Definiție. După produs sau intersecție evenimentele A și B numesc un eveniment constând în apariția simultană a evenimentelor A și B. Denumirea produsului: AB sau A B.

Exemplu... O lovitură dublă asupra țintei este produsul a două evenimente. Răspunsul la ambele întrebări de pe biletul de examen este produsul a două evenimente.

Evenimentele A și B sunt numite inconsecventă dacă produsul lor este un eveniment imposibil, i.e. AB = V.

Evenimentele A - căderea din stemă și B - căderea dintr-o figură cu o singură aruncare a unei monede nu pot avea loc simultan, producerea lor este un eveniment imposibil, evenimentele A și B sunt incompatibile.

Conceptele de sumă și produs al evenimentelor au o interpretare geometrică clară.

Orez. 6.4. Interpretarea geometrică a produsului (a) și a sumei (b) a două evenimente comune

Fie evenimentul A o mulțime de puncte ale ariei A; evenimentul B - un set de puncte ale ariei B. Zona umbrită corespunde evenimentului AB din Fig.6.4, a; eveniment din Figura 6.4, b.

Pentru evenimentele inconsistente A și B avem: AB = V (Figura 6.5, a). Zona umbrită din Fig. 6.5, b corespunde evenimentului A + B.

Orez. 6.5. Interpretarea geometrică a produsului (a) și a sumei (b) a două evenimente incompatibile

Evenimente și sunt chemate opus dacă sunt inconsecvente și se adaugă la un eveniment de încredere, de ex.

De exemplu, să facem o lovitură la țintă: eveniment - trăgătorul lovește ținta, nu lovește; s-a aruncat o monedă: eveniment - vultur, - figură; şcolarii scriu un test: eveniment - nici o singură greşeală în munca de testare, - există erori în test; elevul a venit să promoveze testul: evenimentul A - a trecut testul, - nu a promovat proba.

În clasă sunt băieți și fete, elevi excelenți, elevi buni și elevi C, care studiază engleza și germana. Fie evenimentul M un băiat, O - un student excelent, A - un student limba engleză... Ar putea un elev care părăsește din greșeală sala de clasă un băiat, un student excelent și un cursant de limba engleză? Acesta va fi produsul sau intersecția evenimentelor MOA.

Exemplu... Se aruncă un zar - un cub dintr-un material omogen, ale cărui margini sunt numerotate. Observați numărul (numărul de puncte) care cad pe marginea superioară. Fie evenimentul A - apariția unui număr impar, evenimentul B - apariția unui multiplu de trei. Găsiți rezultatele care compun fiecare dintre evenimente: U, A, A + B, AB și indicați semnificația acestora.

Soluţie... Rezultat - apariția pe marginea superioară a oricăruia dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6. Setul tuturor rezultatelor constituie spațiul evenimentelor elementare. Este clar că un eveniment, un eveniment

Eveniment - apariția fie a unui număr impar, fie a unui multiplu de trei. La listarea rezultatelor, se ține cont de faptul că fiecare rezultat din set poate fi conținut o singură dată.

Eveniment - apariția atât a unui număr impar, cât și a unui multiplu de trei.

Exemplu. Tema pentru acasă verificată de trei elevi. Fie ca evenimentul să fie îndeplinirea sarcinii de către cel de-al-lea student, Care este sensul evenimentelor: și?

Soluţie. Eveniment - finalizarea sarcinii de către cel puțin un elev, adică sau orice student (sau primul, sau al doilea, sau al treilea), sau oricare doi, sau toate trei.

Eveniment - sarcina nu a fost finalizată de niciun student: nici primul, nici al doilea, nici al treilea. Eveniment - finalizarea sarcinii de către trei studenți: primul, al doilea și al treilea.

Când se ia în considerare apariția în comun a mai multor evenimente, pot exista cazuri când apariția unuia dintre ele afectează posibilitatea apariției altuia. De exemplu, dacă ziua este însorită toamna, este mai puțin probabil ca vremea să se înrăutățească (va începe să plouă). Dacă soarele nu este vizibil, atunci există o șansă mai mare ca să plouă.

Definiție. Evenimentul A este numit independent evenimentul B, dacă probabilitatea evenimentului A nu se modifică în funcție de dacă a avut loc sau nu evenimentul B. În caz contrar, evenimentul A este numit dependent de evenimentul B. Două evenimente A și B sunt numite independent, dacă probabilitatea unuia dintre ele nu depinde de apariția sau neapariția celuilalt, dependent - în caz contrar. Evenimentele sunt numite independente perechi dacă fiecare două dintre ele sunt independente unul de celălalt.

Teorema. (Înmulțiri de probabilități) Probabilitatea produsului a doi evenimente independente este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente:

P (A B) = P (A) P (B)

Această teoremă este valabilă pentru orice număr finit de evenimente, doar dacă acestea sunt independente în agregat, i.e. probabilitatea oricăruia dintre ele nu depinde de faptul dacă alte evenimente au avut loc sau nu.

Exemplu... Elevul susține trei examene. Probabilitatea de a promova primul examen este 0,9, al doilea este 0,65, iar al treilea este 0,35. Găsiți probabilitatea ca el să nu promoveze cel puțin un examen.

