Studiul cauzelor distrugerii diferitelor structuri a arătat că pentru funcționarea fiabilă a unei structuri sub sarcină nu este suficient pentru a face elementele sale puternice, este, de asemenea, necesar să se asigure păstrarea formei originale de echilibru a ambelor elemente. și întreaga structură în ansamblu.
Echilibrul poate fi:
Durabil
Indiferent
Instabil
Echilibrul se numește durabil dacă la o mică abatere de la poziţia de echilibru sistemul revine la poziţia iniţială.
Figura 1.1.„Echilibrul stabil”
Echilibrul se numește instabil dacă sistemul nu revine la poziția inițială după eliminarea cauzelor care au cauzat abaterea, ci se abate și mai mult de la aceasta.
Figura 1.2.„Echilibru instabil”
Echilibrul se numește indiferent dacă noua poziţie a sistemului după abaterea de la cea iniţială rămâne poziţia de echilibru şi după înlăturarea influenţei externe.
Figura 1.3.„Echilibru indiferent”
Natura echilibrului corpurilor elastice depinde în mod semnificativ de mărimea forțelor care acționează asupra lor, de exemplu, forma de echilibru a unei tije drepte lungi supusă compresiunii axiale este stabilă doar până la o anumită valoare a forței de compresiune.
Dacă o astfel de tijă la valori scăzute ale forței P se abate ușor de la poziția inițială, apoi atunci când motivele care au cauzat această abatere sunt eliminate, acesta își va lua din nou forma rectilinie inițială.
Fig. 2."Compresie axiala"
Cu putere crescândă P tija va reveni la forma sa rectilinie inițială din ce în ce mai lent și, în final, la o anumită valoare a forței P, numită critică, tija nu se va îndrepta, ci va păstra forma care i s-a dat. Astfel, când valoarea forţei P egal cu cel critic, tija se va afla in conditii de echilibru indiferent. Dacă puterea P depășește o valoare critică, atunci forma de echilibru va deveni instabilă.
Îndoirea unei bare cu o forță longitudinală se numește flambaj... În calculele practice de stabilitate, sarcina critică este considerată a fi distructivă, iar sarcina admisibilă este determinată ca parte a celei critice.
Unde n- factorul de siguranță, a cărui valoare se presupune a fi aproximativ egală cu factorul de siguranță.
Determinarea forței critice.
Problema stabilității tijelor comprimate a fost pusă pentru prima dată de Leonard Euler. Euler a derivat o formulă de calcul pentru forța critică și a arătat că valoarea acesteia depinde în esență de metoda de fixare a tijei. Ideea metodei Euler, cu diferite metode de fixare a capetelor, este de a stabili condiții în care, pe lângă o linie dreaptă, este posibilă o formă curbilinie adiacentă de echilibru a barei sub o sarcină constantă. Forța critică a lui Euler este determinată de formula:
Cantitatea l 0 numit lungime bară redusă, μ - coeficientul de reducere a lungimii, care depinde de tipul de prindere a barei.
Fig. 3.„Dependența factorului de reducere a lungimii de tipul de fixare de susținere a barei”
Forțele critice corespunzătoare pierderilor de flambaj ale barei sunt determinate în două planuri principale prin formulele:
Starea de efort-deformare a tijelor comprimate în timpul flambajului (coloanelor) și natura distrugerii acestora depind de materialul tijei, de dimensiunea și forma secțiunii transversale, de lungimea tijei, de metodele de fixare. capete, etc.
Tensiunile critice sunt determinate de formula:
Unde λ - flexibilitatea tijei; i- raza de rotație a secțiunii transversale.
Deoarece dimensiunile secțiunii nu sunt adesea aceleași în ceea ce privește axele, respectiv, razele de inerție ale secțiunii în raport cu axele lor pot diferi și, ca urmare, flexibilitatea va diferi, respectiv, flexibilitatea trebuie determinată pentru fiecare axă. separat:
Flambarea barelor comprimate va avea loc în raport cu o axă în raport cu care bara este mai flexibilă.
Valorile finale ale zvelteței sunt date în standarde și depind de natura sarcinii (statice sau dinamice), de structură și materialul acesteia.
Formulele lui Euler pentru forța critică și tensiunile critice, pentru tije de oțel cu o limită de proporționalitate de 200–220 MPa, pot fi utilizate cu flexibilitate Lambda ≥ 100. Pentru valori de flexibilitate în intervalul 60–100, formula Tetmayer – Yasinsky poate fi folosit:
unde pentru oțel moale A= 310MPa, b= 1,14 MPa. Puteți folosi și o relație pătratică:
unde σ T- limita de curgere a otelului; σ pc Este limita de proporționalitate a oțelului.
Când flexibilitatea tijei este mai mică de 60, tensiunile critice pot fi considerate egale cu limita de curgere.
Condiția pentru stabilitatea unei bare comprimate este următoarea:
Unde R- rezistenta de proiectare a materialului tijei; γ c- coeficientul conditiilor de munca; φ - coeficientul de flambaj, care este în intervalul 0-1.
Valoarea coeficientului de îndoire longitudinală ( φ ) depinde de materialul tijei și de flexibilitatea tijei.
Factorul de siguranță al barei poate fi definit ca raportul dintre forța critică ( P cr) la valoarea standard a forței de compresiune longitudinală ( P n):
Îndoirea longitudinală-transversală apare din acțiunea combinată a sarcinilor transversale și longitudinale:
Fig. 4.„Încovoiere longitudinală-transversală care rezultă din acțiunea combinată a sarcinilor transversale și longitudinale”
Ecuația axei curbe a barei, în acest caz, are forma:
Unde M p- moment de încovoiere datorat sarcinii de forfecare
Deformarea totală a barei ( υ ):
Unde υ p- deformare de la sarcina transversală; υ 1- deformare datorata fortei de compresiune longitudinala.
O soluție aproximativă a ecuației cu axa curbă poate fi reprezentată ca:
, Unde P e- forta critica in planul de incovoiere, calculata prin formula Euler, indiferent de valoarea flexibilitatii barei.
Momentul încovoietor total din acțiunea combinată a forței longitudinale și a sarcinii laterale este determinat de formula:
Verificarea rezistenței barei în timpul îndoirii longitudinale-transversale se realizează conform formulei:
.
✓Prelegerea 11.04.18 „...”
La calcularea rezistenței, cu acțiunea dinamică a forțelor, tensiunile admisibile sunt presupuse a fi mai mici în comparație cu condițiile de încărcare statică.
Cu acţiunea dinamică a sarcinilor se foloseşte principiul d'Alembert, conform căruia un sistem care se mişcă cu acceleraţie în fiecare moment de timp poate fi considerat ca în repaus, dacă la forţele exterioare adăugăm forţe inerţiale.
Inerţie- un fenomen în care corpurile mențin o stare de repaus sau o mișcare rectilinie uniformă în absența forțelor exterioare.
Dacă forțele de inerție sunt cunoscute, atunci calculul poate fi efectuat prin metoda secțiunilor și pentru a calcula forțele interne folosind ecuațiile staticii unui corp rigid Dacă determinarea forțelor de inerție este dificilă sau imposibilă (ca și în cazul sarcinilor de impact), atunci se utilizează legea conservării energiei pentru a calcula solicitările și deformațiile dinamice cu implicarea prevederilor de bază privind energia potențială a unui corp deformabil.
Problema ciocnirii solidelor deformabile în mecanică aparține clasei problemelor de contact dinamic cu condiții la limită mixte, conținând multe dificultăți de ordin matematic în rezolvare. Aceste dificultăți sunt asociate cu determinarea naturii modificării funcțiilor de stres în zona de contact a corpurilor care se ciocnesc în coordonate spațiale și în timp. Mari dificultăți apar atunci când se iau în considerare procesele de undă care apar atât în zona de contact, cât și în interiorul corpurilor care se ciocnesc, de exemplu, procesele undelor de difracție de-a lungul conturului în zona de contact și fenomenele de interferență din interiorul corpurilor care se ciocnesc. Luarea în considerare a factorului de disipare a energiei, greu de analizat, devine esențială => La rezolvarea problemelor se utilizează o abordare inginerească simplificată pe baza cerințelor preliminare:
1. Când corpurile care se ciocnesc interacționează, ele sunt luate fie ideal elastice, fie absolut rigide
2. Deformațiile în corpurile elastice care se ciocnesc apar instantaneu. S-a constatat că, în aproape toate cazurile, forțele de acțiune dinamică sunt proporționale cu cele statice => calculele de rezistență și rigiditate la sarcini dinamice se efectuează conform metodelor dezvoltate pentru încărcarea statică, dar cu introducerea valorilor corespunzătoare de coeficienți dinamici =>
;
, Unde K d - coeficientul dinamic
Condițiile de rezistență și rigiditate conform metodei tensiunilor admisibile sunt următoarele:
Când se studiază sisteme elastice dinamic, aceste sisteme sunt de obicei clasificate în funcție de numărul gradelor lor de libertate. Sub numărul de grade de libertateînseamnă numărul de coordonate independente care determină poziția punctelor materiale ale sistemului la un moment arbitrar în timp.
