faptul de dependență sau independență a evenimentelor decurge din raționamentul logic natural.

Pentru a nu aduna totul împreună, sarcini pentru evenimente dependente Voi evidenția următoarea lecție, dar deocamdată vom considera cele mai comune în practică o grămadă de teoreme:

Probleme de teoreme de adunare pentru probabilitățile de inconsistentă
și înmulțirea probabilităților de evenimente independente

Acest tandem, conform evaluării mele subiective, funcționează în aproximativ 80% din sarcinile pe tema luată în considerare. Hit-uri și adevărații clasici ai teoriei probabilităților:

Problema 5

Doi trăgători au tras o singură lovitură în țintă. Probabilitatea de lovire pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea - 0,6. Găsiți probabilitatea ca:

a) un singur trăgător lovește ținta;
b) cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

Soluţie: Probabilitatea de a lovi / rata un trăgător, evident, nu depinde de performanța celuilalt trăgător.

Luați în considerare evenimentele:
- primul trăgător lovește ținta;
- Al 2-lea trăgător lovește ținta.

După condiție: .

Să găsim probabilitățile de evenimente opuse - că săgețile corespunzătoare vor rata:

a) Luați în considerare evenimentul: - un singur trăgător lovește ținta. Acest eveniment constă din două rezultate inconsecvente:

Primul trăgător lovește și Al 2-lea va rata
sau
Primul va rata și al 2-lea va lovi.

În limbaj algebre de evenimente acest fapt se va nota prin următoarea formulă:

În primul rând, folosim teorema de adunare a probabilităților evenimentelor inconsistente, apoi teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente independente:

- probabilitatea ca să fie o singură lovitură.

b) Luați în considerare evenimentul: - cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

În primul rând, SĂ GÂNDIM – ce înseamnă condiția „MĂRUN UNU”? În acest caz, aceasta înseamnă că fie primul trăgător va lovi (al 2-lea va rata) sau 2 (prima ratare) sau ambele săgeți simultan - un total de 3 rezultate inconsecvente.

Metoda unu: având în vedere probabilitatea gata a paragrafului anterior, este convenabil să se prezinte evenimentul ca suma următoarelor evenimente inconsistente:

unul va primi (un eveniment constând, la rândul său, din 2 rezultate inconsecvente) sau
ambele săgeți se vor lovi - să desemnăm acest eveniment cu o literă.

În acest fel:

Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:
- probabilitatea ca primul trăgător să lovească și Al doilea trăgător lovește.

Prin teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente:
- probabilitatea ca cel puțin o lovire asupra țintei.

Metoda a doua: considerați evenimentul opus: - ambele săgeți ratează.

Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:

Ca rezultat:

Acordați o atenție deosebită celei de-a doua metode - în general, este mai rațională.

În plus, există o alternativă, a treia modalitate de rezolvare, bazată pe teorema adunării evenimentelor comune, care nu a fost menționată mai sus.

! Dacă citiți materialul pentru prima dată, atunci, pentru a evita confuzia, este mai bine să săriți peste următorul paragraf.

Metoda trei : evenimentele sunt comune, ceea ce înseamnă că suma lor exprimă evenimentul „cel puțin un trăgător lovește ținta” (vezi. algebra evenimentelor). De teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor comuneși teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:

Să verificăm: evenimente și (0, 1 și respectiv 2 rezultate) formează un grup complet, deci suma probabilităților lor ar trebui să fie egală cu unu:
, care trebuia verificat.

Răspuns:

Cu un studiu amănunțit al teoriei probabilității, veți întâlni zeci de sarcini cu conținut militarist și, ceea ce este tipic, după aceea nu veți dori să împușcați pe nimeni - sarcinile sunt aproape dăruitoare. De ce să nu simplificăm și șablonul? Să scurtăm intrarea:

Soluţie: după condiție:, este probabilitatea de a lovi trăgătorii corespunzători. Atunci probabilitățile de ratare a acestora sunt:

a) Conform teoremelor de adunare a probabilităţilor de inconsecvenţă şi de multiplicare a probabilităţilor de evenimente independente:
- probabilitatea ca un singur trăgător să lovească ținta.

b) Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:
- probabilitatea ca ambii trăgători să rateze.

Apoi: - probabilitatea ca cel puțin unul dintre trăgători să lovească ținta.

