Formula ariei unei figuri cu noduri. La matematică pe tema „Formula de vârf”. Găsirea suprafeței formelor spațiale

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

Sunt elev in clasa a VI-a. Am început să studiez geometria încă de anul trecut, pentru că studiez la școală conform manualului „Matematică. Aritmetic. Geometrie „editat de Ye.A. Bunimovici, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva și alții.

Cea mai mare atenție mi-a fost atrasă de subiectele „Pătrate de cifre”, „Întocmirea de formule”. Am observat că zonele de aceleași forme pot fi găsite în moduri diferite. În viața de zi cu zi, ne confruntăm adesea cu sarcinile de a găsi o zonă. De exemplu, găsiți zona podelei care trebuie vopsită. Este curios, până la urmă, pentru a cumpăra cantitatea necesară de tapet pentru renovare, trebuie să știți dimensiunea camerei, adică. zona peretelui. Calcularea ariei unui pătrat, dreptunghi și triunghi dreptunghi a fost simplă pentru mine.

Devenind interesat de acest subiect, am început să caut material suplimentar pe internet. În urma căutărilor mele, am dat peste formula lui Pick - aceasta este o formulă pentru calcularea ariei unui poligon desenat pe hârtie în carouri. Calcularea suprafeței folosind această formulă mi s-a părut accesibilă oricărui student. De aceea am decis să cheltuiesc muncă de cercetare.

Relevanța subiectului:

Acest subiect este o completare și o aprofundare a studiului cursului de geometrie.

Studierea acestui subiect vă va ajuta să vă pregătiți mai bine pentru olimpiade și examene.

Obiectiv:

Consultați formula lui Pick.

Stăpânește tehnicile de rezolvare a problemelor geometrice folosind formula Pick.

Pentru a sistematiza și rezuma materialele teoretice și practice.

Obiectivele cercetării:

Verificați eficacitatea și fezabilitatea utilizării formulei în rezolvarea problemelor.

Învață să aplici formula Peak în probleme de complexitate diferită.

Comparați problemele rezolvate folosind formula Pick și metoda tradițională.

Parte principală

1.1. Referință istorică

Georg Alexander Pick este un matematician austriac, născut la 10 august 1859. Era un copil dotat, predat de tatăl său, care conducea un institut privat. La 16 ani, Georg a absolvit liceul și a intrat la Universitatea din Viena. La 20 de ani a primit dreptul de a preda fizica si matematica. Formula pentru determinarea ariei unei rețele de poligoane i-a adus faima mondială. Și-a publicat formula într-un articol în 1899. A devenit popular când omul de știință polonez Hugo Steinhaus a inclus-o în 1969 în publicarea fotografiilor matematice.

Georg Pick a fost educat la Universitatea din Viena și și-a susținut doctoratul în 1880. După terminarea doctoratului, a fost numit asistent al lui Ernest Mach la Universitatea Sherl-Ferdinand din Praga. A devenit și profesor acolo. A rămas la Praga până la pensionare în 1927 și apoi s-a întors la Viena.

Pick a prezidat un comitet la Universitatea Germană din Praga, care l-a numit pe Einstein profesor la departamentul de fizică matematică în 1911.

A fost ales membru al Academiei Cehe de Arte și Științe, dar a fost expulzat după capturarea Praga de către naziști.

Când naziștii au intrat în Austria, pe 12 martie 1938, s-a întors la Praga. În martie 1939, naziștii au invadat Cehoslovacia. Pe 13 iulie 1942, Peak a fost deportat în lagărul Theresienstadt, înființat de naziști în nordul Boemiei, unde a murit două săptămâni mai târziu, la vârsta de 82 de ani.

1.2. Cercetare și dovezi

Mi-am început munca de cercetare clarificând întrebarea: zonele ce cifre pot găsi? Aș putea găsi o formulă pentru calcularea ariei diferitelor triunghiuri și patrulatere. Dar ce zici de cinci, șase și, în general, cu poligoane?

