Se poate întâmpla ca partea stângă a ecuației diferențiale
este diferența totală a unei funcții:
și prin urmare, ecuația (7) ia forma.
Dacă funcția este o soluție a ecuației (7), atunci și, prin urmare,
unde este o constantă și invers, dacă o funcție transformă ecuația finală (8) într-o identitate, atunci, diferențiind identitatea rezultată, obținem și, prin urmare, unde este o constantă arbitrară, este integrala generală a ecuației originale .
Dacă sunt date valorile inițiale, atunci constanta este determinată din (8) și
este integrala parțială necesară. Dacă într-un punct, atunci ecuația (9) se definește ca o funcție implicită a.
Pentru ca partea stângă a ecuației (7) să fie diferența totală a unei funcții, este necesar și suficient ca
Dacă această condiție, indicată de Euler, este îndeplinită, atunci ecuația (7) poate fi integrată cu ușurință. Într-adevăr, . Pe de altă parte, . Prin urmare,
Când se calculează integrala, cantitatea este considerată o constantă, prin urmare este o funcție arbitrară a. Pentru a defini funcția, diferențiem funcția găsită față de și, din moment ce, obținem
Din această ecuație determinăm și, integrând, găsim.
După cum știți din cursul analizei matematice, este și mai ușor să determinați o funcție prin diferența sa totală, luând o integrală curbilinie între un punct fix și un punct cu coordonate variabile de-a lungul oricărei căi:
Cel mai adesea, este convenabil să luați o linie întreruptă ca cale de integrare, formată din două legături paralele cu axele de coordonate; în acest caz
Exemplu. .
Partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții, deoarece
Prin urmare, integrala generală are forma
O altă metodă de definire a unei funcții poate fi aplicată:
Pentru punctul de plecare, alegem, de exemplu, originea coordonatelor, ca cale de integrare - ruptă. Atunci
iar integrala generală are forma
Care este același cu rezultatul anterior, rezultând un numitor comun.
În unele cazuri, când partea stângă a ecuației (7) nu este o diferențială completă, este ușor de găsit o funcție, după înmulțirea cu care partea stângă a ecuației (7) se transformă într-o diferență totală. Această funcție este numită factor integrator... Rețineți că înmulțirea cu un factor de integrare poate duce la apariția unor soluții particulare inutile care fac acest factor zero.
Exemplu. .
Evident, după înmulțirea cu un factor, partea stângă devine un diferențial total. Într-adevăr, după înmulțirea cu obținem
sau, integrând,. Inmultind cu 2 si potentand, vom avea.
Desigur, factorul de integrare nu este întotdeauna atât de ușor de selectat. În cazul general, pentru a găsi factorul de integrare, este necesar să se selecteze cel puțin o soluție particulară a ecuației cu diferență parțială care nu este identic zero, sau în formă extinsă
care, după împărțirea și transferul unor termeni pe cealaltă parte a egalității, se reduce la forma
În cazul general, integrarea acestei ecuații diferențiale parțiale nu este în niciun caz o problemă mai simplă decât integrarea ecuației originale; totuși, în unele cazuri, selectarea unei anumite soluții la ecuația (11) nu este dificilă.
În plus, presupunând că factorul de integrare este o funcție a unui singur argument (de exemplu, este doar o funcție sau numai, sau numai o funcție, sau numai etc.), se poate integra cu ușurință ecuația (11) și se poate indica condiţiile în care există un factor integrator de tipul în cauză. Astfel, se disting clase de ecuații pentru care factorul de integrare poate fi găsit cu ușurință.
De exemplu, să găsim condiții în care ecuația are un factor de integrare care depinde numai de, i.e. ... În acest caz, ecuația (11) este simplificată și ia forma, de unde, presupunând o funcție continuă a, obținem
Dacă este o funcție numai a, atunci factorul integrator care depinde numai de există și este egal cu (12), în caz contrar factorul integrator al formei nu există.
Condiția existenței unui factor integrator care depinde numai de este îndeplinită, de exemplu, pentru o ecuație liniară sau. Într-adevăr, și deci. Condițiile de existență a factorilor integratori ai formei etc., pot fi găsite exact în același mod.
Exemplu. Are ecuația un factor integrator de formă?
Să notăm. Ecuația (11) la ia forma, de unde sau
Pentru existența unui factor integrator al unei forme date este necesar, și sub presupunerea continuității, ca acesta să fie doar o funcție. În acest caz, deci, factorul de integrare există și este egal cu (13). Când ajungem. Înmulțind ecuația inițială cu, o aducem în formă
Integrând, obținem, iar după potențare vom avea, sau în coordonate polare, o familie de spirale logaritmice.
