Care figură nu este un poliedru regulat. Ce este un poliedru? Numărul total de vârfuri

Conținutul articolului

POLIEDRU, o porțiune de spațiu delimitată de o colecție de un număr finit de poligoane plane conectate în așa fel încât fiecare latură a oricărui poligon să fie latura exact a unui alt poligon (numit adiacent), cu exact un ciclu de poligoane existente în jurul fiecărui vârf. Aceste poligoane se numesc fețe, laturile lor se numesc muchii, iar vârfurile lor sunt numite vârfuri ale poliedrului.

În fig. 1 prezintă mai multe poliedre binecunoscute. Primele două servesc drept exemple R-piramidele de cărbune, i.e. poliedre formate din R-un triunghi numit baza, si R triunghiuri adiacente bazei și având un vârf comun (numit vârf al piramidei). La R = 3 (cm. orez. 1, A) orice față a piramidei poate servi drept bază. O piramidă a cărei bază este în formă de obișnuit R-gon se numește obișnuit R-piramida cărbunelui. Deci, putem vorbi de pătrat, pentagonal regulat etc. piramide. În fig. 1, V, 1,G si 1, d sunt date exemple ale unei anumite clase de poliedre, ale căror vârfuri pot fi împărțite în două mulțimi de același număr de puncte; punctele fiecăreia dintre aceste mulţimi sunt vârfuri R-gon și avioanele ambelor p-goniile sunt paralele. Dacă aceşti doi R-gon (baza) sunt congruente si situate astfel incat varfurile unuia R R-gon de segmente drepte paralele, atunci se numeste un astfel de poliedru R- prismă de carbon. Exemple din două R-prismele unghiulare pot servi ca prisme triunghiulare ( R= 3) în fig. 1, Vși o prismă pentagonală ( R= 5) în fig. 1, G. Dacă bazele sunt amplasate astfel încât vârfurile unuia R-gon sunt conectate la vârfurile altuia R-gonul unei linii întrerupte în zig-zag constând din 2 R segmente drepte, ca în fig. 1, d, atunci se numește un astfel de poliedru R- antiprismă de carbon.

Pe lângă două motive, R-prisme de carbon sunt disponibile R fețe - paralelograme. Dacă paralelogramele au formă de dreptunghiuri, atunci prisma se numește linie dreaptă, iar dacă, în plus, bazele sunt regulate. R-goni, atunci prisma se numește drept regulat R- prismă de carbon. R-antiprisma de carbon are (2 p+ 2) fețe: 2 R fețe triunghiulare și două p- baze de cărbune. Dacă bazele sunt congruente regulate R-goni, iar linia dreaptă care leagă centrele este perpendiculară pe planurile lor, atunci antiprisma se numește dreptă regulată R- antiprismă de carbon.

În definiția unui poliedru, ultima clauză este făcută pentru a exclude din considerare astfel de anomalii precum două piramide cu un vârf comun. Introducem acum o constrângere suplimentară asupra mulțimii de politopuri admisibile, solicitând ca două fețe să nu se intersecteze, ca în Fig. 1, e. Orice poliedru care satisface această cerință împarte spațiul în două părți, dintre care una este finită și se numește „internă”. Cealaltă parte rămasă se numește externă.

Un poliedru se numește convex dacă nu un singur segment de linie dreaptă care leagă două dintre punctele sale nu conține puncte aparținând spațiului exterior. Poliedre din fig. 1, A, 1,b, 1,V si 1, d convexă, iar prisma pentagonală din fig. 1, G nu convex, deoarece, de exemplu, segmentul PQ conţine puncte situate în spaţiul exterior al prismei.

POLHEDE REGULARE

Un poliedru convex se numește regulat dacă îndeplinește următoarele două condiții:

283(i) toate fețele sale sunt poligoane regulate congruente;

(ii) fiecare vârf are același număr de fețe adiacente acestuia.

Dacă toate marginile sunt corecte R-goni și q dintre care sunt adiacente fiecărui vârf, atunci un astfel de poliedru regulat este notat cu ( p, q). Această notație a fost propusă de L. Schläfli (1814–1895), un matematician elvețian care a fost responsabil pentru multe rezultate elegante în geometrie și analiză matematică.

Există poliedre neconvexe ale căror fețe se intersectează și care se numesc „poliedre stelate regulate”. Deoarece am convenit să nu luăm în considerare astfel de poliedre, prin poliedre regulate vom înțelege exclusiv poliedre regulate convexe.

Solidele platonice.

În fig. 2 prezintă poliedre regulate. Cel mai simplu dintre ele este un tetraedru regulat, ale cărui fețe sunt patru triunghiuri echilaterale și trei fețe sunt adiacente fiecărui vârf. Tetraedrul corespunde notației (3, 3). Acesta nu este altceva decât un caz special al unei piramide triunghiulare. Cel mai faimos dintre poliedrele obișnuite este cubul (uneori numit hexaedru obișnuit) - o prismă pătrată dreaptă, toate cele șase fețe ale cărora sunt pătrate. Deoarece fiecare vârf are 3 pătrate adiacente, cubul este desemnat (4, 3). Dacă două piramide pătrate congruente cu fețe în formă de triunghiuri echilaterale sunt combinate la bazele lor, rezultatul este un poliedru numit octaedru regulat. Este limitat de opt triunghiuri echilaterale, fiecare dintre vârfuri este adiacent cu patru triunghiuri și, prin urmare, notația (3, 4) îi corespunde. Un octaedru regulat poate fi de asemenea considerat un caz special al unei antiprisme triunghiulare regulate directe. Să considerăm acum o antiprismă pentagonală regulată dreaptă, ale cărei fețe au forma unor triunghiuri echilaterale și două piramide pentagonale regulate, ale căror baze sunt congruente cu baza antiprismei, iar fețele au forma de triunghiuri echilaterale. Dacă aceste piramide sunt atașate de o antiprismă, aliniindu-și bazele, atunci obținem un alt poliedru regulat. Douăzeci dintre fețele sale sunt în formă de triunghiuri echilaterale, cu cinci fețe adiacente fiecărui vârf. Un astfel de poliedru se numește icosaedru regulat și este notat cu (3, 5). Pe lângă cele patru poliedre regulate menționate mai sus, mai există una - un dodecaedru regulat, limitat de douăsprezece fețe pentagonale; fiecare dintre vârfurile sale este adiacent la trei fețe, deci dodecaedrul este notat ca (5, 3).

Cele cinci poliedre regulate enumerate mai sus, numite adesea și „solide platonice”, au captat imaginația matematicienilor, misticilor și filozofilor antichității în urmă cu peste două mii de ani. Grecii antici au stabilit chiar o corespondență mistică între tetraedru, cub, octaedru și icosaedru și cele patru principii naturale - foc, pământ, aer și apă. În ceea ce privește al cincilea poliedru regulat, dodecaedrul, ei l-au considerat ca forma Universului. Aceste idei nu sunt doar un lucru din trecut. Și acum, două milenii mai târziu, mulți sunt atrași de principiul estetic subiacent. Faptul că nu și-au pierdut atractivitatea până în prezent este dovedit foarte convingător de pictura artistului spaniol Salvador Dali ultima cina.

Grecii antici au studiat și multe proprietăți geometrice ale solidelor platonice; roadele cercetării lor se regăsesc în cartea a XIII-a A început Euclid. Studiul solidelor platonice și al figurilor aferente continuă până în zilele noastre. Deși frumusețea și simetria sunt principalele motivații ale cercetării moderne, ele au și o anumită semnificație științifică, în special în cristalografie. Cristalele de sare de masă, tioantimonidă de sodiu și alaun de crom apar în natură sub formă de cub, tetraedru și, respectiv, octaedru. Icosaedrul și dodecaedrul nu se găsesc printre formele cristaline, dar pot fi observate printre formele de organisme marine microscopice cunoscute sub numele de radiolari.

Numărul de poliedre regulate.

