Ecuație diferențială liniară de ordinul doi se numește ecuație de formă

y"" + p(X)y" + q(X)y = f(X) ,

Unde y este funcția de găsit și p(X) , q(X) și f(X) sunt funcții continue pe un anumit interval ( a, b) .

Dacă partea dreaptă a ecuației este zero ( f(X) = 0 ), atunci se numește ecuația ecuație liniară omogenă . Astfel de ecuații vor fi dedicate în principal părții practice a acestei lecții. Dacă partea dreaptă a ecuației nu este egală cu zero ( f(X) ≠ 0 ), atunci ecuația se numește .

În sarcini, ni se cere să rezolvăm ecuația cu privire la y"" :

y"" = −p(X)y" − q(X)y + f(X) .

Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul doi au o soluție unică Probleme Cauchy .

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi și soluția ei

Considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi:

y"" + p(X)y" + q(X)y = 0 .

Dacă y1 (X) și y2 (X) sunt soluții particulare ale acestei ecuații, atunci următoarele afirmații sunt adevărate:

1) y1 (X) + y 2 (X) - este și o soluție a acestei ecuații;

2) Cy1 (X) , Unde C- o constantă arbitrară (constant), este de asemenea o soluție a acestei ecuații.

Din aceste două afirmaţii rezultă că funcţia

C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X)

este de asemenea o soluție la această ecuație.

Apare o întrebare corectă: este aceasta soluție soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi , adică o astfel de soluţie în care, pentru diverse valori C1 și C2 este posibil să obținem toate soluțiile posibile ale ecuației?

Răspunsul la această întrebare este: se poate, dar în anumite condiții. Acest condiție cu ce proprietăți ar trebui să aibă anumite soluții y1 (X) și y2 (X) .

Și această condiție se numește condiția independenței liniare a unor soluții particulare.

Teorema. Funcţie C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) este o soluție generală a unei ecuații diferențiale omogene liniare de ordinul doi dacă funcțiile y1 (X) și y2 (X) sunt liniar independente.

Definiție. Funcții y1 (X) și y2 (X) sunt numite liniar independente dacă raportul lor este o constantă diferită de zero:

y1 (X)/y 2 (X) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Cu toate acestea, stabilirea prin definiție dacă aceste funcții sunt liniar independente este adesea foarte dificilă. Există o modalitate de a stabili independența liniară folosind determinantul Wronsky W(X) :

Dacă determinantul Wronsky nu este egal cu zero, atunci soluțiile sunt liniar independente . Dacă determinantul Wronsky este egal cu zero, atunci soluțiile sunt dependente liniar.

Exemplul 1 Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene.

Soluţie. Se integrează de două ori și, după cum este ușor de observat, pentru ca diferența derivatei a doua a funcției și funcția în sine să fie egală cu zero, soluțiile trebuie să fie asociate cu un exponent a cărui derivată este egală cu ea însăși. Adică soluțiile private sunt și .

Din moment ce determinantul Vronsky

nu este egal cu zero, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a acestei ecuații poate fi scrisă ca

.

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți: teorie și practică

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți se numește ecuație de formă

y"" + py" + qy = 0 ,

Unde pși q sunt valori constante.

Faptul că aceasta este o ecuație de ordinul doi este indicat de prezența derivatei a doua a funcției dorite, iar omogenitatea acesteia este indicată de zero în partea dreaptă. Mărimile deja menționate mai sus se numesc coeficienți constanți.

La rezolvați o ecuație diferențială omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți , trebuie mai întâi să rezolvați așa-numita ecuație caracteristică a formei

k² + pq + q = 0 ,

care, după cum se poate observa, este o ecuație pătratică obișnuită.

În funcție de soluția ecuației caracteristice, sunt posibile trei opțiuni diferite rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți , pe care o vom analiza acum. Pentru o certitudine deplină, vom presupune că toate soluțiile particulare au fost testate de determinantul Vronsky și în toate cazurile nu este egal cu zero. Cei care se îndoiesc, însă, îl pot verifica singuri.

Rădăcinile ecuației caracteristice - reale și diferite

Cu alte cuvinte, . În acest caz, soluția unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma

.