În cursul cercetărilor pe diferite site-uri, am văzut soluții la problemele de calculare a ariei a cinci, șase și alte poligoane. Formula pentru rezolvarea acestor probleme a fost numită formula lui Pick. Ea arată așa: S = B + G / 2-1, Unde V- numărul de noduri situate în interiorul poligonului, G- numărul de noduri situate la marginea poligonului. Particularitatea acestei formule este că poate fi folosită numai pentru poligoane desenate pe hârtie în carouri.

Orice astfel de poligon poate fi ușor împărțit în triunghiuri cu vârfuri la nodurile rețelei, care nu conțin noduri nici în interior, nici pe laturi. Se poate demonstra că ariile tuturor acestor triunghiuri sunt aceleași și egale cu ½ și, prin urmare, aria poligonului este jumătate din numărul lor T.

Pentru a găsi acest număr, notăm cu n numărul de laturi ale poligonului, cu V- numărul de noduri din interiorul acestuia, prin G- numărul de noduri de pe laturi, inclusiv vârfurile. Suma totală a unghiurilor tuturor triunghiurilor este de 180 °. T.

Acum să găsim suma într-un mod diferit.

Suma unghiurilor cu vârf la orice nod intern este de 2,180 °, adică totalul unghiurilor este de 360 °. V; suma totală a unghiurilor de la nodurile de pe laturi, dar nu de la vârfuri, este ( G-n) 180°, iar suma unghiurilor de la vârfurile poligonului va fi ( G-2) 180°. În acest fel, T = 2.180 °. B + (G-n) 180° + (n -2)180 °. După extinderea parantezelor și împărțirea la 360 °, obținem o formulă pentru aria S a unui poligon, cunoscută sub numele de formula lui Pick.

2. Partea practică

Am decis să verific această formulă pe sarcini din colecția OGE-2017. Am luat sarcini pentru a calcula aria unui triunghi, patrulater și pentagon. Am decis să compar răspunsurile, rezolvând în două moduri: 1) am adăugat cifrele în dreptunghi și din aria dreptunghiului rezultat am scăzut aria triunghiurilor dreptunghiulare; 2) a aplicat formula lui Pick.

S = 18-1,5-4,5 = 12 și S = 7 + 12 / 2-1 = 12

S = 24-9-3 = 12 și S = 7 + 12 / 2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 și S = 43 + 14 / 2-1 = 49

Comparând cele primite, trag concluzia că ambele formule dau același răspuns. Găsirea ariei unei figuri folosind formula Peak s-a dovedit a fi mai rapidă și mai ușoară, deoarece au fost mai puține calcule. Ușurința soluționării și economisirea timpului la calcule îmi vor fi de folos în viitor când trec de OGE.

Acest lucru m-a determinat să testez posibilitatea de a aplica formula lui Pick pe forme mai complexe.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5 + 11 / 2-1 = 9,5

S = 4 + 16 / 2-1 = 1

Concluzie

Formula lui Peak este ușor de înțeles și ușor de utilizat. În primul rând, este suficient să poți număra, împărți cu 2, adună și scădea. În al doilea rând, puteți găsi o zonă și o formă complexă fără a petrece mult timp. În al treilea rând, această formulă funcționează pentru orice poligon.

Dezavantajul este că Formula Pick este aplicabilă numai pentru formele care sunt desenate pe hârtie în carouri, iar vârfurile se află la nodurile celulelor.

Sunt sigur că la promovarea examenelor finale, problemele de calculare a ariei cifrelor nu vor provoca dificultăți. La urma urmei, sunt deja familiarizat cu formula lui Pick.

Bibliografie

Bunimovici E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. și alte matematică. Aritmetic. Geometrie. Clasa a 5-a: educațional. pentru invatamantul general. organizatii cu adj. la electron. purtător-ed. a III-a -M .: Educație, 2014.- 223, p. : bolnav. - (Sfere).

Bunimovici E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. și alte matematică. Aritmetic. Geometrie. Clasa a 6-a: educațional. pentru invatamantul general. organizații-ed. a V-a -M .: Educație, 2016.-240s. : bolnav - (Sfere).

Vasiliev N.B. În jurul formulei lui Pick. // Cant. - 1974.-№2. -s. 39-43

Rassolov V.V. Sarcini de planimetrie. / Ed. a 5-a, Rev. Si adauga. - M .: 2006.-640s.