COLIZIONAREA UNUI CORPS ȘI A UNUI SISTEM SOLIDE CU UN GRAD DE LIBERTATE
Interacțiunea corpurilor, în care vitezele corpurilor care interacționează se modifică brusc într-o perioadă foarte scurtă de timp se numește impact. În perioada de interacțiune a corpurilor care se ciocnesc, între ele se dezvoltă o forță de contact, deși timpul de acțiune al forței de contact este foarte mic, și se măsoară în microsecunde (sau milisecunde). Se dezvoltă foarte repede și capătă valori mari; la conducerea piloților, o sarcină grea cade de la o anumită înălțime la capătul superior al grămezii și o cufundă în pământ. În timpul impactului, între sarcină și grămadă apar presiuni reciproce mari! Viteza corpului care lovește, într-o perioadă scurtă de timp, se modifică sau scade la zero, corpul se oprește și îi sunt transmise accelerații mari de la corpul care lovește, îndreptate în direcția opusă mișcării sale, adică. se transmite o reacție egală cu produsul dintre masa corpului care lovește și accelerația, notând accelerația cu „ A”, Obținem că reacția transmisă greutății în cădere va avea forma:, unde Q- greutatea corpului care lovește.
Conform legii egalității de acțiune și reacție, aceeași forță este transferată structurii lovite, dar în sens invers. Aceste forțe provoacă tensiuni în ambele corpuri => astfel de solicitări apar în structura lovită, de parcă i s-ar aplica forța de inerție a corpului care lovește.
Pentru a determina tensiunile, forța de inerție P d poate fi considerată o sarcină statică. Dificultatea de a calcula această inerție... Durata impactului, în care viteza scade la zero, este necunoscută, deci rămâne o cantitate necunoscută de accelerație => trebuie să folosim legea conservării energiei.
La impact are loc o transformare rapidă a unui tip de energie în altul, și anume, energia cinetică (a corpului impactant) este transformată în energie potențială (deformare).
Teoria impactului se bazează pe o serie de ipoteze:
1. Forma axei curbe a structurii, la impact, este similară cu axa curbă sub încărcarea sa statică
2. Impactul este inelastic, i.e. corpul care lovește nu sare pe structură, ci continuă să se miște cu ea
3. Deformațiile cauzate de impact sunt elastice, adică. tensiunile maxime nu depăşesc limita proporţională
4. Greutatea structurii este neglijată, adică E. consideră-l lipsit de greutate.
✓Presenta 18.04.18 "Calculul coeficientului dinamic la sarcina de soc"
Să presupunem un corp foarte rigid A greutate Y, a cărui deformare poate fi neglijată, căzând de la înălțime H, lovește corpul B pe baza sistemului elastic C.
, Unde δ D- miscarea corpului in directia impactului.
Presupunând că energia cinetică a corpului de impact este complet convertită în energia potențială de deformare a sistemului elastic, prin urmare, unde T-energie kinetică, U-energie potențială.
Deoarece până la sfârșitul deformației, corpul lovit a parcurs un drum, atunci rezerva sa de energie va fi egală cu munca efectuată ANUNȚ, prin urmare .
Cu deformarea statică, energia potențială este numeric egală cu jumătate din produsul forței care acționează și deformația corespunzătoare, prin urmare. Deformare statică δ cîn corpul lovit poate fi calculat conform legii lui Hooke, care poate fi scrisă ca:; , Unde c- coeficientul de proporționalitate (sau rigiditatea sistemului), care depinde de proprietățile materialului, de forma și dimensiunea corpului, de tipul deformației și de poziția corpului lovit.
Cu o simplă întindere/strângere:
Când îndoiți o grindă, articulată la capete și încărcată cu o forță concentrată în mijlocul travei:
Prin urmare, expresia pentru energia sub deformare statică se va scrie:
Expresia se bazează pe condițiile prealabile:
1. Corectitudinea legii lui Hooke;
2. Creșterea treptată a forței, tensiunilor și deformațiilor proporționale cu acestea de la zero la valoarea finală.
Răspunsul sistemului C asupra acţiunii sarcinii căzute este o consecinţă a dezvoltării deformaţiilor δ D... Această deformare crește treptat de la zero la o valoare maximă și, dacă tensiunile nu depășesc limita de proporționalitate a materialului, ele sunt asociate cu legea lui Hooke:
Unde P D– Reacția sistemului ( C)
Echivalând expresiile pentru energia cinetică și potențială, obținem:
Ținând semnul „+” în fața radicalului, pentru a determina valoarea maximă de deformare a sistemului în direcția impactului, semnul „+”, obținem:
Unde K D- coeficient dinamic:
Formula (1) este utilizată în cazurile în care masa unui corp elastic care suferă un șoc este mică și este neglijată în calcul. Dacă este necesar să se ia în considerare greutatea corporală, formula de calcul al coeficientului dinamic este următoarea:
, Unde m G- masa greutății în cădere, m pr- masa redusă a corpului care suferă un șoc:
Unde m- greutatea corporală distribuită adevărată, α - coeficientul de reducere a masei distribuite la punctul unu.
Coeficient α depinde de tipul impactului (longitudinal, încovoiat etc.) și de natura fixării capetelor tijei.
Principiul general de rezolvare a problemelor de determinare a tensiunilor în timpul impactului poate fi formulat astfel:
1. Calculați energia cinetică a corpului care lovește
2. Calculați energia potențială a corpurilor care primesc impactul, în timp ce energia potențială trebuie exprimată în termeni de tensiuni, deformare sau forță de inerție a corpului impactant.
3. Echivalează valorile energiei cinetice și potențiale Uși găsiți stresul sau deformarea dinamică din ecuație.
Acest principiu de calcul presupune că întreaga energie cinetică a corpului lovit este complet convertită în energia potențială de deformare a sistemului elastic.
Această poziție este incorectă, deoarece energia cinetică a greutății în cădere este parțial convertită în energie termică și energia de deformare inelastică a bazei.
ESTIMAREA REZISTENTEI SUB ÎNCĂRCAREA DE IMPACT
Condiție de rezistență la impact:
Unde σ D- valoarea tensiunii dinamice, [ σ D] Este valoarea admisibilă a tensiunii normale la impact.
Pentru material plastic:
Unde σ T- punct de randament.
La îndoire, valoarea deformației statice este deformarea statică a grinzii la locul impactului și depinde de schema de încărcare și de condițiile de rezemare a grinzii.
Pentru o grindă de deschidere l, articulat la capete și experimentând, la mijlocul travei, un șoc de la o persoană care cade de la înălțime h marfă Q:
, Unde W- momentul de rezistenţă al secţiunii
Pentru o grindă în consolă supusă la impact de la o sarcină A căzând pe capătul liber al consolei:
Înlocuind în formula factorului dinamic valorile δ c sau U c, găsim:
1. Pentru o grindă pe două suporturi:
Formulele aproximative pentru deformarea dinamică și solicitarea în caz de impact sunt următoarele:
2. Pentru o grindă cantilever, ținând cont de faptul că:
Într-o grindă dreptunghiulară cu o înălțime hși lățimea b plasat pe o margine sau așezat plat, cele mai mari solicitări la impact vor fi aceleași și egale:
Tensiunile dinamice în timpul îndoirii unei grinzi depind de modulul de elasticitate al materialului, volumul, forma secțiunii transversale, precum și modelul de încărcare și condițiile de sprijin. Rezistența depinde de momentul de rezistență și de rigiditatea grinzii. Cu cât este mai mare conformitatea (deformabilitatea) grinzii, cu atât este mai mare forța de impact pe care o poate suporta la aceleași solicitări.
Tensiunile dinamice nu trebuie să depășească limita proporțională. Dacă apare un exces, atunci este necesar să se prevadă măsuri constructive pentru a crește deplasarea statică. Încercările de reducere a tensiunilor dinamice prin creșterea secțiunilor transversale sunt ineficiente, deoarece rigiditatea crește, deviația statică scade și coeficientul dinamic crește.
✓Prelegerea 25.04.18 „Calculul unei grinzi pe o fundație elastică”
Adesea, există elemente de grinzi așezate pe o fundație elastică solidă (fundații în bandă ale clădirilor, fundații ale barajelor etc.).
O bază elastică este o bază care implementează o reacție distribuită de-a lungul axei grinzii cu o intensitate liniară proporțională cu deplasarea, deformarea sau unghiul de rotație al secțiunii.
Structura pe o bază elastică se află sub acțiunea sarcinilor externe și a rezistenței reactive a bazei, care este distribuită continuu de-a lungul lungimii sau zonei de contact.
Legea de modificare a rezistenței reactive a bazei nu poate fi determinată din ecuația de echilibru. Depinde de proprietățile fundației elastice și se caracterizează prin schema sau modelul său de proiectare.
