Ministerul Educației al Republicii Belarus

Instituție educațională

„Universitatea de Stat Mogilev numită după A.A. Kuleshov "

Departamentul MAiVT

Construirea soluțiilor ecuațiilor diferențiale folosind serii

Lucru de curs

Finalizat: student B din cursurile grupei 3

Facultatea de Fizică și Matematică

Yuskaeva Alexandra Maratovna

supraveghetor:

Morozov Nikolay Porfirevici

MOGILEV, 2010

Introducere

1. Ecuații diferențiale de ordin superior

1.1. Conceptul de ecuație diferențială liniară de ordinul al n-lea

2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii

2.1. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

2.2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri generalizate.

3. Cazuri particulare de utilizare a seriilor de puteri generalizate în integrarea ecuațiilor diferențiale.

3.1. Ecuația Bessel.

3.2. Ecuație hipergeometrică sau ecuație Gauss.

4. Aplicarea metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale ordinare folosind seria în practică.

Concluzie

Literatură

Introducere

În cazul general, găsirea soluției exacte a unei ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi prin integrarea acesteia este imposibilă. Mai mult, acest lucru este impracticabil pentru un sistem de ecuații diferențiale obișnuite. Această împrejurare a condus la crearea unui număr mare de metode aproximative pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite și a sistemelor acestora. Dintre metodele aproximative se pot distinge trei grupe: analitice, grafice și numerice. Desigur, o astfel de clasificare este într-o anumită măsură arbitrară. De exemplu, metoda grafică a liniilor întrerupte ale lui Euler stă la baza uneia dintre metodele pentru rezolvarea numerică a unei ecuații diferențiale.

Integrarea ecuațiilor diferențiale obișnuite folosind serii de puteri este o metodă analitică aproximativă aplicată, de regulă, la ecuații liniare de cel puțin ordinul doi.

Metodele analitice se găsesc în cursul ecuațiilor diferențiale. Pentru ecuațiile de ordinul întâi (cu variabile separabile, omogene, liniare etc.), precum și pentru unele tipuri de ecuații de ordin superior (de exemplu, liniare cu coeficienți constanți), se pot obține soluții sub formă de formule prin transformări analitice.

Scopul lucrării este de a analiza una dintre metodele analitice aproximative, cum ar fi integrarea ecuațiilor diferențiale obișnuite folosind serii și aplicarea lor în rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Ecuații diferențiale de ordin superior

O ecuație diferențială obișnuită de ordinul al n-lea este o relație de formă

unde F este o funcție cunoscută a argumentelor sale, dată într-o anumită zonă;

x este o variabilă independentă;

y - funcţia variabilei x de determinat;

y ’, y”,…, y (n) sunt derivate ale funcției y.

În acest caz, se presupune că y (n) intră de fapt în ecuația diferențială. Oricare dintre celelalte argumente ale funcției F poate să nu participe în mod explicit la această relație.

Orice funcție care satisface o ecuație diferențială dată se numește soluție sau integrală. Rezolvarea unei ecuații diferențiale înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acesteia. Dacă pentru funcția dorită y se poate obține o formulă care să dea toate soluțiile unei ecuații diferențiale date și numai ele, atunci spunem că i-am găsit soluția generală, sau o integrală generală.

Soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul n-lea conține n constante arbitrare с 1, с 2, ..., c n și are forma.

1.1. Conceptul de ecuație diferențială liniarăn-a comanda

O ecuație diferențială de ordinul n se numește liniară dacă este de gradul întâi față de totalitatea valorilor y, y ’,..., y (n). Astfel, ecuația diferențială liniară de ordinul n-a are forma:

unde sunt cunoscute funcțiile continue ale lui x.

Această ecuație se numește o ecuație liniară neomogenă sau o ecuație cu partea dreaptă. Dacă partea dreaptă a ecuației este identic zero, atunci ecuația liniară se numește ecuație diferențială liniară omogenă și are forma

Dacă n este egal cu 2, atunci obținem o ecuație liniară de ordinul doi, care poate fi scrisă ca La fel ca și o ecuație liniară de ordinul n, o ecuație de ordinul al doilea poate fi omogenă () și neomogenă.

Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii.

Soluțiile unei ecuații diferențiale obișnuite de mai sus de ordinul întâi cu coeficienți variabili nu sunt întotdeauna exprimate în termeni de funcții elementare, iar integrarea unei astfel de ecuații este rareori redusă la pătraturi.

2.1. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

Cea mai comună tehnică de integrare a acestor ecuații este reprezentarea soluției dorite sub forma unei serii de puteri. Luați în considerare ecuații de ordinul doi cu coeficienți variabili

Observație 1. O clasă destul de largă de funcții poate fi reprezentată ca

unde, sunt unele constante. Această expresie se numește o serie de puteri. Dacă valorile sale sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției pentru orice x din interval (x 0 - T; x 0 + T), atunci o astfel de serie se numește convergentă în acest interval.

Să presupunem că funcțiile a (x), b (x) sunt funcții analitice ale ecuației (2.1) pe intervalul (x 0 - T; x 0 + T), T> 0, i.e. se descompune în serii de puteri:

Următoarea teoremă este valabilă (omițând demonstrația, prezentăm doar formularea acesteia).

Teorema_1. Dacă funcțiile a (х), b (х) au forma (2.2), atunci orice soluție y (х) a ecuației diferențiale ordinare (2.1) poate fi reprezentată ca convergentă pentru | x - x 0 |< Т степенного ряда:

Această teoremă nu numai că face posibilă reprezentarea soluției sub forma unei serii de puteri, dar și, cel mai important, fundamentează convergența seriei (2.3).

Algoritmul pentru o astfel de prezentare este următorul. Pentru comoditate, punem (2.2) și (2.3) x 0 = 0 și vom căuta o soluție la ecuația diferențială obișnuită (2.1) sub forma

Înlocuind (2.4) în (2.1), obținem egalitatea

Pentru a îndeplini (2.5), este necesar ca coeficientul la fiecare putere a lui x să fie egal cu zero. Din această condiție obținem un sistem infinit de ecuații algebrice liniare

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Din sistemul infinit de ecuații algebrice liniare rezultat, se poate găsi succesiv,..., dacă stabilim valorile lui și (în cazul problemei Cauchy pentru ecuația diferențială ordinară (2.1), se pot introduce condițiile inițiale = , =).

Dacă funcțiile a (x), b (x) sunt raționale, i.e. , b, unde sunt polinoame, atunci în vecinătatea punctelor în care sau, soluția sub forma unei serii de puteri poate să nu existe, iar dacă există, poate diverge peste tot, cu excepția punctului x = 0. Aceasta circumstanța era deja cunoscută de L. Euler care a luat în considerare ecuația de ordinul întâi

Această ecuație este satisfăcută de seria de puteri

Este ușor, totuși, să vezi că această serie diferă pentru oricare. Rezolvarea unei ecuații diferențiale obișnuite sub forma unei serii de puteri divergente se numește formală.

Unul dintre cele mai izbitoare și mai înțelese exemple de aplicare a acestei metode de integrare este ecuația Airy sau

Toate soluțiile acestei ecuații sunt funcții întregi ale lui x. Apoi se va căuta soluția ecuației Airy sub forma unei serii de puteri (2.4). Atunci egalitatea (2.5) ia forma

Să echivalăm coeficientul la fiecare putere a lui x la zero. Avem

……………………………

Coeficientul la gradul zero al lui x este 2y 2. Prin urmare, y 2 = 0. Atunci de la egalitatea la zero a coeficientului găsim =. Coeficientul la egal. De aici.

