Descompunerea seriei de putere online. Seria Maclaurin și descompunerea unor funcții. Întrebări de autotest

Dacă funcţia f (x) are pe un interval care conține punctul A, derivate de toate ordinele, atunci i se poate aplica formula Taylor:

Unde r n- așa-numitul rest sau restul seriei, poate fi estimat folosind formula Lagrange:

, unde numărul x este între NSși A.

Dacă pentru o anumită valoare x r n®0 pentru n® ¥, atunci în limită formula Taylor se transformă pentru această valoare într-o convergentă Seria Taylor:

Deci funcția f (x) poate fi extins într-o serie Taylor în punctul luat în considerare NS, dacă:

1) are derivate de toate ordinele;

2) seria construită converge în acest punct.

La A= 0 obținem o serie numită lângă Maclaurin:

Exemplul 1 f (x) = 2X.

Soluţie... Să găsim valorile funcției și derivatele sale la NS=0

f (x) = 2X, f ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2X ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2X ln 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2X ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Înlocuind valorile obținute ale derivatelor în formula seriei Taylor, obținem:

Raza de convergență a acestei serii este egală cu infinitul; prin urmare, această expansiune este valabilă pentru - ¥<X<+¥.

Exemplul 2 NS+4) pentru funcție f (x) = e X.

Soluţie... Aflați derivatele funcției e Xși valorile lor la punct NS=-4.

f (x)= e X, f (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e X, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢¢ (x)= e X, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e X, f (n) ( -4) = e -4 .

Prin urmare, seria Taylor necesară a funcției are forma:

Această extindere este valabilă și pentru - ¥<X<+¥.

Exemplul 3 ... Funcția de extindere f (x)= ln Xîntr-o serie de puteri ( NS- 1),

(adică, în seria Taylor în vecinătatea punctului NS=1).

Soluţie... Găsiți derivatele acestei funcții.

Înlocuind aceste valori în formulă, obținem seria Taylor necesară:

Folosind testul d'Alembert, se poate asigura că seria converge pentru

½ NS- 1½<1. Действительно,

Seria converge dacă ½ NS- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При NS= 2 se obţine o serie alternativă care satisface condiţiile testului Leibniz. La NS= funcția 0 este nedefinită. Astfel, domeniul de convergență al seriei Taylor este intervalul semideschis (0; 2).

Să prezentăm expansiunile obţinute în mod similar în seria Maclaurin (adică în vecinătatea punctului NS= 0) pentru unele funcții elementare:

(2) ,

(3) ,

( se numeste ultima descompunere serie binomială)

Exemplul 4 ... Extindeți o funcție într-o serie de puteri

Soluţie... În extinderea (1) înlocuim NS pe - NS 2, obținem:

Exemplul 5 ... Extindeți funcția serie Maclaurin

Soluţie... Avem

Folosind formula (4), putem scrie:

substituind NSîn formulă -NS, primim:

De aici găsim:

Extinderea parantezelor, rearanjarea termenilor seriei și reducerea termenilor similari obținem

Această serie converge în interval

(-1; 1), deoarece se obține din două serii, fiecare convergând în acest interval.

cometariu .

Formulele (1) - (5) pot fi, de asemenea, utilizate pentru a extinde funcțiile corespunzătoare într-o serie Taylor, adică pentru extinderea funcțiilor în puteri întregi pozitive ( Ha). Pentru a face acest lucru, peste o funcție dată, este necesar să se efectueze astfel de transformări identice pentru a obține una dintre funcțiile (1) - (5), în care, în loc de NS costă k ( Ha) m, unde k este un număr constant, m este un număr întreg pozitiv. Este adesea convenabil să schimbați variabila t=Hași extindeți funcția rezultată în raport cu t într-o serie Maclaurin.

Această metodă ilustrează teorema privind unicitatea expansiunii unei funcții într-o serie de puteri. Esența acestei teoreme este că în vecinătatea aceluiași punct nu se pot obține două serii de puteri diferite care ar converge către aceeași funcție, indiferent de modul în care se realizează expansiunea acesteia.

Exemplul 6 ... Extindeți o funcție dintr-o serie Taylor într-o vecinătate a unui punct NS=3.

