Teorema privind modificarea impulsului. Teoremă privind modificarea impulsului unui punct material Teoremă asupra modificării impulsului unui sistem material

Mărimea mișcării este o măsură a mișcării mecanice dacă mișcarea mecanică devine mecanică. De exemplu, mișcarea mecanică a unei mingi de biliard (Fig. 22) înainte de impact trece în mișcarea mecanică a bilelor după impact. Pentru un punct, impulsul este egal cu produsul.

Măsura acțiunii forței în acest caz este impulsul forței

. (9.1)

Momentul determină acțiunea forței pentru o perioada de timp . Pentru punct material teorema schimbării impulsului poate fi utilizată sub formă diferenţială
(9.2) sau formă integrală (finită).
. (9.3)

Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul tuturor forțelor aplicate punctului în același timp.

Figura 22

La rezolvarea problemelor, teorema (9.3) este folosită mai des în proiecțiile pe axele de coordonate
;

; (9.4)

.

Folosind teorema privind modificarea impulsului unui punct, este posibil să se rezolve probleme în care un punct sau un corp care se mișcă translațional este supus unor forțe constante sau variabile care depind de timp și de numărul de valori date și căutate. include timpul de mișcare și viteza la începutul și sfârșitul mișcării. Problemele folosind teorema sunt rezolvate în următoarea succesiune:

1. alege un sistem de coordonate;

2. descrieți toate forțele și reacțiile date (active) care acționează asupra unui punct;

3. scrieți teorema privind modificarea impulsului unui punct în proiecții pe axele de coordonate selectate;

4. determinați valorile dorite.

EXEMPLUL 12.

Un ciocan care cântărește G=2t cade de la o înălțime h=1m pe o piesă de prelucrat într-un timp t=0,01s și ștampilează piesa (Fig. 23). Determinați forța medie a ciocanului asupra piesei de prelucrat.

SOLUŢIE.

1. Gravitația ciocanului acționează asupra piesei de prelucrat și susține reacția . Valoarea reacției suport se modifică în timp, deci luați în considerare valoarea medie a acesteia
.

2. direcționați axa de coordonate y vertical în jos și aplicați teorema privind modificarea impulsului unui punct în proiecție pe această axă:
, (1) unde - viteza ciocanului la finalul loviturii;

- viteza initiala a ciocanului in momentul contactului cu piesa de prelucrat.

3. Pentru a determina viteza compunem ecuația diferențială a mișcării ciocanului în proiecție pe axa y:

. (2)

Separați variabilele, integrați ecuația (2) de două ori:
;

;

. Constantele de integrare С 1 , С 2 pot fi găsite din condițiile inițiale. La t=0 V y =0, atunci C 1 =0; y \u003d 0, apoi C 2 \u003d 0. Prin urmare, ciocanul se mișcă conform legii
, (3) iar viteza ciocanului se modifica conform legii
. (4) Vom exprima timpul de mișcare a ciocanului de la (3) și vom înlocui în (4)
;
. (5)

4. Găsim proiecția impulsului forțelor externe pe axa y prin formula:
. (6) Înlocuiți (5) și (6) în (1):
, de unde găsim reacția suportului, și, în consecință, presiunea dorită a ciocanului asupra piesei de prelucrat
t.

Figura 24

 La

unde M este masa sistemului, V c este viteza centrului de masă. Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic poate fi scrisă sub formă diferenţială şi finită (integrală):
;

. (9.7)

 Cantitatea de mișcare a unui sistem mecanic poate fi definită ca suma cantităților de mișcare a punctelor sistemului
. (9.5) Cantitatea de mișcare a unui sistem sau a unui corp rigid poate fi determinată cunoscând masa sistemului și viteza centrului de masă
, (9.6)

Modificarea cantității de mișcare a unui sistem mecanic într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe care acționează în același timp. Uneori este mai convenabil să folosiți teorema privind modificarea impulsului în proiecția pe axele de coordonate
; (9.8)
. (9.9)

Legea conservării impulsului stabilește că, în absența forțelor externe, impulsul unui sistem mecanic rămâne constant. Acțiunea forțelor interne nu poate schimba impulsul sistemului. Ecuația (9.6) arată că pentru
,
.

În cazul în care un
, apoi
sau
.

D

elice sau elice, propulsie cu reacție. Calamarii se deplasează în smucitură, aruncând apă din sacul muscular după principiul unui tun cu apă (Fig. 25). Apa respinsă are o cantitate cunoscută de mișcare înapoi. Calamarul câștigă viteza corespunzătoare mișcarea înainte datorită împingerii reactive , pentru că înainte ca calmarul să sară afară, forța echilibrat de gravitaţie .

Funcționarea legii conservării impulsului unui sistem mecanic poate fi ilustrată prin exemplul fenomenului de recul sau de deplasare la tragere, lucru

Aplicarea teoremei schimbării impulsului face posibilă excluderea tuturor forțelor interne din considerare.

EXEMPLUL 13.

Pe o platformă de cale ferată, de sine stătătoare pe șine, este instalat un troliu A cu un tambur cu raza r (Fig. 26). Troliul este proiectat să se deplaseze pe platforma încărcăturii B cu masa m 1 . Greutatea platformei cu troliu m 2 . Tamburul troliului se rotește conform legii
. La momentul inițial, sistemul era mobil. Neglijând frecarea, găsiți legea schimbării vitezei platformei după pornirea troliului.