Răspuns:

În practică, puteți utiliza orice opțiune de design. Desigur, ei merg pe scurtătura mult mai des, dar nu ar trebui să uităm de prima metodă - deși este mai lungă, este mai semnificativă - este mai clară în ea, ce, de ce și de ce se adună și se înmulțește. În unele cazuri, un stil hibrid este potrivit, atunci când este convenabil să desemnați doar unele evenimente cu majuscule.

Sarcini similare pentru soluții independente:

Problema 6

Pentru alarma de incendiu, sunt instalați doi senzori care funcționează independent. Probabilitățile ca senzorul să fie declanșat în caz de incendiu sunt 0,5 și 0,7 pentru primul și, respectiv, al doilea senzor. Găsiți probabilitatea ca în caz de incendiu:

a) ambii senzori se vor defecta;
b) ambii senzori vor funcționa.
c) Utilizarea teorema adunării probabilităților evenimentelor care formează grupul complet, aflați probabilitatea ca un singur senzor să fie declanșat în cazul unui incendiu. Verificați rezultatul calculând direct această probabilitate (folosind teoreme de adunare și înmulțire).

Aici, independența dispozitivelor este explicită direct în stare, ceea ce, apropo, este o clarificare importantă. Soluția eșantion este concepută într-un stil academic.

Ce se întâmplă dacă într-o problemă similară sunt date aceleași probabilități, de exemplu, 0,9 și 0,9? Trebuie să decideți exact în același mod! (ceea ce, de fapt, a fost deja demonstrat în exemplul cu două monede)

Problema 7

Probabilitatea de a lovi ținta de către primul trăgător cu o singură lovitură este de 0,8. Probabilitatea ca ținta să nu fie lovită după ce primul și al doilea trăgător au tras o singură lovitură este de 0,08. Care este probabilitatea de a lovi ținta de către al doilea trăgător cu o singură lovitură?

Și acesta este un mic puzzle, care este încadrat într-un mod scurt. Condiția poate fi reformulată mai succint, dar nu voi reface originalul - în practică, trebuie să vă aprofundați în fabricații mai ornamentate.

Faceți cunoștință - el este cel care ți-a stabilit o cantitate nemăsurată de detalii =):

Problema 8

Un muncitor operează trei mașini. Probabilitatea ca, în timpul schimbului, prima mașină să necesite ajustare este 0,3, a doua este 0,75, iar a treia este 0,4. Găsiți probabilitatea ca în timpul schimbului:

a) toate mașinile vor necesita ajustare;
b) o singură mașină va necesita reglare;
c) cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Soluţie: deoarece condiția nu spune nimic despre un singur proces tehnologic, atunci munca fiecărei mașini ar trebui considerată independentă de munca altor mașini.

Prin analogie cu problema nr. 5, aici puteți lua în considerare evenimentele pentru care mașinile corespunzătoare vor necesita ajustare în timpul schimbului, notați probabilitățile, găsiți probabilitățile de evenimente opuse etc. Dar cu trei obiecte, nu prea vreau să proiectez sarcina așa - se va dovedi lung și plictisitor. Prin urmare, este mult mai profitabil să folosiți stilul „rapid” aici:

După condiție: - probabilitatea ca în timpul schimbului utilajele corespunzătoare să necesite o tinctură. Atunci probabilitățile ca acestea să nu necesite atenție sunt:

Unul dintre cititori a găsit o greșeală grozavă aici, nici nu o voi corecta =)

a) Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:
- probabilitatea ca în timpul schimbului toate cele trei utilaje să necesite reglaj.

b) Evenimentul „În timpul schimbului, doar o singură mașină va necesita ajustare” constă din trei rezultate inconsecvente:

1) Prima mașină va necesita Atenţie și a 2-a mașină nu va necesita și a 3-a mașină nu va necesita
sau:
2) Prima mașină nu va necesita Atenţie și a 2-a mașină va necesita și a 3-a mașină nu va necesita
sau:
3) Prima mașină nu va necesita Atenţie și a 2-a mașină nu va necesita și a 3-a mașină va necesita.

Conform teoremelor de adunare a probabilităților de inconsecvență și de înmulțire a probabilităților de evenimente independente:

- probabilitatea ca o singură mașină să necesite ajustare în timpul unei ture.