Din această formulă obținem

Coeficienții și rămân nedefiniti. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, punem mai întâi = 1, = 0 și apoi invers. În primul caz, avem

iar în al doilea

Pe baza Teoremei_1, aceste serii converg peste tot pe dreapta numerică.

Funcțiile și se numesc funcții Airy. Pentru valorile mari ale lui x, comportamentul asimptotic al acestor funcții este descris prin următoarele formule și.

Graficele acestor funcții sunt prezentate în Fig. 2.1. Constatăm că, cu o creștere nemărginită a lui x, zerourile oricărei soluții la ecuația Airy se apropie nemărginit, ceea ce se vede și din reprezentarea asimptotică a acestor soluții, dar nu este deloc evident din reprezentarea funcțiilor Airy în formă de serie de puteri convergente. Prin urmare, rezultă că metoda de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială obișnuită folosind o serie, în general, este de puțin folos în rezolvarea problemelor aplicate, iar reprezentarea însăși a soluției sub forma unei serii complică analiza proprietăţile calitative ale soluţiei obţinute.

2.2. Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri generalizate.

Deci, dacă în ecuația (2.1) funcțiile a (x), b (x) sunt raționale, atunci punctele în care sau sunt numite puncte singulare ale ecuației (2.1).

Pentru ecuația de ordinul doi

unde a (x), b (x) sunt funcții analitice în intervalul | x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

În vecinătatea punctului singular x = x 0, soluția sub forma unei serii de puteri poate să nu existe, în acest caz soluția trebuie căutată sub forma unei serii de puteri generalizate:

unde trebuie determinate λ și,…, ().

Teorema_2. Pentru ca ecuația (2.6) să aibă cel puțin o soluție particulară sub forma unei serii de puteri generalizate (2.7) în vecinătatea punctului singular х = х 0, este suficient ca această ecuație să aibă forma

Esența este o serie de puteri convergentă, iar coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp, deoarece în caz contrar punctul x = x 0 nu este un punct singular și există două soluții liniar independente holomorfe în punctul x = x 0. Mai mult, dacă seria (2,7") inclusă în coeficienții ecuației (2,7") converg în regiunea | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Considerăm ecuația (2.6) pentru x> 0. Înlocuind expresia (2.7) în această ecuație pentru x 0 = 0, avem

Echivalând la zero coeficienții la puterile lui x, obținem un sistem recurent de ecuații:

……..........................……………………………………………. (2.8)

unde este indicat

Deoarece, atunci λ trebuie să satisfacă ecuația

care se numește ecuația guvernantă. Fie rădăcinile acestei ecuații. Dacă diferența nu este un număr întreg, atunci pentru orice număr întreg k> 0, ceea ce înseamnă că folosind metoda indicată se pot construi două soluții liniar independente ale ecuației (2.6):

Dacă diferența este un număr întreg, atunci metoda de mai sus poate fi utilizată pentru a construi o soluție sub forma unei serii generalizate. Cunoscând această soluție, folosind formula Liouville - Ostrogradsky, se poate găsi a doua soluție liniar independentă cu:

Din aceeași formulă rezultă că soluția poate fi căutată sub formă

(numărul A se poate dovedi a fi zero).

Cazuri particulare de utilizare a seriilor de puteri generalizate în integrarea ecuațiilor diferențiale.

3.1. Ecuația Bessel.

Ecuația Bessel este una dintre ecuațiile diferențiale importante din matematică și aplicațiile sale. Soluțiile ecuației Bessel care alcătuiesc sistemul său fundamental de funcții nu sunt funcții elementare. Dar se extind în serii de puteri, ai căror coeficienți sunt calculați destul de simplu.

Luați în considerare ecuația Bessel în formă generală:

Multe probleme de fizică matematică sunt reduse la această ecuație.

Deoarece ecuația nu se schimbă atunci când x este înlocuit cu -x, este suficient să luăm în considerare valorile nenegative ale lui x. Singurul punct singular este x = 0. Ecuația guvernantă corespunzătoare lui x = 0 este,. Dacă 0, atunci ecuația guvernantă are două rădăcini: și. Să găsim soluția acestei ecuații sub forma unei serii de puteri generalizate

apoi, înlocuind y, y „și y” în ecuația inițială, obținem

Prin urmare, anulând până, avem

Pentru ca această egalitate să aibă loc identic, coeficienții trebuie să satisfacă ecuațiile

Să găsim soluția corespunzătoare rădăcinii ecuației definitorii λ = n. Înlocuind λ = n în ultimele egalități, vedem că, deoarece putem lua orice număr altul decât zero, număr = 0, iar pentru k = 2, 3, ... avem

Prin urmare, pentru toți m = 0, 1, 2,….

Astfel, toți coeficienții au fost găsiți, ceea ce înseamnă că soluția ecuației (3.1) poate fi scrisă sub forma

Să introducem funcția

numită funcția gamma a lui Euler. Având în vedere ce și ce pentru numere întregi și, de asemenea, alegeți o constantă arbitrară, va fi scris cumva sub forma

se numește funcția Bessel de ordinul al n-lea de primul fel.

A doua soluție particulară a ecuației Bessel, liniar independentă de, este căutată în formă

Ecuațiile pentru determinarea la au forma

Presupunând că găsim

Prin ipoteză, n nu este un număr întreg, astfel încât toți coeficienții cu numere pare sunt exprimați în mod unic în termeni de:

Prin urmare,

Presupunând că reprezentăm y 2 (x) sub forma

se numește funcția Bessel de primul fel cu indice negativ.

Astfel, dacă n nu este un număr întreg, atunci toate soluțiile ecuației originale Bessel sunt combinații liniare ale funcției Bessel și:.

3.2. Ecuație hipergeometrică sau ecuație Gauss.

O ecuație hipergeometrică (sau ecuație Gaussiană) este o ecuație de formă

unde α, β, γ sunt numere reale.

Punctele sunt punctele singulare ale ecuației. Ambele sunt regulate, deoarece în vecinătatea acestor puncte coeficienții ecuației lui Gauss scriu în formă normală.

poate fi reprezentat ca o serie de puteri generalizate.

Haideți să verificăm acest lucru. Într-adevăr, observând asta

ecuația (3.2) poate fi scrisă sub forma

Această ecuație este un caz special al ecuației

și aici, astfel încât punctul x = 0 este un punct regulat singular al ecuației lui Gauss.

Să construim un sistem fundamental de soluții ale ecuației lui Gauss în vecinătatea punctului singular x = 0.

Ecuația guvernantă corespunzătoare punctului x = 0 are forma

Rădăcinile sale și diferența lor nu este un număr întreg.

Prin urmare, în vecinătatea punctului singular x = 0, se poate construi un sistem fundamental de soluții sub forma unor serii de puteri generalizate.

prima dintre care corespunde rădăcinii zero a ecuației guvernante și este o serie de puteri obișnuită, astfel încât soluția este holomorfă în vecinătatea punctului singular x = 0. A doua soluție cu siguranță nu este holomorfă în punctul x = 0. Să construim mai întâi o soluție particulară corespunzătoare rădăcinii zero a ecuației guvernante.

Deci, vom căuta o soluție particulară a ecuației (3.2) sub forma

Înlocuind (3.3) în (3.2), obținem

Echivalând termenul liber cu zero, obținem.

Lasă, atunci primim.

Echivalând la zero coeficientul la, găsim:

Prin urmare, soluția specială căutată are forma:

Seria din dreapta se numește serie hipergeometrică, deoarece pentru α = 1, β = γ se transformă într-o progresie geometrică

Conform Teoremei_2, seria (3.4) converge pentru | x |<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

A doua soluție particulară este:

În loc să găsim prin metoda coeficienților nedefiniți, să înlocuim funcția necesară în ecuația lui Gauss cu formula

Obținem ecuația lui Gauss

în care rolul parametrilor α, β și γ este jucat de și.