Soluţie: Să desemnăm A - eveniment că studentul nu a promovat cel puțin un examen. Atunci P (A) = 1- P (ùA), unde ùA este evenimentul opus, studentul a promovat toate examenele. Deoarece promovarea fiecărui examen nu depinde de alte examene, atunci P (A) = 1-P (ùA) = 1- 0,9 * 0,65 * 0,35 = 0,7953.

Definiție... Se numește probabilitatea evenimentului A, calculată cu condiția ca evenimentul B să aibă loc probabilitate condițională evenimentele A, cu condiția ca B să apară și să fie notat cu P B (A) sau P (A / B).

Teorema Probabilitatea de apariție a produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea, calculată cu condiția ca primul eveniment să fi avut loc:

P (A B) = P (A) P A (B) = P (B) P B (A). (*)

Exemplu... Elevul extrage de două ori un bilet din 34. Care este probabilitatea ca să treacă examenul dacă are pregătite 30 de bilete și prima dată scoate biletul nereușit?

Soluţie: Fie evenimentul A să constea în faptul că prima dată când a fost primit un bilet prost, evenimentul B - a doua oară când a fost scos un bilet de succes. Apoi A · B - studentul va promova examenul (în circumstanțele specificate). Evenimentele A și B sunt dependente, deoarece probabilitatea de a alege un bilet de succes la a doua încercare depinde de rezultatul primei alegeri. Prin urmare, folosim formula (6):

P (A B) = P (A) PA (B) = (4/34) * (30/33) = 20/187

Rețineți că probabilitatea obținută în soluție este ≈0,107. De ce este probabilitatea de a trece examenul atât de mică dacă se învață 30 de bilete din 34 și se dau două încercări?!

Teorema. (Teorema de adunare extinsă) Probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune (produs):

P (A + B) = P (A) + P (B) -P (A B).

Exemplu... Doi elevi rezolvă o problemă. Probabilitatea ca primul elev să rezolve problema (evenimentul A) este 0,9; probabilitatea ca al doilea elev să rezolve problema (evenimentul B) este de 0,8. Care este probabilitatea ca problema să fie rezolvată?

La găsirea probabilităților evenimentelor s-a folosit definiția clasică a probabilității.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

ADUAREA SI MULTIPLICAREA PROBABILITATILOR. TESTE INDEPENDENTE REPETE

Prelegere pentru studenții Facultății de Gospodărire Funciară

cursuri prin corespondență

Gorki, 2012

Adunarea și înmulțirea probabilităților. Se repetă

teste independente

1. Adunarea probabilităților

Suma a două evenimente comune Ași V numit un eveniment CU, constând în declanșarea a cel puțin unuia dintre evenimente A sau V... În mod similar, suma mai multor evenimente comune este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

Suma a două evenimente incompatibile Ași V numit un eveniment CU constând într-o ofensivă sau eveniment A, sau evenimente V... În mod similar, suma mai multor evenimente incompatibile este un eveniment constând în apariția oricăruia dintre aceste evenimente.

Teorema adunării probabilităților evenimentelor inconsistente este valabilă: probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente , adică ... Această teoremă poate fi extinsă la orice număr finit de evenimente inconsistente.

Această teoremă implică:

suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu;

suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu, adică.
.

Exemplul 1 ... Cutia contine 2 bile albe, 3 rosii si 5 albastre. Bilele se amestecă și una se scoate la întâmplare. Care este probabilitatea ca mingea să fie colorată?

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (minge colorată îndepărtată);

B= (minge albă scoasă);

C= (minge roșie eliminată);

D= (minge albastră eliminată).

Atunci A= C+ D... De la evenimente C, D sunt inconsistente, atunci vom folosi teorema de adunare a probabilităților evenimentelor inconsistente:.

Exemplul 2 ... Urna contine 4 bile albe si 6 negre. Se scot la întâmplare 3 bile din urnă. Care este probabilitatea ca toate să fie de aceeași culoare?

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (se scot bile de aceeași culoare);

B= (se scot bile albe);

C= (se scot bile negre).

pentru că A= B+ C si evenimente Vși CU sunt inconsistente, apoi prin teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente
... Probabilitatea evenimentului V este egal cu
, Unde
4,

... Substitui kși nîn formulă și obține
În mod similar, găsim probabilitatea evenimentului CU:
, Unde
,
, adică
... Atunci
.

Exemplul 3 ... 4 cărți sunt extrase la întâmplare dintr-un pachet de 36 de cărți. Găsiți probabilitatea ca printre ei să fie cel puțin trei ași.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (dintre cărțile extrase, cel puțin trei ași);

B= (printre cărțile extrase sunt trei ași);

C= (printre cărțile extrase sunt patru ași).

pentru că A= B+ C si evenimente Vși CU inconsecventă, atunci
... Găsiți probabilitățile evenimentelor Vși CU:

,
... Prin urmare, probabilitatea ca printre cărțile extrase să fie cel puțin trei ași este egală cu

0.0022.

1. Înmulțirea probabilităților

După produs două evenimente Ași V numit un eveniment CU, constând în producerea în comun a acestor evenimente:
... Această definiție se aplică oricărui număr finit de evenimente.

Sunt numite două evenimente independent dacă probabilitatea ca una dintre ele să se producă nu depinde de faptul dacă un alt eveniment a avut loc sau nu. Evenimente , , … , sunt numite colectiv independent dacă probabilitatea de apariţie a fiecăruia dintre ele nu depinde de faptul dacă s-au produs sau nu alte evenimente.