Metodele de calcul a structurilor situate pe o fundație elastică pot fi împărțite în 3 grupuri:
1. Metode bazate pe modelul fundației Winkler
2. Metode bazate pe teoria semispațiului elastic
3. Metode bazate pe modele de fundații elastice combinate
Din punct de vedere istoric, primul și adesea folosit pentru calculele inginerești practice este modelul fundației Winkler. La calcularea grinzilor pe o fundație elastică, acest model pleacă de la ipoteza lui Winkler despre proporționalitatea dintre presiunea asupra fundației și tasare.
Reacția din partea bazei unui punct arbitrar, sub rezerva condițiilor de alunecare dintre baza grinzii și bază, se presupune a fi proporțională cu deformarea:
... (1), unde q r (x)- reacția bazei pe unitatea de lungime a fasciculului (rezistența reactivă a bazei), y (x)- deformarea grinzii, luată egală cu tasarea bazei, b- latimea zonei de contact dintre grinda si baza, k- coeficient care caracterizează rigiditatea bazei (coeficientul de flexibilitate al bazei, reziliența bazei sau coeficientul Pastel).
Semnul „-” din ecuația (1) indică faptul că răspunsul de bază este opus ecuației de reducere.
Din punct de vedere formal, modelul de fundație al lui Winkler nu este riguros. Observațiile structurilor naturale și studiile experimentale arată că așezarea fundației depinde de sarcina unui punct dat și de sarcina unui punct adiacent.
Solul se așează nu numai sub fundație, ci și în vecinătatea acestuia.
Valoarea coeficientului Pastel depinde de tipul de sol și de mărimea și forma zonei încărcate.
Grundul de tracțiune nu funcționează.
În același timp, studiile au arătat că modelul fundației Winkler este destul de aplicabil pentru calcule practice. Proprietățile mecanice ale modelului Winkler sunt caracterizate de coeficientul de rigiditate al bazei, ceea ce înseamnă cantitatea de forță care trebuie aplicată pe 1 cm 2 din suprafața de bază pentru ca aceasta să primească un tiraj de 1 cm.
În cazul unei baze absolut rigide, coeficientul Pastel = ∞.
În cazul unei baze absolut flexibile, coeficientul Pastel = 0.
Dacă baza este un număr mare de ... contigue, atunci coeficientul de rigiditate, unde δ - pliabil. traversa., A– Distanța dintre axe transversal.
Valoarea coeficientului Pastel al bazei pentru diferite condiții de sol este diferită:
1. Pentru nisip sau argilă moale umedă 
2. Pentru nisip înghesuit, pietriș liber sau argilă umedă 
3. Pentru calcar, gresie sau sol în condiții de permafrost 
4. Pentru hard rock 
La proiectarea structurilor critice de capital, valoarea factorului de rigiditate al fundației se stabilește pe baza testării solului cu ștampilă în condiții naturale la șantier.
Pentru calcule preliminare sau baze omogene, valoarea factorului de rigiditate al bazei se ia conform tabelelor. Dependența (1) este ecuația fundamentală a teoriei calculului structurilor pe baza Winkler. În calcule se fac ipoteze!
1. Structura își păstrează legătura cu baza indiferent de semnul mișcării, adică. nu trebuie să existe discontinuitate între grindă și bază
2. Nu există frecare între grindă și suprafața de bază atunci când este îndoită
3. Se presupune că toate deformațiile sunt suficient de mici, prin urmare, este posibil să se folosească principiul suprapunerii, însumând deformațiile din diverse influențe.
Intensitatea totală a sarcinii distribuite aplicată fasciculului într-un punct arbitrar:
Unde q (x)- sarcina aplicata grinzii.
Ecuația diferențială pentru îndoirea unei grinzi pe o fundație elastică Winkler are forma:
La integrarea ecuației (2), variabila este înlocuită cu formula:
, Unde EI- rigiditatea la încovoiere a grinzii.
Parametru λ arata rigiditatea grinzii si a bazei si este dimensionata.
Rezolvarea ecuației (2) sub forma metodei parametrilor inițiali:
, Unde y 0, φ 0
,M 0,Q 0- parametrii inițiali reprezentând deformarea, unghiul de rotație, momentul încovoietor și forța tăietoare la origine, la x = 0, Y 1, Y 2,Y 3,Y 4– Funcții Krylov care prezintă combinații de produse ale funcțiilor hiperbolice și trigonometrice.
Dependențe dintre funcțiile lui Krylov:
Unghiurile de rotație, momentele încovoietoare și forțele tăietoare sunt determinate din relația:
La începutul calculului, 2 parametri inițiali sunt necunoscuți; aceștia sunt determinați din condițiile la limită de la capătul opus al fasciculului.
✓Prelegerea 16.05.18 „Stare stresată și deformată în vecinătatea unui punct al corpului. Partea 1"
Sarcina principală a studiului stării de stres-deformare (SSS) a unui corp este de a determina tensiunile și tensiunile corpului și natura modificării lor în timp.
La studierea TVA se fac următoarele ipoteze:
1. Despre continuitatea (continuitatea) mediului, în timp ce nu se ia în considerare structura atomistică a substanței și prezența oricăror goluri;
2. Despre starea naturală. Pe baza acestei ipoteze, nu se ia în considerare SSS inițial care a apărut înainte de aplicarea efectelor de forță, i.e. se presupune ca in momentul incarcarii corpului, deformatiile si tensiunile in punct sunt egale cu zero;
3. Despre uniformitate. Se presupune că compoziția corpului este aceeași în toate punctele;
4. Despre izotropia sferică. Se crede că proprietățile mecanice ale materialului sunt aceleași în toate direcțiile.
5. Despre elasticitatea ideală. Se presupune dispariția completă a deformațiilor după îndepărtarea sarcinii;
6. Despre relația liniară dintre deformații și solicitări.
7. Despre micimea deformarilor. Se presupune că deformațiile liniare și relative sunt mici în comparație cu unitatea.
Sub acțiunea sarcinilor aplicate corpului, în acesta apar forțe interne, care sunt determinate de valorile tensiunilor normale și tangenţiale în fiecare punct al corpului.
Ansamblul tensiunilor care actioneaza pe diferite locuri, trasate printr-un punct al corpului, caracterizeaza starea de stres din vecinatatea acestui punct.
Pentru a determina starea de tensiune într-un punct, este necesar să se cunoască tensiunile totale pentru trei zone reciproc perpendiculare care trec prin acest punct. Deoarece fiecare stres total poate fi descompus în trei componente, starea de stres va fi determinată dacă sunt cunoscute 9 componente de stres (Fig. 1).
Fig. 1
Mulțimea componentelor tensiunii poate fi reprezentată sub forma unei matrice, care se numește tensorul tensiunii într-un punct:
Fiecare linie orizontală a matricei conține 3 componente de tensiune care acționează pe un loc. Fiecare coloană verticală a tensorului conține 3 tensiuni paralele cu aceeași axă.
Dacă egalăm cu zero suma momentelor tuturor forțelor care acționează asupra unui paralelipiped elementar, raportate la fiecare axă centrală, obținem trei ecuații pentru legea împerecherii tensiunilor tangențiale:
τ xy = τ yx
τ yz = τ zy
τ zx = τ xz
Legea împerecherii tensiunilor tangenţiale se formulează astfel: tensiunile tangenţiale care acţionează de-a lungul zonelor reciproc perpendiculare şi direcţionate perpendicular pe linia de intersecţie a ariilor sunt egale ca mărime şi au acelaşi semn. Astfel, dintre cele nouă componente de stres ale tensorului, 6 sunt egale între perechi, ceea ce înseamnă că pentru a determina starea de stres la un punct, este suficient să găsim 6 componente de stres:
TENSIUNI PRINCIPALE
În orice punct al corpului, puteți găsi 3 zone principale reciproc perpendiculare, pe care nu există solicitări de forfecare. Tensiunile normale peste aceste plăcuțe vor fi numite tensiuni principale. Una dintre tensiunile principale are cea mai mare valoare, cealaltă este cea mai mică, iar a treia are o valoare intermediară între primele două. Sunt desemnati σ 1;σ 2;σ 3 și 
... Valorile tensiunilor principale sunt determinate din ecuația cubică:
Cote eu 1, eu 2, eu 3 sunt numite invarianții tensorilor de stres... După ce am rezolvat ecuația cubică, obținem trei rădăcini dintre care cea mai mare din punct de vedere algebric se notează ca σ 1, cel mai mic ca σ 3, și intermediar ca σ 2.
Mărimile tensiunilor principale într-un punct nu depind de alegerea axelor de coordonate, ci depind de forma și dimensiunea corpului și de încărcarea acestuia.
Poziția pad-urilor principale este determinată de direcția cosinusurilor normalelor către parcelele principale.