Prin urmare, după ce am construit o soluție particulară a acestei ecuații, corespunzătoare rădăcinii zero a ecuației guvernante și înlocuind-o în (3.6), obținem a doua soluție particulară a acestei ecuații Gauss sub forma:

Soluția generală a ecuației lui Gauss (3.2) va fi:

Folosind sistemul fundamental de soluții construit al ecuației Gauss în vecinătatea punctului singular x = 0, se poate construi cu ușurință un sistem fundamental de soluții al acestei ecuații în vecinătatea punctului singular x = 1, care este, de asemenea, un sistem regulat. punct singular.

În acest scop, transferăm punctul singular x = 1 care ne interesează în punctul t = 0 și împreună cu acesta punctul singular x = 0 în punctul t = 1 folosind o modificare liniară a variabilei independente x = 1 - t.

Efectuând această înlocuire în ecuația lui Gauss dată, obținem

Aceasta este ecuația Gaussiană cu parametri. Are in vecinatatea |t |<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Revenind la variabila x, adică punând t = 1 - x, obținem un sistem fundamental de soluții ale ecuației Gauss originale într-o vecinătate a punctului | x - 1 |< 1 особой точки х = 1

Soluția generală a ecuației lui Gauss (3.2) în domeniu este

Aplicarea metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale ordinare folosind seria în practică.

Exemplul_1. (Nr. 691) Calculați primii câțiva coeficienți ai seriei (până la coeficientul de la x 4 inclusiv) cu condițiile inițiale

Din condițiile inițiale rezultă că Acum vom găsi coeficienții rămași:

Exemplul_2. (Nr. 696) Calculați primii câțiva coeficienți ai seriei (până la coeficientul de la x 4 inclusiv) cu condițiile inițiale

Soluție: Vom căuta soluția ecuației sub forma

Inlocuim expresiile obtinute in ecuatia initiala:

Reprezentând partea dreaptă ca o serie de puteri și echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x în ambele părți ale ecuației, obținem:

Deoarece, conform condiției, este necesar să se calculeze coeficienții seriei până la coeficientul de la x 4 inclusiv, este suficient să se calculeze coeficienții.

Din condițiile inițiale rezultă că și 2. Acum găsim coeficienții rămași:

Prin urmare, soluția ecuației va fi scrisă sub forma

Exemplul_3. (№700) Găsiți soluții liniar independente sub forma unei serii de puteri ale ecuației. Dacă este posibil, exprimați suma seriei rezultate folosind funcții elementare.

Soluţie. Vom căuta o soluție a ecuației sub forma unei serii

Diferențiând această serie de două ori și înlocuind-o în această ecuație, avem

Să scriem primii termeni ai seriei în ecuația rezultată:

Echivalând la zero coeficienții la aceleași puteri ale lui x, obținem un sistem de ecuații pentru determinarea:

………………………………….

Din aceste ecuații găsim

Să presupunem că atunci numai coeficienții vor fi nenuli. Înțelegem asta

O soluție a ecuației

A doua soluție, liniar independentă de cea găsită, se obține prin presupunerea. Atunci numai coeficienții vor fi nenuli:

Seriile care reprezintă și converg pentru orice valoare a lui x sunt funcții analitice. Astfel, toate soluțiile ecuației originale sunt funcții analitice pentru toate valorile lui x. Toate soluțiile sunt exprimate prin formula, unde С 1, С 2 sunt constante arbitrare:

Deoarece suma seriei rezultate este ușor de exprimat folosind funcții elementare, se va scrie astfel:

Exemplul_4. (# 711) Rezolvați ecuația 2x 2 y „+ (3x - 2x 2) y” - (x + 1) y = 0.

Soluţie. Punctul x = 0 este un punct regulat singular al acestei ecuații. Compunem ecuația definitorie: Rădăcinile acesteia sunt λ 1 = 1/2 și λ 2 = - 1. Căutăm soluția ecuației inițiale corespunzătoare rădăcinii λ = λ 1 sub forma

Înlocuind, și în ecuația originală, avem

Prin urmare, reducând cu, obținem

Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, avem ecuații pentru determinarea:

Punând y 0 = 1, găsim

Prin urmare,

Căutăm soluția ecuației inițiale corespunzătoare rădăcinii λ = λ 2 în forma

Înlocuind această expresie în ecuația originală și echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, obținem sau Punând y 0 = 1, găsim

Scriem soluția generală a ecuației originale sub forma, unde și sunt constante arbitrare.

Concluzie

Rezolvarea unei ecuații care conține funcții necunoscute și derivatele lor într-un grad mai mare decât prima sau într-un mod mai complicat este adesea foarte dificilă.

În ultimii ani, astfel de ecuații diferențiale au atras din ce în ce mai multă atenție. Deoarece soluțiile ecuațiilor sunt adesea foarte complexe și greu de reprezentat cu formule simple, o parte semnificativă a teoriei moderne este dedicată unei analize calitative a comportamentului lor, de exemplu. dezvoltarea unor metode care să permită, fără a rezolva ecuația, să se spună ceva semnificativ despre natura soluțiilor în ansamblu: de exemplu, că toate sunt limitate, sau au caracter periodic, sau depind într-un anumit fel de coeficienți.

Pe parcursul lucrărilor de curs a fost efectuată analiza metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind puterea și serii de puteri generalizate.

Literatură:

Matveev N.V. Metode de integrare pentru ecuații diferențiale obișnuite. Ed. a 4-a, rev. si adauga. Minsk, „Vysheysh. școală ”, 1974. - 768s. cu nămol
Agafonov S.A., German A.D., Muratova T.V. Ecuații diferențiale: manual. pentru universități / Ed. B.C. Zarubina, A.P. Krișcenko. - Ed. a III-a, Stereotip. -M .: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2004 .-- 352 p.
Bugrov Ya.S., Nikol'skii S.M. Matematică superioară. V.3: Ecuații diferențiale. Integrale multiple. Rânduri. Funcțiile unei variabile complexe: manual. pentru universități: În 3 volume / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. - Ed. a VI-a, Stereotip. - M .: Butard, 2004. —— 512s .: ill.
Samoleinko A.M., Krivosheya S.A., Perestyuk N.A. Ecuații diferențiale: exemple și probleme. Manual. indemnizatie. - Ed. a II-a, Rev. - M .: Mai sus. shk., 1989. - 383 p .: ill.
Filippov A.F. Culegere de probleme pe ecuații diferențiale. Manual. manual pentru universități. - M .: Fizmatizd, 1961 .-- 100 p .: ill.

Descarca: Nu aveți acces pentru a descărca fișiere de pe serverul nostru.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL REPUBLICII KAZAKHSTAN

Universitatea de Stat din Kazahstanul de Nord

lor. M.Kozybaeva

Facultatea de Tehnologia Informației

Departamentul „Matematică”

Lucrările de curs sunt protejate

cu semnul „_____________”

"___"___________ anul 2013

cap departament ____________

A. Tajigitov

Lucrări la CURS în matematică

„INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE

CU AJUTORUL SERIELOR DE GRADE "

ȘEF Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

AҢDAPTA

Berilgen kurstyk zhumysta Katarlarmen zhune diferentials teңdemelermen bayanisty teoriylyқ sұraқtar karastyrylғan. Diferențiale de eңdemenin integraldauynyң mysaldary zhune maңғaz қatarlardyң kөmegimen karastyrylғan.

ADNOTARE

În acest curs sunt luate în considerare aspecte teoretice legate de serie și ecuații diferențiale. Sunt luate în considerare exemple de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

lucrările date sunt considerate întrebări teoretice care sunt legate de serie și ecuații diferențiale. Sunt luate în considerare exemple de ecuații diferențiale parțiale de integrare folosind serii de puteri.