Exemplul 4 ... Două săgeți trag în țintă. Să desemnăm evenimente:

A= (primul trăgător lovește ținta);

B= (al doilea trăgător lovește ținta).

Evident, probabilitatea de a lovi ținta de către primul trăgător nu depinde de dacă al doilea trăgător a lovit sau a ratat și invers. De aici evenimentele Ași V independent.

Teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente este valabilă: probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente : .

Această teoremă este valabilă și pentru n evenimente independente în agregat:.

Exemplul 5 ... Doi trăgători trag la o țintă. Probabilitatea de a lovi primul trăgător este de 0,9, iar al doilea - 0,7. Ambii trăgători trag o singură lovitură în același timp. Determinați probabilitatea ca țintă să fie două lovituri.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A

B

C= (ambele săgeți lovesc ținta).

pentru că
si evenimente Ași V independent, atunci
, adică ...

Evenimente Ași V sunt numite dependent , dacă probabilitatea ca unul dintre ele să se producă depinde dacă un alt eveniment a avut loc sau nu. Probabilitatea apariției unui eveniment A cu condiția ca evenimentul V a sosit deja, se numește probabilitate condițională și notat
sau
.

Exemplul 6 ... Urna conține 4 bile albe și 7 negre. Bilele sunt scoase din urnă. Să desemnăm evenimente:

A= (minge albă scoasă);

B= (bila neagră eliminată).

Înainte de a începe să scoateți bilele din urnă
... O minge a fost scoasă din urnă și s-a dovedit a fi neagră. Apoi probabilitatea evenimentului A după eveniment V va fi deja diferit, egal ... Aceasta înseamnă că probabilitatea unui eveniment A depinde de eveniment V, adică aceste evenimente vor fi dependente.

Teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor dependente este valabilă: probabilitatea produsului a două evenimente dependente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată în ipoteza că primul eveniment a avut deja loc, adică sau .

Exemplul 7 ... Urna conține 4 bile albe și 8 roșii. Două bile sunt luate din el la întâmplare succesiv. Găsiți probabilitatea ca ambele bile să fie negre.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (bilul negru este scos prima);

B= (bila neagră este îndepărtată a doua).

Evenimente Ași V dependentă din moment ce
, A
... Atunci
.

Exemplul 8 ... Trei trăgători trag în țintă independent unul de celălalt. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,5, pentru al doilea - 0,6 și pentru al treilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca țintă să fie două lovituri dacă fiecare trăgător trage o singură lovitură.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (vor fi două lovituri pe țintă);

B= (primul trăgător lovește ținta);

C= (al doilea trăgător va lovi ținta);

D= (al treilea trăgător va lovi ținta);

= (primul trăgător va rata ținta);

= (al doilea trăgător va rata ținta);

= (al treilea trăgător va rata ținta).

După condiția exemplului
,
,
,

,
,
... Deoarece, folosind apoi teorema de adunare a probabilităților evenimentelor incompatibile și teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente independente, obținem:

Lasă evenimentele
alcătuiește un grup complet de evenimente ale unui test și evenimentul A poate apărea doar cu unul dintre aceste evenimente. Dacă se cunosc probabilitățile și probabilitățile condiționate ale evenimentului A, atunci probabilitatea evenimentului A se calculează cu formula:

Sau
... Această formulă se numește formula probabilității totale si evenimente
ipoteze .

Exemplul 9 ... Linia de asamblare primește 700 de piese de la prima mașină și 300 de piese din a doua. Prima mașină oferă 0,5% deșeuri, iar a doua - 0,7%. Găsiți probabilitatea ca partea luată să fie defectă.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (partea luată va fi defectă);

= (piesa este realizată la prima mașină);

= (piesa este realizată la a doua mașină).

Probabilitatea ca piesa să fie realizată pe prima mașină este
... Pentru a doua mașină
... Conform condiției, probabilitatea de a obține o piesă defectă realizată la prima mașină este egală cu
... Pentru a doua mașină, această probabilitate este
... Apoi, probabilitatea ca participantul să fie defect se calculează folosind formula pentru probabilitatea totală

Dacă se știe că în urma testului a avut loc un eveniment A, apoi probabilitatea ca acest eveniment să se fi produs cu ipoteza
, este egal cu
, Unde
- probabilitatea deplină a evenimentului A... Această formulă se numește Formula lui Bayes și vă permite să calculați probabilitățile evenimentelor
după ce s-a cunoscut că evenimentul A a sosit deja.

Exemplul 10 ... Același tip de piese pentru mașini sunt produse la două fabrici și merg la magazin. Prima fabrică produce 80% din numărul total de piese, iar a doua - 20%. Produsele primei plante conțin 90% din părți standard, iar a doua - 95%. Cumpărătorul a cumpărat o piesă și s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost fabricată într-o a doua fabrică.

Soluţie ... Să desemnăm evenimente:

A= (piesa standard achiziționată);

= (piesa realizata la prima planta);

= (piesă fabricată la a doua fabrică).

După condiția exemplului
,
,
și
... Calculăm probabilitatea totală a evenimentului A: 0,91. Probabilitatea ca piesa să fie fabricată la a doua fabrică este calculată folosind formula Bayes:

.