Este firesc să ne întrebăm dacă, în afară de solidele platonice, există și alte poliedre regulate. După cum arată următoarele considerații simple, răspunsul trebuie să fie negativ. Lăsa ( p, q) este un poliedru regulat arbitrar. Deoarece marginile sale sunt corecte R-gonioanele, unghiurile lor interioare, așa cum este ușor de arătat, sunt egale (180 – 360/ R) sau 180 (1 – 2/ R) grade. Din moment ce poliedrul ( p, q) convex, suma tuturor unghiurilor interne de-a lungul fețelor adiacente oricăruia dintre vârfurile sale trebuie să fie mai mică de 360 de grade. Dar fiecare vârf este adiacent q se confruntă, prin urmare inegalitatea trebuie satisfăcută

Nu e greu să vezi asta pȘi q trebuie să fie mai mare decât 2. Înlocuind în (1) R= 3, constatăm că singurele valori valide sunt qîn acest caz sunt 3, 4 și 5, adică obţinem poliedrele (3, 3), (3, 4) şi (3, 5). La R= 4 este singura valoare validă q este 3, adică poliedru (4, 3), cu R= 5 inegalitatea (1) satisface de asemenea numai q= 3, adică poliedru (5, 3). La p> 5 valori valide q nu exista. În consecință, nu există alte poliedre regulate cu excepția solidelor platonice.

Toate cele cinci poliedre regulate sunt enumerate în tabelul de mai jos. Ultimele trei coloane indică N 0 – numărul de vârfuri, N 1 – numărul de muchii și N 2 – numărul de fețe ale fiecărui poliedru.

Din păcate, definiția poliedrului regulat dată în multe manuale de geometrie este incompletă. O greșeală comună este că definiția necesită doar îndeplinirea condiției (i) de mai sus, dar neglijează condiția (ii). Între timp, condiția (ii) este absolut necesară, ceea ce se verifică cel mai ușor prin luarea în considerare a unui poliedru convex care satisface condiția (i) dar nu satisface condiția (ii). Cel mai simplu exemplu de acest fel poate fi construit prin identificarea feței unui tetraedru obișnuit cu fața altui tetraedru, congruent cu primul. Ca rezultat, obținem un poliedru convex, ale cărui șase fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente. Cu toate acestea, unele vârfuri au trei fețe adiacente lor, în timp ce altele au patru, ceea ce încalcă condiția (ii).

CINCI POLIEDE REGULARE
Nume	Înregistrarea lui Schläfli	N 0 (numar de varfuri)	N 1 (numar de coaste)	N 2 (numar de fete)
Tetraedru
cub
Octaedru
Icosaedru
Dodecaedru

Proprietățile poliedrelor regulate.

Vârfurile oricărui poliedru regulat se află pe sferă (ceea ce nu este deloc surprinzător dacă ne amintim că vârfurile oricărui poligon regulat se află pe cerc). Pe lângă această sferă, numită „sfera descrisă”, mai există două sfere importante. Una dintre ele, „sfera mediană”, trece prin punctele de mijloc ale tuturor marginilor, iar cealaltă, „sfera înscrisă”, atinge toate fețele din centrele lor. Toate cele trei sfere au un centru comun, care se numește centrul poliedrului.

Poliedre duble.

Luați în considerare un poliedru regulat ( p, q) și sfera sa mijlocie S. Punctul de mijloc al fiecărei margini atinge sfera. Înlocuirea fiecărei muchii cu un segment perpendicular pe linia tangentă la S in acelasi punct obtinem N 1 muchie a unui poliedru dual cu un poliedru ( p, q). Nu este greu să arăți că fețele poliedrului dual sunt regulate q-goni și că fiecare vârf este adiacent R chipuri. Prin urmare, poliedrul ( p, q) este duala unui poliedru regulat ( q, p). Poliedrul (3, 3) este dual cu un alt poliedru (3, 3), congruent cu cel inițial (prin urmare (3, 3) se numește poliedru auto-dual), poliedrul (4, 3) este dual cu poliedrul (3, 4), iar poliedrul (5, 3) este dual – poliedrul (3, 5). În fig. 3 poliedre (4, 3) și (3, 4) sunt prezentate în dualitate unul față de celălalt. În plus, fiecare vârf, fiecare muchie și fiecare față a poliedrului ( p, q) corespunde singurei fețe, singurei muchii și singurului vârf al poliedrului dual ( q, p). Prin urmare, dacă ( p, q) Are N 0 vârfuri, N 1 coaste și N 2 fețe, apoi ( q, p) Are N 2 vârfuri, N 1 coaste și N 0 chipuri.

Din moment ce fiecare dintre N 2 fețe ale unui poliedru regulat ( p, q) limitat R muchii și fiecare muchie este comună pentru exact două fețe, apoi în total există pN 2/2 coaste, deci N 1 = pN 2/2. Poliedrul dual ( q, p) coaste de asemenea N 1 și N 0 fețe, deci N 1 = qN 0 /2. Deci numerele N 0 , N 1 și N 2 pentru orice poliedru regulat ( p, q) sunt legate prin relație

Simetrie.

Principalul interes pentru poliedrele regulate este cauzat de numărul mare de simetrii pe care le posedă. Prin simetria (sau transformarea de simetrie) a unui poliedru înțelegem mișcarea acestuia ca corp rigid în spațiu (de exemplu, rotație în jurul unei anumite drepte, reflexie față de un anumit plan etc.), care părăsește mulțimea de vârfuri, muchii. iar feţele poliedrului neschimbate. Cu alte cuvinte, sub acțiunea unei transformări de simetrie, un vârf, muchie sau față fie își păstrează poziția inițială, fie este transferat în poziția inițială a unui alt vârf, a unei alte muchii sau a unei alte fețe.

Există o simetrie comună tuturor poliedrelor. Vorbim despre o transformare identitară care lasă orice punct în poziția inițială. Întâlnim un exemplu mai puțin banal de simetrie în cazul unei linii drepte R- prismă de carbon. Lăsa l– o linie dreaptă care leagă centrele bazelor. Întoarceţi-vă l la orice multiplu întreg al unghiului 360/ R grade este simetrie. Să, mai departe, p- un plan care trece la mijloc intre bazele paralele cu acestea. Reflecția față de un plan p(o mișcare care ia orice punct P exact Pў , astfel încât p intersectează segmentul PPў în unghi drept și îl împarte în jumătate) - o altă simetrie. Combinarea reflexiei în raport cu un plan p cu o întoarcere în jurul unei linii drepte l, obținem o altă simetrie.

Orice simetrie a unui poliedru poate fi reprezentată ca produs de reflexii. Prin efectuarea mai multor mișcări ale unui poliedru ca corp rigid, înțelegem aici executarea mișcărilor individuale într-o anumită ordine prestabilită. De exemplu, rotația menționată mai sus printr-un unghi de 360/ R grade în jurul unei linii drepte l este produsul reflexiilor relativ la oricare două plane care conțin lși formând un unghi de 180/ unul față de celălalt R grade. O simetrie care este produsul unui număr par de reflexii se numește directă, altfel se numește inversă. Astfel, orice rotație în jurul unei linii drepte este simetrie directă. Orice reflexie este simetrie inversă.

Să luăm în considerare mai detaliat simetriile tetraedrului, i.e. poliedru regulat (3, 3). Orice linie dreaptă care trece prin orice vârf și centru al tetraedrului trece prin centrul feței opuse. O rotație de 120 sau 240 de grade în jurul acestei linii drepte este una dintre simetriile tetraedrului. Deoarece tetraedrul are 4 vârfuri (și 4 fețe), obținem un total de 8 simetrii directe. Orice linie dreaptă care trece prin centrul și punctul de mijloc al unei margini a unui tetraedru trece prin punctul de mijloc al muchiei opuse. O rotație de 180 de grade (jumătate de rotație) în jurul unei astfel de linii drepte este, de asemenea, simetrie. Deoarece tetraedrul are 3 perechi de muchii, obținem încă 3 simetrii directe. În consecință, numărul total de simetrii directe, inclusiv transformarea identității, ajunge la 12. Se poate demonstra că nu există alte simetrii directe și că există 12 simetrii inverse. Astfel, tetraedrul permite un total de 24 de simetrii. Pentru claritate, este util să construiți un model de carton al unui tetraedru obișnuit și să vă asigurați că tetraedrul are într-adevăr 24 de simetrii. În fig. 4.