R DECIZIE.

1. Considerați platforma, troliul și sarcina ca un singur sistem mecanic, care este afectat de forțele externe: forța gravitațională a sarcinii și platforme și reacții și
.

2. Deoarece toate forțele externe sunt perpendiculare pe axa x, adică.
, aplicăm legea conservării impulsului unui sistem mecanic în proiecție pe axa x:
. La momentul inițial de timp, sistemul era staționar, prin urmare,

Să exprimăm cantitatea de mișcare a sistemului la un moment arbitrar în timp. Platforma se deplasează înainte cu o viteză , sarcina realizează o mișcare complexă, constând într-o mișcare relativă de-a lungul platformei cu o viteză și mișcare portabilăîmpreună cu platforma cu viteza ., Unde
. Platforma se va deplasa în direcția opusă mișcării relative a încărcăturii.

EXEMPLUL 14.

M

SOLUŢIE.

1. Aplicați teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic în proiecție pe axa x. Deoarece toate forțele externe care acționează asupra sistemului sunt verticale, atunci
, apoi
, Unde
. (1)

2. Exprimăm proiecția cantității de mișcare pe axa x pentru sistemul mecanic considerat
,

 Sistemul mecanic este format dintr-o placă verticală dreptunghiulară 1 cu masa m 1 =18kg, care se deplasează de-a lungul ghidajelor orizontale și o sarcină D cu masa m 2 =6kg. La momentul t 0 =0, când placa se mișca cu o viteză u 0 =2m/s, sarcina a început să se deplaseze de-a lungul jgheabului în conformitate cu ecuația S=AD=0,4sin( t 2) (S-in metri, t-in secunde), (Fig. 26). Determinați viteza plăcii la momentul t 1 =1s, folosind teorema privind modificarea impulsului sistemului mecanic.

Unde ,
-- cantitatea de mișcare a plăcii și respectiv a încărcăturii.


;
, Unde --viteza absolută a sarciniiD. Din egalitatea (1) rezultă că K 1x + K 2x \u003d C 1 sau m 1 u x + m 2 V Dx \u003d C 1. (2) Pentru a determina V Dx, considerăm mișcarea sarcinii D ca fiind complexă, considerând mișcarea ei față de placă ca fiind relativă, iar mișcarea plăcii în sine ca fiind portabilă, atunci
, (3)
; sau în proiecția pe axa x: . (4) Înlocuiți (4) în (2):
. (5) Constanta de integrare C 1 se determină din condiţiile iniţiale: la t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 \u003d C 1. (6) Înlocuind valoarea constantei C 1 în ecuația (5), obținem

Domnișoară.

Cantitatea de mișcare a unui punct material se numește mărime vectorială mv, egal cu produsul dintre masa punctului și vectorul vitezei acestuia. Vector mV atașat la un punct în mișcare.

Cantitatea de mișcare a sistemului se numește mărime vectorială Q, egal cu suma geometrică (vectorul principal) a impulsului tuturor punctelor sistemului:

Vector Q este un vector liber. În sistemul SI de unități, modulul de impuls este măsurat în kg m/s sau N s.

De regulă, vitezele tuturor punctelor sistemului sunt diferite (a se vedea, de exemplu, distribuția vitezelor punctelor unei roți de rulare prezentată în Fig. 6.21) și, prin urmare, însumarea directă a vectorilor din partea dreaptă de egalitate (17.2) este dificilă. Să găsim o formulă cu ajutorul căreia cantitatea Q mult mai usor de calculat. Din egalitate (16.4) rezultă că

Luând derivata în timp a ambelor părți, obținem Prin urmare, luând în considerare egalitatea (17.2), constatăm că

adică, cantitatea de mișcare a sistemului este egală cu produsul dintre masa întregului sistem și viteza centrului său de masă.

Rețineți că vectorul Q, ca și vectorul principal al forțelor în statică, este un vector generalizat caracteristic mișcării întregului sistem mecanic. În cazul general al mișcării unui sistem, impulsul acestuia este Q poate fi considerată ca o caracteristică a părții de translație a mișcării sistemului împreună cu centrul său de masă. Dacă în timpul mișcării sistemului (corpului) centrul de masă este staționar, atunci impulsul sistemului va fi egal cu zero. Acesta este, de exemplu, impulsul unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de masă.

Exemplu. Determinați cantitatea de mișcare a sistemului mecanic (Fig. 17.1, A), constând din marfă DAR greutate t A - 2 kg, bloc omogen LA cântărind 1 kg și roți D greutate mD-4 kg. Marfă DAR deplasându-se cu o viteză V A - 2 m/s, roată D se rulează fără alunecare, firul este inextensibil și fără greutate. Soluţie. Cantitatea de mișcare a sistemului corpului

Corp DAR mergând înainte și Q A \u003d m A V A(numeric Q A= 4 kg m/s, direcție vectorială Q A coincide cu directia VA). bloc LA efectuează mișcare de rotație în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de masă; Prin urmare, QB- 0. Roata D face un plan-paralel


trafic; centrul său instantaneu de viteze este în punctul respectiv La, deci viteza centrului său de masă (puncte E) este egal cu V E = V A /2= 1 m/s. Numărul de mișcări ale roții Q D - m D V E - 4 kg m/s; vector QDîndreptată orizontal spre stânga.