Teme de auto-studiu

Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea - 0,7 și pentru al treilea - 0,9. Trăgătorii au tras câte o lovitură. Găsiți probabilitatea ca ținta să aibă cel puțin două lovituri.

Atelierul a primit 15 tractoare. Se știe că 6 dintre ele trebuie să înlocuiască motorul, iar restul trebuie să înlocuiască unitățile individuale. Trei tractoare sunt selectate aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca înlocuirea motorului să fie necesară pentru cel mult două tractoare selectate.

Uzina de beton armat produce panouri, dintre care 80% sunt cea mai bună calitate... Găsiți probabilitatea ca din trei panouri alese aleatoriu, cel puțin două să fie de cea mai bună nota.

Trei muncitori asamblează rulmenți. Probabilitatea ca un rulment asamblat de primul muncitor să fie de cea mai bună calitate este de 0,7, al doilea este de 0,8 și al treilea este de 0,6. Pentru control s-a luat la întâmplare câte un rulment din cei asamblați de fiecare muncitor. Găsiți probabilitatea ca cel puțin două dintre ele să fie de cea mai bună calitate.

Probabilitatea de a câștiga un bilet de loterie pentru prima emisiune este de 0,2, a doua - 0,3 și a treia - 0,25. Există un bilet pentru fiecare număr. Găsiți probabilitatea de a câștiga cel puțin două bilete.

Contabilul efectuează calcule folosind trei cărți de referință. Probabilitatea ca datele de interes să fie în prima carte de referință este de 0,6, în a doua - 0,7 și în a treia - 0,8. Găsiți probabilitatea ca datele de interes pentru contabil să fie conținute în cel mult două cărți de referință.

Trei automate fac piese. Primul automat face o piesă de calitate superioară cu o probabilitate de 0,9, al doilea - cu o probabilitate de 0,7, iar al treilea - cu o probabilitate de 0,6. O bucată este luată la întâmplare din fiecare mașină. Găsiți probabilitatea ca printre ele să fie cel puțin două de cea mai bună calitate.

Piesele de același tip sunt prelucrate pe două mașini. Probabilitatea de a produce o piesă non-standard pentru prima mașină este de 0,03, pentru a doua - 0,02. Piesele prelucrate sunt stivuite într-un singur loc. Dintre aceștia, 67% de la primul aparat, iar restul de la al doilea. Partea luată la întâmplare s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca acesta să fi fost realizat pe prima mașină.

Atelierul a primit două cutii de același tip de condensatoare. Prima cutie avea 20 de condensatoare, dintre care 2 erau defecte. În a doua cutie sunt 10 condensatoare, dintre care 3 sunt defecte. Condensatorii au fost pusi intr-o singura cutie. Găsiți probabilitatea ca un condensator luat la întâmplare dintr-o cutie să se dovedească funcțional.

Pe trei mașini se realizează piese de același tip, care sunt alimentate la un transportor comun. Dintre toate piesele, 20% de la prima mașină, 30% de la a doua și 505 de la a treia. Probabilitatea de a face o piesă standard pe prima mașină este de 0,8, pe a doua - 0,6 și pe a treia - 0,7. Partea luată s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost făcută pe a treia mașină.

Culegătorul primește 40% din piese din fabrică pentru asamblare A, iar restul - din fabrică V... Probabilitatea ca piesa să fie din fabrică A- de cea mai buna calitate, egal cu 0,8, si din fabrica V- 0,9. Culegătorul a luat o bucată la întâmplare și nu a fost de cea mai bună calitate. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fie din fabrică V.

10 elevi din prima grupă și 8 din a doua au fost alocați pentru a participa la competiții sportive studențești. Probabilitatea ca un elev din prima grupă să fie inclus în echipa națională a academiei este de 0,8, iar din a doua - 0,7. Elevul ales la întâmplare a fost inclus în echipa națională. Găsiți probabilitatea ca el să fie din primul grup.

Teoreme de adunare și înmulțire pentru probabilități.
Evenimente dependente și independente

Titlul pare înfricoșător, dar de fapt este foarte simplu. În această lecție, ne vom familiariza cu teoremele de adunare și înmulțire a probabilităților evenimentelor, precum și vom analiza probleme tipice, care, împreună cu problema definiţiei clasice a probabilităţii se va întâlni cu siguranță sau, mai probabil, te-ai întâlnit deja în drumul tău. Pentru a studia eficient materialele acestui articol, trebuie să cunoașteți și să înțelegeți termenii de bază. teoria probabilității și să poată efectua cele mai simple operații aritmetice. După cum puteți vedea, este necesar foarte puțin și, prin urmare, un plus de grăsime în activ este aproape garantat. Dar, pe de altă parte, avertizez din nou împotriva unei atitudini superficiale față de exemplele practice - există și suficiente subtilități. Noroc:

Teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente: probabilitatea ca unul dintre cei doi să apară inconsecventă evenimente sau (indiferent de situatie), este egal cu suma probabilităților acestor evenimente:

Un fapt similar este valabil pentru un număr mare de evenimente inconsecvente, de exemplu, pentru trei evenimente inconsecvente și:

Teorema visului =) Cu toate acestea, un astfel de vis este supus demonstrației, care poate fi găsită, de exemplu, în ghid de studiu V.E. Gmurman.