Simetriile directe ale poliedrelor regulate rămase pot fi descrise nu individual, ci toate împreună. Să fim de acord să înțelegem prin ( p, q) orice poliedru regulat, cu excepția (3, 3). O linie dreaptă care trece prin centru ( p, q) și orice vârf, trece prin vârful opus și orice rotație cu un multiplu întreg de 360/ q grade în jurul acestei linii este simetrie. În consecință, pentru fiecare astfel de linie există, inclusiv transformarea identității, ( q– 1) simetrii diferite. Fiecare astfel de linie dreaptă leagă două dintre N 0 vârfuri; prin urmare, numărul total de astfel de linii drepte este N 0/2, ceea ce dă ( q – 1) > N 0/2 simetrii. În plus, linia care trece prin centrul poliedrului ( p, q) și centrul oricărei fețe trece prin centrul feței opuse și orice rotație în jurul unei astfel de linii cu un multiplu întreg de 360/ R grade este simetrie. Deoarece numărul total de astfel de linii este egal cu N 2/2, unde N 2 – numărul de fețe ale poliedrului ( p, q), primim ( p – 1) N 2/2 diverse simetrii, inclusiv transformarea identităţii. În cele din urmă, o dreaptă care trece prin centrul și punctul de mijloc al oricărei margini a poliedrului ( p, q), trece prin mijlocul muchiei opuse, iar simetria este o jumătate de tură în jurul acestei linii. Din moment ce există N 1/2 astfel de linii, unde N 1 – numărul de muchii ale poliedrului ( p, q), primim mai multe N 1/2 simetrii. Ținând cont de transformarea identității, obținem

simetrii directe. Nu există alte simetrii directe și există tot atâtea simetrii inverse.

Deși formula (3) nu a fost obținută pentru poliedrul (3, 3), este ușor de verificat că este adevărată și pentru acesta. Astfel, poliedrul (3, 3) are 12 simetrii directe, poliedrul (4, 3) și (3, 4) 24 de simetrii, iar poliedrul (5, 3) și (3, 5) 60 de simetrii.

Cititorii familiarizați cu algebra abstractă vor înțelege că simetriile unui poliedru ( p, q) formează un grup în raport cu „înmulțirea” definită mai sus. În acest grup, simetriile directe formează un subgrup de indice 2, iar simetriile inverse nu formează un grup, deoarece încalcă proprietatea de închidere și nu conțin o transformare de identitate (elementul unitar al grupului). De obicei, grupul de simetrii directe este numit grupul unui poliedru, iar grupul complet de simetrii este numit grupul său extins. Din proprietățile poliedrelor duale discutate mai sus, este clar că orice poliedru regulat și poliedrul său dual au același grup. Grupul tetraedric se numește grupul tetraedric, grupul cub și octaedric se numește grupul octaedric, iar grupul dodecaedr și icosaedric se numește grup icosaedric. Ele sunt izomorfe cu grupul alternativ A 4 din patru simboluri, grup simetric S 4 din patru simboluri și grup alternativ A 5 din cinci caractere respectiv.

FORMULA LUI EULER

Privind tabelul, puteți observa o relație interesantă între numărul de vârfuri N 0, numărul de muchii N 1 și numărul de fețe N 2 orice poliedru regulat convex ( p, q). Este vorba de raport

Înlocuind expresiile rezultate în formulele (3) și (4), obținem că numărul de simetrii directe ale poliedrului ( p, q) egal

Acest număr poate fi scris și într-una dintre formele echivalente: qN 0 , 2N 1 sau pN 2 .

Domeniul de aplicare al formulei lui Euler.

Semnificația formulei lui Euler este sporită de faptul că este aplicabilă nu numai solidelor platonice, ci și oricărui poliedru homeomorf la o sferă ( cm. TOPOLOGIE). Această afirmație este dovedită după cum urmează.

Lăsa P– orice poliedru homeomorf unei sfere, cu N 0 vârfuri, N 1 coaste și N 2 fețe; lăsa c = N 0 – N 1 + N 2 – Euler caracteristica unui poliedru P. Se cere să se demonstreze că c= 2. Din moment ce R este homeomorf unei sfere, putem elimina o față și transforma restul într-o configurație în plan (de exemplu, în Fig. 5, Ași 5, b vezi o prismă cu planul frontal îndepărtat). O „configurație plană” este o rețea de puncte și segmente de linie dreaptă numite „vertice” și, respectiv, „margini”, vârfurile servind drept capetele muchiilor. Considerăm vârfurile și muchiile configurației pe care o considerăm ca fiind vârfuri și muchii deplasate și deformate ale poliedrului. Deci această configurație are N 0 vârfuri și N 1 coastă Odihnă N 2 – 1 fețe ale poliedrului sunt deformate în N 2 – 1 zone care nu se suprapun pe un plan determinat de configurație. Să numim aceste zone „fețele” configurației. Vârfurile, muchiile și fețele configurației determină caracteristica lui Euler, care în acest caz este egală cu c – 1.

Acum vom efectua aplatizarea, astfel încât dacă fața îndepărtată a fost R-pătrat, atunci atât N 2 – 1 fețe de configurare vor umple interiorul R-gon. Lăsa A– un vârf înăuntru R-gon. Să presupunem că în A converge r coaste Daca stergi AȘi asta e tot r muchiile care converg în el, atunci numărul de vârfuri va scădea cu 1, muchiile - cu r, chipuri – pe r – 1 (cm. orez. 5, bși 5, V). Configurație nouă Nў 0 = N 0 – 1 vârfuri, Nў 1 = N 1 – r coaste și Nў 2 = N 2 – 1 – (r– 1) fețe; prin urmare,

Astfel, eliminarea unui vârf intern și a muchiilor care converg la acesta nu modifică caracteristica Euler a configurației. Prin urmare, prin eliminarea tuturor vârfurilor interne și a muchiilor care converg la ele, reducem astfel configurația la R-unghiul și interiorul acestuia (Fig. 5, G). Dar caracteristica Euler va rămâne egală cu c– 1, iar din moment ce configurația are R culmi, R margini și 1 față, obținem

Prin urmare, c= 2, ceea ce trebuia demonstrat.

În continuare, putem demonstra că dacă caracteristica lui Euler a unui poliedru este egală cu 2, atunci poliedrul este homeomorf unei sfere. Cu alte cuvinte, putem generaliza rezultatul obținut mai sus arătând că un poliedru este homeomorf unei sfere dacă și numai dacă caracteristica lui Euler este egală cu 2.

Formula Euler generalizată.

Pentru a clasifica alte poliedre se folosește formula generalizată a lui Euler. Dacă un anumit poliedru are 16 vârfuri, 32 de muchii și 16 fețe, atunci caracteristica lui Euler este 16 – 32 + 16 = 0. Acest lucru ne permite să afirmăm că acest poliedru aparține clasei de poliedre homeomorfe unui tor. O trăsătură distinctivă a acestei clase este caracteristica Euler, care este egală cu zero. Mai general, lasă R– poliedru cu N 0 vârfuri, N 1 coaste și N 2 fețe. Ei spun că un poliedru dat este homeomorf pentru o suprafață a genului n dacă și numai dacă

În sfârșit, trebuie remarcat că situația devine semnificativ mai complicată dacă relaxăm constrângerea anterioară conform căreia două fețe ale unui poliedru nu trebuie să se intersecteze. De exemplu, apare posibilitatea existenței a două poliedre nehomeomorfe cu aceeași caracteristică Euler. Ar trebui să se distingă prin alte proprietăți topologice.

