Accelerația tangențială a unui punct este egală cu prima derivată a modulului vitezei sau cu derivata a doua a distanței în timp. Accelerația tangențială se notează cu -.
.
Accelerația tangențială într-un punct dat este direcționată tangențial la traiectoria punctului; dacă mișcarea este accelerată, atunci direcția vectorului de accelerație tangențială coincide cu direcția vectorului viteză; dacă mișcarea este lentă, atunci direcția vectorului de accelerație tangențială este opusă direcției vectorului viteză. (fig. 8.5.)
Accelerație normală punctul este o valoare egală cu pătratul vitezei împărțit la raza de curbură.
Vectorul normal de accelerație este direcționat din acest punct către centrul de curbură, (Figura 8.6.). Este indicată accelerația normală.
- normală la un punct dat pe traiectoria mișcării.
Accelerația totală a unui punct este determinată din ecuația vectorială:
Cunoscând direcția și modulele și, după regula paralelogramului, determinăm accelerația corespunzătoare unui punct dat al traiectoriei de mișcare. Apoi se definește modulul de accelerație:
.
Caracterul este o astfel de performanță a mișcărilor în care observatorii au impresia de ușurință sau greutate, rotunjime sau unghiulare, forță sau relaxare, libertate sau rigiditate a mișcărilor etc. Toate aceste nuanțe sunt create datorită unei selecții deosebite de mișcări care efectuează actiunea
8. mișcarea de translație a unui corp rigid. traiectoria, viteza și accelerația punctelor unui corp rigid în timpul mișcării de translație.
Mișcarea de translație a unui corp rigid se numește o astfel de mișcare în care un segment de linie dreaptă care leagă oricare două puncte ale corpului rămâne paralel cu el însuși pe parcursul întregii mișcări (de exemplu, AB).
Teorema. Cu mișcarea de translație a unui corp rigid, traiectoriile, vitezele și accelerațiile tuturor punctelor sale sunt aceleași.
Dovada... Lasă segmentul AB corpul se mișcă translațional în timp. Luați un punct arbitrar Oși definiți în spațiu poziția segmentului AB vectori de rază și. Notăm: - vectorul rază care determină poziția punctului V relativ la punct A:
Vectorul nu se schimbă nici în mărime, nici în direcție, deoarece (după definiția mișcării de translație). Din relaţia (1) se vede că traiectoria punctului V se obţine din traiectoria punctului A prin deplasarea paralelă a punctelor acestei traiectorii de către un vector constant. Astfel, traiectoriile punctelor Ași V va fi la fel.
Luați derivata în timp a egalității (1). Atunci
În consecință, cu mișcarea de translație a unui corp rigid, vitezele și accelerațiile tuturor punctelor sale la un moment dat în timp sunt aceleași.
Rețineți că însuşi faptul mişcării de translaţie nu determină nici legea mişcării, nici tipul de traiectorie. În mișcarea de translație, punctele corpului pot descrie orice traiectorie(De exemplu, cercuri). Dar toate vor fi la fel.
Diferențiând laturile stânga și dreaptă ale relației vectoriale de mai sus și ținând cont că dAB / dt = 0, obținem drB / dt = drA / dt, sau VB = VA. Diferențiând în timp părțile stânga și dreaptă ale raportului obținut pentru viteze, găsim dVB / dt = dVA / dt, sau aB = aA. Pe baza celor de mai sus se poate trage următoarea concluzie: pentru a seta mișcarea și a determina caracteristicile cinematice ale unui corp care efectuează mișcare de translație, este suficient să se stabilească mișcarea unuia dintre oricare dintre punctele sale (de-a lungul
Luce) și găsiți caracteristicile sale cinematice.
La fel ca un punct material, un corp în timpul mișcării sale de translație va avea un grad de libertate atunci când se deplasează de-a lungul unei linii directoare care stabilește traiectoria punctelor sale; două grade de libertate în cazul mișcării pe un plan (cu contact constant cu acesta cel puțin un punct) și trei grade de libertate în cazul general al mișcării în spațiu.
9. rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe. Atribuții de mișcare, viteza unghiulară și accelerația unghiulară, viteza și accelerația punctelor corpului.
De exemplu, o mașină care pornește din oprire se mișcă într-un ritm accelerat, pe măsură ce își mărește viteza. La punctul de pornire, viteza vehiculului este zero. După ce a început să se miște, mașina accelerează până la o anumită viteză. Dacă este necesar să frânezi, mașina nu se va putea opri instantaneu, ci pentru o perioadă de timp. Adică, viteza mașinii va tinde spre zero - mașina va începe să se miște încet până când se va opri complet. Dar fizica nu are termen de „decelerație”. Dacă corpul se mișcă, scăzând viteza sa, acest proces se mai numește accelerare, dar cu semnul „-”.