Exemplul 2. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă

.

Exemplul 3. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă

.

Soluţie. Ecuația caracteristică are forma , rădăcinile sale și sunt reale și diferite. Soluțiile particulare corespunzătoare ale ecuației: și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma

.

Rădăcinile ecuației caracteristice - reale și egale

Acesta este, . În acest caz, soluția unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma

.

Exemplul 4. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă

.

Soluţie. Ecuație caracteristică are rădăcini egale. Soluțiile particulare corespunzătoare ale ecuației: și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma

Exemplul 5. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă

.

Soluţie. Ecuația caracteristică are rădăcini egale. Soluțiile particulare corespunzătoare ale ecuației: și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma

Teorema. Dacă și sunt soluții liniar independente ale ecuației (2.3), atunci combinația lor liniară , unde și sunt constante arbitrare, va fi soluția generală a acestei ecuații.

Dovada. Că există o soluție pentru ecuația (2.3) rezultă din teorema proprietăților soluțiilor la o lodu de ordinul doi. Trebuie doar să arătăm că soluția va fi general, adică este necesar să se arate că pentru orice condiții inițiale, se pot alege constante arbitrare și astfel încât să se îndeplinească aceste condiții. Scriem condițiile inițiale sub forma:

Constantele și din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate în mod unic, deoarece determinantul acestui sistem este valoarea determinantului Wronsky pentru soluții liniar independente la lodu pentru: ,

iar un astfel de determinant, așa cum am văzut în secțiunea anterioară, este diferit de zero. Teorema a fost demonstrată.

Construirea unei soluții generale la LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți în caz

13. rădăcini simple ale ecuaţiei caracteristice (cazul D>0) (cu demonstraţie).

14. rădăcini multiple ale ecuației caracteristice (cazul D=0) (c doc).

15. rădăcini complexe conjugate ale ecuației caracteristice (cazul D<0) (c док-вом).

Dată unei legi de ordinul 2 cu coeficienți constanți (5.1), unde , . Conform secțiunii precedente, soluția generală a lodu-ului de ordinul 2 este ușor de determinat dacă se cunosc două soluții particulare liniar independente ale acestei ecuații. O metodă simplă pentru găsirea unor soluții particulare la o ecuație cu coeficienți constanți a fost propusă de L. Euler. Această metodă, care se numește metoda Euler, constă în faptul că anumite soluții sunt căutate sub formă de .

Înlocuind această funcție în ecuația (5.1), după reducerea cu , obținem o ecuație algebrică, care se numește caracteristică: (5.2)

Funcția va fi o soluție a ecuației (5.1) numai pentru acele valori ale lui k care sunt rădăcinile ecuației caracteristice (5.2). Sunt posibile trei cazuri în funcție de mărimea discriminantului.

unu. . Atunci rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite: . Soluțiile și vor fi liniar independente, deoarece iar soluția generală (5.1) poate fi scrisă ca .

2. . În acest caz și . Ca a doua soluție liniar independentă, putem lua funcția . Să verificăm că această funcție satisface ecuația (5.1). Într-adevăr, , . Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem

Sau, pentru că și .

Soluții particulare și sunt liniar independente, deoarece . Prin urmare, soluția generală (5.1) are forma:

3. . În acest caz, rădăcinile ecuației caracteristice sunt conjugate complexe: , unde , . Se poate verifica că soluțiile liniar independente ale ecuației (5.1) vor fi funcțiile și . Să ne asigurăm că ecuația (5.1) este satisfăcută, de exemplu, de funcția y 1 . Într-adevăr, , . Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem

Ambele paranteze din partea stângă a acestei egalități sunt identice egale cu zero. Într-adevăr, ,

Astfel, funcția satisface ecuația (5.1). În mod similar, este ușor de verificat că este soluția ecuației (5.1). În măsura în care , atunci soluția generală va arăta astfel: .

16. Teoremă privind structura soluției generale a LNDE de ordinul doi (cu demonstrație).

Teorema 1. Soluția generală a ecuației de ordinul 2 f(x) (6.1) este reprezentată ca suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare (6.2) și orice soluție particulară a ecuației (6.1).