Cred că până acum ar trebui să vă fie clar de unde a venit expresia

c) Calculăm probabilitatea ca mașinile să nu necesite ajustare și apoi - probabilitatea evenimentului opus:
- că cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Răspuns:

Punctul „ve” poate fi rezolvat și prin sumă, unde este probabilitatea ca în timpul schimbului doar două mașini să necesite ajustare. Acest eveniment, la rândul său, include 3 rezultate inconsecvente, care sunt semnate prin analogie cu clauza „fi”. Încercați să găsiți singur probabilitatea de a testa întreaga problemă folosind egalitate.

Problema 9

Trei pistoale au tras o salvă în țintă. Probabilitatea de a lovi cu o singură lovitură de la prima armă este de 0,7, de la a doua - 0,6, de la a treia - 0,8. Găsiți probabilitatea ca: 1) cel puțin un proiectil să lovească ținta; 2) doar două proiectile vor lovi ținta; 3) ținta va fi lovită de cel puțin două ori.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Și din nou despre coincidențe: în cazul în care, în funcție de condiție, două sau chiar toate valorile probabilităților inițiale coincid (de exemplu, 0,7; 0,7 și 0,7), atunci ar trebui să respectați exact același algoritm de soluție.

La sfârșitul articolului, să ne uităm la un alt puzzle comun:

Problema 10

Trăgătorul lovește ținta cu aceeași probabilitate cu fiecare lovitură. Care este această probabilitate dacă probabilitatea de a obține cel puțin o lovitură cu trei lovituri este 0,973.

Soluţie: se notează cu - probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură.
iar după - probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.

Și totuși, să notăm evenimentele:
- cu 3 lovituri, tragatorul va lovi tinta cel putin o data;
- trăgătorul va rata de 3 ori.

După condiție, atunci probabilitatea evenimentului opus este:

Pe de altă parte, prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:

În acest fel:

- probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.

Ca rezultat:
- probabilitatea de lovire la fiecare lovitură.

Răspuns: 0,7

Simplu și elegant.

În problema luată în considerare, se pot pune întrebări suplimentare despre probabilitatea unei singure loviri, doar două loviri și probabilitatea a trei loviri pe țintă. Schema de soluții va fi exact aceeași ca în cele două exemple anterioare:

Cu toate acestea, diferența fundamentală de fond este aceea teste independente repetate, care sunt efectuate succesiv, independent unul de celălalt și cu aceeași probabilitate de rezultate.

Produsul sau intersecția evenimentelor L și B se numește eveniment constând în apariția simultană a evenimentelor și L și V. Desemnarea muncii AB sau L și V.

De exemplu, atingerea țintei de două ori este produsul a două evenimente; răspunsul la ambele întrebări de pe biletul de examen este produsul a două evenimente.

Evenimentele L și V sunt numite incompatibile dacă produsul lor este un eveniment imposibil, adică. LP = V.

De exemplu, evenimentele L - căderea stemei și V- pierderea unei cifre în timpul unei singure aruncări a unei monede nu poate avea loc simultan, produsul lor este un eveniment imposibil, evenimentele L și B sunt incompatibile.

Conceptele de suma și produsul evenimentelor au o interpretare geometrică clară (Fig. 6.4).

Orez. 6.4. Interpretarea geometrică a lucrării (A) si suma (b) două evenimente comune

Fie evenimentul A mulțimea de puncte din regiunea A, evenimentul B - mulțimea de puncte din regiunea B. Zona umbrită corespunde evenimentului LP din Fig. 6 La iar evenimentul Л + В din fig. 6.46.

Pentru evenimentele inconsistente Л și В avem ЛВ = V(Fig.6.5a). Zona umbrită din Fig. 2 corespunde evenimentului L + B. 6,56.

Orez. 6.5. Interpretarea geometrică a lucrării ( A) și suma (b) două evenimente inconsistente

Evenimente Ași A sunt numite opuse dacă sunt inconsecvente și se adună la un eveniment de încredere, adică

A A = V; A + A = U.

De exemplu, să tragem o lovitură la țintă: eveniment A- trăgătorul a lovit ținta, A- ratat; monedă aruncată:

eveniment A- vultur care cade, A- numere lipsă; şcolarii scriu un test: eveniment A- nici unul

greșeli în munca de testare, A- există erori în test; elev a venit să susțină test: eveniment A- a trecut

decalaj, A- nu a trecut testul.