Reprezentând vectori Q Ași QDîn fig. 17.1, b, găsiți impulsul Q sisteme conform formulei (a). Luând în considerare direcțiile și valorile numerice ale cantităților, obținem Q ~^Q A +Q E=4l/2~kg m/s, direcție vectorială Q prezentată în fig. 17.1, b.

Dat fiind a-dV/dt, ecuația (13.4) a legii de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Ecuația (17.4) exprimă teorema privind modificarea impulsului unui punct în formă diferențială: în fiecare moment de timp, derivata în timp a impulsului unui punct este egală cu forța care acționează asupra punctului. (În esență, aceasta este o altă formulare a legii de bază a dinamicii, apropiată de cea dată de Newton.) Dacă asupra unui punct acționează mai multe forțe, atunci în partea dreaptă a egalității (17.4) va exista o rezultantă a forțelor. aplicat punctului material.

Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu dt, atunci primim

Valoarea vectorială din partea dreaptă a acestei egalități caracterizează acțiunea exercitată asupra corpului prin forță într-o perioadă elementară de timp dt se notează această valoare dS si suna impuls elementar de forță, adică

Puls S putere F pe un interval de timp finit /, - / 0 este definit ca limita sumei integrale a impulsurilor elementare corespondente, i.e.


Într-un caz particular, dacă forța F constantă în modul și în direcție, atunci S = F(t| -/0) și S- F(t l -/ 0). În cazul general, modulul impulsului de forță poate fi calculat din proiecțiile sale pe axele de coordonate:


Acum, integrând ambele părți ale egalității (17.5) cu t= const, obținem

Ecuația (17.9) exprimă teorema privind modificarea impulsului unui punct în formă finită (integrală): modificarea impulsului unui punct într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forței care acționează asupra punctului (sau impulsul rezultantei tuturor forțelor aplicate acestuia) pentru aceeași perioadă de timp.

La rezolvarea problemelor, ecuațiile acestei teoreme sunt folosite în proiecții pe axele de coordonate


Acum luați în considerare un sistem mecanic format din P puncte materiale. Apoi, pentru fiecare punct, putem aplica teorema schimbării impulsului în forma (17.4), ținând cont de forțele externe și interne aplicate punctelor:

Însumând aceste egalități și ținând cont de faptul că suma derivatelor este egală cu derivata sumei, obținem

Deoarece prin proprietatea forţelor interne H.F.k=0 și prin definiția impulsului ^fn k V/ c = Q, apoi găsim în sfârșit


Ecuația (17.11) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă diferențială: în fiecare moment de timp, derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Proiectând egalitatea (17.11) pe axele de coordonate, obținem

Înmulțirea ambelor părți ale (17.11) cu dtși integrând, obținem

unde 0, Q0 - cantitatea de mișcare a sistemului în anumite momente și respectiv / 0 .

Ecuația (17.13) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului în orice moment este egală cu suma impulsurilor tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în același timp.

În proiecțiile pe axele de coordonate, obținem

Din teorema privind modificarea impulsului sistemului se pot obține următoarele consecințe importante, care exprimă legea conservării impulsului sistemului.

  • 1. Dacă suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero (LF k=0), apoi din ecuația (17.11) rezultă că în acest caz Q= const, adică vectorul impuls al sistemului va fi constant în mărime și direcție.
  • 2. Dacă forțele externe care acționează asupra sistemului sunt astfel încât suma proiecțiilor lor pe orice axă este zero (de exemplu, I e kx = 0), apoi din ecuațiile (17.12) rezultă că în acest caz Q x = const, adică proiecția impulsului sistemului pe această axă rămâne neschimbată.

Rețineți că forțele interne ale sistemului nu participă la ecuația teoremei privind modificarea impulsului sistemului. Aceste forțe, deși afectează impulsul punctelor individuale ale sistemului, nu pot schimba impulsul sistemului în ansamblu. Având în vedere această împrejurare, la rezolvarea problemelor, este oportun să alegeți sistemul luat în considerare astfel încât forțele necunoscute (toate sau parțial) să fie interne.

Legea conservării impulsului este convenabil de aplicat în cazurile în care modificarea vitezei unei părți a sistemului este necesară pentru a determina viteza altei părți a acestuia.

Problema 17.1. La cântărire cărucior t x- 12 kg deplasându-se pe un plan orizontal neted, într-un punct DAR o tijă fără greutate este atașată cu ajutorul unei balamale cilindrice ANUNȚ lungime /= 0,6 m cu sarcina D greutate t 2 - 6 kg la capăt (Fig. 17.2). La timp / 0 = 0, când viteza căruciorului și () - 0,5 m/s, tijă ANUNȚîncepe să se rotească în jurul axei DAR, perpendicular pe planul desenului, conform legii φ \u003d (tg / 6) (3 ^ 2 - 1) rad (/- în secunde). Defini: u=f.