Accelerație medie se numește raportul dintre modificarea vitezei și intervalul de timp pentru care s-a produs această modificare. Calculați accelerația medie folosind formula:
unde este . Direcția vectorului de accelerație este aceeași cu cea a direcției de schimbare a vitezei Δ = - 0
unde 0 este viteza de pornire. La un moment dat t 1(vezi figura de mai jos) la corpul 0. La un moment dat t 2 corpul are viteză. Pe baza regulii de scădere a vectorilor, determinăm vectorul de modificare a vitezei Δ = - 0. De aici calculăm accelerația:
.
SI unitate de accelerație numit 1 metru pe secundă pe secundă (sau metru pe secundă pătrat):
.
Un metru pe secundă pătrat este accelerația unui punct care se mișcă rectiliniu, la care, în 1 s, viteza acestui punct crește cu 1 m / s. Cu alte cuvinte, accelerația determină viteza de schimbare a vitezei corpului în 1 s. De exemplu, dacă accelerația este de 5 m/s 2, înseamnă că viteza corpului crește cu 5 m/s în fiecare secundă.
Accelerarea instantanee a unui corp (punct material) la un moment dat în timp este o mărime fizică care este egală cu limita la care tinde accelerația medie când intervalul de timp tinde spre 0. Cu alte cuvinte, aceasta este accelerația dezvoltată de corp într-o perioadă foarte mică de timp:
.
Accelerația are aceeași direcție ca și schimbarea vitezei Δ în intervale de timp extrem de mici în care viteza se modifică. Vectorul de accelerație poate fi specificat folosind proiecții pe axele de coordonate corespunzătoare într-un cadru de referință dat (proiecții a X, a Y, a Z).
Cu mișcarea rectilinie accelerată, viteza corpului crește în magnitudine, adică. v 2> v 1, iar vectorul accelerație are aceeași direcție ca vectorul viteză 2.
Dacă viteza corpului scade în valoare absolută (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем încetinirea(accelerația este negativă și< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Dacă există mișcare de-a lungul unei traiectorii curbe, atunci modulul și direcția vitezei se schimbă. Aceasta înseamnă că vectorul de accelerație este reprezentat sub forma a 2 componente.
Accelerație tangenţială (tangenţială). se numește acea componentă a vectorului accelerație, care este direcționată tangențial la traiectoria într-un punct dat al traiectoriei de mișcare. Accelerația tangențială descrie gradul de modificare a vitezei modulo atunci când se efectuează o mișcare curbilinie.
Avea vector de accelerație tangențialăτ (vezi figura de mai sus) direcția este aceeași cu cea a vitezei liniare sau opusă acesteia. Acestea. vectorul accelerației tangențiale se află în aceeași axă cu cercul tangent, care este traiectoria corpului.
Sunt date formulele de bază ale cinematicii unui punct material, derivarea lor și prezentarea teoriei.
ConţinutVezi si: Un exemplu de rezolvare a problemei (metoda coordonate de specificare a mișcării unui punct)
Formule de bază ale cinematicii punctului material
Iată formulele de bază pentru cinematica unui punct material. După aceea, vom oferi concluzia lor și prezentarea teoriei.
Vectorul rază a punctului material M din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz:
,
unde sunt vectori unitari (vectori unitari) in directia axelor x, y, z.
Viteza punctului:
;
.
.
Vector unitar în direcția tangentei la traseul punctului:
.
Accelerație punctuală:
;
;
;
;
;
Accelerația tangențială (tangențială):
;
;
.
Accelerație normală:
;
;
.
Vector unitar îndreptat către centrul de curbură al traiectoriei punctului (de-a lungul normalului principal):
.
.
Vectorul rază și traiectoria unui punct
Luați în considerare mișcarea unui punct material M. Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular fix Oxyz centrat într-un punct fix O. Atunci poziția punctului M este determinată în mod unic de coordonatele sale (x, y, z)... Aceste coordonate sunt componentele vectorului raza punctului material.
Vectorul rază al unui punct M este un vector desenat de la originea unui sistem de coordonate fix O până la un punct M.
,
unde sunt vectori unitari în direcția axelor x, y, z.
Pe măsură ce punctul se mișcă, coordonatele se schimbă în timp. Adică sunt funcții ale timpului. Apoi sistemul de ecuații
(1)
poate fi privită ca o ecuație a unei curbe dată de ecuații parametrice. O astfel de curbă este traiectoria unui punct.