INTRODUCERE

CONCEPTE DE BAZĂ LEGATE DE SERIE ȘI ECUAȚII DIFERENȚIALE

1 rânduri. Noțiuni de bază. Un criteriu necesar pentru convergență

2 Serii de putere. Proprietățile seriei de putere

3 seria Taylor. Seria Maclaurin

4 Ecuații diferențiale

5 Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind serii

EXEMPLE DE UTILIZARE A SERIELOR DE PUTERE ÎN INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENȚIALE

1 Ecuație aeriană

2 Ecuația Bessel

3 Exemple de integrare

4 Exemple de integrare în Maple

CONCLUZIE

INTRODUCERE

Termenul „ecuație diferențială” îi aparține lui Leibniz (1676, publicat în 1684). Începutul cercetărilor privind ecuațiile diferențiale datează din vremea lui Leibniz și Newton, în ale căror lucrări au fost investigate primele probleme care au condus la astfel de ecuații. Leibniz, Newton, frații J. și I. Bernoulli au dezvoltat metode de integrare a ecuațiilor diferențiale obișnuite. Expansiunile integralelor ecuațiilor diferențiale în serii de puteri au fost utilizate ca metodă universală.

Acum, introducerea pe scară largă a metodelor de calcul în știință, asociată cu apariția instalațiilor de calcul de mare putere, necesită o reevaluare a importanței diferitelor ramuri ale matematicii și, în special, a ramurilor teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite. În prezent, a crescut importanța metodelor pentru studiul calitativ al soluțiilor ecuațiilor diferențiale, precum și a metodelor pentru găsirea aproximativă a soluțiilor.

Soluțiile multor ecuații diferențiale nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare sau cuadraturi. În aceste cazuri, se folosesc metode aproximative de integrare a ecuațiilor diferențiale. Una dintre aceste metode este reprezentarea soluției unei ecuații sub forma unei serii de puteri; suma unui număr finit de termeni din această serie va fi aproximativ egală cu soluția dorită. Aceasta determină relevanța temei de cercetare alese.

Scopul acestei lucrări: arăta aplicarea metodei serii de puteri în integrarea ecuațiilor diferențiale.

Obiectul cercetării este procesul de integrare a ecuațiilor diferențiale prin metoda seriei de puteri.

Obiectul cercetării îl constituie formele, metodele și mijloacele de integrare a ecuațiilor diferențiale prin serii de puteri.

În conformitate cu acest obiectiv, principalele sarcini ale acestei lucrări pot fi formulate:

Luați în considerare conceptele de bază asociate cu serie și ecuații diferențiale.

Analizați metoda de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

Aplicați metoda seriei de putere pentru a rezolva diverse probleme.

Structura lucrării: pagina de titlu, formularul de atribuire a postului, rezumatul, conținutul, introducerea, partea principală, concluzia, lista literaturii utilizate.

Corpul principal al lucrării este alcătuit din două capitole. Primul capitol dezvăluie conceptele de serie, serie de puteri, serie Taylor și ecuații diferențiale. În al doilea capitol sunt luate în considerare exemple de integrare a ecuațiilor diferențiale prin serii de puteri.

Pentru studierea părții teoretice a lucrării s-au folosit materiale din literatura educațională și periodice indicate în lista literaturii folosite.

Domeniul de lucru: 26 de pagini.

1. CONCEPTE DE BAZĂ LEGATE DE SERIE ȘI ECUAȚII DIFERENȚIALE

1.1 Rânduri. Noțiuni de bază. Un criteriu necesar pentru convergență

În aplicațiile matematice, precum și în rezolvarea unor probleme din economie, statistică și alte domenii, sunt luate în considerare sume cu un număr infinit de termeni. Aici vom da o definiție a ceea ce se înțelege prin astfel de sume.

Să fie dată o succesiune infinită de numere. O serie numerică sau doar o serie este o expresie (suma) a formei

,(1.1)

numerele sunt numite membri ai seriei, - membrul comun sau al n-lea al seriei.

Pentru a defini seria (1.1), este suficient să precizăm funcția argumentului natural pentru calcularea celui de-al n-lea termen al seriei prin numărul său.

Exemplul 1.1. Lasa . Rând

(1.2)

numită serie armonică.

Din termenii seriei (1.1) formăm o succesiune numerică de sume parțiale Unde - suma primilor membri ai seriei, care se numește a n-a sumă parțială, i.e.

(1.3)

Secvență de numere cu o creștere nelimitată a numărului, poate:

) au o limită finită;

) nu au o limită finită (limita nu există sau este egală cu infinitul).

O serie (1.1) se numește convergentă dacă șirul sumelor sale parțiale (1.3) are o limită finită, adică

În acest caz, numărul se numește suma seriei (1.1) și se scrie

O serie (1.1) se numește divergentă dacă șirul sumelor sale parțiale nu are limită finită. Nu se atribuie nicio sumă seriei divergente.

Astfel, problema găsirii sumei seriei convergente (1.1) este echivalentă cu calcularea limitei succesiunii sumelor sale parțiale.

Dovada teoremei rezultă din faptul că , si daca

S este suma seriei (1.1), atunci

Condiția (1.4) este o condiție necesară, dar insuficientă pentru convergența seriei. Adică, dacă termenul comun al seriei tinde spre zero la, atunci aceasta nu înseamnă că seria converge. De exemplu, pentru seria armonică (1.2)

cu toate acestea, diverge.

Corolar (criteriu suficient pentru divergența unei serii): dacă termenul comun al seriei nu tinde spre zero, atunci această serie diverge.

Exemplul 1.2. Investigați convergența seriei

Pentru această serie, prin urmare, această serie diverge.

1.1 1.2 Seria de putere. Proprietățile seriei de putere

Seriile de putere sunt un caz special de serie funcțională.

O serie de puteri se numește serie funcțională a formei

aici - numere reale constante, numite coeficienții seriei de puteri;

Un număr constant;

O variabilă care preia valori dintr-un set de numere reale.

Căci, seria de puteri (1.5) ia forma

(1.6)

Seria de puteri (1.5) se numește o serie de puteri a seriei de diferențe (1.6) - o serie de puteri Dacă unei variabile i se dă orice valoare, atunci seria de puteri (1.5) (sau (1.6)) se transformă într-o serie de numere. care pot converge sau diverge.

Domeniul de convergență al unei serii de puteri este mulțimea acelor valori la care converge seria de puteri.

Teorema 1.2 (teorema lui Abel): dacă seria de puteri (1.6) converge pentru, atunci converge absolut pentru toate valorile satisfăcând inegalitatea, dar dacă seria (1.6) diverge pentru atunci diverge pentru toate valorile satisfăcând inegalitatea

Teorema lui Abel oferă o idee clară a structurii domeniului de convergență al unei serii de puteri.

Teorema 1.3: domeniul de convergență al seriei de puteri (1.6) coincide cu unul dintre următoarele intervale:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

unde este un număr real nenegativ sau

Numărul se numește raza de convergență, intervalul se numește intervalul de convergență al seriei de puteri (1.6).

Dacă atunci intervalul de convergență este întreaga axă a numerelor

Dacă atunci intervalul de convergenţă degenerează într-un punct

Observație: dacă este intervalul de convergență pentru seria de puteri (1.2), atunci - intervalul de convergenţă pentru seria de puteri (1.5).