§ 17.3. Teorema asupra mișcării centrului de masă

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic poate fi exprimată într-o altă formă, care se numește teorema asupra mișcării centrului de masă.

Substituind în ecuația (17.11) egalitatea Q=MV C , primim

Daca masa M sistemul este constant, obținem

Unde si cu - accelerarea centrului de masă al sistemului.

Ecuația (17.15) exprimă teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului: produsul dintre masa sistemului și accelerația centrului său de masă este egal cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Proiectând egalitatea (17.15) pe axele de coordonate, obținem

Unde x c , y c , z c - coordonatele centrului de masă al sistemului.

Aceste ecuații sunt ecuații diferențiale ale mișcării centrului de masă în proiecții pe axele sistemului de coordonate carteziene.

Să discutăm rezultatele. Să ne amintim preliminar că centrul de masă al sistemului este un punct geometric, uneori situat în afara limitelor geometrice ale corpului. Forțele care acționează asupra sistemului mecanic (extern și intern) sunt aplicate tuturor punctelor materiale ale sistemului. Ecuațiile (17.15) fac posibilă determinarea mișcării centrului de masă al sistemului fără a determina mișcarea punctelor sale individuale. Comparând ecuațiile (17.15) ale teoremei privind mișcarea centrului de masă și ecuația (13.5) a celei de-a doua legi a lui Newton pentru un punct material, ajungem la concluzia: centrul de masă al unui sistem mecanic se mișcă ca punct material, a cărui masă este egală cu masa întregului sistem și ca și cum toate forțele externe care acționează asupra sistemului ar fi aplicate în acest punct. Astfel, soluțiile pe care le obținem considerând un corp dat ca punct material determină legea de mișcare a centrului de masă al acestui corp.

În special, dacă corpul se mișcă înainte, atunci caracteristicile cinematice ale tuturor punctelor corpului și centrul său de masă sunt aceleași. De aceea un corp în mișcare progresivă poate fi întotdeauna considerat ca un punct material cu o masă egală cu masa întregului corp.

După cum se poate observa din (17.15), forțele interne care acționează asupra punctelor sistemului nu afectează mișcarea centrului de masă al sistemului. Forțele interne pot influența mișcarea centrului de masă în acele cazuri când forțele externe se modifică sub influența lor. Exemple în acest sens vor fi date mai jos.

Din teorema privind mișcarea centrului de masă se pot obține următoarele consecințe importante, care exprimă legea conservării mișcării centrului de masă al sistemului.

1. Dacă suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este zero (LF k=0), atunci rezultă din ecuația (17.15),

ce ziceti a c = 0 sau V c = const, adică centrul de masă al acestui sistem

se deplasează cu o viteză constantă în mărime și direcție (în caz contrar, uniform și rectiliniu). Într-un caz special, dacă la început centrul de masă era în repaus ( Vc=0), atunci va rămâne în repaus; Unde

urmări prezice că poziția sa în spațiu nu se va schimba, adică rc = const.

2. Dacă forțele externe care acționează asupra sistemului sunt astfel încât suma proiecțiilor lor pe o anumită axă (de exemplu, axa X) zero (?F e kx= 0), apoi din ecuația (17.16) rezultă că în acest caz x s=0 sau V Cx \u003d x c \u003d const, adică proiecția vitezei centrului de masă al sistemului pe această axă este o valoare constantă. Într-un caz special, dacă în momentul inițial Vex= 0, atunci în orice moment ulterior această valoare va fi păstrată și, prin urmare, rezultă că coordonatele x s centrul de masă al sistemului nu se va schimba, adică x s - const.

Luați în considerare exemple care ilustrează legea mișcării centrului de masă.

Exemple. 1. După cum am menționat, mișcarea centrului de masă depinde numai de forțele externe, forțele interne nu pot schimba poziția centrului de masă. Dar forțele interne ale sistemului pot provoca influențe externe. Astfel, mișcarea unei persoane pe o suprafață orizontală are loc sub acțiunea forțelor de frecare dintre tălpile pantofilor și suprafața drumului. Cu puterea mușchilor săi (forțe interne), o persoană împinge de pe suprafața drumului cu picioarele, ceea ce provoacă o forță de frecare (externă pentru o persoană) în punctele de contact cu drumul, îndreptată în direcția mișcării sale.

  • 2. Mașina se mișcă în același mod. Forțele interne de presiune din motorul său fac roțile să se rotească, dar, deoarece acestea din urmă au tracțiune, forțele de frecare care apar „împing” mașina înainte (ca urmare, roțile nu se rotesc, ci se mișcă într-un mod plan-paralel) . Dacă drumul este absolut neted, atunci centrul de masă al mașinii va fi staționar (la viteza inițială zero), iar roțile, în absența frecării, vor aluneca, adică se vor roti.
  • 3. Mișcarea cu ajutorul elicei, elicei, vâslelor se produce din cauza respingerii unei anumite mase de aer (sau apă). Dacă considerăm masa aruncată și corpul în mișcare ca un sistem, atunci forțele de interacțiune dintre ele, ca interne, nu pot schimba impulsul total al acestui sistem. Cu toate acestea, fiecare dintre părțile acestui sistem va deplasa, de exemplu, barca înainte și apa pe care vâslele o aruncă înapoi.
  • 4. În spațiul fără aer, când racheta se mișcă, „masa aruncată” ar trebui „luată cu tine”: motorul cu reacție informează racheta despre mișcare, aruncând înapoi produsele de combustie ale combustibilului cu care este umplută racheta.
  • 5. Când coborâți cu o parașută, puteți controla mișcarea centrului de masă al sistemului om-parașuta. Dacă printr-un efort muscular o persoană trage liniile parașutei în așa fel încât forma copertinei sale sau unghiul de atac al fluxului de aer se schimbă, atunci aceasta va provoca o modificare a influenței externe a fluxului de aer și, prin urmare, va afecta mișcarea întregului sistem.