Poliedru este un corp delimitat de poligoane plate. Elementele unui poliedru sunt culmi , coaste Și margini . Poliedrul se numește convex , dacă toate se află pe o parte a planului oricăreia dintre fețele sale. Corect este un poliedru ale cărui fețe sunt poligoane regulate. Există un total de cinci poliedre convexe regulate, care au fost explorate și descrise pentru prima dată de Platon, care a trăit în secolele V-IV î.Hr. Prin urmare, aceste poliedre sunt numite și „ Solidele platonice ».

1. Tetraedru (tetraedru - piramidă triunghiulară regulată) - 4 vârfuri, 4 fețe - triunghiuri.

2. Hexaedru (hexagon - cub) - 8 vârfuri, 6 fețe - pătrate.

3. Octaedru (octaedru) – 6 vârfuri, 8 fețe – triunghiuri.

4. Icosaedru (douăzeci de laturi) - 12 vârfuri, 20 de fețe - triunghiuri.

5. Dodecaedru (dodecaedru) - 20 de vârfuri, 12 fețe - pentagoane.

Formula lui Euler pentru un poliedru regulat:

B + G – P =2

Unde IN - numărul de vârfuri ale poliedrului,

G - numărul de fețe ale poliedrului,

R - numărul de muchii ale unui poliedru.

Dintre varietatea de poliedre convexe, cele de cel mai mare interes practic sunt:

1) prisme – poliedre ale căror margini laterale sunt paralele între ele, și ale căror fețe laterale sunt paralelograme;

2) piramide – poliedre ale căror margini laterale se intersectează într-un punct — vârful;

3) prismatoide – poliedre, mărginite de oricare două poligoane situate în plane paralele și numite baze, și triunghiuri sau trapeze, ale căror vârfuri sunt vârfurile bazelor (Fig. 8.1).

Deși stereometria este studiată doar în liceu, fiecare școlar este familiarizat cu cubul, piramidele obișnuite și alte poliedre simple. Tema „Poliedre” are aplicații strălucitoare, inclusiv în pictură și arhitectură. În plus, acesta, în expresia figurativă a academicianului Alexandrov, combină „gheața și focul”, adică o imaginație vie și o logică strictă. Dar în cursul școlar de stereometrie puțin timp este dedicat poliedrelor obișnuite. Dar pentru mulți, poliedrele obișnuite sunt de mare interes, dar nu există nicio oportunitate de a afla mai multe despre ele în clasă. De aceea am decis să vorbesc despre toate poliedrele obișnuite care au diverse forme și proprietățile lor interesante.

Structura poliedrelor regulate este foarte convenabilă pentru studierea numeroaselor transformări ale unui poliedr în sine (rotații, simetrii etc.). Grupurile de transformare rezultate (se numesc grupuri de simetrie) s-au dovedit a fi foarte interesante din punctul de vedere al teoriei grupurilor finite. Aceeași simetrie a făcut posibilă crearea unei serii de puzzle-uri sub formă de poliedre regulate, care au început cu „cubul lui Rubik” și „piramida moldovenească”.

Pentru a compila rezumatul, am folosit revista populară științifică și matematică „Quantum”, din care s-au luat informații despre ce este un poliedru regulat, despre numărul lor, despre construcția tuturor poliedrelor regulate și o descriere a tuturor rotațiilor la care poliedrul. este combinată cu poziția inițială. Din ziarul „Matematică” am primit informații interesante despre poliedre regulate stelate, proprietățile lor, descoperirea și aplicarea lor.

Acum ai ocazia să te cufundați în lumea corectului și magnificului, în lumea frumosului și extraordinarului, care ne captivează ochii.

1. Poliedre regulate

1. 1 Definiția poliedrelor regulate.

Un poliedru convex se numește regulat dacă fețele sale sunt poliedre regulate egale și toate unghiurile poliedrice sunt egale.

Să luăm în considerare posibilele poliedre regulate și, în primul rând, cele ale căror fețe sunt triunghiuri regulate. Cel mai simplu astfel de poliedru regulat este o piramidă triunghiulară, ale cărei fețe sunt triunghiuri regulate. Trei fețe se întâlnesc la fiecare vârf. Având doar patru fețe, acest poliedru se mai numește și tetraedru regulat, sau pur și simplu tetraedru, care tradus din greacă înseamnă tetraedru.

Un poliedru ale cărui fețe sunt triunghiuri regulate și patru fețe se întâlnesc la fiecare vârf, suprafața sa este formată din opt triunghiuri regulate, deci se numește octaedru.

Un poliedru în care cinci triunghiuri regulate se întâlnesc la fiecare vârf. Suprafața sa este formată din douăzeci de triunghiuri regulate, motiv pentru care se numește icosaedru.

Rețineți că, deoarece mai mult de cinci triunghiuri regulate nu se pot întâlni la vârfurile unui poliedru convex, nu există alte poligoane regulate ale căror fețe sunt triunghiuri regulate.

În mod similar, deoarece doar trei pătrate pot converge la vârfurile unui poliedru convex, atunci, în afară de cub, nu există alte poliedre regulate ale căror fețe sunt pătrate. Un cub are șase fețe și, prin urmare, este numit și hexaedru.

Un poliedru ale cărui fețe sunt pentagoane regulate și trei fețe se întâlnesc la fiecare vârf. Suprafața sa este formată din douăsprezece pentagoane regulate, motiv pentru care se numește dodecaedru.

Din definiția unui poliedru regulat rezultă că un poliedru regulat este „perfect simetric”: dacă marcați o față G și unul dintre vârfurile sale A, atunci pentru orice altă față G1 și vârful său A1 puteți combina poliedrul cu el însuși prin deplasându-se în spațiu astfel încât fața G va fi aliniată cu G1 și vârful A va ajunge în punctul A1.

1. 2. Context istoric.

Primele patru poliedre au fost cunoscute cu mult înaintea lui Platon. Arheologii au găsit un dodecaedru realizat în timpul civilizației etrusce cel puțin 500 î.Hr. e. Dar, se pare, în școala lui Platon dodecaedrul a fost descoperit independent. Există o legendă despre studentul lui Platon Hippases, care a murit pe mare pentru că a divulgat secretul „mingii cu douăsprezece pentagoane”.

Încă din vremea lui Platon și Euclid, se știe bine că există exact cinci tipuri de poliedre regulate.

Să demonstrăm acest fapt. Fie toate fețele unui anumit poliedru să fie n-gonuri regulate și k să fie numărul de fețe adiacente unui vârf (este același pentru toate vârfurile). Să considerăm vârful A al poliedrului nostru. Fie M1, M2,. , Mk - capete ale k muchii care ies din el; întrucât unghiurile diedrice de la aceste muchii sunt egale, AM1M2Mk este o piramidă obișnuită: când este rotită printr-un unghi de 360º/k în jurul înălțimii AN, vârful M merge în M, vârful M1 în M2. Mk la M1.

Să comparăm triunghiurile isoscele AM1M2 și HM1M2.Au o bază comună, iar latura laterală AM1 este mai mare decât HM1, deci M1AM2

Tetraedrul 3 3 4 4 6

Cubul 4 3 8 6 12

Octaedru 3 4 6 8 12

Dodecaedru 5 3 20 12 30

Icosaedru 3 5 12 20 30

1. 3. Construirea poliedrelor regulate.

Toate poliedrele corespunzătoare pot fi construite folosind un cub ca bază.

Pentru a obține un tetraedru obișnuit, este suficient să luați patru vârfuri neadiacente ale unui cub și să tăiați piramidele din acesta cu patru plane, fiecare trecând prin trei dintre vârfurile luate.

Un astfel de tetraedru poate fi înscris într-un cub în două moduri.

Intersecția a două astfel de tetraedre regulate este doar un octaedru regulat: un poliedru de opt triunghiuri cu vârfuri situate la centrele fețelor cubului.

2. Proprietăţile poliedrelor regulate.

2. 1. Sferă și poliedre regulate.

Raza sferei înscrise Numele poliedrului Raza sferei înscrise

Tetraedru

Dodecaedru

Icosaedru

2. 1. Autoalinierea poliedrelor.