O mare categorie de probleme permite o simplificare semnificativă a soluției matematice - acestea sunt probleme în care se poate presupune că influențele externe se află în planuri paralele cu orice plan al corpului și că solicitările și deplasările pe care le provoacă sunt aceleași pentru toate punctele oricărei axe perpendiculare pe acest plan. Astfel de sarcini sunt denumite colectiv sarcini plate. Există 2 tipuri de probleme plate:
1. Stare deformată plană (deformare plană).
2. Stare de stres plană.
În stare deformată plană, punctele corpului nu se pot deplasa de-a lungul uneia dintre cele trei axe din cauza obstacolelor din partea elementelor învecinate, în timp ce sarcina care acționează asupra corpului este constantă de-a lungul acestei axe. În acest caz, nu există mișcări de-a lungul unei axe (de regulă, de-a lungul axei Z), iar celelalte două mișcări nu depind de coordonatele celei de-a treia axe. Deformarea plană are loc într-un corp prismatic sau cilindric încărcat de-a lungul unei suprafețe laterale, distribuit pe lungime printr-o sarcină normală pe axa longitudinală, în timp ce se presupune că capetele corpului sunt fixe astfel încât punctele lor să se poată mișca liber în plan și nu se poate deplasa pe direcția axa longitudinală. Deformarea plană este caracterizată de următoarele egalități:
, Unde uși v- deplasare de-a lungul axei Xși y, w- deplasare de-a lungul axei z, ε
- deformare relativă.
O stare de efort plană este o stare a unui corp în care în toate punctele sale una dintre tensiunile principale este zero, în timp ce zonele perpendiculare pe axa tensiunii zero sunt principalele. Starea de tensiune plată este caracterizată de următoarele egalități:
Într-o stare de tensiune plană, dimensiunile corpului de-a lungul axei z - sunt mici, iar planurile laterale sunt libere de încărcare. Această condiție apare în plăci subțiri încărcate de-a lungul conturului exterior:
✓Prelegerea 21/05/18 „Starea de stres și deformare în vecinătatea unui punct al corpului. Partea 2 "(Dima)
Sub influența forțelor externe, deformarea corpului și mișcarea punctelor sale în spațiu. Pentru a studia deformațiile în vecinătatea unui punct, un paralelipiped elementar cu laturi dx, dyși dz... Ca urmare a diferenței de deplasări ale punctelor, marginile paralelipipedului sunt lungi sau scurte, iar inițial unghiurile drepte dintre margini sunt distorsionate. În conformitate cu aceasta, se disting două tipuri principale de deformații:
1. Liniare sunt alungirea sau scurtarea relativă a marginilor unui paralelipiped elementar. Respectiv, dy 1, dx 1și dz 1 Sunt dimensiunile unui paralelipiped elementar după deformare. Deformațiile de alungire sunt considerate pozitive, iar scurtarea - negative.
2. Deformații unghiulare, sau deformații prin forfecare, care sunt desemnate ca fiind caracteristice distorsiunii unghiurilor drepte între marginile unui paralelipiped elementar. Indicii arată în ce plan are loc deformarea unghiulară.
Mulțimea deformațiilor liniare și unghiulare din vecinătatea unui punct al corpului poate fi reprezentată sub forma unei matrice, care se numește tensor de deformare:
Deformațiile de forfecare, ca și eforturile de forfecare, au proprietatea de împerechere. Ca o consecință, dintre cele nouă componente ale tensorului, șase deformații determină complet starea deformată în vecinătatea punctului considerat al corpului:
Din cele nouă componente ale tensorului, 6 deformații determină starea deformată în vecinătatea punctului considerat al corpului.
Printre setul de axe trase printr-un punct al corpului, există trei axe reciproc perpendiculare, în sistemul cărora nu există deformații unghiulare. Aceste axe se numesc axele principale ale stării deformate... Și se numesc deformațiile liniare corespunzătoare deformatii majore:
Într-un corp izotrop, axele principale ale stărilor solicitate și deformate coincid. Deformația volumetrică relativă în vecinătatea punctului (schimbarea relativă a volumului unui paralelipiped elementar), până la valorile ordinului al doilea și al treilea, este egală cu suma a trei deformații liniare:
Pentru corpurile liniar elastice și izotrope, relația dintre tensiuni și deformații în vecinătatea unui punct al corpului este exprimată prin legea lui Hooke generalizată. Legea generalizată a lui Hooke poate fi scrisă în formă directă după cum urmează:
, Unde ε
- modulul de elasticitate al materialului, ν
- Coeficientul lui Poisson, γ
- modulul de forfecare.
Legea lui Hooke poate fi scrisă în forma opusă:
, Unde μ
și λ
- Lame constant. Ele sunt legate de modulul de elasticitate și raportul lui Poisson după cum urmează
Ruptura tijei poate apărea nu numai pentru că rezistența va fi spartă, ci și pentru că tija nu păstrează forma dată. De exemplu, îndoirea sub compresia longitudinală a unei rigle subțiri. Se numește pierderea stabilității unei forme rectilinie de echilibru a unei tije comprimate central flambaj... Echilibrul elastic în mod constant dacă corpul deformat, la orice abatere mică de la starea de echilibru, tinde să revină la starea inițială și revine la el când influența externă este înlăturată. Sarcina, al cărei exces provoacă o pierdere a stabilității, se numește sarcina critica P cr (forța critică). Sarcina admisibilă [P] = P cr / n y, n y este factorul de siguranță standard. Ecuația diferențială aproximativă a dreptei elastice: 
, E este modulul de elasticitate al materialului barei, M este momentul încovoietor, J min este cel mai mic moment de inerție al secțiunii barei. Cu o pierdere a stabilității, deviația, de regulă, are loc perpendicular pe axa cu cea mai mică rigiditate, față de care -J = J min. Se consideră un diferenţial aproximativ ur-e, deoarece pierderea stabilității are loc la deformații mici, M = -Py, obținem o ecuație diferențială omogenă: 
, Unde 
... Rezolvând diferența ur-th găsim cea mai mică valoare a forței critice - formula lui Euler:
- formula dă valoarea forței critice pentru o bară cu capete articulate. Cu diferite fixari: 
, este coeficientul de reducere a lungimii. Când ambele capete ale tijei sunt articulate, = 1; pentru o tijă cu capete sigilate = 0,5; pentru o tijă cu unul încorporat și celălalt capăt liber = 2; pentru o tijă cu un capăt fix și celălalt capăt articulat = 0,7.
Efort critic de compresiune: 
,
- flexibilitatea tijei, 
- cea mai mică rază principală de rotație a secțiunii transversale a barei. Aceste formule sunt valabile numai atunci când tensiunea cr pts este limita de proporționalitate, adică. în limitele aplicabilităţii legii lui Hooke. Formula lui Euler este aplicabilă atunci când tija este flexibilă: 
, de exemplu, pentru oțelul St3 (S235) cr 100. Pentru cazul< кр критическое напряжение вычисляется по
эмпирической (полученной экспериментально)formula lui Yasinsky: cr = a-b, coeficienții „a” și „b” din litera de referință (St3: a = 310MPa; b = 1,14MPa).
Lansete destul de scurte pentru care < 0 =40
(для сталей) назыв-тся стержни малой
гибкости. Такие стержни рассчитывают
только на прочность, т.е. принимают кр = т (предел текучести) – для пластичных
материалов и кр = В (временное сопротивление) – для хрупких
материалов. При расчете стержней большой
гибкости используют условие устойчивости:
, F brut - aria secțiunii transversale totală,
(F net = F brut -F slăbit - zona secțiunii slăbite ținând cont de zona găurilor din secțiunea F slăbită, de exemplu, de la nituri). [ у] = cr / n у, n у - coeficient standard. marja de stabilitate. Tensiunea admisibilă [ y] este exprimată prin efortul admisibil de bază [] utilizat în calculele de rezistență: [ y] = [], – factor de reducere a tensiunii pentru bare comprimate (coeficient de flambaj). Valorile sunt date în tabel. în manuale și depind de materialul tijei și de flexibilitatea acestuia (de exemplu, pentru oțel St3 la = 120 = 0,45).
În calculul de proiectare al ariei secțiunii transversale necesare la prima etapă, luați 1 = 0,5–0,6; găsi: 
... În plus, cunoscând F brut, selectați secțiunea, determinați J min, i min și, setați conform tabelului. 1 I real, dacă diferă semnificativ de 1, calculul se repetă cu media 2 = ( 1 + 1 I) / 2. În urma celei de-a doua încercări se găsește 2 I, în comparație cu valoarea anterioară, etc., până se realizează o potrivire suficient de apropiată. De obicei durează 2-3 încercări.
Formulă
Tensiune normala: 
; deformare relativă 
;
legea lui Hooke:
; = Е; 
; absolut. elongaţie 
; relatează. deformare laterală 
; coeficientul lui Poisson 
; extensia tijei 
; lucru de tracțiune 
; energie potențială 
; contabilitate proprie. greutățile barelor: N (z) = P + FL; 
;
; starea rezistenței la tracțiune-compresiune: max []; 
- toleranta. de exemplu.; stare de tensiune liniară: complet ex .: 
; normal: 
; tangentă:
; pe locuri perpendiculare 
;
;
=
- ;
tensiuni principale: 1> 2> 3; pe o platformă înclinată:; 
sau; legea împerecherii tangentelor, de exemplu xz = - zx; ; ; 
;;
+ = 1 + 2; Max. efort de forfecare 
; directii principale 
;
pozitia site-urilor principale 
;
;
starea de stres volumetric: ;
; max.sat.vol. 