Traiectoria unui punct material este o linie de-a lungul căreia punctul se mișcă.
Dacă un punct se mișcă într-un plan, atunci puteți alege axele și sistemele de coordonate astfel încât să se afle în acest plan. Atunci traiectoria este determinată de două ecuații
În unele cazuri, timpul poate fi exclus din aceste ecuații. Atunci ecuația traiectoriei va avea o dependență de forma:
,
unde este o funcție. Această dependență conține doar variabilele și. Nu contine un parametru.
Viteza punctului material
Viteza unui punct material este derivata în timp a vectorului său rază.Conform definiției vitezei și definiției derivatei:
Derivatele timpului, în mecanică, sunt notate cu un punct deasupra simbolului. Înlocuiți aici expresia pentru vectorul rază:
,
unde am desemnat în mod explicit dependența coordonatelor de timp. Primim:
,
Unde
,
,
- proiectia vitezei pe axa de coordonate. Ele se obțin prin diferențierea în timp a componentelor vectorului rază
.
În acest fel
.
Modul de viteza:
.
Traiectorie tangentă
Din punct de vedere matematic, sistemul de ecuații (1) poate fi considerat drept ecuația unei linii (curbe) dată de ecuații parametrice. Timpul, în această considerație, joacă rolul unui parametru. Din cursul analizei matematice se știe că vectorul direcție pentru tangenta la această curbă are următoarele componente:
.
Dar acestea sunt componentele vectorului viteză al punctului. Acesta este viteza punctului material este direcționată tangențial la traiectorie.
Toate acestea pot fi demonstrate direct. Fie că în momentul de timp punctul se află în poziția cu vectorul rază (vezi figura). Și în momentul de timp - în poziția cu vectorul rază. Desenați o linie dreaptă prin puncte și. Prin definiție, o tangentă este o linie dreaptă către care tinde linia dreaptă.
Să introducem notația:
;
;
.
Apoi vectorul este îndreptat de-a lungul unei linii drepte.
Când tinde, linia dreaptă tinde către tangentă, iar vectorul tinde către viteza punctului în momentul de timp:
.
Deoarece vectorul este direcționat de-a lungul dreptei, iar linia dreaptă la, vectorul viteză este direcționat de-a lungul tangentei.
Adică, vectorul viteză al punctului material este direcționat de-a lungul tangentei la traiectorie.
Introduce vector de direcție tangentă a unității de lungime:
.
Să arătăm că lungimea acestui vector este egală cu unu. Într-adevăr, din moment ce
, atunci:
.
Atunci vectorul viteză al unui punct poate fi reprezentat ca:
.
Accelerația punctului material
Accelerația unui punct material este derivata în timp a vitezei acestuia.În mod similar celui precedent, obținem componentele accelerației (proiecția accelerației pe axele de coordonate):
;
;
;
.
Modul de accelerare:
.
Accelerație tangenţială (tangenţială) şi normală
Acum să luăm în considerare problema direcției vectorului de accelerație în raport cu traiectoria. Pentru a face acest lucru, aplicați formula:
.
O diferențiem în timp folosind regula de diferențiere a produsului:
.
Vectorul este tangențial la cale. În ce direcție este îndreptată derivata sa de timp?
Pentru a răspunde la această întrebare, să folosim faptul că lungimea vectorului este constantă și egală cu unu. Atunci pătratul lungimii sale este, de asemenea, egal cu unu:
.
În continuare, doi vectori între paranteze indică produsul scalar al vectorilor. Să diferențiem ultima ecuație în timp:
;
;
.
Deoarece produsul scalar al vectorilor și este egal cu zero, atunci acești vectori sunt perpendiculari unul pe celălalt. Deoarece vectorul este direcționat tangențial la traiectorie, vectorul este perpendicular pe tangentă.
Prima componentă se numește accelerație tangențială sau tangențială:
.
A doua componentă se numește accelerație normală:
.
Atunci accelerația totală este:
(2)
.
Această formulă este o descompunere a accelerației în două componente reciproc perpendiculare - tangentă la traiectorie și perpendiculară pe tangentă.
De atunci
(3)
.
Accelerație tangenţială (tangenţială).
Înmulțiți ambele părți ale ecuației (2)
scalar la:
.
De atunci. Atunci
;
.
Aici punem:
.
Din aceasta se poate observa că accelerația tangențială este egală cu proiecția accelerației totale pe direcția tangentei la traiectorie sau, ceea ce este aceeași, pe direcția vitezei punctului.
Accelerația tangențială (tangențială) a unui punct material este proiecția accelerației sale totale pe direcția tangentei la traiectorie (sau pe direcția vitezei).