Problema 17.2. LA sarcina 17.1 (vezi Figura 17.2) determinați: 1) legea de mișcare a căruciorului X (= /)(/), dacă se știe că la momentul inițial al timpului t 0 = Despre sistemul era în repaus și coordonatele x 10 = 0; 2) legea modificării cu timpul a valorii totale a reacției normale N(N = N" + N") plan orizontal, adică N=f2 (t).

Soluţie. Aici, ca și în problema 17.1, considerăm un sistem format dintr-un cărucior și o sarcină D,într-o poziţie arbitrară sub acţiunea forţelor externe aplicate acestuia (vezi Fig. 17.2). Axele de coordonate Ohu trageți astfel încât axa x să fie orizontală și axa x la trecut prin punct A 0, adică locația punctului DAR atunci t-t 0 - 0.

1. Determinarea legii de mișcare a căruciorului. Pentru a determina x, = /, (0, folosim teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului. Să compunem o ecuație diferențială a mișcării sale în proiecție pe axa x:

Deoarece toate forțele externe sunt verticale, atunci T, F e kx = 0 și, prin urmare

Integrând această ecuație, constatăm că Mx c \u003d B, adică proiecția vitezei centrului de masă al sistemului pe axa x este o valoare constantă. Din moment ce în momentul inițial al timpului

Integrarea ecuației Mx s= 0, obținem

adică coordonate x s centrul de masă al sistemului este constant.

Să scriem expresia Mx s pentru o poziţie arbitrară a sistemului (vezi Fig. 17.2), ţinând cont de faptul că x A - x { , x D - x 2și x 2 - x ( - eu păcat f. În conformitate cu formula (16.5), care determină coordonatele centrului de masă al sistemului, în acest caz Mx s - t(x( + t 2 x 2".

pentru un moment arbitrar

pentru punctul de timp / () = 0, X (= 0 și

În conformitate cu egalitatea (b), coordonatele x s centrul de masă al întregului sistem rămâne neschimbat, adică x c (t). Prin urmare, prin echivalarea expresiilor (c) și (d), obținem dependența coordonatei x de timp.

Răspuns: X - 0,2 m, unde t-în secunde.

2. Definirea reactiei N. Pentru determinare N=f2 (t) compunem ecuația diferențială de mișcare a centrului de masă al sistemului în proiecție pe axa verticală la(vezi fig. 17.2):

Prin urmare, denotând N=N+N", primim

După formula care determină ordonata tu s centrul de masă al sistemului, Mu s = t (y x + t 2 y 2, unde y, = la C1,la 2= y D = LaA ~ 1 pentru că Ф» primim

Diferențierea acestei egalități de două ori în funcție de timp (ținând cont de faptul că la C1și la un marimile sunt constante si, in consecinta, derivatele lor sunt egale cu zero), gasim


Înlocuind această expresie în ecuația (e), determinăm dependența necesară N din t.

Răspuns: N- 176,4 + 1,13,

unde φ \u003d (i / 6) (3 / -1), t- în secunde N- în newtoni.

Problema 17.3. Masa motorului electric t x atașat de suprafața orizontală a fundației cu șuruburi (Fig. 17.3). Pe arborele motorului în unghi drept față de axa de rotație, la un capăt este fixată o tijă fără greutate de lungime l, iar la celălalt capăt al tijei este montată o greutate punctuală. DAR greutate t 2 . Arborele se rotește uniform la o viteză unghiulară o. Găsiți presiunea orizontală a motorului pe șuruburi. Soluţie. Luați în considerare un sistem mecanic format dintr-un motor și o greutate punctuală DAR, într-o poziţie arbitrară. Să descriem forțele externe care acționează asupra sistemului: gravitația Rx, R2, reacția fundației sub forma unei forțe verticale N și forța orizontală R. Desenați axa x pe orizontală.

Pentru a determina presiunea orizontală a motorului pe șuruburi (și va fi numeric egală cu reacția R și îndreptată opus vectorului R ), compunem ecuația teoremei privind modificarea impulsului sistemului în proiecție pe axa orizontală x:

Pentru sistemul luat în considerare în poziția sa arbitrară, având în vedere că cantitatea de mișcare a carcasei motorului este zero, obținem Q x = - t 2 U A col. Ținând cont de faptul că V A = a s/, φ = ω/ (rotația uniformă a motorului), obținem Q x - - m 2 co/cos co/. diferenţierea Q x în timp și substituind în egalitate (a), găsim R- m 2 co 2 /sin co/.

Rețineți că tocmai astfel de forțe forțează (vezi § 14.3), atunci când acţionează, apar vibraţii forţate ale structurilor.