Soluţie... Această problemă poate fi rezolvată, ca și înainte, folosind definiția seriei Taylor, pentru care este necesar să se găsească derivatele funcției și valorile acestora la NS= 3. Cu toate acestea, va fi mai ușor să utilizați descompunerea existentă (5):

Seria rezultată converge pentru sau –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Exemplul 7 ... Scrieți seria Taylor în puteri ( NS-1) funcții .

Soluţie.

Seria converge la , sau 2< X 5 lire sterline.

NASA va lansa o expediție pe Marte în iulie 2020. Nava spațială va livra pe Marte un transportator electronic cu numele tuturor membrilor înregistrați ai expediției.

Înregistrarea participanților este deschisă. Obțineți biletul dvs. pe Marte de pe acest link.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste variante de cod trebuie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă ... Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în tabloul de bord al site-ului dvs., adăugați un widget pentru inserarea codului JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum, aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs. web.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Există un articol interesant despre aceasta, care conține exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici ne vom uita la exemple mai complexe de fractali 3D.

Un fractal poate fi vizualizat (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, este o structură auto-similară, având în vedere detaliile căreia, cu mărire, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. În timp ce în cazul unei forme geometrice obișnuite (nu un fractal), atunci când mărim, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât forma originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a elipsei arată ca un segment de linie. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: la orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care se va repeta iar și iar cu fiecare creștere.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, a scris în articolul său Fractals and Art for Science: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detalii ca și în forma lor generală. o parte a fractalului va fi mărită la dimensiunea de întregul, va arăta ca un întreg, sau exact, sau poate cu o ușoară deformare.”

Seria Taylor. Descompunerea unei funcții într-o serie Taylor.

Rezultă că majoritatea funcțiilor matematice pot fi reprezentate cu orice precizie în vecinătatea unui punct sub formă de serie de puteri care conțin puterile variabilei în ordine crescătoare. De exemplu, în vecinătatea punctului x = 1:

Când folosiți rânduri numite în rândurile lui Taylor, funcțiile mixte care conțin, de exemplu, funcții algebrice, trigonometrice și exponențiale pot fi exprimate ca funcții pur algebrice. Seria poate fi adesea folosită pentru a diferenția și integra rapid.

Seria Taylor din vecinătatea punctului a are următoarele forme:

1) , unde f (x) este o funcție având derivate de toate ordinele pentru x = a. R n - restul din seria Taylor este determinat de expresie

2)

Coeficientul k-al (la x k) al seriei este determinat de formula

3) (expansiunea are loc în jurul punctului a = 0)

pentru a = 0

membrii seriei sunt determinati de formula

Condiții de aplicare a seriei Taylor.

1. Pentru ca funcția f (x) să fie extinsă într-o serie Taylor pe intervalul (-R; R), este necesar și suficient ca restul din formula Taylor (Maclaurin (= McLaren)) pentru această funcție tinde spre zero la k → ∞ pe intervalul indicat (-R; R).

2. Este necesar să existe derivate pentru această funcție în punctul în vecinătatea căruia vom construi seria Taylor.

Proprietățile seriei Taylor.

1. Dacă f este o funcție analitică, atunci seria sa Taylor în orice punct a din domeniul lui f converge către f într-o vecinătate a lui a.
2. Există funcții diferențiabile infinit a căror serie Taylor converge, dar diferă de o funcție din orice vecinătate a lui a. De exemplu:

Seriile Taylor sunt folosite în aproximarea (aproximarea este o metodă științifică constând în înlocuirea unor obiecte cu altele, într-un sens sau altul apropiate de originalul, dar mai simple) funcții prin polinoame. În special, liniarizarea ((din linearis - linear), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul unui sistem neliniar este înlocuit cu o analiză a unui sistem liniar, într-un sens echivalent cu cel original .) Ecuațiile apar prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de mai sus de ordinul întâi.

Astfel, aproape orice funcție poate fi reprezentată ca un polinom cu o precizie dată.

În teoria serielor funcționale, locul central este ocupat de secțiunea dedicată extinderii unei funcții într-o serie.

Astfel, se pune problema: pentru o funcție dată este necesar să se găsească o astfel de serie de puteri

care convergea pe un anumit interval şi suma lui era egală cu
, acestea.

= ..

Această sarcină se numește problema extinderii unei funcții într-o serie de puteri.

O condiție necesară pentru extinderea unei funcții într-o serie de puteri este diferențiabilitatea sa de un număr infinit de ori - aceasta rezultă din proprietățile seriei de puteri convergente. Această condiție este îndeplinită, de regulă, pentru funcțiile elementare din domeniul lor de definire.