Prin simbol notăm vectorul de accelerație tangențială direcționat de-a lungul tangentei la traiectorie. Atunci este o valoare scalară egală cu proiecția accelerației totale pe direcția tangentei. Poate fi fie pozitiv, fie negativ.
Înlocuind, avem:
.
Să înlocuim în formula:
.
Atunci:
.
Adică accelerația tangențială este egală cu derivata în timp a modulului de viteză punctual. În acest fel, accelerația tangențială duce la o modificare a valorii absolute a vitezei punctului... Pe măsură ce viteza crește, accelerația tangențială este pozitivă (sau direcționată de-a lungul vitezei). Pe măsură ce viteza scade, accelerația tangențială este negativă (sau opusă vitezei).
Acum să examinăm vectorul.
Se consideră vectorul unitar al tangentei la traiectorie. Să-i plasăm originea la originea sistemului de coordonate. Apoi capătul vectorului va fi pe o sferă cu raza unitară. Când un punct material se mișcă, capătul vectorului se va deplasa de-a lungul acestei sfere. Adică se va învârti în jurul originii sale. Fie viteza unghiulară instantanee de rotație a vectorului în momentul de timp. Atunci derivata sa este viteza de mișcare a capătului vectorului. Este îndreptată perpendicular pe vector. Să aplicăm formula pentru mișcarea de rotație. Modulul vectorial:
.
Acum luați în considerare poziția punctului pentru două puncte apropiate în timp. Fie că în momentul de timp punctul este în poziție, iar în momentul de timp - în poziție. Fie și vectori unitari tangenți la traiectorie în aceste puncte. Prin puncte și desenați planele perpendiculare pe vectori și. Fie linia formată prin intersecția acestor plane. Să coborâm perpendiculara de la punct la linia dreaptă. Dacă pozițiile punctelor și sunt suficient de apropiate, atunci mișcarea punctului poate fi considerată ca rotație într-un cerc de rază în jurul axei, care va fi axa instantanee de rotație a punctului material. Deoarece vectorii și sunt perpendiculari pe planele și, unghiul dintre aceste plane este egal cu unghiul dintre vectorii și. Atunci viteza instantanee de rotație a unui punct în jurul axei este egală cu viteza instantanee de rotație a vectorului:
.
Iată distanța dintre puncte și.
Astfel, am găsit modulul derivatei temporale vectoriale:
.
După cum am indicat mai devreme, vectorul este perpendicular pe vector. Din raționamentul de mai sus se poate observa că este îndreptat către centrul de curbură instantaneu al traiectoriei. Această direcție se numește normalul principal.
Accelerație normală
Accelerație normală
dirijate de-a lungul vectorului. După cum am aflat, acest vector este îndreptat perpendicular pe tangente, spre centrul de curbură instantaneu al traiectoriei.
Fie un vector unitar direcționat de la un punct material către centrul instantaneu de curbură al traiectoriei (de-a lungul normalului principal). Atunci
;
.
Deoarece ambii vectori și au aceeași direcție - până la centrul de curbură al traiectoriei, atunci
.
Din formula (2)
noi avem:
(4)
.
Din formula (3)
găsim modulul de accelerație normal:
.
Înmulțiți ambele părți ale ecuației (2)
scalar la:
(2)
.
.
De atunci. Atunci
;
.
Prin urmare, se vede că modulul de accelerație normală este egal cu proiecția accelerației complete pe direcția normalei principale.
Accelerația normală a unui punct material este proiecția accelerației sale totale pe direcția perpendiculară pe tangenta la traiectorie.
Să înlocuim. Atunci
.
Adică, accelerația normală determină o schimbare a direcției vitezei punctului și este legată de raza de curbură a traiectoriei.
De aici puteți găsi raza de curbură a traiectoriei:
.
Și în concluzie, observăm că formula (4)
poate fi rescris astfel:
.
Aici am aplicat formula pentru produsul încrucișat a trei vectori:
,
în care s-au încadrat
.
Deci avem:
;
.
Să echivalăm modulele din stânga și din dreapta:
.
Dar vectorii și sunt reciproc perpendiculari. Asa de
.
Atunci
.
Aceasta este o formulă celebră din geometria diferențială pentru curbura unei curbe.
Mișcare liniară, viteză liniară, accelerație liniară.
Relocare(în cinematică) - o schimbare a locației unui corp fizic în spațiu în raport cu cadrul de referință selectat. Denumit și deplasare este un vector care caracterizează această schimbare. Posedă proprietatea de aditivitate. Lungimea segmentului este modulul de mișcare, măsurat în metri (SI).
Puteți defini mișcarea ca schimbarea vectorului razei unui punct:.