Exerciții pentru muncă independentă

  • 1. Ce se numește impulsul unui punct și al unui sistem mecanic?
  • 2. Cum se modifică impulsul unui punct care se mișcă uniform în jurul unui cerc?
  • 3. Ce caracterizează impulsul de forță?
  • 4. Forțele interne ale sistemului îi afectează impulsul? Despre mișcarea centrului său de masă?
  • 5. Cum afectează cuplurile de forțe aplicate acestuia mișcarea centrului de masă al sistemului?
  • 6. În ce condiții se află centrul de masă al sistemului în repaus? se deplasează uniform și în linie dreaptă?

7. Într-o barcă staționară, în absența curgerii apei, un adult stă la pupa, iar un copil stă la prova bărcii. În ce direcție se va mișca barca dacă își schimbă locul?

În care caz modulul de deplasare al bărcii va fi mare: 1) dacă copilul merge la adult în pupa; 2) dacă un adult merge la copil pe prova bărcii? Care vor fi deplasările centrului de masă al sistemului „barcă și doi oameni” în timpul acestor mișcări?

Teorema privind modificarea impulsului unui punct

Deoarece masa unui punct este constantă și accelerația sa, ecuația care exprimă legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Ecuația exprimă simultan teorema privind modificarea impulsului unui punct în formă diferențială: derivată în timp a impulsului unui punct este egal cu suma geometrică a forțelor care acționează asupra punctului.

Să integrăm această ecuație. Lăsați punctul de masă m, deplasându-se sub acţiunea unei forţe (Fig. 15), are în momentul de faţă t\u003d 0 viteză, iar în acest moment t 1 - viteza.

Fig.15

Atunci să înmulțim ambele părți ale egalității cu și să luăm integrale definite din ele. În acest caz, în dreapta, unde integrarea este în timp, limitele integralelor vor fi 0 și t 1, iar în stânga, unde este integrată viteza, limitele integralei vor fi valorile corespunzătoare ale vitezei și . Din moment ce integrala a egală , apoi ca rezultat obținem:

.

Integralele din dreapta sunt impulsurile forțelor care acționează. Așa că ajungem cu:

.

Ecuația exprimă teorema privind modificarea impulsului unui punct în forma finală: modificarea impulsului unui punct într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor tuturor forțelor care acționează asupra punctului în aceeași perioadă de timp ( orez. cincisprezece).

La rezolvarea problemelor, în locul unei ecuații vectoriale, sunt adesea folosite ecuații din proiecții.

În cazul mișcării rectilinie de-a lungul axei Oh teorema este exprimată prin prima dintre aceste ecuații.

Exemplul 9 Aflați legea mișcării unui punct de masă material m deplasându-se de-a lungul axei X sub acţiunea unei constante de forţă în modul F(Fig. 16) în condiţii iniţiale: , la .

Fig.16

Soluţie. Să compunem o ecuație diferențială a mișcării unui punct din proiecția pe axă X: . Integrând această ecuație, găsim: . Constanta este determinată din condiția inițială pentru viteza și este egală cu . In cele din urma

.

În plus, ținând cont de faptul că v = dx/dt, ajungem la ecuația diferențială: , integrând ceea ce obținem

Constanta este determinată din condiția inițială pentru coordonatele punctului. Ea este egală. Prin urmare, legea mișcării unui punct are forma

Exemplul 10. Greutatea încărcăturii R(Fig. 17) începe să se deplaseze din repaus de-a lungul unui plan orizontal neted sub acțiunea unei forțe F=kt. Aflați legea mișcării sarcinii.

Fig.17

Soluţie. Alegem originea sistemului de coordonate Oîn poziţia iniţială a sarcinii şi direcţionaţi axa Xîn sensul de deplasare (Fig. 17). Atunci condițiile inițiale arată astfel: X(t = 0) = 0,v( t = 0) = 0. Forțele acționează asupra sarcinii F,Pși forța de reacție a avionului N. Proiecțiile acestor forțe pe axă X materie FX = F = kt, RX = 0, N x= 0, deci ecuația de mișcare corespunzătoare poate fi scrisă astfel: . Separând variabilele din această ecuație diferențială și apoi integrând, obținem: v = gkt 2 /2P + C unu . Înlocuirea datelor inițiale ( v(0) = 0), constatăm că C 1 = 0 și obținem legea schimbării vitezei .

Ultima expresie, la rândul ei, este o ecuație diferențială, integrând căreia vom găsi legea mișcării unui punct material: . Constanta care intră aici este determinată din a doua condiție inițială X(0) = 0. Este ușor de observat că . In cele din urma

Exemplul 11. Pe o sarcină în repaus pe un plan neted orizontal (vezi Fig. 17) la distanță A de la origine, începe să acționeze în direcția pozitivă a axei X putere F=k 2 (P/g)X, Unde R - greutatea încărcăturii. Aflați legea mișcării sarcinii.

Soluţie. Ecuația de mișcare a sarcinii considerate (punctul material) în proiecția pe axă X

Condițiile inițiale ale ecuației (1) au forma: X(t = 0) = A, v( t = 0) = 0.

Reprezentăm derivata în timp a vitezei care intră în ecuația (1) după cum urmează:

.

