Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei AB, S- topul.
Se știe că SR = 6, iar aria suprafeței laterale este 36
.
Aflați lungimea segmentului î.Hr.
Să facem un desen. Într-o piramidă obișnuită, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele.
Secțiune SR- mediana, coborata la baza, si de aici inaltimea fetei laterale.
Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate este egală cu suma ariilor
trei fețe laterale egale partea S. = 3 S ABS... De aici S ABS = 36: 3 = 12- zona feței.
Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei sale cu înălțimea sa
S ABS = 0,5 AB SR... Cunoscând suprafața și înălțimea, găsim latura bazei AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4
Răspuns: 4
Puteți aborda problema de la celălalt capăt. Lasă partea bazei AB = BC = a.
Apoi zona feței S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3 a.
Aria fiecăreia dintre cele trei fețe este 3a, aria celor trei fețe este 9a.
În funcție de starea problemei, aria suprafeței laterale a piramidei este de 36.
partea S. = 9a = 36.
De aici a = 4.
Piramidă- una dintre varietățile de poliedru format din poligoane și triunghiuri care se află la bază și sunt fețele acestuia.
Mai mult, în vârful piramidei (adică la un moment dat), toate fețele sunt combinate.
Pentru a calcula aria unei piramide, merită să determinați că suprafața sa laterală este formată din mai multe triunghiuri. Și le putem găsi cu ușurință zonele prin aplicare
diverse formule. În funcție de ce fel de date triunghiulare cunoaștem, căutăm aria lor.
Enumerăm câteva formule cu care puteți găsi aria triunghiurilor:
- S = (a * h) / 2 ... În acest caz, știm înălțimea triunghiului h care este coborât în lateral A .
- S = a * b * sinβ ... Iată laturile triunghiului A , b , iar unghiul dintre ele este β .
- S = (r * (a + b + c)) / 2 ... Iată laturile triunghiului a, b, c ... Raza unui cerc care este înscris într-un triunghi este r .
- S = (a * b * c) / 4 * R ... Raza cercului circumscris în jurul triunghiului este R .
- S = (a * b) / 2 = r² + 2 * r * R ... Această formulă trebuie aplicată numai atunci când triunghiul este dreptunghiular.
- S = (a² * √3) / 4 ... Aplicam aceasta formula unui triunghi echilateral.
Numai după ce calculăm ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei noastre, putem calcula aria suprafeței sale laterale. Pentru aceasta vom folosi formulele de mai sus.
Pentru a calcula aria suprafeței laterale a piramidei, nu apar dificultăți: trebuie să aflați suma ariilor tuturor triunghiurilor. Să o exprimăm cu formula:
Sп = ΣSi
Aici Si este aria primului triunghi și S P - aria suprafeței laterale a piramidei.
Să ne uităm la un exemplu. Este dată o piramidă regulată, fețele sale laterale sunt formate din mai multe triunghiuri echilaterale,
« Geometria este cel mai puternic instrument de ascuțire a facultăților noastre mentale.».
Galileo Galilei.
iar pătratul este baza piramidei. În plus, marginea piramidei are o lungime de 17 cm. Să găsim aria suprafeței laterale a acestei piramide.
Argumentăm astfel: știm că fețele piramidei sunt triunghiuri, sunt echilaterale. De asemenea, știm cât de lungă este nervura unei piramide date. De aici rezultă că toate triunghiurile au laturile laterale egale, lungimea lor este de 17 cm.
Pentru a calcula aria fiecăruia dintre aceste triunghiuri, puteți utiliza următoarea formulă:
S = (17² * √3) / 4 = (289 * 1,732) / 4 = 125,137 cm²
Din moment ce știm că pătratul se află la baza piramidei, se dovedește că avem patru triunghiuri echilaterale. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei poate fi calculată cu ușurință folosind următoarea formulă: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Răspunsul nostru este următorul: 500,548 cm² - aceasta este aria suprafeței laterale a acestei piramide.
Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, ar trebui să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre o piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cel mai simplu dintre ele. Dar se întâmplă tipuri diferiteși forme și, prin urmare, formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.
Tipuri de figuri
piramida - figură geometrică , denotând și reprezentând mai multe fețe. De fapt, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi sunt triunghiuri care se leagă într-un punct - vârful. Figura este de două tipuri principale:
- corect;
- trunchiată.
În primul caz, un poligon regulat se află la bază. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ele și figura însăși vor încânta ochiul perfecționistului.
În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune formată paralel cu baza.
Termeni și denumiri
Termeni de bază:
- Triunghi regulat (echilateral).- o figură cu trei unghiuri identice și laturi egale... În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedrele regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit triunghiular regulat. Dacă există un pătrat la bază, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
- Vertex- punctul cel mai înalt în care converg fețele. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care se extinde de la vârf la baza piramidei.