Modulul de mișcare coincide cu traseul parcurs dacă și numai dacă direcția de mișcare nu se schimbă în timpul mișcării. În acest caz, traiectoria va fi un segment de linie dreaptă. În orice alt caz, de exemplu, cu mișcarea curbilinie, din inegalitatea triunghiului rezultă că drumul este strict mai lung.
Vector D r = r -r 0, tras din poziția inițială a punctului în mișcare până la poziția sa la un moment dat (creșterea vectorului rază a punctului pentru intervalul de timp considerat) se numește deplasare.
În mișcarea rectilinie, vectorul deplasare coincide cu secțiunea corespunzătoare a traiectoriei și cu modulul deplasării | D r| egală cu distanța parcursă D s.
Viteza liniară a unui corp în mecanică
Viteză
Pentru a caracteriza mișcarea unui punct material, se introduce o mărime vectorială - viteza, care este definită ca rapiditate mișcarea și a lui direcţieîn acest moment al timpului.
Lăsați punctul material să se miște de-a lungul unei traiectorii curbilinii, astfel încât în momentul de față t corespunde vectorului rază r 0 (Fig. 3). Într-o perioadă scurtă de timp D t punctul va trece prin calea D sși va primi o mișcare elementară (infinitesimală) a Dr.
Vector viteză medie
Direcția vectorului viteză medie coincide cu direcția lui Dr. Cu o scădere nelimitată a D t viteza medie tinde spre o valoare limită, care se numește viteza instantanee v:
Astfel, viteza instantanee v este o mărime vectorială egală cu prima derivată a vectorului rază a punctului în mișcare în raport cu timpul. Deoarece secanta din limită coincide cu tangenta, vectorul viteză v este direcționat tangențial la traiectorie în direcția mișcării (Fig. 3). Ca D t calea D s se va apropia | Dr | din ce în ce mai mult, deci viteza instantanee
Astfel, modulul vitezei instantanee este egal cu prima derivată a căii în raport cu timpul:
La mișcare neuniformă - modulul de viteză instantaneu se modifică în timp. În acest caz, mărimea scalară á vñ - viteza medie mișcare neuniformă:
Din fig. 3 implică că á vñ> | ávñ |, deoarece D s> | Dr |, și numai în cazul mișcării rectilinie
Dacă expresia d s = v d t(vezi formula (2.2)) se integrează în timp în limitele de t inainte de t+ D t, atunci găsim lungimea drumului parcurs de punctul de timp D t:
Când mișcare uniformă valoarea numerică a vitezei instantanee este constantă; atunci expresia (2.3) ia forma
Lungimea traseului parcurs de punctul din intervalul de timp de la t 1 la t 2 este dat de integrală
Accelerația și componentele sale
În cazul traficului neuniform, este important să știți cât de repede se modifică viteza în timp. Mărimea fizică care caracterizează viteza de schimbare a vitezei în mărime și direcție este accelerare.
Considera mișcare plată, acestea. o mișcare în care toate segmentele traiectoriei unui punct se află în același plan. Fie vectorul v definirea vitezei punctului A pentru moment t.În timpul D t punctul de mișcare mutat în poziție Vși a dobândit o viteză diferită de v atât ca mărime cât și direcție și egală cu v 1 = v + Dv. Mutați vectorul v 1 la punct Ași găsiți Dv (Fig. 4).
Accelerație medie mișcare neuniformă în intervalul de la t inainte de t+ D t se numește mărime vectorială egală cu raportul dintre variația de viteză Dv și intervalul de timp D t
Accelerație instantanee a (accelerarea) unui punct material în momentul de timp t va exista o limită pentru accelerația medie:
Astfel, accelerația a este o mărime vectorială egală cu derivata întâi a vitezei în raport cu timpul.
Să descompunăm vectorul Dv în două componente. Pentru a face asta, din punct de vedere A(Fig. 4) în direcția vitezei v amânăm vectorul, modulo v 1. Evident, vectorul , egal, determină modificarea vitezei în timp D t mod:. A doua componentă a vectorului Dv caracterizează schimbarea vitezei în timp D t în direcția.
Accelerația tangențială și normală.
Accelerația tangențială- componentă a acceleraţiei, direcţionată tangenţial la traiectoria mişcării. Coincide cu direcția vectorului viteză în timpul mișcării accelerate și în direcția opusă în timpul decelerației. Caracterizează schimbarea modulului de viteză. Este de obicei notat cu sau (, etc., în conformitate cu care litera este aleasă pentru a indica accelerația în general în acest text).