Să facem cunoștință cu concepte noi, necunoscute până acum:

Evenimente dependente și independente

Să începem cu evenimente independente. Evenimentele sunt independent dacă probabilitatea apariţiei oricare dintre ei nu depinde de la apariția/neapariția evenimentelor rămase ale ansamblului luat în considerare (în toate combinațiile posibile). ... Dar ce este acolo pentru a măcina fraze generale:

Teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente: probabilitatea apariției comune a evenimentelor independente și este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Să revenim la cel mai simplu exemplu din prima lecție, în care se aruncă două monede și la următoarele evenimente:

- capete vor fi aruncate pe prima moneda;
- capete vor fi aruncate pe a 2-a monedă.

Să găsim probabilitatea evenimentului (un vultur va apărea pe prima monedă și pe moneda a 2-a va apărea un vultur - ne amintim cum se citește producerea de evenimente !) ... Probabilitatea de a obține capete pe o monedă nu depinde în niciun fel de rezultatul aruncării unei alte monede, prin urmare, evenimentele sunt independente.

De asemenea:
- probabilitatea ca prima monedă să aterizeze cozi și pe a 2-a cozi;
- probabilitatea ca pe prima monedă să apară un vultur și pe a 2-a cozi;
- probabilitatea ca pe prima monedă să apară cozi și pe al 2-lea vultur.

Rețineți că evenimentele se formează grup complet iar suma probabilităţilor lor este egală cu unu:.

Teorema înmulțirii se extinde în mod evident la un număr mare de evenimente independente, deci, de exemplu, dacă evenimentele sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor comune este egală cu:. Să exersăm mai departe exemple concrete:

Problema 3

Fiecare dintre cele trei cutii conține 10 părți. În prima casetă sunt 8 părți standard, în a doua - 7, în a treia - 9. Din fiecare casetă se ia la întâmplare o parte. Găsiți probabilitatea ca toate detaliile să fie standard.

Soluţie: probabilitatea de a prelua o parte standard sau non-standard din orice cutie nu depinde de ce piese sunt preluate din alte casete, prin urmare, problema se ocupă de evenimente independente. Luați în considerare următoarele evenimente independente:

- o piesă standard a fost scoasă din prima cutie;
- o piesă standard a fost scoasă din a 2-a cutie;
- o parte standard a fost scoasă din a 3-a cutie.

Conform definiției clasice:
- probabilităţile corespunzătoare.

Eveniment de interes pentru noi (o parte standard va fi scoasă din prima cutie și de la al 2-lea standard și de la al 3-lea standard) exprimate prin produs.

Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:

- probabilitatea ca o piesă standard să fie eliminată din trei casete.

Răspuns: 0,504

După exerciții revigorante cu cutii, ne așteaptă urne nu mai puțin interesante:

Problema 4

Trei urne conțin 6 bile albe și 4 negre. Din fiecare urnă se ia o minge la întâmplare. Aflați probabilitatea ca: a) toate cele trei bile să fie albe; b) toate cele trei bile vor avea aceeași culoare.

Pe baza informațiilor primite, ghiciți cum să faceți față punctului „fi” ;-) Un exemplu de soluție este conceput în stil academic cu o listă detaliată a tuturor evenimentelor.

Evenimente dependente... Evenimentul este numit dependent dacă probabilitatea sa depinde dintr-unul sau mai multe evenimente care au avut loc deja. Nu trebuie să mergeți departe pentru exemple - este suficient să ajungeți la cel mai apropiat magazin:

- Mâine la ora 19.00 va fi la vânzare pâine proaspătă.

Probabilitatea acestui eveniment depinde de multe alte evenimente: dacă pâinea proaspătă va fi livrată mâine, dacă se va epuiza sau nu înainte de ora 19, etc. În funcție de diferite circumstanțe, acest eveniment poate fi fie cert, fie imposibil. Deci evenimentul este dependent.

Pâine... și, așa cum cereau romanii, ochelari:

- studentul va primi un bilet simplu pentru examen.

Dacă nu mergi primul, atunci evenimentul va fi dependent, deoarece probabilitatea acestuia va depinde de biletele care au fost deja extrase de colegii studenți.

Cum se definește dependența/independența evenimentului?

Uneori, acest lucru este menționat direct în enunțul problemei, dar mai des trebuie să efectuați o analiză independentă. Nu există aici un punct de referință neechivoc, iar faptul de dependență sau independență a evenimentelor decurge din raționamentul logic natural.

Pentru a nu aduna totul împreună, sarcini pentru evenimente dependente Voi evidenția următoarea lecție, dar deocamdată vom considera cele mai comune în practică o grămadă de teoreme:

Probleme de teoreme de adunare pentru probabilitățile de inconsistentă
și înmulțirea probabilităților de evenimente independente

Acest tandem, conform evaluării mele subiective, funcționează în aproximativ 80% din sarcinile pe tema luată în considerare. Hit-uri și adevărații clasici ai teoriei probabilităților:

Problema 5

Doi trăgători au tras o singură lovitură în țintă. Probabilitatea de lovire pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea - 0,6. Găsiți probabilitatea ca:

a) un singur trăgător lovește ținta;
b) cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

Soluţie: Probabilitatea de a lovi / rata un trăgător, evident, nu depinde de performanța celuilalt trăgător.

Luați în considerare evenimentele:
- primul trăgător lovește ținta;
- Al 2-lea trăgător lovește ținta.

După condiție: .