În clasă sunt băieți și fete, elevi excelenți, elevi buni și elevi C, care studiază engleza și germana. Fie evenimentul M - un băiat, O - un student excelent, A - un student limba engleză... Ar putea un elev care părăsește din greșeală sala de clasă un băiat, un student excelent și un cursant de limba engleză? Acesta va fi produsul sau intersecția evenimentelor MOA.

Exemplul 6.15. Se aruncă un zar - un cub dintr-un material omogen, ale cărui margini sunt numerotate. Observați numărul (numărul de puncte) care cad pe marginea superioară. Lasă evenimentul A - apariție a numărului impar, eveniment V - apariția unui multiplu de trei. Găsiți rezultatele care compun fiecare dintre evenimente (? /, A, A + V U AV)și indicați semnificația lor.

Soluţie. Rezultat - apariția pe marginea superioară a oricăruia dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6. Setul tuturor rezultatelor constituie spațiul evenimentelor elementare U= (1, 2, 3, 4, 5, 6). Este clar că evenimentul A =(1, 3, 5), eveniment B = {3, 6}.

Eveniment A + B =(1, 3, 5, 6) - apariția fie a unui număr impar, fie a unui multiplu de trei. La listarea rezultatelor, se ține cont de faptul că fiecare rezultat din set poate fi conținut o singură dată.

Eveniment AB =(3) - apariția atât a unui număr impar, cât și a unui multiplu de trei.

Exemplul 6.16. Tema pentru acasă verificată de trei elevi. Lasă evenimentul A ( - finalizarea unei sarcini al-lea student, G = 1, 2, 3.

Care este sensul evenimentelor: A = A t + A 2+ L 3, Ași В = A t A 2 A 3?

Soluţie. Eveniment A = A x + A 2 + A 3 - finalizarea sarcinii de către cel puțin un student, adică sau orice student (sau primul, sau al doilea, sau al treilea), sau oricare doi, sau toate trei.

Eveniment A = A x -A 2 -A 3- sarcina nu a fost îndeplinită de niciun elev - nici primul, nici al doilea, nici al treilea. Eveniment B = A (A 2 A 3 - finalizarea sarcinii de către trei elevi - și primul, și al doilea și al treilea.

Când se ia în considerare apariția în comun a mai multor evenimente, pot exista cazuri când apariția unuia dintre ele afectează posibilitatea apariției altuia. De exemplu, dacă ziua este însorită toamna, este mai puțin probabil ca vremea să se înrăutățească (va începe să plouă). Dacă soarele nu este vizibil, atunci există o șansă mai mare ca să plouă.

Eveniment L numit independent de eveniment V, dacă probabilitatea unui eveniment A nu se schimbă în funcție de dacă evenimentul a avut loc sau nu V. Altfel evenimentul A numit dependent de eveniment V. Două evenimente ȘiV sunt numite independente dacă probabilitatea unuia dintre ele nu depinde de apariția sau neapariția celuilalt, dependente - în caz contrar. Evenimentele sunt numite independente perechi dacă fiecare două dintre ele sunt independente unul de celălalt.

Teorema înmulțirii probabilităților se formulează după cum urmează. Probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Această teoremă este valabilă pentru orice număr finit de evenimente, doar dacă acestea sunt independente în agregat, i.e. probabilitatea oricăruia dintre ele nu depinde de faptul dacă alte evenimente au avut loc sau nu.

Exemplul 6.17. Elevul susține trei examene. Probabilitatea de a promova primul examen este 0,9, al doilea este 0,65, iar al treilea este 0,35. Găsiți probabilitatea ca el să nu promoveze cel puțin un examen.

Soluţie. Notăm A eveniment - studentul nu a promovat cel puțin un examen. Atunci P (A) = 1 - / - ’(1/1), unde A- evenimentul opus - studentul a promovat toate examenele. Deoarece promovarea fiecărui examen este independentă de celelalte examene, P (A)= 1 - P (1/1) = = 1 - 0,9 0,65 0,35 = 0,7953.