Uneori, accelerația tangențială este înțeleasă ca proiecția vectorului de accelerație tangențială - așa cum a fost definit mai sus - pe vectorul tangent unitar la traiectorie, care coincide cu proiecția vectorului accelerație (complet) pe vectorul tangent unitar, adică coeficient de expansiune în baza de însoțire. În acest caz, nu se folosește o notație vectorială, ci „scalar” - ca de obicei pentru proiecție sau coordonatele vectoriale -.
Mărimea accelerației tangențiale - în sensul proiecției vectorului accelerație pe vectorul tangent unitar al traiectoriei - poate fi exprimată astfel:
unde este viteza solului de-a lungul traiectoriei, care coincide cu valoarea absolută a vitezei instantanee la un moment dat.
Dacă utilizați denumirea pentru un vector tangent unitar, atunci puteți scrie accelerația tangențială în formă vectorială:
Concluzie
Expresia accelerației tangențiale poate fi găsită prin diferențierea în timp a vectorului viteză, reprezentat sub forma prin vectorul tangent unitar:
unde primul termen este accelerația tangențială și al doilea este accelerația normală.
Aici se folosește notația pentru vectorul normal unitar la traiectorie și - pentru lungimea curentă a traiectoriei (); ultima tranziție a folosit și evidentul
și, din motive geometrice,
Accelerație centripetă (normală)- o parte din accelerația completă a punctului, datorită curburii traiectoriei și vitezei de mișcare a punctului material de-a lungul acestuia. O astfel de accelerație este îndreptată spre centrul curburii traiectoriei, care este motivul termenului. Formal și în esență, termenul de accelerație centripetă în ansamblu coincide cu termenul de accelerație normală, deosebindu-se mai degrabă doar stilistic (uneori istoric).
Mai ales adesea se vorbește despre accelerația centripetă atunci când vine vorba de mișcare uniformă în jurul unui cerc sau când se deplasează mai mult sau mai puțin aproape de acest caz particular.
Formula elementară
unde este accelerația normală (centripetă), este viteza liniară (instantanee) a mișcării de-a lungul traiectoriei, este viteza unghiulară (instantanee) a acestei mișcări în raport cu centrul de curbură al traiectoriei, este raza de curbură a traiectoriei la un punct dat. (Legătura dintre prima formulă și a doua este dată evidentă).
Expresiile de mai sus includ valori absolute. Ele pot fi scrise cu ușurință sub formă vectorială prin înmulțirea cu - vectorul unitar de la centrul de curbură al traiectoriei până la punctul său dat:
Aceste formule sunt aplicabile în mod egal în cazul mișcării cu o viteză constantă (în valoare absolută) și într-un caz arbitrar. Totuși, în cea de-a doua trebuie avut în vedere că accelerația centripetă nu este vectorul complet al accelerației, ci doar componenta sa perpendiculară pe traiectorie (sau, ceea ce este același, perpendiculară pe vectorul vitezei instantanee); vectorul accelerație totală include atunci și componenta tangențială (accelerația tangențială), în direcția care coincide cu tangenta la traiectorie (sau, ceea ce este același, cu viteza instantanee).
Concluzie
Faptul că descompunerea vectorului de accelerație în componente - una de-a lungul vectorului tangentă la traiectorie (accelerație tangențială) și cealaltă ortogonală față de aceasta (accelerație normală) - poate fi convenabilă și utilă este destul de evident în sine. Acest lucru este agravat de faptul că atunci când se deplasează la o valoare constantă a vitezei, componenta tangenţială va fi egală cu zero, adică în acest caz special important rămâne doar componenta normală. În plus, după cum puteți vedea mai jos, fiecare dintre aceste componente are proprietăți și structură adecvate pronunțate, iar accelerația normală conține în structura formulei sale un conținut geometric destul de important și netrivial. Ca să nu mai vorbim de cazul special important al mișcării de-a lungul unui cerc (care, în plus, poate fi generalizat la cazul general practic fără nicio modificare).
Tipuri de accelerații în benzinărie.
Deci, am arătat că există două tipuri de viteze măsurabile. În plus, este foarte interesantă și viteza măsurată în aceleași unități. La valori mici, toate aceste viteze sunt egale.
Și câte accelerații sunt? Ce accelerație trebuie să fie constantă pentru o mișcare accelerată uniform a unei rachete relativiste, astfel încât astronautul să exercite mereu aceeași forță pe podeaua rachetei, pentru a nu deveni lipsit de greutate sau pentru a nu muri din cauza supraîncărcărilor?
Să introducem definițiile diferitelor tipuri de accelerații.
Accelerarea coordonatelor d v/ dt această schimbare viteza de coordonate măsurată prin sincronizare ceasul de coordonate
d v/ dt = d 2 r/ dt 2.