I.V. Iascenko, OGE. Matematică: variante tipice de examen: O-39 36 opțiuni - M .: Editura Educație Națională, 2017. -240 p. - (OGE. FIPI-scoala).

„Voi rezolva OGE”: matematică. Sistemul de antrenament al lui Dmitri Gușchin. OGE-2017: sarcini, răspunsuri, soluții [Resursă electronică]. Mod de acces: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (data tratamentului 04/02/2017)

Există o formulă minunată care vă permite să numărați zona poligonului pe grilă aproape fără erori. Aceasta nu este nici măcar o formulă, ci una reală. teorema... La prima vedere, poate părea descurajantă. Dar este suficient să rezolvi câteva probleme - și vei înțelege cât de mișto este acest lucru. Așa că mergeți înainte!

Mai întâi, să introducem o nouă definiție:

Un nod de stivă de coordonate este orice punct care se află la intersecția liniilor verticale și orizontale ale acestei grile.

Desemnare:

În prima imagine, nodurile nu sunt deloc marcate. Pe al doilea, sunt marcate 4 noduri. În cele din urmă, a treia imagine arată toate cele 16 noduri.

Cum se leagă acest lucru cu sarcina B5? Faptul este că vârfurile poligonului în astfel de probleme mereu se află la nodurile rețelei. În consecință, următoarea teoremă funcționează pentru ei:

Teorema. Luați în considerare un poligon pe o rețea de coordonate, ale cărei vârfuri se află la nodurile acestei rețele. Atunci aria poligonului este:

unde n este numărul de noduri din interiorul acestui poligon, k este numărul de noduri care se află pe granița acestuia (nodurile de limită).

Ca exemplu, luați în considerare un triunghi obișnuit pe o grilă și încercați să marcați nodurile interioare și de graniță.

Prima imagine arată un triunghi obișnuit. Cea de-a doua marchează nodurile sale interne, al căror număr este egal cu n = 10. A treia imagine marchează nodurile situate pe graniță, sunt k = 6 dintre ele.

Poate că mulți cititori nu înțeleg cum să numere numerele n și k. Începeți cu nodurile interioare. Totul este evident aici: pictăm peste triunghi cu un creion și vedem câte noduri au intrat sub umbrire.

Nodurile de frontieră sunt puțin mai complicate. chenar poligon - polilinie închisă care intersectează grila în multe puncte. Cea mai ușoară cale este să marcați un punct „de pornire” și apoi să ocoliți restul.

Nodurile de frontieră vor fi doar acele puncte de pe polilinie în care se intersectează simultan trei rânduri:

De fapt, o linie întreruptă;
Linia orizontală a grilei de coordonate;
Linie verticala.

Să vedem cum funcționează totul în probleme reale.

Sarcină. Găsiți aria unui triunghi dacă dimensiunea celulei este de 1 x 1 cm:

Mai întâi, să marchem nodurile care se află în interiorul triunghiului, precum și pe marginea acestuia:

Se dovedește că există un singur nod intern: n = 1. Există până la șase noduri de limită: trei coincid cu vârfuri de triunghi iar încă trei zac pe laterale. Total k = 6.

Acum calculăm aria cu formula:

Asta e tot! Problema a fost rezolvată.

Sarcină. Găsiți aria unui patrulater reprezentat pe hârtie în carouri cu o dimensiune a celulei de 1 cm pe 1 cm. Dați răspunsul în centimetri pătrați.

Marcați din nou nodurile interioare și de margine. Există n = 2 noduri interne.Noduri limită: k = 7, dintre care 4 sunt vârfurile patrulateruluiși încă 3 zac pe laterale.

Rămâne să înlocuiți numerele n și k în formula zonei:

Aruncă o privire la ultimul exemplu. Această sarcină a fost de fapt propusă în activitatea de diagnosticare din 2012. Dacă lucrați conform schemei standard, va trebui să faceți o mulțime de construcții suplimentare. Iar cu metoda nodurilor totul se decide practic oral.