Dovada. Să demonstrăm mai întâi care va fi soluția ecuației (6.1). Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația (6.1): f(x). Această egalitate este o identitate, pentru că și f(x). Prin urmare, există o soluție pentru ecuația (6.1).

Să demonstrăm acum că această soluție este generală, adică se pot alege constantele arbitrare incluse în el în așa fel încât orice condiții inițiale de forma: , (6.3) să fie îndeplinite. Conform teoremei privind structura soluției generale a unei ecuații diferențiale liniare omogene (lodu), soluția generală a ecuației (6.2) poate fi reprezentată ca , unde și sunt soluții liniar independente ale acestei ecuații. Astfel: și, prin urmare, condițiile inițiale (6.3) pot fi scrise ca: sau (6.4)

Constantele arbitrare și sunt determinate în mod unic din acest sistem de ecuații algebrice liniare pentru orice parte dreaptă, deoarece determinantul acestui sistem = este valoarea determinantului Wronsky pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (6.2) pentru , iar un astfel de determinant, așa cum am văzut mai sus, este diferit de zero. După ce am determinat constantele și din sistemul de ecuații (6.4) și înlocuindu-le în expresia , obținem o soluție particulară a ecuației (6.1) care satisface condițiile inițiale date. Teorema a fost demonstrată.

17. Construirea unei soluții particulare a LIDE de ordinul doi în cazul părții din dreapta a formularului

Fie coeficienții din ecuația (6.1) să fie constanți, i.e. ecuația arată astfel: f(x) (7.1) unde .

Să luăm în considerare o metodă pentru găsirea unei anumite soluții a ecuației (7.1) în cazul în care partea dreaptă a lui f(x) are o formă specială. Această metodă se numește metoda coeficienților nedeterminați și constă în selectarea unei anumite soluții în funcție de forma laturii drepte a lui f(x). Luați în considerare părțile potrivite din următoarea formă:

1. f(x) , unde este un polinom de grad , iar unii coeficienți, cu excepția lui , pot fi egali cu zero. Să indicăm forma în care trebuie luată soluția particulară în acest caz.

a) Dacă numărul nu este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuația (5.1), atunci scriem soluția particulară sub forma: , unde sunt coeficienții nesiguri, care urmează să fie determinați prin metoda coeficienților nesiguri.

b) Dacă este rădăcina multiplicității ecuației caracteristice corespunzătoare, atunci căutăm o anumită soluție sub forma: , unde sunt coeficienți nesiguri.

18.f(x) , unde și sunt polinoame de grad și, respectiv, și unul dintre aceste polinoame poate fi egal cu zero. Să indicăm forma unei soluții particulare în acest caz general.

A) Dacă numărul nu este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuația (5.1), atunci forma soluției particulare va fi: , (7.2) unde sunt coeficienți incerți și .

B) Dacă numărul este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuația (5.1) a multiplicității , atunci soluția particulară a lndu va avea forma: , (7.3) i.e. o anumită soluție de forma (7.2) trebuie înmulțită cu . În expresia (7.3) - polinoame cu coeficienți nedeterminați și gradul lor .

19. Metoda variației pentru rezolvarea LNDE de ordinul doi (metoda Lagrange).

Găsirea directă a unei anumite soluții la o dreaptă, cu excepția cazului unei ecuații cu coeficienți constanți și, în plus, cu termeni speciali speciali, prezintă mari dificultăți. Prin urmare, pentru a găsi o soluție generală a unei linii, se folosește de obicei metoda de variație a constantelor arbitrare, care face întotdeauna posibilă găsirea unei soluții generale a unei linii în cuadraturi dacă sistemul fundamental de soluții al ecuației omogene corespunzătoare este cunoscut. Această metodă este după cum urmează.