Din teorema 1.3 rezultă că pentru determinarea practică a regiunii de convergență a seriei de puteri (1.6), este suficient să-i găsim raza de convergență și să clarificăm problema convergenței acestei serii la capetele intervalului de convergență. , adică la şi

Raza de convergență a unei serii de puteri poate fi găsită folosind una dintre următoarele formule:

formula d'Alembert:

Formula Cauchy:

Exemplul 1.3. Aflați raza de convergență, intervalul de convergență și regiunea de convergență a seriei de puteri

Găsiți raza de convergență a acestei serii prin formula

În cazul nostru

În consecință, intervalul de convergență al acestei serii are forma

Să investigăm convergența seriei la capetele intervalului de convergență.

care diverge ca o serie armonică.

Când seria de putere se transformă într-o serie de numere

Aceasta este o serie alternativă, ai cărei termeni scad în valoare absolută și

În consecință, după criteriul Leibniz, această serie de numere converge.

Astfel, intervalul este regiunea de convergență a seriei de puteri date.

Seria de puteri (1.6) este o funcție definită în intervalul de convergență, i.e.

Iată câteva proprietăți ale funcției

Proprietatea 1. Funcția este continuă pe orice segment aparținând intervalului de convergență

Proprietatea 2. Funcția este diferențiabilă pe un interval și derivata ei poate fi găsită diferențierea termen cu termen a seriei (1.6), adică

pentru toți

Proprietatea 3. Integrala nedefinită a unei funcții pentru toți poate fi obținută prin integrarea termen cu termen a seriei (1.6), adică

pentru toți

Trebuie remarcat faptul că odată cu diferențierea termen cu termen și integrarea seriei de puteri, raza de convergență a acesteia nu se modifică, dar convergența sa la capetele intervalului se poate modifica.

Proprietățile de mai sus sunt valabile și pentru seria de puteri (1.5).

Exemplul 1.4. Luați în considerare seria de putere

Regiunea de convergență a acestei serii, așa cum se arată în Exemplul 1.3, este intervalul

Să diferențiem această serie termen cu termen:

(1.7)

Să investigăm comportamentul acestei serii la sfârșitul intervalului de convergență.

Această serie de numere diverge, deoarece criteriul de convergență necesar nu este îndeplinit

care nu există.

Căci, seria de puteri (1.7) se transformă într-o serie de numere

care de asemenea diverge, întrucât criteriul de convergență necesar nu este îndeplinit.

În consecință, regiunea de convergență a seriei de puteri obținute prin diferențierea termen cu termen a seriei de puteri originale s-a schimbat și coincide cu intervalul.

1.3 Seria Taylor. Seria Maclaurin

Fie o funcție diferențiabilă la infinit într-o vecinătate a unui punct, i.e. are derivate de orice ordin. Seria Taylor a unei funcții într-un punct este o serie de puteri

(1.8)

În cazul special, pentru, seria (1.8) se numește seria Maclaurin:

Se pune întrebarea: în ce cazuri seria Taylor pentru o funcție infinit diferențiată într-o vecinătate a unui punct coincide cu o funcție?

Există cazuri în care seria Taylor a funcției converge, dar suma acesteia nu este egală cu

Să dăm o condiție suficientă pentru convergența seriei Taylor a unei funcții la această funcție.

Teorema 1.4: dacă în interval funcția are derivate de orice ordin și toate sunt limitate în valoare absolută la același număr, i.e. atunci seria Taylor a acestei funcții converge către oricare dintre acest interval acestea. egalitatea este valabilă

Pentru a afla dacă această egalitate este valabilă la sfârșitul intervalului de convergență, sunt necesare studii separate.

Trebuie remarcat faptul că, dacă o funcție este extinsă într-o serie de puteri, atunci această serie este seria Taylor (Maclaurin) a acestei funcții, iar această expansiune este unică.

1.4 Ecuații diferențiale

O ecuație diferențială obișnuită de ordinul al n-lea pentru o funcție a unui argument este o relație de formă

unde este o funcție dată a argumentelor sale.

În numele acestei clase de ecuații matematice, termenul „diferențial” subliniază faptul că acestea includ derivate (funcții formate ca urmare a diferențierii); termenul „obișnuit” înseamnă că funcția necesară depinde de un singur argument valid.

O ecuație diferențială obișnuită poate să nu conțină argumentul funcției necesare și oricare dintre derivatele sale într-o formă explicită, dar cea mai mare derivată trebuie inclusă în ecuația de ordin n.

De exemplu,

A) - ecuație de ordinul întâi;

B) - ecuația de ordinul trei.

Când se scriu ecuații diferențiale obișnuite, se folosește adesea notația derivatelor prin diferențiale:

V) - ecuația de ordinul doi;

G) este o ecuație de ordinul întâi care, după împărțirea la o formă echivalentă de stabilire a ecuației:

O funcție se numește soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite dacă, atunci când este substituită în ea, devine o identitate.

Găsirea printr-o metodă sau alta, de exemplu, prin selecție, a unei funcții care satisface ecuația nu înseamnă rezolvarea acesteia. Rezolvarea unei ecuații diferențiale obișnuite înseamnă găsirea tuturor funcțiilor care formează o identitate atunci când sunt substituite în ecuație. Pentru ecuația (1.10), o familie de astfel de funcții se formează folosind constante arbitrare și se numește soluția generală a unei ecuații diferențiale obișnuite de ordinul n-a, iar numărul de constante coincide cu ordinea ecuației: Soluția generală poate fi , și nu este rezolvată explicit în raport cu În acest caz, soluția se numește integrală generală a ecuației (1.10).

Prin atribuirea unor valori admisibile tuturor constantelor arbitrare din soluția generală sau din integrala generală, obținem o funcție definită care nu mai conține constante arbitrare. Această funcție se numește soluție parțială sau integrală parțială a ecuației (1.10). Pentru a găsi valorile constantelor arbitrare și, prin urmare, o anumită soluție, pentru ecuația (1.10) sunt utilizate diferite condiții suplimentare. De exemplu, așa-numitele condiții inițiale pot fi setate pentru:

În partea dreaptă a condițiilor inițiale (1.11), sunt date valorile numerice ale funcției și derivatelor, în plus, numărul total de condiții inițiale este egal cu numărul de constante arbitrare determinate.

Problema găsirii unei anumite soluții a ecuației (1.10) din condițiile inițiale se numește problema Cauchy.

1.5 Integrarea ecuațiilor diferențiale folosind seria

În cazul general, găsirea soluției exacte a unei ecuații diferențiale ordinare (EDO) de ordinul întâi prin integrarea acesteia este imposibilă. Mai mult, acest lucru este impracticabil pentru sistemul ODE. Această împrejurare a condus la crearea unui număr mare de metode aproximative pentru rezolvarea ODE-urilor și a sistemelor acestora. Dintre metodele aproximative se pot distinge trei grupe: analitice, grafice și numerice. Desigur, o astfel de clasificare este într-o anumită măsură arbitrară. De exemplu, metoda grafică a liniilor întrerupte ale lui Euler stă la baza uneia dintre metodele pentru rezolvarea numerică a unei ecuații diferențiale.

Integrarea ODE-urilor cu ajutorul seriei de puteri este o metodă analitică aproximativă aplicată, de regulă, la ecuații liniare de cel puțin ordinul doi. Pentru simplitate, ne limităm la a lua în considerare o EDO liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți variabili

(1.12)

Notă: o clasă destul de largă de funcții poate fi reprezentată ca

unde sunt unele constante. Această expresie se numește o serie de puteri.

Să presupunem că funcțiile pot fi extinse în serii convergente în intervalul:

Următoarea teoremă este valabilă (omițând demonstrația, prezentăm doar formularea acesteia).