Ce autoalinieri (rotații care se traduc în sine) au cubul, tetraedrul și octaedrul? Rețineți că un anumit punct, centrul poliedrului, se transformă în sine pentru orice autoaliniere, astfel încât toate autoaliniamentele au un punct fix comun.

Să vedem ce fel de rotații există în spațiu cu un punct fix A. Să arătăm că o astfel de rotație este neapărat o rotație printr-un anumit unghi în jurul unei drepte care trece prin punctul A. Este suficient pentru mișcarea noastră F(c F (A) = A) pentru a indica o linie dreaptă fixă. Îl puteți găsi astfel: luați în considerare trei puncte M1, M2 = F(M1) și M3 = F(M2), diferite de punctul fix A, trageți un plan prin ele și aruncați o perpendiculară AN pe el - acesta va fi linie dreaptă dorită. (Dacă M3 = M1, atunci linia noastră dreaptă trece prin mijlocul segmentului M1M2, iar F este simetria axială: rotație printr-un unghi de 180°).

Deci, auto-alinierea unui poliedr este în mod necesar o rotație în jurul unei axe care trece prin centrul poliedrului. Această axă intersectează poliedrul nostru la un vârf sau în punctul interior al unei muchii sau al unei fețe. În consecință, auto-alinierea noastră traduce un vârf, o muchie sau o față în sine, ceea ce înseamnă că se traduce în sine un vârf, mijlocul unei muchii sau centrul unei fețe. Concluzie: mișcarea unui cub, tetraedru sau octaedru, combinându-l cu el însuși, este o rotație în jurul unei axe de unul din trei tipuri: centrul poliedrului este vârful, centrul poliedrului este mijlocul muchiei, centrul poliedrului este centrul feței.

În general, dacă un poliedru este aliniat cu el însuși atunci când este rotit în jurul unei linii drepte printr-un unghi de 360°/m, atunci această linie dreaptă se numește axă de simetrie de ordinul m.

2. 2. Mișcare și simetrie.

Principalul interes pentru poliedrele regulate este cauzat de numărul mare de simetrii pe care le posedă.

Când luăm în considerare auto-alinierea poliedrelor, putem include nu numai rotațiile, ci și orice mișcări care transformă poliedrul în sine. Aici mișcarea este orice transformare a spațiului care păstrează distanțele pe perechi între puncte.

Pe lângă rotații, numărul de mișcări trebuie să includă și mișcările oglinzii. Printre acestea se numără simetria față de un plan (reflexia), precum și compoziția reflexiei față de un plan și rotația în jurul unei drepte perpendiculare pe acesta (aceasta este o formă generală de mișcare în oglindă care are un punct fix). Desigur, astfel de mișcări nu pot fi realizate prin mișcarea continuă a poliedrului în spațiu.

Să aruncăm o privire mai atentă la simetriile tetraedrului. Orice linie dreaptă care trece prin orice vârf și centru al tetraedrului trece prin centrul feței opuse. O rotație de 120 sau 240 de grade în jurul acestei linii drepte este una dintre simetriile tetraedrului. Deoarece tetraedrul are 4 vârfuri (și 4 fețe), obținem un total de 8 simetrii directe. Orice linie dreaptă care trece prin centrul și punctul de mijloc al unei margini a unui tetraedru trece prin punctul de mijloc al muchiei opuse. O rotație de 180 de grade (jumătate de rotație) în jurul unei astfel de linii drepte este, de asemenea, simetrie. Deoarece tetraedrul are 3 perechi de muchii, obținem încă 3 simetrii directe. În consecință, numărul total de simetrii directe, inclusiv transformarea identității, ajunge la 12. Se poate demonstra că nu există alte simetrii directe și că există 12 simetrii inverse. Astfel, tetraedrul permite un total de 24 de simetrii.

Simetriile directe ale poliedrelor regulate rămase pot fi calculate folosind formula [(q - 1)N0 + N1 + (p - 1)N2]/2 + 1, unde p este numărul de laturi ale poligoanelor regulate care sunt fețe ale poliedru, q este numărul de fețe adiacente fiecărui vârf, N0 este numărul de vârfuri, N1 este numărul de muchii și N2 este numărul de fețe ale fiecărui poliedru.

Hexaedrul și octaedrul au câte 24 de simetrii fiecare, iar icosaedrul și dodecaedrul au câte 60 de simetrii.

Toate poliedrele regulate au plane de simetrie (tetraedrul are 6 dintre ele, cubul și octaedrul au câte 9, icosaedrul și dodecaedrul au câte 15).

2. 3. Poliedre stelare.

Pe lângă poliedrele obișnuite, poliedrele stelate au forme frumoase. Sunt doar patru. Primele două au fost descoperite de J. Kepler (1571 - 1630), iar celelalte două au fost construite aproape 200 de ani mai târziu de L. Poinsot (1777 - 1859). De aceea poliedrele stelate regulate sunt numite corpuri Kepler-Poinsot. Ele sunt obținute din poliedre obișnuite prin extinderea fețelor sau marginilor lor. Geometrul francez Poinsot în 1810 a construit patru poliedre stelate regulate: dodecaedrul stelat mic, dodecaedrul stelat mare, dodecaedrul mare și icosaedrul mare. Aceste patru poliedre au fețe care se intersectează cu poliedre regulate, iar două dintre ele au fiecare față care este un poligon care se intersectează. Dar Poinsot nu a putut demonstra că nu există alte poliedre regulate.

Un an mai târziu (în 1811), matematicianul francez Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) a făcut acest lucru. El a profitat de faptul că, conform definiției unui poliedru regulat, acesta poate fi suprapus pe sine astfel încât o față arbitrară a acestuia să coincidă cu una aleasă anterior. De aici rezultă că toate fețele poliedrului stelat sunt echidistante de un punct-centru al sferei înscrise în poliedru.

Planurile fețelor unui poliedru stelat, care se intersectează, formează și un poliedru convex regulat, adică un solid platonic descris în jurul aceleiași sfere. Cauchy a numit acest solid platonic nucleul acestui poliedru stelat. Astfel, un poliedru stelat se poate obține continuând planurile fețelor unuia dintre solidele platoniciene.

Este imposibil să se obțină poliedre stelate dintr-un tetraedru, cub sau octaedru. Să luăm în considerare dodecaedrul. Continuarea marginilor sale duce la înlocuirea fiecărei fețe cu un pentagon regulat stelat, iar rezultatul este un mic dodecaedru stelat.

Pe continuarea fețelor dodecaedrului, sunt posibile următoarele două cazuri: 1) dacă luăm în considerare pentagoane regulate, atunci obținem un dodecaedru mare.

2) dacă considerăm pentagoane stelate ca fețe, atunci obținem un dodecaedru stelat mare.

Icosaedrul are o singură formă de stelare. Când marginea unui icosaedru obișnuit este extinsă, se obține un icosaedru mare.

Astfel, există patru tipuri de poliedre stelate regulate.

Poliedrele stea sunt foarte decorative, ceea ce le permite să fie utilizate pe scară largă în industria bijuteriilor la fabricarea tuturor tipurilor de bijuterii.

Multe forme de poliedre stelate sunt sugerate de natura însăși. Fulgii de zăpadă sunt poliedre în formă de stea. Din cele mai vechi timpuri, oamenii au încercat să descrie toate tipurile posibile de fulgi de zăpadă și au compilat atlasuri speciale. Acum sunt cunoscute câteva mii de tipuri diferite de fulgi de zăpadă.

Concluzie

Lucrarea acoperă următoarele subiecte: poliedre regulate, construcția poliedrelor regulate, auto-aliniere, mișcare și simetrii, poliedre stelate și proprietățile lor. Am aflat că există doar cinci poliedre regulate și patru poliedre regulate stelate, care sunt utilizate pe scară largă în diferite domenii.