;
tensiuni octaedrice 
;
;
;
intensitatea stresului;
primul invariant: x + y + z = 1 + 2 + 3; legea lui Hooke generalizată:
relatează. deformare volumetrica 
;
;
medie tensiune 
;
; modulul de deformare volumetrica: K = 
; energia potenţială U = 
; energie potenţială specifică
u = 
;
;
;
; u = u о + u f; energie datorată modificării volumului: 
; energie datorată schimbării formei:
; tensor de stres:
; tensor pentru tensiuni principale: 
Invarianții stării de stres:
J 1 = x + y + z; J 2 = x y + y z + y z - 2 xy - 2 zx - 2 yz;
J 3 = x y z - x 2 yz - y 2 zx - z 2 xy + 2 xy zx yz.
Comparația dependențelor stării planului solicitat și deformat:
;
;
;
;Invarianții stării tensionate:
J 1 = x + y + z; J 2 = x y + y z + z x - 2 xy - 2 yz - 2 zx;
tensor de deformare: 
;
.
1 teoria fortei(teoria tensiunilor normale maxime): max = 1 [].
a 2-a teorie. rezistența (teoria deformațiilor relative maxime): max = 1 []. 1 = 
, condiția de rezistență eq II = 1 - ( 2 + 3) [].
a 3-a teorie. etc. (teoria tensiunilor de forfecare maxime): max [], max = 
,
condiție de rezistență: eq III = 1 - 3 [], eq III = 
[]. Pentru y = 0 
... a 4-a teorie. puterea (teoria energiei):
u f . ... Pentru tensiune plată stare:. y = 0, 
.
Teoria forței a lui Mohr: 
când tensiunile admisibile de tracțiune [ p] și compresiune [ s] nu sunt aceleași (fontă).
Pură schimbare.
; unghi de deplasare . Legea lui Hooke la forfecare: = / G; = G;
modul de forfecare (modul de al doilea fel): 
; energie potenţială de forfecare 
; potenţial specific energie: 
; volumV = aF; 
;
Caracteristicile geometrice ale secțiunilor: pătrat 
; moment static în jurul axei x sau y: 
;
; coordonatele centrului de greutate:
;
;
;
Momentul axial de inerție: 
;
; moment polar de inerție: 
;
J y + J x = J p; moment de inerție centrifugal: 
... Dreptunghi: 
; J xy = 0. Cerc:.Sfert de cerc: J y = J x = 0,055R 4; Jxy = 0,0165R4; Jx0 = 0,0714R4; J y 0 = 0,0384R 4. Momente de inerție față de axele paralele: J x 1 = J x + a 2 F; J y 1 = J y + b 2 F; J y 1 x 1 = J yx + abF. Momente de inerție la rotirea axelor: J x 1 = J x cos 2 + J y sin 2 - J xy sin2; J y 1 = J y cos 2 + J x sin 2 + J xy sin2; J x 1 y 1 = (J x - J y) sin2 + J xy cos2; J y 1 + J x 1 = J y + J x. Unghi care definește poziția axelor principale: 
... Mamă, ești inertă. relatează. principal Centru. axele de inerție: 
J max + J min = J x + J y.
Rază de girație: 
; J x = Fi x 2, J y = Fi y 2. Momentul axial de rezistenta:
; pentru un dreptunghi: 
; pentru un cerc:
W x = W y = 
; secţiune tubulară (inel): W x = W y = 
;
= d H / d B. Momentul polar de rezistență: 
; pentru un cerc: W p = 
.
Torsiune.
,
... Unghi de răsucire: 
; relatează. unghi de răsucire: 
... Energia potențială de torsiune: 
;
Stare de rezistenta: 
;
[]
= 
; starea de rigiditate: m la ax []. Torsiunea barei dreptunghiulare: 
;
W k = hb 2; J k = hb 3; = max.
Îndoire... ... Tensiuni normale: 
... Legea lui Hooke în îndoire: 
, formula Navier: 
... Tensiuni maxime:
, J x / y max = W x este momentul de rezistență al secțiunii în încovoiere, 
.
Tensiuni de forfecare - formula lui Zhuravsky :
... Pentru o secțiune dreptunghiulară: 
, F = bh, pentru o secțiune circulară: 
, F = R 2, pentru orice secțiune: 
... Principalele tensiuni în îndoirea transversală: 
.
Condiție de forță pentru stres normale 
, starea de rezistență la forfecare 
.
Condiții de rezistență conform diverselor teorii de rezistență: 1: 
;
II: (cu coeficientul lui Poisson = 0,3);
Teoria lui Mohr:, 
.
Legea lui Hooke în îndoire: 
.
- ecuația diferențială a axei curbe a fasciculului. Aproximativ ecuația diferențială a axei fasciculului curbat:
.
- ecuația unghiurilor de rotație, 
- ecuatia deformarilor. Metoda parametrilor inițiali.
E J 
= M (x) = R A x - 
- M (x - a) 0 + 
- P (x - a - b); integra:
E J 
= EJ 0 + R A 
–
- M (x - a) + 
- P 
;
EJy = EJy 0 + EJ 0 x + R A 
–
- M 
+
- P 
.
Constrângeri de îndoire diferențială:
;
;
;
... Determinarea deplasărilor prin metoda sarcinii fictive.
;
;
;
;
... Teorema în trei puncte:
îndoire oblică... Tensiune în producție punct cu coordonatele "x, y": 
;
, M x = Mcos; M y = Msin, 
... Ecuația neutronilor. linii:
, sau 
. Unghiul de înclinare al liniei neutre față de axa principală „x”: 
.
... Naib. ex. 
,
W x = J x / y max; W y = J y / x max. Deviația „f”: 
,
.
Compresie-extensie decentrată... Tensiune normală într-un punct arbitrar:
; N> 0 - dacă forța este de tracțiune, M x, M y> 0, dacă momentele „întind” secțiunea. in primul trimestru. Eforturi interne: N = P; M y = Px p; M x = Py p. Tensiuni: 
sau 
,
Ecuația neutronilor. linii: 
... Tăiere neutre. linie pe axele coord .: 
.
- coordonatele conturului nucleului.
îndoire de torsiune... Max. tensiuni normale și forfecare în puncte periculoase:
,
, (pentru un cerc: W = 
- momentul axial de rezistenta ,
W p = 
Este momentul polar de rezistență al secțiunii). Tensiuni principale la punctele periculoase: 
Test de forță: conform teoriei a IV-a a forței:
Teoria lui Mohr: m = [ p] / [ c].
Momentul dat:;
I-a teorie:
II-nd:, cu raportul lui Poisson = 0,3;
III: 
IV-a:;
, moment de rezistență: 
, diametrul arborelui: 
.
Deplasarea cauzată de mai mulți factori de forță: P = P P + P Q + P M. Deplasarea cauzata de forta P va fi: P = P P. Lucrul fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului elastic: 
.
- lucru sub acţiunea statică a unei forţe generalizate asupra unui sistem elastic.
Lucrul forțelor interne (forțe elastice) în cazul îndoirii plane: 
... Energia potențială U = A.
Teorema de reciprocitate (teorema lui Betley): A 12 = A 21, P 1 12 = P 2 21.
11 - mişcare în direcţia forţei P 1 din acţiunea forţei P 1;
12 - mişcare în direcţia forţei P 1 din acţiunea forţei P 2;
21 - mişcare în direcţia forţei P 2 din acţiunea forţei P 1;
22 - mişcare în direcţia forţei P 2 din acţiunea forţei P 2.
A 12 = P 1 12 - lucrul forţei P 1 a primei stări asupra mişcării în direcţia acesteia, cauzat de forţa P 2 a celei de-a doua stări. În mod similar: A 21 = P 2 21 - lucrul forței P 2 a celei de-a doua stări asupra deplasării în direcția sa cauzată de forța P 1 a primei stări ..
T
Pentru un sistem plat:. 
.
Calculul integr. Mora Calea Vereshchagin.
.
.
Înmulțirea diagramelor trapezoidale: 
.
NS
11 X 1 + 12 X 2 +… + 1n X n + 1 p = 0 21 X 1 + 22 X 2 +… + 2n X n + 2 p = 0 . . . . .
. . . . . . . n1 X 1 + n2 X 2 +… + nn X n + n p = 0
,
, adică 
, x C = L / 2. Pentru o terminație „oarbă” cu o sarcină uniform distribuită, avem o parabolă pătratică concavă, pentru care 
;
,
, x C = 3L / 4. Teorema lui Castigliano:
,
,
.
Ecuații canonice ale metodei forțelor:
;
;
….;
;
;
;
….;
;
;
;
….;
,
coeficienții se găsesc prin metoda lui Vereshchagin: 
;
etc.
Cu o îndoire curată grinzi curbe de mare curbură:
;
–
raza neutrului. strat Pentru secțiune dreptunghiulară. înălțimea h, cu o rază exterioară R2 și un interior R1: 
... Pentru h/R<1/2
... Sub rezerva stoculuiN: 
.