- Margine- unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
- Secțiune transversală- o figură plată rezultată dintr-o disecție. A nu se confunda cu o tăietură, deoarece tăietura arată și ce se află în spatele tăieturii.
- Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție este valabilă numai în raport cu un poliedru regulat. De exemplu, dacă nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni apotema.
Formule de arie
Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală folosind totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria fiecărei fețe și să le adăugați.
În funcție de ce parametri sunt cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, trapez, patrulater arbitrar etc. Formulele în sine în diferite cazuri va diferi de asemenea.
Găsirea zonei este mult mai ușoară cu forma corectă. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În cele mai multe cazuri, calculele sunt necesare doar pentru astfel de forme. Prin urmare, se vor da următoarele formule. În caz contrar, ar trebui să pictezi totul pe mai multe pagini, ceea ce nu va face decât să încurce și să încurce.
Formula de bază pentru calcul suprafața laterală a unei piramide obișnuite va arăta astfel:
S = ½ Pa (P este perimetrul bazei, a este apotema)
Să aruncăm o privire la unul dintre exemple. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm. Fie ca Apothem să fie egal cu 5 cm. În primul rând, trebuie să găsiți perimetrul. Deoarece toate cele cinci laturi ale bazei sunt aceleași, o puteți găsi astfel: P = 5 * 10 = 50 cm. Apoi, aplicăm formula de bază: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm pătrat.
Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:
S = ½ * ab * 3, unde a - apotema, b - fața de bază. Multiplicatorul triplu înseamnă aici numărul de margini de bază, iar prima parte este suprafața laterală. Să ne uităm la un exemplu. Se dă o figură cu apotema de 5 cm și marginea bazei de 8 cm Calculați: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm pătrat.
Suprafața laterală trunchiată a piramidei calcularea este puțin mai dificilă. Formula arată astfel: S = 1/2 * (p_01 + p_02) * a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Să ne uităm la un exemplu. De exemplu, pentru o figură patruunghiulară, dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, apotema este de 4 cm.
Aici, mai întâi trebuie să găsiți perimetrele bazelor: p_01 = 3 * 4 = 12 cm; p_02 = 6 * 4 = 24 cm. Rămâne să înlocuiți valorile în formula de bază și să obțineți: S = 1/2 * (12 + 24) * 4 = 0,5 * 36 * 4 = 72 cm pătrat.
Astfel, este posibil să găsiți suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Ar trebui să fie atent și să nu fie confuz aceste calcule cu aria totală a întregului poliedr. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, este suficient să calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și să o adăugați la aria suprafeței laterale a poliedrului.
Video
Pentru a consolida informații despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide, acest videoclip vă va ajuta.
Instrucțiuni
În primul rând, merită să înțelegem că suprafața laterală a piramidei este reprezentată de mai multe triunghiuri, ale căror zone pot fi găsite folosind o varietate de formule, în funcție de datele cunoscute:
S = (a * h) / 2, unde h este înălțimea coborâtă pe latura a;
S = a * b * sinβ, unde a, b sunt laturile triunghiului, iar β este unghiul dintre aceste laturi;
S = (r * (a + b + c)) / 2, unde a, b, c sunt laturile triunghiului, iar r este raza cercului înscris în acest triunghi;
S = (a * b * c) / 4 * R, unde R este raza triunghiului circumscris cercului;
S = (a * b) / 2 = r² + 2 * r * R (dacă triunghiul este dreptunghiular);
S = S = (a² * √3) / 4 (dacă triunghiul este echilateral).
De fapt, acestea sunt doar cele mai de bază formule cunoscute pentru a găsi aria unui triunghi.
După ce am calculat ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei folosind formulele de mai sus, putem începe să calculăm aria acestei piramide. Acest lucru se face foarte simplu: este necesar să se adună zonele tuturor triunghiurilor care formează suprafața laterală a piramidei. Formula o poate exprima astfel:
Sп = ΣSi, unde Sп este aria laterală, Si este aria triunghiului i, care face parte din suprafața sa laterală.
Pentru o mai mare claritate, puteți lua în considerare un mic exemplu: este dată o piramidă regulată, ale cărei fețe laterale sunt formate din triunghiuri echilaterale, iar la baza acesteia se află un pătrat. Lungimea marginii acestei piramide este de 17 cm. Este necesar să găsiți aria suprafeței laterale a acestei piramide.