Studiul solidelor platonice și al figurilor aferente continuă până în zilele noastre. Deși frumusețea și simetria sunt principalele motivații ale cercetării moderne, ele au și o anumită semnificație științifică, în special în cristalografie. Cristalele de sare de masă, tioantimonidă de sodiu și alaun de crom apar în natură sub formă de cub, tetraedru și, respectiv, octaedru. Icosaedrul și dodecaedrul nu se găsesc printre formele cristaline, dar pot fi observate printre formele de organisme marine microscopice cunoscute sub numele de radiolari.

Ideile lui Platon și Kepler despre legătura poliedrelor regulate cu structura armonioasă a lumii din timpul nostru au fost continuate într-o ipoteză științifică interesantă, care la începutul anilor '80. exprimată de inginerii moscoviţi V. Makarov şi V. Morozov. Ei cred că nucleul Pământului are forma și proprietățile unui cristal în creștere, care influențează dezvoltarea tuturor proceselor naturale care au loc pe planetă. Razele acestui cristal, sau mai degrabă, câmpul său de forță, determină structura icosaedru-dodecaedru a Pământului. Se manifestă prin faptul că în scoarța terestră apar proiecții de poliedre regulate înscrise în glob: icosaedrul și dodecaedrul.

Multe zăcăminte minerale se extind de-a lungul unei rețele icosaedru-dodecaedru; Cele 62 de vârfuri și puncte de mijloc ale muchiilor poliedrelor, numite noduri de către autori, au o serie de proprietăți specifice care fac posibilă explicarea unor fenomene de neînțeles. Aici sunt centrele culturilor și civilizațiilor antice: Peru, Mongolia de Nord, Haiti, cultura Ob și altele. În aceste puncte se observă presiunea atmosferică maximă și minimă și turbulențe gigantice ale Oceanului Mondial. Aceste noduri conțin Loch Ness și Triunghiul Bermudelor. Studiile ulterioare ale Pământului pot determina atitudinea față de această ipoteză științifică, în care, după cum se vede, poliedrele regulate ocupă un loc important.

Sculptorii, arhitecții și artiștii au manifestat, de asemenea, un mare interes pentru formele poliedrelor regulate. Toți au fost uimiți de perfecțiunea și armonia poliedrelor. Leonardo da Vinci (1452 - 1519) a fost interesat de teoria poliedrelor și le-a înfățișat adesea pe pânzele sale. În pictura „Cina cea de Taină”, Salvador Dali l-a înfățișat pe Isus Hristos cu discipolii săi pe fundalul unui uriaș dodecaedru transparent.

Introducere

O suprafață compusă din poligoane și care mărginește un corp geometric se numește suprafață poliedrică sau poliedru.

Un poliedru este un corp mărginit a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane. Poligoanele care delimitează un poliedru se numesc fețe, iar liniile de intersecție ale fețelor se numesc muchii.

Poliedrele pot avea o structură variată și foarte complexă. Diverse structuri, cum ar fi casele construite folosind cărămizi și blocuri de beton, sunt exemple de poliedre. Alte exemple pot fi găsite printre mobilier, precum o masă. În chimie, forma moleculelor de hidrocarburi este un tetraedru, un cub obișnuit de douăzeci de edri. În fizică, cristalele servesc ca exemple de poliedre.

Din cele mai vechi timpuri, ideile despre frumusețe au fost asociate cu simetria. Acest lucru explică probabil interesul oamenilor pentru poliedre - simboluri uimitoare de simetrie care au atras atenția unor gânditori remarcabili, care au fost uimiți de frumusețea, perfecțiunea și armonia acestor figuri.

Primele mențiuni despre poliedre sunt cunoscute la trei mii de ani î.Hr. în Egipt și Babilon. Este suficient să ne amintim celebrele piramide egiptene și pe cea mai faimoasă dintre ele, Piramida lui Keops. Aceasta este o piramidă obișnuită, la baza căreia se află un pătrat cu latura de 233 m și a cărui înălțime ajunge la 146,5 m. Nu întâmplător se spune că Piramida lui Keops este un tratat tăcut de geometrie.

Istoria poliedrelor obișnuite datează din cele mai vechi timpuri. Începând din secolul al VII-lea î.Hr., în Grecia Antică au fost create școli filozofice, în care a avut loc o trecere treptată de la geometria practică la cea filozofică. Raționamentul cu ajutorul căruia s-a putut obține noi proprietăți geometrice a căpătat o mare importanță în aceste școli.

Una dintre primele și cele mai faimoase școli a fost școala pitagoreică, numită după fondatorul său, Pitagora. Semnul distinctiv al pitagoreenilor a fost pentagrama, în limbajul matematicii este un pentagon regulat neconvex sau în formă de stea. Pentagramei i s-a atribuit capacitatea de a proteja o persoană de spiritele rele.

Pitagorei credeau că materia constă din patru elemente de bază: foc, pământ, aer și apă. Ei au atribuit existența a cinci poliedre regulate structurii materiei și a Universului. Conform acestei opinii, atomii elementelor principale trebuie să aibă forma unor corpuri diferite:

§ Universul este un dodecaedru

§ Pământ – cub

§ Focul - tetraedru

§ Apa - icosaedru

§ Aer – octaedru

Mai târziu, învățătura pitagoreenilor despre poliedre regulate a fost conturată în lucrările sale de un alt om de știință grec antic, filosoful idealist Platon. De atunci, poliedrele regulate au devenit cunoscute sub numele de solide platonice.

Solidele platonice sunt poliedre convexe omogene regulate, adică poliedre convexe, ale căror fețe și unghiuri sunt egale, iar fețele sunt poligoane regulate. Același număr de muchii converg către fiecare vârf al unui poliedru regulat. Toate unghiurile diedrice de la margini și toate unghiurile poliedrice de la vârfurile unui poligon regulat sunt egale. Solidele platonice sunt un analog tridimensional al poligoanelor regulate plate.

Teoria poliedrelor este o ramură modernă a matematicii. Este strâns legată de topologie, teoria grafurilor și are o importanță deosebită atât pentru cercetările teoretice în geometrie, cât și pentru aplicații practice în alte ramuri ale matematicii, de exemplu, algebra, teoria numerelor, matematica aplicată - programare liniară, teoria controlului optim. Astfel, acest subiect este relevant, iar cunoștințele despre această problemă sunt importante pentru societatea modernă.

Parte principală

Un poliedru este un corp mărginit a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane.

Să dăm o definiție a unui poliedru care este echivalentă cu prima definiție a unui poliedru.

Poliedru – Aceasta este o figură care este uniunea unui număr finit de tetraedre pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:

1) fiecare două tetraedre nu au puncte comune, sau au un vârf comun, sau doar o margine comună, sau o întreagă față comună;

2) de la fiecare tetraedru la altul se poate merge de-a lungul unui lanț de tetraedri, în care fiecare următor este adiacent celui precedent de-a lungul unei întregi fețe.

Elemente poliedrice

Fața unui poliedru este un anumit poligon (un poligon este o zonă închisă limitată a cărei limită constă dintr-un număr finit de segmente).

Laturile fețelor se numesc muchiile poliedrului, iar vârfurile fețelor se numesc vârfuri ale poliedrului. Elementele unui poliedru, pe lângă vârfurile, muchiile și fețele sale, includ și unghiurile plate ale fețelor sale și unghiurile diedrice de la marginile sale. Unghiul diedric la o muchie a unui poliedru este determinat de fețele sale care se apropie de această muchie.

Clasificarea poliedrelor

poliedru convex - este un poliedru, dintre care două puncte pot fi conectate printr-un segment. Poliedrele convexe au multe proprietăți remarcabile.

teorema lui Euler. Pentru orice poliedru convex V-R+G=2,

Unde ÎN – numărul vârfurilor sale, R - numărul coastelor sale, G - numărul fețelor sale.

teorema lui Cauchy. Două poliedre convexe închise, compuse identic din fețe, respectiv egale, sunt egale.

Un poliedru convex este considerat regulat dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate egale și același număr de muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale.

Poliedru regulat

Un poliedru se numește regulat dacă, în primul rând, este convex, în al doilea rând, toate fețele sale sunt poligoane regulate egale, în al treilea rând, același număr de fețe se întâlnesc la fiecare dintre vârfurile sale și, în al patrulea rând, toate unghiurile sale diedrice sunt egale.