Stare de rezistenta: 
, y = - h 2 sau y = h 1.
flambaj. Durabilitate.
formula lui Euler:
- pentru o tija cu capete rabatabile. Cu diferite fixari: 
,
- coeficientul de reducere a lungimii. Când ambele capete ale tijei sunt articulate, = 1; pentru o tijă cu capete sigilate = 0,5; pentru o tijă cu unul încorporat și celălalt capăt liber = 2; pentru o tijă cu un capăt fix și celălalt capăt articulat = 0,7.
Efort critic de compresiune.: 
,
- flexibilitatea tijei, 
- cea mai mică rază principală de rotație. Formula lui Euler este aplicabilă atunci când tija este flexibilă: 
... Pentru 0<
< кр
используется formula lui Yasinsky: cr = a - b, unde 0, la care cr = t, a, b - date experimentale, pentru oțelul St3:
40 < < 100.
Stare de stabilitate: 
; [ y] = cr / n y; [ y] = []. 
- aria secțiunii transversale brute, de ex. fără a ţine cont de slăbirea ei.
|
Index alungirea absolută | |
|
factori de forță interni în încovoiere | |
|
rezistență temporară | |
|
a doua teorie a puterii | |
|
caracteristicile geometrice ale secțiunilor plate | |
|
flexibilitatea tijei | |
|
ipoteza nepresiunii fibrelor longitudinale | |
|
ipoteza plată | |
|
principalele momente de inerție | |
|
tensiuni principale | |
|
tensiuni de încovoiere transversale principale | |
|
axele principale de inerție | |
|
site-urile principale | |
|
razele principale de rotație | |
|
prelungirea principală | |
|
principalele axe centrale de inerție | |
|
deplanare | |
|
tensiuni volumetrice | |
|
diagrama tensiunilor pentru materiale plastice | |
|
diagrama tensiunilor pentru materiale fragile | |
|
ecuația diferențială a axei fasciculului curbat | |
|
relație diferențială între M, Q și q | |
|
constrângeri de încovoiere diferențială | |
|
stres admisibil | |
|
forță unitară | |
|
un singur moment | |
|
Îndoire rigidă | |
|
rigiditate la torsiune | |
|
rigiditatea barei | |
|
legea lui Hooke | |
|
Legea lui Hooke în îndoire | |
|
Legea lui Hooke pentru stresul volumetric | |
|
Legea lui Hooke la forfecare | |
|
legea de împerechere pentru starea tensiunii volumetrice | |
|
legea de împerechere a tensiunii de forfecare | |
|
legea secțiunii plate | |
|
curba de torsiune | |
|
invarianții stării de stres | |
|
Mohr integral | |
|
intensitatea stresului | |
|
ecuațiile canonice ale metodei forțelor | |
|
componente de stare deformate | |
|
coordonatele centrului de greutate | |
|
îndoire oblică | |
|
factor de reducere a lungimii | |
|
factor de flambaj | |
|
coeficientul lui Poisson | |
|
factor de reducere a tensiunii | |
|
bare curbate (tije) | |
|
Cercul lui Mohr pentru starea tensiunii volumetrice | |
|
Cercul lui Mohr pentru starea de stres plană | |
|
Cercul lui Mohr la forfecare pură | |
|
torsiune | |
|
torsiunea barei dreptunghiulare | |
|
torsiunea unei bare rotunde (arbore) | |
|
stare de tensiune liniară | |
|
efort maxim de forfecare | |
|
Metoda lui Mohr - determinarea deplasărilor | |
|
metoda parametrilor iniţiali - definirea deplasărilor | |
|
metoda forței | |
|
caracteristici mecanice | |
|
modul în vrac | |
|
modulul de forfecare | |
|
modul elastic | |
|
modulul de elasticitate de primul fel | |
|
modulul de elasticitate de al 2-lea fel | |
|
Modulul Young | |
|
momentul de inerție al inelului | |
|
momentul de inerție al unui cerc | |
|
moment de inerție față de axele paralele | |
|
moment de inerție în semicerc | |
|
momentul de inerție al unui dreptunghi | |
|
momentul de inerție al unui triunghi dreptunghiular | |
|
momentul de inerție al unui triunghi isoscel | |
|
moment de inerție în sfert de cerc | |
|
moment de rezistență | |
|
momentul de torsiune de inerție | |
|
moment de torsiune de rezistenta | |
|
momente de inerție la rotirea axelor | |
|
momente de inerție | |
|
tensiuni de pantă | |
|
tensiuni octaedrice | |
|
strat neutru (axă, linie) | |
|
îndoire neplană | |
|
grinzi continue | |
|
tensiuni normale de încovoiere pure | |
|
forta generalizata | |
|
mișcare generalizată | |
|
legea lui Hooke generalizată | |
|
starea de stres volumetric | |
|
zona octaedrică | |
|
determinarea deplasărilor în grinzi în timpul îndoirii | |
|
momentul axial de inerție | |
|
moment axial de rezistență | |
|
sistem principal | |
|
deformare relativă | |
|
deformare volumetrică relativă | |
|
deformare laterală relativă | |
|
deplasare relativă | |
|
unghi relativ de răsucire | |
|
prima teorie a puterii | |
|
multiplicarea parcelelor | |
|
îndoire plată | |
|
stare de stres plat | |
|
poziţia principalelor axe de inerţie | |
|
moment polar de inerție | |
|
moment polar de rezistență | |
|
îndoire laterală | |
|
complotând Q | |
|
complotând M | |
|
energie potenţială de deformare | |
|
energie potenţială de torsiune | |
|
energie potenţială de forfecare | |
|
rezistență la tracțiune | |
|
punct de randament | |
|
lungime redusă | |
|
flambaj | |
|
curba dreapta | |
|
rază de girație | |
|
raza de curbură a stratului neutru | |
|
dezvăluirea indeterminației statice a unui fascicul | |
|
întinderea | |
|
calculul rezistenței la încovoiere | |
|
rezistență complexă | |
|
îndoire complexă | |
|
greutatea proprie | |
|
Calea lui Vereșchagin | |
|
mod de comparare a deplasărilor | |
|
metoda sarcinii fictive - definirea deplasărilor | |
|
grinzi static nedeterminate | |
|
sisteme static nedeterminate | |
|
momentul static al secțiunii | |
|
momentul static al unui element de zonă | |
|
gradul de indeterminare statică a unui fascicul | |
|
gradul de incertitudine statică a sistemului | |
|
tensor de deformare | |
|
tensor de stres | |
|
teorema lui Betley | |
|
teorema lui Castigliano | |
|
teorema lui Maxwell | |
|
teorema de reciprocitate | |
|
teorema de reciprocitate | |
|
teorema în trei puncte | |
|
teoria stărilor limitative de stres | |
|
teoria fortei | |
|
teoria tensiunilor maxime de forfecare | |
|
teoria tensiunilor normale maxime | |
|
teoria deformațiilor relative maxime | |
|
Teoria forței a lui Mohr | |
|
Teoria forței a lui Mohr | |
|
a treia teorie a puterii | |
|
unghi de răsucire | |
|
unghi de forfecare | |
|
energie potenţială specifică | |
|
energie potenţială specifică de forfecare | |
|
deplasare specifică | |
|
ecuația axei fasciculului curbat | |
|
ecuația de deviere. | |
|
ecuația de compatibilitate a deplasării | |
|
ecuația a trei momente | |
|
ecuația unghiului de rotație | |
|
starea de rigiditate la torsiune | |
|
starea de rezistență la torsiune | |
|
starea de rezistenta la tractiune | |
|
stabilitatea tijelor comprimate | |
|
contabilitatea propriei greutăți | |
|
fascicul fictiv | |
|
formula lui Zhuravsky | |
|
formula lui Mohr | |
|
Formula Navier | |
|
formula lui Euler | |
|
formula lui Yasinsky | |
|
centrul de greutate | |
|
moment de inerție centrifugal | |
|
a patra teorie a puterii | |
|
curba curata | |
|
pură schimbare | |
|
elipsa de inertie | |
|
teoria energiei a puterii | |
|
nucleul secțiunii |
Întindere și comprimare 1
Luând în considerare greutatea proprie a barei 1
Proprietățile mecanice de bază ale materialelor 2
Stare de tensiune liniară 2
Stare stresată și deformată 3
Stare de stres plan 3
Legea împerecherii tensiunilor tangențiale 4
Cercul lui Mohr 4
Stare de tensiune volumetrică 5
Cercul lui Mohr pentru starea de tensiune volumetrică 5
Stresul octaedric 5
Deformații în starea de solicitare volumetrică 6
Energia potențială de deformare 6
Tensori de tensiune și deformare 7
Teorii de forță 8
Deplasare netă 9
Caracteristicile geometrice ale secțiunilor plate 10
Momentul static 10
Coordonatele centrului de greutate 10
Momentele de inerție ale secțiunii 10
Momentele de inerție ale secțiunilor unei forme simple 11
Momentele cheie de inerție 12
Momente de rezistență 13
Torsiunea 14
Determinarea deplasărilor fasciculului în încovoiere 17
Metoda parametrului inițial 17
Determinarea deplasărilor prin metoda sarcinii fictive 18
Grinzi static nedeterminate 18
Rezistenta tare 20
Cotul oblic 20
Îndoire tensiune-compresie (strângere-întindere excentrică) 21
Îndoire de torsiune 22
Metode generale de determinare a deplasărilor 24
Teorema de reciprocitate pentru locuri de muncă și deplasări 24
Integrala lui Mohr, metoda lui Vereshchagin 25
Sisteme static nedeterminate 27
Ecuații canonice ale metodei forțelor 27
Calculul curbelor plate ale barelor (barelor) 28
Stabilitatea tijelor comprimate. Flambare 29
Formule 31
Indexul 40
29 noiembrie 2011Prof. S. P. Timoshenko, Stabilitatea sistemelor elastice, Tekhteoretizdat, 1955; prof. IP Prokofiev și AF Smirnov, Teoria structurilor, partea a III-a, Transzheldorizdat, 1948; prof. I. Ya. Shtaerman și A.A. Pikovsky, Fundamentele teoriei stabilității structurilor de construcție, Gosstroyizdat, 1939.