Conform celor de mai sus, soluția generală a ecuației liniare omogene este:

unde sunt soluții liniar independente la lodu pe un interval X și sunt constante arbitrare. Vom căuta o soluție particulară a dreptei în forma (8.1), presupunând că nu sunt constante, ci unele, încă necunoscute, funcții ale lui : . (8.2) Deosebim egalitatea (8.2): . (8,3)

Selectăm funcții și astfel încât egalitatea să fie îndeplinită: . Atunci în loc de (8.3) vom avea:

Să diferențiem din nou această expresie în raport cu . Ca rezultat, obținem: . (8.5) Să substituim (8.2), (8.4), (8.5) în liniarul de ordinul 2 f(x):

Sau f(x). (8,6)

Deoarece - soluții la lodu , atunci ultima egalitate (8.6) ia forma: f(x).

Astfel, funcția (8.2) va fi o soluție a unei drepte dacă funcțiile și satisfac sistemul de ecuații:

(8.7)

Deoarece determinantul acestui sistem este determinantul Wronsky pentru două soluții corespunzătoare lod care sunt liniar independente pe X, el nu dispare în niciun punct al intervalului X. Prin urmare, rezolvând sistemul (8.7), găsim și : și . Integrarea, obțineți , , unde este arb. rapid.

Revenind la egalitatea (8.2), obținem soluția generală a ecuației neomogene: .

ranguri

1. Liniile numerice. Concepte de bază, proprietăți ale seriei convergente. Semn necesar de convergență (cu doc).

Definiții de bază. Să fie dată o succesiune infinită de numere . Serii numerice se numește înregistrare compusă din membrii acestei secvențe. Sau .Numerele numit membri ai seriei;, se numește termenul comun al seriei. Ca rezultat al calculului valorilor acestei funcții pentru n =1, n =2,n =3, … ar trebui să rezulte în termeni de serie .

Să fie dată seria (18.1.1). Să compunem sume finite din membrii săi, numite sume parțiale ale seriei:

Definiție. Dacă există o limită finită S secvențe de sume parțiale ale seriei (18.1.1) pentru , atunci se spune că seria converge; număr S numită suma seriei și scrie sau .

Dacă nu există (inclusiv infinit), seria se numește divergente.

Proprietățile seriei convergente. Un criteriu necesar pentru convergența unei serii. Termen general al seriei convergente tinde spre zero la : Dovada. Dacă , atunci și , dar , prin urmare .

Este necesar să începem rezolvarea oricărei probleme privind studiul convergenței unei serii prin verificarea îndeplinirii condiției: dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci seria cu siguranță diverge. Această condiție este necesară dar nu suficientă pentru convergența seriei: termenul comun al seriei armonice (18.1.2), totuși, această serie diverge.

Definiție. Restul rândului după n -al-lea membru se numește serie .

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

Instrucțiuni

privind studiul temei „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții departamentului de contabilitate a formei de corespondență de învățământ (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuații diferențiale liniare

ordinul doi cu constantăcoeficienți

1. Ecuații diferențiale liniare omogene

Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți se numește ecuație de formă

acestea. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație și
sunt niște numere și funcția
dat pe un anumit interval
.

Dacă
pe interval
, atunci ecuația (1) ia forma

, (2)

și a sunat liniar omogen . În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen .

Luați în considerare funcția complexă

, (3)

Unde
și
sunt funcții reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală
, și partea imaginară
solutii
luate separat sunt soluții ale aceleiași ecuații omogene. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.

Soluțiile unei ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Dacă este o soluție a ecuației (2), apoi funcția
, Unde CU- o constantă arbitrară, va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă și sunt soluții ale ecuației (2), apoi funcția
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă și sunt soluții ale ecuației (2), apoi combinația lor liniară
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde și
sunt constante arbitrare.

Funcții
și
numit dependent liniar pe interval
dacă există astfel de numere și
, care nu sunt egale cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea

Dacă egalitatea (4) este valabilă numai când
și
, apoi funcțiile
și
numit liniar independent pe interval
.

Exemplul 1 . Funcții
și
sunt liniar dependente, deoarece
de-a lungul întregii drepte numerice. În acest exemplu
.

Exemplul 2 . Funcții
și
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea
posibil numai dacă și
, și
.

1. Construirea unei soluții generale a unui omogen liniar

ecuații

Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două dintre soluțiile sale liniar independente și . Combinație liniară a acestor soluții
, Unde și
sunt constante arbitrare și vor da soluția generală a unei ecuații liniare omogene.