Să găsim probabilitățile de evenimente opuse - că săgețile corespunzătoare vor rata:

a) Luați în considerare evenimentul: - un singur trăgător lovește ținta. Acest eveniment constă din două rezultate inconsecvente:

Primul trăgător lovește și Al 2-lea va rata
sau
Primul va rata și al 2-lea va lovi.

În limbaj algebre de evenimente acest fapt se va nota prin următoarea formulă:

În primul rând, folosim teorema de adunare a probabilităților evenimentelor inconsistente, apoi teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente independente:

- probabilitatea ca să fie o singură lovitură.

b) Luați în considerare evenimentul: - cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

În primul rând, SĂ GÂNDIM – ce înseamnă condiția „MĂRUN UNU”? În acest caz, aceasta înseamnă că fie primul trăgător va lovi (al 2-lea va rata) sau 2 (prima ratare) sau ambele săgeți simultan - un total de 3 rezultate inconsecvente.

Metoda unu: având în vedere probabilitatea gata a paragrafului anterior, este convenabil să se prezinte evenimentul ca suma următoarelor evenimente inconsistente:

unul va primi (un eveniment constând, la rândul său, din 2 rezultate inconsecvente) sau
ambele săgeți se vor lovi - să desemnăm acest eveniment cu o literă.

În acest fel:

Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:
- probabilitatea ca primul trăgător să lovească și Al doilea trăgător lovește.

Prin teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente:
- probabilitatea ca cel puțin o lovire asupra țintei.

Metoda a doua: considerați evenimentul opus: - ambele săgeți ratează.

Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:

Ca rezultat:

Acordați o atenție deosebită celei de-a doua metode - în general, este mai rațională.

În plus, există o alternativă, a treia modalitate de rezolvare, bazată pe teorema adunării evenimentelor comune, care nu a fost menționată mai sus.

! Dacă citiți materialul pentru prima dată, atunci, pentru a evita confuzia, este mai bine să săriți peste următorul paragraf.

Metoda trei : evenimentele sunt comune, ceea ce înseamnă că suma lor exprimă evenimentul „cel puțin un trăgător lovește ținta” (vezi. algebra evenimentelor ). De teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor comune și teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:

Să verificăm: evenimente și (0, 1 și respectiv 2 rezultate) formează un grup complet, deci suma probabilităților lor ar trebui să fie egală cu unu:
, care trebuia verificat.

Răspuns:

Cu un studiu amănunțit al teoriei probabilității, veți întâlni zeci de sarcini cu conținut militarist și, ceea ce este tipic, după aceea nu veți dori să împușcați pe nimeni - sarcinile sunt aproape dăruitoare. De ce să nu simplificăm și șablonul? Să scurtăm intrarea:

Soluţie: după condiție:, este probabilitatea de a lovi trăgătorii corespunzători. Atunci probabilitățile de ratare a acestora sunt:

a) Conform teoremelor de adunare a probabilităţilor de inconsecvenţă şi de multiplicare a probabilităţilor de evenimente independente:
- probabilitatea ca un singur trăgător să lovească ținta.

b) Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:
- probabilitatea ca ambii trăgători să rateze.

Apoi: - probabilitatea ca cel puțin unul dintre trăgători să lovească ținta.

Răspuns:

În practică, puteți utiliza orice opțiune de design. Desigur, ei merg pe scurtătura mult mai des, dar nu ar trebui să uităm de prima metodă - deși este mai lungă, este mai semnificativă - este mai clară în ea, ce, de ce și de ce se adună și se înmulțește. În unele cazuri, un stil hibrid este potrivit, atunci când este convenabil să desemnați doar unele evenimente cu majuscule.

Sarcini similare pentru soluții independente:

Problema 6

Pentru alarma de incendiu, sunt instalați doi senzori care funcționează independent. Probabilitățile ca senzorul să fie declanșat în caz de incendiu sunt 0,5 și 0,7 pentru primul și, respectiv, al doilea senzor. Găsiți probabilitatea ca în caz de incendiu:

a) ambii senzori se vor defecta;
b) ambii senzori vor funcționa.
c) Utilizarea teorema adunării probabilităților evenimentelor care formează grupul complet , aflați probabilitatea ca un singur senzor să fie declanșat în cazul unui incendiu. Verificați rezultatul calculând direct această probabilitate (folosind teoreme de adunare și înmulțire).

Aici, independența dispozitivelor este explicită direct în stare, ceea ce, apropo, este o clarificare importantă. Soluția eșantion este concepută într-un stil academic.

Ce se întâmplă dacă într-o problemă similară sunt date aceleași probabilități, de exemplu, 0,9 și 0,9? Trebuie să decideți exact în același mod! (ceea ce, de fapt, a fost deja demonstrat în exemplul cu două monede)

Problema 7

Probabilitatea de a lovi ținta de către primul trăgător cu o singură lovitură este de 0,8. Probabilitatea ca ținta să nu fie lovită după ce primul și al doilea trăgător au tras o singură lovitură este de 0,08. Care este probabilitatea de a lovi ținta de către al doilea trăgător cu o singură lovitură?

Și acesta este un mic puzzle, care este încadrat într-un mod scurt. Condiția poate fi reformulată mai succint, dar nu voi reface originalul - în practică, trebuie să vă aprofundați în fabricații mai ornamentate.