În structurile din oțel, problema stabilității este foarte importantă. Subestimarea acesteia poate duce la consecințe dezastruoase.
Dacă o tijă dreaptă este comprimată de o forță P aplicată central, atunci la început tija va rămâne dreaptă și această stare de echilibru va fi stabilă. O stare stabilă de echilibru a unei tije elastice se caracterizează prin faptul că tija, încărcată și apoi a primit o ușoară abatere posibilă din anumite motive (mică perturbare), după încetarea acestui motiv, revine la starea inițială, după ce a făcut oscilații amortizate nesemnificative.
Acest lucru se întâmplă deoarece forța de compresiune exterioară nu este capabilă să învingă rezistența barei la îndoirea ușoară pe care a suferit-o în timpul deformarii axei, adică din cauza muncii elastice interne de deformare a îndoirii barei, obținută datorită deformarii. a axei (energie potențială de încovoiere ΔV), mai mult lucru extern (ΔТ), care a fost efectuat de forța de compresiune ca urmare a convergenței capetelor tijei în timpul îndoirii sale: ΔV> ΔТ.
a - cazul principal;
b - curbele tensiunilor critice pentru oțel de calitate St. 3 și coeficientul de flambaj:
1 - curba Euler;
2 - curba tensiunilor critice ținând cont de munca plastică a materialului;
3 - curba coeficientului φ.
Cu o creștere suplimentară, forța de compresiune poate atinge o astfel de valoare încât lucrul ei să fie egal cu munca de deformare la încovoiere cauzată de orice factor perturbator suficient de mic.
În acest caz, = ΔV și forța de compresiune atinge valoarea sa critică P cr. Astfel, o tijă dreaptă, atunci când este încărcată de forța sa într-o stare critică, are o formă rectilinie a unei stări stabile de echilibru. Când forța atinge o valoare critică, forma sa rectilinie de echilibru încetează să mai fie stabilă, tija se poate îndoi în planul cu cea mai mică rigiditate și va avea o nouă formă curbilinie ca echilibru stabil.
Valoarea forței la care forma inițială stabilă de echilibru a tijei se transformă într-una instabilă se numește forță critică.
În prezența unei mici curburi inițiale a tijei (sau a unei ușoare excentricități a forței de compresiune), tija se abate de la linia dreaptă cu sarcina crescândă încă de la început. Dar această abatere este inițial mică și numai atunci când forța de compresiune se apropie de cea critică (diferând de aceasta în 1%), abaterile devin semnificative, ceea ce înseamnă o tranziție la o stare instabilă.
Astfel, o stare instabilă de echilibru se caracterizează prin faptul că apar deplasări mari chiar și cu o creștere mică a forțelor. O creștere suplimentară a forței de compresiune P> P cr determină deviații din ce în ce mai mari, iar tija își pierde capacitatea portantă.
În acest caz, diferite valori ale forței critice corespund diferitelor tipuri de fixare a barei. Pentru tija comprimată central prezentată în figură, având elemente de fixare cu balamale la capete (carcasa principală), forța critică a fost determinată de marele matematician L. Euler în 1744 sub următoarea formă:
Tensiunea care apare în tijă din forța critică se numește efort critic:
- raza minima de rotatie;
F 6p- aria secțiunii transversale brute a barei;
- flexibilitatea barei, egală cu raportul dintre lungimea calculată a barei și raza de rotație a secțiunii sale.
Din formula se poate observa că efortul critic depinde de flexibilitatea barei (întrucât numărătorul este o valoare constantă), iar flexibilitatea este o valoare care depinde doar de dimensiunile geometrice ale barei. În consecință, posibilitatea creșterii valorii tensiunii critice prin modificarea flexibilității tijei (în principal prin creșterea razei de inerție a secțiunii) este în mâinile proiectantului și ar trebui să fie utilizată rațional de către acesta.
Grafic, formula lui Euler este reprezentată ca o hiperbolă.
Tensiunile critice determinate de formula Euler sunt valabile doar la un modul constant de elasticitate E, adică în limitele elasticității (mai precis, în limitele proporționalității), iar aceasta poate avea loc doar la flexibilități mari (X> 105) , care rezultă din ecuația:
Aici σ pc = 2000 kg / cm 2 este limita de proporționalitate pentru oțel de calitate St. 3.
„Proiectarea structurilor din oțel”,
K. K. Muhanov
Tensiuni critice pentru mici (X> 30) și medii (30< Х < 100) гибкостей получаются выше предела пропорциональности, но, понятно, ниже предела текучести. Теоретическое определение критических напряжений для таких стержней значительно усложняется вследствие того, что явление потери устойчивости происходит при частичном развитии пластических деформаций и переменном модуле упругости. В результате многочисленных опытов, подтвердивших…
Scop: pentru a forma o idee despre formele stabile și instabile de echilibru, forță critică și factor de siguranță, stres critic, flexibilitate tijă și flexibilitate finală.
Stabilitatea barelor cu comportament elastic și inelastic al materialului
Până acum, am luat în considerare metode de determinare a tensiunilor și deplasărilor care apar în bare și, în consecință, am evaluat rezistența și rigiditatea acestora. Cu toate acestea, se dovedește că respectarea condițiilor de rezistență și rigiditate nu garantează încă capacitatea structurilor de a-și îndeplini funcțiile prevăzute în condiții de funcționare. Odată cu îndeplinirea condițiilor de rezistență și rigiditate, este necesară asigurarea stabilității structurilor.
Analiza stabilității este de o importanță capitală pentru acele elemente structurale care sunt tije, plăci și cochilii relativ lungi și subțiri. Aici vom lua în considerare doar cele mai simple cazuri de calcul al stabilității tijelor comprimate.
Să reamintim conceptele de bază ale tipurilor de echilibru, luate în considerare în secțiunea „Mecanica teoretică”.
Echilibrul corpului se numește durabil, dacă pentru orice abatere mică de la poziția de echilibru, corpul revine la poziția inițială după eliminarea cauzei care a cauzat această abatere (Fig. 79, A). Echilibrul corpului se numește instabil dacă, pentru orice abatere mică de la poziția de echilibru, corpul nu revine la poziția inițială, ci se abate din ce în ce mai mult de la ea (Fig. 79, b). La indiferent echilibru, corpul, fiind deviat, rămâne în echilibru și într-o nouă poziție (Fig. 79, v).
Orez. 79. Pozițiile de echilibru ale mingii: A) durabil; b) instabil; v) constant indiferent
Luați în considerare o tijă rectilinie relativ lungă și subțire, încărcată cu o forță aplicată central (Fig. 80). Dacă tijei este aplicată o sarcină transversală, adică este ușor îndoită, atunci la valori scăzute ale forței de compresiune, după îndepărtarea sarcinii transversale, tija va reveni la o stare rectilinie. Aceasta înseamnă că echilibrul rectiliniu al axei tijei este stabil.
Orez. 80.
Cu o valoare mai mare a forței de compresiune, tija, ușor îndoită de sarcina transversală, după eliminarea ei, mai încet, parcă „fără tragere de inimă”, revine în starea rectilinie. Cu toate acestea, forma rectilinie a echilibrului este încă stabilă. În cele din urmă, la o anumită valoare a forței de compresiune, forma rectilinie de echilibru a axei tijei devine instabilă și apare o nouă formă stabilă de echilibru - curbilinii. Are loc așa-numita flambaj a tijei. La atingerea forţei de compresiune valoare critica, Când forma rectilinie de echilibru a axei barei devine instabilă, nu este necesară aplicarea unei sarcini transversale barei pentru trecerea la forma curbilinie, îndoirea barei are loc fără un motiv extern aparent.
Îndoirea unei bare asociată cu pierderea stabilității formei rectilinie a echilibrului său se numește încovoiere longitudinală.