Rezolvare: se cunoaște lungimea muchiei acestei piramide, se știe că fețele sale sunt triunghiuri echilaterale. Astfel, putem spune că toate laturile tuturor triunghiurilor suprafeței laterale au 17 cm. Prin urmare, pentru a calcula aria oricăruia dintre aceste triunghiuri, va trebui să aplicați formula:
S = (17² * √3) / 4 = (289 * 1,732) / 4 = 125,137 cm²
Se știe că există un pătrat la baza piramidei. Astfel, este clar că există patru triunghiuri echilaterale date. Apoi, aria suprafeței laterale a piramidei se calculează după cum urmează:
125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Răspuns: aria suprafeței laterale a piramidei este de 500,548 cm²
În primul rând, calculăm aria suprafeței laterale a piramidei. Suprafața laterală înseamnă suma ariilor tuturor fețelor laterale. Dacă aveți de-a face cu o piramidă obișnuită (adică una cu un poligon regulat la bază, iar vârful este proiectat în centrul acestui poligon), atunci pentru a calcula întreaga suprafață laterală, este suficient să înmulțiți perimetrul de bază. (adică suma lungimilor tuturor laturilor poligonului situat la baza piramidei) la înălțimea feței laterale (altfel numită apotema) și împărțiți valoarea rezultată la 2: Sb = 1 / 2P * h, unde Sb este aria suprafeței laterale, P este perimetrul bazei, h este înălțimea feței laterale (apotema).
Dacă aveți o piramidă arbitrară în fața dvs., atunci va trebui să calculați separat ariile tuturor fețelor și apoi să le însumați. Deoarece laturile piramidei sunt triunghiuri, utilizați formula pentru aria unui triunghi: S = 1 / 2b * h, unde b este baza triunghiului și h este înălțimea. Când s-au calculat ariile tuturor fețelor, tot ce rămâne este să le adăugați pentru a obține aria suprafeței laterale a piramidei.
Apoi trebuie să calculați aria bazei piramidei. Alegerea formulei pentru calcul depinde de poligonul care se află la baza piramidei: corect (adică una, ale căror laturi au aceeași lungime) sau incorect. Aria unui poligon obișnuit poate fi calculată prin înmulțirea perimetrului cu raza cercului înscris în poligon și împărțind valoarea rezultată la 2: Sn = 1 / 2P * r, unde Sn este aria cercului poligon, P este perimetrul, iar r este raza cercului înscris în poligon...
O trunchi de piramidă este un poliedru care este format dintr-o piramidă și secțiunea acesteia paralelă cu baza. Găsirea zonei suprafeței laterale a unei piramide nu este deloc dificilă. Este foarte simplu: aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor peste apotem. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate. Să presupunem că vi se oferă o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimile bazei sunt b = 5 cm, c = 3 cm. Apotema a = 4 cm. Pentru a găsi aria suprafeței laterale a piramidei, trebuie mai întâi să găsiți perimetrul bazelor. Într-o bază mare, va fi egal cu p1 = 4b = 4 * 5 = 20 cm. Într-o bază mai mică, formula va fi următoarea: p2 = 4c = 4 * 3 = 12 cm. În consecință, aria va fi egal: s = 1/2 (20 + 12 ) * 4 = 32/2 * 4 = 64 cm.
O piramidă este un poliedru, una dintre fețele căruia (baza) este un poligon arbitrar, iar celelalte fețe (latura) sunt triunghiuri cu un vârf comun. În funcție de numărul de unghiuri ale bazei piramidei, există triunghiulare (tetraedru), patruunghiulare și așa mai departe.
Piramida este un poliedru cu o bază sub formă de poligon, iar restul fețelor sunt triunghiuri cu un vârf comun. Apotema este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, care este desenată din vârful acesteia.
Un cilindru este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică. În acest articol, vom vorbi despre cum să găsim aria unui cilindru și, folosind formula, vom rezolva mai multe probleme, de exemplu.
Un cilindru are trei suprafețe: sus, jos și flanc.
Partea superioară și inferioară a unui cilindru sunt cercuri și sunt ușor de identificat.
Se știe că aria unui cerc este egală cu πr 2. Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri (partea de sus și de jos a cilindrului) va fi πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a reprezenta mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginați-vă că cilindrul este o cutie de conserve obișnuită care nu are un capac superior și un fund. Să facem o tăietură verticală pe peretele lateral de sus până jos al cutiei (Pasul 1 din imagine) și să încercăm să deschidem (îndreptați) figura rezultată cât mai mult posibil (Pasul 2).
După deschiderea completă a borcanului rezultat, vom vedea forma deja familiară (Pasul 3), acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să ne întoarcem pentru un moment la cilindrul original. Vârful cilindrului original este un cerc și știm că circumferința se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.
Când peretele lateral al cilindrului este complet deschis, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința (L = 2πr) și înălțimea cilindrului (h). Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am obținut o formulă pentru calcularea ariei suprafeței laterale a unui cilindru.
Formula suprafeței laterale a unui cilindru
partea S. = 2πrh
Suprafața completă a cilindrului
În cele din urmă, dacă adunăm suprafețele tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală a unui cilindru. Suprafața cilindrului este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Uneori această expresie este scrisă cu formula identică 2πr (r + h).
Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r este raza cilindrului, h este înălțimea cilindrului
Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru
Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.
1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului.
Suprafața totală se calculează cu formula: latura S. = 2πrh
partea S. = 2 * 3,14 * 2 * 34,6. Evaluări totale primite: 990.