Exemplu... Găsiți forma unei oglinzi care reflectă, paralel cu o direcție dată, toate razele care emană dintr-un punct dat.
Plasăm originea coordonatelor într-un punct dat și direcționăm axa absciselor paralel cu direcția specificată în condițiile problemei. Lasă fasciculul să cadă pe oglindă într-un punct. Să considerăm secțiunea oglinzii după un plan care trece prin axa absciselor și un punct. Să desenăm o linie tangentă la secțiunea considerată a suprafeței oglinzii într-un punct. Deoarece unghiul de incidență al razei este egal cu unghiul de reflexie, triunghiul este isoscel. Prin urmare,
Ecuația omogenă rezultată poate fi integrată cu ușurință prin schimbarea variabilelor, dar este și mai ușor, eliberată de iraționalitate în numitor, să o rescrieți în formă. Această ecuație are un factor de integrare evident,,, (familia de parabole).
Această problemă este și mai ușor de rezolvat în coordonate și, unde, în acest caz, ia forma ecuația secțiunii transversale a suprafețelor căutate.
Este posibil să se dovedească existența unui factor integrator sau, ceea ce este același, existența unei soluții nenule a ecuației cu diferență parțială (11) într-un anumit domeniu, dacă funcțiile și au derivate continue și cel puțin una dintre acestea. funcțiile nu dispare. În consecință, metoda factorului integrator poate fi considerată ca o metodă generală de integrare a ecuațiilor de formă, totuși, din cauza dificultății de a găsi factorul integrator, această metodă este folosită cel mai adesea în cazurile în care factorul integrator este evident.
unele functii. Dacă restabilim funcția din diferența sa totală, atunci găsim integrala generală a ecuației diferențiale. Mai jos vom vorbi despre metoda de recuperare a unei funcţii din diferenţialul ei total.
Partea stângă a ecuației diferențiale este diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0 dacă condiția este îndeplinită.
pentru că diferenţial de funcţie totală U (x, y) = 0 aceasta 
, prin urmare, atunci când condiția este îndeplinită, se afirmă că.
Atunci, 
.
Din prima ecuație a sistemului obținem 
... Găsim funcția folosind a doua ecuație a sistemului:
Astfel, vom găsi funcția necesară U (x, y) = 0.
Exemplu.
Să găsim soluția generală a DE 
.
Soluţie.
În exemplul nostru. Condiția este îndeplinită deoarece:
Apoi, partea stângă a DE inițial este diferența totală a unei anumite funcții U (x, y) = 0... Trebuie să găsim această funcție.
pentru că 
este diferența completă a funcției U (x, y) = 0, mijloace:
.
Ne integrăm peste X prima ecuație a sistemului și diferențiați în raport cu y rezultat:
.
Din ecuația a 2-a a sistemului obținem. Mijloace:
Unde CU este o constantă arbitrară.
Astfel, și integrala generală a ecuației date va fi 
.
Există o secundă metoda de calculare a unei functii prin diferenta sa totala... Constă în preluarea unei integrale curbilinii dintr-un punct fix (x 0, y 0) până la un punct cu coordonate variabile (X y): 
... În acest caz, valoarea integralei este independentă de calea integrării. Este convenabil să luăm ca cale de integrare o polilinie ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.
Exemplu.
Să găsim soluția generală a DE 
.
Soluţie.
Verificăm îndeplinirea condiției:
Astfel, partea stângă a DE este diferența totală a unei anumite funcții U (x, y) = 0... Să găsim această funcție calculând integrala curbilinie din punct (1; 1) inainte de (X y)... Luăm o linie întreruptă ca cale de integrare: prima secțiune a liniei întrerupte va merge de-a lungul unei linii drepte y = 1 din punct (1, 1) inainte de (x, 1), ca a doua secțiune a traseului luăm un segment de dreaptă din punct (x, 1) inainte de (X y):
Aceasta înseamnă că soluția generală a sistemului de control arată astfel: 
.
Exemplu.
Să definim soluția generală a DE.
Soluţie.
pentru că , ceea ce înseamnă că condiția nu este îndeplinită, atunci partea stângă a ecuației diferențiale nu va fi diferența completă a funcției și trebuie să utilizați a doua metodă de soluție (această ecuație este o ecuație diferențială cu variabile separabile).