Faceți cunoștință - el este cel care ți-a stabilit o cantitate nemăsurată de detalii =):

Problema 8

Un muncitor operează trei mașini. Probabilitatea ca, în timpul schimbului, prima mașină să necesite ajustare este 0,3, a doua este 0,75, iar a treia este 0,4. Găsiți probabilitatea ca în timpul schimbului:

a) toate mașinile vor necesita ajustare;
b) o singură mașină va necesita reglare;
c) cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Soluţie: deoarece condiția nu spune nimic despre un singur proces tehnologic, atunci munca fiecărei mașini ar trebui considerată independentă de munca altor mașini.

Prin analogie cu problema nr. 5, aici puteți lua în considerare evenimentele pentru care mașinile corespunzătoare vor necesita ajustare în timpul schimbului, notați probabilitățile, găsiți probabilitățile de evenimente opuse etc. Dar cu trei obiecte, nu prea vreau să proiectez sarcina așa - se va dovedi lung și plictisitor. Prin urmare, este mult mai profitabil să folosiți stilul „rapid” aici:

După condiție: - probabilitatea ca în timpul schimbului utilajele corespunzătoare să necesite o tinctură. Atunci probabilitățile ca acestea să nu necesite atenție sunt:

Unul dintre cititori a găsit o greșeală grozavă aici, nici nu o voi corecta =)

a) Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:
- probabilitatea ca în timpul schimbului toate cele trei utilaje să necesite reglaj.

b) Evenimentul „În timpul schimbului, doar o singură mașină va necesita ajustare” constă din trei rezultate inconsecvente:

1) Prima mașină va necesita Atenţie și a 2-a mașină nu va necesita și a 3-a mașină nu va necesita
sau:
2) Prima mașină nu va necesita Atenţie și a 2-a mașină va necesita și a 3-a mașină nu va necesita
sau:
3) Prima mașină nu va necesita Atenţie și a 2-a mașină nu va necesita și a 3-a mașină va necesita.

Conform teoremelor de adunare a probabilităților de inconsecvență și de înmulțire a probabilităților de evenimente independente:

- probabilitatea ca o singură mașină să necesite ajustare în timpul unei ture.

Cred că până acum ar trebui să vă fie clar de unde a venit expresia

c) Calculăm probabilitatea ca mașinile să nu necesite ajustare și apoi - probabilitatea evenimentului opus:
- că cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Răspuns:

Punctul „ve” poate fi rezolvat și prin sumă, unde este probabilitatea ca în timpul schimbului doar două mașini să necesite ajustare. Acest eveniment, la rândul său, include 3 rezultate inconsecvente, care sunt semnate prin analogie cu clauza „fi”. Încercați să găsiți singur probabilitatea de a testa întreaga problemă folosind egalitate.

Problema 9

Trei pistoale au tras o salvă în țintă. Probabilitatea de a lovi cu o singură lovitură de la prima armă este de 0,7, de la a doua - 0,6, de la a treia - 0,8. Găsiți probabilitatea ca: 1) cel puțin un proiectil să lovească ținta; 2) doar două proiectile vor lovi ținta; 3) ținta va fi lovită de cel puțin două ori.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Și din nou despre coincidențe: în cazul în care, în funcție de condiție, două sau chiar toate valorile probabilităților inițiale coincid (de exemplu, 0,7; 0,7 și 0,7), atunci ar trebui să respectați exact același algoritm de soluție.

La sfârșitul articolului, să ne uităm la un alt puzzle comun:

Problema 10

Trăgătorul lovește ținta cu aceeași probabilitate cu fiecare lovitură. Care este această probabilitate dacă probabilitatea de a obține cel puțin o lovitură cu trei lovituri este 0,973.

Soluţie: se notează cu - probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură.
iar după - probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.

Și totuși, să notăm evenimentele:
- cu 3 lovituri, tragatorul va lovi tinta cel putin o data;
- trăgătorul va rata de 3 ori.

După condiție, atunci probabilitatea evenimentului opus este:

Pe de altă parte, prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente:

În acest fel:

- probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.

Ca rezultat:
- probabilitatea de lovire la fiecare lovitură.

Răspuns: 0,7

Simplu și elegant.

În problema luată în considerare, se pot pune întrebări suplimentare despre probabilitatea unei singure loviri, doar două loviri și probabilitatea a trei loviri pe țintă. Schema de soluții va fi exact aceeași ca în cele două exemple anterioare:

Cu toate acestea, diferența fundamentală de fond este aceea teste independente repetate , care sunt efectuate succesiv, independent unul de celălalt și cu aceeași probabilitate de rezultate.

\ (\ blacktriangleright \) Dacă executarea evenimentului \ (C \) necesită executarea ambelor evenimente comune (care pot avea loc în același timp) \ (A \) și \ (B \) (\ (C = \) (A \) și \ ( B \) \)), atunci probabilitatea evenimentului \ (C \) este egală cu produsul probabilităților evenimentelor \ (A \) și \ (B \).

Rețineți că, dacă evenimentele sunt inconsecvente, atunci probabilitatea apariției lor simultane este \ (0 \).

\ (\ blacktriangleright \) Fiecare eveniment poate fi marcat cu un cerc. Atunci, dacă evenimentele sunt comune, atunci cercurile trebuie să se intersecteze. Probabilitatea unui eveniment \ (C \) este probabilitatea de a lovi ambele cercuri în același timp.