Teorema 1.5: dacă funcțiile sunt de forma (1.13), atunci orice soluție a EDO (1.12) poate fi reprezentată ca o serie de puteri convergente:

(1.14)

Această teoremă nu numai că face posibilă reprezentarea soluției sub forma unei serii de puteri, dar și, cel mai important, fundamentează convergența seriei (1.14). Pentru simplitate, introducem (1.13) și (1.14) și căutăm o soluție pentru EDO (1.12) sub forma

(1.15)

Înlocuind (1.15) în (1.12), obținem egalitatea

Pentru a îndeplini (1.16), este necesar ca coeficientul la fiecare grad să fie egal cu zero.

Din această condiție obținem un sistem infinit de ecuații algebrice liniare

din care se poate afla secvențial dacă setăm valorile și (în cazul problemei Cauchy pentru ODE (1.12), acestea sunt incluse în condițiile inițiale ).

Dacă funcțiile sunt raționale, i.e.

unde sunt polinoame, atunci în vecinătatea punctelor în care nici soluția sub forma unei serii de puteri poate să nu existe și, dacă există, poate diverge peste tot, cu excepția punctului. Această împrejurare era deja cunoscută de L. Euler, care a considerat ecuația de ordinul întâi

Această ecuație este satisfăcută de seria de puteri

Este ușor, totuși, să vezi că această serie diferă pentru oricare

O soluție a unei EDO sub forma unei serii de puteri divergente se numește formală.

2. EXEMPLE DE UTILIZARE A SERIELOR DE PUTERE ÎN INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENȚIALE

Ecuație aerisită

Soluție de ecuație aerisită

vom căuta sub forma unei serii de puteri (1.15). Atunci egalitatea (1.16) ia forma

Coeficientul la egal În consecință, de la egalitatea la zero a coeficientului la, găsim coeficientul la egal De aici

Din această formulă obținem

În mod similar, găsim

Coeficienții și rămân nedefiniti. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, punem mai întâi si apoi invers. În primul caz, avem

iar în al doilea

Pe baza teoremei 1.5, aceste serii converg peste tot pe linia numerică

Funcțiile se numesc funcții Airy. Pentru valori mari, comportamentul asimptotic al acestor funcții este descris de formule

Graficele acestor funcții sunt prezentate în Figura 1.

Poza 1

Cu o creștere nemărginită, zerourile oricărei soluții ale ecuației Airy se apropie nemărginit, ceea ce se poate vedea din reprezentarea asimptotică a acestor soluții, dar nu este deloc evident din reprezentarea funcțiilor Airy sub forma unor serii de puteri convergente. . De aici rezultă că metoda de căutare a unei soluții a unei EDO folosind o serie este, în general, de puțină utilitate în rezolvarea problemelor aplicate, iar însăși reprezentarea soluției sub forma unei serii complică analiza calitative. proprietățile soluției obținute.

2.1 Ecuația Bessel

Ecuație diferențială liniară cu coeficienți variabili, având forma

se numește ecuația Bessel.

Soluția ecuației (2.1) va fi căutată sub forma unei serii de puteri generalizate, i.e. produse într-un anumit grad din seria stepei:

(2.2)

Înlocuind seria generalizată de puteri în ecuația (2.1) și egalând cu zero coeficienții fiecărei puteri din partea stângă a ecuației, obținem sistemul

Având în vedere că din sistemul dat găsim Fie Atunci din a doua ecuație a sistemului pe care o găsim și din ecuația de atribuire a valorilor 3,5,7, ..., concluzionăm că Pentru coeficienții cu numere pare se obține expresii

Înlocuind coeficienții găsiți în seria (2.2), obținem soluția

unde coeficientul rămâne arbitrar.

Căci, toți coeficienții sunt determinați în mod similar numai în cazul în care nu sunt egali cu un număr întreg. Apoi soluția poate fi obținută prin înlocuirea valorii din soluția anterioară prin:

Seriile de putere rezultate converg pentru toate valorile, ceea ce este ușor de stabilit pe baza criteriului d'Alembert. Soluțiile și sunt liniar independente, deoarece relația lor nu este constantă.

Soluție înmulțită cu o constantă se numește funcția Bessel (sau funcție cilindrică) de ordinul primului fel și se notează prin simbolul Soluție se notează

În alegerea general acceptată a unei constante, este implicată funcția gamma, care este determinată de o integrală improprie:

În consecință, soluția generală a ecuației (2.1), atunci când nu este egală cu un număr întreg, are forma în care și sunt constante arbitrare.

2.2 Exemple de integrare

În acele cazuri în care o ecuație trebuie să rezolve problema Cauchy cu o condiție inițială, soluția poate fi căutată folosind seria Taylor:

unde și alte derivate sunt găsite prin diferențierea succesivă a ecuației inițiale și înlocuirea în rezultatul diferențierii în locul valorilor și a tuturor celorlalte derivate ulterioare găsite. În mod similar, folosind seria Taylor, pot fi integrate ecuații de ordin superior.

Exemplul 2.1. Integrați ecuația aproximativ folosind seria Taylor, luând primii șase termeni ai expansiunii care sunt diferite de zero.

Din ecuația condițiilor inițiale găsim Diferențiând această ecuație, obținem succesiv

Setarea și utilizarea valorilor succesiv găsim că soluția dorită are forma

Exemplul 2.2. Găsiți primii patru termeni de expansiune (diferiți de zero). și

Înlocuind valorile găsite în serie (2.3), obținem soluția dorită cu precizia specificată:

2.3 Exemple de integrare în Maple

Pentru a găsi soluții analitice la ecuații diferențiale în Maple, utilizați comanda dsolve (eq, var, options), unde eq este o ecuație diferențială, var sunt funcții necunoscute, opțiunile sunt parametri. Parametrii pot indica metoda de rezolvare a problemei, de exemplu, implicit, se caută o soluție analitică: tip = exact. Când se compun ecuații diferențiale, comanda diff este folosită pentru a indica derivata, de exemplu, ecuația diferențială se scrie ca: diff (y (x), x $ 2) + y (x) = x.

Pentru a găsi o soluție aproximativă a unei serie de puteri pentru o ecuație diferențială, utilizați parametrul tip = serie (sau pur și simplu serie) după variabilele din comanda dsolve. Pentru a indica ordinea de descompunere, i.e. ordinea gradului în care este efectuată descompunerea, introduceți definiția ordinii înaintea comenzii dsolve folosind comanda Order: = n.

Dacă se caută o soluție generală a unei ecuații diferențiale sub forma unei expansiuni într-o serie de puteri, atunci coeficienții la gradele de expansiune găsite vor conține valori necunoscute ale funcției la zero și derivatele acesteia etc. Expresia obținută în linia de ieșire va avea o formă similară expansiunii soluției dorite din seria Maclaurin, dar cu coeficienți diferiți la puteri. Pentru a selecta o anumită soluție, trebuie să se stabilească condiții inițiale etc., iar numărul acestor condiții inițiale trebuie să coincidă cu ordinea ecuației diferențiale corespunzătoare.

Expansiunea seriei de putere este de tipul seriei, prin urmare, pentru a lucra în continuare cu această serie, ar trebui convertită într-un polinom utilizând comanda convert (%, polinom) și apoi selectați partea dreaptă a expresiei rezultate cu rhs (% ) comanda.

> cond: = y (0) = 1, D (y) (0) = 1, ( [email protected]@ 2) (y) (0) = 1;

> dsolve ((de, cond), y (x));

> y1: = rhs (%):

> dsolve ((de, cond), y (x), serie);

Notă: tipul de soluție a unei ecuații diferențiale sub forma unei serii este serie, prin urmare, pentru utilizarea ulterioară a unei astfel de soluții (calcule sau reprezentare grafică), aceasta trebuie convertită într-un polinom folosind comanda convert.

gradul seriei ecuațiilor diferențiale

> converti (%, polinom): y2: = rhs (%):

> p1: = grafic (y1, x = -3..3, grosime = 2, culoare = negru):

> p2: = grafic (y2, x = -3..3, stil de linie = 3, grosime = 2, culoare = negru):

> cu (parcele): afișare (p1, p2);

Figura 2 arată că cea mai bună aproximare a soluției exacte printr-o serie de puteri se realizează aproximativ în interval

Poza 2

CONCLUZIE

Obiectivele stabilite în munca de curs sunt pe deplin atinse, sunt rezolvate următoarele sarcini:

Sunt definite conceptele de bază legate de serie și ecuații diferențiale.