Enunțarea problemei în cazul bidimensional
Reconstituirea unei funcţii a mai multor variabile din diferenţialul ei total
9.1. Enunțarea problemei în cazul bidimensional. 72
9.2. Descrierea soluției. 72
Aceasta este una dintre aplicațiile unei integrale curbilinii de al doilea fel.
O expresie pentru diferența totală a unei funcții a două variabile este dată:
Găsiți o funcție.
1. Deoarece nu orice expresie a formei este o diferenţială totală a unei funcţii U(X,y), atunci este necesar să se verifice corectitudinea enunţului problemei, adică să se verifice condiţia necesară şi suficientă pentru diferenţialul total, care pentru o funcţie de 2 variabile are forma. Această condiție rezultă din echivalența afirmațiilor (2) și (3) din teorema secțiunii precedente. Dacă condiția indicată este îndeplinită, atunci problema are o soluție, adică funcția U(X,y) puteți restaura; dacă condiția nu este îndeplinită, atunci problema nu are soluție, adică funcția nu poate fi restabilită.
2. Este posibil să găsiți o funcție prin diferența sa totală, de exemplu, folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei linii care leagă un punct fix ( X 0 ,y 0) și punct variabil ( X y) (Orez. optsprezece):
Astfel, s-a obţinut că integrala curbilinie a celui de-al doilea fel al diferenţialului total dU(X,y) este egală cu diferența dintre valorile funcției U(X,y) la punctele de capăt și de început ale liniei de integrare.
Acum cunoscând acest rezultat, trebuie să înlocuiți în schimb dUîn expresia integrală curbilinie și calculați integrala de-a lungul liniei întrerupte ( ACB), având în vedere independența sa față de forma liniei de integrare:
pe ( AC): pe ( SV) :
| (1) |
S-a obţinut astfel o formulă cu ajutorul căreia se restabileşte funcţia a 2 variabile din diferenţialul ei total.
3. Funcția poate fi restabilită din diferența sa totală doar până la un termen constant, deoarece d(U+ const) = dU... Prin urmare, în urma rezolvării problemei, obținem un set de funcții care diferă între ele printr-un termen constant.
Exemple (restaurarea unei funcții a două variabile din diferenţialul total)
1. Găsiți U(X,y), dacă dU = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.
Verificăm starea diferenţialului total al funcţiei a două variabile:
Condiția diferențială totală este îndeplinită; deci, funcția U(X,y) poate fi restaurat.
Verificați: - adevărat.
Răspuns: U(X,y) = X 3 /3 – X y 2 + C.
2. Găsiți o funcție astfel încât
Verificăm condițiile necesare și suficiente pentru diferența totală a funcției a trei variabile:,,, dacă este dată expresia.
În problema care se rezolvă
sunt îndeplinite toate condițiile pentru diferența totală, prin urmare, funcția poate fi restabilită (problema este pusă corect).
Vom restabili funcția folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei linii care leagă un punct fix și un punct variabil, deoarece
(această egalitate este derivată în același mod ca și în cazul bidimensional).
Pe de altă parte, integrala curbilinie a celui de-al doilea tip de diferenţial total nu depinde de forma liniei de integrare; prin urmare, este mai uşor să o numărăm de-a lungul unei linii întrerupte constând din segmente paralele cu axele de coordonate. În acest caz, ca punct fix, puteți lua un punct cu coordonate numerice specifice doar pentru dvs., urmărind doar astfel încât în acest punct și pe întreaga linie de integrare să fie îndeplinită condiția existenței unei integrale curbilinii (adică , că funcțiile, și sunt continue). Având în vedere această remarcă, în această problemă, puteți lua un punct fix, de exemplu, punctul M 0. Apoi pe fiecare dintre legăturile liniei întrerupte vom avea
10.2. Calculul integralei de suprafață de primul fel. 79
10.3. Unele aplicații ale unei integrale de suprafață de primul fel. 81
Diferenţial se numește ecuație de formă
P(X y)dx + Q(X y)dy = 0 ,
unde partea stângă este diferența totală a unei funcții a două variabile.
Notăm funcția necunoscută a două variabile (aceasta este ceea ce trebuie să găsim atunci când rezolvăm ecuații în diferențiale totale) prin Fși ne vom întoarce la ea în curând.
Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție: trebuie să fie zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus.
În al doilea rând, trebuie observată o oarecare egalitate, ceea ce este o confirmare că ecuația diferențială dată este o ecuație în diferențiale totale. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții F destul de consumator de timp și este important în etapa inițială să ne asigurăm că nu pierdem timpul.
Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită a fost notă cu F... Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație diferențială totală, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție
dF = P(X y)dx + Q(X y)dy .
Reamintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:
Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie
.
Prima egalitate este diferențiabilă în raport cu variabila „joc”, a doua - în raport cu variabila „x”:
.
care este condiția ca ecuația diferențială dată să fie într-adevăr o ecuație în diferențiale totale.
Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale
Pasul 1. Verificați dacă ecuația este o ecuație diferențială totală. Pentru expresia 
a fost diferența totală a unei funcții F(X y), este necesar și suficient ca. Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la X iar derivata parțială în raport cu y alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație în diferențiale totale.
Pasul 2. Scrieți un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:
Pasul 3. Integrați prima ecuație a sistemului - prin X (y F:
,
y.
O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - peste y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, funcția este de asemenea restabilită F:
,
unde este funcția încă necunoscută a X.
Pasul 4. Diferențiați rezultatul pasului 3 (integrala comună găsită) în raport cu y(alternativ - de X) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:
,
și, alternativ, la prima ecuație a sistemului:
.
Din ecuația rezultată, determinăm (alternativ)
Pasul 5. Integrați și găsiți rezultatul pasului 4 (găsiți alternativ).
Pasul 6.Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F... Constanta arbitrara C scris mai des după semnul egal – în partea dreaptă a ecuației. Astfel, obținem soluția generală a ecuației diferențiale în diferențiale totale. După cum am menționat deja, are forma F(X y) = C.
Exemple de soluții de ecuații diferențiale în diferențiale totale
Exemplul 1.
Pasul 1. ecuația diferențială totală
X un termen din partea stângă a expresiei
iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuația diferențială totală
.
Pasul 2. F:
Pasul 3. pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:
unde este funcția încă necunoscută a y.
Pasul 4. y
.
.
Pasul 5.
Pasul 6. F... Constanta arbitrara C
:
.
Ce eroare este cel mai probabil posibilă aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați integrala parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a produsului de funcții și să încercați să integrați prin părți sau printr-o variabilă substitutivă și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a produs al funcțiilor și căutați derivata prin formula corespunzătoare.
Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și scoasă din semnul integral, iar când se calculează o derivată parțială față de una dintre variabile, cealaltă este, de asemenea, o constantă și derivata expresiei se găsește ca derivată a variabilei „eficiente” înmulțită cu o constantă.
Printre ecuații în diferențiale totale nu neobișnuit - exemple cu exponent. Acesta este următorul exemplu. De asemenea, se remarcă prin faptul că în soluția sa este utilizată o opțiune alternativă.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația diferențială
.
Pasul 1. Să verificăm dacă ecuația este ecuația diferențială totală
... Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la X un termen din partea stângă a expresiei 
iar derivata parțială în raport cu y alt termen
... Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuația diferențială totală
.
Pasul 2. Notăm sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:
Pasul 3. Să integrăm a doua ecuație a sistemului - peste y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:
unde este funcția încă necunoscută a X.
Pasul 4. Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin X
și echivalează cu prima ecuație a sistemului:
Din ecuația rezultată, determinăm:
.
Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim: 
.
Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F... Constanta arbitrara C scriem după semnul egal. Astfel, obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale
:
.
În exemplul următor, ne întoarcem de la alternativă la cea principală.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația diferențială
Pasul 1. Să verificăm dacă ecuația este ecuația diferențială totală
... Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei
iar derivata parțială în raport cu X alt termen 
... Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuația diferențială totală
.
Pasul 2. Notăm sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:
Pasul 3. Integram prima ecuatie a sistemului - 
pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:
unde este funcția încă necunoscută a y.
Pasul 4. Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y
și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:
Din ecuația rezultată, determinăm:
.
Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim: 
Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F... Constanta arbitrara C scriem după semnul egal. Astfel, obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale
:
.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația diferențială
Pasul 1. Să verificăm dacă ecuația este ecuația diferențială totală
... Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei
iar derivata parțială în raport cu X alt termen
... Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este o ecuație în diferențiale totale.
Pasul 2. Notăm sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:
Pasul 3. Integram prima ecuatie a sistemului - 
pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:
unde este funcția încă necunoscută a y.
Pasul 4. Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y
și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:
Din ecuația rezultată, determinăm:
.
Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim: 
Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F... Constanta arbitrara C scriem după semnul egal. Astfel, obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale
:
.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația diferențială
.
Pasul 1. Să verificăm dacă ecuația este ecuația diferențială totală
... Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei 
iar derivata parțială în raport cu X alt termen 
... Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuația diferențială totală
.