Privind în viitor, rețineți că d v/ dt = 1 d v/ dt = g 0 d v/ dt.
Coordonate-propie accelerație d v/ dt această schimbare coordona viteza măsurată prin propriul ceas
d v/ dt = d (d r/ dt) / dt = gd 2 r/ dt 2.
d v/ dt = g 1 d v/ dt.
Accelerație adecvată în coordonate d b/ dt această schimbare proprii viteza măsurată prin sincronizare ceasul de coordonate, distanțat de-a lungul mișcării corpului de testare:
d b/ dt = d (d r/ dt) / dt = g 3 v(v d v/ dt) / c 2 + gd v/ dt.
Dacă v|| d v/ dt, apoi d b/ dt = g 3 d v/ dt.
Dacă v perpendicular pe d v/ dt, apoi d b/ dt = gd v/ dt.
Accelerație proprie d b/ dt această schimbare proprii viteza măsurată prin propriul ceas asociat cu un corp în mișcare:
d b/ dt = d (d r/ dt) / dt = g 4 v(v d v/ dt) / c 2 + g 2 d v/ dt.
Dacă v|| d v/ dt, apoi d b/ dt = g 4 d v/ dt.
Dacă v perpendicular pe d v/ dt, apoi d b/ dt = g 2 d v/ dt.
Comparând indicatorii cu coeficientul g în cele patru tipuri de accelerații înregistrate mai sus, observăm că în această grupă nu există niciun membru cu coeficientul g 2 la accelerații paralele. Dar nu am luat încă derivate ale vitezei. Aceasta este, de asemenea, viteza. Să luăm derivata în timp a vitezei folosind formula v / c = th (r / c):
dr / dt = (c · arth (v / c)) "= g 2 dv / dt.
Și dacă luăm dr / dt, obținem:
dr / dt = g 3 dv / dt,
sau dr / dt = db / dt.
Prin urmare, avem două viteze măsurabile vși b, și încă una, incomensurabilă, dar cea mai simetrică, viteza r. Și șase tipuri de accelerații, dintre care două dr / dt și db / dt sunt aceleași. Care dintre aceste accelerații este adecvată, adică un corp simțit accelerat?
Vom reveni la propria accelerație mai jos, dar deocamdată vom afla ce accelerație este inclusă în a doua lege a lui Newton. După cum se știe, în mecanica relativistă, a doua lege a mecanicii, scrisă sub forma f= m A, se dovedește a fi eronat. În schimb, forța și accelerația sunt legate prin ecuație
f= m (g 3 v(va) / c 2 + g A),
care stă la baza calculelor inginerești ale acceleratoarelor relativiste. Dacă comparăm această ecuație cu ecuația tocmai obținută pentru accelerația d b/ dt:
d b/ dt = g 3 v(v d v/ dt) / c 2 + gd v/ dt,
apoi observăm că ele diferă doar prin factorul m. Adică poți scrie:
f= m d b/ dt.
Ultima ecuație returnează la masă statutul unei măsuri de inerție în mecanica relativistă. Forța care acționează asupra corpului este proporțională cu accelerația d b/ dt. Coeficientul de proporționalitate este masa invariantă. Vectori de forță fși accelerația d b/ dt sunt codirecționale pentru orice orientare a vectorilor vși A, sau bși d b/ dt.
Formula scrisă în termeni de accelerație d v/ dt nu dă o asemenea proporționalitate. Forța și accelerația coordonate-coordonate, în general, nu coincid în direcție. Ele vor fi paralele numai în două cazuri: dacă vectorii vși d v/ dt sunt paralele între ele și dacă sunt perpendiculare între ele. Dar în primul caz, puterea f= mg 3 d v/ dt, iar în al doilea - f= mgd v/ dt.
Astfel, în legea lui Newton, trebuie să folosim accelerația d b/ dt, adică schimbare proprii viteză b măsurată de un ceas sincronizat.
S-ar putea la fel de bine să fie posibil să se demonstreze asta f= md r/ dt, unde d r/ dt este vectorul propriei accelerații, dar viteza este o cantitate incomensurabilă, deși este ușor de calculat. Dacă egalitatea vectorială este adevărată, nu presupun să spun, dar egalitatea scalară este adevărată datorită faptului că dr / dt = db / dt și f= md b/ dt.
Accelerare Este o mărime care caracterizează viteza de schimbare a vitezei.