Notă importantă privind zonele

Dar formula nu este totul. Să rescriem puțin formula, aducând termenii în partea dreaptă la un numitor comun... Primim:

Numerele n și k sunt numărul de noduri, ele sunt întotdeauna numere întregi. Aceasta înseamnă că întregul numărător este, de asemenea, întreg. O împărțim la 2, ceea ce implică un fapt important:

Zona este întotdeauna exprimată număr întreg sau fracție... Și la sfârșitul fracției este întotdeauna „cinci zecimi”: 10,5; 17.5 etc.

Astfel, aria din problema B5 este întotdeauna exprimată ca un număr întreg sau o fracție precum ***, 5. Dacă răspunsul este diferit, atunci trebuie să fie o greșeală undeva. Amintește-ți asta când dai examenul adevărat de matematică!

Calcularea ariei unei figuri.

Metoda de alegere

Lucrarea unui elev din clasa 5B MBOU școlii secundare №23 din Irkutsk

Balsukova Alexandra

Șef: T.G. Khodyreva

2014

Calcularea ariei unei figuri. Metoda de alegere

Obiect de studiu : sarcini pe hârtie în carouri

Subiect de studiu : sarcini pentru calcularea ariei unui poligon pe hârtie în carouri, metode și tehnici de rezolvare a acestora.

Metode de cercetare : comparație, generalizare, analogii, studiul literaturii și resurselor internetului, analiza informațiilor.

Scopul studiului:

alegeți informațiile principale, interesante și ușor de înțeles

Analizați și organizați informațiile primite

Găsiți diferite metode și tehnici de rezolvare a problemelor pe hârtie în carouri

verificați formulele pentru calcularea ariilor formelor geometrice folosind formula Pick

Creați o prezentare electronică a lucrării pentru a prezenta materialul colectat

Geometria este cel mai puternic instrument de ascuțire a facultăților noastre mentale și ne permite să gândim și să raționăm corect.

(G. Galilei)

Relevanța subiectului

Pasiunea pentru matematică începe adesea cu gândul la o problemă. Deci, atunci când studiem subiectul „Zone de poligoane” se pune întrebarea dacă există sarcini care sunt diferite de sarcinile discutate în manual. Aceste sarcini includ sarcini pe hârtie în carouri. Care este particularitatea unor astfel de probleme, există metode și tehnici speciale pentru rezolvarea problemelor pe hârtie în carouri. La ora de matematică, profesorul ne-a prezentat o metodă interesantă de calculare a poligoanelor. Am început să studiez literatura, resursele de pe Internet pe această temă. S-ar părea că ceva fascinant poate fi găsit pe un plan în carouri, adică pe o bucată de hârtie nesfârșită căptușită cu pătrate identice. Se pare că sarcinile asociate hârtiei în carouri sunt destul de diverse. Am învățat cum să calculez ariile poligoanelor desenate pe o foaie în carouri. Pentru multe probleme pe hârtie în cușcă, nu există o regulă generală de rezolvare, metode și tehnici specifice. Aceasta este proprietatea lor care determină valoarea lor pentru dezvoltarea nu a unei abilități sau abilități educaționale specifice, ci în general capacitatea de a gândi, reflecta, analiza, căuta analogii, adică aceste sarcini dezvoltă abilitățile de gândire în sensul lor cel mai larg.

Și am mai învățat că astfel de sarcini sunt luate în considerare în materialele de control și măsurare ale Agenției de Inspecție de Stat și ale Examenului de Stat Unificat. Prin urmare, consider că studiul acestui material este util pentru aplicarea lui nu numai în viitor. proces educațional, dar și pentru rezolvarea problemelor nestandardizate ale olimpiadelor.

2.Conceptul pătrat

Pătrat- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice bidimensionale, care arată dimensiunea acestei figuri. Din punct de vedere istoric, a fost numit calculul suprafeței . Se numește o figură cu o zonă pătrat .

Aria unei figuri plane în termeni de geometrie

1. Pătrat-o măsură a unei figuri plate în raport cu o figură standard, care este un pătrat cu latura egală cu unitatea de lungime.