\ (\ blacktriangleright \) De exemplu, atunci când aruncați un zar, găsiți probabilitatea \ (C = \) (apariția numărului \ (6 \)).
Evenimentul \ (C \) poate fi formulat ca \ (A = \) (apariția unui număr par) și \ (B = \) (apariția unui număr divizibil cu trei).
Atunci \ (P \, (C) = P \, (A) \ cdot P \, (B) = \ dfrac12 \ cdot \ dfrac13 = \ dfrac16 \).

Sarcina 1 # 3092

Nivel de sarcină: Egal cu examenul

Magazinul vinde adidași de la două companii: Dike și Ananas. Probabilitatea ca o pereche de adidași aleasă aleatoriu să fie realizată de Dike este \ (0,6 \). Fiecare companie poate face o greșeală în scrierea numelui de pe adidasi. Probabilitatea ca compania Dike să scrie greșit numele este \ (0,05 \); probabilitatea ca Ananas să scrie greșit numele este \ (0,025 \). Găsiți probabilitatea ca o pereche de pantofi sport cumpărată aleatoriu să fie scrisă corect.

Evenimentul A: „o pereche de adidași cu numele corect” este egal cu suma evenimentelor B: „o pereche de adidași cu numele corect și Dike” și C: „o pereche de adidași cu numele corect de la Ananas”.
Probabilitatea evenimentului B este egală cu produsul probabilităților evenimentelor „adidașii vor fi fabricați de Dike” și „numele companiei Dike a scris corect”: \ La fel pentru evenimentul C: \ Prin urmare, \

Răspuns: 0,96

Misiunea 2 # 166

Nivel de sarcină: Egal cu examenul

Dacă Timur joacă cu dame albe, atunci câștigă împotriva lui Vanya cu o probabilitate de 0,72. Dacă Timur joacă cu dame negre, atunci câștigă împotriva lui Vanya cu o probabilitate de 0,63. Timur și Vanya joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea damelor. Găsiți probabilitatea ca Vanya să câștige ambele ori.

Vanya câștigă cu Alb cu probabilitate \ (0,37 \), și Negru cu probabilitate \ (0,28 \). Evenimentele „din două jocuri Vanya a câștigat cu alb” \ (\ \) și „din două jocuri Vanya a câștigat cu negru” \ (\ \) - sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor simultane este \

Răspuns: 0,1036

Misiunea 3 # 172

Nivel de sarcină: Egal cu examenul

Intrarea în muzeu este păzită de doi paznici. Probabilitatea ca cel mai în vârstă dintre ei să uite radioul este \ (0,2 \), iar probabilitatea ca cel mai tânăr dintre ei să uite radioul este \ (0,1 \). Care este probabilitatea ca aceștia să nu aibă walkie-talkie?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. Atunci probabilitatea necesară este \

Răspuns: 0,02

Misiunea 4 # 167

Nivel de sarcină: Egal cu examenul

Sărind de la o înălțime de 1 metru, Kostya își rupe piciorul cu o probabilitate de \ (0,05 \). Sărind de la o înălțime de 1 metru, Vanya își rupe piciorul cu o probabilitate de \ (0,01 \). Sărind de la o înălțime de 1 metru, Anton își rupe piciorul cu o probabilitate de \ (0,01 \). Kostya, Vanya și Anton sar simultan de la o înălțime de 1 metru. Care este probabilitatea ca doar Kostya să-și rupă piciorul? Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată miime.

Evenimentele „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Kostya și-a rupt piciorul” \ (, \ \) „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Vanya nu și-a rupt piciorul” \ (\ \) și „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Anton nu și-a rupt piciorul” \ ( \ \) - sunt independente, prin urmare, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor: \ După rotunjire, obținem în sfârșit \ (0,049 \).

Răspuns: 0,049

Sarcina 5 # 170

Nivel de sarcină: Egal cu examenul

Maxim și Vanya au decis să joace bowling. Maxim a estimat pe bună dreptate că, în medie, lovește o dată la opt aruncări. Vanya a estimat pe bună dreptate că, în medie, lovește o dată la cinci aruncări. Maxim și Vanya fac exact o aruncare (indiferent de rezultat). Care este probabilitatea ca printre ei să nu existe greve?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. În acest caz, probabilitatea ca Maxim să nu elimine lovitura este egală cu \ Probabilitatea ca Vanya să nu lovească lovitura este \ (1 - 0,2 = 0,8 \). Atunci probabilitatea necesară este \ [\ dfrac (7) (8) \ cdot 0,8 = 0,7. \]

Răspuns: 0,7

Sarcina 6 # 1646

Nivel de sarcină: Egal cu examenul

Anton și Kostya joacă tenis de masă. Probabilitatea ca Kostya să lovească masa cu lovitura de semnătură este \ (0,9 \). Probabilitatea ca Anton să câștige un miting în care Kostya a încercat să dea o lovitură de semnătură este \ (0,3 \). Kostya a încercat să lovească masa cu lovitura lui semnătură. Care este probabilitatea ca Kostya să lovească cu adevărat cu lovitura sa și, în cele din urmă, să câștige acest raliu?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. Mai mult, probabilitatea ca Anton să nu câștige mitingul în care Kostya a încercat să-și dea lovitura de semnătură este \ (1 - 0,3 = 0,7 \). Atunci probabilitatea necesară este \