De exemplu, o mașină, care se îndepărtează de un loc, crește viteza de mișcare, adică se mișcă într-un ritm accelerat. Inițial, viteza sa este zero. După plecare, mașina accelerează treptat până la o anumită viteză. Dacă pe drum se aprinde un semafor roșu, mașina se va opri. Dar nu se va opri imediat, ci pentru ceva timp. Adică, viteza sa va scădea până la zero - mașina se va mișca încet până când se va opri deloc. Cu toate acestea, în fizică nu există un termen „decelerare”. Dacă corpul se mișcă, încetinind viteza, atunci aceasta va fi și accelerația corpului, doar cu un semn minus (după cum vă amintiți, viteză este o mărime vectorială).
Accelerație medie
Accelerație medie> Este raportul dintre modificarea vitezei și intervalul de timp pentru care a avut loc această modificare. Puteți determina accelerația medie cu formula:
Unde - vector de accelerație.
Direcția vectorului de accelerație coincide cu direcția de schimbare a vitezei Δ = - 0 (aici 0 este viteza inițială, adică viteza cu care corpul a început să accelereze).
La momentul t1 (vezi fig. 1.8) corpul are viteza 0. În momentul t2 corpul are viteză. Conform regulii de scădere a vectorilor, găsim vectorul modificării vitezei Δ = - 0. Apoi accelerația poate fi determinată după cum urmează:
Orez. 1.8. Accelerație medie.
În SI unitate de accelerație Este 1 metru pe secundă pe secundă (sau metru pe secundă pătrat), adică
Un metru pe secundă pătrat este egal cu accelerația unui punct care se mișcă rectiliniu, la care într-o secundă viteza acestui punct crește cu 1 m/s. Cu alte cuvinte, accelerația determină cât de mult se schimbă viteza corpului într-o secundă. De exemplu, dacă accelerația este de 5 m / s 2, atunci aceasta înseamnă că viteza corpului crește cu 5 m / s în fiecare secundă.
Accelerație instantanee
Accelerarea instantanee a unui corp (punct material) la un moment dat de timp este o mărime fizică egală cu limita la care tinde accelerația medie atunci când intervalul de timp tinde spre zero. Cu alte cuvinte, aceasta este accelerația pe care o dezvoltă organismul într-o perioadă foarte scurtă de timp:
Direcția de accelerație coincide, de asemenea, cu direcția de schimbare a vitezei Δ la valori foarte mici ale intervalului de timp în care are loc schimbarea vitezei. Vectorul de accelerație poate fi specificat prin proiecții pe axele de coordonate corespunzătoare într-un cadru de referință dat (proiecții a X, a Y, a Z).
Cu mișcarea rectilinie accelerată, viteza corpului crește în modul, adică
V 2> v 1
iar direcția vectorului de accelerație coincide cu vectorul viteză 2.
Dacă viteza corpului scade în valoare absolută, adică
V 2< v 1
atunci direcția vectorului accelerație este opusă direcției vectorului viteză 2. Cu alte cuvinte, în acest caz există încetinirea, în timp ce accelerația va fi negativă (și< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Orez. 1.9. Accelerație instantanee.
Când se deplasează pe o traiectorie curbă, nu numai modulul de viteză se schimbă, ci și direcția acestuia. În acest caz, vectorul de accelerație este reprezentat ca două componente (vezi secțiunea următoare).
Accelerația tangențială
Accelerație tangenţială (tangenţială). Este componenta vectorului de accelerație direcționată de-a lungul tangentei la traiectorie într-un punct dat al traiectoriei de mișcare. Accelerația tangențială caracterizează modificarea vitezei modulo în timpul mișcării curbilinie.
Orez. 1.10. Accelerația tangențială.
Direcția vectorului de accelerație tangențială τ (vezi Fig. 1.10) coincide cu direcția vitezei liniare sau opusă acesteia. Adică, vectorul accelerației tangențiale se află pe aceeași axă cu cercul tangent, care este traiectoria corpului.
Accelerație normală
Accelerație normală Este componenta vectorului de accelerație îndreptată de-a lungul normalei la traiectoria mișcării într-un punct dat pe traiectoria corpului. Adică, vectorul accelerației normale este perpendicular pe viteza liniară a mișcării (vezi Fig. 1.10). Accelerația normală caracterizează schimbarea direcțională a vitezei și este notă cu litera n. Vectorul de accelerație normală este direcționat de-a lungul razei de curbură a traiectoriei.
Accelerație completă
Accelerație completăîn mișcare curbilinie, este suma accelerațiilor tangențiale și normale de-a lungul regula de adăugare a vectoruluiși este determinată de formula:
(conform teoremei lui Pitagora pentru un dreptunghi dreptunghiular).
Direcția de accelerație completă este, de asemenea, determinată regula de adăugare a vectorului:
= τ + n