2. Pătrat- o caracteristică numerică atribuită figurilor plate dintr-o anumită clasă (de exemplu, poligoane). Aria unui pătrat cu latura egală cu o unitate de lungime, luată egală cu o unitate de suprafață

3. Pătrat- o valoare pozitivă, a cărei valoare numerică are următoarele proprietăți:

 Piesele egale au suprafețe egale;

 Dacă o figură este împărțită în părți care sunt figuri simple (adică cele care pot fi împărțite într-un număr finit de triunghiuri plate), atunci aria acestei figuri este egală cu suma ariilor părților sale;

 Aria unui pătrat cu latura egală cu unitatea de măsură este egală cu unu.

Astfel, putem concluziona că suprafața nu este o valoare specifică, ci oferă doar o caracteristică condiționată a oricărei figuri plate. Pentru a găsi aria unei figuri arbitrare, este necesar să se determine câte pătrate cu o latură egală cu o unitate de lungime poate conține. De exemplu, să luăm un dreptunghi în care un centimetru pătrat se potrivește exact de 6 ori. Aceasta înseamnă că aria dreptunghiului este de 6 cm 2.

Alegerea ariei unui pătrat cu o latură egală cu unitatea de măsură ca unitate minimă de măsură pentru toate zonele nu este întâmplătoare. Acesta este rezultatul unui acord între oameni, apărut în cursul secolelor „naturale” de selecție. În plus, au existat și alte sugestii pentru unitatea de măsură. Deci, de exemplu, s-a propus să se ia aria unui triunghi echilateral ca o astfel de unitate (adică orice figură plană ar putea fi reprezentată ca o „suma” a unui anumit număr de triunghiuri echilaterale), ceea ce ar duce la o modificare a reprezentării numerice a zonelor.

Astfel, formulele pentru calcularea suprafețelor au apărut în matematică și nu au fost realizate imediat de o persoană - aceasta este mulți oameni de știință care trăiesc în epoci diferite și tari diferite... (Formulele eronate nu și-au găsit loc în știință și au dispărut în uitare). Adevăratele formule au fost completate, corectate și fundamentate de-a lungul mileniilor, până au ajuns la noi în forma lor modernă.

La fel măsurarea suprafeței constă în compararea aria figurii date cu aria figurii luate ca unitate de măsură. Ca rezultat al comparației, se obține o anumită valoare numerică a zonei acestei figuri. Acest număr arată de câte ori aria unei figuri date este mai mare (sau mai mică) decât aria figurii, luată ca unitate de măsură pentru zonă.

T Astfel, putem concluziona că zona este o mărime artificială, introdusă istoric de către o persoană pentru a măsura o proprietate a unei figuri plate. Necesitatea introducerii unei astfel de valori s-a datorat nevoii tot mai mari de a cunoaște cât de mare este o anumită zonă, cât de mult cereale este nevoie pentru a semăna un câmp sau pentru a calcula suprafața podelei pentru a decora plăci ornamentale.

Formula de vârf

Pentru a estima aria unui poligon pe hârtie în carouri, este suficient să calculați câte celule acoperă acest poligon (luăm aria unei celule ca una). Mai precis, dacăS Este aria poligonului, B este numărul de celule care se află în întregime în interiorul poligonului și G este numărul de celule care au un interior. Vom lua în considerare numai astfel de poligoane, ale căror vârfuri se află la nodurile hârtiei în carouri - în acelea în care liniile grilei poligonului intersectează cel puțin un punct comun.

Aria oricărui triunghi desenat pe hârtie în carouri poate fi calculată cu ușurință prezentând-o ca sumă sau diferență a ariilor triunghiurilor dreptunghiulare și dreptunghiurilor, ale căror laturi urmează liniile grilei care trec prin vârfurile triunghiului desenat. .

Pentru a calcula aria unui astfel de poligon, puteți utiliza următoarea teoremă:

Teorema . Lăsa - numărul de puncte întregi din interiorul poligonului, - numărul de puncte întregi de pe marginea sa, - zona sa. Atunci este corectFormula lui Pick:

Exemplu. Pentru poligonul din figurăL = 7 (puncte roșii), 9 (puncte verzi), prin urmareS = 7+ 9/2 -1 = 10,5 unități pătrate.

Teorema lui Pick- rezultat clasic și .