Se ia în considerare metoda de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind serii de puteri.

Sarcinile pe acest subiect au fost rezolvate.

În această lucrare de curs, materialul este studiat și sistematizat pentru utilizarea sa de către studenți în timpul studiului independent al metodei de integrare a ecuațiilor diferențiale folosind seriile de puteri. Sunt luate în considerare conceptele de serie și ecuații diferențiale. Calculele aproximative sunt efectuate folosind serii.

Lucrarea poate fi folosită ca suport didactic pentru studenții specialităților tehnice și matematice.

Rezultatele acestei lucrări pot servi drept bază pentru cercetări ulterioare.

LISTA LITERATURII UTILIZATE

1 Tricomi F. Ecuații diferențiale. Traducere din engleză. - M .: Bukinist, 2003 .-- 352 p.

Vlasova B. A., Zarubin B. C., Kuvyrkin G. N. Metode aproximative de fizică matematică: Manual pentru universități. - M .: Editura MSTU im. N.E.Bauman, 2001 .-- 700 p.

B.M.Budak, S.V. Fomin, Integrale multiple și serii. - M .: Fizmatlit, 2002 .-- 512 p.

Demidovich BP Culegere de probleme și exerciții de analiză matematică. - M .: Editura Moscovei. Universitatea CheRo, 2000. - 624 p.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I., ș.a. Toate matematica superioară: manual. T. 3. - M .: Editura Editorial URSS, 2005 .-- 240 p.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. et al. Matematică superioară: Curs general: Manual. - M .: Mai sus. shk., 2000.- 351 p.

Malakhov A.N., Maksyukov N.I., Nikishkin V.A. Matematică superioară. - M .: EAOI, 2008 .-- 315 p.

Markov L.N., Razmyslovich G.P. Matematică superioară. Partea 2. Fundamente ale analizei matematice și elemente ale ecuațiilor diferențiale. - M .: Amalfeya, 2003 .-- 352 p.

Agafonov S.A., German A.D., Muratova T.V. Ecuații diferențiale. - M .: Editura MSTU im. N.E. Bauman, 2004 .-- 352 p.

E. A. Coddington și N. Levinson, Teoria ecuațiilor diferențiale ordinare. - M .: Amalfeya, 2001 .-- 475 p.

Fikhtengolts GM Curs de calcul diferenţial şi integral. T. 2. - M .: Fizmatlit, 2001 .-- 810 p.

Cu ajutorul seriei de puteri este posibilă integrarea ecuațiilor diferențiale.

Luați în considerare o ecuație diferențială liniară de forma:

Dacă toți coeficienții și partea dreaptă a acestei ecuații se extind în serii de puteri convergente într-un anumit interval, atunci există o soluție a acestei ecuații într-o mică vecinătate a punctului zero care satisface condițiile inițiale.

Această soluție poate fi reprezentată printr-o serie de puteri:

Pentru a găsi o soluție, rămâne să determinați constantele necunoscute c i .

Această sarcină este în curs de rezolvare prin compararea coeficienților nedefiniti... Substituim expresia scrisă pentru funcția dorită în ecuația diferențială originală, efectuând toate operațiile necesare cu serii de puteri (diferențiere, adunare, scădere, înmulțire etc.)

Apoi echivalăm coeficienții la aceleași grade NSîn partea stângă și dreaptă a ecuației. Ca urmare, ținând cont de condițiile inițiale, obținem un sistem de ecuații, din care determinăm succesiv coeficienții c i .

Rețineți că această metodă este aplicabilă ecuațiilor diferențiale neliniare.

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuație
cu conditiile initiale y(0)=1, y’(0)=0.

Vom căuta o soluție a ecuației în formă

Inlocuim expresiile obtinute in ecuatia initiala:

De aici obținem:

………………

Obținem prin înlocuirea condițiilor inițiale din expresii pentru funcția dorită și derivata prima a acesteia:

În sfârșit obținem:

Total:

Există o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale folosind serii. Poartă numele metoda de diferentiere secventiala.

Să aruncăm o privire la același exemplu. Vom căuta o soluție la ecuația diferențială sub forma unei extinderi a unei funcții necunoscute într-o serie Maclaurin.

Dacă condiţiile iniţiale date y(0)=1, y’(0)=0 substituit în ecuația diferențială originală, obținem că

În continuare, scriem ecuația diferențială sub forma
şi o vom diferenţia secvenţial în raport cu NS.

După înlocuirea valorilor obținute, obținem:

Criteriul Cauchy.

(condiții necesare și suficiente pentru convergența seriei)

Pentru consecvență
convergând, este necesar și suficient ca pentru orice
a existat un astfel de numărNcă pentrun > Nși oricep> 0, unde p este un număr întreg, următoarea inegalitate ar fi valabilă:

Dovada. (nevoie)

Lasa
, apoi pentru orice număr
există un număr N astfel încât inegalitatea

este valabil pentru n> N. Pentru n> N și orice număr întreg p> 0, inegalitatea
... Luând în considerare ambele inegalități, obținem:

Necesitatea a fost dovedită. Nu vom lua în considerare dovada suficienței.

Să formulăm criteriul Cauchy pentru serie.

Pentru un număr
convergenta este necesara si suficienta ca pentru orice
era un numărNastfel încât ptn> Nși oricep> 0 inegalitatea

Cu toate acestea, în practică, nu este foarte convenabil să folosiți direct criteriul Cauchy. Prin urmare, de regulă, sunt utilizate criterii de convergență mai simple:

Consecinţă. Dacă f(X) și  (NS)- funcții continue pe intervalul (a, b] și
apoi integralele
și
se comportă la fel în sensul convergenţei.

Cum să găsiți o anumită soluție DE folosind aproximativ o serie?

Continuând să explorezi aplicațiile practice ale teoriei seriilor, luați în considerare o altă problemă comună, al cărei nume îl vedeți în titlu. Și, pentru a nu te simți ca o mașină de tuns iarba pe tot parcursul lecției, să înțelegem imediat esența sarcinii. Trei întrebări și trei răspunsuri:

Ce trebuie să găsești? Soluție particulară a unei ecuații diferențiale... Un indiciu între rânduri șoptește că în acest moment este de dorit să înțelegem măcar ce este ecuație diferențială si care este solutia lui.

CUM este solicitată această soluție de condiție? Aproximativ - folosind o serie.

Și a treia întrebare logică: de ce aproximativ? Am tratat deja această întrebare în lecție. Metodele Euler și Runge-Kutta, totusi, repetitia nu doare. Fiind specific, înapoi la cel mai simplu ecuație diferențială... În cursul primei prelegeri despre difuze, am găsit soluția sa generală (mulțimea exponențialelor) și o soluție particulară corespunzătoare condiției inițiale. Un grafic al funcției este cea mai comună linie care este ușor de desenat pe un desen.

Dar acesta este un caz elementar. În practică, există o mare varietate de ecuații diferențiale care nu pot fi rezolvate analitic exact (cel puțin prin metodele cunoscute astăzi). Cu alte cuvinte, indiferent cum se întoarce o astfel de ecuație, nu va fi posibilă integrarea acesteia. Și captura este aceea poate exista o soluţie generală (familie de linii pe un plan).... Și apoi metodele matematicii computaționale vin în ajutor.