Probabilitatea evenimentului A, calculate cu condiţia ca evenimentul să aibă loc V, numit probabilitate condițională evenimente A supuse aspectului Vși notat R B (A) sau P (A/B).

Teorema.Probabilitatea de apariție a produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea, calculată cu condiția ca primul eveniment să fi avut loc:

Exemplul 6.18. Elevul extrage de două ori un bilet din 34. Care este probabilitatea ca să treacă examenul dacă are pregătite 30 de bilete și prima dată scoate biletul nereușit?

Soluţie. Lasă evenimentul A este că prima dată când ai primit un bilet nereușit, evenimentul V- a doua oară se scoate un bilet norocos. Atunci A?V- studentul va promova examenul (în circumstanțele specificate). Evenimente Ași V depinde, deoarece probabilitatea de a alege un bilet de succes la a doua încercare depinde de rezultatul primei alegeri. Prin urmare, folosim formula (6.6):

Rețineți că probabilitatea obținută în soluție este „0,107. De ce este probabilitatea de a trece examenul atât de mică dacă se învață 30 de bilete din 34 și se dau două încercări?!

Teorema de adunare extinsă este formulată după cum urmează. Probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune. (lucrări):

Exemplul 6.19. Doi elevi rezolvă o problemă. Probabilitatea ca primul elev să rezolve problema (eveniment A), egal cu 0,9; probabilitatea ca al doilea elev să rezolve problema (eveniment V), este egal cu 0,8. Care este probabilitatea ca problema să fie rezolvată?

Soluţie. Ne interesează evenimentul C, ceea ce înseamnă că problema va fi rezolvată, adică. primul sau al doilea student, sau doi studenți în același timp. Astfel, evenimentul de interes pentru trecere C = A +V. Evenimente Ași V sunt compatibile, ceea ce înseamnă că teorema de adunare a probabilității este aplicabilă pentru cazul evenimentelor comune: P (A + V) = P (A) + P (B) - P (AB). Pentru cazul nostru P (A + B) = = 0,9 + 0,8 + 0,9 0,8 = 0,98 (evenimente Ași V comun dar independent).

Exemplul 6.20. Elevul știe 20 de întrebări din 25. Care este probabilitatea de a răspunde la trei din 25 de întrebări?

Soluţie. Introducem evenimentul L, - studentul cunoaște răspunsul la iîntrebarea propusă, i= 1,2,3. Evenimentele L, L 2, L 3 sunt dependente. Asa de

La găsirea probabilităților evenimentelor s-a folosit definiția clasică a probabilității.

Evenimentul A este numit independent din evenimentul B dacă probabilitatea evenimentului A nu depinde de dacă evenimentul B a avut loc sau nu. Evenimentul A este numit dependent de la evenimentul B dacă probabilitatea evenimentului A se modifică în funcție de dacă evenimentul B a avut loc sau nu.

Probabilitatea evenimentului A, calculată cu condiția ca evenimentul B să fi avut deja loc, se numește probabilitate condiționată a evenimentului A și se notează.

Condiția pentru independența evenimentului A față de evenimentul B poate fi scrisă ca
.

Teorema înmulțirii probabilităților. Probabilitatea produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul să fi avut loc:

Dacă evenimentul A nu depinde de evenimentul B, atunci evenimentul B nu depinde de evenimentul A. În acest caz, probabilitatea apariției evenimentelor este egală cu produsul probabilităților acestora:

.

Exemplul 14. Există 3 cutii care conțin 10 părți fiecare. În prima casetă sunt 8, în a doua - 7 și în a treia 9 părți standard. Din fiecare cutie se scoate o bucată la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca toate cele trei părți îndepărtate să fie standard.

Probabilitatea ca o parte standard să fie eliminată din prima casetă (evenimentul A) este
... Probabilitatea ca o parte standard să fie eliminată din a doua casetă (evenimentul B) este
... Probabilitatea ca o parte standard să fie eliminată din a treia casetă (evenimentul C) este
.

Deoarece evenimentele A, B și C sunt independente în agregat, atunci după teorema înmulțirii probabilitatea dorită este

Iată un exemplu de utilizare combinată a teoremelor de adunare și înmulțire.

Exemplul 15. Probabilitățile de apariție a evenimentelor independente A 1 și A 2 sunt egale cu p 1 și, respectiv, p 2. Găsiți probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente să se producă (evenimentul A). Găsiți probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre aceste evenimente (evenimentul B).