Aria unui triunghi cu vârfuri la noduri și care nu conține noduri nici în interior, nici pe laturi (cu excepția vârfurilor) este 1/2. Acest lucru.

3. Istorie

Formula lui Pick a fost descoperită de matematicianul austriac Georg Alexander (1859-1942) în g. ... La 16 ani, Georg a absolvit liceul și a intrat... La 20 de ani a primit dreptul de a preda fizica si matematica. În 1884, Peak a plecat la La ... Acolo a întâlnit un alt student al lui Klein,... Mai târziu, în 1885, s-a întors la, unde și-a petrecut restul carierei științifice.

Georg Pick era prieten cu Einstein. Peak și Einstein nu numai că împărtășeau interese științifice, dar erau și pasionați de muzică. Pick, care a cântat într-un cvartet de profesori universitari, l-a prezentat pe Einstein în societatea științifică și muzicală din Praga.

Gama de interese matematice a lui Pick era extrem de largă. În special, sunt peste 50 lucrări științifice... Teorema lui Peak pentru calcularea ariei unui poligon, descoperită de el în 1899, este cunoscută pe scară largă. În Germania, această teoremă este inclusă în manualele școlare.

4.Alegeți Formula Applications

Formula lui Pick este folosită nu numai pentru a calcula ariile poligoanelor, ci și pentru a rezolva multe probleme la nivelul Olimpiadei.

Câteva exemple de utilizare a formulei Peak pentru rezolvarea problemelor:

1) Regele șahului s-a plimbat în jurul tablei 8 × 8 celule, vizitând fiecare

câmp casei exact o dată și ultima miscare revenind la original

camp. O linie întreruptă care leagă în serie centrele câmpurilor care

a trecut rege, nu are auto-intersecții. Ce zonă poate

limitează această polilinie? (Latura celulei este 1.)

Din formula lui Pick rezultă imediat că aria delimitată de

mana, egală cu 64/2 - 1 = 31; aici centrele rețelei sunt 64

câmpuri și, prin condiție, toate se află la limita poligonului. Asa de

Astfel, deși există o mulțime de astfel de „traiectorii” ale regelui, toate sunt

constrânge poligoane de arii egale.

Sarcini de la controlul si masurarea materialelor GIA si USE

Provocarea B3

Găsiți zona figurii reprezentată pe hârtie în carouri cu dimensiunea celulei de 1 cm 1 cm (vezi figura). Dați răspunsul în centimetri pătrați.

4. Concluzie

În procesul cercetării, am studiat literatura de referință, de știință populară. Am aflat că problema găsirii ariei unui poligon cu vârfuri la nodurile grilei l-a inspirat pe matematicianul austriac Pick în 1899 să demonstreze minunata formulă a lui Pick.

În urma muncii mele, mi-am extins cunoștințele de rezolvare a problemelor pe hârtie în carouri, mi-am determinat clasificarea problemelor studiate și m-am convins de diversitatea acestora.

Am învățat să calculez ariile poligoanelor desenate pe o foaie în carouri.Sarcinile luate în considerare au un alt nivel de dificultate - de la simplu la olimpiadă. Toată lumea poate găsi printre ele sarcini de un nivel fezabil de complexitate, pornind de la care, se va putea trece la rezolvarea celor mai dificile.

Am ajuns la concluzia că subiectul care m-a interesat este destul de multifațetat, sarcinile pe hârtie în carouri sunt diverse, metodele și tehnicile de rezolvare a acestora sunt și ele diverse. Prin urmare, ai noștri am decis să lucrez în continuare în această direcție.

5. Literatură folosită:

(1) N.B. Vasil'ev, Around the Pik formula, Kvant. - 1974. - Nr. 12

2.Kokse Prasolov V.V. Sarcini de planimetrie. - M .: MTsNMO, 2006. te r G. S.M. Introducere în geometrie. - M .: Nauka, 1966

3.Roslova L.O., Sharygin I.F. Măsurătorile. - M.: Izd. Lumea deschisă, 2005.

Resurse de internet:

Feedback pentru muncă

„Calculul ariilor cifrelor plate. Metoda de alegere "

Luarea în considerare a acestei teme va crește activitatea cognitivă a elevului, care mai târziu, la lecțiile de geometrie, va începe să vadă armonia desenului și va înceta să mai perceapă geometria (și matematica în general) ca o știință plictisitoare.

Evaluat de un profesor de matematică

Hodireva Tatiana Georgievna

Gibadullina G.I. (Nurlat, MAOU SOSH №1)

1. Bunimovici E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. și alte matematică. Aritmetic. Geometrie. Clasa a 5-a: educațional. pentru invatamantul general. organizatii cu adj. la electron. purtător -ed. a III-a. - M .: Educație, 2014 .-- 223, p. : bolnav. - (Sfere).

2. Bunimovici E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. și alte matematică. Aritmetic. Geometrie. Clasa a 6-a: educațional. pentru invatamantul general. organizatii. a 5-a ed. - M .: Educație, 2016 .-- 240 p .: ill. - (Sfere).

3. Vasiliev N.B. În jurul formulei Pick // Kvant. - 1974. - Nr. 2. - S. 39–43.

4. Rassolov V.V. Sarcini de planimetrie. Ed. a 5-a, Rev. si adauga. - M .: 2006 .-- 640 p.

5. Iascenko I.V. OGE. Matematică: variante tipice de examen: O-39 36 opțiuni - M .: Editura „Educația Națională”, 2017. - 240 p. - (OGE. FIPI - scoala).

6. Voi rezolva OGE: matematică. Sistemul de antrenament al lui Dmitri Gușchin. OGE-2017: sarcini, răspunsuri, soluții [Resursă electronică]. - Mod de acces: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (data tratamentului 04/02/2017).

Relevanța subiectului... Acest subiect este o completare și aprofundare a studiului cursului de geometrie.

Studierea acestui subiect vă va ajuta să vă pregătiți mai bine pentru olimpiade și examene.

Obiectiv:

1. Familiarizați-vă cu formula lui Pick.

2. Stăpânește tehnicile de rezolvare a problemelor geometrice folosind formula Pick.

3. Să sistematizeze și să sintetizeze materialele teoretice și practice.

Obiectivele cercetării:

1. Verificați eficacitatea și fezabilitatea utilizării formulei în rezolvarea problemelor.

2. Învață să aplici formula Peak în probleme de complexitate diferită.

3. Comparați problemele rezolvate folosind formula Pick și metoda tradițională.

Parte principală

Referință istorică

Georg Alexander Pieck este un matematician austriac, născut pe 10 august a anului. Era un copil dotat, predat de tatăl său, care conducea un institut privat. La 16 ani, Georg a absolvit liceul și a intrat la Universitatea din Viena. La 20 de ani a primit dreptul de a preda fizica si matematica. Formula pentru determinarea ariei unei rețele de poligoane i-a adus faima mondială. Și-a publicat formula într-un articol în 1899. A devenit popular când omul de știință polonez Hugo Steinhaus a inclus-o în 1969 în publicarea fotografiilor matematice.

Pick a prezidat un comitet la Universitatea Germană din Praga, care l-a numit pe Einstein profesor la departamentul de fizică matematică în 1911.

A fost ales membru al Academiei Cehe de Arte și Științe, dar a fost expulzat după capturarea Praga de către naziști.

Cercetare și dovezi

În cursul cercetărilor pe diferite site-uri, am văzut soluții la problemele de calculare a ariei a cinci, șase și alte poligoane. Formula pentru rezolvarea acestor probleme a fost numită formula lui Pick. Arată astfel: S = B + Г / 2-1, unde В este numărul de noduri situate în interiorul poligonului, Г este numărul de noduri situate la marginea poligonului. Particularitatea acestei formule este că poate fi folosită numai pentru poligoane desenate pe hârtie în carouri.

Pentru a găsi acest număr, notăm cu n numărul de laturi ale poligonului, cu B - numărul de noduri din interiorul acestuia, cu G - numărul de noduri de pe laturi, inclusiv vârfurile. Suma totală a unghiurilor tuturor triunghiurilor este de 180 °. T.

Acum să găsim suma într-un mod diferit.

Suma unghiurilor cu vârf la orice nod intern este de 2,180 °, adică totalul unghiurilor este de 360 °. V; suma totală a unghiurilor de la nodurile de pe laturi, dar nu de la vârfuri, este egală cu (Г - n) 180 °, iar suma unghiurilor de la vârfurile poligonului va fi egală cu (Г - 2 ) 180 °. Astfel, T = 2,180 °. B + (G-n) 180 ° + (n-2) 180 °. După extinderea parantezelor și împărțirea la 360 °, obținem o formulă pentru aria S a unui poligon, cunoscută sub numele de formula lui Pick.

Partea practică

S = 18-1,5-4,5 = 12 și S = 7 + 12 / 2-1 = 12.

S = 24-9-3 = 12 și S = 7 + 12 / 2-1 = 12.

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 și S = 43 + 14 / 2-1 = 49.

Acest lucru m-a determinat să testez posibilitatea de a aplica formula lui Pick pe forme mai complexe.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5 + 11 / 2-1 = 9,5

S = 4 + 16 / 2-1 = 1

Concluzie

Dezavantajul este că Formula Pick este aplicabilă numai pentru formele care sunt desenate pe hârtie în carouri, iar vârfurile se află la nodurile celulelor.

Sunt sigur că la promovarea examenelor finale, problemele de calculare a ariei cifrelor nu vor provoca dificultăți. La urma urmei, sunt deja familiarizat cu formula lui Pick.

Referință bibliografică

Gabbazov N.N. FORMULA PIKA // Începeți în știință. - 2017. - Nr. 6-1. - S. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (data accesării: 03/05/2020).

În Wikționar există un articol „știucă” Pika În știința militară: Pica este o armă de lovire rece, un fel de suliță lungă. Piciii sunt un tip de infanterie din armatele europene din secolul al XVI-lea și începutul secolului al XVIII-lea. Pikelhelm (n... Wikipedia

Teorema lui Pick (geometrie combinatorie)- B = 7, G = 8, B + G / 2 - 1 = 10 Teorema lui Pick este un rezultat clasic al geometriei combinatorii și geometriei numerelor. Aria unui poligon cu un număr întreg... Wikipedia

Triunghi- Acest termen are alte semnificații, vezi Triunghi (sensuri). Un triunghi (în spațiul euclidian) este figură geometrică, format din trei segmente de linie care leagă trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă. Trei puncte, ...... Wikipedia

Trapez- Acest termen are alte semnificații, vezi Trapez (sensuri). Trapez (din altă greacă τραπέζιον „masă”; ... Wikipedia

Patrulater- TEXTAGONI ┌─────────────┼───────────┐ neconvexă interacționare convexă... Wikipedia-

Lingon- Lugon obișnuit pe suprafața unei sfere La fel și în geometrie este ... Wikipedia

Pentagon- Pentagon obișnuit (pentagon) Un pentagon este un poligon cu cinci colțuri. De asemenea, orice obiect de această formă se numește pentagon. Suma int ... Wikipedia

Hexagon- Hexagonul obișnuit Hexagonul este un poligon cu șase colțuri. De asemenea, orice obiect de această formă se numește hexagon. Suma unghiurilor interioare ale unui hexagon convex p ... Wikipedia

Dodecagonul- Dodecagon corect Dodecagon (greacă ... Wikipedia

Dreptunghi- Un dreptunghi este un paralelogram în care toate unghiurile sunt drepte (egale cu 90 de grade). Notă. În geometria euclidiană, pentru ca un patrulater să fie dreptunghi, este suficient ca cel puțin trei dintre colțurile sale să fie drepte. Al patrulea colț (datorită... Wikipedia

Cărți

Clubul de matematică „Cangurul”. Numărul nr. 8. Matematică pe hârtie în carouri,. Numărul este dedicat diverselor sarcini și jocuri asociate cu o foaie de hârtie în carouri. În special, discută în detaliu calculul ariei unui poligon, ale cărui vârfuri sunt situate în ...

Temporizator de oprire a computerului

Programe de optimizare computer

Recuperarea datelor de pe un card de memorie este posibilă!

Eroare „Nu se poate porni Virtual Router Plus”