Fenomenul de trecere a unei tije de la o stare de echilibru (rectilie) la o alta stare de echilibru (curbilinie) se numeste pierderea stabilității tijă. Se numesc valorile forțelor externe la care are loc pierderea stabilității critic.
În unele cazuri, la pierderea stabilității, sistemul, trecând într-o nouă stare de echilibru stabil, continuă să-și îndeplinească funcțiile. Cu toate acestea, în majoritatea covârșitoare a cazurilor, pierderea stabilității sistemului este însoțită de apariția unor deplasări mari, deformații plastice sau distrugerea completă a acestuia. Prin urmare, din punct de vedere al calculelor practice, forța critică ar trebui considerată ca o sarcină de rupere. Prin urmare, menținerea stării inițiale (calculate) de echilibru a sistemului este o sarcină importantă și una dintre principalele probleme ale rezistenței materialelor.
Sarcina principală a teoriei stabilității este de a determina valoarea critică a forțelor externe și de a limita valorile acestora în așa fel încât să excludă posibilitatea pierderii stabilității unui anumit sistem în condiții de funcționare.
Trebuie remarcat faptul că pentru tijele flexibile, flambajul poate apărea la solicitări care sunt mult mai mici decât rezistența finală a materialelor. Prin urmare, proiectarea tijelor trebuie efectuată cu condiția ca tensiunile de compresiune să nu depășească valoarea critică în ceea ce privește pierderea stabilității acestora.
Începem studiul stabilității tijelor cu cea mai simplă problemă a unei tije cu două capete articulate sub acțiunea unei forțe centrale de compresiune F (pnc. 81).
Această problemă a fost formulată și rezolvată pentru prima dată de L. Euler la mijlocul secolului al XVIII-lea, de aceea îi poartă numele.
Orez. 81.
Să luăm în considerare condițiile în care are loc tranziția de la o stare comprimată central la o stare curbă, adică o formă curbilinie a axei tijei devine posibilă sub o forță de compresiune aplicată central. F. Presupunând că îndoirea barei va avea loc în planul rigidității minime, notând ecuația diferențială a liniei elastice a grinzii și limitându-ne la a lua în considerare doar deplasări mici, avem
Unde J mt „- momentul minim de inerție al secțiunii.
Pentru a determina expresia momentului încovoietor M, (z), acţionând în secţiunea transversală a tijei situată la distanţă z de la originea sistemului de coordonate, aplicând metoda secțiunii la sistemul prezentat în Fig. 81 și având în vedere echilibrul părții tăiate a sistemului situată în stânga secțiunii date, obținem
Cu o deviere pozitivă în sistemul de coordonate selectat, semnul minus înseamnă că momentul este negativ.
Să introducem următoarea notație:
Apoi ecuația (108) este transformată în forma
Soluția (110) se scrie ca
Permanent CUși С 2 sunt determinate din condițiile la limită ale problemei: la (0) = 0, y(1) = 0. Din prima condiție rezultă că C 2 = 0, iar din a doua rezultă că fie CU= 0 [ceea ce nu ne interesează, deoarece în acest caz y (z)= 0] sau
Din ultima expresie rezultă că kl = pp 9 Unde NS- un număr întreg arbitrar. Ținând cont de (109), obținem:
Prin urmare, pentru ca bara comprimată central să ia o formă curbilinie, este necesar ca forța de compresiune să fie egală cu orice valoare din set. F„. Cea mai mică dintre aceste valori se numește forță criticăși va avea loc la NS = 1:
iar puterea se numește prima forță critică Euler.
La F - F Kp expresia pentru deviații poate fi scrisă după cum urmează:
Din (113) se poate observa că tija se va îndoi de-a lungul unei sinusoide. Grafice ale funcției de deviere y (z) cu diferite NS sunt prezentate în Fig. 82.
Orez. 82.
Din (112) se poate observa că, din punct de vedere al stabilității, forța critică depinde de rigiditatea tijei și de lungimea acesteia, dar nu depinde în niciun fel de proprietățile de rezistență ale materialului tijei, adică, două tije de aceeași lungime, cu condiții de limită identice pentru fixarea lor, din materiale diferite, dar având aceeași rigiditate la încovoiere, își pierd stabilitatea la aceeași valoare a forței de compresiune. Aceasta este o diferență semnificativă între verificarea rezistenței la compresiune și la tracțiune a unei bare și verificarea stabilității.
Când se schimbă condițiile de fixare a capetelor tijei, este necesar să se rezolve ecuația diferențială a îndoirii acesteia, dar deja sub forma
Analiza acestor soluții sugerează că toate pot fi prezentate sub următoarea formă:
Unde fj- coeficientul de reducere a lungimii. Arată de câte ori trebuie schimbată lungimea tijei susținute cu balamale astfel încât forța critică pentru aceasta să fie egală cu forța critică a tijei de lungime / în condițiile de fixare luate în considerare.
Orez. 83.
Notă: pierderea stabilității are loc în planul cu cea mai mică rigiditate; prin urmare, formula (114) include momentul de inerție axial minim al secțiunii J x sau J y.
În fig. 83 arată diferitele moduri de fixare a barei și indică valorile corespunzătoare ale coeficientului R.
Conceptul de forme stabile și instabile
Echilibrul solidelor. Stabilitatea unei linii drepte
Tije comprimate
Pentru o bară (tijă), întinsă sau comprimată cu forță F, am folosit condiția
în care se presupunea că ruperea are loc atunci când tensiunile devin egale cu rezistența finală σ în pentru material fragil sau limita de curgere σ T pentru material plastic. În acest caz, lungimea tijei și forma secțiunii sale transversale nu au fost luate în considerare.
Luați o bară de lemn cu o secțiune transversală dreptunghiulară și aplicați-i o sarcină de compresiune longitudinală. Mărind treptat sarcina, vedem că axa tijei la început rămâne aproape rectilinie, iar apoi, cu o anumită sarcină, se îndoaie brusc și, în final, are loc distrugerea ei. Rețineți că, odată cu modificarea lungimii barei, se modifică și sarcina de rupere - cu cât bara este mai lungă, cu atât se rupe mai puțină sarcină.
În plus, atunci când tijele lungi sunt comprimate, o modificare a formei secțiunii transversale, celelalte lucruri fiind egale, determină și o modificare a sarcinii de rupere.
Prin urmare, în diferite elemente structurale, raportul dintre lungimea tijei comprimate și dimensiunile secțiunii transversale a acesteia trebuie selectat astfel încât să asigure funcționarea fiabilă a structurii.
Se știe că echilibrul solidelor poate fi stabil, instabil și indiferent (Fig. 12.1).
În mod similar, echilibrul sistemelor elastice poate fi stabil și instabil.
Luați în considerare o bară subțire supusă compresiei cu o sarcină care crește treptat F 1 ≤ F 2 ≤ F 3 .
Orez. 12.1. Tipuri de echilibru de solide
La forță de compresiune scăzută F axa barei rămâne rectilinie. Dacă tija este deviată cu o ușoară forță orizontală, atunci după îndepărtarea ei, tija va reveni la poziția inițială. Un astfel de echilibru elastic al tijei se numește stabil (Figura 12.2, a).
Cu o cantitate mare de forță de compresiune F 3 dupa o usoara deformare a tijei, axa acesteia este indoita si tija nu se poate intoarce in pozitia initiala, continua sa se indoaie si mai mult sub actiunea unei forte de compresiune. În acest caz, avem o formă instabilă de echilibru elastic al tijei. În plus, există o pierdere a stabilității (Fig. 12.2, c). Un astfel de caz de îndoire se numește flambaj, adică încovoiere cauzată de o forță de compresiune care acționează de-a lungul axei barei.
Orez. 12.2. Tipuri de echilibru elastic al unei tije subțiri
Apariția flambajului este periculos prin faptul că duce la o creștere semnificativă a deformațiilor cu o ușoară creștere a sarcinii de compresiune. Defecțiunile de la flambaj apar brusc, ceea ce este plin de consecințe catastrofale în inginerie și construcții.
Între aceste două stări de echilibru, există o stare de tranziție, numită critică, în care corpul deformat se află în echilibru indiferent. Își poate păstra forma rectilinie inițială, dar o poate pierde și de la impactul cel mai nesemnificativ (Fig. 12.2, b).
Sarcina, al cărei exces determină pierderea stabilității formei inițiale a corpului (tijă), se numește critică și se notează F cr.
Pentru a asigura stabilitatea structurilor și structurilor, sunt permise sarcini semnificativ mai mici decât critice, adică condiția trebuie îndeplinită
Unde [ F] - sarcina admisa pe bara;
n y este factorul de siguranta, in functie de material, de la
din care este făcută tija.
De obicei iau:
Lemn - = 2,8 ... 3,2;
Oțel - = 1,8 ... 3,0;
Fontă - = 5,0 ... 5,5.
Astfel, pentru a efectua calcule de stabilitate a barelor comprimate, este necesar să se știe să se determine sarcinile critice. F cr.