Soluțiile liniar independente ale ecuației (2) vor fi căutate sub forma

, (5)

Unde - un număr. Atunci
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):

Sau
.

pentru că
, atunci
. Deci funcția
va fi o soluție a ecuației (2) dacă va satisface ecuația

. (6)

Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.

Lăsa și sunt rădăcinile acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.

Lasă rădăcinile și ecuațiile caracteristice sunt reale și distincte. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea
poate fi efectuat numai atunci când
, și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

,

Unde și
sunt constante arbitrare.

Exemplul 3
.

Soluţie . Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi
. Rezolvând această ecuație pătratică, îi găsim rădăcinile
și
. Funcții
și
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma
.

număr complex se numește expresie a formei
, Unde și sunt numere reale și
se numește unitatea imaginară. Dacă
, apoi numărul
se numește pur imaginar. Dacă
, apoi numărul
este identificat cu un număr real .

Număr se numește partea reală a numărului complex și - partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate:
,
.

Exemplul 4 . Rezolvați o ecuație pătratică
.

Soluţie . Ecuația discriminantă
. Atunci . De asemenea,
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e.
,
, Unde
. Soluțiile ecuației (2) pot fi scrise ca
,
sau
,
. Conform formulelor lui Euler

,
.

Atunci , . După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție a unei ecuații liniare omogene, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
și
. De la egalitate

poate fi efectuat numai dacă
și
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

Unde și
sunt constante arbitrare.

Exemplul 5 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația
este caracteristic pentru diferenţialul dat. O rezolvăm și obținem rădăcini complexe
,
. Funcții
și
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma .

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică.
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile
și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când
și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
.

Exemplul 6 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuație caracteristică
are rădăcini egale
. În acest caz, soluțiile liniar independente ale ecuației diferențiale sunt funcțiile
și
. Soluția generală are forma
.

Ecuații diferențiale de ordinul 2

§unu. Metode de scădere a ordinului unei ecuații.

Ecuația diferențială de ordinul 2 are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( sau Diferențial" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">ecuație diferențială de ordinul 2). Problemă Cauchy pentru ecuația diferențială de ordinul 2 (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Lasă ecuația diferențială de ordinul 2 să arate astfel: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Astfel, ecuația de ordinul 2 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rezolvând-o, obținem integrala generală a ecuației diferențiale inițiale, în funcție de două constante arbitrare: DIV_ADBLOCK219">

Exemplul 1 Rezolvați ecuația diferențială https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

Aceasta este o ecuație diferențială separabilă: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e..gif" width= "96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width="99" înălțime ="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, adică..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Soluţie.

Această ecuație de ordinul 2 nu include în mod clar funcția necesară https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width= " 33" height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src="> care este o ecuație liniară..gif" width="109" height="36 src=">.. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> din unele funcții..gif" width="25" height="25 src=">.gif " lățime ="127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> - ordinea ecuației a fost retrogradată.

§2. Ecuație diferențială liniară de ordinul 2.

Ecuația diferențială liniară (LDE) de ordinul 2 are următoarea formă:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> și, după introducerea unei noi notații pentru coeficienți, scriem ecuația sub forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> continuu..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – numere arbitrare.

Teorema. Dacă https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - soluția este

https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> va fi, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.

Dovada.

Să punem expresia https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.

Să rearanjam termenii:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> este, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.

Consecința 2. Presupunând că https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> este, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.

Cometariu. Proprietatea soluțiilor demonstrată în teoremă rămâne valabilă pentru cazul oricărui ordin.

§3. determinantul lui Vronsky.

Definiție. Sistem de funcții https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> ecuații (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)

Într-adevăr, ..gif" width="18" height="25 src="> satisface ecuația (2..gif" width="42" height="25 src="> este o soluție a ecuației (3.1). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> este identic. Astfel,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, în care determinantul pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Ambii factori din partea dreaptă a formulei (3.2) sunt diferite de zero.

§4. Structura solutiei generale la lod de ordinul 2.