Ne întâlnim bucuria!

O sarcină tipică este formulată după cum urmează:

… satisfacerea condiţiei iniţiale, sub formă de trei (mai rar - patru până la cinci) membri diferiti de zero Seria Taylor.

Soluția particulară dorită este descompusă într-o serie dată conform formulei binecunoscute:

Singurul lucru este că în loc de litera „ff”, este folosit „igrek” (cum s-a întâmplat).

Ideea și sensul sunt de asemenea familiare: pentru unele difuze si in anumite conditii (nu vom intra in teorie) construitul seria puterilor va converge la soluția particulară dorită. Adică, cu cât considerăm mai mulți membri ai seriei, cu atât graficul polinomului corespunzător va aduce mai aproape graficul funcției.

Trebuie remarcat faptul că cele de mai sus se aplică și celor mai simple cazuri. Să efectuăm o cercetare simplă pentru copii pe aceeași oală:

Exemplul 1

Găsiți o soluție parțială aproximativă a unei ecuații diferențiale care satisface condiția inițială sub forma primilor patru termeni nenuli ai seriei Taylor.

Soluţie: în condiţiile acestei probleme, prin urmare, formula generală Taylor se transformă într-un caz special Extinderea seriei Maclaurin:

Mergând puțin înainte, voi spune că această serie mai compactă este mult mai comună în sarcinile practice.

Înregistrați ambele formule de lucru în manualul dvs.

Să ne ocupăm de valori. Este convenabil să numerotați pașii soluției:

0) La pasul zero, notați valoarea, care este întotdeauna cunoscută din condiție. În caiet, este indicat să încercuiți rezultatele finale ale punctelor, astfel încât acestea să fie clar vizibile și să nu se piardă în soluție. Din motive tehnice, îmi este mai convenabil să le evidențiez cu caractere aldine. In afara de asta, rețineți că această valoare nu este zero! La urma urmei, în funcție de condiție, trebuie să găsiți patru diferit de zero membri ai unui rând.

1) Să calculăm. Pentru a face acest lucru, înlocuim valoarea cunoscută în partea dreaptă a ecuației originale în loc de „joc”:

2) Să calculăm. Mai întâi găsim derivata a doua:

Înlocuim valoarea găsită în paragraful anterior în partea dreaptă:

Avem deja trei termeni de expansiune diferit de zero la dispoziție, mai avem nevoie de unul:

Exemplul 2

Găsiți o soluție particulară aproximativă a unei ecuații diferențiale satisfacerea condiției inițiale sub forma primilor trei termeni nenuli ai seriei Taylor.

Soluţieîncepe cu fraza standard:

Prin urmare, în această problemă:

Acum găsim succesiv valorile - până la trei diferit de zero rezultat. Dacă ai noroc, ele vor fi diferite de zero Este cazul ideal cu o cantitate minimă de muncă.

Tăiem punctele de decizie:

0) După condiție. Iată primul succes.

1) Să calculăm. În primul rând, rezolvăm ecuația originală în raport cu prima derivată, adică exprimăm ... Să înlocuim valorile cunoscute în partea dreaptă:

Volanul este primit și acest lucru nu este bine, deoarece ne interesează diferit de zero valorile. Totuși, zero - acelasi rezultat, pe care nu uităm să o încercuim sau să evidențiem în alt mod.

2) Găsiți derivata a doua și înlocuiți valorile cunoscute în partea dreaptă:

Al doilea este „nu zero”.

3) Aflați - derivata derivatei a doua:

În general, sarcina amintește oarecum de Povestea napului, când bunicul, bunica și nepoata cheamă în ajutor un gândac, o pisică etc. Într-adevăr, fiecare derivată ulterioară este exprimată prin „predecesorii” săi.

Să înlocuim valorile cunoscute în partea dreaptă:

A treia valoare diferită de zero. A scos Napul.

Înlocuim cu atenție și cu grijă numerele „aldine” în formula noastră:

Răspuns: extinderea aproximativă necesară a soluției particulare:

În exemplul luat în considerare, a fost doar un zero pe locul doi, iar acest lucru nu este atât de rău. În cazul general, pot exista câte zerouri doriți și oriunde. Din nou, este foarte important să le evidențiezi împreună cu rezultate diferite de zero pentru a nu te încurca în înlocuiri în etapa finală.

Poftim - covrigiul este pe primul loc:

Exemplul 3

Găsiți o soluție parțială aproximativă a ecuației diferențiale corespunzătoare condiției inițiale sub forma primilor trei termeni nenuli ai seriei Taylor.

Un eșantion aproximativ de proiectare a sarcinii la sfârșitul lecției. Este posibil ca punctele algoritmului să nu fie numerotate (lăsând, de exemplu, linii goale între pași), dar recomand începătorilor să respecte un șablon strict.

Problema luată în considerare necesită o atenție sporită - dacă greșiți la orice pas, atunci totul va fi și greșit! Prin urmare, capul tău limpede ar trebui să funcționeze ca un ceas. Din păcate, asta nu este integrale sau difuziune, care sunt rezolvate în mod fiabil chiar și în stare obosită, deoarece permit efectuarea unei verificări eficiente.

În practică, este mult mai comun Extinderea seriei Maclaurin:

Exemplul 4

Soluţie: în principiu, puteți scrie imediat Descompunerea Maclaurinului, dar formularea problemei este mai academică pentru a începe cu cazul general:

Expansiunea unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale în condiția inițială are forma:

Prin urmare, în acest caz:

0) După condiție.

Ei bine, ce poți face... Să sperăm că sunt mai puține zerouri.

1) Să calculăm. Prima derivată este deja gata de utilizare. Înlocuiți valorile:

2) Găsiți derivata a doua:

Și înlocuiți în ea:

Afacerile au mers rapid!

3) Găsiți. Voi scrie cu mare detaliu:

Rețineți că regulile algebrice obișnuite se aplică derivatelor: reducerea termenilor similari la ultimul pas și scrierea produsului ca putere: (ibid.).

Să înlocuim în tot ceea ce este dobândit prin munca de rupere a spatelui:

Se nasc trei valori diferite de zero.

Inlocuim numerele „grase” in formula Maclaurin, obtinand astfel o extindere aproximativa a solutiei particulare:

Răspuns:

Pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Reprezentați o soluție parțială aproximativă a lui DE, corespunzătoare unei condiții inițiale date, ca sumă a primilor trei termeni nenuli ai seriei de puteri.

Un model de design la sfârșitul lecției.

După cum puteți vedea, problema cu o extindere parțială în Seria Maclaurin s-a dovedit a fi chiar mai dificil decât cazul general. Complexitatea sarcinii luate în considerare, așa cum tocmai am văzut, constă nu atât în descompunerea în sine, cât în dificultățile de diferențiere. Mai mult, uneori trebuie să găsești 5-6 derivate (sau chiar mai multe), ceea ce crește riscul de eroare. Și la sfârșitul lecției, vă sugerez câteva sarcini de complexitate crescută:

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială aproximativ folosind expansiunea soluției particulare din seria Maclaurin, limitându-ne la primii trei termeni nenuli ai seriei

Soluţie: avem în fața noastră o difuzare de ordinul doi, dar asta practic nu schimbă problema. Conform condiției, ni s-a oferit imediat să folosim gama Maclaurin, de care nu vom renunța să profităm. Să notăm descompunerea familiară, luând în mai mulți termeni pentru fiecare pompier:

Algoritmul funcționează în același mod:

0) - după condiție.

1) - după condiție.

2) Să rezolvăm ecuația inițială față de derivata a doua:.

Și înlocuiește:

Prima valoare diferită de zero

Faceți clic pe derivate și efectuați substituții:

Înlocuitor și: