Raksta saturs
DAUDZSADRS, telpas daļa, ko ierobežo ierobežota skaita plakanu daudzstūru kopums, kas savienoti tā, ka katra daudzstūra mala ir tieši viena cita daudzstūra mala (saukta par blakus esošo), un ap katru virsotni atrodas tieši viens daudzstūru cikls. Šos daudzstūrus sauc par skaldnēm, to malas sauc par malām, un to virsotnes sauc par daudzskaldņa virsotnēm.
Attēlā 1 parādīti vairāki labi zināmi daudzskaldņi. Pirmie divi kalpo kā piemēri R-ogļu piramīdas, t.i. daudzskaldnis, kas sastāv no R-trijstūris, ko sauc par pamatu, un R trijstūri, kas atrodas blakus pamatnei un kuriem ir kopīga virsotne (ko sauc par piramīdas virsotni). Plkst R = 3 (cm. rīsi. 1, A) par pamatu var kalpot jebkura piramīdas mala. Piramīda, kuras pamatne ir veidota kā regulāra R-gon sauc par regulāru R- ogļu piramīda. Tātad, mēs varam runāt par kvadrātveida, parasto piecstūri utt. piramīdas. Attēlā 1, V, 1,G un 1, d doti piemēri noteiktai daudzskaldņu klasei, kuru virsotnes var sadalīt divās vienāda punktu skaita kopās; katras šīs kopas punkti ir virsotnes R-gon, un abu plaknes lpp-goni ir paralēli. Ja šie divi R-gon (bāze) ir kongruenti un atrodas tā, lai viena virsotnes R R-gon pa paralēliem taisniem segmentiem, tad šādu daudzskaldni sauc R- oglekļa prizma. Divu piemēri R-leņķiskās prizmas var kalpot kā trīsstūra prizma ( R= 3) attēlā. 1, V un piecstūra prizma ( R= 5) attēlā. 1, G. Ja pamatnes atrodas tā, ka topi viena R-gon ir savienoti ar citu virsotnēm R- zigzaga lauztas līnijas stūris, kas sastāv no 2 R taisni segmenti, kā parādīts attēlā. 1, d, tad šādu daudzskaldni sauc R- oglekļa antiprizma.
Papildus diviem iemesliem, R-Ir pieejamas oglekļa prizmas R sejas - paralelogrami. Ja paralelogramiem ir taisnstūra forma, tad prizmu sauc par taisnu līniju, un, ja papildus pamati ir regulāri R-gons, tad prizmu sauc par regulāru labo R- oglekļa prizma. R-oglekļa antiprizmai ir (2 lpp+ 2) sejas: 2 R trīsstūrveida sejas un divas lpp- ogļu bāzes. Ja bāzes ir kongruentas regulāras R-gons, un taisne, kas savieno to centrus, ir perpendikulāra to plaknēm, tad antiprizmu sauc par regulāru taisni R- oglekļa antiprizma.
Daudzskaldņa definīcijā pēdējais teikums ir izveidots, lai izslēgtu tādas anomālijas kā divas piramīdas ar kopīgu virsotni. Tagad mēs ieviešam papildu ierobežojumu pieļaujamo politopu kopai, pieprasot, lai divas sejas nekrustotos, kā parādīts attēlā. 1, e. Jebkurš daudzskaldnis, kas apmierina šo prasību, sadala telpu divās daļās, no kurām viena ir ierobežota un tiek saukta par “iekšējo”. Otru, atlikušo daļu sauc par ārējo.
Daudzskaldni sauc par izliektu, ja nevienā taisnes segmentā, kas savieno divus tā punktus, nav punktu, kas pieder ārējai telpai. Daudzskaldnis attēlā. 1, A, 1,b, 1,V un 1, d izliekta, un piecstūra prizma attēlā. 1, G nav izliekta, jo, piemēram, segments PQ satur punktus, kas atrodas prizmas ārējā telpā.
REGULĀRI POLĪDĒTI
Izliektu daudzskaldni sauc par regulāru, ja tas atbilst šādiem diviem nosacījumiem:
283(i) visas tās skaldnes ir kongruenti regulāri daudzstūri;
(ii) katrai virsotnei ir vienāds skaits tai blakus esošo skaldņu.
Ja visas malas ir pareizas R-gons un q no kuriem atrodas blakus katrai virsotnei, tad šādu regulāru daudzskaldni apzīmē ar ( lpp, q). Šo apzīmējumu ierosināja L. Šlāfli (1814–1895), Šveices matemātiķis, kurš bija atbildīgs par daudziem elegantiem ģeometrijas un matemātiskās analīzes rezultātiem.
Ir neizliekti daudzskaldņi, kuru sejas krustojas un kurus sauc par "regulārajiem zvaigžņu daudzskaldņiem". Tā kā mēs vienojāmies neuzskatīt šādus daudzskaldņus, ar regulāru daudzskaldni mēs domāsim tikai izliektus regulārus daudzskaldņus.
Platoniskas cietvielas.
Attēlā 2 parāda regulāru daudzskaldni. Vienkāršākais no tiem ir regulārs tetraedrs, kura skaldnes ir četri vienādmalu trijstūri un trīs skaldnes ir blakus katrai no virsotnēm. Tetraedrs atbilst apzīmējumam (3, 3). Tas ir nekas vairāk kā īpašs trīsstūrveida piramīdas gadījums. Slavenākais no parastajiem daudzskaldņiem ir kubs (dažkārt saukts par regulāru heksaedru) – taisna kvadrātveida prizma, kuras visas sešas skaldnes ir kvadrāti. Tā kā katrai virsotnei blakus ir 3 kvadrāti, kubs tiek apzīmēts ar (4, 3). Ja divas kongruentas kvadrātveida piramīdas ar vienādmalu trīsstūriem veidotām skaldnēm tiek apvienotas to pamatos, rezultāts ir daudzskaldnis, ko sauc par regulāru oktaedru. To ierobežo astoņi vienādmalu trijstūri, katra no virsotnēm atrodas blakus četriem trijstūriem, un tāpēc tam atbilst apzīmējums (3, 4). Parastu oktaedru var uzskatīt arī par tiešas regulāras trīsstūrveida antiprizmas īpašu gadījumu. Apskatīsim taisnu regulāru piecstūra antiprizmu, kuras skaldnēm ir vienādmalu trijstūri, un divas regulāras piecstūra piramīdas, kuru pamatnes sakrīt ar antiprizmas pamatni, bet skaldnēm ir vienādmalu trijstūri. Ja šīs piramīdas piestiprina pie antiprizmas, izlīdzinot to pamatus, tad iegūstam vēl vienu regulāru daudzskaldni. Divdesmit tās skalas ir vienādmalu trijstūri ar piecām skaldnēm blakus katrai virsotnei. Šādu daudzskaldni sauc par regulāru ikosaedru un apzīmē ar (3, 5). Papildus četriem iepriekš minētajiem regulārajiem daudzskaldņiem ir vēl viens - regulārs dodekaedrs, ko ierobežo divpadsmit piecstūras skalas; katra tā virsotne atrodas blakus trim skaldnēm, tāpēc dodekaedrs tiek apzīmēts kā (5, 3).
Pieci iepriekš uzskaitītie regulārie daudzskaldņi, ko bieži sauc arī par “platoniskām cietām vielām”, senatnes matemātiķu, mistiķu un filozofu iztēli aizrāva pirms vairāk nekā diviem tūkstošiem gadu. Senie grieķi pat izveidoja mistisku atbilstību starp tetraedru, kubu, oktaedru un ikosaedru un četriem dabas principiem – uguni, zemi, gaisu un ūdeni. Kas attiecas uz piekto regulāro daudzskaldni, dodekaedru, viņi to uzskatīja par Visuma formu. Šīs idejas nav tikai pagātne. Un tagad, pēc diviem tūkstošiem gadu, daudzus piesaista pamatā esošais estētiskais princips. Par to, ka tās savu pievilcību nav zaudējušas līdz mūsdienām, ļoti pārliecinoši liecina spāņu mākslinieka Salvadora Dalī glezna pēdējās vakariņas.
Senie grieķi pētīja arī daudzas platonisko cietvielu ģeometriskās īpašības; viņu pētījumu augļi atrodami 13. grāmatā Sākās Eiklīds. Platonisko cietvielu un saistīto figūru izpēte turpinās līdz pat šai dienai. Lai gan skaistums un simetrija ir galvenā mūsdienu pētījumu motivācija, tiem ir arī zināma zinātniska nozīme, īpaši kristalogrāfijā. Galda sāls, nātrija tioantimonīda un hroma alauna kristāli dabā sastopami attiecīgi kuba, tetraedra un oktaedra formā. Ikozaedrs un dodekaedrs nav sastopams starp kristāliskajām formām, bet tos var novērot starp mikroskopisko jūras organismu formām, kas pazīstamas kā radiolarians.
Regulāro daudzskaldņu skaits.
Ir dabiski jautāt, vai bez platoniskām cietvielām ir arī citi regulāri daudzskaldņi. Kā liecina tālāk minētie vienkāršie apsvērumi, atbildei jābūt negatīvai. Ļaujiet ( lpp, q) ir patvaļīgs regulārs daudzskaldnis. Tā kā tās malas ir pareizas R-goni, to iekšējie leņķi, kā viegli parādīt, ir vienādi (180 – 360/ R) vai 180 (1–2/ R) grādiem. Tā kā daudzskaldnis ( lpp, q) izliekta, visu iekšējo leņķu summai gar virsotnēm, kas atrodas blakus jebkurai tās virsotnei, jābūt mazākai par 360 grādiem. Bet katra virsotne ir blakus q sejas, tāpēc nevienlīdzība ir jāapmierina
To nav grūti redzēt lpp Un q ir jābūt lielākam par 2. Aizstāšana 1. punktā R= 3, mēs atklājam, ka vienīgās derīgās vērtības ir qšajā gadījumā ir 3, 4 un 5, t.i. iegūstam daudzskaldni (3, 3), (3, 4) un (3, 5). Plkst R= 4 ir vienīgā derīgā vērtība q ir 3, t.i. daudzskaldnis (4, 3), ar R= 5 nevienādība (1) arī apmierina tikai q= 3, t.i. daudzskaldnis (5, 3). Plkst lpp> 5 derīgas vērtības q neeksistē. Līdz ar to nav citu regulāru daudzskaldņu, izņemot platoniskās cietvielas.
Visi pieci regulārie daudzskaldņi ir uzskaitīti zemāk esošajā tabulā. Pēdējās trīs kolonnas norāda N 0 – virsotņu skaits, N 1 – malu skaits un N 2 – katra daudzskaldņa skaldņu skaits.
Diemžēl daudzās ģeometrijas mācību grāmatās sniegtā regulāra daudzskaldņa definīcija ir nepilnīga. Izplatīta kļūda ir tāda, ka definīcijā ir jāizpilda tikai iepriekš minētais nosacījums (i), bet netiek ņemts vērā nosacījums (ii). Tikmēr nosacījums (ii) ir absolūti nepieciešams, ko visvieglāk pārbaudīt, ņemot vērā izliektu daudzskaldni, kas atbilst (i) nosacījumam, bet neapmierina (ii) nosacījumu. Vienkāršāko šāda veida piemēru var izveidot, identificējot regulāra tetraedra seju ar cita tetraedra virsmu, kas atbilst pirmajam. Rezultātā iegūstam izliektu daudzskaldni, kura sešas skaldnes ir kongruenti vienādmalu trīsstūri. Tomēr dažām virsotnēm blakus ir trīs skaldnes, bet citām ir četras, kas pārkāpj nosacījumu (ii).
|
PIECI REGULĀRI POLĪHĒDI |
||||
| Vārds |
Šlēfli ieraksts |
N 0 |
N 1 |
N 2 |
| Tetraedrs | ||||
| Kubs | ||||
| Oktaedrs | ||||
| Ikozaedrs | ||||
| Dodekaedrs | ||||
Regulāru daudzskaldņu īpašības.
Jebkura regulāra daudzstūra virsotnes atrodas uz sfēras (kas nav pārsteidzoši, ja atceramies, ka jebkura regulāra daudzstūra virsotnes atrodas uz apļa). Papildus šai sfērai, ko sauc par "aprakstīto sfēru", ir vēl divas svarīgas sfēras. Viena no tām, “vidējā sfēra”, iet cauri visu malu viduspunktiem, bet otra, “ierakstītā sfēra”, pieskaras visām skaldnēm to centros. Visām trim sfērām ir kopīgs centrs, ko sauc par daudzskaldņa centru.
Divkāršs daudzskaldnis.
Apsveriet regulāru daudzskaldni ( lpp, q) un tā vidējā sfēra S. Katras malas viduspunkts pieskaras sfērai. Katras malas aizstāšana ar segmentu, kas ir perpendikulāra līnijai, kas pieskaras S tajā pašā punktā mēs iegūstam N 1 daudzskaldņa mala, kas ir dubulta ar daudzskaldni ( lpp, q). Nav grūti parādīt, ka dubultā daudzskaldņa skaldnes ir regulāras q-gons un ka katra virsotne atrodas blakus R sejas. Tāpēc daudzskaldnis ( lpp, q) ir regulāra daudzskaldņa duālis ( q, lpp). Daudzskaldnis (3, 3) ir duāls ar citu daudzskaldni (3, 3), sakrīt ar sākotnējo (tāpēc (3, 3) tiek saukts par pašduālo daudzskaldni), daudzskaldnis (4, 3) ir duāls ar daudzskaldnis (3, 4), un daudzskaldnis (5, 3) ir duāls – daudzskaldnis (3, 5). Attēlā 3 daudzskaldņi (4, 3) un (3, 4) ir parādīti dualitātē viens pret otru. Turklāt katra daudzskaldņa virsotne, katra mala un katra skaldne ( lpp, q) atbilst duālā daudzskaldņa vienīgajai skaldnei, vienīgajai malai un vienīgajai virsotnei ( q, lpp). Tāpēc, ja ( lpp, q) Tā ir N 0 virsotnes, N 1 ribas un N 2 sejas, tad ( q, lpp) Tā ir N 2 virsotnes, N 1 ribas un N 0 sejas.
Tā kā katrs no N 2 regulāra daudzskaldņa skalas ( lpp, q) ierobežots R malas un katra mala ir kopīga tieši divām skaldnēm, tad kopā ir pN 2/2 ribiņas, tātad N 1 = pN 2/2. Duālais daudzskaldnis ( q, lpp) ribas arī N 1 un N 0 sejas, tātad N 1 = qN 0 /2. Tātad skaitļi N 0 , N 1 un N 2 jebkuram regulāram daudzskaldnim ( lpp, q) ir saistīti ar attiecību
Simetrija.
Lielāko interesi par parastajiem daudzskaldņiem izraisa lielais simetriju skaits, kas tiem piemīt. Ar daudzskaldņa simetriju (jeb simetrijas transformāciju) saprotam tā kā stingra ķermeņa kustību telpā (piemēram, rotāciju ap noteiktu taisni, atspulgu attiecībā pret noteiktu plakni utt.), kas atstāj virsotņu, šķautņu kopu. un daudzskaldņa skaldnes paliek nemainīgas. Citiem vārdiem sakot, simetrijas transformācijas rezultātā virsotne, mala vai seja vai nu saglabā savu sākotnējo stāvokli, vai tiek pārvietota uz citas virsotnes, citas malas vai citas virsmas sākotnējo stāvokli.
Ir viena simetrija, kas ir kopīga visiem daudzskaldņiem. Mēs runājam par identitātes transformāciju, kas atstāj jebkuru punktu sākotnējā stāvoklī. Mēs sastopam mazāk triviālu simetrijas piemēru taisnas līnijas gadījumā R- oglekļa prizma. Ļaujiet l– taisna līnija, kas savieno pamatu centrus. Apgriezies l uz jebkuru leņķa veselu skaitli 360/ R grādi ir simetrija. Lai tālāk, lpp- plakne, kas iet pa vidu starp tām paralēlām pamatnēm. Atspulgs attiecībā pret plakni lpp(kustība, kas aizņem jebkuru punktu P tieši tā Pў , tāds, ka lppšķērso segmentu PPў taisnā leņķī un sadala to uz pusēm) - vēl viena simetrija. Atstarojuma apvienošana attiecībā pret plakni lpp ar pagriezienu ap taisnu līniju l, mēs iegūstam citu simetriju.
Jebkuru daudzskaldņa simetriju var attēlot kā atspulgu reizinājumu. Veicot vairākas daudzskaldņa kā stingra ķermeņa kustības, mēs šeit domājam atsevišķu kustību izpildi noteiktā iepriekš noteiktā secībā. Piemēram, iepriekšminētā griešanās leņķī 360/ R grādiem ap taisnu līniju l ir atstarojumu reizinājums attiecībā pret jebkurām divām plaknēm, kas satur l un veidojot viens pret otru leņķi 180/ R grādiem. Simetriju, kas ir pāra atstarojumu reizinājums, sauc par tiešu, pretējā gadījumā to sauc par apgriezto. Tādējādi jebkura rotācija ap taisnu līniju ir tieša simetrija. Jebkurš atspulgs ir apgrieztā simetrija.
Sīkāk aplūkosim tetraedra simetrijas, t.i. regulārs daudzskaldnis (3, 3). Jebkura taisna līnija, kas iet caur jebkuru tetraedra virsotni un centru, iet caur pretējās virsmas centru. 120 vai 240 grādu rotācija ap šo taisni ir viena no tetraedra simetrijām. Tā kā tetraedram ir 4 virsotnes (un 4 skaldnes), mēs iegūstam kopā 8 tiešās simetrijas. Jebkura taisne, kas iet caur tetraedra malas centru un viduspunktu, iet cauri pretējās malas viduspunktam. 180 grādu pagriešana (pusapgrieziens) ap šādu taisnu līniju arī ir simetrija. Tā kā tetraedram ir 3 malu pāri, mēs iegūstam vēl 3 tiešās simetrijas. Līdz ar to kopējais tiešo simetriju skaits, ieskaitot identitātes transformāciju, sasniedz 12. Var parādīt, ka citu tiešo simetriju nav un ir 12 reversās simetrijas. Tādējādi tetraedrs kopumā pieļauj 24 simetrijas. Skaidrības labad ir lietderīgi izveidot parastā tetraedra kartona modeli un pārliecināties, ka tetraedram patiešām ir 24 simetrijas. Izstrādājumi, kurus var izgriezt no plāna kartona un salocīt, salīmēt kopā piecos regulāros daudzskaldņos, ir parādīti attēlā. 4.
Atlikušo regulāro daudzskaldņu tiešās simetrijas var aprakstīt nevis atsevišķi, bet visus kopā. Vienosimies saprast ar ( lpp, q) jebkurš regulārs daudzskaldnis, izņemot (3, 3). Taisna līnija, kas iet caur centru ( lpp, q) un jebkura virsotne, iet cauri pretējai virsotnei, un jebkura rotācija ar veselu skaitļu reizinājumu 360/ q grādi ap šo līniju ir simetrija. Līdz ar to katrai šādai līnijai pastāv, ieskaitot identitātes transformāciju, ( q– 1) dažādas simetrijas. Katra šāda taisna līnija savieno divus no N 0 virsotnes; tāpēc šādu taisnu līniju kopējais skaits ir N 0/2, kas dod ( q – 1) > N 0/2 simetrijas. Turklāt līnija, kas iet caur daudzskaldņa centru ( lpp, q) un jebkuras skaldnes centrs iet caur pretējās skaldnes centru, un jebkura rotācija ap šādu līniju ar veselu skaitļu reizinājumu 360/ R grādi ir simetrija. Tā kā šādu rindu kopējais skaits ir vienāds ar N 2/2, kur N 2 – daudzskaldņa skalu skaits ( lpp, q), mēs saņemam ( lpp – 1) N 2/2 dažādas simetrijas, ieskaitot identitātes transformāciju. Visbeidzot, līnija, kas iet caur daudzskaldņa jebkuras malas centru un viduspunktu ( lpp, q), iet cauri pretējās malas vidum, un simetrija ir pusapgrieziens ap šo līniju. Tā kā ir N 1/2 šādas rindas, kur N 1 – daudzskaldņa malu skaits ( lpp, q), mēs iegūstam vairāk N 1/2 simetrijas. Ņemot vērā identitātes transformāciju, iegūstam
tiešās simetrijas. Citas tiešas simetrijas nav, un ir tikpat daudz apgriezto simetriju.
Lai gan formula (3) netika iegūta daudzskaldnim (3, 3), ir viegli pārbaudīt, vai tā atbilst arī tam. Tādējādi daudzskaldnim (3, 3) ir 12 tiešas simetrijas, daudzskaldnim (4, 3) un (3, 4) ir 24 simetrijas, bet daudzskaldnim (5, 3) un (3, 5) ir 60 simetrijas.
Lasītāji, kas pārzina abstrakto algebru, sapratīs, ka daudzskaldņa simetrijas ( lpp, q) veido grupu attiecībā uz iepriekš definēto “reizināšanu”. Šajā grupā tiešās simetrijas veido indeksa 2 apakšgrupu, bet apgrieztās simetrijas neveido grupu, jo tās pārkāpj noslēgtības īpašību un nesatur identitātes transformāciju (grupas vienības elementu). Parasti tiešo simetriju grupu sauc par daudzskaldņu grupu, un visu simetriju grupu sauc par tās paplašināto grupu. No iepriekš apskatītajām duālo daudzskaldņu īpašībām ir skaidrs, ka jebkuram regulāram daudzskaldnim un tā duālajam daudzskaldnim ir viena un tā pati grupa. Tetraedru grupu sauc par tetraedru grupu, kubu un oktaedru grupu sauc par oktaedru grupu, bet dodekaedru un ikosaedru grupu sauc par ikosaedru grupu. Tie ir izomorfi mainīgajai grupai A 4 no četriem simboliem, simetriska grupa S 4 no četriem simboliem un mainīga grupa A Attiecīgi 5 no piecām rakstzīmēm.
EULERA FORMULA
Aplūkojot tabulu, var pamanīt interesantas attiecības starp virsotņu skaitu N 0, malu skaits N 1 un seju skaits N 2 jebkurš izliekts regulārs daudzskaldnis ( lpp, q). Tas ir par attiecību
Aizvietojot iegūtās izteiksmes formulās (3) un (4), iegūstam, ka daudzskaldņa tiešo simetriju skaits ( lpp, q) vienāds
Šo numuru var uzrakstīt arī vienā no līdzvērtīgām formām: qN 0 , 2N 1 vai pN 2 .
Eilera formulas piemērošanas joma.
Eilera formulas nozīmi palielina fakts, ka tā ir piemērojama ne tikai platoniskām cietām vielām, bet arī jebkuram daudzskaldnim, kas ir homeomorfs sfērai ( cm. TOPLOĢIJA). Šis apgalvojums ir pierādīts šādi.
Ļaujiet P– jebkurš daudzskaldnis, kas ir homeomorfs sfērai, ar N 0 virsotnes, N 1 ribas un N 2 sejas; ļaut c = N 0 – N 1 + N 2 – Eilera raksturlielums daudzskaldnim P. Tas ir jāpierāda c= 2. Kopš R ir homeomorfs sfērai, mēs varam noņemt vienu seju un pārējās pārveidot par kādu konfigurāciju plaknē (piemēram, 5. att., A un 5, b redzat prizmu ar noņemtu priekšējo plakni). "Planāra konfigurācija" ir punktu un taisnu līniju segmentu tīkls, ko attiecīgi sauc par "virsotnēm" un "malām", un virsotnes kalpo kā malu gali. Mēs uzskatām, ka konfigurācijas virsotnes un malas, kuras mēs apsveram, ir pārvietotas un deformētas daudzskaldņa virsotnes un malas. Tātad šī konfigurācija ir N 0 virsotnes un N 1 ribas Atpūta N Daudzskaldņa 2 – 1 skaldnes ir deformētas N 2 – 1 nepārklājas zonas plaknē, ko nosaka konfigurācija. Sauksim šīs zonas par konfigurācijas “sejiņām”. Konfigurācijas virsotnes, malas un skaldnes nosaka Eilera raksturlielumu, kas šajā gadījumā ir vienāds ar c – 1.
Tagad mēs veiksim saplacināšanu, lai, ja noņemtā seja būtu R-kvadrāts, tad tas arī viss N 2–1 konfigurācijas sejas aizpildīs interjeru R-gon. Ļaujiet A– kaut kāda virsotne iekšā R-gon. Pieņemsim, ka iekšā A saplūst r ribas Ja izdzēsīsiet A un tas arī viss r malām saplūstot tajā, tad virsotņu skaits samazināsies par 1, malas - par r, sejas – ieslēgts r – 1 (cm. rīsi. 5, b un 5, V). Jauna konfigurācija Nў 0 = N 0–1 virsotne, Nў 1 = N 1 – r ribas un Nў 2 = N 2 – 1 – (r– 1) sejas; tātad,
Tādējādi, noņemot vienu iekšējo virsotni un tajā saplūstošās malas, konfigurācijas Eilera raksturlielums nemainās. Tāpēc, noņemot visas iekšējās virsotnes un malas, kas saplūst pie tām, mēs tādējādi samazinām konfigurāciju uz R-leņķis un tā iekšpuse (5. att., G). Bet Eilera raksturlielums paliks vienāds ar c– 1, un tā kā konfigurācijā ir R virsotnes, R malas un 1 seja, mēs iegūstam
Tādējādi c= 2, kas bija jāpierāda.
Tālāk mēs varam pierādīt, ka, ja daudzskaldņa Eilera raksturlielums ir vienāds ar 2, tad daudzskaldnis ir homeomorfs sfērai. Citiem vārdiem sakot, mēs varam vispārināt iepriekš iegūto rezultātu, parādot, ka daudzskaldnis ir homeomorfs sfērai tad un tikai tad, ja tā Eilera raksturlielums ir vienāds ar 2.
Vispārējā Eilera formula.
Lai klasificētu citus daudzskaldņus, tiek izmantota vispārinātā Eilera formula. Ja noteiktam daudzskaldnim ir 16 virsotnes, 32 malas un 16 skaldnes, tad tā Eilera raksturlielums ir 16 – 32 + 16 = 0. Tas ļauj apgalvot, ka šis daudzskaldnis pieder toram homeomorfo daudzskaldņu klasei. Šīs klases atšķirīga iezīme ir Eilera raksturlielums, kas ir vienāds ar nulli. Vispārīgāk, ļaujiet R– daudzskaldnis ar N 0 virsotnes, N 1 ribas un N 2 sejas. Viņi saka, ka dots daudzskaldnis ir homeomorfs ģints virsmai n ja un tikai tad
Visbeidzot, jāatzīmē, ka situācija kļūst ievērojami sarežģītāka, ja atslābinām iepriekšējo ierobežojumu, ka nedrīkst krustoties divas daudzskaldņa skalas. Piemēram, pastāv iespēja, ka pastāv divi nehomeomorfi daudzskaldņi ar vienādu Eilera raksturlielumu. Tie ir jāatšķir ar citām topoloģiskām īpašībām.
Daudzskaldnis ir ķermenis, ko ierobežo plakani daudzstūri. Daudzskaldņa elementi ir virsotnes , ribas Un malām . Daudzskaldnis tiek saukts izliekts , ja tas viss atrodas vienā pusē no jebkuras tās virsmas plaknes. Pareizi ir daudzskaldnis, kura skaldnes ir regulāri daudzstūri. Pavisam ir pieci regulāri izliekti daudzskaldņi, kurus pirmais izpētījis un aprakstījis Platons, kurš dzīvoja 5. – 4. gadsimtā pirms mūsu ēras. Tāpēc šos daudzskaldņus sauc arī par " Platoniskas cietvielas ».
1. Tetraedrs (tetraedrs - regulāra trīsstūrveida piramīda) - 4 virsotnes, 4 skaldnes - trīsstūri.
2. Sešskaldnis (sešstūris - kubs) - 8 virsotnes, 6 skaldnes - kvadrāti.
3. Oktaedrs (oktaedrs) – 6 virsotnes, 8 skaldnes – trijstūri.
4. Ikozaedrs (divdesmit pusēm) - 12 virsotnes, 20 skaldnes - trīsstūri.
5. Dodekaedrs (dodekaedrs) - 20 virsotnes, 12 skaldnes - piecstūri.
Eilera formula regulāram daudzskaldnim:
B + G – P =2
Kur IN - daudzskaldņa virsotņu skaits,
G - daudzskaldņa skalu skaits,
R - daudzskaldņa malu skaits.
No izliekto daudzskaldņu daudzveidības vislielāko praktisko interesi rada:
1) prizmas – daudzskaldnis, kura sānu malas ir paralēlas viena otrai un kuru sānu skaldnes ir paralelogrami;
2) piramīdas – daudzskaldnis, kura sānu malas krustojas vienā punktā — virsotnē;
3) prizmatoīdi – daudzskaldnis, ko ierobežo jebkuri divi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs un sauc par pamatiem, un trijstūri vai trapeces, kuru virsotnes ir pamatu virsotnes (8.1. att.).
Lai gan stereometriju mācās tikai vidusskolā, katrs skolēns pazīst kubu, parastās piramīdas un citus vienkāršus daudzskaldņus. Tēmai “Daudzskaldnis” ir spilgti pielietojumi, tostarp glezniecībā un arhitektūrā. Turklāt tas akadēmiķa Aleksandrova tēlainā izteiksmē apvieno “ledu un uguni”, tas ir, spilgtu iztēli un stingru loģiku. Bet skolas stereometrijas kursā maz laika tiek veltīts parastajiem daudzskaldņiem. Taču daudzus ļoti interesē parastie daudzskaldņi, taču stundās nav iespējas par tiem uzzināt vairāk. Tāpēc es nolēmu runāt par visiem parastajiem daudzskaldņiem, kuriem ir dažādas formas un to interesantās īpašības.
Regulāru daudzskaldņu struktūra ir ļoti ērta, lai pētītu daudzskaldņa daudzās transformācijas par sevi (rotācijas, simetrijas utt.). Rezultātā iegūtās transformāciju grupas (tās sauc par simetrijas grupām) izrādījās ļoti interesantas no galīgo grupu teorijas viedokļa. Tāda pati simetrija ļāva izveidot mīklu sēriju regulāru daudzskaldņu veidā, kas sākās ar “Rubika kubu” un “Moldāvijas piramīdu”.
Kopsavilkuma sastādīšanai izmantojām populārzinātnisko un matemātisko žurnālu “Quantum”, no kura tika iegūta informācija par to, kas ir regulārs daudzskaldnis, par to skaitu, par visu regulāro daudzskaldņu uzbūvi un visu rotāciju aprakstu, pie kurām daudzskaldnis. ir apvienota ar sākotnējo stāvokli. No laikraksta "Matemātika" saņēmu interesantu informāciju par stellētajiem regulārajiem daudzskaldņiem, to īpašībām, atklāšanu un pielietojumu.
Tagad jums ir iespēja ienirt pareizā un lieliskā pasaulē, skaistā un neparastā pasaulē, kas aizrauj mūsu acis.
1. Regulāri daudzskaldņi
1. 1 Regulāra daudzskaldņa definīcija.
Izliektu daudzskaldni sauc par regulāru, ja tā skaldnes ir vienādas ar regulāriem daudzskaldņiem un visi daudzskaldņu leņķi ir vienādi.
Apskatīsim iespējamos regulāros daudzskaldņus un, pirmkārt, tos, kuru skaldnes ir regulāri trīsstūri. Vienkāršākais šāds regulārs daudzskaldnis ir trīsstūrveida piramīda, kuras skaldnes ir regulāri trīsstūri. Katrā tās virsotnē satiekas trīs sejas. Šim daudzskaldnim ir tikai četras skaldnes, to sauc arī par regulāru tetraedru vai vienkārši tetraedru, kas tulkojumā no grieķu valodas nozīmē tetraedrs.
Daudzskaldnis, kura skaldnes ir regulāri trīsstūri un katrā virsotnē satiekas četras skaldnes, tā virsma sastāv no astoņiem regulāriem trijstūriem, tāpēc to sauc par oktaedru.
Daudzskaldnis, kura katrā virsotnē satiekas pieci regulāri trīsstūri. Tās virsma sastāv no divdesmit regulāriem trijstūriem, tāpēc to sauc par ikosaedru.
Ņemiet vērā: tā kā izliekta daudzskaldņa virsotnēs nevar satikties vairāk nekā pieci regulāri trijstūri, nav citu regulāru daudzstūru, kuru skaldnes būtu regulāri trīsstūri.
Tāpat, tā kā izliekta daudzskaldņa virsotnēs var saplūst tikai trīs kvadrāti, tad, izņemot kubu, nav citu regulāru daudzskaldņu, kuru skaldnes būtu kvadrāti. Kubam ir sešas skaldnes, un tāpēc to sauc arī par heksaedru.
Daudzskaldnis, kura skaldnes ir regulāri piecstūri un katrā virsotnē satiekas trīs skaldnes. Tā virsma sastāv no divpadsmit regulāriem piecstūriem, tāpēc to sauc par dodekaedru.
No regulāra daudzskaldņa definīcijas izriet, ka regulārs daudzskaldnis ir “pilnīgi simetrisks”: ja atzīmē kādu skaldni G un vienu no tās virsotnēm A, tad jebkurai citai skaldnei G1 un tās virsotnei A1 daudzskaldni var apvienot ar sevi, pārvietojoties telpā tā, lai virsotne G būtu izlīdzināta ar G1 un virsotne A nonāks punktā A1.
1. 2. Vēsturiskais fons.
Pieci iepriekš uzskaitītie regulārie daudzskaldņi, ko bieži sauc arī par “platoniskām cietām vielām”, senatnes matemātiķu, mistiķu un filozofu iztēli aizrāva pirms vairāk nekā diviem tūkstošiem gadu. Senie grieķi pat izveidoja mistisku atbilstību starp tetraedru, kubu, oktaedru un ikosaedru un četriem dabas principiem – uguni, zemi, gaisu un ūdeni. Kas attiecas uz piekto regulāro daudzskaldni, dodekaedru, viņi to uzskatīja par Visuma formu. Šīs idejas nav tikai pagātne. Un tagad, pēc diviem tūkstošiem gadu, daudzus piesaista pamatā esošais estētiskais princips.
Pirmie četri daudzskaldņi bija zināmi ilgi pirms Platona. Arheologi ir atraduši dodekaedru, kas izgatavots etrusku civilizācijas laikā vismaz 500. gadā pirms mūsu ēras. e. Bet acīmredzot Platona skolā dodekaedrs tika atklāts neatkarīgi. Ir leģenda par Platona skolnieku Hipasu, kurš nomira jūrā, jo atklāja "bumbiņas ar divpadsmit piecstūriem" noslēpumu.
Kopš Platona un Eiklida laikiem ir labi zināms, ka pastāv tieši pieci regulāru daudzskaldņu veidi.
Pierādīsim šo faktu. Lai visas noteikta daudzskaldņa skalas ir regulāri n-stūri un k ir virsotnei blakus esošo skaldņu skaits (tas ir vienāds visām virsotnēm). Apskatīsim mūsu daudzskaldņa virsotni A. Ļaujiet M1, M2,. , Mk - k malu gali, kas iznāk no tā; tā kā divskaldņu leņķi šajās malās ir vienādi, AM1M2Mk ir regulāra piramīda: pagriežot 360º/k leņķī ap augstumu AN, virsotne M nonāk M, virsotne M1 – M2. Mk uz M1.
Salīdzināsim vienādsānu trīsstūrus AM1M2 un HM1M2. Tiem ir kopīgs pamats, un sānu mala AM1 ir lielāka par HM1, tātad M1AM2
Tetraedrs 3 3 4 4 6
Kubs 4 3 8 6 12
Oktaedrs 3 4 6 8 12
Dodekaedrs 5 3 20 12 30
Ikozaedrs 3 5 12 20 30
1. 3. Regulāru daudzskaldņu uzbūve.
Visus atbilstošos daudzskaldņus var konstruēt, par pamatu izmantojot kubu.
Lai iegūtu regulāru tetraedru, pietiek paņemt četras kuba virsotnes, kas nav blakus esošas, un no tā nogriezt piramīdas ar četrām plaknēm, no kurām katra iet caur trim no uzņemtajām virsotnēm.
Šādu tetraedru kubā var ierakstīt divos veidos.
Divu šādu regulāru tetraedru krustpunkts ir tikai regulārs oktaedrs: astoņu trīsstūru daudzskaldnis ar virsotnēm, kas atrodas kuba skaldņu centros.
2. Regulāru daudzskaldņu īpašības.
2. 1. Lode un regulāri daudzskaldnis.
Jebkura regulāra daudzstūra virsotnes atrodas uz sfēras (kas nav pārsteidzoši, ja atceramies, ka jebkura regulāra daudzstūra virsotnes atrodas uz apļa). Papildus šai sfērai, ko sauc par "aprakstīto sfēru", ir vēl divas svarīgas sfēras. Viena no tām, “vidējā sfēra”, iet cauri visu malu viduspunktiem, bet otra, “ierakstītā sfēra”, pieskaras visām skaldnēm to centros. Visām trim sfērām ir kopīgs centrs, ko sauc par daudzskaldņa centru.
Ierakstītās sfēras rādiuss Daudzskaldņa nosaukums Ierakstītās sfēras rādiuss
Tetraedrs
Dodekaedrs
Ikozaedrs
2. 1. Daudzskaldņu pašregulācija.
Kādi pašizlīdzinājumi (rotācijas, kas pārvēršas paši par sevi) ir kubam, tetraedram un oktaedram? Ņemiet vērā, ka noteikts punkts, daudzskaldņa centrs, jebkurai pašlīdzināšanai pārvēršas par sevi, tā ka visiem pašlīdzinājumiem ir kopīgs fiksēts punkts.
Apskatīsim, kādas ir griešanās telpā ar fiksētu punktu A. Parādīsim, ka šāda rotācija noteikti ir griešanās noteiktā leņķī ap kādu taisni, kas iet caur punktu A. Ar to pietiek mūsu kustībai F(c F (A) = A), lai norādītu fiksētu taisni. To var atrast šādi: ņemiet vērā trīs punktus M1, M2 = F(M1) un M3 = F(M2), kas atšķiras no fiksētā punkta A, zīmējiet caur tiem plakni un nometiet uz tiem perpendikulāru AN - tas būs vēlamā taisna līnija. (Ja M3 = M1, tad mūsu taisne iet caur segmenta M1M2 vidu, un F ir aksiālā simetrija: rotācija 180° leņķī).
Tātad daudzskaldņa pašlīdzināšana noteikti ir rotācija ap asi, kas iet caur daudzskaldņa centru. Šī ass šķērso mūsu daudzskaldni virsotnē vai malas vai sejas iekšējā punktā. Līdz ar to mūsu pašlīdzināšana pārvērš virsotni, malu vai seju par sevi, kas nozīmē, ka tā pārvērš sevī virsotni, malas vidu vai sejas centru. Secinājums: kuba, tetraedra vai oktaedra kustība, apvienojot to ar sevi, ir rotācija ap vienu no trīs veidu asi: daudzskaldņa centrs ir virsotne, daudzskaldņa centrs ir malas vidus, daudzskaldņa centrs ir sejas centrs.
Parasti, ja daudzskaldnis ir izlīdzināts ar sevi, kad tas tiek pagriezts ap taisnu līniju 360°/m leņķī, tad šo taisni sauc par m-tās kārtas simetrijas asi.
2. 2. Kustība un simetrija.
Lielāko interesi par parastajiem daudzskaldņiem izraisa lielais simetriju skaits, kas tiem piemīt.
Apsverot daudzskaldņu pašizlīdzināšanu, mēs varam iekļaut ne tikai rotācijas, bet arī jebkuras kustības, kas daudzskaldni pārveido par sevi. Šeit kustība ir jebkura telpas transformācija, kas saglabā pāru attālumus starp punktiem.
Papildus apgriezieniem kustību skaitā jāiekļauj arī spoguļa kustības. Starp tiem ir simetrija attiecībā pret plakni (atspoguļošana), kā arī atstarošanas sastāvs attiecībā pret plakni un rotācija ap tai perpendikulāru taisnu līniju (šī ir vispārēja spoguļa kustības forma, kurai ir fiksēts punkts). Protams, šādas kustības nevar realizēt ar nepārtrauktu daudzskaldņa kustību telpā.
Apskatīsim tuvāk tetraedra simetrijas. Jebkura taisna līnija, kas iet caur jebkuru tetraedra virsotni un centru, iet caur pretējās virsmas centru. 120 vai 240 grādu rotācija ap šo taisni ir viena no tetraedra simetrijām. Tā kā tetraedram ir 4 virsotnes (un 4 skaldnes), mēs iegūstam kopā 8 tiešās simetrijas. Jebkura taisne, kas iet caur tetraedra malas centru un viduspunktu, iet cauri pretējās malas viduspunktam. 180 grādu pagriešana (pusapgrieziens) ap šādu taisnu līniju arī ir simetrija. Tā kā tetraedram ir 3 malu pāri, mēs iegūstam vēl 3 tiešās simetrijas. Līdz ar to kopējais tiešo simetriju skaits, ieskaitot identitātes transformāciju, sasniedz 12. Var parādīt, ka citu tiešo simetriju nav un ir 12 reversās simetrijas. Tādējādi tetraedrs kopumā pieļauj 24 simetrijas.
Atlikušo regulāro daudzskaldņu tiešās simetrijas var aprēķināt, izmantojot formulu [(q - 1)N0 + N1 + (p - 1)N2]/2 + 1, kur p ir to regulāro daudzstūru malu skaits, kas ir daudzstūra skalas. daudzskaldnis, q ir katrai virsotnei blakus esošo skaldņu skaits, N0 ir virsotņu skaits, N1 ir malu skaits un N2 ir katra daudzskaldņa skalu skaits.
Heksaedram un oktaedram katram ir 24 simetrijas, bet ikosaedram un dodekaedram katram ir 60 simetrijas.
Visiem regulārajiem daudzskaldņiem ir simetrijas plaknes (tetraedram ir 6 no tām, kubam un oktaedram ir 9, ikosaedram un dodekaedram ir 15 katrā).
2. 3. Zvaigžņu daudzskaldnis.
Papildus parastajiem daudzskaldņiem zvaigžņu daudzskaldņiem ir skaistas formas. Tādas ir tikai četras. Pirmos divus atklāja J. Keplers (1571 - 1630), bet pārējos divus gandrīz 200 gadus vēlāk uzcēla L. Puansots (1777 - 1859). Tāpēc parastos zvaigžņu daudzskaldņus sauc par Keplera-Puasota ķermeņiem. Tos iegūst no parastajiem daudzskaldņiem, pagarinot to malas vai malas. Franču ģeometrs Puanso 1810. gadā izveidoja četrus regulārus zvaigžņu daudzskaldņus: mazo zvaigžņu dodekaedru, lielo dodekaedru ar zvaigznēm, lielo dodekaedru un lielo ikosaedru. Šiem četriem daudzskaldņiem ir skaldnes, kas krustojas ar regulāru daudzskaldni, un diviem no tiem katra skala ir paškrustojošs daudzstūris. Bet Puansots nespēja pierādīt, ka nav citu regulāru daudzskaldņu.
Gadu vēlāk (1811. gadā) to izdarīja franču matemātiķis Augustins Luiss Košī (1789-1857). Viņš izmantoja to, ka saskaņā ar regulāra daudzskaldņa definīciju to var uzklāt uz sevi tā, ka tā patvaļīga virsma sakrīt ar iepriekš izvēlēto. No tā izriet, ka visas zvaigžņu daudzskaldņa skalas atrodas vienādā attālumā no kāda daudzskaldnī ierakstītā sfēras punkta-centra.
Zvaigžņotā daudzskaldņa plaknes, kas krustojas, veido arī regulāru izliektu daudzskaldni, tas ir, platonisku cietvielu, kas aprakstīta ap to pašu sfēru. Košī šo platonisko cieto vielu sauca par šī zvaigžņu daudzskaldņa kodolu. Tādējādi zvaigžņu daudzskaldni var iegūt, turpinot vienas Platona cietas virsmas plaknes.
Nav iespējams iegūt zvaigžņu daudzskaldni no tetraedra, kuba vai oktaedra. Apskatīsim dodekaedru. Tā malu turpināšana noved pie katras sejas aizstāšanas ar zvaigžņu regulāru piecstūri, un rezultāts ir mazs zvaigžņu dodekaedrs.
Dodekaedra skaldņu turpinājumā ir iespējami šādi divi gadījumi: 1) ja ņemam vērā regulārus piecstūrus, tad iegūstam lielu dodekaedru.
2) ja par sejām uzskatām zvaigžņu piecstūrus, tad iegūstam lielu zvaigžņotu dodekaedru.
Ikozaedram ir viena zvaigznāja forma. Paplašinot regulāra ikosaedra malu, iegūst lielu ikosaedru.
Tādējādi pastāv četri parasto zvaigžņu daudzskaldņu veidi.
Zvaigžņu daudzskaldņi ir ļoti dekoratīvi, kas ļauj tos plaši izmantot juvelierizstrādājumu nozarē visu veidu rotaslietu ražošanā.
Daudzas zvaigžņu daudzskaldņu formas ierosina pati daba. Sniegpārslas ir zvaigznes formas daudzskaldņi. Kopš seniem laikiem cilvēki ir mēģinājuši aprakstīt visus iespējamos sniegpārslu veidus un sastādījuši īpašus atlantus. Tagad ir zināmi vairāki tūkstoši dažādu sniegpārslu veidu.
Secinājums
Darbs aptver šādas tēmas: regulāri daudzskaldņi, regulāru daudzskaldņu konstruēšana, pašsalīdzināšana, kustība un simetrijas, stellētie daudzskaldņi un to īpašības. Mēs uzzinājām, ka ir tikai pieci regulāri daudzskaldņi un četri zvaigžņu regulāri daudzskaldņi, kas tiek plaši izmantoti dažādās jomās.
Platonisko cietvielu un saistīto figūru izpēte turpinās līdz pat šai dienai. Lai gan skaistums un simetrija ir galvenā mūsdienu pētījumu motivācija, tiem ir arī zināma zinātniska nozīme, īpaši kristalogrāfijā. Galda sāls, nātrija tioantimonīda un hroma alauna kristāli dabā sastopami attiecīgi kuba, tetraedra un oktaedra formā. Ikozaedrs un dodekaedrs nav sastopams starp kristāliskajām formām, bet tos var novērot starp mikroskopisko jūras organismu formām, kas pazīstamas kā radiolarians.
Platona un Keplera idejas par regulāru daudzskaldņu saistību ar harmonisko pasaules uzbūvi mūsdienās ir turpinātas interesantā zinātniskā hipotēzē, kas 80. gadu sākumā. izteikuši Maskavas inženieri V. Makarovs un V. Morozovs. Viņi uzskata, ka Zemes kodolam ir augoša kristāla forma un īpašības, kas ietekmē visu uz planētas notiekošo dabisko procesu attīstību. Šī kristāla stari, pareizāk sakot, tā spēka lauks nosaka Zemes ikosaedra-dodekaedra struktūru. Tas izpaužas ar to, ka zemes garozā parādās regulāru daudzskaldņu projekcijas, kas ierakstītas zemeslodē: ikosaedrs un dodekaedrs.
Daudzas derīgo izrakteņu atradnes stiepjas gar ikosaedra-dodekaedra režģi; Daudzskaldņu malu 62 virsotnēm un viduspunktiem, ko autori dēvē par mezgliem, ir vairākas specifiskas īpašības, kas ļauj izskaidrot dažas nesaprotamas parādības. Šeit atrodas seno kultūru un civilizāciju centri: Peru, Ziemeļmongolija, Haiti, Ob kultūra un citi. Šajos punktos tiek novērots maksimālais un minimālais atmosfēras spiediens un Pasaules okeāna milzu virpuļi. Šajos mezglos ir Loch Ness un Bermudu trijstūris. Turpmākie Zemes pētījumi var noteikt attieksmi pret šo zinātnisko hipotēzi, kurā, kā redzams, nozīmīgu vietu ieņem regulārie daudzskaldņi.
Regulāru daudzskaldņu struktūra ir ļoti ērta, lai pētītu daudzskaldņa daudzās transformācijas par sevi (rotācijas, simetrijas utt.). Rezultātā iegūtās transformāciju grupas (tās sauc par simetrijas grupām) izrādījās ļoti interesantas no galīgo grupu teorijas viedokļa. Tā pati simetrija ļāva izveidot mīklu sēriju regulāru daudzskaldņu formā, kas sākās ar “Rubika kubu” un “Moldāvijas piramīdu”.
Lielu interesi par regulāro daudzskaldņu formām izrādīja arī tēlnieki, arhitekti un mākslinieki. Viņi visi bija pārsteigti par daudzskaldņu pilnību un harmoniju. Leonardo da Vinči (1452 - 1519) interesējās par daudzskaldņu teoriju un bieži tos attēloja uz saviem audekliem. Gleznā “Pēdējais vakarēdiens” Salvadors Dalī attēloja Jēzu Kristu ar saviem mācekļiem uz milzīga caurspīdīga dodekaedra fona.
Ievads
Virsmu, kas sastāv no daudzstūriem un ierobežo kādu ģeometrisku ķermeni, sauc par daudzskaldņu virsmu vai daudzskaldni.
Daudzskaldnis ir norobežots ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita daudzstūru. Daudzstūrus, kas savieno daudzskaldni, sauc par skaldnēm, un skalu krustošanās līnijas sauc par malām.
Daudzskaldni var būt daudzveidīga un ļoti sarežģīta struktūra. Daudzskaldņu piemēri ir dažādas konstrukcijas, piemēram, mājas, kas tiek būvētas, izmantojot ķieģeļus un betona blokus. Citus piemērus var atrast starp mēbelēm, piemēram, galdu. Ķīmijā ogļūdeņražu molekulu forma ir tetraedrs, regulārs divdesmitedrs, kubs. Fizikā kristāli kalpo kā daudzskaldņu piemēri.
Kopš seniem laikiem idejas par skaistumu ir saistītas ar simetriju. Tas, iespējams, izskaidro cilvēku interesi par daudzskaldni – pārsteidzošiem simetrijas simboliem, kas piesaistīja izcilu domātāju uzmanību, kuri bija pārsteigti par šo figūru skaistumu, pilnību un harmoniju.
Pirmie daudzskaldņu pieminējumi ir zināmi trīs tūkstošus gadu pirms mūsu ēras Ēģiptē un Babilonijā. Pietiek atgādināt slavenās Ēģiptes piramīdas un slavenāko no tām - Heopsa piramīdu. Šī ir regulāra piramīda, kuras pamatnē ir kvadrāts ar 233 m malu un kura augstums sasniedz 146,5 m. Nav nejaušība, ka viņi saka, ka Heopsa piramīda ir kluss traktāts par ģeometriju.
Regulāro daudzskaldņu vēsture aizsākās senos laikos. Sākot ar 7. gadsimtu pirms mūsu ēras, Senajā Grieķijā tika izveidotas filozofiskās skolas, kurās notika pakāpeniska pāreja no praktiskās uz filozofisko ģeometriju. Lielu nozīmi šajās skolās ieguva argumentācija, ar kuras palīdzību bija iespējams iegūt jaunas ģeometriskās īpašības.
Viena no pirmajām un slavenākajām skolām bija Pitagora skola, kas nosaukta tās dibinātāja Pitagora vārdā. Pitagoriešu atšķirīgā zīme bija pentagramma, matemātikas valodā tas ir regulārs neizliekts vai zvaigznes formas piecstūris. Pentagrammai tika piešķirta spēja aizsargāt cilvēku no ļaunajiem gariem.
Pitagorieši uzskatīja, ka matērija sastāv no četriem pamatelementiem: uguns, zemes, gaisa un ūdens. Viņi piecu regulāru daudzskaldņu esamību attiecināja uz matērijas un Visuma uzbūvi. Saskaņā ar šo viedokli galveno elementu atomiem jābūt dažādu ķermeņu formā:
§ Visums ir dodekaedrs
§ Zeme - kubs
§ Uguns – tetraedrs
§ Ūdens – ikosaedrs
§ Gaiss - oktaedrs
Vēlāk pitagoriešu mācību par regulārajiem daudzskaldņiem savos darbos iezīmēja cits sengrieķu zinātnieks, ideālists filozofs Platons. Kopš tā laika regulāri daudzskaldņi ir kļuvuši pazīstami kā platoniskas cietvielas.
Platoniskas cietvielas ir regulāri viendabīgi izliekti daudzstūri, tas ir, izliekti daudzskaldņi, kuru visas skaldnes un leņķi ir vienādi, bet skaldnes ir regulāri daudzstūri. Katrā regulāra daudzskaldņa virsotnē saplūst vienāds skaits malu. Visi divstūra leņķi pie malām un visi daudzskaldņu leņķi regulāra daudzstūra virsotnēs ir vienādi. Platoniskas cietvielas ir plakanu regulāru daudzstūru trīsdimensiju analogs.
Daudzskaldņu teorija ir mūsdienu matemātikas nozare. Tas ir cieši saistīts ar topoloģiju, grafu teoriju, un tam ir liela nozīme gan teorētiskajiem pētījumiem ģeometrijā, gan praktiskajam pielietojumam citās matemātikas nozarēs, piemēram, algebrā, skaitļu teorijā, lietišķajā matemātikā - lineārajā programmēšanā, optimālās vadības teorijā. Tādējādi šī tēma ir aktuāla, un zināšanas par šo jautājumu ir svarīgas mūsdienu sabiedrībai.
Galvenā daļa
Daudzskaldnis ir norobežots ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita daudzstūru.
Sniegsim daudzskaldņa definīciju, kas ir līdzvērtīga pirmajai daudzskaldņa definīcijai.
Daudzskaldnis – Šis ir skaitlis, kas ir ierobežota skaita tetraedru savienojums, kuram ir izpildīti šādi nosacījumi:
1) katriem diviem tetraedriem nav kopīgu punktu, vai tiem ir kopēja virsotne, vai tikai kopēja mala, vai vesela kopēja virsma;
2) no katra tetraedra uz otru var iet pa tetraedru ķēdi, kurā katrs nākamais atrodas blakus iepriekšējam pa visu seju.
Daudzskaldņu elementi
Daudzskaldņa seja ir noteikts daudzstūris (daudzstūris ir ierobežots slēgts laukums, kura robeža sastāv no ierobežota skaita segmentu).
Sciļņu malas sauc par daudzskaldņa malām, un skaldņu virsotnes sauc par daudzskaldņa virsotnēm. Daudzskaldņa elementi papildus tā virsotnēm, šķautnēm un skaldnēm ietver arī plakanos leņķus un divskaldņa leņķus tā malās. Divskaldņa leņķi pie daudzskaldņa malas nosaka tā skaldnes, kas tuvojas šai malai.
Daudzskaldņu klasifikācija
Izliekts daudzskaldnis - ir daudzskaldnis, kura jebkurus divus punktus var savienot ar segmentu. Izliektajiem daudzskaldņiem ir daudz ievērojamu īpašību.
Eilera teorēma. Jebkuram izliektam daudzskaldnim V-R+G=2,
Kur IN - tā virsotņu skaits, R - tā ribu skaits, G - tā seju skaits.
Košī teorēma. Divi slēgti izliekti daudzskaldņi, kas identiski sastāv no attiecīgi vienādām skaldnēm, ir vienādi.
Izliekts daudzskaldnis tiek uzskatīts par regulāru, ja visas tā skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri un vienāds malu skaits saplūst katrā tā virsotnē.
Regulārs daudzskaldnis
Daudzskaldni sauc par regulāru, ja, pirmkārt, tas ir izliekts, otrkārt, visas tā skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri, treškārt, katrā tā virsotnē sastopas vienāds skalu skaits un, ceturtkārt, visi tā divskaldņu leņķi ir vienādi.
Ir pieci izliekti regulāri daudzskaldņi - tetraedrs, oktaedrs un ikosaedrs ar trīsstūrveida skaldnēm, kubs (heksaedrs) ar kvadrātveida skaldnēm un dodekaedrs ar piecstūrveida skaldnēm. Šī fakta pierādījums ir zināms vairāk nekā divus tūkstošus gadu; ar šo pierādījumu un piecu regulāro ķermeņu izpēti ir pabeigti Eiklida elementi (sengrieķu matemātiķis, pirmo līdz mums nonākušo matemātikas teorētisko traktātu autors). Kāpēc parastie daudzskaldņi ieguva šādus nosaukumus? Tas ir saistīts ar viņu seju skaitu. Tetraedram ir 4 sejas, kas tulkojumā no grieķu valodas "tetra" - četras, "hedron" - seja. Heksaedram (kubam) ir 6 skaldnes, “heksaedram” ir sešas; oktaedrs - oktaedrs, "oktaedrs" - astoņi; dodekaedrs - dodekaedrs, "dodekaedrs" - divpadsmit; Ikozaedram ir 20 skaldnes, bet ikosi ir divdesmit.
2.3. Parasto daudzskaldņu veidi:
1) Regulārs tetraedrs(sastāv no četriem vienādmalu trijstūriem. Katra tā virsotne ir trīs trīsstūru virsotne. Tāpēc plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 180 0);
2)Kubs- paralēlskaldnis, kura visas sejas ir kvadrātveida. Kubs sastāv no sešiem kvadrātiem. Katra kuba virsotne ir trīs kvadrātu virsotne. Tāpēc plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 270 0.
3) Regulārs oktaedrs vai vienkārši oktaedrs– daudzskaldnis ar astoņām regulārām trīsstūrveida skaldnēm un četrām skaldnēm, kas saskaras katrā virsotnē. Oktaedrs sastāv no astoņiem vienādmalu trijstūriem. Katra oktaedra virsotne ir četru trīsstūru virsotne. Tāpēc plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 240 0. To var uzbūvēt, salokot divu piramīdu pamatus, kuru pamati ir kvadrāti, bet sānu skaldnes ir regulāri trīsstūri. Oktaedra malas var iegūt, savienojot kuba blakus esošo skaldņu centrus, bet, ja savienojam regulāra oktaedra blakus esošo skaldņu centrus, iegūstam kuba malas. Viņi saka, ka kubs un oktaedrs ir viens otram duāli.
4)Ikozaedrs- sastāv no divdesmit vienādmalu trijstūriem. Katra ikosaedra virsotne ir piecu trīsstūru virsotne. Tāpēc plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir vienāda ar 300 0.
5) Dodekaedrs- daudzskaldnis, kas sastāv no divpadsmit regulāriem piecstūriem. Katra dodekaedra virsotne ir trīs regulāru piecstūru virsotne. Tāpēc plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 324 0.
Dodekaedrs un ikosaedrs ir arī duāli viens otram tādā nozīmē, ka savienojot ikosaedra blakus esošo skaldņu centrus ar segmentiem, mēs iegūstam dodekaedru un otrādi.
Parasts tetraedrs ir duāls ar sevi.
Turklāt nav regulāra daudzskaldņa, kura skaldnes būtu regulāri sešstūri, septiņstūri un n-stūri, ja n ≥ 6.
Regulārs daudzskaldnis ir daudzskaldnis, kura visas skaldnes ir regulāri vienādi daudzstūri un visi divskaldņu leņķi ir vienādi. Bet ir arī daudzskaldņi, kuros visi daudzskaldņu leņķi ir vienādi, un skaldnes ir regulāras, bet pretējas regulāriem daudzstūriem. Šāda veida daudzskaldņus sauc par līdzstūra pusregulāriem daudzskaldņiem. Šāda veida daudzskaldņus pirmais atklāja Arhimēds. Viņš sīki aprakstīja 13 daudzskaldņus, kurus vēlāk par godu izcilajam zinātniekam nosauca par Arhimēda ķermeņiem. Tie ir saīsināts tetraedrs, nošķelts oksaedrs, nošķelts ikosaedrs, nošķelts kubs, nošķelts dodekaedrs, kuboktaedrs, ikozidodekaedrs, nošķelts kuboktaedrs, saīsināts ikozidodekaedrs, atdalīts ikozidodekaedrs, rhombichoubhedron, rhombichoubohedron būt, "snub" (kur deguns) dodekaedrs.
2.4. Pusregulāri daudzskaldņi jeb Arhimēda cietvielas ir izliekti daudzskaldņi ar divām īpašībām:
1. Visas skaldnes ir divu vai vairāku veidu regulāri daudzstūri (ja visas skaldnes ir viena veida regulāri daudzstūri, tas ir regulārs daudzstūris).
2. Jebkuram virsotņu pārim ir daudzskaldņa simetrija (tas ir, kustība, kas pārveido daudzskaldni par sevi), pārnesot vienu virsotni uz otru. Jo īpaši visi daudzskaldņu virsotņu leņķi ir kongruenti.
Papildus pusregulārajiem daudzskaldņiem no parastajiem daudzskaldņiem – platoniskām cietvielām – var iegūt tā sauktos parastos zvaigžņu daudzskaldņus. Tie ir tikai četri, tos sauc arī par Keplera-Puasota ķermeņiem. Keplers atklāja nelielu dodekaedru, ko viņš sauca par dzeloņainu jeb ezi, un lielu dodekaedru. Puansots atklāja divus citus regulārus zvaigžņu daudzskaldņus, kas ir attiecīgi duāli ar pirmo 
divi: lielais zvaigžņu dodekaedrs un lielais ikosaedrs.
Divi tetraedri, kas iet viens caur otru, veido oktaedru. Johanness Keplers šim skaitlim deva nosaukumu “stella octangula” - “astoņstūra zvaigzne”. Tas ir sastopams arī dabā: tas ir tā sauktais dubultkristāls.
Regulāra daudzskaldņa definīcijā vārds “izliekts” tika apzināti neuzsvērts - rēķinoties ar šķietamo acīmredzamību. Un tas nozīmē papildu prasību: "un visas virsmas atrodas vienā plaknes pusē, kas iet cauri jebkurai no tām." Ja mēs atteiksimies no šāda ierobežojuma, tad platoniskajām cietām vielām papildus “paplašinātajam oktaedram” mums būs jāpievieno vēl četri daudzskaldņi (tos sauc par Keplera-Puasota cietvielām), no kurām katra būs “gandrīz regulāra”. Tos visus iegūst Platonova “lomā” 
ķermenis, tas ir, pagarinot tā malas, līdz tās krustojas viena ar otru, un tāpēc tos sauc par zvaigznēm. Kubs un tetraedrs neģenerē jaunas figūras – to sejas, lai cik daudz turpinātu, nekrustojas.
Ja jūs pagarināsiet visas oktaedra skaldnes, līdz tās krustojas viena ar otru, jūs iegūsit figūru, kas parādās, kad divi tetraedri iekļūst savā starpā - "stella octangula", ko sauc par "paplašinātu". 
oktaedrs."
Ikozaedrs un dodekaedrs dod pasaulei četrus “gandrīz regulārus daudzskaldņus” vienlaikus. Viens no tiem ir mazais zvaigžņu dodekaedrs, kuru pirmo reizi ieguva Johanness Keplers.
Gadsimtiem ilgi matemātiķi neatzina visu veidu zvaigžņu tiesības saukt par daudzstūriem, jo to malas krustojas. Ludvigs Šlefli neizslēdza ģeometrisku ķermeni no daudzskaldņu saimes tikai tāpēc, ka tā sejas krustojās; tomēr viņš palika nelokāms, tiklīdz saruna pievērsās mazajam dodekaedram. Viņa arguments bija vienkāršs un smags: šis Keplera dzīvnieks nepakļaujas Eilera formulai! Tā muguriņas veidojas 
divpadsmit skaldnes, trīsdesmit malas un divpadsmit virsotnes, un tāpēc B+G-R nemaz nav vienāds ar diviem.
Šlāfli bija gan pareizi, gan nepareizi. Protams, ģeometriskais ezis nav tik dzeloņains, lai saceltos pret nekļūdīgo formulu. Jums vienkārši nav jāuzskata, ka to veido divpadsmit krustojošās zvaigznes formas sejas, bet gan jāskatās uz to kā uz vienkāršu, godīgu ģeometrisku ķermeni, kas sastāv no 60 trijstūriem ar 90 malām un 32 virsotnēm.
Tad B+G-R=32+60-90, kā gaidīts, ir vienāds ar 2. Bet tad vārds “pareizi” uz šo daudzskaldni neattiecas - galu galā tā skaldnes tagad nav vienādmalu, bet gan vienādsānu trīsstūri. Keplers to nedarīja 
saprata, ka viņa saņemtajam skaitlim ir dubults.
Daudzskaldni, ko sauc par "lielo dodekaedru", uzcēla franču ģeometrs Luijs Puansots divus simtus gadus pēc Keplera zvaigžņu figūrām.
Lielo ikosaedru pirmo reizi aprakstīja Luiss Puansots 1809. gadā. Un atkal Keplers, ieraudzījis lielu zvaigžņu dodekaedru, otrās figūras atklāšanas godu atstāja Luijam Puanso. Šie skaitļi arī daļēji atbilst Eilera formulai.
Praktiska lietošana
Daudzskaldnis dabā
Regulāri daudzskaldņi ir visizdevīgākās formas, tāpēc tās ir plaši izplatītas dabā. To apstiprina dažu kristālu forma. Piemēram, galda sāls kristāli ir kuba formas. Alumīnija ražošanā tiek izmantots alumīnija-kālija kvarcs, kura monokristālam ir regulāra oktaedra forma. Sērskābes, dzelzs un īpašu cementa veidu ražošanu nevar veikt bez sēra pirītiem. Šīs ķīmiskās vielas kristāliem ir dodekaedra forma. Antimona nātrija sulfātu, zinātnieku sintezētu vielu, izmanto dažādās ķīmiskās reakcijās. Nātrija antimona sulfāta kristālam ir tetraedra forma. Pēdējais regulārais daudzskaldnis, ikosaedrs, nodod bora kristālu formu.
Zvaigznes formas daudzskaldņi ir ļoti dekoratīvi, kas ļauj tos plaši izmantot juvelierizstrādājumu nozarē visu veidu rotaslietu ražošanā. Tos izmanto arī arhitektūrā. Daudzas zvaigžņu daudzskaldņu formas ierosina pati daba. Sniegpārslas ir zvaigznes formas daudzskaldņi. Kopš seniem laikiem cilvēki ir mēģinājuši aprakstīt visus iespējamos sniegpārslu veidus un sastādījuši īpašus atlantus. Tagad ir zināmi vairāki tūkstoši dažādu sniegpārslu veidu.
Regulāri daudzskaldņi sastopami arī dzīvajā dabā. Piemēram, vienšūnas organisma Feodari (Circjgjnia icosahtdra) skelets ir veidots kā ikosaedrs. Lielākā daļa feodariju dzīvo jūras dziļumos un kalpo par upuri koraļļu zivīm. Bet vienkāršākais dzīvnieks sevi aizsargā ar divpadsmit muguriņām, kas izplūst no 12 skeleta virsotnēm. Tas vairāk izskatās pēc zvaigžņu daudzskaldņa. 
Daudzskaldni varam novērot arī ziedu formā. Spilgts piemērs ir kaktusi.
Saistītā informācija.
Atcerēsimies daudzskaldņa definīcijas un dažus tā veidus.
Daudzskaldnis - tas ir norobežots ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita daudzstūru. Izliekts daudzskaldnis atrodas vienā pusē katram no daudzstūriem, kas to ierobežo. Daudzstūri uz daudzskaldņa virsmas sauc par daudzstūri mala. Seju puses sauc ribas daudzskaldnis, un skaldņu virsotnes ir daudzskaldņa virsotnes.
Vienkāršākās daudzskaldnis ir prizmas un piramīdas. Prizma ir daudzskaldnis, kurā divas skaldnes, ko sauc par prizmas pamatiem, ir vienādas un to atbilstošās malas ir paralēlas, bet pārējās skaldnes ir paralelogrami, no kurām katrai ir divas malas, kas ir atbilstošās pamatu malas.
Prizmu sauc taisni, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnei.
Tiek saukta taisna prizma pareizi, ja tā pamatne ir regulārs daudzstūris.
Prizmu, kuras pamats ir paralelograms, sauc par paralēlskaldni.
Paralēlskaldni sauc taisnstūrveida, ja visas tās sejas ir taisnstūri.
Kubs - Tas ir taisnstūra paralēlskaldnis, kura visas malas ir vienādas, t.i. kuru visas malas ir kvadrāti.
Attēlosim, piemēram, slīpu prizmu, kuras pamatne ir kvadrāti.
Vispirms izveidosim prizmas apakšējo pamatni (varat sākt no augšas). Saskaņā ar paralēlās projektēšanas noteikumiem tas tiks attēlots
patvaļīgs paralelograms ABCD(att. a). Tā kā prizmas malas ir paralēlas, mēs veidojam paralēlas līnijas, kas iet caur konstruētā paralelograma virsotnēm, un uz tām uzliekam vienādus segmentus AA", BB", SS", BB", kura garums ir patvaļīgs. Punktu savienošana virknē A", B", C, D", mēs iegūstam četrstūri A"B"C"D" kas attēlo prizmas augšējo pamatni. To pierādīt nav grūti A"B"C"D" - paralelograms vienāds ar paralelogramu ABCD un līdz ar to mums ir prizmas attēls, kuras pamati ir vienādi kvadrāti, bet pārējās skaldnes ir paralelogrami.
Ja nepieciešams attēlot taisnu prizmu, kuras pamatnes ir kvadrāti, tad var parādīt, ka šīs prizmas sānu malas ir perpendikulāras pamatnei, kā tas ir izdarīts b attēlā.
Ļaujiet mums tagad uzzināt, kā attēlot piramīdu plaknē.
Piramīda sauc par daudzskaldni, kurā viena skaldne (to sauc par pamatu) ir sava veida daudzstūris, bet pārējās skaldnes (tās sauc par sānu) ir trīsstūri ar kopīgu virsotni.
Tiek saukta sānu skaldņu kopējā virsotne tops piramīdas. No piramīdas virsotnes līdz tās pamatnes plaknei nomestais perpendikuls, kā arī šī perpendikula garums tiek saukts augstums piramīdas.
Vienkāršākā piramīda ir trīsstūrveida piramīda - tetraedrs. Tam ir mazākais iespējamais seju skaits - tikai četras. Jebkuru tā seju var uzskatīt par pamatu, kas atšķir tetraedru no citām piramīdām.
Piramīdu sauc pareizi, ja tā pamatne ir regulārs daudzstūris un tā augstums iet caur šī daudzstūra centru.
Lai attēlotu regulāru piramīdu, vispirms uzzīmējiet regulāru daudzstūri, kas atrodas pie pamatnes, un tā centrs ir punkts O . Pēc tam uzzīmējiet vertikālu segmentu OS , kas attēlo piramīdas augstumu. Ņemiet vērā, ka segmenta OS vertikāle nodrošina lielāku zīmējuma skaidrību. Visbeidzot, punkts S ir savienots ar visām pamatnes virsotnēm.
Attēlosim, piemēram, regulāru piramīdu, kuras pamats ir regulārs sešstūris.
Lai paralēlas projektēšanas laikā pareizi attēlotu regulāru sešstūri, jums jāpievērš uzmanība sekojošajam. Ļaujiet ABCDEF - regulārs sešstūris. Tad VISI - taisnstūris (att.) un tāpēc paralēlās projektēšanas laikā tas tiks attēlots kā patvaļīgs paralelograms B"C"E"F". Kopš diagonāles AD iet caur punktu O - daudzstūra centrs ABCDEF un paralēli segmentiem Sv Un EF un AS = OD, tad ar paralēlu dizainu tas tiks attēlots ar patvaļīgu griezumu A "D", iet caur punktu PAR" paralēli B"C" Un E"F" un turklāt, A"O" = 0"D".
Tādējādi sešstūra piramīdas pamatnes konstruēšanas secība ir šāda (att.):
Uzzīmējiet patvaļīgu paralelogramu B"C"E"F" un tās diagonāles; atzīmējiet to krustošanās punktu PAR";
- caur punktu PAR" novilkt taisnu līniju paralēli B"C"(vai E"F");
- izvēlieties patvaļīgu punktu uz konstruētās līnijas A" un atzīmējiet punktu D" tāds, ka 0"D" = A"O" un savienojiet punktu A" ar punktiem IN" Un F" un punkts D" ar punktiem AR" Un E".
Lai pabeigtu piramīdas būvniecību, uzzīmējiet vertikālu segmentu OS (tā garums ir izvēlēts patvaļīgi) un savienojiet punktu S ar visām pamatnes virsotnēm.
Noslēdzot daudzskaldņu apskatu, atzīmēsim vēl vienu interesantu to īpašību, ko konstatējis L. Eilers.
Eilera teorēma. Dots izliekts daudzskaldnis un B - tā virsotņu skaits, P - ribu skaits, G - seju skaits. Tad B + G - P == 2 jebkuram izliektam daudzskaldnim. Piemēram, regulārai sešstūra piramīdai ir 7 virsotnes ( B = 7), 12 malas (P = 12) un 7 skaldnes (G = 7). Tad B + G - P = 7 - 12 + 7 = 2. Pamatojoties uz Eilera teorēmu, varam secināt, ka pastāv pieci un tikai pieci regulāru daudzskaldņu veidi, t.i. tādi izliekti daudzskaldņi, kuru visas skaldnes ir vienādi regulāri daudzstūri un vienāds skaits malu saplūst katrā virsotnē. Tie ir tetraedrs, kubs, oktaedrs, ikosaedrs, dodekaedrs (att.).