Înlocuind această expresie în ecuația (1) și reducând cu ( P/g), primim

Separând variabilele din ultima ecuație, constatăm că . Integrându-l pe acesta din urmă, avem: . Utilizarea condițiilor inițiale , obținem și, prin urmare,

, . (2)

Deoarece forța acționează asupra sarcinii în direcția pozitivă a axei X, este clar că trebuie să se deplaseze și în aceeași direcție. Prin urmare, în soluția (2), trebuie ales semnul plus. Înlocuind în continuare în a doua expresie (2) cu , se obține o ecuație diferențială pentru determinarea legii de mișcare a sarcinii. De unde, separând variabilele, avem

.

Integrându-l pe acesta din urmă, găsim: . După ce găsim constanta, obținem în sfârșit

Exemplul 12. Minge M mase m(Fig.18) cade fără viteza inițială sub acțiunea gravitației. Pe măsură ce mingea cade, ea experimentează rezistență, unde – coeficient de rezistență constant. Găsiți legea mișcării mingii.

Fig.18

Soluţie. Să introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul în care se află bila t = 0, direcționând axa la vertical în jos (Fig. 18). Ecuație diferențială mișcarea mingii în proiecția pe axă la apoi are forma

Condițiile inițiale pentru minge sunt scrise după cum urmează: y(t = 0) = 0, v( t = 0) = 0.

Separarea variabilelor în ecuația (1)

iar integrând, găsim: , unde . Sau după găsirea unei constante

sau . (2)

De aici rezultă că viteza de limitare, adică. viteza la , este egală cu .

Pentru a afla legea mișcării, înlocuim v în ecuația (2) cu dy/dt. Apoi, integrând ecuația rezultată cu alocația pentru condiția inițială, găsim în sfârșit

.

Exemplul 13 Submarin de cercetare de formă și masă sferică m= = 1,5×10 5 kgîncepe să se scufunde cu motoarele oprite, având o viteză orizontală v X 0 = 30 Domnișoarăși flotabilitate negativă R 1 = 0.01mg, Unde este suma vectorială a forței arhimediene de flotabilitate Qși gravitația mg acţionând asupra navei (Fig. 20). Forța de rezistență la apă , kg/s. Determinați ecuațiile de mișcare ale bărcii și traiectoria acesteia.

Teoreme generale ale dinamicii unui sistem de corpuri. Teoreme asupra mișcării centrului de masă, asupra schimbării impulsului, asupra schimbării momentului principal al impulsului, asupra schimbării energiei cinetice. Principiile lui d'Alembert și posibilele deplasări. Ecuația generală a dinamicii. Ecuațiile lui Lagrange.

Conţinut

Munca făcută de forță, este egal cu produsul scalar al vectorilor de forță și deplasarea infinitezimală a punctului de aplicare:
,
adică produsul modulelor vectorilor F și ds și cosinusul unghiului dintre ei.

Munca făcută de momentul forței, este egal cu produsul scalar al vectorilor momentului și unghiului infinitezimal de rotație:
.

principiul d'Alembert

Esența principiului lui d'Alembert este de a reduce problemele de dinamică la problemele de statică. Pentru a face acest lucru, se presupune (sau se știe dinainte) că corpurile sistemului au anumite accelerații (unghiulare). În continuare, se introduc forțele de inerție și (sau) momentele de inerție, care sunt egale ca mărime și reciproce ca direcție cu forțele și momentele forțelor, care, conform legilor mecanicii, ar crea accelerații sau accelerații unghiulare date.

Luați în considerare un exemplu. Corpul face o mișcare de translație și asupra lui acționează forțele externe. În plus, presupunem că aceste forțe creează o accelerare a centrului de masă al sistemului. Conform teoremei privind mișcarea centrului de masă, centrul de masă al unui corp ar avea aceeași accelerație dacă asupra corpului ar acționa o forță. În continuare, introducem forța de inerție:
.
După aceea, sarcina dinamicii este:
.
;
.

Pentru mișcare de rotație acționează într-un mod similar. Lăsați corpul să se rotească în jurul axei z și momentele exterioare ale forțelor M e zk să acționeze asupra acestuia. Bănuim că aceste momente creează accelerație unghiularăεz . În continuare, introducem momentul forțelor de inerție M И = - J z ε z . După aceea, sarcina dinamicii este:
.
Se transformă într-o sarcină statică:
;
.

Principiul mișcărilor posibile

Principiul deplasărilor posibile este utilizat pentru rezolvarea problemelor de statică. În unele probleme, oferă o soluție mai scurtă decât scrierea ecuațiilor de echilibru. Acest lucru este valabil mai ales pentru sistemele cu conexiuni (de exemplu, sisteme de corpuri conectate prin fire și blocuri), constând din mai multe corpuri

Principiul mișcărilor posibile.
Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu constrângeri ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero.

Posibilă mutare a sistemului- aceasta este o deplasare mică, la care conexiunile impuse sistemului nu sunt rupte.

Conexiuni perfecte- acestea sunt obligațiuni care nu funcționează atunci când sistemul este mutat. Mai precis, suma muncii efectuate de legăturile în sine la mutarea sistemului este zero.