Există cinci poliedre regulate convexe - tetraedrul, octaedrul și icosaedrul cu fețe triunghiulare, cubul (hexaedrul) cu fețe pătrate și dodecaedrul cu fețe pentagonale. Dovada acestui fapt este cunoscută de mai bine de două mii de ani; cu această dovadă și cu studiul celor cinci corpuri regulate se completează Elementele lui Euclid (matematicianul grec antic, autorul primelor tratate teoretice de matematică care au ajuns până la noi). De ce poliedrele obișnuite au primit astfel de nume? Acest lucru se datorează numărului fețelor lor. Un tetraedru are 4 fețe, traduse din grecescul „tetra” - patru, „edru” - față. Un hexaedru (cub) are 6 fețe, un „hexaedru” are șase; octaedru - octaedru, "octo" - opt; dodecaedru - dodecaedru, "dodeca" - doisprezece; Icosaedrul are 20 de fețe, iar icosul are douăzeci.

2.3. Tipuri de poliedre regulate:

1) Tetraedru regulat(compus din patru triunghiuri echilaterale. Fiecare dintre vârfurile sale este vârful a trei triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este 180 0);

2)cub- un paralelipiped, ale cărui fețe sunt pătrate. Cubul este format din șase pătrate. Fiecare vârf al cubului este vârful a trei pătrate. Prin urmare, suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este 270 0.

3) Octaedru regulat sau pur și simplu octaedru– un poliedru cu opt fețe triunghiulare regulate și patru fețe care se întâlnesc la fiecare vârf. Octaedrul este format din opt triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf al octaedrului este vârful a patru triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este 240 0. Poate fi construit prin plierea bazelor a două piramide, ale căror baze sunt pătrate, iar fețele laterale sunt triunghiuri regulate. Muchiile unui octaedru pot fi obținute prin conectarea centrelor fețelor adiacente ale unui cub, dar dacă conectăm centrele fețelor adiacente ale unui octaedru obișnuit, obținem muchiile unui cub. Se spune că cubul și octaedrul sunt duali unul față de celălalt.

4)Icosaedru- compus din douăzeci de triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf al icosaedrului este vârful a cinci triunghiuri. Prin urmare, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este egală cu 300 0.

5) Dodecaedru- un poliedru format din douăsprezece pentagoane regulate. Fiecare vârf al dodecaedrului este vârful a trei pentagoane regulate. Prin urmare, suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este 324 0.

Dodecaedrul și icosaedrul sunt, de asemenea, duali unul față de celălalt, în sensul că prin conectarea centrelor fețelor adiacente ale icosaedrului cu segmente, obținem un dodecaedru și invers.

Un tetraedru obișnuit este dual cu sine.

Mai mult, nu există poliedru regulat ale cărui fețe sunt hexagoane, heptagoane și n-goni în general pentru n ≥ 6.

Un poliedru regulat este un poliedru în care toate fețele sunt poligoane regulate egale și toate unghiurile diedrice sunt egale. Dar există și poliedre în care toate unghiurile poliedrice sunt egale, iar fețele sunt regulate, dar poligoane regulate opuse. Poliedre de acest tip sunt numite poliedre semiregulate echiunghiulare. Poliedre de acest tip au fost descoperite pentru prima dată de Arhimede. El a descris în detaliu 13 poliedre, care mai târziu au fost numite corpurile lui Arhimede în onoarea marelui om de știință. Acestea sunt tetraedru trunchiat, oxaedru trunchiat, icosaedru trunchiat, cub trunchiat, dodecaedru trunchiat, cuboctaedru, icosidodecaedru, cuboctaedru trunchiat, icosidodecaedru trunchiat, rombicuboctaedru, rombicosidodecaedru (nobicosidodecaedru) caedru.

2.4. Poliedrele semiregulare sau solidele arhimediene sunt poliedre convexe cu două proprietăți:

1. Toate fețele sunt poligoane regulate de două sau mai multe tipuri (dacă toate fețele sunt poligoane regulate de același tip, este un poliedru regulat).

2. Pentru orice pereche de vârfuri, există o simetrie a poliedrului (adică o mișcare care transformă poliedrul în sine) transferând un vârf în celălalt. În special, toate unghiurile de vârf poliedrice sunt congruente.

Pe lângă poliedrele semiregulate, din poliedre regulate - solide platonice - se pot obține așa-numitele poliedre stelate regulate. Sunt doar patru, mai sunt numite și corpuri Kepler-Poinsot. Kepler a descoperit un dodecaedru mic, pe care l-a numit înțepător sau arici, și un dodecaedru mare. Poinsot a descoperit alte două poliedre stelate regulate, respectiv duale cu prima doi: marele dodecaedru stelat și marele icosaedru.

Două tetraedre care trec unul prin altul formează un octaedru. Johannes Kepler a dat acestei figuri numele „stella octangula” - „stea octogonală”. Se găsește și în natură: acesta este așa-numitul cristal dublu.

În definiția unui poliedru regulat, cuvântul „convex” nu a fost subliniat în mod deliberat - bazându-se pe evidenta aparentă. Și înseamnă o cerință suplimentară: „și toate fețele care se află pe o parte a avionului trecând prin oricare dintre ele”. Dacă abandonăm o astfel de restricție, atunci solidelor platonice, pe lângă „octaedrul extins”, va trebui să adăugăm încă patru poliedre (se numesc solide Kepler-Poinsot), fiecare dintre acestea fiind „aproape regulată”. Toate sunt obținute prin „protagonistul” lui Platonov corp, adică prin extinderea marginilor până când se intersectează între ele și de aceea se numesc stelate. Cubul și tetraedrul nu generează figuri noi - fețele lor, oricât ai continua, nu se intersectează.

Dacă extindeți toate fețele octaedrului până când se intersectează una cu alta, veți obține o figură care apare atunci când două tetraedre se întrepătrund - „stella octangula”, care se numește „extinsă”. octaedru."

Icosaedrul și dodecaedrul dau lumii patru „poliedre aproape regulate” simultan. Unul dintre ele este micul dodecaedru stelat, obținut pentru prima dată de Johannes Kepler.

Timp de secole, matematicienii nu au recunoscut dreptul tuturor tipurilor de stele de a fi numite poligoane din cauza faptului că laturile lor se intersectează. Ludwig Schläfli nu a expulzat un corp geometric din familia poliedre pur și simplu pentru că fețele lui s-au intersectat; cu toate acestea, a rămas neclintit de îndată ce conversația s-a îndreptat către micul dodecaedru stelat. Argumentul lui a fost simplu și greu: acest animal keplerian nu se supune formulei lui Euler! Se formează țepii lui douăsprezece fețe, treizeci de muchii și douăsprezece vârfuri și, prin urmare, B+G-R nu este egal cu două.

Schläfli a avut dreptate și greșit. Desigur, ariciul geometric nu este atât de înțepător încât să se răzvrătească împotriva formulei infailibile. Trebuie doar să nu considerați că este format din douăsprezece fețe în formă de stea care se intersectează, ci priviți-l ca pe un corp geometric simplu, onest, format din 60 de triunghiuri, având 90 de muchii și 32 de vârfuri.

Atunci B+G-R=32+60-90 este egal, așa cum era de așteptat, cu 2. Dar atunci cuvântul „corect” nu se aplică acestui poliedru - la urma urmei, fețele sale nu sunt acum echilaterale, ci doar triunghiuri isoscele. Kepler nu a făcut-o și-a dat seama că cifra pe care a primit-o avea un dublu.

Poliedrul, care este numit „marele dodecaedru”, a fost construit de geometrul francez Louis Poinsot la două sute de ani după figurile stelare ale lui Kepler.

Marele icosaedru a fost descris pentru prima dată de Louis Poinsot în 1809. Și din nou Kepler, după ce a văzut un dodecaedru stelat mare, i-a lăsat onoarea de a descoperi a doua figură lui Louis Poinsot. Aceste cifre se supun, de asemenea, pe jumătate formulei lui Euler.