Să notăm probabilitățile de evenimente opuse și prin q 1 = 1-p 1 și, respectiv, q 2 = 1-p 2.

Evenimentul A va avea loc dacă apare evenimentul A 1 și evenimentul A 2 nu are loc sau dacă apare evenimentul A 2 și evenimentul A 1 nu are loc. Prin urmare,

Evenimentul B va avea loc dacă are loc evenimentul A sau evenimentele A 1 și A 2 au loc simultan. Prin urmare,

Probabilitatea evenimentului B poate fi definită diferit. Eveniment opusul evenimentului B este că ambele evenimente A 1 și A 2 nu vor avea loc. Prin urmare, prin teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente, obținem

care coincide cu expresia obtinuta mai devreme, din moment ce identitatea

7. Formula probabilității totale. Formula lui Bayes.

Teorema 1... Să presupunem evenimente
formează un grup complet de evenimente incompatibile în perechi (astfel de evenimente se numesc ipoteze). Fie A un eveniment arbitrar. Atunci probabilitatea evenimentului A poate fi calculată prin formula

Dovada. Deoarece ipotezele formează un grup complet, atunci, și, prin urmare,.

Datorită faptului că ipotezele sunt evenimente inconsistente în perechi, evenimentele sunt, de asemenea, inconsistente în perechi. Prin teorema de adunare a probabilităţilor

Aplicând acum teorema înmulțirii probabilităților, obținem

Formula (1) se numește formula probabilității totale. Într-o formă prescurtată, se poate scrie după cum urmează

.

Formula este utilă dacă probabilitățile condiționate ale unui eveniment A sunt mai ușor de calculat decât probabilitatea necondiționată.

Exemplul 16... Există 3 pachete de 36 de cărți și 2 pachete de 52 de cărți. Alegeți un pachet la întâmplare și o carte la întâmplare din el. Găsiți probabilitatea ca cartea extrasă să fie un as.

Fie A evenimentul în care cartea extrasă este un as. Să introducem două ipoteze în considerare:

- o carte este scoasă dintr-un pachet de 36 de cărți,

- o carte este scoasă dintr-un pachet de 52 de cărți.

Pentru a calcula probabilitatea evenimentului A, folosim formula pentru probabilitatea totală:

Teorema 2... Să presupunem evenimente
formează un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi. Fie A un eveniment arbitrar. Probabilitatea de ipoteză condiționată presupunând că evenimentul A a avut loc, acesta poate fi calculat folosind formula Bayes:

Dovada. Din teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente dependente rezultă că.

.

Aplicând formula probabilității totale, obținem (2).

Probabilităţi de ipoteze
se numesc a priori, iar probabilităţile ipotezelor
cu condiţia ca evenimentul A să aibă loc se numesc posterior. Formulele lui Bayes în sine sunt numite și formule pentru probabilitățile ipotezelor.

Exemplul 17... Sunt 2 urne. Prima urnă conține 2 bile albe și 4 negre, iar a doua urnă conține 7 bile albe și 5 negre. Alegem o urna la intamplare si scoatem o bila din ea la intamplare. S-a dovedit a fi negru (a avut loc evenimentul A). Găsiți probabilitatea ca mingea să fi fost scoasă din prima urnă (ipoteză
). Găsiți probabilitatea ca mingea să fi fost scoasă din a doua urnă (ipoteză
).

Să aplicăm formulele lui Bayes:

,

.

Exemplul 18... La fabrică, șuruburile sunt produse de trei mașini, care produc 25%, 35% și, respectiv, 40% din toate șuruburile. Respingerea produselor acestor mașini este respectiv 5%, 4%, 2%. Un șurub a fost selectat dintre produsele tuturor celor trei mașini. S-a dovedit a fi defect (evenimentul A). Găsiți probabilitatea ca șurubul să fie eliberat de prima, a doua și a treia mașină.

Lăsa
- evenimentul că șurubul a fost eliberat de prima mașină,
- a doua mașină,
- a treia mașină. Aceste evenimente sunt inconsecvente în perechi și formează un grup complet. Să folosim formulele lui Bayes

Drept urmare, obținem

,

,

.