Deci, să presupunem că funcția
are derivate de orice ordin. Este posibil să o extindeți într-o serie de putere, dacă este posibil, atunci cum să găsiți această serie? A doua parte a problemei este mai ușor de rezolvat și vom începe cu ea.

Să presupunem că funcția
poate fi reprezentat ca o sumă a unei serii de puteri convergente în intervalul care conține punctul NS 0 :

= .. (*)

Unde A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A NS ,... - coeficienți nedefiniti (încă).

Punem în egalitate (*) valoarea x = x 0 , atunci primim

.

Să diferențiem seria de puteri (*) termen cu termen

= ..

si presupunand aici x = x 0 , obține

.

Cu următoarea diferențiere, obținem seria

= ..

presupunând x = x 0 , obține
, Unde
.

După NS-diferenţierea pliului, obţinem

Stabilirea în ultima egalitate x = x 0 , obține
, Unde

Deci, se găsesc coeficienții

,
,
, …,
,….,

înlocuindu-le în serie (*), obținem

Seria rezultată se numește lângă taylor pentru functie
.

Astfel, am stabilit că dacă funcția poate fi extinsă într-o serie de puteri în puteri (x - x 0 ), atunci această expansiune este unică și seria rezultată este în mod necesar o serie Taylor.

Rețineți că seria Taylor poate fi obținută pentru orice funcție având derivate de orice ordin în punct x = x 0 . Dar asta nu înseamnă că se poate pune un semn egal între funcție și seria rezultată, adică. că suma seriei este egală cu funcția inițială. În primul rând, o astfel de egalitate poate avea sens numai în regiunea de convergență, iar seria Taylor obținută pentru funcție poate diverge, iar în al doilea rând, dacă seria Taylor converge, atunci suma ei poate să nu coincidă cu funcția inițială.

3.2. Condiții suficiente pentru extinderea unei funcții într-o serie Taylor

Să formulăm o declarație cu ajutorul căreia sarcina stabilită va fi rezolvată.

Dacă funcţia
într-o vecinătate a punctului x 0 are derivate până la (n+ 1) de ordin inclusiv, atunci în acest cartierformulă Taylor

UndeR n (NS)este restul formulei Taylor - are forma (forma Lagrange)

Unde punctξ se află între x și x 0 .

Rețineți că există o diferență între seria Taylor și formula Taylor: formula Taylor este o sumă finită, i.e. NS - număr fix.

Amintiți-vă că suma seriei S(X) poate fi definită ca limita succesiunii funcționale a sumelor parțiale S NS (X) la un anumit interval NS:

.

În consecință, extinderea unei funcții într-o serie Taylor înseamnă găsirea unei serii astfel încât pentru oricare NSX

Scriem formula lui Taylor sub forma unde

observa asta
definește eroarea pe care o primim, înlocuiți funcția f(X) polinom S n (X).

Dacă
, atunci
,acestea. funcția se extinde într-o serie Taylor. În schimb, dacă
, atunci
.

Astfel, am dovedit un criteriu pentru extinderea unei funcții într-o serie Taylor.

Pentru ca într-un anumit interval funcţiaf(x) extins într-o serie Taylor, este necesar și suficient ca pe acest interval
, UndeR n (X) este restul seriei Taylor.

Folosind criteriul formulat se poate obține suficientcondiţiile pentru ca funcţia să fie extinsă într-o serie Taylor.

Dacă învreo vecinătate a punctului x 0 valorile absolute ale tuturor derivatelor funcției sunt mărginite de același număr M≥ 0, adică

, To în această vecinătate funcția se extinde într-o serie Taylor.

Din cele de mai sus rezultă algoritmdescompunerea funcției f(X) în seria Taylorîn vecinătatea punctului NS 0 :

1. Aflați derivatele funcției f(X):

f (x), f ’(x), f” (x), f ’” (x), f (n) (X), ...

2. Calculăm valoarea funcției și valorile derivatelor sale la punctul NS 0

f (x 0 ), f ’(x 0 ), f ”(x 0 ), f ’” (x 0 ), f (n) (X 0 ),…

3. Notați formal seria Taylor și găsiți regiunea de convergență a seriei de puteri rezultate.

4. Verificam indeplinirea conditiilor suficiente, i.e. stabilim pentru care NS din domeniul de convergență, restul R n (X) tinde spre zero la
sau
.

Expansiunea funcțiilor dintr-o serie Taylor conform acestui algoritm se numește extinderea funcției într-o serie Taylor prin definiție sau descompunere directă.

Este prezentată o metodă de rezolvare a limitelor folosind expansiunea funcțiilor într-o serie Taylor. Sunt date proprietățile micii și extinderii funcțiilor elementare dintr-o serie Maclaurin. Sunt analizate în detaliu exemple de rezolvare a limitelor care conțin incertitudini ∞ - ∞, unu la puterea infinitului și 0/0.

Conţinut

Metoda de rezolvare

Una dintre cele mai puternice metode de rezolvare a incertitudinilor și de calculare a limitelor este expansiunea funcțiilor în serie de puteri Taylor. Aplicarea acestei metode constă în următorii pași.
1) Aducem incertitudinea în formă 0/0 întrucât variabila x tinde spre zero. Pentru aceasta, dacă este necesar, efectuăm transformări și modificăm variabila.
2) Extindeți numărătorul și numitorul într-o serie Taylor în vecinătatea punctului x = 0 ... În acest caz, efectuăm expansiunea la un astfel de grad x n, care este necesar pentru a elimina incertitudinea. Restul termenilor sunt incluși în o (x n).

Această metodă este aplicabilă dacă, după finalizarea pasului 1), funcțiile din numărător și numitor pot fi extinse într-o serie de puteri.

Este convenabil să descompuneți funcții complexe și produse ale funcțiilor conform următoarei scheme. A) Setăm exponentul n, la care vom efectua expansiunea.
B) Aplicăm formulele de extindere a funcțiilor din seria Taylor prezentate mai jos, menținând termenii până la incluzivi în ei și eliminând termenii cu at sau înlocuindu-i cu.
C) În funcțiile complexe, facem modificări ale variabilelor astfel încât argumentul fiecăreia dintre părțile sale tinde spre zero la. De exemplu,
.
Aici la. Apoi puteți utiliza extinderea funcției în vecinătatea punctului.

Notă. Expansiunea unei funcții dintr-o serie Taylor, într-o vecinătate a unui punct, se numește lângă Maclaurin... Prin urmare, pentru seria folosită în scopurile noastre, ambele denumiri sunt potrivite.

Proprietăți aplicate de mic

Definiția și demonstrarea proprietăților lui mic este dată pe pagina: „Mare și mic. Comparație de funcții". Vă prezentăm aici proprietățile utilizate în rezolvarea limitelor prin expansiune în seria Maclaurin (adică la).

În plus, m și n sunt numere naturale,.
;
;
, dacă ;
;
;
;
, Unde ;
unde c ≠ 0 - constant;
.

Pentru a demonstra aceste proprietăți, este necesar să exprimăm mic în termenii unei funcții infinitezimale:
, Unde .

Expansiunea Taylor (Maclaurin) a funcțiilor elementare

;
;
,
Unde ;
;
;
,
unde - numerele Bernoulli:,;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Exemple de

Exemplul 1

Calculați limita șirului folosind expansiunea seriei Taylor.
.

Aceasta este incertitudinea de acest fel infinit minus infinit... O aducem la o incertitudine a formei 0/0 ... Pentru a face acest lucru, efectuăm transformări.

.
Aici am ținut cont de faptul că numărul unui element al șirului n poate lua doar valori pozitive. De aceea . Facem o modificare a variabilei. La . Vom căuta limita presupunând că x este un număr real. Dacă limita există, atunci există și pentru orice secvență care converge la zero. Inclusiv pentru consecvență.

.
Extindem funcția din numărător într-o serie Taylor. Aplicam formula:
.
Lăsăm doar termenul liniar.
.
.
Aici am luat în considerare faptul că, deoarece există o limită cu două laturi, există limite unilaterale egale cu aceasta. De aceea .

Exemplul 2

Arătați că valoarea celei de-a doua limite remarcabile poate fi obținută folosind expansiunea seriei Taylor.

Facem o modificare a variabilei. Atunci . La . Inlocuim.
.

Pentru a calcula limita, putem presupune că valorile variabilei t aparțin oricărei vecinătăți perforate preselectate a punctului. Noi credem că. Folosim faptul că exponentul și logaritmul natural sunt funcții inverse unul față de celălalt. Atunci
.

Calculăm limita în exponent folosind următoarea expansiune a seriei Taylor:
.
.

Deoarece exponentul este o funcție continuă pentru toate valorile argumentului, atunci prin teorema privind limita unei funcții continue a unei funcții, avem:
.

Exemplul 3

Calculați limita folosind expansiunea seriei Taylor.
.

Aceasta este incertitudinea de acest fel 0/0 ... Folosim următoarele expansiuni de funcții într-o vecinătate a unui punct:
;
;
.

Extinderea până la termeni pătratici:
;
.
Împărțiți numărătorul și numitorul la și găsiți limita:
.

Exemplul 4

Rezolvați limita folosind seria Taylor.
.

Este ușor de observat că aceasta este o incertitudine a formei 0/0 ... Îl extindem folosind expansiuni ale funcțiilor din seria Taylor. Să folosim cele de mai sus:
(A4.1) .
În extinderea exponentului, înlocuiți x cu -x:
(A4.2) .
Urmează o funcție complexă. Să schimbăm variabila. La . Prin urmare, putem folosi expansiunea logaritmului natural în vecinătatea punctului. Să folosim descompunerea de mai sus, în care redenumim variabila x în t:
(A4.3) .

Rețineți că dacă am avea o funcție, atunci la. Prin urmare, este imposibil să o înlocuiți în expansiunea anterioară, deoarece este aplicabilă în vecinătatea punctului. În acest caz, ar trebui să efectuăm următoarea transformare:
.
Apoi pentru și am putea aplica expansiunea (A4.3).

Să încercăm să rezolvăm limita prin extinderea la prima putere a variabilei x:. Adică lăsăm numai termeni constanți care nu depind de x: și cei liniari. Restul va fi aruncat. Mai precis, transferă la.
;
;
.
Întrucât, în expansiunea logaritmului, renunțăm la termenii începând de la gradul 2. Aplicând proprietățile de mai sus despre mic avem:

.
Inlocuim in limita:

.
Am prins din nou ambiguitatea genului 0/0 ... Deci descompunerea într-o anumită măsură nu este suficientă.

Dacă efectuăm expansiunea la o putere, atunci din nou obținem incertitudinea:
.

Să efectuăm extinderea la grad. Adică vom păstra doar membrii constanti și termenii cu factori. Restul sunt incluse în.
;
;

;

.
Mai mult, observăm că. Prin urmare, în extinderea logaritmului, trebuie să renunțați la termeni, începând cu gradul, incluzându-i în. Folosim expansiunea (A4.3), înlocuind t cu:


.

Înlocuiți în funcția originală.


.
Găsim limita.
.

Exemplul 5

Găsiți limita folosind seria Taylor.
.

Vom efectua extinderea numărătorului și numitorului din seria Maclaurin până la puterea a patra, inclusiv.

Să începem cu numitorul. Folosim și.

;
;

.

Acum să trecem la numărător. La . Prin urmare, este imposibil să faceți o înlocuire și să aplicați descompunerea pentru, deoarece această descompunere este aplicabilă la și cu noi. Observa asta . Prin urmare, vom efectua transformarea.
.
Acum putem face o înlocuire, deoarece pentru.

Să extindem funcția și gradele sale într-o serie Taylor într-o vecinătate a punctului. Aplicam.
;
;

;
;
;
;
Mai mult, rețineți că. Prin urmare, pentru a obține o extindere a unei funcții complexe cu o precizie de până la, avem nevoie de o extindere cu o precizie de.

Extinde primul logaritm.


; ;
;
.

Să extindem al doilea logaritm. O aducem la forma unde se află.
,
Unde .

Să extindem z într-o serie Taylor într-o vecinătate a punctului până la.
Hai sa aplicam:
.
Înlocuiește x cu:
... Atunci
;

;
Observa asta . Prin urmare, pentru a obține o extindere a unei funcții complexe cu o precizie de până la, avem nevoie de o extindere cu o precizie de.

Ne propunem și luăm în considerare asta.


;
.

Aflați expansiunea numărătorului.

;
;
.

Înlocuiți expansiunea numărătorului și numitorului și găsiți limita.
;
.

Referinte:
L. D. Kudryavtsev, A.D. Kutasov, V.I. Cekhlov, M.I. Shabunin. Culegere de probleme în analiza matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.