Uz practic

Poliedre în natură

Poliedrele regulate sunt cele mai avantajoase forme, motiv pentru care sunt răspândite în natură. Acest lucru este confirmat de forma unor cristale. De exemplu, cristalele de sare de masă sunt în formă de cub. În producția de aluminiu se folosește cuarțul aluminiu-potasiu, al cărui singur cristal are forma unui octaedru obișnuit. Producția de acid sulfuric, fier și tipuri speciale de ciment nu se poate face fără pirite sulfuroase. Cristalele acestei substanțe chimice au formă de dodecaedru. Sulfatul de sodiu de antimoniu, o substanță sintetizată de oamenii de știință, este utilizat în diferite reacții chimice. Cristalul de sulfat de sodiu antimoniu are forma unui tetraedru. Ultimul poliedru regulat, icosaedrul, transmite forma cristalelor de bor.

Poliedrele în formă de stea sunt foarte decorative, ceea ce le permite să fie utilizate pe scară largă în industria de bijuterii la fabricarea tuturor tipurilor de bijuterii. Sunt folosite și în arhitectură. Multe forme de poliedre stelate sunt sugerate de natura însăși. Fulgii de zăpadă sunt poliedre în formă de stea. Din cele mai vechi timpuri, oamenii au încercat să descrie toate tipurile posibile de fulgi de zăpadă și au compilat atlasuri speciale. Acum sunt cunoscute câteva mii de tipuri diferite de fulgi de zăpadă.

Poliedre regulate se găsesc și în natura vie. De exemplu, scheletul organismului unicelular Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) are forma unui icosaedru. Cele mai multe feodaria trăiesc în adâncurile mării și servesc drept pradă pentru peștii de corali. Dar cel mai simplu animal se protejează cu douăsprezece spini care ies din cele 12 vârfuri ale scheletului. Seamănă mai mult cu un poliedru stelar.

Putem observa și poliedre sub formă de flori. Un exemplu izbitor sunt cactusii.

Informații conexe.

Să ne amintim definițiile unui poliedru și unele dintre tipurile sale.

poliedru - este un corp mărginit a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane. Poliedru convex se află pe o parte a fiecăruia dintre poligoanele care îl delimitează. Un poligon de pe suprafața unui poliedru se numește al său margine. Laturile fețelor se numesc coaste poliedrul, iar vârfurile fețelor sunt vârfurile poliedrului.

Cele mai simple poliedre sunt prismele și piramidele. Prismă este un poliedru în care două fețe, numite bazele prismei, sunt egale și laturile lor corespunzătoare sunt paralele, iar fețele rămase sunt paralelograme, fiecare având două laturi care sunt laturile corespunzătoare ale bazelor.

Prisma se numește Drept, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază.

Se numește prismă dreaptă corect, dacă baza sa este un poligon regulat.

O prismă a cărei bază este un paralelogram se numește paralelipiped.

Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă toate fețele sale sunt dreptunghiuri.

Cub - Acesta este un paralelipiped dreptunghiular, ale cărui margini sunt egale, adică. toate fețele fiind pătrate.

Să descriem, de exemplu, o prismă înclinată a cărei bază este pătrate.

Să construim mai întâi baza inferioară a prismei (puteți începe de sus). Conform regulilor de proiectare paralelă, acesta va fi reprezentat

paralelogram arbitrar ABCD(Fig. a). Deoarece marginile prismei sunt paralele, construim linii paralele care trec prin vârfurile paralelogramului construit și punem segmente egale pe ele. AA", BB", SS", BB"", a cărui lungime este arbitrară. Conectarea punctelor în serie A", B", C", D", obținem un patrulater A"B"C"D" reprezentând baza superioară a prismei. Nu este greu să demonstrezi asta A"B"C"D" - paralelogram egal cu paralelogram ABCDși, în consecință, avem imaginea unei prisme, ale cărei baze sunt pătrate egale, iar fețele rămase sunt paralelograme.

Dacă trebuie să reprezentați o prismă dreaptă, ale cărei baze sunt pătrate, atunci puteți arăta că marginile laterale ale acestei prisme sunt perpendiculare pe bază, așa cum se face în figura b.

Să aflăm acum cum să descriem o piramidă într-un avion.

Piramidă se numește poliedru în care o față (se numește bază) este un fel de poligon, iar fețele rămase (se numesc laterale) sunt triunghiuri cu un vârf comun.

Vârful comun al fețelor laterale se numește top piramide. Perpendiculara coborâtă din vârful piramidei până în planul bazei sale, precum și lungimea acestei perpendiculare se numește înălţime piramide.

Cea mai simplă piramidă este o piramidă triunghiulară - un tetraedru. Are cel mai mic număr posibil de fețe - doar patru. Oricare dintre fețele sale poate fi considerată o bază, care distinge tetraedrul de alte piramide.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și înălțimea lui trece prin centrul acestui poligon.

Pentru a reprezenta o piramidă obișnuită, desenați mai întâi un poligon regulat situat la bază, iar centrul său este punctul O . Apoi desenați un OS de segment vertical , înfățișând înălțimea piramidei. Rețineți că verticalitatea segmentului OS oferă o claritate mai mare a desenului. În cele din urmă, punctul S este conectat la toate vârfurile bazei.

Să descriem, de exemplu, o piramidă regulată, a cărei bază este un hexagon regulat.

Pentru a descrie corect un hexagon obișnuit în timpul proiectării paralele, trebuie să acordați atenție următoarelor. Lăsa ABCDEF - hexagon obișnuit. Apoi ALLF - dreptunghi (Fig.) și, prin urmare, în timpul proiectării paralele va fi descris ca un paralelogram arbitrar B"C"E"F". Din moment ce diagonala ANUNȚ trece prin punctul O - centrul poligonului ABCDEFși paralel cu segmentele SoareȘi EF și JSC = OD, apoi cu design paralel va fi reprezentat printr-o tăietură arbitrară ANUNȚ", trecând prin punct DESPRE"în paralel B"C"Și E"F" si pe langa, A"O" = 0"D".

Astfel, succesiunea de construire a bazei unei piramide hexagonale este următoarea (Fig.):

Desenați un paralelogram arbitrar B"C"E"F"și diagonalele sale; marcați punctul de intersecție a acestora DESPRE";

- prin punct DESPRE" trageți o linie dreaptă paralelă B"C"(sau E"F");

- alegeți un punct arbitrar pe linia construită A"și marchează punctul D" astfel încât 0"D" = A"O"și conectați punctul A" cu puncte ÎN"Și F"și punct D" cu puncte CU"Și E".

Pentru a finaliza construcția piramidei, desenați un segment vertical OS (lungimea acestuia este aleasă în mod arbitrar) și conectați punctul S la toate vârfurile bazei.

Încheind analiza noastră asupra poliedrelor, să notăm încă o proprietate interesantă a acestora, stabilită de L. Euler.

teorema lui Euler. Fie dat un poliedru convex și B - numărul vârfurilor sale, P - numărul de coaste, G - numărul de fețe. Atunci B + G - P == 2 pentru orice poliedru convex. De exemplu, o piramidă hexagonală obișnuită are 7 vârfuri ( B = 7), 12 muchii (P = 12) și 7 fețe (G = 7). Atunci B + G - P = 7 - 12 + 7 = 2. Pe baza teoremei lui Euler, putem concluziona că există cinci și doar cinci tipuri de poliedre regulate, adică. astfel de poliedre convexe în care toate fețele sunt poligoane regulate egale și același număr de muchii converg la fiecare vârf. Acestea sunt tetraedru, cub, octaedru, icosaedru, dodecaedru (Fig.).

„Domostroy” - un monument al civilizației ruse - citit online

Rastafarianismul: filosofia emancipării și religia zeului Jah

Poloniul: istoria descoperirii elementului Istoria descoperirii poloniului

Limba basca complex-presilabică: mit sau realitate?