Ecuația generală a dinamicii (principiul d'Alembert - Lagrange)

Principiul d'Alembert-Lagrange este o combinaţie a principiului d'Alembert cu principiul posibilelor deplasări. Adică, atunci când rezolvăm problema dinamicii, introducem forțele de inerție și reducem problema la problema staticii, pe care o rezolvăm folosind principiul posibilelor deplasări.

principiul d'Alembert-Lagrange.
Când un sistem mecanic se mișcă cu constrângeri ideale în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor de inerție pe orice posibilă deplasare a sistemului este egală cu zero:
.
Această ecuație se numește ecuația generală a dinamicii.

Ecuații Lagrange

Coordonatele generalizate q 1 , q 2 , ..., q n este un set de n valori care determină în mod unic poziția sistemului.

Numărul de coordonate generalizate n coincide cu numărul de grade de libertate ale sistemului.

Viteze generalizate sunt derivatele coordonatelor generalizate în raport cu timpul t.

Forțele generalizate Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Considerăm o posibilă deplasare a sistemului, în care coordonata q k va primi o deplasare δq k . Restul coordonatelor rămân neschimbate. Fie δA k munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de deplasări. Apoi
δA k = Q k δq k sau
.

Dacă, cu o posibilă deplasare a sistemului, toate coordonatele se modifică, atunci munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de deplasări are forma:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Atunci forțele generalizate sunt derivate parțiale ale lucrării de deplasare:
.

Pentru forțele potențiale cu potențial Π,
.

Ecuații Lagrange sunt ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic în coordonate generalizate:

Aici T este energia cinetică. Este o funcție de coordonate generalizate, viteze și, eventual, timp. Prin urmare, derivata sa parțială este, de asemenea, o funcție de coordonate generalizate, viteze și timp. În continuare, trebuie să țineți cont de faptul că coordonatele și vitezele sunt funcții ale timpului. Prin urmare, pentru a găsi derivata totală în raport cu timpul, trebuie să se aplice regula diferențierii functie complexa:
.

Referinte:
S. M. Targ, Curs scurt Mecanica Teoretica, Scoala Superioara, 2010.

Cum se determină impulsul unei forțe variabile pe o perioadă finită de timp? Ce caracterizează impulsul unei forțe?

Impulsul unei forțe variabile pe o perioadă finită de timp este egal cu

Impulsul de forță caracterizează transferul mișcării mecanice către corp de la corpurile care acționează asupra acestuia pentru o anumită perioadă de timp.

Care sunt proiecțiile impulsului forțelor constante și variabile pe axele de coordonate?

Proiecțiile impulsului unei forțe variabile pe axele de coordonate sunt

Proiecțiile impulsului unei forțe constante pe axele de coordonate pe o perioadă de timp sunt egale cu

Care este impulsul rezultantei?

Impulsul rezultantei mai multor forțe pentru o anumită perioadă de timp este egal cu suma geometrică a impulsurilor forțelor constitutive pentru aceeași perioadă de timp

Cum se modifică impulsul unui punct care se mișcă uniform într-un cerc?

Cu o mișcare uniformă a unui punct de-a lungul unui cerc, direcția impulsului se schimbă, dar modulul său este păstrat.

Care este impulsul unui sistem mecanic?

Momentul unui sistem mecanic este un vector egal cu suma geometrică (vectorul principal) a numerelor de mișcări ale tuturor punctelor sistemului

.

Care este impulsul unui volant care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de greutate?

Momentul unui volant care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de greutate este egal cu zero, deoarece .

Formulați teoreme privind modificarea impulsului unui punct material și a unui sistem mecanic în forme diferențiale și finite. Exprimați fiecare dintre aceste teoreme cu o ecuație vectorială și trei ecuații în proiecții pe axele de coordonate.

Momentul diferenţial al unui punct material este egal cu impulsul elementar al forţelor care acţionează asupra punctului

.

Modificarea numărului de mișcări ale punctului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor aplicate punctului în aceeași perioadă de timp.

.

În proiecții, aceste teoreme au forma

, ,

, , .

Derivata în timp a impulsului unui sistem mecanic este geometric egală cu vectorul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului

Derivată în timp a proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă este egală cu proiecția vectorului principal al forțelor externe pe aceeași axă

Modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor externe aplicate sistemului în aceeași perioadă.



.

Modificarea proiecției impulsului sistemului pe orice axă este egală cu suma proiecțiilor impulsurilor tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului pe aceeași axă.

, , .

În ce condiții nu se modifică impulsul unui sistem mecanic? În ce condiții nu se modifică proiecția sa pe o anumită axă?

Dacă vectorul principal al forțelor externe pentru perioada de timp considerată este egal cu zero, atunci impulsul sistemului este constant.

Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe orice axă este egală cu zero, atunci proiecția impulsului pe această axă este constantă.

De ce se retrage pistolul când este tras?

Reculul pistolului atunci când este tras în direcție orizontală se datorează faptului că proiecția impulsului pe axa orizontală nu se modifică în absența forțelor orizontale.

, .

Pot forțele interne să modifice impulsul sistemului sau impulsul părții sale?

Deoarece vectorul principal al forțelor interne este egal cu zero, ele nu pot schimba impulsul sistemului.