Teorema. Dacă https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale ecuației (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">este o soluție a ecuației (2.3), rezultă din teorema proprietăților soluțiilor lodu de ordinul 2..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Constantele https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate în mod unic, deoarece determinantul lui acest sistem este https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Conform paragrafului anterior, solutia generala a lodu-ului de ordinul 2 se determina usor daca se cunosc doua solutii partiale liniar independente ale acestei ecuatii.O metoda simpla pentru a găsi soluții parțiale la o ecuație cu coeficienți constanți sugerate de L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, obținem o ecuație algebrică, care se numește caracteristica:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> va fi o soluție a ecuației (5.1) numai pentru acele valori ale lui k care sunt rădăcinile ecuației caracteristice (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> și soluția generală (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Verificați dacă această funcție satisface ecuația (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, deoarece.gif" width="137" height="26 src=" >.

Soluțiile private https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> sunt liniar independente, deoarece.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Ambele paranteze din partea stângă a acestei egalități sunt identice egale cu zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> este soluția ecuației (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> va arăta astfel:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

reprezentată ca suma soluției generale https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

și orice soluție anume https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> va fi o soluție a ecuației (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Această egalitate este o identitate deoarece..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Prin urmare.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale acestei ecuații. În acest fel:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, iar un astfel de determinant, așa cum am văzut mai sus, este diferit de zero..gif" width="19" height="25 src="> de sistem de ecuații (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> va fi soluția ecuației

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> în ecuația (6.5), obținem

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7,1)

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> din ecuația (7.1) în cazul în care partea dreaptă f(x) are o specială Această metodă se numește metoda coeficienților nedeterminați și constă în selectarea unei anumite soluții în funcție de forma laturii drepte a lui f(x).Se consideră partea dreaptă a următoarei forme:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> poate fi zero. Să indicăm forma în care trebuie luată soluția particulară în acest caz.

a) Dacă numărul este https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.

Soluţie.

Pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Scurtăm ambele părți prin https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> în părțile din stânga și din dreapta ale egalității

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Din sistemul de ecuații rezultat găsim: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, iar soluția generală a datei ecuația este:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Soluţie.

Ecuația caracteristică corespunzătoare are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. În sfârșit avem următoarea expresie pentru soluția generală:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> excelent de la zero. Să indicăm forma unei anumite soluții în acest caz.

a) Dacă numărul este https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuație (5..gif" lățime ="229 "height="25 src=">,

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Soluţie.

Rădăcinile ecuației caracteristice pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height="25 src=">.

Partea dreaptă a ecuației din exemplul 3 are o formă specială: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Pentru a defini https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > și înlocuiți în ecuația dată:

Aducând termeni similari, coeficienți echivalenti la https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.

Soluția generală finală a ecuației date este: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respectiv, iar unul dintre aceste polinoame poate fi egal cu zero. Să indicăm forma unei anumite soluții în acest general caz.

a) Dacă numărul este https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Dacă numărul este https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, atunci o anumită soluție va arăta astfel:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. În expresia (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Exemplul 4 Indicați tipul de soluție particulară pentru ecuație

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Soluția generală la lod are forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Alți coeficienți https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > există o soluție specială pentru ecuația cu partea dreaptă f1(x), și Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variații ale constantelor arbitrare (metoda Lagrange).

Găsirea directă a unei anumite soluții la o dreaptă, cu excepția cazului unei ecuații cu coeficienți constanți și, în plus, cu termeni speciali speciali, prezintă mari dificultăți. Prin urmare, pentru a găsi o soluție generală a unei linii, se folosește de obicei metoda de variație a constantelor arbitrare, care face întotdeauna posibilă găsirea unei soluții generale a unei linii în cuadraturi dacă sistemul fundamental de soluții al ecuației omogene corespunzătoare este cunoscut. Această metodă este după cum urmează.

Conform celor de mai sus, soluția generală a ecuației liniare omogene este:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nu constante, dar unele, încă necunoscute, funcții ale lui f(x). . trebuie luat din interval. De fapt, în acest caz, determinantul Wronsky este diferit de zero în toate punctele intervalului, adică în întregul spațiu, este rădăcina complexă a ecuației caracteristice..gif" width="20" height="25 src="> soluții particulare liniar independente de forma :

În formula generală a soluției, această rădăcină corespunde unei expresii a formei.